Fisica Tecnica per Elettronica

Prof.ssa Matilde Pietrafesa – Prof. A. Nucara

Università Mediterranea

Dipartimento DIIES

1

Il corso fornisce le nozioni di base relative aidiversi meccanismi di trasmissione del calore(conduzione, convezione ed irraggiamento), inregime stazionario e transitorio, ed alle loroapplicazioni nell’ambito dell’elettronica,soffermandosi in particolare sulle tecniche ed isistemi di raffreddamento delle apparecchiatureelettroniche e dei sistemi fotovoltaici.

Obiettivi formativi

Trasmissione del calore in regime stazionario

a) Conduzione

Legge di Fourier Equazione generale della conduzione Conduzione monodimensionale senza generazione di calore

– geometrie piane, cilindriche e sferiche con conducibilità termica costante o variabile con la temperatura

– sistemi composti con conducibilità termica costante

Analogia elettrica Conduzione monodimensionale con generazione di calore Conduzione bi e tridimensionale senza generazione di calore

b) Convezione

Convezione forzata, naturale e mista

Equazioni fondamentali del moto non isotermo

Analisi dimensionale

Raggruppamenti adimensionali (numeri diNusselt, Prandtl , Grashof e Reynolds)

c) Irraggiamento

Radiazioni termiche

Grandezze e leggi fondamentali (Planck, Stefan-Boltzmann, Wien)

Riflessione, trasmissione ed assorbimento

Corpi neri, grigi e reali

Radiosità

Scambio termico fra superfici nere e grigie -Fattori di vista

Trasmissione del calore in regime transitorio

Sistemi a parametri concentrati (sistemi con resistenza interna trascurabile)

Conduzione termica in regime variabile

Metodi numerici di soluzione dell’equazione di scambio termico in transitorio

Metodo delle differenze finite:

formulazione esplicita ed implicita

Raffreddamento delle apparecchiature elettroniche

Carico termico nelle apparecchiature elettroniche Raffreddamento:

a) per conduzioneb) ad aria (in convezione naturale ed irraggiamento; in

convezione forzata) c) a liquido d) ad immersione

Sistemi di raffreddamento :– Alette e piastre di raffreddamento – Ventilatori

Sistemi di rilevamento della temperatura (termocamere).

Raffreddamento dei sistemi fotovoltaici

Energia solare Sfruttamento dell’energia solare per la

produzione di energia elettrica e termica

Raffreddamento dei sistemi fotovoltaici mediante scambiatori di calore – Metodo della differenza di temperatura

media logaritmica– Metodo dell’efficienza

Pannelli fotovoltaici termici (Sistemi PVT)

Sistemi di accumulo energetico

Testi Consigliati

F. Kreith – Principi di Trasmissione del Calore – ed. Liguori.

Y. Cengel – Termodinamica e trasmissione del calore – McGraw-Hill

G. Guglielimini, C. Pisoni – Elementi di trasmissione del calore – Ed. Veschi

Trasmissione del calore

Conduzione

Convezione

Irraggiamento

Scambio termico: trasmissione di energia da una regione ad un’altra dovuta ad una differenza di temperatura.

Calore

Non si può parlare di contenuto di calore di un corpo, essendo esso energia in transito, riconoscibile solo quando attraversa il contorno di un sistema.

La spiegazione fisica della sua natura si è avuta con lo sviluppo della teoria cinetica molecolare.

Energia interna

La somma delle energie cinetica epotenziale di tutte le molecole checostituiscono il sistema rappresenta lasua energia interna, che è quindisomma di tutte le forme microscopichedi energia.

Le particelle durante il loro moto possono traslare, vibrare una relativamente all’altra o ruotare attorno ad un asse.

A questi moti sono associate le energie cinetiche di traslazione, vibrazione e rotazione, la cui somma costituisce l’energia cinetica di una molecola.

Temperatura ed energiaAl crescere della temperatura aumenta la velocità media delle particelle e quindi la loro energia cinetica e conseguentemente l’energia interna del sistema.

In seguito all’emanazione della teoria cinetica il calore fu interpretato come energia associata al moto delle particelle e quindi all’energia interna di un corpo.

Energia termica

Componenti dell’energia internaIn particolare viene chiamata energia termica la componente dell’energia interna di un sistema la cui variazione è proporzionale alla variazione di temperatura.

Un’altra componente dell’ energia interna è infatti legata alle forze intermolecolari ed una terza componente è legata ai legami atomici

ConduzioneE’ un processo mediante il quale l’energia termica si trasmette per contatto diretto tra le molecole senza che si spostino sensibilmente.

Si verifica per effetto dell’interazione delle particelle di dotate di maggiore energia con quelle adiacenti dotate di minore energia.

Conduzione

Lo scambio di energia per conduzione può avvenire nei solidi, nei liquidi e nei gas, ma è il solo meccanismo secondo cui il calore può propagarsi nei solidi opachi.

Essa è anche importante nei fluidi, ma nei mezzi non solidi è di solito associata alla convezione ed all’irraggiamento.

Meccanismi di scambio di energia

Lo scambio di energia può avvenire per urto elastico tra le molecole (nei fluidi) o per diffusione degli elettroni più veloci da regioni a temperatura maggiore verso regioni a temperatura minore (nei metalli);

nei solidi non metallici è invece dovuto alle vibrazioni delle molecole all’interno del reticolo.

Conduzione nei solidi

In generale, nei solidi, la trasmissione del

calore è dovuta alla somma di due componenti:

a) gli effetti delle onde di vibrazione del reticolo

prodotte dal movimento vibratorio delle

molecole che occupano posizioni

relativamente fisse (componente di reticolo)

b) l’energia trasportata dal flusso libero di

elettroni (componente elettronica).

Componenti di reticolo ed elettronica

La componente di reticolo, che prevale nelle sostanze non metalliche, dipende fortemente dalla disposizione delle molecole: per solidi cristallini estremamente ordinati (quali i diamanti) arriva ad esser molto più alta di quella dei metalli puri, nei quali invece il meccanismo prevalente è la componente elettronica.

Conduzione nei fluidi

In un liquido o un gas, invece, le particelle muovendosi urtano tra di loro e con le pareti del contenitore: una parte dell’energia cinetica della molecola più energetica (a temperatura maggiore) si trasferisce allora alla molecola meno energetica (a temperatura minore).

Maggiore è la temperatura, più velocemente le molecole si muovono, più elevato è il numero di tali collisioni e migliore è la trasmissione del calore.

Distribuzione di temperatura

T = f(x,y,z) definisce un campo scalare.

superfici isoterme: superfici caratterizzate da un unicovalore di temperatura, non si intersecano tra loro e siestendono fino ai confini del sistema o si richiudono suse stesse restando tutte all’interno del sistema.

Gradiente di temperatura

gradiente di temperatura in un punto del campo: rapporto tra la variazione di temperatura corrispondente ad un segmento normale alla superficie isoterma passante per quel punto e la lunghezza del segmento stesso.

Gradiente di temperatura e flusso di calore

Il gradiente di temperatura è orientato positivamente verso le temperature crescenti; con la sua definizione ad esso viene associato un campo vettoriale, le cui linee di forza sono perpendicolari alle superfici isoterme

Poiché il calore fluisce spontaneamente da punti a temperatura maggiore verso punti a temperatura minore, il flusso di calore ha verso opposto al gradiente di temperatura

Verso del gradiente e del flusso

atemperaturdigradientex

T0

termicoflussoq 0

T

x

x

T1

2

verso del flusso termico

T

x

1

2

T

x

verso del flusso termico

atemperaturdigradientex

T0

termicoflussoq 0

Densità di flusso di calore

E’ possibile definire un nuovo campo vettoriale, quello del flusso di calore, le cui linee di forza coincidono con quelle del campo del gradiente di temperatura, ossia i due vettori sono paralleli, ma hanno verso opposto.

densità di flusso di calore q: quantità di calore che nell’unità di tempo attraversa l’unità di superficie isoterma

Esempi

Superfici isoterme

Linee di flusso termico

Legge di FourierRange di valori di k

q = -k gradT

k = conducibilità termicadel materiale [W/mK]

Equazione di Fourier

si considera un elemento divolume = dxdydz di unsistema omogeneo ed isotropocon conducibilità termicacostante k ed in assenza dicambiamenti di fase, racchiusoda una superficie

V

S

Principio di conservazione dell’energia

dEc + dEp + dU = dQ - dL

dL =0 non essendoci lavoro di deformazione

dEc = dEp = 0 considerando il sistema in quiete rispetto ad un riferimento inerziale

dQ + dQg = dUdQ = quantità di calore entrante o uscente nel sistema

dQg = quantità di calore generata nel sistema

dU = variazione di energia interna del sistema

I termini dell’equazione

ddSnqdQS

ddVqdQV

gg

ddVT

cUdTmcduV

dTdVkddVkgradTdivddVdivqdQVVV 2

.

Equazione generale della conduzione

02

dVT

cqTkV

g

T

c

qT

g2

c

k

Diffusività termica

Condizioni al contorno

valore assegnato della temperatura sulla superficie di contorno, in funzione della posizione e del tempo;

valore assegnato del flusso di calore che attraversa la superficie di contorno, in funzione della posizione e del tempo;

valore assegnato del flusso di calore che attraversa la superficie di contorno, dipendente dalla differenza tra i valori assunti dalla temperatura sulla superficie stessa e ad una distanza tale da non risentire praticamente del fenomeno di scambio termico in atto (scambio convettivo e/o radiativo).

Regime stazionario e non stazionario

regime stazionario: in qualsiasi punto del sistema la potenza termica entrante è uguale alla potenza termica uscente e non si ha alcuna variazione di energia interna. La temperatura in ogni punto non varia nel tempo

regime non stazionario (distinto tra transitorio o variabile): la potenza è variabile e la temperatura in ciascun punto varia nel tempo. Poiché una variazione di temperatura sta ad indicare una variazione di energia interna, l’accumulo di energia è peculiare del flusso non a regime

Casi particolari

Regime stazionario con generazione di calore

Regime stazionario senza generazione di calore

EQUAZIONE DI LAPLACE

• Regime variabile senza generazione di calore

02 k

qT

gEQUAZIONE di POISSON

02 T

TT2

Conduzione monodimensionale stazionaria senza generazione di calore

con le condizioni al contorno:

per x = 0 T = T1

per x = Δx T = T2

02

2

dx

Td

Integrazione

Una prima integrazione fornisce:

ed una seconda:

0dx

dT

dx

dAte

dx

dT tancos

AdxdT BAxT

Determinazione delle costanti

Imponendo le condizioni al contorno si ricavano le costanti:

BT 1

12 TxABxAT

x

TTA

12

112 Tx

x

TTT

per x = 0 T = T1

per x = Δx T = T2

da cui:

k

x

TT

x

TTk

dx

dTkq

2112

Conduzione monodimensionale stazionaria senza sorgenti di calore

Strato di materiale omogeneo ed isotropo, delimitato da due superfici piane e parallele di estensione infinita, a temperatura costante ed uniforme

T1

T2

x

x1 x2

T1 T2

KA

xR

dx

dTkAq

R

TT

kAx

TTq 2121

Conduzione monodimensionale stazionaria senza sorgenti di calore

Cilindro cavo di materiale omogeneo e isotropo delimitato da due superifici cilindriche di estensione infinita, a temperatura costante ed uniforme

2dr

dTrLkq

dr

dTkAq

R

TT

kL

rr

TTq 21

12

21

2

ln

kL

rrR

2

ln 12

T1 T2

Conduzione monodimensionale stazionaria senza sorgenti di calore

Guscio sferico di materiale omogeneo ed isotropo delimitato da due superfici sferiche a temperatura costante ed uniforme

T1 T2

k

rrR

4

11

21

4 2

dr

dTrk

dr

dTkAq

1

21

21

21

4

11 R

TT

k

rr

TTq

Analogia elettricaL’analogia che collega lo studio dei fenomeni termici ed elettrici trae origine dalla similitudine esistente tra le equazioni che li governano. Si ha infatti che formalmente alla legge di Fourier corrisponde la legge di Ohm e all’equazione di Fourier l’equazione del potenziale elettrico.

Ciò consente di utilizzare alcuni risultati analitici propri della teoria dell’elettricità per lo studio della trasmissione del calore (un tipico esempio si ha nel concetto di resistenza)

L’esistenza di una tale analogia consente quindi di realizzare modelli elettrici per mezzo dei quali è possibile prevedere il comportamento termico di strutture complesse, che difficilmente potrebbero essere studiate analiticamente.

Coefficiente globale di scambio termico

AhAk

x

Ak

x

AhR

R

TTq

eii

i

i

i

ei 11

2

1

1

1

i

totR

UATUAq1

dove

.

Sistemi composti piani

Condizioni al contorno di tipo convettivo:

T1

T2

T3

x1 x2

x1 x2 x3

(hi)

(Ti)(he)

(Te)

Akx

TT

Akx

TTq

22

32

11

21

21

31

2

2

1

1

31

RR

TT

Ak

x

Ak

x

TTq

Ah

TT

Akx

TT

Akx

TT

Ah

TTq

e

e

i

i

11

3

22

32

11

211

4321

2

2

1

1 11 RRRR

TT

AhAk

x

Ak

x

Ah

TTq ei

ei

ei

Sistemi composti cilindriciSuperficie interna:

Cilindro interno:

Cilindro esterno:

Superficie esterna:

r1

r2

r3

Ti

T1T2

T3

Te

L

1

1

1

1

21 R

TT

Lhr

TTq i

i

i

4

3

3

3

21 R

TT

Lhr

TTq e

e

e

.

2

21

1

12

21

2

ln R

TT

Lk

rr

TTq

3

32

2

23

32

2

ln R

TT

Lk

rr

TTq

ei

ei

LhrLk

rr

Lk

rr

Lhr

TTq

32

23

1

12

1 2

1

2

ln

2

ln

2

1

Coefficiente globale di scambio termico

Nel caso di geometria cilindrica le superfici Ai sono diverse. Il coefficiente U può riferirsi a qualsiasi area, ma essendo il diametro esterno più facile da misurare, di solito si usa l’area esterna

i

totR

UATUAq1

dove

.

ei

ei

hk

rrr

k

rrr

hr

r

Lhr

Lr

Lk

rrLr

Lk

rrLr

Lhr

LrU

1lnln

1

2

2

2

ln2

2

ln2

2

2

1

2

233

1

123

1

3

3

3

2

233

1

123

1

3

Spessore critico dell’isolante

Dalle espressioni del flusso risulta come un aumento di r3, lo spessore dell’isolante, faccia aumentare logaritmicamente la resistenza termica di conduzione, ma riduca linearmente la resistenza di convezione.

Per determinare la relazione fra calore trasmesso e spessore dell’isolante va studiata quantitativamente l’espressione analitica.

Spessore critico dell’isolante

e

ei

e

ei

hrk

rr

TTL

LhrLk

rr

TTq

32

23

32

23 1ln

2

2

1

2

ln

Essendo in molte situazioni pratiche la resistenza termicaconcentrata nell’isolante e sulla superficie esterna, si porràche Ti sia la temperatura della superficie interna dell’isolante(ciò equivale a considerare lo strato più interno sottile e di kelevata, così da poter trascurare il salto termico su di esso).

Si trova: è un minimo per la funzione f(r3)

per cui è un massimo per q.

ehrk

rrrf

32

233

1ln

.

e

crh

kr 2

3

Andamento della resistenza termicaSe r < r3cr la resistenza termica R diminuisce con l’aggiunta di isolante se r <r3cr la resistenza termica R cresce con l’aggiunta di isolante

Spessore critico dell’isolante

Se r < r3cr le perdite di calore aumentano con l’aggiunta di materiale isolante se r <r3cr decrescono per aggiunta di materiale isolante. Nei casi pratici tuttavia k2 è molto piccolo ed rcr è più piccolo dello spessore del tubo nudo, per cui è sempre utile isolare.

Conducibilità termica variabile

L’andamento della temperatura dipende dal segno di b:

b>0: k cresce con la temperatura, il materiale è buon conduttore ad alta temperatura e cattivo conduttore a bassa temperatura.

b<0: k decresce con la temperatura ed il materiale è un cattivo conduttore ad alta temperatura e buon conduttore a bassa temperatura.

bTkk 10

k variabile con la temperatura

>0 se b>0

<0 se b<0

=0 se b=0

se b>0 la concavità è rivolta verso il basso,

se b<0 la concavità è rivolta verso l’alto,

se b=0 l’andamento è lineare.

T1

T2

b>0

b=0

b<0

bkdT

dk0

k(t) – Strato piano

Calcolando il valor medio di k sulle due superfici esterne

si ha:

dx

dTAbTkq 10

21 12

120

TTbTTk

21

2

210

21 TTbk

kkkm

x

TTk

A

qm

21

k(t) – cilindro cavo e guscio sferico

Analogamente si ricava:

Cilindro cavo

Guscio sferico

Lk

rr

TTq

m2

ln 12

21

mk

rr

TTq

4

11

21

21

Conduzione monodimensionale stazionaria con generazione di calore

Esempi caratteristici sono le bobine e le resistenzeelettriche, i reattori nucleari e le caldaie.

Il caso più semplice si ha quando la generazione dicalore è costante nel tempo e nello spazio, comenei conduttori percorsi da corrente elettrica, sede digenerazione di calore per effetto Joule:

dove L è la lunghezza ed ro il raggio del conduttore,a sezione cilindrica, I la corrente che lo attraversa eV la tensione

Lr

IV

V

RIqg 2

0

2

.

ro

To

Ts

Te

L

Caso di conduttori cilindrici

L’equazione di Poisson:

utilizzando le coordinate cilindriche e supponendo

che la distribuzione di temperatura dipenda solo dalla distanza radiale: T = T(r), si ha

02 k

qT

g

r,

01

2

2

k

q

dr

dT

rdr

Td g

ro

To

Ts

Te

L

Andamento della temperatura

Utilizzando due condizioni al contorno del tipo:

Con Ts temperatura della superficie esterna.

L’andamento della temperatura: è:

con il massimo sull’asse, per r = ro

)(4

22

0

2

0rr

k

rqTT

g

S

.

0

0

per e 0 rrTTdr

dTS

r

ro

To

Ts

Te

L

Conduzione bidimensionale stazionaria senza generazione di calore

Per una piastra rettangolare sottile senza sorgenti dicalore e con le superfici superiore ed inferioreisolate l’equazione di Laplace diviene:

02

2

2

2

y

T

x

T

Conduzione monodimensionale in regime variabile senza generazione di calore

Per uno strato piano costituito da un materialeomogeneo ed isotropo, che non è sede digenerazione di calore, l’equazione di Fourierdiviene:

T

x

T2

2

,

Metodi numerici

Quando la geometria del sistema e le condizioni alcontorno sono tanto complicate da non consentire néla soluzione analitica, né l’analogica si può ricorrere allesoluzioni numeriche

Si suddivide il sistema in un numero piccolo disottovolumi uguali, supponendo che ciascuno di essi sitrovi alla temperatura del suo punto centrale (puntonodale)

Il trasporto di calore avviene solo tra punti nodali el’energia si immagazzina solo in essi, come se fosserocollegati da fittizi conduttori – resistenze.

Bilancio termico in un punto nodale

In condizioni di regime stazionario, la potenzatermica che fluisce verso ciascun punto nodaledeve essere uguale alla potenza termica chefluisce dal punto nodale (Kirkhoff).

Per soddisfare questa condizione si effettua unbilancio termico in ogni punto nodale,ottenendo tante equazioni algebriche quantisono i punti nodali, che consentono dideterminarne le temperature.

Equazione della temperatura al nodo

Il bilancio termico nel nodo n si scrive:

04321 nnnn qqqq

04321

L

TAk

L

TAk

L

TAk

L

TAk

044321 nTTTTT

n1

2

3

4

n1

2

3

4

Bilancio in un punto nodale esterno

n1

2

3

Se un punto nodale è esterno solo metà della superficieassociata alla conduzione fra punti interni è coinvolta

0

22

022

3

2

1

321

nAn

nn

a

TTk

hLTTTT

TT

TAhL

TAk

L

TAk

L

TAk

Conduzione in regime non stazionario

Si hanno condizioni stazionarie se la potenza termica in un sistema non varia nel tempo: in qualsiasi punto la potenza termica entrante è uguale alla potenza termica uscente. La temperatura in ciascun punto non cambia e non si ha variazione di energia interna

Quando la potenza varia la trasmissione ha invece luogo in condizioni di regime non stazionario. La temperatura in ciascun punto varia nel tempo e c’è variazione di energia interna.

Conduzione in transitorio in sistemi con resistenza interna trascurabile

Sistemi in cui la resistenza conduttiva interna Ri delsistema è così piccola che la sua temperatura si puòassumere uniforme in ogni istante.

E’ possibile adottare questa semplificazione quando laresistenza termica esterna Re tra la superficie delsistema ed il mezzo circostante è tanto grande inconfronto a quella interna da controllare il processo discambio termico. Una misura della relazione fra le dueresistenze è data dal loro rapporto:

e

i

R

R

,

Numero di Biot

K

hL

hA

kAL

R

R

e

i /1

/

adimensionale, con:

h coefficiente di convezione del fluido circostantek coefficiente di conducibilità termica del corpoL una sua lunghezza significativa, che si ottiene dividendoil volume V del corpo per l’area A della sua superficie

Il rapporto prende il nome di Numero di Biot, Bi.Se Bi < 0,1, ossia Ri < 10% Re l’errore introdotto è < 5%.

Raffreddamento di un piccolo corpoa temperatura uniforme

Un esempio di sistemi con Bi < 0,1 è dato dalraffreddamento di un piccolo corpo, estratto da un fornoa temperatura uniforme, che venga immerso in un fluidoa temperatura costante Te così rapidamente da potereapprossimare la variazione della temperatura ambientecon una variazione a gradino.

Bilancio di energia in un intervallo di tempo dt:

c, ρ = calore specifico, densità del corpo

il segno – indica che l’energia qdt è ceduta dal corpo

qdU

dtTThAVdTc e

Andamento della temperatura

Essendo Te costante, il bilancio può anche scriversi come:

dt

Vc

hA

TT

TTd

e

e

Integrando fra il tempo t = 0 ed il tempo t, con condizioni al contorno:

ttTTtTT per ,0per 0

t

Vc

hA

TT

TT

e

e

0

ln

eo

e

TT

TT

hA

Vct

t

tVc

hA

e

e eTT

TT

0

Costante di tempo del sistema

La quantità

avendo le dimensioni di un tempo, prende il nome dicostante di tempo del sistema. Essa indica la velocità dirisposta di un sistema ad una sola capacità ad unaimprovvisa variazione della temperatura ambiente.

Per t =

la differenza di temperatura è pari al 36,8% delladifferenza iniziale

Ah

Vc

Ah

Vc

eo TTV

cVC Ah

R1

Rete elettrica equivalente

Nella rete elettrica equivalente alla rete termica ilsistema è costituito da una sola capacità, che,caricata al potenziale To, si scarica attraverso laresistenza 1/hA.

I risultati si possono esprimere mediante parametriadimensionali. Essendo L = V/A l’esponente diviene:

tVc

hA

cL

th

.

Numero di Fourier

Moltiplicando e dividendo per kL si ha:

Ponendo:

Fo = Numero di Fourier

22 L

tBi

cL

kt

k

hL

kL

kL

cL

ht

.

2L

tFo

0

e FoBi

e

e eTT

TTFoBi

cL

ht

.

Esercizio 1

Determinare il flusso termico per unità di area che attraversa inregime permanente una lastra piana (k = 0.19 W/mK) spessa 38mm con le due facce mantenute alle temperature T1 = 311 K e T2

= 294 K.

1T

x

T2

k

2

21 85038.0

)294311(19.0

m

W

m

KmK

W

x

TTk

A

q

Esercizio 2

Il coefficiente di scambio termico per convezione di un fluidocaldo che scorre alla temperatura Tf = 394 K su una superficiefredda alla temperatura Tp = 283 K vale h = 227 W/m2K.Determinare il flusso termico unitario trasmesso dal fluido allasuperficie.

fT

Tp h

222

2,2525197)283394(227m

kW

m

WK

Km

WTTh

A

qpf

Esercizio 3

Determinare il raggio critico per un tubo ricoperto di isolante (k =0.208 W/mK) esposto ad aria il cui coefficiente di scambiotermico convettivo è hi = 8.51 W/m2K.

h

k

cmm

Km

WmK

W

h

kr 44.20244.0

51.8

208.0

2

Esercizio 4Un forno industriale è costruito con una muratura di mattoni (k1 = 0.95W/mK) spessa 0.22 m ed è ricoperto all’esterno da uno strato di 0.03m di materiale isolante (k2 = 0.06 W/mK). La superficie interna delmuro si trova alla temperatura di 1000°C mentre quella esternadell’isolante a 40°C. Calcolare la quantità di calore trasmessa per unitàdi superficie e la temperatura interfacciale fra il muro e l’isolante.

1TT2 T3

1x x2

k1 k2

mK

W

m

mK

W

m

K

k

x

k

x

TT

A

q

06.0

03.0

95.0

22.0

)401000(

2

2

1

1

31

Km

W2

1312

A

q

C

mK

W

m

m

WT

k

x

A

qT

k

x

TT40

06.0

03.01312

23

2

2

2

2

2

32 C696

Esercizio 5In un cilindro di rame, i cui raggi interno ed esterno valgonorispettivamente 1 cm e 1.8 cm, la superficie interna e quella esternasono mantenute alle temperature T1 = 305 K e T2 = 295 K e k varia conla temperatura secondo la legge k = ko(1+ bTm), con ko = 371.9 W/mK eb = - 9.25 x10-5 K-1. Valutare le perdite di calore per unità di lunghezza.

2r1r

k

mk

rr

TT

L

q

2

)/ln( 12

21 )1( mom bTkk 2

21 TTTm

K

KK300

2

295305

)1( mom bTkk 371.9 KKmK

W300)1025.91( 15 361.58

mK

W

Esercizio 6Un tubo di acciaio con diametro esterno di 7.5 cm è ricoperto con unostrato di 1.25 cm di materiale plastico (k1 = 0.207 W/mK), il quale è a suavolta rivestito da uno strato di 5 cm di lana di vetro (k2 = 0.055 W/mK).Sapendo che le temperature esterne del tubo di acciaio e della lana divetro valgono rispettivamente T1 = 200°C e T3 = 35°C determinare il flussotermico trasmesso per unità di lunghezza e la temperatura interfacciale frail materiale plastico e la lana di vetro T2.

1T

T2

T3

1rr 2 r 3

Lkam

klv

m

W

mK

W

mm

mK

W

mm

K

k

rr

k

rr

TT

L

q85.73

0548.02

05.01.0ln

207.02

0375.050.0ln

)35200(

2

ln

2

ln

2

23

1

12

31

kL

rr

TTq

2

)/ln( 23

32T2 = T3 +

kL

rrq

2

)/ln( 23 =

)5/10ln(

055.02

85.73

35 cmcm

mK

Wm

W

C

183.66°C

Esercizio 7Un materiale spesso 15 cm (k = 0.87 W/mK) è esposto ad aria a 25°Cdal lato interno ed a 0°C dal lato esterno. Sapendo che il coefficiente discambio convettivo interno hi vale 10.46 W/m2K mentre quello esternohe vale 52.3 W/m2K determinare il flusso termico e la temperatura sulledue facce del materiale.

Ti Te

hi he

1x

T2T1 k

2

22

1.87

46.10

1

87.0

15.0

3.52

1

)025(

11 m

W

Km

W

mK

W

m

Km

W

K

hk

x

h

TT

A

q

ei

ei

C

Km

W

m

W

CAh

qTT

h

TT

A

q

i

i

i

i

7.16

46.10

1.87

251

2

2

1

1

C

Km

W

m

W

CAh

qTT

h

TT

A

q

e

e

e

e

7.1

3.52

1.87

01

2

2

2

2

Esercizio 8

Del vapore scorre in un tubo di acciaio con raggio interno pari a 5 cmed esterno pari a 5.7 cm, rivestito da uno strato di isolante di 2.5 cm. Icoefficienti di scambio termico convettivo interno ed esterno valgonorispettivamente hi = 87.1 W/m2K e he = 12.43 W/m2K mentre icoefficienti di conducibilità per l’acciaio e per l’isolante valgonorispettivamente k1 = 45 W/mK e k2 = 0.071 W/mK. Determinare ilcoefficiente globale di scambio termico U.

Km

W

Km

W

mK

W

mmm

mK

W

mmm

Km

Wm

m

hk

rrr

k

rrr

hr

rU

ei

2

22

2

233

1

123

1

3

5.0

43.12

1

071.0

)57.0/082.0ln(082.0

45

)05.0/057.0ln(082.0

1.8705.0

082.0

1

1lnln

1

Esercizio 9Un sistema piano è costituito da due strati di materiali (k1 = 1.5 W/mK, k2 = 1.2W/mK) entrambi spessi 10 cm, separati da un’intercapedine d’aria di 30 cm (ka

= 0.022 W/mK). Il sistema separa due ambienti a temperatura T1 = 40°C e T2 =20°C per i quali h1 = 30 W/m2K e h2 = 5 W/m2K. Determinare il flussotrasmesso sia nel caso in cui l’aria nell’intercapedine non dia luogo a moticonvettivi che nel caso in cui questi ultimi siano presenti (ha = 2.5W/m2K).

Supponendo che lo scambio attraverso l’aria avvenga per conduzione:

TiTe

hihe

1x x2 x3

k1 k2 k3

T1 T2 T3 T4

)( ie TTUA

q

Km

W

Km

W

mK

W

m

mK

W

m

mK

W

m

Km

W

2

22

07.0

5

1

2.1

1.0

022.0

3.0

5.1

1.0

30

1

1

)( ie TTUA

q

224.1)2040(07.0

m

WK

Km

W

ei hk

x

k

x

k

x

h

U11

1

3

3

2

2

1

1

Esercizio 9

TiTe

hihe

1x x2 x3

k1 k3

T1 T2 T3 T4

haria

Km

W

Km

W

mK

W

Km

W

mK

W

Km

Whk

x

hk

x

h

U

iariae

2

2223

3

1

1

26.1

5

1

2.1

1.0

5.2

1

5.1

1.0

30

1

1

111

1

222.25)2040(26.1)(

m

WK

Km

WTTU

A

qie

Supponendo che lo scambio attraverso l’aria avvenga per convezione:

Esercizio 10Determinare la potenza termica trasmessa attraverso il sistemain figura. I coefficienti di conducibilità termica valgono: k1 = 175W/mK, k2’ = 35 W/mK, k2’’ = 60 W/mK, k3 = 80 W/mK e letemperature sulle facce esterne: T1 = 370°C e T2 = 66°C.

k1

x1 x2 x3

k"2

k3k'2

T1 T2 T3T4

)( 41 TTUATUAq

iR

UA1

1T T4R 1

R'2

R 3

R"2

W

K

mmK

W

m

Ak

xR 0014.0

1.075.1

105.2

2

2

1

11

W

K

mmK

W

m

Ak

xR 00625.0

1.080

105

2

2

3

33

Esercizio 10k1

x1 x2 x3

k"2

k3k'2

T1 T2 T3T4

1T T4R 1

R'2

R 3

R"2

W

K

mmK

W

m

Ak

xR

W

K

mmK

W

m

Ak

xR

025.0

)2/1.0(60

105.7

2/""

043.0

)2/1.0(35

105.7

2/''

2

2

2

22

2

2

2

22

W

K

W

K

W

KRR

R 0158.0

025.0

1

043.0

1

1

''

1

'

1

1

22

2

W

K

W

KRRRRTOT 0234.)00625.00158.00014.0(321

K

W

W

KRUA

i

44

107.22

11

3

kWKK

WTTUAq 4.13)66370(44)( 41

Esercizio 11Derivare l’equazione della temperatura nodale per un nodo in un angolo esterno nei due casi:

a) uno dei lati contigui isolato e l’altro soggetto ad uno scambio termico convettivo;

b) entrambi i lati contigui isolati.

x

TTxk n)(

2

1

2

x

TTxk n)(

2

2

2

02

)(2

ne TTxh

nTTxk

12

nTTxk

22

0

2

2

ne TTxh

021

nenn TTk

xhTTTT

0221

ne T

k

xhT

k

xhTT

Esercizio 11

x

TTxk n )(

2

12

0)(

2

22

x

TTxk n

021 nn TTTT

0221 nTTT

Esercizio 12

Determinare le temperature nodali nei punti a, b, c sapendo che il materiale èomogeneo ed isotropo e che le temperature delle superfici interna ed esternavalgono rispettivamente Ti = 150°C e Te = 50 °C.

a

b

c

c' b'

Ti Te

nodo a: 04' aeibb TTTTT

nodo b: 04 beaci TTTTT

nodo c: 04 cbeib TTTTT

nodo a: 045050' abb TTT

nodo b: 0450150 bac TTT

nodo c: 0450150 cbb TTT

'

bb TT e '

cc TT . Pertanto :

041002 ab TT 502 ba TT

04100 ac TT 2004 cba TTT

042002 cb TT 1002 cb TT

.6.95;6.91;8.70 CTCTCT cba

Convezione

E’ un processo di trasporto di energia mediante l’azionecombinata della conduzione, dell’accumulo di energia edel mescolamento: a livello molecolare, allo scambiotermico per conduzione si affianca un trasporto dienergia interna dovuto al moto relativo delle particelle.

E’ il più importante meccanismo di scambio termico trauna superficie solida ed un liquido o un gas.

Meccanismo fisicoIl calore passa per conduzione dalla superficie alleparticelle di fluido adiacenti e l’energia trasmessa nefa aumentare l’energia interna e la temperatura.Il flusso di calore genera nel fluido variazioni delladensità degli strati più prossimi alla superficie e sigenera un moto del fluido più leggero verso l’alto (siha quindi flusso tanto di materia che di energia).Quando le particelle di fluido riscaldate raggiungonouna regione a temperatura minore, nuovamente delcalore viene trasmesso per conduzione da quelle piùcalde a quelle più fredde.

Convezione naturale e forzata

La convezione si distingue in naturale e forzata,secondo la causa che determina il moto.

Naturale: quando dipende solo da differenze di densitàdovute a gradienti di temperatura

Forzata: quando è dovuta a cause indipendenti dallatrasmissione di calore (differenze di pressione indotteda agenti esterni come una pompa o un ventilatore)

In entrambi i casi, i moti convettivi trasferisconol’energia nel fluido in modo essenzialmente analogo.

Equazione di NewtonNella zona adiacente la superficie il calore fluisce per conduzione

La stessa potenza si trasmette nel fluido. Può esprimersi con la:

EQUAZIONE DI NEWTON

Ts = temperatura della superficieTf = temperatura del fluido ad una distanza dalla superficie tale da non risentire dello scambio termico (teoricamente distanza infinita)h = coefficiente di convezione: non è una costante, dipende dalla geometria della superficie, dalla velocità, dalla natura e dalle proprietà fisiche del fluido ed, in alcuni casi, anche dalla differenza di temperatura.

n

TkAq

con n versore normale alla superficie.

fS TThAq

Numero di Nusselt

Eguagliando le due espressioni:

Di solito h viene inserito in un raggruppamento adimensionale, detto numero di Nusselt.Moltiplicando ambo i membri per L (lunghezza significativa) e riordinando:

n

TkTTh fS

.

n

T

TT

L

K

hLNu

Sf

.

Per la complessità del fenomeno della convezione nello studio si possono seguire due vie:a) metodo analitico: richiede la risoluzione delle equazioni differenziali riguardanti sia gli aspetti meccanici del moto che quelli termici. Il problema è tuttavia di difficile soluzione e spesso a prezzo di semplificazioni che limitano la fedeltà del modello matematico alla realtà fisicab) metodo empirico: tende pragmaticamente alla determinazione empirica di regole di calcolo, utilizzando dati sperimentali per ricavare leggi e correlazioni. In tal modo si esclude tuttavia a priori la pretesa di spiegare la natura dei fenomeni studiati.

Metodologie di analisi

Equazione generale della convezione

Il lavoro è compiuto contro le forze applicate all’elemento di volume, gli sforzi di pressione e quelli tangenziali. E’ di solito trascurabile; può conglobarsi formalmente nel termine dqg.

La derivata della temperatura T = T(x,y,z,t) rispetto al tempo, trattandosi di particella in moto, deve essere totale:

Si ottiene:

dUdLdqdq g

.

vgradTt

T

t

dz

z

T

t

dy

y

T

t

dx

x

T

t

TT

dt

d

dt

d2 T

c

qT

g

Distribuzione di velocitàE’ l’equivalente dell’equazione di Fourier scritta per la convezionee può integrarsi se si conosce la distribuzione della velocità, cheindipendentemente dalla natura del moto (laminare o turbolento)è determinata dalla soluzione del sistema:

a) l’equazione di continuità (bilancio di massa)b) l’equazione del moto di Newton.

Il sistema è tuttavia praticamente insolubile se non si ricorre ad ipotesi semplificative più o meno gravose, quali quelle di fluido incomprimibile, convezione naturale pura o forzata pura, strato limite, ecc. o a metodi di calcolo approssimato (calcolo numerico).

Analisi dimensionale

Non comporta equazioni da risolvere, ma basandosi sullaconsiderazione che tutte le leggi fisiche sono espressecon equazioni dimensionalmente omogenee, realizza ilraggruppamento adimensionale delle variabili da cuidipende un fenomeno fisico.

Si basa sull’organizzazione in leggi di dati sperimentaliricavati dall’osservazione, al fine di individuare l’influenzaesercitata sul fenomeno da ciascuna grandezza da cuidipende.

Adottando il SI, le dimensioni fondamentali sono:lunghezza L, massa M, tempo t, temperatura T.

Teorema di Buckingham

Il numero di gruppi adimensionali indipendenti, chesi possono formare dalla combinazione delle nvariabili fisiche di un problema è uguale al numerototale delle grandezze fisiche che lo descrivonomeno il numero m delle dimensioni fondamentalirichieste per esprimere le espressioni dimensionalidelle grandezze fisiche

se N1, N2, …, Nn è l’insieme di tutti i raggruppamentiadimensionali ottenibili, la soluzione può esprimersi:

mnNNNNF N con 0,,........., 21

.

Parametri della convezione

Nel caso di contemporanea presenza di convezionenaturale e forzata, la distribuzione della temperaturain un fluido in moto è determinabile in funzione deiparametri fisici

e delle condizioni al contorno

gkh ,,,,

fS TTTvL ,,

.

TvLgkhNiNi ,,,,,,,

n= 8, m = 4 gruppi adimensionali ottenibili: 4

Raggruppamenti adimensionali

TT

Ltv

LL

TLtg

tL

tL

TMLtk

TMth

1

12

12

12

13

13

000011212121313 TtLMTLtLTLttLtLTMLtTMtNihgfedcba

.

hgfedcba TvLgkhNi

Risoluzione del sistemaPerché i raggruppamenti siano adimensionali, lasomma algebrica degli esponenti di ciascunadimensione fondamentale deve essere nulla:

Essendo 8 le incognite e 4 le equazioni, si possonofissare arbitrariamente i valori di 3 esponenti.Risolvendo il sistema si trovano i 4 raggruppamenti.

0: baM

022: gfedcbL

0233: gedcbat

0: hebaT

.

Raggruppamenti adimensionali

Numero di Reynolds

Numero di Grashof

Numero di Prandtl

Nuk

LhN 1

Re2

VLN

GrTLg

N

2

3

3

Pr4

N

0Re,Pr,, GrNuF

,

GrNuNu Re,Pr,

.

cba GrCNu PrRe

Numero di Nusselt

Convezione forzata

In convezione forzata:

per cui il numero delle variabili presenti nell’equazioneche esprime il generico raggruppamento Ni passa da 8a 7 ed i raggruppamenti diventano 3 (scompare ilNumero di Grashof)

0g

RePr,NuNu

baCNu PrRe

Convezione naturaleIn convezione naturale v = 0. Riducendosi di uno il numero delle variabili, scompare anche un raggruppamento, il Numero di Reynolds

La gran parte degli studi sulla convezione naturale esprime ilnumero di Nusselt in funzione del prodotto GrRe, anziché deidue numeri separatamente, ossia gli esponenti a e b sono uguali

Per l’enorme quantità di studi condotti sull’argomento e lavarietà di leggi proposte, è tuttavia possibile trovare in diversitesti espressioni più o meno differenti da quelle riportate

Pr,GrNuNu baGrCNu Pr

aGrcNu Pr

Esercizio 1Un materiale (k = 0.87 W/mK) spesso 15 cm ed alto 3 m, èesposto dal lato interno, che si trova alla temperatura di 20°C,ad aria a 34°C e dal lato esterno ad aria (he = 53 W/m2K) a 0°C.Determinare il flusso termico trasmesso per unità di area.

1T

x

T2

1x x2

Ti

Te

k

h i

h e

ei

ei

hk

x

h

TT

A

q

11

L

kNuh

k

LhNu i

i

nGrcNu Pr)(

Pr

2

3

TLgGr

CCCTT

T im

27

2

2034

2

1

s

m25105682,1

s

m25102160,2

mK

Wk 02622,0

Esercizio 1

708,0Pr

11

2

3

10502,0

TLgGr

1110355,0Pr Gr

7,420Pr)( nGrcNu 3/1;13,0 nc

Km

W

m

mK

W

L

kNuhi 2

67,33

02622,07,420

Km

W

Km

W

mK

W

m

Km

W

K

hk

x

h

TT

A

q

ei

ei

2

22

07,74

53

1

87,0

15,0

67,3

1

34

11

Esercizio 2Del vapor d’acqua (hi 100 W/m2K) alla temperatura di 120°C scorre inun tubo d’acciaio (k1 = 45) avente temperatura interna di 117°C. Il tuboha raggio interno di 5 cm ed esterno di 5.5 cm, è ricoperto da unostrato di 2.5 cm di isolante (k2 = 0.07 W/mK) ed è esposto ad aria a17°C. Determinare le due temperature interfacciali dell’isolante e ilnumero di Nusselt per la convezione naturale dell’aria esterna.

1T

T2

T3

1r

r2r 3

Lk1

k2

Ti

Te

he

hi

Lk

rrqTT

Lk

rr

TTq

1

12

12

1

12

21

2

ln

2

ln

Lk

rrqTT

Lk

rr

TTq

1

12

12

1

12

21

2

ln

2

ln

m

WK

Km

WmTThr

L

qii 2.94310005.022

211

.

Esercizio 2

Per l’elevata conducibilità termica dell’acciaio ed il piccolo spessore deltubo il salto termico sulle sue facce non risulta apprezzabile

1T

T2

T3

1r

r2r 3

Lk1

k2

Ti

Te

he

hi

C

mK

W

m

m

m

W

CTLk

rrqTT

117

452

05.0

055.0ln2.94

1172

ln2

1

1212

Lk

rrqTT

2

2323

2

ln

C

mK

W

m

m

m

W

CT

7.36

07.02

055.0

080.0ln2.94

1173

Esercizio 2

1T

T2

T3

1r

r2r 3

Lk1

k2

Ti

Te

he

hi

CCCTT

T em

9.26

2

177.36

2

3 karia = 0,02622

Km

W

Km

m

W

TTLr

qhTThr

L

q

e

eee 2

33

33 5.9)177.36(08,02

2.94

)(22

58

02622.0

16.05.92

mK

W

mKm

W

k

DhNu

aria

e

aria

e

k

DhNu

Esercizio 3Del vapor d’acqua alla temperatura di 130°C scorre alla velocità di 10 cm/s inun tubo d’acciaio (k1 = 45 W/mK ) avente temperatura interna di 110°C e raggiinterno ed esterno rispettivamente pari a 10 ed 11 cm. Il tubo è rivestito diuno strato di 3 cm di isolante (k2 = 0.17 W/mK) ed è esposto ad aria (hi = 12W/m2K). Calcolare il valore del coefficiente globale di scambio termico U.

ei hk

rrr

k

rrr

hr

rU

1lnln

1

2

233

1

123

1

3

D

Nukh

k

DhNu i

i

CCCTT

T im

120

2

110130

2

1

s

m271047,2

s

m281008,17

mK

Wk 685,0

Esercizio 3

3/18.0 PrRe023.0 Nu

446.1

1008.17

1047.2

Pr2

8

27

s

m

s

m

6.80971

1047.2

2.01.0

Re2

7

s

m

ms

m

vd

5,219)446.1()6.80971(023.0 3/1805.0

Km

W

m

mK

W

D

Nukh

28.751

2.0

685.05.219

Km

W

Km

W

mK

W

mmm

mK

W

mmm

Km

Wm

m

hk

rrr

k

rrr

hr

rU

ei

2

22

2

233

1

123

1

3

7.4

12

1

17.0

)11.0/13.0ln(13.0

45

)10.0/11.0ln(13.0

8.7511.0

13.0

1

1lnln

1

Esercizio 3

Esercizio 4Un conduttore di rame, avente un diametro di 1.8 mm ed una resistenzaelettrica di 0.065 Ω/m, è isolato da una guaina (kg = 0.118 W/mK) dellospessore di 1 mm ed è esposto ad aria a 20°C.

Sapendo che la temperatura esterna della guaina è 84°C, determinare lospessore critico dell’isolante e la corrente che attraversa il conduttore.

1r r 2

Lh

1TT2

Te

kg

2

1

1

d

h

krr

g

cr

L

kNuh

k

hLNu

nGrcNu Pr)(

CCCTT

T im

52

2

2084

2

1

s

m25108213,1

s

m25105996,2

mK

Wk 02811,0

R

qI

Esercizio 4

Per il range in questione (10-1 < GrPr < 104) si fa

riferimento ad un diagramma:

1r r 2

Lh

1TT2

Te

kg

7,0

105996.2

108213.1

Pr2

5

25

s

m

s

m

23.319

sec108213.1

108.364325

1

sec8.9

22

5

331

2

2

3

m

mKKm

TLgGr

65.223Pr Gr

51.2Nu

Esercizio 4

1r r 2

Lh

1TT2

Te

kg

m

WK

Km

WmTThr

L

qe 19.146457.18109.12)(2

42

3

22

Am

mW

LR

LqI 77.14

/065.0

/19.14

mmm

Km

WmK

Wd

h

krr

g

cr 45,52

108.1

57.18

118.0

2

3

2

11

2357.18

108.3

0281.051.2

m

W

m

mK

W

L

kNuh

Esercizio 5Un tubo lungo 3 m, avente diametro interno pari a 25 mm, è percorso dauna corrente d’aria (he = 53,3 W/m2K) alla temperatura di 220°C, conportata di 6 g/s. Determinare la diminuzione di temperatura subita dalfluido nel condotto, supponendo di ritenere costante il flusso termicosullaparete e la differenza di temperatura fluido-parete (20°C) (cp = 1.005kJ/kgK).

Gc

qTTGcq

.

WCKm

WmmTrLhq 3,251203.5330125.022

2

C

kgK

J

s

kg

W

Gc

qT

7.41

1005106

3.251

3

Irraggiamento

Un sistema circondato dal vuoto (per cui non puòscambiare energia per contatto con altri sistemi)tende a raffreddarsi, dimostrando che è possibile ilverificarsi di flusso di energia termica anche inassenza di conduzione o di convezione.

Il meccanismo che ha luogo anche nel vuoto èl’irraggiamento, definito come l’energia raggianteemessa da un mezzo a causa della suatemperatura.

Emissione per irraggiamento

Tutti i corpi emettono continuamente calore perirraggiamento e l’intensità dell’emissione dipendedalla temperatura e dalla natura della superficie edavviene a scapito dell’energia interna.

L’emissione termica per irraggiamento divienesempre più importante al crescere dellatemperatura del corpo; a temperature prossime aquella atmosferica può spesso essere trascurato.

Radiazioni termiche

L’energia raggianteviaggia alla velocitàdella luce e presentauna fenomenologiasimile a quella delleradiazioni luminose,che può esseredescritta con lateoria delle onde.

λ radiazioni termiche

La luce e l’irraggiamento differiscono solo per lalunghezza d’onda:

radiazioni visibili: 400 < λ < 700 nm

radiazioni termiche: 0,1 μm (100 nm) < λ < 100 μm.

Spettro delle radiazioni

Potere emissivo monocromatico

Potere emissivo monocromatico: flusso diradiazione emesso nell’unità di tempo dall’unitàdi superficie di un corpo, per unità di intervallodλ, in tutte le direzioni; si esprime in

Potere emissivo totale E: flusso di radiazioneemesso per unità di area e di tempo su tutto lospettro, in tutte le direzioni; si misura in

mm

W

2

.

.

2m

W

A

qdEE

0

.

Potere emissivo angolare

Potere emissivo angolare: flusso di radiazioneemesso nell’unità di tempo dall’unità disuperficie di un corpo, per unità di angolo solidodω; si esprime in

srm

W2

.

.

.

2

0

diEA

q

d

ndA

dA

Legge di Planck

125

1

TCe

CE

sec10998.2 8 m

c

.

K

JkJh 2334 103805.1sec;106256.6

2

482

1 10742.32m

mWhcC

Kmk

chC 4

2 10439.1

Legge di Wien

Alle temperature più elevate le emissioni più intenseavvengono nel campo delle lunghezze d’onda delvisibile, mentre alle temperature più basse, inferiori a700-800 K, le emissioni sono invisibili.

Ad ogni curva corrispondeun massimo associato adun valore λmax variabile conT che si sposta, al cresceredella temperatura, versolunghezze d’onda minori.

mKtTm 6.2897cos

Legge di Stefan-Boltzmann

Integrando l’espressione di Eλ, data dalla legge diPLANCK, su tutto il campo delle lunghezze d’onda, siottiene l’espressione di E, che rappresentageometricamente l’area sottesa dalle curve aventi comeparametro T :

42

84

0

106697.5Km

WTdEE

A

q

Sole:•corpo nero a T ≈ 5760 K•massimo di emissione nelvisibile, per λmax = 0,5 μm (500nm)•emissione radiante a bassalunghezza d’onda (0,2 μm ≤ λ ≤3 μm).

Effetto serraSi può illustrare il fenomeno sulla base delle leggi di Plancke di Wien

Terra:•corpo nero a T ≈ 288 K•massimo di emissionenell’infrarosso, per λmax = 10 μm•emissione radiantenell’infrarosso (fra 4 e 40 μm),invisibile.

Effetto serra

Superfici selettive:manifestano un comportamento diverso in relazioneall’assorbimento ed alla riflessione della radiazione neidiversi campi di lunghezza d’onda.

Vetro:trasparente per radiazioni visibili e del primo infrarosso(0,4 μm < λ < 2,5 μm)opaco per λ > 2,5-3 μmquesta proprietà permette alla radiazione solare diattraversare la superficie, ma impedisce alla radiazioneinfrarossa di uscirne, causando un aumento dellatemperatura (effetto serra).

Effetto serra

L’effetto serra si verifica a scala più vasta sulla Terra,dove alcuni gas presenti in atmosfera trasmettono laradiazione solare in ingresso, ma assorbono quellainfrarossa emessa dalla Terra: ciò dà origine ad unsurriscaldamento, in crescita per l’incremento diorigine antropica delle concentrazioni dei gas di serra,che genera cambiamenti climatici.

Riflessione, assorbimento, trasmissione

Quando una radiazione colpisce la superficie chesepara due mezzi diversi, parte dell’energia incidenteviene riflessa e parte penetra nel secondo mezzo: laproporzione tra le due frazioni dipende dall’angolo diincidenza sulla superficie e dal suo grado ditrasparenza.Se il secondo mezzo attraversato ha spessore finito,sulla seconda superficie di separazione ancora partedell’energia viene riflessa e parte trasmessa; la parteriflessa torna nuovamente sulla prima superficie, doveviene nuovamente in parte riflessa ed in partetrasmessa.

Coefficienti di riflessione, assorbimento, trasmissione

Al termine del processo, dell’energia specifica incidente G(irradianza), un’aliquota Gr verrà riflessa nel primo mezzo,un’aliquota Ga verrà assorbita dal secondo mezzo edun’aliquota Gt verrà trasmessa, ossia:

GtGaGrG

.

G

Gaa

G

Gtt

G

Grr ;;

.

r: coefficiente di riflessionet: coefficiente di trasmissione a: coefficiente di assorbimento

r, t, a dipendono dalla natura del corpo, dalla suatemperatura e dalla lunghezza d’onda della radiazione

1 tarGtGaGrG

Corpi trasparenti, riflettenti, assorbenti

Un corpo per il quale:

r = 1 è perfettamente riflettente t = 1 è perfettamente trasparente t = 0 è opacoa = 1 è perfettamente assorbente o nero

Il corpo nero rappresenta un modello ideale di corpocapace di assorbire tutta l’energia incidenteindipendentemente dalla lunghezza d’onda.E’ anche un corpo ideale che emette la massimaenergia che può essere emessa da un corpo.

Corpo nero

Può realizzarsi considerando una cavitàisoterma, con pareti interne riflettenti, checomunichi con l’esterno attraverso unforellino molto piccolo rispetto alledimensioni della cavità

Qualunque radiazione che penetri nel forosubisce delle riflessioni multiple sulle pareti ead ogni incidenza resta in parte assorbita;quando infine fuoriesce è stata cosìindebolita che a tutti gli effetti puòconsiderarsi interamente assorbita.

Emissività

Raramente i corpi godono delle proprietà dei corpi neri,ma emettono radiazioni in misura minore

L’energia emessa dai corpi reali può essere valutataintroducendo l’emissività e, definita come:

rapporto fra l’energia emessa da una superficie reale equella che, a parità di condizioni, emette un corpo nero

e = 1 per un corpo nero; 0 < e < 1 per tutti gli altri corpi

e dipende dalla lunghezza d’onda e dalla temperatura e,se l’emissione non è diffusa, anche dalla direzione

Potere emissivo di un corpo reale

Potere emissivo monocromatico ed integrale di unasuperficie reale

Anche il coefficiente di assorbimento a di un corporeale dipende dalla lunghezza d’onda e dallatemperatura

TETeTE n ,,,

00

,,, TETeTEE n

TeTa ,,

Corpo grigioSe ad una temperatura uguale a quella del corpo neroun corpo reale emette, per ogni lunghezza d’onda, unafrazione costante dell’energia emessa dal corpo neroviene detto corpo grigio. Per i corpi grigi e ed a sonouniformi in tutto il campo di lunghezza d’onda:

TeTa

4

0

, TedTETeA

qn

La forma della curvaspettrale è simile a quelladi una superficie nera, mal’altezza è ridotta del valoredell’emissività.

Fattore di vista

La frazione dell’energia raggiante che lasciauna superficie e viene intercettata daun’altra è detta fattore di vista Fij: il primopedice indica la superficie dalla quale laradiazione proviene, il secondo la superficieche la riceve.Esso dipende solo da fattori geometrici.Escluso alcuni casi particolarmente semplici,non è possibile eseguire la valutazioneanalitica dell’integrale che lo definisce; sonoreperibili diagrammi o formulari e per i casipiù complessi si ricorre al calcolo numerico.

Fij Piani paralleli

Fij Piani perpendicolari

Fij Cilindri concentrici

Fij Dischi paralleli

Proprietà dei fattori di vista

iijiji qFAq jjijij qFAq

.

jjijiijiijjiji qFAqFAqqq

.

Se le due superfici sono alla stessa temperatura:

0)( jijijiijjijiijiji FAFAqqFAqFAq

ji qq

jijiji FAFA RELAZIONE DI RECIPROCITÀ

Proprietà additiva

La radiazione che raggiungeuna superficie composta èla somma delle radiazioniche incidono sulle sue parti.

Suddividendo la superficie Aj in parti di area Ak il fattore divista Fij della superficie Ai rispetto alla superficie compostaAj può ritenersi suddiviso in n componenti secondol’espressione:

n

k

kiji FF1

Relazioni di additività

Moltiplicando ambo i membri per Ai ed applicando adentrambi la relazione di reciprocità:

n

k

ikkijj

n

k

kii

n

k

kiijii FAFAFAFAFA111

j

n

K

iKK

ijA

FA

F 1

.

• Se si suddivide la superficie ricevente, il fattore di vista è datodalla somma algebrica dei fattori di vista relativi alle singolesuperfici riceventi• se si suddivide la superficie emittente, il fattore di vista è datodalla media pesata dei fattori di vista delle singole superficiemittenti.

Le due relazioni sono note come RELAZIONI DI ADDITIVITA’

Superfici emittente e ricevente composte

Se oltre alla superficie j si suddivide in m parti anche la superficie i:

Si ha:

m

l

li AA1

n

k

kl

m

l

ljii FAFA1

,

1

i

n

k

kl

m

l

l

jiA

FA

F 1

,

1

Proprietà di chiusura

Se più superfici, nel loro insieme, formano unasuperficie chiusa, per ogni superficie si otterrà:

PROPRIETA’ DI CHIUSURA11

n

j

jiF

che esprime il principio di conservazione dell’energia,secondo cui l’energia totale raggiante che lascia lasuperficie i è intercettata dalle j superfici della cavità.

Fii

Fii = 0 per una superficie piana o convessaFii ≠ 0 per una superficie concava

Simbologia e pedici

:

q0i flusso di energia emesso dalla superficie i: AieiσTi4

qi→ flusso di energia uscente dalla superficie i (per i corpi neri ilflusso emesso coincide con quello uscente perché r = 0): q0i

+riGqi→jflusso di energia uscente dalla superficie i che raggiunge la

superficie j: Fijqi→

qi flusso netto di energia uscente dalla (o entrante nella)superficie i (flusso di energia uscente dalla superficie i menoflusso di energia entrante nella stessa superficie): qi→ - G

qi↔j flusso di energia scambiato fra le superfici i e j (flusso dienergia uscente dalla superficie i che raggiunge la superficiej meno flusso di energia uscente dalla superficie j cheraggiunge la superficie i): qi→j - qj→i

EsempioDate due superfici, 1 (nera) e 2 (grigia) si ha:

4

1110 TAq 4

22220 TeAq a) flusso emesso q0i

b) flusso uscente qi→

c) flusso uscente da iche raggiunge j qi→j

b) flusso netto qi

c) flusso scambiato qi↔j

101 qq

012121 qFq

1211 qqq

122121 qqq

212202 qrqq

2122 qqq

22112 qFq

Superfici completamente affacciateSuperfici piane nere infinitamente estese (ipotesi tecnicamente accettabile se la distanza fra le superfici è molto piccola rispetto alla loro area) allo scopo di eliminare gli effetti di bordo; A1 = A2

4

1110 TAq 4

2220 TAq

01012121 qqFq

12011 qqq

4

2

4

11122121 TTAqqq

21022 qqq

02022112 qqFq

11221 FF

T1

T2

121 aa 021 tt 021 rr

Schermi alla radiazionePer minimizzare il calore scambiato si può introdurre tra ledue superfici uno schermo costituito da un sottile fogliometallico, avente resistenza termica praticamente nulla,schematizzabile anch’esso come parete piana infinitamenteestesa, a temperatura T3 su entrambe le facce.

Schermo nero

T1

T2

T3

4

3

4

1131 TTAq 4

2

4

3323 TTAq

2

4

2

4

14

3

4

2

4

33

4

3

4

112331

TTTTTATTAqq

222

214

2

4

11

4

2

4

14

1131

qTTATTTAq

.

1

21

1

n

qq n

.

Superfici completamente affacciateSuperfici piane, una grigia opaca (A1) ed una nera (A2),A1 = A2 infinitamente estese

4

11110 TeAq 4

2220 TAq

112121 qqFq

1211 qqq

122121 qqq

21022 qqq

02022112 qqFq

11221 FF

T1

T2

12 a 021 tt02 r

202 qq 121011 qrqq

Superfici sfericheSuperfici nere

4

1110 TAq 4

2220 TAq

01012121 qqFq

12011 qqq

122121 qqq

2221022 qqqq

022112 qFq

121 aa 021 tt 021 rr

11 122111 FFAA

022222 qFq

Superfici sferiche

Superfici interna grigia opaca (A1) ed esterna nera (A2)

4

2220 TAq

122121 qqq222122 qqqq

022112 qFq

12 a 021 tt 02 r

11 122111 FFAA

022222 qFq

4

11110 TeAq

121011 qrqq 202 qq

112121 qqFq

1211 qqq

Contemporanea presenza di scambio per convezione ed irraggiamento

Attraverso la superficie delimitante un corpo solido daun fluido circostante ha luogo un flusso di calore perconvezione; inoltre la superficie emette energiaraggiante e ne riceve da parte di altri corpieventualmente presenti nel fluido

Ts: temperatura della superficie del corpoTf: temperatura del fluidoTi: temperatura dell’i-esimo corpo presente nel fluido

44

iSiSfS TTAFTThAQ

Coefficiente di adduzione

Se Ti = Tf

Coefficiente di trasmissione del calore per irraggiamento:

COEFFICIENTE DI ADDUZIONE: α = h+hr Q = αA(Ts -Tf)

α può essere usato anche nel coefficiente globale U

fSfSfSfSfSfS TTTTTTTTTTTT 22222244

ATTTTTTFhQ fSfSfSiS 22

.

fSfSiSr TTTTFh 22

Temperatura aria-sole

Se non è possibile confondere la temperatura dei corpiposti nel fluido con quella del fluido stesso si ricorrealla definizione di una temperatura fittizia del fluido,tale da dare per sola convezione lo stesso scambiotermico di calore che si ha in realtà per convezione edirraggiamento: questo artificio è utilizzato in particolarenel campo del condizionamento dell’aria, per valutare ilcalore scambiato dalle diverse superfici esterne dellecostruzioni con l’aria ed il Sole.

mm

kW

em

m

mW

e

CTE

Km

mK

T

Cn

2

164530,2

14378

5

2

48

5

1 133

1)30,2(

10742,3

1

,2

Esercizio 1

Determinare il potere emissivo monocromatico a 2,30 μm di un corpo nero che si trova alla temperatura di 1645 K.

Esercizio 2

L’energia radiante totale che colpisce un corpo cheriflette, assorbe e trasmette è pari a 2200 W/m2. Diquesta quantità 450 W/m2 vengono riflessi e 900 W/m2

assorbiti. Determinare la trasmissività del corpo.

39,0

2200

900

2200

450

111

2

2

2

2

m

Wm

W

m

Wm

W

G

G

G

Gart ar

Esercizio 3

Determinare, per un corpo nero mantenuto a 115°C, ilmassimo potere emissivo monocromatico, la lunghezzad’onda corrispondente ed il potere emissivo totale.

essendo:

1

,

max

2

5

max

1max

T

Cn

e

CTE

m

K

mK

47,7

388

6,2897max

mm

W

em

m

mW

mK

mK

2

6,2897

14390

5

2

48

113,4

1)47,7(

10742,3

4T

A

qo

2

4

42

8 1285)388(1067,5m

WK

Km

W

Esercizio 4

Determinare i fattori di vista F13 ed F31.

F1-23:

F12:

123,211313123,21 FFFFFF

1 m

1 m

1

2

3 m

5 m

3

6,05

3

m

m

c

b

,

6,05

3

m

m

c

b

4,05

2

m

m

c

a 19,03,21 F

2,05

1

m

m

c

a 125,012 F

065,0125,019,0123,2113 FFF

195,05

065,0152

2

13

3

131

m

mF

A

AF

Esercizio 5Determinare il fattore di vista F13, sapendo che F(1,2)-3 eF23 valgono rispettivamente 0,042 e 0,055.

1

2

3

3 m

3 m

4 m

2 m

23213132,121 FAFAFAA

029,0055,0

12

12042,0

12

12122

2

2

2

23

1

232,1

1

2113

m

m

m

mF

A

AF

A

AAF

Esercizio 6

Ricavare i fattori di vista F13, F31 ed F33 per uncontenitore cilindrico cavo alto 2 m e di raggio 2 m.

2

r

1

3L

12

22 m

m

L

r 1

2

2

1

m

m

r

L 39,02112 FF

11312 FF 61,039,011 1213 FF

13

3

131 F

A

AF 305,061,0

22

2

221313

2

m

mF

L

rF

rL

r

12 3331 FF 3133 21 FF 39,061,01

Esercizio 7

Due piani neri paralleli, infinitamente estesi, sonomantenuti rispettivamente a 300°C e 200°C.Determinare il flusso termico unitario scambiato.

T2

T1

2

44

42

8

4

2

4

1

4

2

4

102210112122121

8,32764735731067,5m

WKK

Km

W

TTTTqFqFqqq

12112 FF

Esercizio 8Per un cilindro lungo 2 m, con raggio esterno 2 m edinterno 1 m, si ricavino i fattori di vista F13, F23, F31, F32 eF33 tra le due superfici anulari che chiudono i cilindrialle due estremità.

Lr1

r2

21

2

1

m

m

r

L 2

1

2

1

2 m

m

r

r 33,021 F 23,022 F

.

12 131211 FFF )1(2

11213 FF

66,033,01

2

2

221

1

221

1

221

1

212

m

mF

r

rF

Lr

LrF

A

AF

1

23

165,0)66,01(2

1)1(

2

11213 FF

Esercizio 8

Lr1

r2

.

1

23

12 232221 FFF 22,0)23,033,01(2

1)1(

2

1222123 FFF

23

3

232 F

A

AF 15,022,0

3

212232

1

2

2

2

m

mmF

rr

Lr

1333231 FFF

323133 1 FFF 72,015,013,01

13,017,014

21

)(2

222132

1

2

2

1132

1

2

2

113

3

131

mm

mmF

rr

LrF

rr

LrF

A

AF

Esercizio 9Una superficie nera chiusa ha la forma di una scatolaparallelepipeda alta 3 m, larga 2,4 m e profonda 3 m. Lasuperficie di base si trova a 450 K, quella superiore a 530 K, edogni parete laterale a 480 K. Determinare i flussi termiciscambiati dalla superficie di base con le altre superfici.

T1

T3

T2

)(4

1

4

2212

4

1121

4

221201120221211212 TTFATFATFAqFqFqqq

)(4

3

4

2232

4

3323

4

223203320223233232 TTFATFATFAqFqFqqq

13

3

m

m

c

b 8,0

3

4,2

m

m

c

a

175,021 F

25,14,2

3

m

m

c

b 25,1

4,2

3

m

m

c

a 18,023 F

WKKKm

Wmmq 6,2607)530()450(1067,5175,0)34,2( 44

42

8

12

WKKKm

Wmmq 888)480()450(1067,518,0)34,2( 44

42

8

32

Esercizio 10Due rettangoli uguali (0,6 m x 1,2 m) e paralleli, distano 1,2 m. Il rettangolo superiore è nero e si trova alla temperatura di 500 K, quello inferiore è grigio, opaco, ha emissività pari a 0,2 e si trova alla temperatura di 900 K, determinare:1)il flusso di energia emesso da ciascuna superficie2)il flusso di energia uscente dalla superficie grigia3)il flusso netto di energia uscente da ciascuna superficie4)il flusso di energia scambiato tra le due superfici.

T2

T1WK

Km

WmmTAq 5,2551)500(1067,5)2,16,0( 4

42

84

1101

WKKm

WmmTeAq 53568)900(1067,52,0)2,16,0( 4

42

84

22202

01122020112202212022 )1( qFeqqFrqqrqq

Esercizio 10

1

2

21 AA

1221 FF

.

5,02,1

6,0

m

m

c

b 1

2,1

2,1

m

m

c

a 12,012 F

WWWqFeqq 533235,255112,08,053568)1( 01122022

WWWqFqqqq 3,38475332312,05,25512210112011

WWWqFqqqq 5,506022,42512,07,5111011222122

WWqqFqFqFqqq 6,6092533235,255112,0201122210112122121

Esercizio 11Date due sfere concentriche, di cui l’interna è grigia e l’esternanera, determinare:1) il flusso emesso dalle due superfici2) il flusso uscente dalla superficie interna3) il flusso netto uscente da ciascuna superficie;4) il flusso scambiato fra le due superfici.

r1

r2 T2

T1

0221101121011 qFrqqrqq

4

2202 TAq

112 F2

2

2

1

2

2

2

112

2

121

4

4

r

r

r

rF

A

AF

2

2

2

12122 11

r

rFF

.

4

1101 TAq

022111211 qFqqqq

222112022221022 qFqFqqqqq 122121 qqq

Esercizio 12

Calcolare i flussi termici netti uscenti dalla superficieesterna del cilindro interno e da quella interna delcilindro esterno.

T1

T3

Lr1

r2

T2

4

3131

4

2121

4

11

4

3313

4

2212

4

1103310221011312011

2

222

TFATFATA

TFATFATAqFqFqqqqq

4

3323

4

1121

4

2222

03320222011202232221022

2)1(

22

TFATFATAF

qFqFqFqqqqqq

112 F