Post on 14-Sep-2018
I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]
II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits
III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge
IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de
fluides incompressibles
V. Equations des quantités de mouvement
Plan du cours : Mécanique des Fluides
I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]
II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits
III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge
IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de
fluides incompressibles
V. Equations des quantités de mouvement
Plan du cours : Mécanique des Fluides
•Statique des fluides•Dynamique des fluides parfaits•Application de l’équation de bernoulli
Plan du cours : Mécanique des Fluides
•Régimes d’écoulement•Profil de vitesses, couche limite•Pertes de charges régulières•Pertes de charges singulières•Equation de Bernoulli généralisée
I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]
II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits
III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge
IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de
fluides incompressibles
V. Equations des quantités de mouvement
Plan du cours : Mécanique des Fluides
•Ecoulements de Poiseuille•Notion de lubrification
- Ecoulements de Couette, téorie du coin d’huile.
I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]
II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits
III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge
IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de
fluides incompressibles
V. Equations des quantités de mouvement
Plan du cours : Mécanique des Fluides
•Principe fondamental de la dynamique et théorème des moments•Applications
I. Introduction [poly – pas le temps – pas (trop) important…]
II. Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits
III. Fluides réels : écoulements permanents et pertes de charge
IV. Fluides réels : écoulements laminaires, unidimensionnels de
fluides incompressibles
V. Equations des quantités de mouvement
Statique des fluidesApplication de la RFDEquation de la statique [rappelez vous du son…]L’action de la pesanteurPoussée hydrostatique sur une paroi
Dynamique des fluides parfaitsEcoulements : points de vue de Lagrange et de Euler – notion
de particule fluideEquation de continuité d’un élément de volume fluideL’équation de Bernoulli
Applications de l’équation de BernoulliFormule de TorricelliTemps de vidage d’un bassinTube de PitotTube piézométriquePhénomène de Venturi
Statique des fluides et dynamique des fluides parfaits
Statique des fluidesApplication de la RFD
p(x) p(x+dx)
dx
dy
dz
x
y
z
L’élément de volume dxdydz est également soumis à des forces de volume, f=(fx,fy,fz).
zz
yy
xx
mmfdxdydzzpdxdyzp
mmfdxdzdyypdxdzypmmfdydzdxxpdydzxp
γ
γγ
=+×+−×
=+×+−×=+×+−×
)()(
)()()()(
zz
yy
xx
dVdVfdVzp
dVdVfdVyp
dVdVfdVxp
γρρ
γρρ
γρρ
=+∂∂
−
=+∂∂
−
=+∂∂
−
( ) γρρrrr
=+∇− fp
Si le champ de forces de volume dérive d’un potentiel
( )Uf ∇−=rr
on obtient par la RFD
( ) ( ) γρρrrr
=∇−∇− Up
pression dans le fluide
masse volumique
Potentiel ↔ forces volumiques
accélération
Statique des fluidesEquation de la statique des fluides incompressibles
On considère le cas de fluides incompressibles( ) ( )UUC ρρρ ∇=∇=
rr;ste
( ) γρρrr
=+∇− Up
L’équation de la RFD devient
Dans le cadre de la statique( ) 0
rrr==+∇− γρρUp
steCUp =+ ρ
Statique des fluidesL’action de la pesanteur.
On suppose que U=gz
( ) 0rr
=+∇− Up ρ
0;0;0 =+∂∂
=∂∂
=∂∂ g
zp
yp
xp ρ
ce qui nous donnesteCgzp =+ ρ
où p est la pression absolue etp+ρgz est la pression motrice, ou piézométrique
0
z
yA (surface libre)
MzM
atmosphère
MMAA gzpgzp ρρ +=+L’équation de la statique des fluides nous donne
MAM gzpp ρ−=−
on l’appelle parfois pression effective
On aurait aussi pu écriresteCz
gp
=+ρ
auquel cas on ne parle plus de pression mais de hauteur
pression – piézométrique - hauteur
pression – absolue - hauteur
pression – effective - hauteur
gpρ
p
zgp+
ρgzp ρ+
gpp AM
ρ−
AM pp −
Statique des fluidesPoussée hydrostatique sur une paroi
z
(S)
0
h
MM’
A
Le fluide est incompressible, de masse volumique ρ, au repos, soumis au potentiel de pesanteur.
horizontale
ghppgzpgzp MMMAA ρρρ +=⇒+=+ atm
h
MM’
A
ds
ghppM ρ+= atm
atmppM =′
Bilan des forces sur l’élément de surface dsndsghfd rr
××−= ρ
nr
La force totale qui s’exerce sur la paroi est
nghSdsnghfdF rrrrρρ −=××−== ∫∫
zverticale
GhG
surface libre
fluide
atmosphère
x
G=point/auquel la paroi est symétrique. En un point quelconque de la paroi, de côte z, la force élémentaire qui s’exerce est
xughdsfd rr×= ρ
xur
Si G=« origine des z »
( ) xG udszhgfd rr×−= ρ
La force totale est l’intégrale des forces élémentaires
( ) xG
h
hxG uSghudszhgfdF
G
G
rrrrρρ =×−== ∫∫
−
Mais son point d’application n’est pas G [pourquoi?]Soit P ce point, alors
∫ ∧=∧ dfGMFGP
Si L est la largeur de la surface suivant y
yG
yGP uhgLuLghz rr
322
32 ρρ −=×
3G
Phz −=
Dynamique des fluides parfaitsPoints de vue de Lagrange et de Euler
Un fluide s’écoule; on dépose un bouchon dans l’écoulement. On suit sa trajectoire et on dépose régulièrement des capteurs de vitesse.
Lagrangeon repère la position et la vitesse d’une particulefluide sur sa trajectoire à chaque instant.[on suit le bouchon au cours du temps]
Euleron choisit un point M de l’espace. On étudie l’évolution de la vitesse des particules fluides ence point, au cours du temps.[on enregistre toujours le même capteur]
Dynamique des fluides parfaitsEquation de continuité d’un élément de volume fluide
( ) 0div =∂∂
+t
v ρρr
cas limites
écoulement permanent[les variables ne dépendent pas du temps] le fluide est incompressible
0=∂∂
tρ ( ) ( )vv rr divdiv ρρ =
( ) 0div =vr
Dynamique des fluides parfaitsLe théorème de Bernoulli
Dans le cadre du point de vue d’Euler, on calcule l’accélération d’une particule fluide, qui dépend de la position dans l’espace, et du temps.
( )tzyx ,,,γγrr
=
On notera les composantes du champ de vitesse, u,v,w.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
dtdw
dtdv
dtdu ,,γ
r
( )wvuv ,,=r
par conséquent
wzwv
ywu
xw
tw
dtdw
wzvv
yvu
xv
tv
dtdv
wzuv
yuu
xu
tu
tz
zu
ty
yu
tx
xu
tu
dtdu
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
=
accélération locale accélération convective
Exemple de régime permanent : les accélérations locales sont toujours nulles, alors que les accélérations convectives ne sont pas nulle.
Réécriture de la partie géométrique, l’accélération convective
( ) ( ) vvvc rrrr∧∧∇+∇= 2
21γ
( ) ( ) vvvc rrrr∧+= rotgrad
21 2γ
D’où la RFD d’un élément de volume fluide
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∧++∂∂
=+ vvvtvdVm cl rrrr
rr rotgrad21 2ργγ
( )( )dVfpFr
ρ+∇−=∑
( ) ( ) ( ) fpvvvtv rrrrr
ρρ +−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∧++∂∂ gradrotgrad
21 2
Approximations :•Aucune force de viscosité•Fluides incompressibles•Régime permanent•Écoulement irrotationnel•Forces de volume dérive du potentiel gravitationnel
( ) ( ) ( ) fpvvvrrrr ρρρ +−=∧+ gradrotgrad
21 2
fluidesincompressibles
( ) ( ) fpvrr ρρ +−= gradgrad
21 2
régimepermanent
écoulementirrotationnel
( ) ( ) ( )Upv gradgradgrad21 2 ρρ −−=
r
forcesgravitationnelles
( ) ( ) ( ) fpvvvtv rrrrr
ρρρρ +∇−=∧++∂∂ rotgrad
21 2
( ) ( ) ( ) fpvvvtv rrrrr
ρρ +−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∧++∂∂ gradrotgrad
21 2
( ) ( ) ( )Upv gradgradgrad21 2 ρρ −−=
r
021grad 2 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ gzpv ρρr
ste2
21 Cgzpv =++ ρρr
[c’est l’équation de Bernoulli]
fluidesincompressibles
( ) ( )Up ρgradgrad −−=
( ) ( )gzp ρgradgrad −−=
Autre point de vue : l’équation de Bernoulli traduit que le système est conservatif → l’énergie mécanique se conserve.
Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point.
Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée.
Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface ∆S. La section de base ∆S du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).
Sur un filet de courant, c’est-à-dire une « ligne de courant d’épaisseur finie ».
][pesanteur]pression[ ppcpcm EEEEEE ++=+=
22
21
21 dVvdmvEc ρ==
pdVpSdxdxFEp === .]pression[
dVgzdmgzEp ρ==]pesanteur[
ste2
21 CdVgzpdVdVvEm =++= ρρ
ste2
21 Cgzpv =++ ρρ
Remarque : il a fallu suivre l’élément de masse dm pendant son déplacement. Ce résultat n’est valable que sur une ligne [filet] de courant.
Deux versions :
1 – si l’écoulement est irrotationnelste2
21 Cgzpv =++ ρρ
2 – si l’écoulement n’est pas irrotationnel, alors le long d’une ligne [filet] de courant, on a
ste2
21 Cgzpv =++ ρρ
ste2
21 Cgzpv =++ ρρ
ste2
2Cz
gp
gv
=++ρ
ste2
21 CdVgzpdVdVv =++ ρρ
ste2
2Cgzpv
=++ρ
ste2
21 CdVgzpdVdVv =++ ρρ
ste2
21 CdVgzpdVdVv =++ ρρ
par unité de volume→ pression
par unité de poids→ hauteur
par unité de masse→ m2.s-2
Remarque
( ) ( ) ( ) fpvvvrrrr ρρρ +−=∧+ gradrotgrad
21 2
Pour un écoulement permanent d’un fluide non visqueux et incompressible
ligne de courant
En tout point de la ligne, on « multiplie » par
dtvsd rr=
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dtvfdtvpdtvvvdtvv rrrrrrrr ..grad.rot.grad21 2 ρρρ +−=∧+
021 2 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ Upvd ρρr
ste2
21 Cgzpv =++ ρρ
Où la constante dépend de la ligne de courant
( ) ( ) ( ) fpvvvrrrr ρρρ +−=∧+ gradrotgrad
21 2 dtvsd rr
=•
Application de l’équation de BernoulliFormule de Toricelli
M
S
Svr
ligne de courant
h=constante
Sur la ligne de courant MS, on applique le théorème de Bernoulli
SSS
MMM z
gp
gvz
gp
gv
++=++ρρ 22
22
Utilisant que 0; == MSM vpp ghvS 2=on en déduit que
C’est l’analogue de la chute libre!
Application de l’équation de BernoulliTemps de vidage d’un bassin
M
S
Svr
ligne de courant
h≠constante
0aism ≠= MSM vpp
SSS
MMM z
gp
gvz
gp
gv
++=++ρρ 22
22
ghvv MS 222 =−
s = surface de sortie
S = surface du réservoir
1<<Ss
La conservation du débit nous donneSvsv MS =
ghvv MS 222 =−
gh
Ss
ghvghvSs
SS 21
221 22
2
≈
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=⇔=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
th
sS
sSvv MS ∂
∂−==
th
sSghvS ∂∂
−== 2
th
sSghvS ∂∂
−== 2 gSs
hth 21
−=∂∂
tgSshhtg
Sshh 2/222 00 −=⇒−=
On obtient le temps de vidage pour T qui vérifie
( ) TgSshTh 2/0 0 −==
0
0
0
0
0
00 222
22QV
svV
ghsSh
gh
sST ====
Application de l’équation de BernoulliPhénomène de Venturi
111 ,, Svp222 ,, Svp
22
22
11
21
22z
gp
gvz
gp
gv
++=++ρρ 2211 SvSv =+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=− 1
21
2
2
12121 S
Svpp ρ
Quand la section de l’écoulement se réduit, la vitesse augmente et la pression diminue.
Remarque : si la pression baisse trop et atteint le seuil fatidique de la pression de vapeur saturante du fluide, il y a cavitation [très très mauvais en général].
Applications de l’équation de Bernoulli
Explications?...