Post on 14-Apr-2015
SIMULACIÓN DE MONTECARLO
En la administración de operaciones se utilizan dos tipos de modelos:
• Modelos de Optimización• Modelos de Simulación
Modelo deOptimización
Modelo deSimulación
Responde a la pregunta¿ Cuál es la mejor decisión ?
Responde a la pregunta¿ Qué pasaría si ............ ?
MODELOS DE SIMULACIÓN
SIMULACIÓN
Es observar el comportamiento de un sistema a través de un modelo, ante diferentes situaciones que se ensayan. Esto implica experimentación
Se simulan los experimentos usando relaciones matemáticas (determinísticas o probabilísticas), para medir los resultados representativos de la realidad
Simulación no es una técnica optimizante ni busca la mejor solución o decisión, aunque al menos debe proporcionar soluciones cercanas a la óptima
MODELOS DE SIMULACIÓN
Ventajas de los modelos de simulación:
El modelo de simulación es más fácil de construir y comprender que uno de optimización
Los modelos de optimización, generalmente, no evalúan todas las soluciones subóptimas. En cambio, los modelos de simulación si las evalúan
El modelo de simulación hace experimentación en computadores, lo que le otorga:
Mayor rapidez para procesar la información Capacidad de anticipar resultados posibles en situaciones nuevas o imprevistas
MODELOS DE SIMULACIÓN
Desventajas de los modelos de simulación:
El modelo de simulación requiere personal especializado para su realización y análisis
Es imprescindible el uso de computadores
No necesariamente alcanza resultados óptimos
SIMULACIÓN DE MONTECARLO
Es una técnica de muestreo aleatorio simple (M.A.S.) en la que el muestreo se hace en un espacio finito a partir de la generación de números aleatorios: la población son todos los números aleatorios y el muestreo consiste en determinar valores sucesivamente a partir de los números aleatorios
X : Variable aleatoria
Que tiene un comportamiento según alguna distribución de probabilidades
SIMULACIÓN DE MONTECARLO
Se obtienen valores para X ( X1, X2, X3, ........., Xn )
X1
X2
X3
Xn
Son valores generados utilizado un
M.A.S. de los números aleatorios ri
NÚMEROS ALEATORIOS
ri Es cualquier número entre 0 y 99, con igual probabilidad de selección: todos los números tienen la misma probabilidad de ser escogidos en cualquier instante, es decir que tienen una distribución de probabilidades uniforme
ri
f (r)
0 99
ri U ( 0, 99 )
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Una sucursal bancaria canjea cierta cantidad de cheques cada día, según el siguiente comportamiento en un mes:
Cheques Frecuenciacanjeados Frecuencia Frecuencia Relativa
por día (miles) Absoluta Relativa Acumulada Media1 - 500 2 0.05 0.05 250,5
501 - 1000 6 0.15 0.2 750,51001 - 1500 18 0.45 0.65 1250,51501 - 2000 10 0.25 0.9 1750,52001 - 2500 4 0.1 1 2250,5
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Histograma de Frecuencia Relativa:
0,05
0,15
0,45
0,25
0,1
500 2000 250015001000
f i
Qcheques / día
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Mediante el uso de los números aleatorios es posible simular una muestra (de M.A.S.)
Frecuencia Relativa Acumulada
0,050,200,650,91
00 - 0405 - 1920 - 6465 - 8990 - 99
Número Aleatorio Clase nº
(1)(2)(3)(4)(5)
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Nº aleatorioPertenece a la clase nº
841831610452407589163797
(4)(2)(3)(3)(1)(3)(3)(4)(4)(2)(3)(5)
Clase fi fi / n
(1)(2)(3)(4)(5)
12531
0,080,160,420,250,08
n = 12
Esta es una corrida de 12 números aleatorios
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Histograma de Frecuencia Relativa:
0,08
0,16
0,42
0,25
500 2000 250015001000
f i
Qcheques / día
Al obtener el histograma de frecuencia relativa, el
comportamiento se mantiene, aunque no es
igual, debido a que se trata de una muestra
EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Nº aleatorioPertenece a la clase nº
487019368750072478913759
(3)(4)(2)(3)(4)(3)(2)(3)(4)(5)(3)(3)
Clase fi fi / n
(1)(2)(3)(4)(5)
02631
0,000,160,500,250,08
n = 12
Esta es otra corrida de 12 números aleatorios
EJEMPLO DE SIMULACIÓNHistograma de Frecuencia Relativa:
0,08
0,16
0,50
0,25
500 2000 250015001000
f i
Qcheques / día
Al obtener el histograma de frecuencia relativa, una vez más el comportamiento se
mantiene, sin ser igual, debido a que se trata de
otra muestra
GENERACIÓN DE VALORES PARA DISTINTAS DISTRIBUCIONES A PARTIR
DE LOS NÚMEROS ALEATORIOS
En los modelos de simulación, cada variable de decisión tiene una distinta distribución (determinística o probabilística). Cada distribución tiene una corrida diferente de números aleatorios
Un mismo número aleatorio no puede ser usado para simular dos variables a la vez, porque las variables son independientes entre sí
Para determinar los valores simulados se utiliza la distribución de probabilidades acumulada
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA
Muchas variables de decisión no son continuas, entonces se utilizan las categorías de frecuencia relativa acumulada para generar los valores a partir de los números aleatorios, siendo muy útil para variables con distribuciones determinísticas
Ejemplo: Supongamos que para el precio de una acción existe una probabilidad del 20% de que baje, 50% de que se mantenga igual, y 30% de que suba su valor; en la siguiente transacción bursátil
Entonces, se asigna un intervalo 0, 1 proporcional a cada probabilidad
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA
FrecuenciaFrecuencia Relativa Números
Relativa Acumulada AleatoriosAcción Baja 0,2 0,2 00 - 19Acción Igual 0,5 0,7 20 - 69Acción Sube 0,3 1 70 -99
Si 00 ri 19
Si 20 ri 69
Si 70 ri 99 Se asume que el precio de la acción sube
Se asume que el precio de la acción baja
Se asume que el precio de la acción se mantiene igual
< <
<
<
<
<
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
En el caso de una distribución uniforme en el intervalo a, b , se consideran 99 números aleatorios pertenecientes al intervalo 0, 1
X U (a,b)fi (X)
XXi
P (Xi X) ri
P (Xi X)
<
< =
=Xi - ab - a
a b
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
riXi - ab - a=
con ri ( b - a ) Xi - a=
Xi a + ri ( b - a )= 0 ri 1<<
a + b2=E (X) V (X) =
( b - a )2
2
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
fi (X)
XiX
X exp ( ) f (X) ex-
x > 0 > 0
E (X) 1
=
1
=V (X) 2P (Xi X) ri<
=
= 0 ri 1< <
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
= con 0 ri 1
<
P (Xi X) ri< <<Distribución de
probabilidad acumulada P (Xi X) 1 - e= - x
1 - e - x= ri
e x- = 1 ri- / ln
=Xi- ln ( 1 )ri-
ln ( 1 )ri--= Xicon 0 ri 1<<
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
fi (X)
X
Su función de densidad de probabilidades es:
= 1 < 1
> 1 X W ( , )
f (X, , ) = X( - 1)
e - ( x )X 0>
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Nótese que si 1, entonces la distribución de Weibull corresponde a la distribución exponencial
La función de densidad acumulada es:
=
P (Xi X) 1 - e=<- ( xi )
Luego, para generar valores de Xi de una variable aleatoria con distribución de Weibull, a partir de un número aleatorio
ri = 1 - e- ( xi )
e =- ( xi )
1 ri- ( Xi )
=- ln ( 1 )- ri
ri
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Xi =1 - ( ln ( 1 ) )ri- 1 con 0 ri 1< <
Obs: La distribución de Weibull se utiliza en la descripción de las 3 etapas (rodaje, vida útil y desgaste) de la curva de fallas
t
( t ) Vida Útil = 1
< 1 > 1Rodaje Desgaste
Proba-bilidad de falla
( t )
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
fi (X)
Xi
X N ( , ) 2
La función de probabilidad acumulada
corresponde a
P (Xi X)< =x
81
2 e
12- ( )x - 2
dx
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
La función de probabilidad acumulada de la distribución normal no puede ser resuelta por métodos de integración corrientes, lo que impide tener una fórmula cómoda para despejar observaciones aleatorias simuladas de Xi a partir de los números aleatorios
No obstante, las observaciones se pueden generar mediante el siguiente razonamiento:
ri
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Los números aleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo 0 , 1
f (ri)
ri
Para un número aleatorio
E ( )ri
V ( )ri
=
=
a + b
(b - a)
2
12
=
=
2
12
1
1
0 ri 1< <
Para una muestra de “n” números aleatorios, se puede inferir su comportamiento gracias al teorema del límite central
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si X N Xi N
Por lo tanto i=1
nri
=
N ( )n n2 12
,
Válido, solo en la medida en que n es un valor bastante grande, lo que se asume cuando n 12>Entonces
ZXi -
=ri
i=1 n
- n2
12n
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Xi = +( )
i=1 n
ri - n2
n12
<0 ri 1<si n 12>
Aunque la expresión es válida para cualquier n 12, típicamente se usa n = 12 para el muestreo de las observaciones de variable con distribución normal ya que se simplifica un cálculo
>
EJEMPLO DE GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Xi = +( )
i=1 n
ri - n2
n12
X tiene distribución normal, con = 460 y = 36 Observación para X con los números aleatorios:
r1 = 0,46r2 = 0,95r3 = 0,23
r4 = 0,61r5 = 0,39
r6 = 0,74r7 = 0,26
r8 = 0,13r9 = 0,92
r10 = 0,55r11 = 0,07r12 = 0,48
Xi = 460 +36 ( 5,79 - 6 )
1 = 467,56Xi