Post on 30-Aug-2019
Sisteme de forţe
Mecanica I 1
CURS 2
SISTEME DE FORŢE
CUPRINS
2. Sisteme de forţe …..…..……………………………………………………………………1
Cuprins……………………………………………………………………………………..1
Introducere modul………………………………………………………………………….1
Obiective modul...………………………………………………………………………….2
2.1. Forţa……………………………………………………………………………....2
Test de autoevaluare 1………………………………………………………………...3
2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei pe direcţia unei axe.....................4
Test de autoevaluare 2………………………………………………………………...5
2.3. Compunerea a două forţe concurente .................................................................5
Test de autoevaluare 3...................................................................................................7
2.4. Expresia forţei în sistemul de referinţă cartezian ..............................................7
Test de autoevaluare 4...................................................................................................9
2.5. Rezultanta unui sistem de forţe concurente. Teorema proiecţiilor ................10
Test de autoevaluare 5.................................................................................................12
Bibliografie modul……………………………………………………………………………12
Rezumat modul……………………………………………………………………………….12
Rezolvarea testelor de autoevaluare…………………………………………………………..13
2. Sisteme de forţe
Introducere
modul
În acest modul se va defini noţiunea de forţă.
Se vor defini noţiunile de proiecţie a forţei pe o axă şi de
componentă a unei forţe pe direcţia unei axe.
Se va defini sistemul de forţe concurente şi se va determina
rezultanta acestui sistem de forţe.
Sisteme de forţe
Mecanica I 2
Obiective modul
După parcurgerea acestui modul cursantul va şti:
- să definească şi să reprezinte noţiunea de forţă;
- să definească şi să determine proiecţia unei forţe pe o axă;
- să definească şi să determine componenta unei forţe pe
direcţia unei axe;
- să exprime forţa în sistemul de referinţă cartezian;
- să determine rezultanta unui sistem de forţe concurente
utilizând teorema proiecţiilor.
Durata medie de
studiu individual
2 ore
Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în
acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare.
2.1. Forţa
Forţa este mărimea vectorială ce caracterizează direcţia şi intensitatea acţiunii unui corp
asupra altui corp.
Ca orice vector, forţa poate fi reprezentată grafic punând în evidenţă cele patru caracteristici:
mărime, direcţie, sens şi punct de aplicaţie.
Fig. 2.1. Reprezentarea forţei
Mărimea forţei este un scalar având unitatea de măsură specifică forţei şi se reprezintă la o
anumită scară prin lungimea vectorului .
A α
O
A α
O
Sisteme de forţe
Mecanica I 3
Dreapta care conţine vectorul forţă se numeşte dreapta suport a forţei (sau suportul forţei).
Dreapta suport a forţei defineşte direcţia forţei prin unghiul pe care îl face cu o altă dreaptă
(sau axă) de direcţie cunoscută (fig. 2.1).
Sensul forţei este definit prin săgeata vectorului ce reprezintă forţa. Punctul de aplicaţie al
forţei este indicat în general printr-o literă şi poate fi situat în oricare dintre cele două
extremităţi ale vectorului forţă (fig. 2.1).
O dreaptă devine axă dacă i se asociază un punct ca origine (punctul O în figura 2.1) şi un
sens pozitiv. Direcţia şi sensul unei axe se pot pune în evidenţă printr-un vector având
mărimea 1, numit versor ( în figura 2.1). În funcţie de acest versor, forţa se poate exprima:
În această expresie se pun în evidenţă trei din cele patru caracteristici ale forţei: mărimea
(notată cu ), direcţia (direcţia versorului ) şi sensul (prin intermediul semnului: semnul (+)
arată că forţa şi versorul au acelaşi sens iar semnul (-) arată ca forţa şi versorul au sensuri
opuse). Această relaţie nu oferă nici o informaţie cu privire la poziţia punctului de aplicaţie al
forţei sau la poziţia dreptei suport a forţei în raport cu un reper oarecare. Pentru exprimarea
poziţiei forţei în raport cu un reper oarecare se va utiliza o altă noţiune ce va fi introdusă
ulterior.
Test de
autoevaluare 1
1. Definiţi forţa.
2. Ce înţelegeţi prin noţiunea de axă?
3. Expresia nu pune în evidenţă următoarea
caracteristică ale forţei:
a) mărimea
b) direcţia
c) sensul
d) punctul de aplicaţie
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
Sisteme de forţe
Mecanica I 4
2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei pe direcţia unei axe
Fie o forţă oarecare , reprezentată în figura 2.2 şi o axă oarecare (Δ), definită cu ajutorul
versorului . Pentru uşurinţa reprezentării, vom considera forţa şi axa în acelaşi plan.
Figura 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Proiecţia forţei pe direcţia unei axe
Mărimea segmentului , măsurată la scara forţelor, este mărimea scalară şi se numeşte
proiecţia forţei pe axa (Δ) :
Dacă vârful forţei se proiectează pe o dreaptă paralelă cu axa (Δ) ce conţine punctul A
(punctul de aplicaţie al forţei) atunci se obţine punctul B2. Este evident că mărimile
segmentelor şi sunt egale. Segmentul este catetă în triunghiul dreptunghic
AB2B, astfel încât putem scrie:
Dacă în extremitatea B2 se reprezintă o săgeată, atunci segmentul devine un vector având
punctul de aplicaţie identic cu punctul de aplicaţie al forţei şi mărimea egală cu mărimea
proiecţiei forţei pe axa (Δ). Acest vector, notat cu , se numeşte componenta forţei pe
direcţia axei (Δ):
A
α
O
A1 B1
B2
B
(Δ)
Sisteme de forţe
Mecanica I 5
Test de
autoevaluare 2
1. Definiţi proiecţia unei forţe pe o axă.
2. Definiţi componenta unei forţe pe direcţia unei axe.
3. Determinaţi mărimea proiecţiei forţei din figură pe axa (Δ),
cunoscând mărimea forţei F=10 N şi α=60 .
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
2.3. Compunerea a două forţe concurente.
Problema principală care se pune atunci când avem un sistem de forţe dat este, în general,
determinarea sistemului echivalent cel mai simplu. Două sisteme de forţe se numesc
echivalente dacă efectul mecanic produs asupra corpului pe care acţionează este acelaşi. Se va
determina în continuare sistemul echivalent cel mai simplu pentru un sistem de forţe alcătuit
din două forţe concurente.
Fie două forţe şi având acelaşi punct de aplicaţie. Conform principiului paralelogramului
aceste două forţe pot fi înlocuite cu o singură forţă ce produce acelaşi efect mecanic, numită
rezultantă şi notată cu (figura 2.3).
Fig. 2.3. Compunerea a două forţe concurente
Matematic, rezultanta celor două forţe concurente se exprimă ca sumă vectorială între aceste
forţe:
A
α
A
α1
A
α2
A α
(Δ)
Sisteme de forţe
Mecanica I 6
Mărimea rezultantei se determină utilizând teorema cosinusului într-unul dintre cele două
triunghiuri ce se formează în paralelogramul forţelor:
Utilizând teorema sinusului într-unul dintre cele două triunghiuri formate de rezultantă cu cele
două forţe rezultă direcţia rezultantei, dată de unghiul format de aceasta cu una dintre
direcţiile celor două forţe (direcţii cunoscute):
Dacă se aduce una dintre cele două forţe (la alegere) cu punctul de aplicaţie în vârful celei de-
a doua şi se uneşte punctul de aplicaţie al celei de-a doua forţe cu vârful primei forţe, se
obţine vectorul rezultantă. Această metodă de determinare a rezultantei se numeşte regula
triunghiului.
Se prezintă în continuare cazul compunerii a două forţe coliniare, utilizând regula
triunghiului:
Fig. 2.4. Compunerea a două forţe concurente coliniare
Dacă forţele au acelaşi sens, mărimea rezultantei se determină ca sumă algebrică a mărimilor
celor două forţe:
Dacă forţele au sensuri opuse, mărimea rezultantei se determină dintr-o scădere:
A
A
Sisteme de forţe
Mecanica I 7
x
O
z
y
Fig. 2.5. Sistem de referinţă
cartezian drept
Test de
autoevaluare 3
1. Două sisteme de forţe sunt echivalente dacă:
a) au acelaşi număr de forţe;
b) produc acelaşi efect mecanic corpului pe care acţionează;
c) acţionează în acelaşi punct.
2. Rezultanta a două forţe concurente se determină cu metodele:
a) regula paralelogramului;
b) regula rombului;
c) regula triunghiului.
3. Mărimea rezultantei a două forţe concurente se determină
aplicând:
a) teorema cosinusului;
b) teorema sinusului;
c) teorema tangentei.
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
2.4. Expresia forţei în sistemul de referinţă cartezian
În figura 2.5 se prezintă sistemul de referinţă cartezian triortogonal drept. Acesta este alcătuit
din trei axe perpendiculare două câte două, notate Ox, Oy şi Oz. Noţiunea de sistem de
referinţă drept se referă la orientarea axelor (există
sisteme de referinţă drepte sau stângi). Astfel, un
sistem de referinţă drept Oxyz este acel sistem de
referinţă la care observatorul, aşezat în primul
triedru, vede notaţiile axelor în sens trigonometric
(în ordinea x, y, z). Alt mod de definire este acesta:
rotind burghiul drept astfel încât axa Ox să se
suprapună peste axa Oy pe drumul cel mai scurt,
sensul de înaintare al burghiului să coincidă cu
sensul pozitiv al axei Oz (pentru sistemul de
referinţă Oxyz). Direcţiile şi sensurile pozitive ale
Sisteme de forţe
Mecanica I 8
axelor sistemului de referinţă cartezian se definesc cu ajutorul a trei versori , şi . Mecanica
lucrează cu sisteme de referinţă drepte.
Fie forţa având punctul de aplicaţie în originea sistemului de referinţă cartezian (figura
2.6.a). Se determină proiecţiile pe axele de coordonate proiectând vârful forţei pe axele de
coordonate în modul următor: se duce o paralelă la axa Oz prin vârful forţei, aceasta
intersectând planul Oxy în punctul A. Din punctul A se duc paralele la axele Ox şi Oy şi se
determină proiecţiile vârfului forţei pe axele Oy, respectiv Ox. Pentru determinarea proiecţiei
vârfului forţei pe axa Oz se duce o paralelă prin vârful forţei la segmentul (figura 2.6.b).
Dacă se orientează segmentele obţinute, se obţin componentele forţei pe axele sistemului de
referinţă (figura 2.6.c). De asemenea se poate construi paralelipipedul având ca diagonală
forţa şi ca laturi componentele forţei pe axele de coordonate. Unghiurile făcute de forţa cu
axele sistemului de referinţă se vor nota cu α, β, respectiv γ.
Fig. 2.6. Forţa în sistemul de referinţă cartezian
Proiecţiile forţei pe axele sistemului de referinţă sunt:
;
Componentele forţei pe direcţiile celor trei axe de coordonate sunt:
Dacă sumăm vectorial componentele forţei rezultă:
O
z
y
a) x
y O
z
b) x
A
O
z
c) x
y
α β
γ
Sisteme de forţe
Mecanica I 9
Notând pentru simplificare:
şi
se va obţine expresia forţei în raport cu sistemul de referinţă cartezian:
Mărimea forţei este:
iar direcţia forţei este dată de cosinuşii directori ai dreptei suport:
Între cosinuşii directori există relaţia:
Test de
autoevaluare 4
1. Ce înţelegeţi prin sistem de referinţă drept?
2. Enunţul ,,Orice forţă poate fi înscrisă pe diagonala unui
paralelipiped” este:
a) adevărat
b) fals
3. În expresia , X este:
a) componenta forţei pe axa Ox;
b) vectorul ce uneşte punctul de aplicaţie al forţei cu proiecţia
vârfului forţei pe axa Ox;
c) proiecţia forţei pe axa Ox.
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
Sisteme de forţe
Mecanica I 10
2.5. Rezultanta unui sistem de forţe concurente. Teorema proiecţiilor
Sistemul de forţe concurente este acel sistem de forţe în care toate forţele au acelaşi punct de
aplicaţie. Dacă sistemul de forţe acţionează asupra unui solid rigid atunci este suficient ca
dreptele suport ale acestora să fie concurente în acelaşi punct.
Fie un sistem de forţe concurente . Pentru a determina sistemul echivalent cel
mai simplu se pot aplica cele două metode cunoscute (regula paralelogramului sau regula
triunghiului) considerând succesiv câte două
forţe. Aplicând regula triunghiului în mod
repetat se obţine o nouă metodă ce se numeşte
regula conturului poligonal (figura 2.7).
În metoda conturului poligonal se aşează forţele
într-o ordine oarecare, astfel încât punctul de
aplicaţie al unei forţe să coincidă cu vârful forţei
anterioare. Rezultanta sistemului de forţe
concurente va avea punctul de aplicaţie în
punctul de aplicaţie al primei forţe şi vârful în vârful ultimei forţe considerate. Această
metodă este o metodă grafică ce devine greu de utilizat pentru sisteme de forţe în spaţiu sau
pentru sisteme de forţe cu un număr mare de forţe.
Prin aplicarea acestei metode se observă că sistemul echivalent cel mai simplu pentru un
sistem de forţe concurente este sistemul alcătuit dintr-o singură forţă, şi anume rezultanta
sistemului de forţe concurente aplicată în punctul de concurenţă al forţelor. Matematic,
rezultanta unui sistem de forţe este dată de relaţia:
Pentru o abordare analitică a determinării rezultantei unui sistem de forţe concurente se
enunţă teorema proiecţiilor.
Teorema proiecţiilor: proiecţia pe o axă a rezultantei unui sistem de forţe concurente este
egală cu suma proiecţiilor pe aceeaşi axă a tuturor forţelor din sistem.
A
...
... ...
... Figura 2.7. Regula conturului poligonal
Sisteme de forţe
Mecanica I 11
Demostraţie
Se cunoaşte că:
Înmulţind relaţia cu versorul unei axe (Δ), rezultă:
Dar produsul scalar al unui vector cu versorul unei axe este chiar
proiecţia vectorului pe acea axă:
Această relaţie reprezintă chiar teorema proiecţiilor.
În cazul unui sistem de referinţă cartezian se pot scrie:
unde X, Y şi Z sunt proiecţiile rezultantei pe axele sistemului de referinţă iar Xi, Yi şi Zi sunt
proiecţiile forţei pe axele sistemului de referinţă.
În sistemul de referinţă cartezian, rezultanta va avea expresia:
Mărimea rezultantei este:
Direcţia rezultantei este dată de cosinuşii directori ai dreptei sale suport:
Sisteme de forţe
Mecanica I 12
Test de
autoevaluare 5
1. Enunţul ,,regula conturului poligonal este o metodă analitică”
este:
a) adevărat
b) fals
2. Care este cel mai simplu sistem echivalent unui sistem de forţe
concurente?
3. Enunţaţi teorema proiecţiilor.
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
Bibliografie modul
[1]. Hangan, S., Slătineanu, I., ,,Mecanică”, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 24-27;
[2]. Szolga, V., Szolga, A. M., ,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi
îndrumător de seminar. Partea I”, Editura Conspress, Bucureşti,
2003, pag. 7-15;
[3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretică”,
Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 21-28, 110-112.
Rezumat modul
Modulul prezintă noţiuni de bază privind sistemele de forţe, cum ar
fi: forţa, sistem echivalent cel mai simplu, sistem de forţe
concurente.
S-au prezentat metode de determinare a rezultantei pentru un sistem
de două forţe concurente (regula paralelogramului şi regula
triunghiului) sau pentru un sistem cu mai multe forţe concurente
(regula conturului poligonal şi metoda analitică bazată pe teorema
proiecţiilor)
Sisteme de forţe
Mecanica I 13
Rezolvare
test de autoevaluare
1
1. Consultare aspecte teoretice pag. 2;
2. Consultare aspecte teoretice pag. 3;
3. d.
Rezolvare
test de autoevaluare
2
1. Consultare aspecte teoretice pag. 4;
2. Consultare aspecte teoretice pag. 4;
3. .
Rezolvare
test de autoevaluare
3
1. b;
2. a, c;
3. a.
Rezolvare
test de autoevaluare
4
1. Consultare aspecte teoretice pag. 7;
2. a;
3. c.
Sisteme de forţe
Mecanica I 14
Rezolvare
test de autoevaluare
5
1. b;
2. Consultare aspecte teoretice pag. 10;
3. Consultare aspecte teoretice pag. 10;