Scattering in Meccanica Classica

F. Bianchi 2

Sommario• Scattering• Diffusione Thomson e Rayleigh• Sezione d’urto in meccanica classica• Attenuazione• Scattering da una sfera rigida• Sezione d’urto di Rutherford

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Scattering (1)• Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere

informazioni sulla struttura del sistemi fisici.– Usato ampiamente anche dalla natura.

• Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione– Sorgente di luce– Oggetto– Rivelatore di luce

• La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada, LED, laser,..), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore,..).

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Scattering (2)• Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia

corpuscolare sia ondulatorio: Collisione– Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni

• Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio.

• Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del bersaglio.

• Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura– Trattazione classica

• Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio– Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne)– Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico

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Scattering di Onde Elettromagnetiche• Collisione con oggetti macroscopici, risposta

coerente:– d/l >> 1 ottica geometrica– d/l ~ 1 ottica fisica

• Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente:– d ~ 0 scattering Thompson (su elettroni liberi)– d/l << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati)– d/l ~ 1 scattering Mie

F. Bianchi 6

Scattering Thomson (1)• Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero• Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z: onda

piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x.• L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B.

– Si puo’ trascurare B se ve << c

• Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche

F. Bianchi 7

Scattering Thomson (2)

F. Bianchi 8

Scattering Thomson (3)• Potenza media incidente per unita’ di

superficie:

• Forza agente sull’elettrone:

• Accelerazione media dell’elettrone:

• Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita’ di angolo solido da una particella accelerata non relativistica:

• Potenza media diffusa per unita’ d’angolo solido

2002

1 cEI

EeamF

2

20

2

2

222

2mEe

mEea

23

0

22

sin16 c

aeddP

2

200

2

20

2

sin24cE

mce

ddP

F. Bianchi 9

Scattering Thomson (4)• Sezione d’urto (m2/sr)

• Sezione d’urto totale (m2)

• Raggio classico dell’elettrone

• sT indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente

s

2222

20

22

2

20

2

2200

2

20

2

200

cossinsin4

sin4

sin24

21

mce

mce

cEmce

cEddP

Idd

22

20

2222

4

2

20

2

38

438sincossinsin

4 eT rmcedd

mce

s

20

2

4 mcere

F. Bianchi 10

Scattering Rayleigh (1)• Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati

– Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda

• Modello supersemplificato della forza di legame:– Termine elastico + Termine di smorzamento

– Equivale a:

• L’equazione del moto dell’elettrone:

• Con:

• Una possibile soluzione e’:

F. Bianchi 11

Scattering Rayleigh (2)• Sostituendo x(t) e le

sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone:

• L’accelerazione quadratica media dell’elettrone e’:

• Potenza irraggiata dall’elettrone

2

20

2

22220

2

42

2)( mEea

2200

2

20

2

22220

2

4

sin24)(cE

mce

ddP

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Scattering Rayleigh (3)• La sezione d’urto (m2/sr):

Thomson

dd

mce

mce

cEmce

cEddP

Idd

s

s

22220

2

4

2222

20

2

22220

2

4

22

20

2

22220

2

4

2200

2

20

2

22220

2

4

200

)(

cossinsin4)(

sin4)(

sin24)(

21

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Scattering Rayleigh (4)• L a sezione d’urto totale (m2) dipende fortemente dalla

frequenza dell’onda incidente.

• Massimo sezione d’urto:

• Se • Sezione d’urto di Rayleigh

– Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte.

– Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa un maggior spessore d’aria

Thomsons

s 22220

2

42

22220

2

4

)()(38

eT r

Thomsonss 4

00

T

Thomsonss 20

0

T

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Scattering Rayleigh (5)

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Scattering in Meccanica Classica• Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico:

– Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di deflessioni (,) sono determinati dal parametro d’urto e dalla velocita’ relativa.

• Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione.– Es.: cometa e sole

• Caso microscopico:– Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto

• Fascio di particelle incidenti– Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto– Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola collisione

non sono in generale noti.• NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in meccanica

quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di Indeterminazione).– E’ necessario un approccio statistico.

F. Bianchi 16

Sezione d’Urto• Grandezze misurabili:

– F -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m-2 s-1

– R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido d , si misura in particelle sr-1 s-1

• Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni,..):

• ds/d e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale.

• Sezione d’urto totale:

F

ddR s

ss4

ddd

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Sezione d’Urto ed Attenuazione (1)• Fascio di proiettili di flusso F che attraversa un volume

contenente N particelle per unita’ di volume.– Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un

bersaglio.• Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante):

• Introducendo r (densita’ di massa, g/cm3) ed A (massa molecolare, g):

• Naturale identificare k con s. Integrando:

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Sezione d’Urto ed Attenuazione (2)• Quantita’ spesso usate:

• l-> cammino libero medio• m-> coefficiente di attenuazione lineare del

fascio• Per un singolo proiettile (F0 =1):

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Ancora sulla Sezione d’Urto (1)

• In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’ statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio.– N.B.: non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi

pratici.

• La sezione d’urto totale s e’ una misura della probabilita’ totale d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro d’urto b.

• La sezione d’urto differenziale ds/d e’ una misura della probabilita’ differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione nell’elemento di angolo solido d.– Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b.

• Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche:– Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio.– Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio.– Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico).

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Interpretazione Classica della Sezione d’Urto

• Fascio di particelle incidenti di flusso F che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto.

• Particelle deflesse in d (con angolo polare fra e +d, angolo azimutale fra f e f+df): Sono quelle che incidono in ds ( con par.d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra f e f+df)

s

fsf

f

fs

ddb

senb

dd

ddsenddbdbd

bdbdI

ddsenddR

F

F

• Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio.• Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione

F. Bianchi 21

Scattering da Sfera Rigida• Barriera di potenziale

infinita per r<a.• Per il proiettile vale la

legge della riflessione.

2

2

42sin2

2cos2

sin2

2cos

2sin2sin

2cos

sin

2sin2

2cos

2sinsin

2

a

aaaaa

ddbb

dd

addb

aaab

s

s

b

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Sezione d’Urto di Rutherford (1)• Classico problema a due corpi con un potenziale

centrale repulsivo.

• Per ricavare la sezione d’urto:

• Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il parametro d’impatto b della particella incidente e l’angolo di scattering

• Prendiamola un po’ alla lontana…

s

ddb

senb

dd

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La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m1 ed m2 che interagiscono con un potenziale centrale:

e’:Introducendo le coordinate:

Si puo’ riscrivere come:

Sezione d’Urto di Rutherford (2)

F. Bianchi 24

Sezione d’Urto di Rutherford (3)• Introducendo:

• La Lagrangiana diventa:

• Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche) e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del baricentro) si conservano.– Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di

forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme

• La lagrangiana del moto relativo e’:

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Sezione d’Urto di Rutherford (4)• In coordinate polari:

• e’ una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva:

• Anche l’energia si conserva:

F. Bianchi 26

Sezione d’Urto di Rutherford (5)• Da cui:

• Separando le variabili:

• Integrando con la condizione iniziale :

• Sostituendo r(t) con :

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Sezione d’Urto di Rutherford (6)• A questo punto sono note r(t) e (t). E’

possibile ricavare l’equazione della traettoria:

• Integrando:

• Consideriamo ora il caso:

F. Bianchi 28

Sezione d’Urto di Rutherford (7)• L’equazione della trettoria diventa:

• Questo e’ un integrale del tipo:

• Con:

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Sezione d’Urto di Rutherford (8)• La soluzione e’:

• Ritornando ad r:

• Infine:

• Definendo:

F. Bianchi 30

Sezione d’Urto di Rutherford (9)

2

222

2

2

2

2

'21

)'(21

cos1'1

2

')(

eZZEb

eZZmEl

lemZZ

r

mEbbmvlreZZ

rrV

inc

m

m 00

22sin

2cos1 f

cosec

f/2

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Sezione d’Urto di Rutherford (10)

2sin

12'

41

2sin

1sin2

2'

21

sin

2sin

12'

21

22'

'2

21

'21

2

112

2sin

2sin1

2sin

2cos

2

4

22

2

22

2

22

2

2

22

22

2

2

2

2

2

s

EeZZ

ctg

EeZZ

ddbb

dd

EeZZ

ddbctg

EeZZb

eZZEbctg

eZZEbctg

ctg cosec

Sezione d’urto totale e’ divergenteConseguenza del range infinito di V(r)

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Estensione a Processi Qualunque (1)• Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da

potenziale:

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Estensione a Processi Qualunque (2)