Post on 31-Dec-2014
description
Ruimtelichamen Wat moeten wij kennen?
1) Leerlingen kunnen aan de hand van voorbeelden illustreren dat bij het tweedimensionaal voorstellen van driedimensionale situaties informatie verloren kan gaan.
a. De leerlingen kunnen aan de hand van voorbeelden uitleggen dat
bijvoorbeeld de onderlinge ligging van rechten niet altijd getrouw afgebeeld wordt in een vlakke voorstelling van een ruimtelijke situatie.
b. Denk hierbij in het bijzonder aan het evenwijdig zijn, het kruisend zijn en het loodrecht zijn van rechten en aan de hoek tussen twee rechten.
2) Leerlingen kunnen de inhoud van sommige ruimtelijke objecten benaderend
berekenen door ze op te splitsen in of aan te vullen tot gekende lichamen
a. Uit de eerste graad kennen de leerlingen de formules voor oppervlakte en inhoud van de voornaamste ruimtefiguren zoals kubus, balk, prisma, piramide, cilinder, bol.
b. Zo kan van een aantal ruimtefiguren (bijvoorbeeld een gebouw) oppervlakten en inhouden berekend worden door opsplitsing van deze figuren in de gekende figuren.
c. Daarnaast kan van een aantal willekeurige ruimtefiguren (denk bijvoorbeeld aan een fles, een wijnglas, een olietank, een badkuip) een benaderende berekening gemaakt worden van oppervlakten en inhouden door de figuren zo goed mogelijk op te splitsen in gekende figuren.
3) Leerlingen kunnen het effect van schaalveranderingen op inhoud en oppervlakte
berekenen.
a. De effecten van schaalveranderingen op inhoud en oppervlakte van balken, prisma’s, piramides en kegels kunnen hier berekend worden.
Ruimtelichamen Recht Prisma Definitie:
Een prisma is een veelvlak waarvan twee zijvlakken congruent en evenwijdig
zijn enalle overige zijvlakken rechthoeken zijn.
Heeft een prisma n opstaande zijvlakken, dan noemen we het een recht prisma.
Oppervlakte: A = 2 x oppervlakte grondvlak + zijdelingse oppervlakte
= 2 x oppervlakte grondvlak + omtrek grondvlak x hoogte
Inhoud: V= oppervlakte grondvlak x hoogte
Speciale gevallen:
Balk: A = 2 ( l.b + b.h + h.l)
V = l.b.h
Kubus: A = 6.z2
V =z3
Cilinder
Definitie:
Een cilinder is een lichaam dat ontstaat als we een rechthoek laten wentelen om
de drager van de zijde.
Oppervlakte: A = 2 x oppervlakte grondvlak + zijdelingse oppervlakte
= 2𝜋r2 + 2𝜋rh
Inhoud: V = oppervlakte grondvlak x hoogte = 𝜋r2h
Piramide
Definitie:
Een piramide is een veelvlak waarvan een zijvlak een veelvlak is en alle overige
zijvlakken driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt zijn.
Wanneer het grondvlak een regelmatige veelhoek is, spreken we van een
regelmatige piramide.
Oppervlakte: A = oppervlakte grondvlak + oppervlakte zijvlakken
= oppervlakte grondvlak + !! omtrek grondvlak x apothema
Inhoud: V = !! oppervlakte grondvlak x hoogte
Ruimtelichamen Kegel Definitie:
Een kegel is een lichaam dat ontstaat als een rechthoekige driehoek laten
wentelen om de drager van een rechthoekszijde.
Oppervlakte: A = oppervlakte grondvlak + !! omtrek grondvlak x apothema
Inhoud: V = !! oppervlakte grondvlak x hoogte
Bol
Oppervlakte: A = 4𝜋r2
Inhoud: V = !! r2
Oppervlakte en Inhoud van Ruimtelichamen
Lichaam Oppervlakte Inhoud / Volume
Prisma
Balk
Kubus
Cilinder
Piramide
Kegel
Bol
Ruimtelichamen
Veelvlakken en veelhoeken 3 dime ns ie s
2 dimensies
Ruimtelichamen
Ruimtelichamen
Ruimtelichamen van 3 dimensionaal naar 2 Dimensionaal Welke.vormen.vind.je.hier.terug.....En.hoe.ziet.die.vorm.in.3dimensies.eruit? Je.zal.opmerken.dat.er.soms.verschillende.ruimtelichamen.dezelfde.2.dimensies.hebben.We.willen.graag.de.oppervlakte.en.het.volume.van.die.'vormen'.of.'lichamen'.kennen.en.berekenen.
Ruimtelichamen van 3 dimensionaal naar 2 Dimensionaal
Ruimtelichamen van 3 dimensionaal naar 2 Dimensionaal
Ruimtelichamen van 3 dimensionaal naar 2 Dimensionaal
Ruimtelichamen van 3 dimensionaal naar 2 Dimensionaal
Ruimtefiguren benoemen
Afhankelijk van de aanwezigheid van platte en gebogen oppervlakken kunnen we de ruimtefiguren, ook wel lichamen genoemd, in 2 grote groepen verdelen:
VEELVLAK NIET-VEELVLAK
= een ruimtefiguur die enkel begrensd
is door platte oppervlakken
= een ruimtefiguur die een gebogen
oppervlak heeft
enkele voorbeelden: enkele voorbeelden:
kubus
bol
balk
cilinder
piramide
kegel
Enkele termen hierbij:.
1: het bovenvlak
2: het zijvlak
3: het grondvlak
4: een ribbe
Het zijvlak van een cilinder en kegel noemen we ook wel een mantel.
1
2
3
4
Benoem deze ruimtefiguren.
……………………………………… ……………………………………… ………………………………………
……………………………………… ……………………………………… ………………………………………
……………………………………… ……………………………………… ………………………………………
Oppervlakte van een kubus, balk en cilinder
De oppervlakte wordt uitgedrukt in vierkante meter (m²) of de daarvan afgeleide maateenheden (dm², cm² of mm²).
Kubus
Om de oppervlakte van een kubus te kennen, bereken je de oppervlakte van één zijvlak en vermenigvuldig je die met 6.
voorbeeld:
oppervlakte van één zijvlak: 1 cm . 1 cm = 1 cm²
totale oppervlakte van de kubus: 6 . 1 cm² = 6 cm²
Balk
Om de oppervlakte van een balk te kennen, bereken je de oppervlakte van het grondvlak (of bovenvlak), voorvlak (achtervlak) en een zijvlak. Daarna vermenigvuldig je elke oppervlakte met 2 en tel je vervolgens alle oppervlakten op.
voorbeeld:
2 . (l . b) 2 . (2 cm . 1 cm) = 2 . 2 cm² = 4 cm²
2 . (b . h) 2 . (1 cm . 3 cm) = 2 . 3 cm² = 6 cm²
2 . (l . h) 2 . (2 cm . 3 cm) = 2 . 6 cm² = 12 cm²
Totale oppervlakte 22 cm²
+
h
l
b
Cilinder
Om de oppervlakte van een cilinder te kennen, tel je de oppervlakte van het grondvlak, het bovenvlak en de mantel op.
voorbeeld:
1: mantel
2: bovenvlak
3: grondvlak
stap 1: oppervlakte mantel: = omtrek grondvlak . h = (2 . ∏ . r) . h = (2 . ∏ . 2 cm) . 6 cm = (2 . 3,14 . 2 cm) . 6 cm = 12,56 cm . 6 cm = 75,36 cm² stap 2: oppervlakte van de twee gelijke cirkels (= grondvlak en bovenvlak) oppervlakte van één cirkel: ∏ . r . r = 3,14 . 2 cm . 2 cm = 12,56 cm²
oppervlakte van twee cirkels: 2 . 12,56 cm² = 25,12 cm² stap 3: totale oppervlakte: 75,36 cm² + 25,12 cm² = 100,48 cm²
h=6 cm
1
3
2
6 cm
4 cm
1
OEFENINGEN
1 Bereken de oppervlakte van onderstaande ruimtefiguren.
berekening:
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
oppervlakte = ………………… cm²
berekening:
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
oppervlakte = ………………… cm²
berekening:
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
oppervlakte = ………………… m²
berekening:
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
oppervlakte = ………………… m²
3 cm
1 cm
10 cm
2 cm
5 m
Bereken de oppervlakte van de cilinder.
berekening:
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
oppervlakte = ……………………… cm²
berekening:
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
oppervlakte = ……………………… m²
Een kubus schilderen.
Een kubus met een zijde van 3 m moet volledig geschilderd worden. Een pot verf van 2 liter is goed voor 25 m². Hoeveel potten verf zijn er nodig?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Antwoord:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2 cm
7 cm
5 m
18 m
3 m
Reclame maken.
Om de pennenzakken te promoten, plant het bedrijf een grote reclamecampagne. Het reclamebureau wil wagens met een reuzenpennenzak in de stad laten rondrijden. Hoeveel m² reclame kan er op de reuzenpennenzak? Berekening:
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Antwoord:
Er kan ……………… m² reclame op de reuzenpennenzak.
Els verjaart!
Els wordt 17 jaar en daarom hebben mama en papa besloten dat ze voor haar verjaardag
een gsm krijgt. Mama heeft de gsm al gekocht. Nu moet ze de doos nog inpakken. Hoeveel inpakpapier zal mama zeker nodig hebben? Berekening:
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Antwoord:
Mama heeft zeker ……………….. inpakpapier nodig
20 cm
5 cm
10 cm
Ontvouwing van een prisma : Hieronder zie de een schets van een regelmatig zeszijdig prisma waarvan de zijde van het grondvlak 2 cm en de hoogte 3 cm bedraagt: Teken de ontvouwing van dit prisma:
prisma. Een prisma is een veelvlak met tenminste twee evenwijdige zijvlakken en zo dat de ribben die niet in deze zijvlakken liggen evenwijdig zijn. Een prisma is recht wanneer de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan. Een prisma is regelmatig als het grondvlak een regelmatige veelhoek is. Een n-zijdig prisma heeft een grondvlak dat een n-hoek is. Ontwikkeling:
Formules voor oppervlakte en inhoud
Oppervlakte A van eenvoudige vlakke figuren
Rechthoek
A = b h
Driehoek
2h bA =
α= sin b a21A
Trapezium
h2
bBA +=
A = m h
b
h
B
b
m h
αh
b
a
Cirkel
A = π r 2
( omtrek = 2 π r )
Cirkelsector (= kromlijnige driehoek)
2r 21A α= (α in radialen)
r =bmet r b21a α= (α in radialen)
Deel van een cirkelring (kromlijnig trapezium)
A R r
A R r R r
= −
= − +
12
12
2 2α
α
( )
( ) ( )
A = m (R − r)
Cirkelsegment
)sin(r21
sinr21r
21A
2
22
α−α=
α−α= (α in radialen)
α
b
r
r
R − rα
m
rR
rα
Inhoud V van eenvoudige ruimtelichamen
Prisma
V = h G
Piramide
G h 31V =
Afgeknotte piramide
)BB.GG(h 31V ++=
h
G
h
G
G
B
h
Cirkelcilinder
V = π r 2 h
Cirkelkegel
h r 31V 2π=
Afgeknotte cirkelkegel
)rRrR(h31V 22 ++π=
h
r
h
r
h
R
r
Buis (holle cilinder)
V = π h (R 2 - r 2)
V = hoogte*dikte*omtrek cirkel met gemiddelde straal
Oppervlakte A en inhoud V van een bol
A = 4 π r 2
3r34V π=
r
(R+r)/2R r
dh