Post on 10-Jul-2015
a uma incógnita
P r ó C i n t h i a
Ao longo da his tória da Matemática encontramos várias referências a matemáticos que es tudaram métodos de resolução de equações do 2 grau.º
Os matemáticos da Babilónia já res olviam equações do 2 grau des de 2000 a.C .;º
Os gregos res olviam também equações do 2 grau à ºbase de problemas geométricos ;
No s éculo IX, os árabes des envolveram vários trabalhos s obre a res olução de equações des te tipo. No entanto, todos eles cons ideravam apenas as soluções pos itivas .
No século XVI, os matemáticos Europeus começaram a resolver as equações do 2 grau por proces s os algébricos . ºViéte foi o primeiro a us ar letras para repres entar incógnitas .
Picture 8
Um Pouco de História
Picture 12
Depois de falarmos um pouco sobre alguns
matemáticos importantes na his tória das equações do 2 grau, ºnão poderíamos deixar de falar no brilhante matemático
Português Pedro Nunes .
E s te matemático
Português do século XVI realizou
uma grandios a obra na área da
Matemática, Fís ica, As tronomia e
nas s uas aplicações à Náutica.
No que diz res peito às equações ,
Pedro Nunes res olvi-as com
grande rigor de raciocínio embora
s em us ar linguagem s imbólica.
Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda a
equação do tipo:
Com a, b e c números reais e
02 =++ cbxax
0≠a
Equação na forma canónica
0cbxax2 =++
Termo em x2 Termo em x Termo independente
Mas afinal o que é uma equação do 2º grau?
Complete a tabela:
Equação do 2º grau
Equação na forma canónica
a b c
082 =−x
523 2 =+ xx
02 =x
2
2
1xx =
33
15 2 += xx
0523 2 =−+ xx
082 =−x
02 =x
02
1 2 =+− xx
033
15 2 =−− xx
1
1
1
0
0 0
0
8−
3 2 5−
2
1−
53
1− 3−
Termo em x e/ou o termo independente são nulos.
Equações do 2º grau
Completas
Incompletas
Todos os termos são diferentes de zero.
0523 2 =−+ xx
033
15 2 =−− xx
082 =−x
02 =x
02
1 2 =+− xx
EquaçõesIncompletas
Como vimos, existem três tipos de equações incompletas:
0 e com , 0 2 ≠=+ cacax1.
0 com , 0 2 ≠= aax2.
0 e com , 0 2 ≠=+ babxax3.
, a e c ∈ IR
, a ∈ IR
, a e b ∈ IR
Resolução de Equações
do 2º Grau Incompletas
“Quais são os números que elevados ao quadrado são iguais a 25?”
Um Problema…
O problema pode ser traduzido pela equação:
252 =xAgora, resolvendo a equação vem:
252 =x 25±=⇔ x 5±=⇔ x 55 =∨−=⇔ xx
Portanto, { }5,5.. −=SC
Resposta: Os números são o -5 e o 5.
Resolva a equação:
252 −=⇔ x
Equação impossível em IR, pois qualquer número real ao quadrado é maior ou igual a zero.
Exercícios: resolva as equações
02 =+ cax 0 e ≠ca
1) 22 56 xx =− ⇔=⇔=⇔=⇔=−⇔ 15
55556 22222 xxxxx
111 =∨−=⇔±=⇔ xxx{ }1,1.. −=SC
, a e c ∈ IR• Equações do tipo com
025x2 =+
2)
3)
43)3( −=+ xxx
0328 2 =+− x
4433433 222 −=⇔−=−+⇔−=+⇔ xxxxxxx
Equação impossível em IR
⇔±=⇔=⇔−
−=⇔−=−⇔ 448
32328 222 xxxx
22 =∨−=⇔ xx
{ }2,2.. −=SC
Resolução de Equações do 2º Grau Incompletas
• Equações do tipo , com02 =ax 0≠a
Exercícios:Resolva as equações:
1)
2)
02 2 =x
08 2 =− x
2
02 =⇔ x ⇔=⇔ 02x
0=⇔ x
8
02
−=⇔ x ⇔=⇔ 02x
0=⇔ x
{ }0.. =SC
{ }0.. =SC
x
y
-2 -1 0 1 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
-2 -1 0 1 2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Resolução gráfica:
À representação gráfica destas equações chamamos parábolas.
e a ∈ IR
Então, de um modo geral, sendo , vem:
02 =ax
0≠a
ax
02 =⇔ 02 =⇔ x 0=⇔ x
Logo,{ }0.. =SC
Uma equação de 2º grau do tipo , com
e a ∈ IR, tem uma única solução: o número 0.
02 =ax 0≠a
Exercícios:
1)
2)
636 22 +=− xx
xxx 39)6(3 2 −−=+−
⇔−=−−⇔ 663 22 xx
04 2 =−⇔ x4
02
−=⇔ x 02 =⇔ x 0=⇔ x
{ }0.. =SC
⇔−−=−−⇔ xxx 39183 2
18339 2 +−=⇔ xxx 189 2 =⇔ x ⇔=⇔9
182x
22 =⇔ x 2±=⇔ x
{ }2,2.. −=SC