Post on 12-Feb-2021
Ottimizzazione Combinatoria 2
Sistemi di Indipendenza
definizioni ed esempi
Prof. Antonio Sassano
Dipartimento di Informatica, Automatica e Gestionale “Antonio Ruberti”
Università di Roma “Sapienza”
A.A. 2016
Sistemi di Indipendenza
• Insieme base G = {1,2,…,n} (elementi)
• Insieme delle soluzioni ammissibili
S = { F1 , F2 , … , Fm } (Fi G )
• S Sistema di Indipendenza (Independence System)
T Fi T S
1
S
2
3
4 5
6 7
• B è una Base di S BS T B T S
Basi
1
2
3
4 5
6 7
• C è un Circuito di S CS T C TS
Circuiti
1
2
3
4 5
6 7
Sistemi di Indipendenza
TS { T B : B Base di S }
TS { C T : C Circuito di S }
TS T è un dipendente di S
TS T è un indipendente di S
Le basi definiscono il sistema di indipendenza
Indipendenti = sottoinsiemi di G contenuti in qualche base
.. anche i circuiti definiscono il sistema di indipendenza
Indipendenti = sottoinsiemi di G che non contengono un circuito (ogni dipendente contiene un circuito)
Sistemi di Indipendenza (esempio 1)
S = {insiemi stabili di un grafo G(V,E)}
S = { , { v1 }, {v1 , v2 }, … }
Basi = stabili massimali
v7
v4 v1
v3
v2
G(N,A)
v9 v5 v8
v6
Circuiti = vi vhE
Elementi = nodi
Insiemi di nodi a coppie non adiacenti
T non stabile contiene gli estremi di un arco
T massimale non contenuto propriamente in uno stabile
Sistemi di Indipendenza (esempio 2)
S = {“matching” di un grafo G(V,E)}
S = { , { v1v2 }, {v3v8},
{ v1v2 ,v3v8}, … }
Basi = “matching” massimali
Elementi = archi
Insiemi di archi a coppie non incidenti nello stesso nodo
T non è un “matching” (almeno) due archi incidenti
v7
v4
v1
v3
v2
v9 v5 v8
v6
Circuiti = {ei ,eh} con ei , eh incidenti nello stesso nodo
( che non sono contenuti propriamente in un “matching” )
Sistemi di Indipendenza (esempio 3)
S = { foreste di un grafo G(V,E)}
Base = Albero Ricoprente
Circuito = ciclo
Elementi = archi b
a
d
w
e y
g G(V,E) foresta F E H(V,F) foresta
F non è una foresta F contiene un ciclo
Notazione: G(V,F) foresta
F foresta
Sistemi di Indipendenza (esempio 4)
S = {insiemi di vettori linearmente indipendenti }
Base = insieme massimale di vettori linearmente indipendenti
Circuito = insieme minimale di vettori linearmente dipendenti
Elementi = vettori
linearmente indipendenti
j00v jQj
n
j
j
nt21 Rvvv ,...,,G
QS
1
2
3
4
-1 -1
0
1 0 0
1 0 0
v1 v2 v3 v4 v5
0 0 0
1 0 -1
1
1
-1
0
-1
Base
431 vvvB ,,
1
2
3
4
-1 -1
0
1 0 0
1 0 0
v1 v2 v3 v4 v5
0 0 0
1 0 -1
1
1
-1
0
-1
Circuito
321 vvvC ,,
Sistemi di Indipendenza (esempio 5)
S = { insiemi di progetti “compatibili” con un “budget”}
3x1+2x2+x3+2x4 5
S = { , { 1 }, { 2 }, {1 , 2 }, {2, 3, 4 } … }
Base = insieme di progetti “compatibile” massimale
Circuito = un insieme di progetti non “compatibile”
ma tale che ogni sottoinsieme è “compatibile”
Elementi = progetti
“budget” “risorse” per il progetto
Indipendenti = soluzioni di “knapsack” a coefficienti positivi
{1 , 2 , 3}
{1 , 4 }
Sistemi di Indipendenza (esempio 5)
S = { sotto-sistemi di disequazioni ammissibili }
(a) x1-x2 1 (b) x2-x3 -3 (c) x3-x1 1 (d) x1-x4 -2 (e) x4-x5 1 (f) x5-x1 0
Elementi = disequazioni
Base = insieme di disequazioni ammissibile massimale
Circuito = un insieme di disequazioni non ammissibile
ma tale che ogni sottoinsieme è ammissibile {a,b,c}
non ammissibile
{a,b,e,f}
Sistemi di Indipendenza (esempio 6)
S = { insiemi di archi la cui rimozione non
disconnette il grafo G(N,A) }
S = { , {v1v8 }, {v1v8 ,v2v3},… }
Base = Complemento di un albero ricoprente
v9
v4 v8
v3
v2
G(N,A) v1 v5 v7
v6
Circuiti = Tagli minimali
Elementi = archi
( non contengono propriamente un taglio)
TS connesso )T,N(H
Grafo connesso G(N,A)