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11.. Halla “ab”.
ab....)201....97531( 2 =××××××
A) 28 B) 10 C) 9
D) 8 E) 1
Analizando
ab....)201....9731( 2 =×××××× 5
ab....)5(.... 2 =
ab....25.... =
10ab =
22.. Halla la suma de cifras del resultado de:
)110)(110( 1010 +−
A) 181 B) 182 C) 180
D) 183 E) 186
Evaluando
)110)(110(E 1010 +−=
110E 20 −=
cifras20
99...9999E =
∴ Suma de cifras = 20(9) = 180
33.. Calcula la suma de cifras del resultado de:
2
cifras9
)111....111(
A) 81 B) 71 C) 89
D) 18 E) 27
Analizando casos particulares
112 = → 1 = 21
121112 = → 4 = 22
321121112 = → 9 = 23
Para el problema
∴ Suma de cifras = 819 2 =
cifra1
cifras2
cifras3
Suma de cifras
n2n2nnnn ba)ba)(ba( −=+−
25....)5(....
5....)imparnúmero(5
2 =
=×
•
•
números impares
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44.. Halla la suma de cifras del resultado de:
2
cifras41
)333....333(
A) 287 B) 369 C) 129
D) 396 E) 336
Por inducción
932 = → 9 = 9(1)
1089332
= → 18 = 9(2)
1108893332 = → 27 = 9(3)
Para el problema
∴ Suma de cifras = 9(41) = 369
55.. Simplifica:
310
12321123454321R
−=
A) 21 B) 12 C) 19
D) 8 E) 11
Efectuando
310
12321123454321R
−=
1000
11111111R
−=
1000
11000R = → 11R =
66.. Calcula la suma de cifras de “E” en:
2
cifras51)995....999(E =
A) 127 B) 457 C) 458
D) 475 E) 130
Por inducción
255 2 = → 7 = 9(1) – 2
0259952 = → 16 = 9(2) – 2
0259909952 = → 25 = 9(3) – 2
Para el problema
∴ Suma de cifras = 9(51) – 2 = 457
cifras2
cifras3
cifra1
cifra1
cifras2
cifras3
Suma de cifras
En general, si se tiene
k9cifrasdeSuma
)999....999(
)666....666(
)333....333(
2
cifrask
2cifrask
2
cifrask
=
Suma de cifras
11121 =
11112321 =
11111234321 =4 cifras
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77.. Calcula “ OGIM A ++++ ”, si:
AMIGO....99999245837.... =+
A) 28 B) 20 C) 25
D) 27 E) 26
Efectuando en el primer miembro
AMIGO....99999245837.... =+
AMIGO....45836.... =
∴ 26OGIM A =++++
88.. Si: 1;0 =θ=∆
Calcula A si:2322
552233
)()()(
9))()(( A
θ+θ∆+∆θ−∆θ−∆
×θ−∆∆−θθ−∆=
A) 28 B) 10 C) 9
D) 8 E) 1
Reemplazando 1y0 =θ=∆ , tenemos
2322
552233
)1)1(00()10()10(
9)10)(01)(10( A
++−−
×−−−=
)1)(1)(1(9)1)(1)(1( A ×−−=
9 A =
99.. Calcula:
9261267
4530526 A
+×
+×=
A) 2 B) 6 C) 4
D) 0 E) 1
Expresando cada factor, en uno equivalente
2
2
3)3264)(3264(
2)2528)(2528( A
+−+
++−=
222
222
33264
22528 A
+−
+−=
2
264
528 A
=
Efectuando
22 A = → 4 A =
1100.. Calcula la suma de las cifras de:
2000)1998()1999(P 22 +−=
A) 28 B) 30 C) 29
D) 27 E) 31
La idea más práctica sería aplicar la diferencia de
cuadrados en la expresión
2000)1998()1999(P 22 +−=
2000)19981999)(19981999(P +−+=
2000)1(3997P +=
9975P =
∴ Suma de cifras = 5 + 9 + 9 + 7 = 30
1111.. Calcula x:
421x51x5 =+++
A) 8 B) 10 C) 9
D) 7 E) 6
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Observamos que el primer sumando es un
cuadrado perfecto y el segundo es su raíz
cuadrada, entonces debemos buscar 2 cantidades
que cumplen dicha relación
6361x51x5 +=+++
Comparando 361x5 =+35x5 = → 7x =
1122.. Calcula “3a – 2b” en:
ab....)354825()19225()3525( 224 =++
A) 13 B) 6 C) 9
D) 8 E) 11
Analizando la última cifra terminal, tenemos
ab....)5(....)5(....)5(.... 224 =++
ab....25....25....25.... =++
ab....75.... =
Comparando a = 7 y b = 5
3a – 2b = 3(7) – 2(5) = 11
1133.. Halla el valor de:
4 4 842 1)110)(110)(110(99 A ++++=
A) 8 B) 16 C) 10
D) 12 E) 14
Expresando cada factor, en uno equivalente
16 8422 1)110)(110)(110)(110( A ++++−=
16 844 1)110)(110)(110( A +++−=
16 88 1)110)(110( A ++−=
16 16 1110 A +−=
16 1610 A = → 10 A =
1144.. Si:
2
cifras30
)666....666( A = ; 2
cifras20
)333....333(R =
Calcula la diferencia entre la suma de cifras del
resultado de A y la suma de cifras del resultado de R.
A) 90 B) 60 C) 100
D) 120 E) 140
Identificando cada expresión
2
cifras30
)666....666( A = → 270)30(9cifras
deSuma==
2
cifras20
)333....333(R = → 180)20(9cifras
deSuma==
Por lo tanto, la diferencia pedida es 90.
)110( 4 −
)110( 8 −
)110( 16 −
Cuadrado
perfecto
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1155.. Calcula la suma de cifras del resultado de:
)758(517)242(400)483(758)600(242 A +++=
A) 8 B) 6 C) 10D) 12 E) 1
Factorizando adecuadamente
)517483(758)400600(242 A +++=
)1000(758)1000(242 A +=
)758242(1000 A
+=)1000(1000 A = → 0000001 A =
∴ Suma de cifras = 1
1166.. Halla la suma de cifras del resultado de:
2
cifras30)9995....999( A =
A) 268 B) 296 C) 270
D) 120 E) 230
Por inducción
255 2 = → 7 = 9(1) – 2
0259952 = → 16 = 9(2) – 2
0259909952 = → 25 = 9(3) – 2
Luego, para el problema
∴ Suma de cifras = 9(30) – 2 = 268
1177.. Calcula la suma de cifras del resultado de:
140393837 A +×××=
A) 8 B) 16 C) 10
D) 12 E) 14
Analizando casos particulares para determinar el
resultado de la operación
514321 =+×××
1115432 =+×××
1916543 =+×××
Entonces 48111)39(38 A =−=
∴ Suma de cifras = 1 + 4 + 8 + 1 = 14
1188.. Si:
3)150)....(16)(14)(12( A 2222 +++++=
Halla el producto de la última cifra del resultado
con 10.
A) 88 B) 60 C) 80D) 20 E) 50
32501....37175 A
imparnúmero
+××××=
35.... A +=
8.... A =
Por lo tanto, el producto de 8 por 10 es 80.
cifras2
cifras3
cifra1
Suma de cifras
2×3 – 1
3×4 – 1
4×5 – 1
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En una multiplicación si las bases son
iguales, entonces los exponentes se suman
1199.. Calcula la suma de cifras del resultado de:
2
cifras30
2
cifras30
)2223...2222()2225...2222(R −=
A) 270 B) 239 C) 232
D) 260 E) 240
Aplicando diferencia de cuadrados, tenemos
)223....222225....222)(223....222225....222(R
cifras30cifras30cifras30cifras30 −+=
)2)(448....444(R cifras30=
cifras30
896....888R =
∴ Suma de cifras = 28(8) + 9 + 6 = 239
2200.. Se forma un arreglo triangular con cierta
cantidad de bolas. Si en la base hay 60 bolas.
¿Cuántas bolas se ha necesitado para formar el
arreglo?
A) 1 900 B) 1 860 C) 1 880
D) 1 830 E) 1 840
Por inducción
→2
211
×=
→2
323
×=
→2
436 ×=
Luego para 60 bolas en la base, se tiene
∴ 83012
6160bolasdetotalN =
×=°
Método práctico
2211.. En la expresión calcula 3 A :
1)n...321(n432 )5...5555( A −++++×××××=
A) 8 B) 216 C) 27
D) 125 E) 64
( ) n...321
1
n...3215 A ++++++++=
5 A =
∴ 1255 A 33 ==
2222.. En una chacra hay plantaciones de
manzanas, dispuestas en una fila. Si en la primera
planta hay una manzana, en la segunda planta
hay 3 manzanas, en la tercera, hay 7; en la
cuarta, hay 15, y así sucesivamente. ¿Cuántas
manzanas habrá en la décima planta?
A) 1 023 B) 1 016 C) 1 027
D) 1 250 E) 1 640
N° de bolas
baselaenbolas2
baselaenbola1
baselaenbolas3
Del enunciado
8301
2
6160
60...321bolasdetotalN
=
×=
++++=°
58 59 601 2 3
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Analizando la cantidad de manzanas que hay en
cada planta
1ra planta → 121 1 −=
2da planta → 123 2 −=
3ra planta → 127 3 −=
4ta planta → 1215 4 −=
Luego, en la décima planta
∴ 023112manzanasdeN 10 =−=°
2233.. Calcula la suma de cifras del resultado de:
)110)(110( A 2020 −+=
A) 380 B) 360 C) 300
D) 312 E) 390
Evaluando
)110)(110( A 2020 +−=
110 A 40 −=
cifras40
99...9999 A =
∴ Suma de cifras = 40(9) = 360
2244.. En qué cifra termina el resultado de:
200520042003
200620052001 ++
A) 7 B) 2 C) 6
D) 0 E) 3
Analizando únicamente las cifras terminales
200520042003 )6(....)5(....)1(....E ++=
6....5....1....E ++=
2....E =
2255.. En qué cifra termina el resultado de:
4041424324 5146675)4243(M −−×+=
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
Analizando las cifras terminales
4041424324 )1(...)6(...)5)(...2...3(...M −−+=
1...6...)5)(...2...3(...M 344 −−+= +
7...)5)(...8...1(...M −+=
7....5....M −=
8....M =
Observación
8....)2(....)2(....42 33443 === +
2266.. Si: 187NA AN =+ ; N A >
Calcula: A N A ++
A) 25 B) 26 C) 22
D) 24 E) 28
N° manzanas
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Ordenando en forma vertical
En las unidades y decenas, se observa
N + A = 17
==
8N
9 A
∴ 26 A N A =++
2277.. Halla la suma de las cifras de:
cifrasncifrasn2
222....222111....111R −=
A) 2 B) 2n C) 3n
D) 4n E) 5n
Por inducción
39211 ==− → 3 = 3(1)
331089221111 ==− → 6 = 3(2)
333110889222111111 ==− → 9 = 3(3)
Para el problema
∴ Suma de cifras = 3n
2288.. ¿Cuántos números de la forma PERU
cumplen?
RUPEPERU +=
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Elevando al cuadrado y operando
2)RUPE(PERU +=
2)RUPE(RUPE100 +=+
)RUPE()RUPE(PE99 2 +−+=
99demúltiploesproducto
cuyoutivossecconfactores2
)1RUPE)(RUPE(PE99 −++=
Asumiendo valores, tenemos
• 9899PE99 ×=
98PE = → 01RU = ∴ 9801PERU =
• 5455PE99 ×=
30PE = → 25RU = ∴ 3025PERU =
• 4445PE99 ×=
20PE = → 25RU = ∴ 2025PERU =
Por lo tanto, existen 3 números que cumplen
dicha condición.
2299.. Calcula la suma de cifras del resultado de:
cifras100cifras100
999...999555...555 A ×=
A) 1 B) 10 C) 100
D) 90 E) 900
cifra1cifras2
cifras2cifras4
cifras3cifras6
781 A N
N A +
Suma de cifras
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Analizando por inducción
4595 =× → 9 = 9(1)
44559955 =× → 18 = 9(2)
445554999555 =× → 27 = 9(3)
Para el problema
∴ Suma de cifras = 9(100) = 900
3300.. En la siguiente figura se han utilizado 400
esferas. ¿Cuántos de éstos hay en la fila n?
A) 10 B) 15 C) 18
D) 25 E) 20
Analizando por inducción
→ 211 =
→ 224 =
→ 239 =
Como se emplearon 400 esferas, se tiene
400n 2 = → 20n =
3311.. Halla el número total de palabras
“MARTES” que se pueden leer en el siguiente
arreglo.
A) 64 B) 63 C) 32
D) 31 E) 128
Como MARTES tiene 6 letras, entonces
∴ N° de maneras = 322 16 =−
3322.. Halla el total de puntos de contacto en:
M
A A
R R R
T T T T
E E E E E
S S S S S S
28 29 301 2 3
cifra1
cifras2
cifras3
Suma de cifras
Fila n
Fila 1
Fila 2
Fila 3
M
A A R R R
T T T T
E E E E E
S S S S S S
#esferas
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A) 290 B) 870 C) 420
D) 1 305 E) 2 875
A nalizando casos particulares
→
=2
)0(130
→
=2
)1(233
→
=2
)2(339
→
=2
)3(4318
Luego, para la figura
∴ 30512
)29(303cortedepuntosdeN =
=°
3333..Si: 1MADRE3MADRE1 =×
Halla: MAMA
A) 2 828 B) 5 757 C) 4 242
D) 2 525 E) 7 171
Descomponiendo por bloques
1MADRE10)MADRE100000(3 +×=+×1MADRE10MADRE3300000 +×=×+
MADRE7299999 ×=
Dividiendo la expresión entre 7
MADRE75824 =
∴ 2424MAMA =
3344.. ¿Cuántas esferitas sombreadas en total se
pueden contar en la siguiente figura?
A) 625 B) 576 C) 240
D) 450 E) 650
Por inducción
→ 212 ×=
→ 326 ×=
→ 4312 ×=
Para el problema
∴ 6502625sombreadasesferasdeN =×=°
4849501 2 3 .....
N° ptosde corte
N° de esferas
sombreadas
2÷
1 2
1 2 3
41 2 3
1
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
1 2
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3355.. Si: 100)ba( 2 =+ ∧ 52ba 22 =+
Halla: bbaa ×
A) 2 804 B) 2 904 C) 2 944D) 2 902 E) 1 904
Por dato
100)ba( 2 =+ → 100ab2ba 22 =++
100ab252 =+
24ba =⋅
∴ 90424466bbaa =×=×
3366.. Si: x....9 x =
Calcula “n” en: n....7 xxx =
A) 7 B) 3 C) 2
D) 1 E) 9
Como x....9x = → 9x =
Reemplazando n....7999 =
n....7 34 =+
n....3.... = → 3n =
3377.. Si: nabcdn
=
Halla: ddaa +
A) 55 B) 66 C) 77D) 88 E) 99
De la expresión
nabcdn
= → abcdnn =
De la última expresión, observamos que un
número elevado a él mismo debe dar como
resultado un número de 4 cifras y el único valor
que cumple con la condición es 5n = , entonces
n = 5 → abcd312555 ==
∴ 885533ddaa =+=+
3388.. Si:
A 59 A
6
CBA ×
Calcula el valor de A+B.
A) 6 B) 5 C) 7
D) 3 E) 9
Evaluando
A 95 A
6
A BC ×
iguales
6(4)
=
=
1....9
9....9par#
impar#
Debe ser 2 ó 4
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Asumiendo que A = 2, tenemos
2952
6
2BC ×
Se observa que verifica la operación
∴ 532B A =+=+
3399.. En que cifra termina:
AMOR)437MAS258DAME( +
A) 3 B) 6 C) 8
D) 5 E) 1
Analizando las cifras terminales
AMOR)7....8....(E +=
AMOR)5....(E =
5....E =
4400.. Halla: 7baP ab ++=
Si se cumple que:
ab...85...3525155 177531 =×××××
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
Identificando la cifra terminal de cada potencia
ab...)5(......)5(...)5(...)5(... =××××
ab....5.... =
Elevando al cuadrado
ab....)5(.... 2 =
ab....25.... =
Comparando a = 2 y b = 5
864752P 25 ==++=
4411.. Calcula el valor de: qpnm +++
Si se sabe que:
2433....99mnpq =×
A) 10 B) 25 C) 19
D) 21 E) 18
De la expresión 4332....99mnpq =×
4332....)1100(mnpq =−×
4332....mnpq00mnpq =−
Analizando la diferencia, tenemos
3342.....
qpnm
00qpnm −
Efectuando q = 7 ; p = 6 ; n = 2 ; m = 4
19qpnm =+++
4422.. Halla: dcba +++
Si: 3518....9999999abcd =×
A) 18 B) 20 C) 22
D) 24 E) 26
11
Debe ser 4
Debe ser 3
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- 1 3 -
P r o f : P A C H
E C O
Aplicando la regla práctica
8153....9999999dcba =×
Se observa que 2d;8c;4b;6a ====
∴ 20dcba =+++
4433.. Calcula el valor de:
sumandos"n"
222
sumandos"n"
....321
n....)755331(N
+++
++×+×+×=
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
Analizando casos particulares
1 sumando
1
4
1
131
2=
+× → 4
2 sumandos
5
20
21
25331
22=
+
+×+× → 4
3 sumandos
14
56
321
3755331
222=
++
+×+×+× → 4
Finalmente, para n sumandos
sumandos"n"
222
sumandos"n"
.....321
n.....755331N
+++
++×+×+×= → 4N =
4444.. Halla: INU ++
Si: U.......)111111( 7 =
N.......)55555( 5 =
I.......)66666( 7 =
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
Analizando la cifra terminal de cada potencia
• U.......)1(.... 7 =
U.......1.... = → 1U =
• N.......)5(.... 5 =
N.......5.... = → 5N =
• I.......)6(.... 7 =
I.......6.... = → 6I =
∴ 12INU =++ valor
Suma de elementos = 10
Suma de elementos = 9
Si se cumple
µθαβδ=× ........999.......999pq...abc
cifraskqueigualomayorcifrask
Entonces
µθαβδ=× ........99...999pq...abc
Suma de elementos = 10
Suma de elementos = 9
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- 1 4 -
P r o f : P A C H
E C O
4455.. Halla la suma de cifras del resultado de:
2
cifras20
)666....6666(E =
A) 120 B) 140 C) 160
D) 180 E) 190
Por inducción
366 2 = → 9 = 9(1)
4356662
= → 18 = 9(2)
443556666 2 = → 27 = 9(3)
Para el problema
∴ Suma de cifras = 9(20) = 180
4466.. Halla el número total de saludos que pueden
ocurrir al encontrarse 20 personas.
A) 188 B) 189 C) 190
D) 191 E) 192
Analizando casos particulares
Entre 2 personas
→2
121
×=
Entre 3 personas
→2
233
×=
Entre 4 personas
→2
346
×=
Luego, para 20 personas
∴ 1902
1920saludosdeN =
×=°
4477.. Halla: 1997)nma( −−
Si: 1mna9....a3a2a1 =++++
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Ordenando los sumandos en forma vertical
En las unidades
9a = …1
9(9) = 81→
a = 9
En las decenas
mn8)9...321( =+++++
mn53 =
==3n
5m
∴ 11)nma( 19971997 ==−−
cifra1
cifras2
cifras3
# saludos
llevase
+
1nm
a9
a4
a3
a2
a1
Suma de cifras
4P
3P
1P
2P
1P 2P
3P
1P 2P
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P r o f : P A C H
E C O
4488.. Si: 2)2x()x(f −=
Calcula: )22(f )23(f +−+
A) 0 B) 2 C) 1D) 3 E) 4
Piden )22(f )23(f E +−+=
Interpretando la condición
2)()(f 2−
Entonces 22 )2()3(E −=
23E −=
1E =
4499.. Halla “x + y” si se sabe que:
xy...)1999.....7531( 23 =×××××
A) 10 B) 9 C) 8
D) 7 E) 6
Sabemos que
=
=×
25....)5(....
5....)imparnúmero(5
2
Entonces xy....)1999....731( 23 =××××× 5
xy....)impar( 2 =×
xy....)5(.... 2 =
xy....25.... =
7yx =+
5500.. Si: 2m
n
n
m=+
Calcula:m
n
n
m
n
m
n
m
n
m2345
+
+
+
+
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Efectuando mn2nm 22 =+
0nmn2m 22 =+−
0)nm( 2 =− → m = n
Reemplazando
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nE
2345
+
+
+
+
=
11111E 2345 ++++= → 5E =
5511.. Si: HOLA H
=
Calcula: A L OH +++
A) 19 B) 16 C) 17
D) 8 E) 6
De la expresión
HOLA H
= → OLA H H =
Analizando las potencias con igual base y
exponente que generan un número de 3 cifras,
cumple únicamente cuando 4H = , es decir
H = 4 → OLA 2564 4 ==
∴ 17 A L OH =+++
3−
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P r o f : P A C H
E C O
5522.. Señala de cuántas formas se puede leer la
palabra EXIGE en la siguiente figura:
EEEEEEEEE
GGGGGGG
IIIIIXXX
E
A) 43 B) 81 C) 32
D) 56 E) 76
Analizando casos particulares
1 letra → 1131 −=
2 letras → 1233 −=
3 letras → 1339 −=
∴ 813 15
EXIGEleer
deformasdeN==
−°
5533.. Halla la suma de cifras del resultado de:
2
cifras30
)9995....999( A =
A) 268 B) 296 C) 270
D) 120 E) 230
Es igual a la pregunta 16
5544.. Calcula la suma de cifras del resultado:
140393837 A +×××=
A) 8 B) 16 C) 10
D) 12 E) 14
Es igual a la pregunta 17
5555.. Calcula el valor de:
3 3333 339152535 A +−⋅+=
A) 8 B) 6 C) 10
D) 2 E) 5
Observando la operación nos damos cuenta que
se trata del desarrollo de una suma de cubos,
veamos
3 23332333 )3355)(35( A +⋅−+=
3 3333 )3()5( A +=
335 A +=
38 A = → 2 A =
5566.. Si:
3)150)....(16)(14)(12( A 2222 +++++=
Halla el producto de la última cifra del resultado
con 10.
A) 88 B) 60 C) 80
D) 20 E) 50
Es igual a la pregunta 18
# formas
E
E
X X X
E
X X X
I I I I I
N° de letras
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P r o f : P A C H
E C O
5577.. Calcula el valor de:
3
162
6)4731727(R
×+×=
A) 27 B) 16 C) 30
D) 12 E) 14
La idea en este problema es utilizar la diferencia
de cuadrados, es decir
32
162
6]2)2729)(2729[(R
×++−=
3222
27
22729R
+−=
33
23
3
)9(R =
3
9R
2
= → 27R =
Huánuco, 10 de octubre de 2013