POLIEDROS Y MOSAICOS

en el Taller de Matemáticas

Jesús García GualMercedes Sánchez Benito

Las construcciones de los matemáticos, como las de los

pintores o los poetas, deben ser bellas; las ideas, como los colores o

las palabras, deben encajar con armonía. La belleza es el primer

requisito, además de una imaginación inquieta y una paciente

obstinación.G.H. Hardy.

Fórmula de EulerFórmula de Euler

En todo poliedro convexo Vértices+Caras=Aristas+

2

Poliedro convexo Poliedro no convexo

Para demostrar la fórmula de Euler, quitamos una cara del poliedro y deformamos la superficie hasta

extenderla sobre un plano. Se triangulariza la red plana, lo cual conserva el valor de V-A+C. Para esta

red simplificada se tiene que V-A+C=1,y como en el poliedro inicial habíamos

suprimido una cara se tiene que:V+C=A+2

Poliedros regulares

Actividad 1

Poliedros Regulares con mosaicos de Escher

Representación plana de los sólidos platónicos

Actividad 2

Duales

Dual deltetraedro

El dual del octaedro es el

cubo

El dual del cuboes el octaedro

El dual del dodecaedro es el icosaedro

El dual del icosaedro es el dodecaedro

Los deltaedros

Los deltaedros se construyen con triángulos equiláteros. Este es un

ejemplo de un deltaedro no convexo

663 664

665 883Vértices de orden 3Vértices de orden 3

10-10-3468

46-10 PrismasVértices de orden 3Vértices de orden 3

468

3434

4345

3535

4443

Vértices de Vértices de orden 4orden 4

Dos modelos para el 4443. Sommerville

33334

33335Vértices Vértices de orden de orden 55

33334

Vértices de Vértices de orden 5orden 5

Poliedros de Catalan Los duales de los sólidos Arquimedianos se conocen como poliedros de Catalan.

Sus caras han sido sustituidas por sus centros y éstos se han unido si pertenecían a caras que se

conectaban en un mismo vértice. Un poliedro de Catalan puede ser nominado también con el

mismo número que su dual aunque leído de forma diferente, por lo cual emplearemos un corchete

para nombrarlo y no confundirlos. Así si el 4345 quiere decir que todos los vértices son iguales, y

que en ellos concurren dos cuadrados, un triángulo y un pentágono, entonces en el [4345] todas

las caras son cuadriláteros iguales y en dos de sus vértices opuestos concurren cuatro caras, en

otro tres y en el restante cinco.

Además los poliedros de Catalan tienen superficie esférica inscrita, lo que les hace aptos para ser

usados como dados. Esta superficie inscrita determina un punto de contacto en cada cara que

sirve para poder dualizar, obteniéndose el tipo de poliedro arquimediano de partida.

Mosaicos

Los únicos polígonos regulares que teselan el plano son el triángulo, el cuadrado y el hexágono

MOSAICOS

1. A partir de un triángulo cualquiera genera un mosaico.

2. A partir de un cuadrilátero cualquiera , convexo y no convexo, genera un mosaico.

3. Construye todos los mosaicos semirregulares. Recuerda cuales son.

4. Mosaicos construidos a partir de polígonos regulares: mosaico construido a partir de la pajarita nazari y del hueso nazari.

5. Mosaicos construidos a partir de un pentágono:

Pentágonos “casita” Pentágonos “esfinge” Pentágonos “hexágonos”

6. Mosaicos no periódicos: mosaico de Penrose, dardos y cometas:

Construye un rombo con un ángulo de 72 grados, el ángulo de un pentágono regular.

A partir de aquí, dividimos la diagonal mayor según la razón áurea.

Mosaicos construidos con Cabri-Géomètre II

Mosaicos nazaries

casitaesfinge

Hexa-penta

Mosaicos semirregulares

Mosaicos no periódicos

Mosaicos caóticos

Mosaicos de La AlhambraMosaicos de La Alhambra

Mosaicos de La AlhambraMosaicos de La Alhambra

Materiales empleados.

•Piezas de Polyedron

•Piezas de Googoplex

•Cabri-GéomètreII

•¿Qué es la Matemática?. Courant Robbins. Ed. Aguilar.

•Poliedros. G. Guillén Soler. Ed. Síntesis.

•Simetría dinámica. Alsina, Pérez y Ruiz. Ed. Síntesis.

•Mosaicos de Penrose y Escotillas cifradas. M. Gardner. Ed. Labor.

•Mathematical Recreations. Klaner. Ed. Dover.

Bibliografía