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Dipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica
Marina Barbiroli – Propagazione M
Propagazione in presenza di discontinuità:Riflessione e Rifrazione
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Marina Barbiroli – Propagazione M
Propagazione in presenza di ostacoli
• L’onda elettromagnetica subisce diverse interazioni con l’ambiente dipropagazione reale prima di giungere al ricevitore; i fenomeni piùimportanti sono:
1. Riflessione2. Rifrazione (Trasmissione)3. Diffrazione4. Diffusione (Scattering)
Diffusione
Trasmissione
Riflessione
Diffrazione
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Obiettivo
• Vogliamo studiare l’effetto di una discontinuità data da un piano diseparazione tra mezzi omogenei.
• Considereremo il caso di una superficie di separazione tra duesemispazi omogenei: qui il segnale incidente verrà sia riflesso chetrasmesso e vedremo come calcolare le parti riflesse e trasmesse.
• A tale scopo applicheremo le condizioni di continuità sulla superficie diseparazione tra mezzi.
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Ipotesi
• Per semplificare la trattazione di queste situazioni si ricorre al concetto diONDA PIANA LOCALE:
• Si ammette che ciascun raggio incidente abbia in tutti i punti uncomportamento analogo a quello di un’onda piana TEM avente in tutto lospazio le medesime condizioni di incidenza valide localmente per il raggio.
• Ogni raggio incidente sulla superficie di discontinuità dà luogo ad unraggio riflesso e ad uno rifratto che dipendono dalle caratteristicheelettromagnetiche dell’oggetto in un intorno del punto di riflessione e dalleproprietà del campo incidente nel punto di riflessione.
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Definizione del problema
• Si considerino due semispazi costituiti da due mezzi normali, il primo dicaratteristiche ε1, μ1 e σ1, il secondo con caratteristicheε2, μ2 e σ2
• La superficie di separazione è data dal piano x=0
• Si assume che il campo incidente sia dato da un’onda piana uniformecon componenti del vettore di propagazione entrambe positive.
• Si indichino il pedice “i” le grandezze, note, relative al campo incidente,coi pedici “r” e “t” le grandezze relative alle onde riflesse e trasmesse.
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Condizioni di continuità
• Le equazioni di Maxwell sono definite in volumi nei quali si assume chele proprietà del materiale siano descritte da funzioni continue edinfinitamente derivabili.
• E’ importante descrivere le condizioni a cui devono soddisfare i campisulle superfici di discontinuità (presenza di discontinuità di primaspecie), sulle quali non è possibile applicare le equazioni di Maxwell,perché in tali punti non è possibile calcolare la derivata.
n̂
!̂
1
2
S"
n"
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Riflessione e rifrazione
• Consideriamo quindi un’onda piana uniforme incidente sul piano diseparazione tra i due mezzi
vettore di propagazione vettore attenuazione vettore di fase vettore posizione
!
E i= E
i0" e
#S i"r
!
" H i = H i0 # e$S i #r =
S i % E i0
j&µ1
# e$S i #r
!
S = a + jk
!
S :
!
a :
!
k :
!
r :
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• I campi riflesso e trasmesso necessari per scrivere le condizioni dicontinuità sono:
• Le incognite sono i coefficienti di ampiezza dei campi ed i vettori dipropagazione. Per ottenere i loro valori si impongono le condizioni dicontinuità sul piano x=0 (non esistono cariche superficiali sullasuperficie di separazione):
!
E r = E r0 " e#S r "r
$ H r = H r0 " e#S r "r =
S r % E r0
j&µ1
" e#S r "r
!
E t = E t0 " e#S t "r
$ H t = H t0 " e#S t "r =
S t % E t0
j&µ2
" e#S t "r
rS
t
rS
r
rS
i
tri eEeEeE!"!"!"
!=!+!###
000
Riflessione e rifrazione
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Marina Barbiroli – Propagazione MValeria Petrini - Propagazione MUniversità degli Studi di Bologna - DEIS
• Affinché questa condizione sia verificata, i fattori esponenziali devonoessere uguali tra loro:
• Si ottengono quindi dei vincoli sulle componenti dei vettori dipropagazione che devono valere sul piano di separazione tra i mezzi.
rSrSrStri!=!=!
!
H i0
"# e
$S i#r
+ H r0
"# e
$S r#r
= H t0
"# e
$S t#r
Riflessione e rifrazione
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Onda riflessa
• Ricordando che per un’onda piana uniforme e che il mezzo 1 èsenza perdite, l’ultima condizione impone:
• Da cui risulta:
• Si può dimostrare che, per la prima relazione solo la soluzioneè compatibile con il problema.
• ⇒ anche l’onda riflessa è un’onda piana uniforme come l’ondaincidente
!
a = 0
!
S i " r = S r " r # jk i " r = a r + jk r( )" r
!
a r" r = 0
kr " r = k i " r
# $ %
!
ar
= 0
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• Essendo:
• Dalla seconda relazione segue:
• E’ possibile dimostrare che l’onda piana riflessa è sempre dello stessotipo di quelle incidente, qualunque sia il mezzo da cui proviene (con osenza perdite).
!
kr
= ki
=" µ1#1
riri!!!! ="= sinsin
Onda riflessa
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Onda trasmessa
• Per quanto riguarda l’onda trasmessa dal mezzo 1 al mezzo 2abbiamo:
• Essendo i mezzi in cui si propagano le due onde, differenti, l’ondatrasmessa può quindi essere indifferentemente uniforme oevanescente ma deve comunque rispettare la continuità dellecomponenti tangenti del vettore di propagazione:
!
a t" r = 0
k t " r = k i " r
# $ %
!
k i sin" i= k t sin" t
# sin"t
=k i
k t
sin"i
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• Consideriamo il secondo mezzo senza perdite
• Caso 1: onda trasmessa piana uniforme
• Questa relazione è valida sempre, qualunque siano le caratteristiche,dielettriche e magnetiche, dei mezzi.
• Per materiali dielettrici in cui e con(i=1,2) risulta:
Legge di Snell
!
(at
= 0)
it!"µ!"µ sinsin
1122=
!
µi= µ
0
!
"i
= "0"ri
= "0ni
!
n1sin"
i= n
2sin"
t
Onda trasmessa
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• Caso 2: onda trasmessa piana evanescente
• Il passaggio dalla situazione in cui l’onda trasmessa è piana uniforme aquella in cui è piana evanescente si ha per quel particolare valoredell’angolo di incidenza, detto angolo critico (indicato con ϑc) per cuivale:
• Oltre l’angolo critico l’onda trasmessa è quindi evanescente:
• Per poter parlare di angolo critico deve essere n1>n2
21sin nn
c=!
!
"c
= arcsinn2
n1
Onda trasmessa
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• Dall’espressione della componente lungo x del vettore dipropagazione, si ha propagazione nella direzione di z ma attenuazionenella direzione x nonostante il mezzo sia senza perdite e quindi l’ondasia evanescente.
• Poiché la potenza attiva si attenua per x crescente, essa rimanesostanzialmente confinata nel semispazio inferiore. Si parla quindi diriflessione totale del campo.
!
cos" t = ± 1# sin2" t = ± j sin
2" t #1 = # j1
n2
n1
2sin
2" i # n22$
$ kxt = k0n2cos" t = # jk
0n1
2sin
2" i # n22
Onda trasmessa
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Formule di Fresnel
• Si sono trovate le relazioni tra i vettori di propagazione delle ondeincidente, riflessa e trasmessa ma non le relazioni tra le ampiezze deicampi.
• Per fare ciò si sfrutta la linearità delle equazioni di Maxwell e si scompone ilproblema in due parti indipendenti più semplici da analizzare.
• Ruotando il sistema di riferimento in modo tale che non ci siano variazionilungo y, il piano x-z è assunto come piano di incidenza.
• Le equazioni di continuità sono divise in due gruppi indipendenti, quelle percui l’unica componente di campo elettrico è parallela a y (TE) e quelle percui tale relazione è valida per il campo magnetico (TM).
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• Campo TE:
• Campo TM:!
E = Ei0ye" j k i #r
ˆ y
H =1
$1
ˆ k i % E = "1
$1
Ei0ye" j k i #r ˆ &
'
( )
* )
!
H = Hi0ye" j k i #r
ˆ y
E =$1H % ˆ k i =$
1Hi0ye
" j k i #r ˆ &
'
( )
* )
Formule di Fresnel
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• La direzione di propagazione è la stessa per i campi TE e TM, cioèquella del vettore di propagazione ; quello che cambia sono lecaratteristiche della propagazione nella direzione ortogonale allasuperficie di separazione.
• E’ possibile ora calcolare i coefficienti di riflessione e trasmissione neidue casi. !
ki
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Caso TE• Imponendo le condizioni di continuità sulla superficie di separazione
(x=0) si ha:
• I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono:iE r
E
tE
tH
rH
iH
x
!"#
=+
=+
tzrziz
tyryiy
HHH
EEE
!"
!#
$
=%
=+
&t
ty
r
ry
i
iy
tyryiy
EEE
EEE
'(
'(
'(
coscoscos
211
!
"TE =Ery
Eiy
=#2cos$ i %#1 cos$ t
#2cos$ i +#
1cos$ t
=n1cos$ i % n2 cos$ t
n1cos$ i + n
2cos$ t
&TE =Ety
Eiy
=2#
2cos$ i
#2cos$ i +#
1cos$ t
=2n
1cos$ i
n1cos$ i + n
2cos$ t
!
"TE
=1+ #TE
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Caso TE
• Applicando la legge di Snell:
• Introducendo l’angolo di elevazione :
!
sin"t
=n1
n2
sin"i# cos"
t= 1$
n1
n2
sin"i
%
& '
(
) *
2
=n1
n2
n2
n1
%
& '
(
) *
2
$ sin2"i
!
" #TE
=
cos$i%
n2
n1
&
' (
)
* +
2
% sin2$i
cos$i+
n2
n1
&
' (
)
* +
2
% sin2$i
i!
"! #=
2
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Caso TE
• Il coefficiente di riflessione per il caso TE risulta:
• Il coefficiente di trasmissione per il caso TE risulta:
!
"TE
=
sen# $n2
n1
%
& '
(
) *
2
$ cos2#
sen# +n2
n1
%
& '
(
) *
2
$ cos2#
!
"TE
=2sin#
sin# +n2
n1
$
% &
'
( )
2
* cos2#
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Caso TE
• Riprendendo il concetto di riflessione totale per cui:
• Nel caso di mezzi dielettrici si può scrivere:
!
cos" t = # j1
n2
n1
2sin
2" i # n22
!
"TE =n1cos# i $ n2 cos# t
n1cos# i + n
2cos# t
=n1cos#i + j n
1
2sin
2#i $ n22
n1cos#i $ j n
1
2sin
2#i $ n22
=A + jB
A $ jB= e
j2arctgB
A
%
& '
(
) *
!
"
#TE =1
arg #TE( ) = 2arctgn12 sin2$ i % n2
2
n1 cos$ i
&
' (
) (
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Caso TM• Imponendo nuovamente le condizioni di continuità su x=0:
• Da cui si ricavano:
!
Eiz + Erz = Etz
Hiy +Hry = Hty
" # $
%Hiy&1 cos' i (Hry&1 cos' r = Hty&2 cos' t
Hiy +Hry = Hty
" # $
iE
rE
tE
tH
rH
iH
x
2 2
21 1 2 21
2 2 10 0 12
22
10 0221 1 2
21
2 2 1
2 2
22 2
1 1
2
2 2
1 1
cos sincos cos
cos coscos sin
cos sin
cos
i ii t
r y r
TM
i y ii t
i i
i i
i
n n n nn
n n nH E nn
nH E nn n nn nn n n
n n
n n
n n
n n
!
!
" "" "
" "" "
" "
"
# $ # $% & %% ' ( ' (
) * ) *+ = = = = & =# $# $+
+ & % ' (' () *) *
# $ # $% %' ( ' (
) * ) *=
# $+' (
) *
2
2sin
i"
# $%' (
) *
ρ
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2 2
22 2
1 1
2 2
22 2
1 1
sin cos
sin cos
TM
n n
n n
n n
n n
! !
! !
" # " #$ $% & % &
' ( ' () =
" # " #+ $% & % &
' ( ' (
Caso TM• E ricordando il legame tra il coefficiente di riflessione e il coefficiente di
rifrazione:
• E l’angolo di elevazione, si ottiene:
ρ
0 0
0 0
1t y r
TM TM
i y i
H E
H E
!
!
" = = = +#ρ
2
2
1
2 2
22 2
1 1
2 sin
sin cos
TM
n
n
n n
n n
!
"
! !
# $% &' (
=
# $ # $+ )% & % &
' ( ' (
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Caso TM
• Nel caso di onda incidente di tipo TM, si può verificare il fenomenodella rifrazione totale:
• Ricordando la legge di Snell:
• Affiché siano soddisfatte entrambe le equazioni deve essere
!
"TM
= 0ti
nn !! coscos12
="
!
n1sin"
i= n
2sin"
t
!
"n2
n1
=cos#
t
cos#i
=sin#
i
sin#t
=cos($ /2 %#
i)
cos($ /2 %#t)
1
2tan
n
n
B=!
(12)2
i t
!" "+ =
Angolo di Brewster
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Considerazioni
• Ponendo n = n2/n1 i coefficienti per i casi TE e TM risultano:
!
"TE
=cos#
i$ n
2 $ sin2#
i
cos#i+ n
2 $ sin2#
i
"TM
=n
2cos#
i$ n
2 $ sin2#
i
n2cos#
i+ n
2 $ sin2#
i
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Riepilogo
• Imponendo le condizioni di continuità all’interfaccia tra i due mezzi, si ha:1. Legge di Snell della riflessione: onda riflessa dello stesso tipo di quella
incidente e
2. Legge di Snell della rifrazione:
Onda rifratta uniforme:
Onda rifratta evanescente:
3. Leggi di Fresnel:• Onda TE:• Onda TM:
ir!! =
tinn !! sinsin21
=
)/arcsin( 12 nnci=!""
ci!! <
!
Er
= "TEEi E
t= #
TEEi
!
Hr
= "TMH
i H
t= #
TMH
i
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Riflessione e rifrazione: caso ideale
• Onda diretta, riflessa e rifratta piana uniforme ⇒ immediata rappresentazione a raggi della propagazione• Raggio riflesso
– L’espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dalpunto di riflessione (PR) è:
• Raggio trasmesso– Analogamente per il raggio trasmesso risulta:
!
r E r s( ) =
r E r
TEs( ) +
r E r
TMs( ) =
"TE 0
0 "TM
#
$ %
&
' ( )
r E i
TEPR( )
r E i
TMPR( )
#
$ % %
&
' ( ( ) e
* j+s
!
r E t s( ) =
r E t
TEs( ) +
r E t
TMs( ) =
"TE 0
0 "TM
#
$ %
&
' ( )
r E i
TEPR( )
r E i
TMPR( )
#
$ % %
&
' ( ( ) e
* j+s
PR: punto di riflessione
PR: punto di riflessione
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Riflessione e rifrazione: caso reale
• I risultati ottenuti nel caso del piano ideale restano validi in situazionirealistiche più generali purché le superfici d’onda e di interfaccia sianolocalmente piane.
⇒ Le grandezze in gioco nel sistema (ed in particolare i raggi di curvatura) >>λ
• L’espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dal punto diriflessione (PR) diviene pertanto:
!
E r(s) = E rTE(s) + E r
TM(s) =
"TE 0
0 "TM
#
$ %
&
' ( )
E iTE(PR )
E iTM(PR )
#
$ %
&
' ( )
r1
r ) r2
r
r1
r + s( ) r2
r + s( )) e
* j+s
θr
θt
θi
PR
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Appendice:calcolo dei coefficienti di riflessione e
trasmissione per la polarizzazione TE e TM
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0 0 0
0 0 0
i y r y t y
i z r z t z
E E E
H H H
! + ="
+ =#
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 2
cos cos cos
i y r y t y
i y i r y i t y t
H H H
H H Hn n n
! ! !" " "
# + =$%
& =$'
0 0 0
1 1 2
0 0 0
0 0 0
cos cos cos
i y r y t y
i y i r y i t y t
E E E
n n nE E E! ! !
" " "
# + =$%& + = &$'
2) Polarizzazione TM:
1) Polarizzazione TE:
Le componenti del campo, tangenti alla superficie di separazione, in caso di polarizzazioneTE e TM sono:
( )
( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
TE TE TE
x x y y
TE TE TE
x x z z
E i E i E i
H i H i H i
!
!
" = # # = $%&% = # # = $'
r r
r r
( )
( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
TM TM TM
x x z z
TM TM TM
x x y y
E i E i E i
H i H i H i
!
!
" = # # = $%&% = # # = $'
r r
r r
0 0 0
0 0 0
i y r y t y
i z r z t z
H H H
E E E
! + ="#
+ ="$
Quindi sulla superficie di separazione tra i mezzi si ottiene:
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1) Polarizzazione TE:
( ) ( ) ( )1 0 1 0 2 0cos cos cos
i y i r y r t y tn E n E n E! ! !" + = "
Substituting then the first equation into the second ...
( )( ) ( )
1 0 1 0 2 0 0
0 1 2 0 1 2
cos cos cos
cos cos cos cos
i y i r y r i y r y t
i y i t r y i t
n E n E n E E
E n n E n n
! ! !
! ! ! !
" + = " + #
" = +
The reflection and transmission coefficients for the TE polarization therefore are:
0 1 2
0 1 2
cos cos
cos cos
r y i t
TE
i y i t
E n n
E n n
! !
! !
"# = =
+
0 1
0 1 2
2 cos
cos cos
t y i
TE
i y i t
E n
E n n
!"
! != =
+
1TE TE! = +"
Si noti che risulta:
And similarly:
( ) ( )( )
( )
0 1 2 0 0 1 2
0 1 0 1 2
cos cos cos cos
2 cos cos cos
i y i t t y i y i t
i y i t y i t
E n n E E n n
E n E n n
! ! ! !
! ! !
" = " + #
= +
Coefficienti di Fresnel
ρ
ρ
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I coefficienti di Fresnel possono essere espressi in funzione del solo angolo θi, utilizzando laLegge di Snell………
2 2
21 1 1 2
2 2 2 1
sin sin cos 1 sin sint i t i i
n n n n
n n n n! ! ! ! !
" # " #= $ = % = %& ' & '
( ) ( )
Thus………2 2
2 22 2
1 1
1 1
2 2
2 22 2
1 1
1 1
cos sin cos sin
cos sin cos sin
i i i i
TE
i i i i
n nn n
n n
n nn n
n n
! ! ! !
! ! ! !
" # " #$ $ $ $/ / % & % &
' ( ' () = =
" # " #+ $ + $/ / % & % &
' ( ' (
Using the elevation or grazing anglei!
"! #=
2
2
22
1
2
22
1
sin cos
sin cos
TE
n
n
n
n
! !
! !
" #$ $% &
' () =
" #+ $% &
' (
And2
22
1
2sin
sin cos
TE
n
n
!"
! !
=
# $+ %& '
( )
1TE TE! = +"ρ
ρ
ρ
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2) Polarizzazione TM:
E dalla seconda equazione:
1 1
0 0
2 2
cos cos cos cosi y i t r y i t
n nH H
n n! ! ! !
" # " #$ = +% & % &
' ( ' (
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 2
cos cos cos
i y r y t y
i y i r y i t y t
H H H
H H Hn n n
! ! !" " "
# + =$%
& =$'
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
1 1 2
cos cos cos
t y i y r y
i y i r y i t i y r y
H H H
H H H Hn n n
! ! !" " "
= +#$%
& = +$'
0 0 0 0
0 0
1 2 1 2
cos cos cos cosi y i t r y i t
H Hn n n n
! ! ! !" " " "
# $ # $% = +& ' & '
( ) ( )
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Si ottiene …
2
2
1
2 2
22 2
1 1
2 sin
sin cos
TM
n
n
n n
n n
!
"
! !
# $% &' (
=
# $ # $+ )% & % &
' ( ' (
2 2
21 1 2 21
2 2 10 0 12
22
10 0221 1 2
21
2 2 1
2 2
22 2
1 1
2
2 2
1 1
cos sincos cos
cos coscos sin
cos sin
cos
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Quindi, considerando l’angolo di elevazione :
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n n
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ρ
ρ
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Dipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica
Marina Barbiroli – Propagazione M
Considerando i coefficienti di riflessione possono essere scritti come:2 1
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2 2 2
cos sin
cos sin
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cos sin
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Se il mezzo 1 è l’aria, per cui , si ottiene:2 r
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cos sin
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cos sin
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ρρ
ρ ρ
Dipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica
Marina Barbiroli – Propagazione M
Calcolo dell’angolo di BrewsterL’angolo di Brewster è pari ad un angolo di incidenza tale per cui il coefficiente di riflessionedella polarizzazione TM è nullo.
Angolo di Brewster
( )
( )
2
1
2
2
2
1
2
2
1
i
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
i
2
2
2
1
2
2
1
4
2
1
i
2
i
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
i
2
i
2
2
2
1
2
2
1
i
2
i
2
2
2
1
2
1
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2
2
2
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2
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n
n
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n
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n
n1
n
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n
n
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n
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