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Sistemas de Processamento Digital
Engenharia de Sistemas e Informática
Ficha 7 2005/2006 4.º Ano/ 2.º Semestre
Projecto de Filtros Digitais IIR Projecto de Filtros IIR O projecto de filtros IIR digitais passa pela utilização de protótipos de filtros analógicos já sobejamente estudados. Na obtenção do filtro digital IIR desejado, duas abordagens podem ser seguidas:
Abordagem 1: • Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. • Aplicar uma transformação na frequência em s • Aplicar uma transformação de s para z.
Abordagem 2: • Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. • Aplicar uma transformação de s para z. • Aplicar uma transformação na frequência em z para se obter outro filtro a partir da
tranformação em z determinada anterirormente.
ESCALA LINEAR RELATIVA
Especificação de Ωp, ∈, Ωs e A:
Relação com Rp e As na escala em dB:
Relação com δ1 e δ2 da escala absoluta:
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PROTOTIPOS BUTTER-WORTH – Passa – Baixo
Este filtro é caracterizado por ter uma resposta plana quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta em frequência é:
( )2
21( )
1c
a NH jΩΩ
Ω =+
N é a ordem do filtro e Ωc a frequência de corte.
Para obter Ha(s), determinam-se os pólos pk de 2( )aH jΩ , considerando só os pólos que se encontram no semi-plano esquerdo de s:
( )( )
Nc
ak
PolosSPE
H js pΩ
Ω =−∏
com 2 (2 1) , 0,1,..., 2 1Nj k Nk cp e k N
π + += Ω = −
Para o caso do filtro Butterworth, especificam-se os parâmetros Ωp, Rp, Ωs e As e determina-se a ordem N do filtro e a frequência Ωc de corte da seguinte forma:
( ) ( )( )
10 1010
10
log 10 1 10 1
2log
p sR A
p S
N⎡ ⎤− −⎣ ⎦=
Ω Ω arredondado ao menor inteiro acima
Como N arredondado será maior que o necessário, as especificações podem exceder Ωp ou Ωs pelo que, para satisfazer exactamente as especificações de Ωp ou de Ωs, Ωc deverá ser:
para Ωp: ( )102 10 1p
pc RN
ΩΩ =
−, para Ωs:
( )102 10 1s
sc AN
ΩΩ =
−
EXERCÍCIO 1
Dado 26
1( )1 64aH jΩ =+ Ω
, determinar a função Ha(s) do filtro.
Solução:
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EXERCÍCIO 2
Projectar no Matlab um filtro de 3ª ordem do tipo Butterworth com Ωc = 0.5.
Solução:
EXERCÍCIO 3
Projectar um filtro passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; Solução:
MATLAB
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EXERCICIO 4
Projectar o filtro do exercício 3 usando o Matlab Solução:
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CHEBYCHEV – Passa – Baixo
Existem dois tipos de filtros Chebychev. Os filtros Chebychev – Tipo I têm uma resposta plana na banda de corte ao passo que os Chebychev – II têm resposta plana na banda de passagem.
Chebychev – I:
em que
Chebychev – II: Este filtro está relacionado com o Tipo I através de uma simples transformação em que:
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Uma aproximação ao projecto de um filtro Chebyshev – II passa por projectar primeiro o
correspondente filtro Chebyshev – I e depois aplicar a transformação para Chebyshev – II.
Filtro Chebyshev –I Filtro Chebyshev –II
Para obter Ha(s), determinam-se os pólos pk de 2( )aH jΩ . Pode ser demonstrado que se pk=σk + jΩk,
K=0, …, N-1 representar os pólos de 2( )aH jΩ localizados no semi-plano esquerdo de s, então:
em que A função transferência obter Ha(s), é dada pela equação:
( )( )a
kk
KH ss p
=−∏
em que se determinando K de modo a que
Para a especificação do projecto de um filtro Chebychev-I, utilizam-se os parâmetros Ωp, Rp, Ωs e As para determinar∈, Ωc e N:
, , e
a ordem N é dada por:
EXERCICIO 5
Projectar um filtro Chebyshev-I passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB;
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Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB;
Solução
MATLAB
EXERCÍCIO 6
Projectar o filtro Chebyshev-I passa-baixo do exercício 5 usando o Matlab.
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EXERCICIO 7
Projectar um filtro Chebyshev-II passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; Solução
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FILTRO ELÍPTICO
Os filtros Elípticos têm a particularidade de apresentar ripple quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta em frequência é:
onde N é a ordem do filtro, ∈ é o ripple na banda de passagem e UN(.) é a função
jacobiana de ordem N.
A ordem N do filtro calcula-se da seguinte forma:
onde e MATLAB
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EXERCICIO 8
Projectar um filtro Elíptico passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; Solução
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TRANSFORMAÇÃO ANALÓGICO-DIGITAL Transformação Impulso Invariante
Dadas as especificações de um filtro digital ωp, ωs, Rp, e As, pretende-se determinar H(z) projectando primeiro um filtro analógico equivalente e depois fazer o seu mapeamento para o filtro digital pretendido. Procedimento de Projecto para uma Transformação Impulso Invariante:
1. Escolher T e determinar as frequências analógicas: pp T
ωΩ = e s
s Tω
Ω =
2. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo Ha(s) através da utilização das especificações Ωp, Ωs, Rp, e As.
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3. Utilizando a expansão em fracções parciais, expandir Ha(s):
4. Transformar os pólos pk analógicos em pólos digitais kp Te para se obter o filtro digital:
EXERCÍCIO 9
Transforme 2
1( )5 6a
sH ss s
+=
+ + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Impulso
Invariante, considerando T = 0.1. Solução
EXERCÍCIO 10
Implemente em MatLab a função imp_invr que implemente a Transformação Impulso Invariante. Solução
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EXERCICIO 11
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; Solução:
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EXERCICIO 12
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:
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EXERCICIO 13
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:
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EXERCICIO 14
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:
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Transformação Bilinear
Este é o melhor método para a transformação de s para z porque não existe aliasing. A Transformação Bilinear baseia-se na seguinte relação:
Resolvendo esta relação em ordem à frequência digital ω e à frequência analógica Ω, obtêm-se as seguintes relações:
e
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que denota a não linearidade destas duas relações. Para calcular Ω é necessário fazer um pré-warping de ω. Dadas as especificações de um filtro digital ωp, ωs, Rp, e As, pretende-se determinar H(z) seguno os seguintes procedimentos de projecto para uma Transformação Bilinear:
1. Escolher o valor para T. Como pode ser arbitrário, pode-se definir T=1. 2. Pré-warping das frequências ωp e ωs, determinando Ωp e Ωs através das funções:
3. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo Ha(s) através da
utilização das especificações Ωp, Ωs, Rp, e As. 4. Obter H(z) fazendo a seguinte substituição:
EXERCICIO 15
Transforme 2
1( )5 6a
sH ss s
+=
+ + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Bilinear,
considerando T = 1. Solução:
MATLAB
EXERCICIO 16
Repita o exercício 15 utilizando o MatLab e a função bilinear. Solução:
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EXERCICIO 17
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:
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EXERCICIO 18
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:
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EXERCICIO 19
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:
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Exercício 20
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução: