Post on 06-Apr-2016
Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker
Goethe-Universität, FrankfurtGraphische Datenverarbeitung
Graphische Datenverarbeitung
Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen
SS 20022
Graphische DatenverarbeitungNotationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen© Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker
Der Euklidische Raum
Ein n-dimensionaler Euklidischer Raum sei mit bezeichnet. Ein Vektor in diesem Raum ist ein n-Tupel, also eine geordnete Liste reeller Zahlen:
n
nKomponente oder tenKoeffizien man nennt
, mit
1
i
i
n
1
0
v
1n,0,iv
v
vv
vv n
SS 20023
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Spezielle Vektoren
0vv
v
0
)-(
:dann gilt - Vektoreinen für
wirnennen Vektoreinen
1n
1
0
v
vv
Nullvektor
0
00
Ein Vektor kann sowohl als Punkt im euklidischen Raum als auch als gerichtete Linie (vom Ursprung zu diesem Punkt), also als Richtungsvektor, interpretiert werden.
SS 20024
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Anmerkungen zumEuklidischen Raum
Der Euklidische Raum ist die Grundlage der klassischen euklidischen Geometrie (Geometrie der Bewegungen: Translation, Drehung, Spiegelung oder auch elementare Geometrie), erstmals systematisch beschrieben in den Elementen des Euklid (365v.Chr. – 300 v.Chr.). Insbesondere gelten hier die klassischen Gesetze der Trigonometrie (Winkelsumme, Sinussatz, Kosinussatz,..., Kongruenzsätze, Ähnlichkeitssätze) und insbesondere auch das Euklidische Parallelenaxiom:„Liegt ein Punkt P nicht auf einer Geraden g, dann gibt es zu g genau eine Parallele p durch den Punkt P.“
SS 20025
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Nichteuklidische Räume
Wer die Geometrie versteht, der versteht alles in der Welt. Galileo Galilei (1564-1642)
Erst im 19. Jahrhundert gelang es, eine Reihe alternativer Geometrien wie die elliptische Geometrie oder die hyperbolische Geometrie systematisch zu beschreiben, in denen das euklidische Parallelenaxiom nicht gilt, sehr wohl aber die anderen Hilbertschen Axiome der Geometrie.
Insbesondere die Sätze zur Winkelsumme im Dreieck, zum Flächeninhalt, zum Umfang eines Kreises, der Sinus- und Kosinussatz, u.v.a.m. gelten dann nicht wie in der klassischen euklidischen Geometrie.
SS 20026
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Operatoren auf Vektoren im Euklidischen Raum
Addition:
Multiplikation mit einem Skalar :
n
nn
00
n
0
n
0
vu
vuvu
v
vv
u
uu
11
11
1
1
1
1
vu
1
1
n
0
au
auau
a
u
a
SS 20027
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Rechenregeln für Vektoroperationen im Euklidischen Raum
uuvuvuuuu
uu
0v)vvv0
uvvuwvuwvu
1vgesetzDistributi )(vgesetzDistributi (
)(
(
gesetzKommutativ ziativgeset Assoz)()(
baabab)a
a(bab)
SS 20028
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Betrag eines Vektors (engl. norm)
gUngleichunSchwarzCauchy
gleichungDreiecksun
)0,,0,0(0:Regeln folgende die gelten Es
1
0
2
vuvuvuvu
uu0uu
uuu
aa
un
ii
SS 20029
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Skalarprodukt im Euklidischen Raum
(inneres Produkt, Punktprodukt) Im Euklidischen Raum ist ein Skalarprodukt definiert:
Es gelten folgende Regeln:
1
0
n
iiivuvu
vuvuuvvu
wuwuwvwuwvu
0uuuuu
0
)()()(
(00
aa
,0)0,0,
Die letzte Regel sagt:Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander (sind orthogonal, engl. perpendicular)wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
SS 200210
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Orthogonale Projektion eines Vektors
Die orthogonale Projektion w eines Vektors u auf einen Vektor v ist gleich
Eine solche Projektion liefert eine orthogonale Dekomposition von u inw und (u-w), d.h.
vuwvvvvuv
vvuw 2
mit
w)(uw
SS 200211
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Geometrische Interpretation des Skalarproduktes
u
v
u
v
u-w
w
Der Vektor u wird orthogonal auf den Vektor v projiziert.
SS 200212
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Vektorprodukt(Kreuzprodukt)
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren u,v im R3
ist definiert als ein Vektor mit folgenden Eigenschaften:
vuw
emRechtssyst ein bilden )3( und (2)
und zwischen Winkelkleinste der ist mit
,sin)1(
wv,u,vwuw
vuvuvuw
v
û
w
SS 200213
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Eigenschaften des Vektorprodukts
xyyx
zxxz
yzzy
z
y
x
vuvuvuvuvuvu
www
baba
vuw
v)w(uw)v(uwvuvwuuvwwuv
vuwuwvwvuwvwuwvu
uvvuvuvu0vu
zu ktKreuzprodu das sich berechnet Basis lenorthonorma einer In
)()()()(
)()()()()()(
parallel) sind und (
SS 200214
Graphische DatenverarbeitungNotationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen© Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren und Basis eines Vektorraumes
Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt:
Andernfalls nennt man die Vektoren linear abhängig.
Wenn ein Satz von Vektoren linear unabhängig ist, dann nennt man diese Vektoren eine Basis des durch sie aufgespannten Euklidischen Raums. Jeder Vektor v dieses Raumes kann dann als Linear-kombination der Basisvektoren geschrieben werden:
110 ,,, nuuu
0110111100 nnn vvvvvv 0uuu
nn 110 ,,, uuu
1
0
n
iiiv uv
SS 200215
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Spezielle Basen
Eine Basis für deren Basisvektoren paarweise gilt
heißt orthogonal.Gilt zusätzlich
dann heißt diese Basis orthonormal.
jiji uuuu 0
1,1,0
iji jiji
uuu
SS 200216
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Weitere Regeln
Für eine orthonormale Basisund einen beliebigen Vektor p=(p0,p1, ...,pn-1)gilt:
Sehr häufig genutzt wird die Standardbasis e, bei
welcher der i-te Basisvektor ei in jeder Komponente Null ist, mit Ausnahme der i-ten Komponente, die gleich Eins ist – im dreidimensionalen:
110 ,,, nuuu
iip up
,100
,010
,001
210
eeeeee zyx
SS 200217
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MatrizenUnter einer Matrix vom Typ (m,n) oder mxn-Matrix versteht
man ein rechteckiges Schema von Zahlen
mit m Zeilen und n Spalten. Dabei sind die Elemente mjk reelle (oder auch komplexe) Zahlen.
M heißt quadratisch, wenn m=n gilt.Vektoren sind spezielle Matrizen vom Typ
(m,1), genannt Spaltenvektoren oder (1,n), genannt Zeilenvektoren.
1,11,10,1
1,11110
1,00100
nmmm
n
n
mmm
mmmmmm
M
SS 200218
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Spezielle Matrizen
1,1
1,111
1,00100
1,11,10,1
1110
00
00
0000
trix.Dreiecksma man nennt sind, null gleich nalenHauptdiago deroberhalb oder unterhalb Elemente alle der beiMatrix Eine
heißt
100
010001
Matrix-(nxn) Die
heißt
000
000000
Matrix-(mxn) Die
nm
n
n
nmmm m
mmmmm
mmm
mmm
trixEinheitsma
Nullmatrix
E
O
SS 200219
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Transponierte(transpose) adjungierte und adjunkte (adjoint)
Matrizen
Mij
)(ij
Mij
kj
Tkj
T
d)1(a
)(Matrix der Elemente die sind dann streicht, von Spalte te-j die und Reihe te-i die man wenn
erhält man die ),( nanteSubdetermi die Matrix -(nxn) einer d Sei
m,1,j n,,1,k alle fürm
Matrix die man erhält so
über, Wertenkomplexen konjugiert den zu zusätzlich man Geht
m,1,j n,,1,k alle fürm
gilt der beiMatrix -(nxm) eine ist Matrix einer die ,
ji
jk
jk
adjadjunkten
cofactor
m
eadjungiert
scht"ind vertauvektoren snd Spalten"Zeilen- u
mrtetransponie
MAM
M
M
MM
SS 200220
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Weitere spezielle Matrizen
Sei M eine (nxn)-Matrix. M* bezeichne die adjungierte Matrix (für reelle Matrizen gilt MT=M*):
(i) A heißt genau dann selbstadjungiert, wenn M = M*(ii) A heißt genau dann schiefadjungiert, wenn M = -M*(iii) A heißt genau dann unitär (orthogonal),
wenn MM* = M*M = E(iv) A heißt genau dann normal, wenn MM* = M*NDie Matrizen (i)-(iii) sind normal.
SS 200221
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Eigenschaften unitärer (orthogonaler) Matrizen
Wenn M eine unitäre (orthogonale) Matrix ist, dann gilt:
l)(orthogona unitär auch ist so sind, l)(orthogona unitär und wenn
l)(orthogona unitär auch ist
11
MNNM
vuMvMuuMu
MMM
M
T
T
SS 200222
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Orthonormale und orthogonale Matrizen
Matrix. eorthogonal eine erzeugt (Basis) Vektorenvon Satz erorthogonal jeder Nicht
(Basis). Vektorenvon Satz erorthogonal ein als anderes etwas istMatrix eorthogonal eine :Beachte
.orthogonal ist Matrix die l,orthonorma ist sisStandardba Die E)ee(eE zyx
SS 200223
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Operationen auf MatrizenAddition
Für zwei (mxn)-Matrizen M und N gilt
Rechenregeln:
Addition)enweise(komponent
n,0,j m,,0,i für mit ij ijij nmaNMA
0MMM0M
MNNMN)(MLNM)(L
SS 200224
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Operationen auf MatrizenMultiplikation Skalar-Matrix
Ein Skalar a und eine Matrix M können multipliziert werden, so daß das Produkt
Rechenregeln:ijij amta mitMT
NMNMMMM
00MM
MM0M
aaababa
aabba
)()(
)()(10
SS 200225
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Operationen auf MatrizenMatrix-Matrix
Für die (pxq)-Matrix M und die (qxr)-Matrix N (also für verkettete Matrizen) ist das Produktmatrix T eine (pxr)-Matrix mit
1
01,,1
1
00,1
1
01,0
1
000
1,10,1
1,000
1,10,1
1,000
ij ,,0,,,0t mit
q
iriip
q
iiip
q
irii
q
iii
rqq
r
qpp
q
ji
nmnm
nmnm
mm
mn
mm
mm
rjpi
MNT
nmMNT
Rechenregeln:
allgemein nicht gilt NMMNMEMME
MNLNM)N(LL(MN)(LM)N
SS 200226
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Determinanten einer Matrix
Für quadratische Matrizen sind Determinanten definiert:
211200221001201102
211002201201221100
10011100
n21
221
detist 3n für
detist 2n für
nPermutatio ndenentspreche der n Vorzeichedas sgn und n,1,2, Zahlen der nenPermutatio die sind m,m,m
mitsgn
det
1
mmmmmmmmm
mmmmmmmmmD
mmmmD
aaa
D
nmnmm
MM
MM
MM
SS 200227
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Spur (Trace) einer Matrix
Unter der Spur tr M der (nxn)-Matrix versteht man die Summe der Hauptdiagonalelemente:
nnaaatr 2211M
SS 200228
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Weitere Eigenschaften der Determinante
Für (3x3)-Matrizen existiert ein interessanter Weg die Determinante zu berechnen. Bezeichnen wir die Spalten-vektoren mit
Eine Basis ist genau dann rechtshändig (right-handed), wenn ihre Determinante positiv ist
Ist die Determinante negativ nennen wir das die Basis linkshändig (left-handed)
zyzy
zy
mmmmmmM
mmm
xx
x
)(,,
:gilt dann ),,,(
0zyx bbb
SS 200229
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Rechenregeln für Determinanten
emente.Diagonalel der Produkt dem gleich isttrix Dreiecksma einer teDeterminan Diebesitzt. Spalten oder Zeilen gleiche zwei sie wennnull, gleich ist teDeterminan Eine
addiert. anderen einer Vielfachedas (Spalte) Zeile einer zu man wenn nicht, sich verändert teDeterminan Eine
.vertauscht rmiteinande Zeilen zwei oder Spalten zwei man wenn n, Vorzeicheihr verändert teDeterminan Eine
1giltMatrix (nxn) eine Für
MM
MM
NMMNM
M 1
T
naa
SS 200230
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Inverse einer Matrix
M-1 existiert nur für quadratische Matrizen M, deren Determinante ist. Dann gilt M-1 M = M M-1 = E
Rechenregeln
0M
MMM
MM
M )(oder)( 11 adjkjjk
111
11
)
MN(MN(M(M )) TT
SS 200231
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Eigenwerte und Eigenvektoren
Gleichung) istische(charakterwenn,Matrix der , und man nennt
Skalar. ein, Matrix,-(nxn) eine sei Es
xAxAx
0xA
EigenwertEigenvekor