Post on 28-Feb-2021
METODE BOOTSTRAP DAN APLIKASINYA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika
Oleh:
Amelia Enrika
NIM: 083114001
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
METODE BOOTSTRAP DAN APLIKASINYA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika
Oleh:
Amelia Enrika
NIM: 083114001
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
BOOTSTRAP METHOD AND ITS APPLICATIONS
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics
By:
Amelia Enrika
Student Number: 083114001
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF
MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
To reach a port, we must sail
Sail, not tie at anchor
Sail, not drift.
-Franklin Roosevelt-
Skripsi ini dipersembahkan untuk,
Allah Bapa, Putra dan Roh Kudus,
Kedua orang tua tercinta, Beng Lay dan Nanie,
Saudari terkasih, Seniyawati dan Novia Paulien,
Aga Hutama Tirta dan Tante Lina tersayang,
Serta orang-orang yang selalu berada di sisi saya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Tulisan ini membahas tentang metode bootstrap yang prinsipnya adalah memperlakukan sampel acak asli sebagai populasi, kemudian melakukan resampel sebanyak 𝑏𝑏 kali sebanyak mungkin, sehingga diharapkan distribusi dari sampel bootstrap tersebut mendekati normal. Dengan demikian, distribusi sampling bootstrap tersebut dapat digunakan untuk memberikan penjelasan tentang distribusi sampling, serta distribusi populasi.
Aplikasi metode bootstrap dalam statistika yang dibahas adalah pada pendugaan parameter populasi rata-rata, galat standar dan koefisien regresi linear berganda, serta pendugaan selang kepercayaan untuk rata-rata populasi dan koefisien regresi linear berganda. Pada pendugaan parameter rata-rata populasi dan galat standar digunakan metode bootstrap biasa, sedangkan untuk pendugaan selang kepercayaannya digunakan metode persentil bootstrap. Persentil bootstrap membentuk selang kepercayaan (1 − 𝛼𝛼)% dengan cara mengambil data persentil ke (𝛼𝛼 2⁄ )100 dan (1 − (𝛼𝛼 2⁄ ))100 sebagai batas bawah dan atas selang, dari 𝑏𝑏 buah replikasi bootstrap. Pada regresi linear berganda, metode bootstrap dibedakan menjadi dua, yaitu resampling pasangan terurut observasi dan resampling galat dari model regresi linear berganda. Selang kepercayaan koefisien regresi dipadukan antara kedua metode tersebut dengan metode persentil bootstrap.
Pendugaan parameter populasi dengan bootstrap dianggap cukup mendekati parameter penduga asli dan distribusinya mendekati normal seiring membesarnya nilai 𝑏𝑏 dan selang kepercayaan yang dibentuk dengan persentil bootstrap selalu menghasilkan selang yang lebih sempit dibandingkan dengan selang kepercayaan secara teoritis dengan tingkat signifikansi yang sama.
Kata kunci: metode bootstrap, resampling, rata-rata bootstrap, galat standar bootstrap, persentil bootstrap, regresi bootstrap, parameter populasi, koefisien regresi, resampling observasi, resampling galat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
This thesis discusses bootstrap method which treats original random sample as a population. The original random sample was resampled 𝑏𝑏 times as many as we can, so that the bootstrap sampling distribution approximates the normal distribution. Thus, the bootstrap distribution could be used to explain the sampling distribution and the population distribution.
Bootstrap method is applied in estimation of population mean, standard error, and multiple linear regression coefficients. In the estimation of mean and standard error of population, we use ordinary bootstrap method, while percentile bootstrap is used to estimate the confidence interval. Percentile bootstrap constructs a (1 − 𝛼𝛼)100% confidence interval by taking the (𝛼𝛼 2⁄ )100 and (1 − (𝛼𝛼 2⁄ ))100 percentile data of 𝑏𝑏 bootstrap replications as a lower limit and upper limit respectively. In multiple linear regression, there are two bootstrap methods, those are pair observation resampling and error/residual resampling. Confidence interval of regression coefficient is built by combining those two methods and percentile bootstrap.
The use of bootstrap method to estimate the population parameter is considered close to ordinary estimator and its distribution is approximate normal distribution as the increasing the value of 𝑏𝑏. At the same level of significance, the percentile bootstrap confidence interval always narrower than theoretical confidence interval.
Key word: bootstrap method, resampling, bootstrap mean, bootstrap standard error, percentile bootstrap, bootstrap regression, parameter of population, regression coefficient, paired observation resampling, error/residual resampling
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat
dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Penulis dapat menyusun skripsi ini bukan hanya atas kemampuan dan usaha
penulis semata, tetapi juga berkat bantuan dan dukungan berbagai pihak, oleh
karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah
dengan sabar memberikan pengarahan dan bimbingan selama proses
penyusunan skripsi ini.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi
Matematika yang telah memberikan banyak nasehat dan bimbingan selama
penyusunan skripsi, serta Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. yang
telah memberikan banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.
3. Seluruh bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu
pengetahuan kepada penulis.
4. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat yang telah
memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran, serta administrasi bagi
penulis selama masa perkuliahan.
5. Keluarga tersayang, yaitu kedua orang tua, beserta kedua saudari penulis:
Seniyawati dan Novia Paulien yang banyak direpotkan, tetapi terus
memberikan semangat, dukungan, dan doa kepada penulis.
6. Aga Hutama Tirta yang tidak kunjung bosan dan lelah mendukung,
menyemangati, menasehati dan mendengarkan keluh kesah penulis selama
proses penyusunan skripsi ini.
7. Teman-teman penulis: Shelli Moniaga dan Agustina Viktrisia Lily Hertati
yang selalu membantu, serta menyertai penulis dengan doa dan semangat.
Tak lupa terima kasih kepada Irene Saskia atas jempolnya yang setia
menemani saya selama 3 bulan terakhir.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
8. Teman-teman angkatan 2008 dan 2007 dari Program Studi Matematika yang
telah memberikan banyak pengalaman berharga, baik suka maupun duka,
dalam pembelajaran maupun kehidupan sehari-hari.
9. Semua pihak yang telah membantu penulis, tetapi tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Hal yang juga disadari oleh penulis adalah masih banyaknya kekurangan
yang terdapat dalam tulisan ini, namun diharapkan agar hasil tulisan ini tetap
dapat memberikan manfaat bagi kemajuan ilmu pengetahuan, khususnya dalam
bidang matematika serta bagi pembaca tulisan ini. Kritik dan saran yang
membangun sangat penulis harapkan bagi kesempurnaan skripsi ini.
Yogyakarta, Desember 2011
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ………………………………………………………… i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ……………………… ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………….. iii
HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………………… v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………….. vi
HALAMAN ABSTRAK …………………………………………………….. vii
HALAMAN ABSTRACT ……………………………………………………. viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA
ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ………………………….. ix
KATA PENGANTAR ………………………………………………………... x
DAFTAR ISI …………………………………………………………………. xii
DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………… xv
DAFTAR TABEL ……………………………………………………………. xvi
DAFTAR PROGRAM ……………………………………………………….. xix
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah ………………………………………………. 1
B. Perumusan Masalah …………………………………………………... 7
C. Pembatasan Masalah …………………………………………………. 7
D. Tujuan Penulisan ……………………………………………………... 8
E. Manfaat Penulisan ……………………………………………………. 8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
F. Metode Penulisan …………………………………………………….. 8
G. Sistematika Penulisan ………………………………………………… 9
BAB II LANDASAN TEORI
A. Teori Sampling
1. Sampling ………………………………………………………… 11
2. Bilangan Random ……………………………………………….. 14
3. Pembangkit Bilangan Random ………………………………….. 15
4. Distribusi Sampling ……………………………………………… 16
B. Estimasi
1. Estimasi Titik ……………………………………………………. 26
2. Estimasi Interval …………………………………………………. 26
C. Regresi Linear Berganda
1. Model Regresi Linear Berganda ………………………………… 28
2. Metode Kuadrat Terkecil ……………………………………….. 30
3. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil …………………………… 32
4. Selang Kepercayaan Untuk Parameter Regresi …………………. 34
BAB III METODE BOOTSTRAP
A. Prinsip Dasar Dan Algoritma Metode Bootstrap ……………………. 35
B. Aplikasi Pendekatan Galat Standar Dari Mean Dengan
Metode Bootstrap ……………………………………………………. 46
BAB IV APLIKASI METODE BOOTSTRAP
A. Metode Persentil Bootstrap
1. Dasar Pembentukan Selang Parameter Populasi Dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
Metode Persentil Bootstrap ……………………………………… 54
2. Pembentukan Selang Kepercayaan Dengan Metode
Persentil Bootstrap ………………………………………………. 57
B. Regresi Linear Bootstrap
1. Metode Bootstrap Untuk Pendugaan Parameter Dalam
Regresi Linear Berganda ………………………………………… 64
a. Algoritma Metode Bootstrap Untuk
Meresampling Observasi …………………………………….. 65
b. Algoritma Metode Bootstrap Untuk
Meresampling Galat …………………………………………. 72
2. Pembentukan Selang Kepercayaan Bootstrap
Untuk Parameter Regresi ………………………………………… 79
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan …………………………………………………………… 87
B. Saran ………………………………………………………………….. 88
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………….. 89
LAMPIRAN …………………………………………………………………. 91
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
GAMBAR 1.1. ................................................................................................... 4
GAMBAR 2.1. ................................................................................................... 25
GAMBAR 2.2. ................................................................................................... 25
GAMBAR 3.1. ................................................................................................... 35
GAMBAR 3.2. ................................................................................................... 41
GAMBAR 3.3. ................................................................................................... 42
GAMBAR 3.4. ................................................................................................... 42
GAMBAR 3.5. ................................................................................................... 44
GAMBAR 3.6. ................................................................................................... 45
GAMBAR 3.7. ................................................................................................... 115
GAMBAR 3.8. ................................................................................................... 52
GAMBAR 4.1. ................................................................................................... 116
GAMBAR 4.2. ................................................................................................... 66
GAMBAR 4.3. ................................................................................................... 66
GAMBAR 4.4. ................................................................................................... 117
GAMBAR 4.5. ................................................................................................... 118
GAMBAR 4.6. ................................................................................................... 75
GAMBAR 4.7. ................................................................................................... 119
GAMBAR 4.8. ................................................................................................... 120
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR TABEL
Halaman
TABEL 3.1. …………………………………………………………………… 91
TABEL 3.2. …………………………………………………………………... 91
TABEL 3.3. …………………………………………………………………… 91
TABEL 3.4. …………………………………………………………………… 92
TABEL 3.5. …………………………………………………………………… 92
TABEL 3.6. …………………………………………………………………… 93
TABEL 4.1. …………………………………………………………………… 94
TABEL 4.2. …………………………………………………………………… 94
TABEL 4.3. …………………………………………………………………… 95
TABEL 4.4. …………………………………………………………………… 95
TABEL 4.5. …………………………………………………………………… 96
TABEL 4.6. …………………………………………………………………… 97
TABEL 4.7. …………………………………………………………………… 98
TABEL 4.8. …………………………………………………………………… 99
TABEL 4.9. …………………………………………………………………… 100
TABEL 4.10. …………………………………………………………………. 101
TABEL 4.11. ………………………………………………………………….. 102
TABEL 4.12. …………………………………………………………………. 102
TABEL 4.13. ………………………………………………………………….. 102
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
TABEL 4.14. …………………………………………………………………. 103
TABEL 4.15. …………………………………………………………………. 103
TABEL 4.16. …………………………………………………………………. 103
TABEL 4.17. …………………………………………………………………. 104
TABEL 4.18. …………………………………………………………………. 104
TABEL 4.19. …………………………………………………………………. 104
TABEL 4.20. …………………………………………………………………. 105
TABEL 4.21. …………………………………………………………………. 105
TABEL 4.22. …………………………………………………………………. 106
TABEL 4.23. …………………………………………………………………. 106
TABEL 4.24. …………………………………………………………………. 106
TABEL 4.25. …………………………………………………………………. 107
TABEL 4.26. …………………………………………………………………. 107
TABEL 4.27. …………………………………………………………………. 107
TABEL 4.28. …………………………………………………………………. 108
TABEL 4.29. …………………………………………………………………. 108
TABEL 4.30. …………………………………………………………………. 108
TABEL 4.31. …………………………………………………………………. 109
TABEL 4.32. …………………………………………………………………. 109
TABEL 4.33. …………………………………………………………………. 109
TABEL 4.34. …………………………………………………………………. 110
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xviii
TABEL 4.35. …………………………………………………………………. 110
TABEL 4.36. …………………………………………………………………. 111
TABEL 4.37. …………………………………………………………………. 113
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xix
DAFTAR PROGRAM
Halaman
PROGRAM 3.1. ……………………………………………………………… 121
PROGRAM 4.1. ……………………………………………………………… 123
PROGRAM 4.2. ……………………………………………………………… 124
PROGRAM 4.3. ……………………………………………………………… 127
PROGRAM 4.4. ……………………………………………………………… 130
PROGRAM 4.5. ……………………………………………………………… 132
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Sampling, yang berarti pengambilan sampel sering digunakan oleh para
statistikawan atau ilmuwan untuk mempermudah penelitian mereka, karena
ketidakmungkinan peneliti untuk mengobservasi objek-objek populasi secara
menyeluruh. Keterbatasan biaya, waktu, tenaga peneliti dan juga kesulitan pe-
ngumpulan data populasi adalah alasan-alasan dilakukannya sampling. Ba-
nyak metode sampling yang telah diciptakan oleh para peneliti, sebagai contoh
Metode Sampel Acak Sederhana, Metode Stratifikasi, Metode Cluster, dan se-
bagainya. Dari metode sampling ini, muncul pengembangannya, yaitu resam-
pling. Selama beberapa dekade terakhir, telah dilakukan pengembangan me-
tode resampling, Metode Jackknife, Metode Cross-validation dan Metode
Bootstrap merupakan teknik resampling yang sering digunakan para peneliti
dalam menganalisis data.
Dalam kondisi praktis dan statistikal, bentuk distribusi sampling jarang
diketahui secara pasti. Pendekatan parametrik tradisional lebih menekankan
pendugaan distribusi sampling dibandingkan pembuatan inferensi terhadap pa-
rameter populasi dari sebuah sampel. Cara yang digunakan adalah dengan
mengasumsikan bentuk distribusi sampling dari parameter penduga yang dike-
tahui sifat-sifat probabilitasnya (contohnya distribusi normal atau eksponen-
sial). Dalam pendekatan parametrik tradisional, parameter dari distribusi
sampling diduga secara analitik. Para peneliti dan statistikawan melakukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
perhitungan secara analitik menggunakan rumus yang rumit. Namun sering
kali ditemukan kendala berkaitan dengan distribusi sampling. Biasanya ken-
dala tersebut berupa kesulitan mendekati distribusi sampling secara analitik,
baik karena perhitungan yang terlalu sulit atau rumus yang rumit. Selain itu,
pendekatan secara analitik menggunakan asumsi-asumsi tertentu seperti ben-
tuk distribusi, apakah data tersebut normal atau tidak, ataupun bergantung pa-
da Teorema Limit Pusat. Pada kenyataannya secara praktis, terkadang para
peneliti tidak bisa bergantung pada asumsi-asumsi tersebut. Kesulitan untuk
mendekati distribusi sampling secara analitik tersebut menyebabkan data tidak
bisa diolah secara analitik. Akibatnya, parameter populasi pun sulit untuk di-
dekati secara analitik. Maka dari itu, banyak dilakukan riset untuk mengolah
data secara langsung dengan komputer untuk menanggulangi masalah-
masalah tersebut.
Perkembangan teknologi komputer yang sangat signifikan dalam bebe-
rapa dekade terakhir ini memberikan pengaruh yang besar dalam bidang statis-
tika. Analisis data menjadi lebih mudah dilakukan dengan adanya otomatisasi
penggambaran grafik dan perhitungan data. Studi statistikal yang melibatkan
himpunan data yang besar dan kompleks sekarang ini mampu dianalisa de-
ngan lebih mudah, sehingga juga berpengaruh pada efisiensi biaya penelitian.
Penelitian dapat dilakukan lebih cepat dan lebih sedikit biaya dibandingkan
dulu karena banyak muncul metode yang menerapkan komputasi yang sebe-
lumnya tidak terpikirkan untuk pendugaan parameter populasi, pembentukan
selang kepercayaan, dan uji signifikansi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Pada tahun 1979, Bradley Efron mengembangkan metode Bootstrap un-
tuk pertama kalinya. Metode resampling yang berbasis komputer ini, bukan
metode resampling yang pertama kali muncul. Menurut Kvam dan Vidakovic
(2007), sebelum Metode Bootstrap, ada metode permutasi Fisher, Pitman, dan
metode Jackknife, tetapi metode Bootstrap adalah metode resampling yang
paling populer yang digunakan para peneliti pada saat ini. Metode ini sangat
popular di kalangan para peneliti karena metode ini langsung mengolah data,
menggunakan komputer sebagai pengolah datanya. Lagipula, para peneliti ti-
dak membutuhkan hitungan teoritis untuk mencapai parameter populasi tu-
juannya. Bootstrap baru-baru dikembangkan karena sangat bergantung pada
kecanggihan teknologi komputer untuk melakukan perhitungannya. Dengan
menyimulasikan langsung data-data yang ada, bootstrap menghindarkan kita
dari pembuatan model dan asumsi-asumsi yang tak dibutuhkan tentang para-
meter. Secara imajinatif, metode ini seolah-olah menarik diri sendiri dengan
tali sepatu sendiri (dengan mengambil sampel dari sampel itu sendiri) diban-
ding menggantungkan diri pada bantuan luar (dari asumsi-asumsi parametrik).
Dari sisi tersebut, metode bootstrap terlihat seperti sebuah prosedur nonpara-
metrik. Kenyataannya, bootstrap merupakan teknik resampling yang meli-
batkan bentuk parametrik dan nonparametrik, tetapi pada esensinya, merupa-
kan prosedur yang lebih bersifat empiris.
Efron menganalogikan istilah bootstrap dengan cerita rakyat Inggris, ya-
itu cerita Petualangan Baron von Munchausen. Dikisahkan sang Baron mele-
paskan diri dari rawa dengan menarik dirinya sendiri dengan menggunakan ta-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
li sepatunya sendiri. Keadaan di mana sang Baron menggunakan tali sepa-
tunya sendiri untuk menyelamatkan dirinya, inilah yang dianalogikan Efron
dalam metode Bootstrap.
Peneliti menggunakan sampel dari sampel itu sendiri untuk mengetahui
parameter populasi. Efron ingin mendeskripsikan metode ini dengan istilah
bootstrap untuk membantu kita memahami karakteristik dari suatu estimator
tanpa bantuan dari model probabilitas tambahan atau asumsi-asumsi parame-
trik. Ketika memperkenalkan versi bootstrap, Efron termotivasi oleh dua ma-
salah yang paling penting dalam statistika terapan, yaitu penentuan penduga
untuk suatu parameter tujuan dan evaluasi dari keakuratan dari penduga terse-
but melalui galat standar dari penduga dan penentuan selang kepercayaan un-
tuk parameter tujuan tersebut. Sampel asli yang pertama kali diambil dipan-
dang sebagai suatu populasi karena sampel asli sebanyak 𝑛𝑛 buah itu dianggap
Gambar 1.1. Pada versi awal cerita, dikatakan bahwa Sang Baron menggunakan rambutnya sendiri untuk menyelamatkan dirinya sendiri. Tetapi lama-kelamaan ceritanya berubah menjadi Sang Baron menye-lamatkan dirinya dengan bootstrap.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
mewakili karakteristik-karakteristik dari populasi (karena pengambilannya di-
lakukan secara acak). Karena perlakuan itu, metode bootstrap tidak memerlu-
kan asumsi kuat terhadap distribusi sampling dari statistik penduga untuk
mendekati distribusi samplingnya. Jadi begitu pula dengan resampel atau
sampel bootstrap yang diambil dengan pengembalian juga dianggap merepre-
sentasikan populasi sama halnya seperti bila kita mengambil banyak sampel
dari populasi. Banyak dilakukan simulasi dari data-data sampel yang telah
tersedia sangatlah menguntungkan peneliti atau statistikawan. Hal itu meng-
hindarkan kita dari pembuatan asumsi-asumsi yang tidak dibutuhkan tentang
parameter dan model. Bila dibandingkan dengan pendekatan parametrik tradi-
sional, metode bootstrap memuat lebih banyak repetisi dari komputasi data
sampel untuk mendekati bentuk distribusi sampling suatu statistik bila diban-
ding asumsi distribusional yang kuat ataupun formula analitik. Kelebihan
yang lain dari metode ini adalah dapat diterapkan seberapapun sulitnya ke-
mungkinan pencapaian nilai penduga parameter populasi. Para peneliti ba-
nyak menggunakan metode ini untuk diterapkan dalam berbagai bidang, con-
tohnya di bidang psikologi, geologi, ekonometrika, biologi, teknik, kimia dan
akunting. Bootstrap sering digunakan pada bidang-bidang tersebut karena se-
ring kali para peneliti hanya memiliki data sampel yang sangat sedikit.
Metode ini sering digunakan ketika distribusi sampling dari statistik ti-
dak dapat diasumsikan berdistribusi normal (seperti mengestimasi koefisien
regresi dengan Ordinary Least Square), atau ketika distribusi sampling tidak
memiliki solusi analitik atau tidak tahu bagaimana cara mendekatinya secara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
analitik. Selain itu, bila ukuran populasinya cukup besar sehingga sulit untuk
menentukan kerangka sampel, lebih baik dilakukan resampling dengan me-
tode ini.
Dalam statistika, kita mengenal penduga parameter populasi berupa se-
lang kepercayaan. Selang kepercayaan suatu parameter θ dibentuk dengan
menentukan suatu selang nilai yang dengan peluang besar memuat parameter
yang diduga (parameter populasi) dan erornya harus minimum. Bentuk selang
kepercayaan ada tiga, yaitu:
�∞,𝜃𝜃�𝑈𝑈�, �𝜃𝜃�𝐿𝐿 ,∞�, �𝜃𝜃�𝐿𝐿 ,𝜃𝜃�𝑈𝑈�
dengan 𝜃𝜃�𝑈𝑈 adalah batas atas selang dan 𝜃𝜃�𝐿𝐿 adalah batas bawah selang. Dalam
tulisan ini, akan diulas bagaimana membentuk selang kepercayaan tersebut de-
ngan metode Bootstrap. Pembentukan selang kepercayaan yang akan diulas
adalah pembentukan selang kepercayaan dengan metode Persentil Bootstrap.
Metode Persentil Bootstrap menghasilkan selang kepercayaan yang lebih pen-
dek, variansi yang lebih kecil, dan tingkat kepercayaan yang lebih tinggi jika
dibandingkan dengan metode lain yang selama ini digunakan.
Metode Bootstrap juga dapat diterapkan pada regresi linear untuk mere-
sampling sampelnya dalam upaya mendekati koefisien-koefisien model regre-
si linear. Prinsip resampling bootstrap dalam regresi linear dibedakan berda-
sarkan asumsi tetap atau acaknya variabel independen dari sampel asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
B. Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini akan dirumuskan se-
bagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud dengan metode Bootstrap dan bagaimana landasan
teoritiknya?
2. Bagaimana penerapan metode Bootstrap pada pendugaan selang parameter
populasi dan parameter regresi linear berganda?
3. Bagaimana algoritma dan pemrograman MATLAB untuk pendugaan se-
lang parameter populasi dengan menggunakan metode Bootstrap?
4. Bagaimana algoritma dan pemrograman MATLAB untuk pendugaan pa-
rameter regresi dengan menggunakan metode Bootstrap?
C. Pembatasan Masalah
Penulis akan membatasi beberapa hal untuk uraian masalah yang akan
dibahas, yaitu:
1. Distribusi normal dan Student-t tidak dibahas dalam tulisan ini.
2. Pembentukan selang parameter populasi dengan prinsip Bootstrap dibatasi
hanya menggunakan metode Persentil Bootstrap.
3. Aplikasi metode bootstrap hanya dibatasi pada pendugaan parameter rata-
rata populasi, parameter koefisien regresi berganda, selang kepercayaan
rata-rata populasi, dan selang kepercayaan koefisien regresi berganda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
D. Tujuan Penulisan
Tulisan ini disusun dengan tujuan agar dapat lebih memahami salah satu
teknik resampling yang sering digunakan dalam statistika, yaitu Metode Boot-
strap. Terlebih lagi, akan dipelajari prinsip Bootstrap dalam metode Persentil
Bootstrap untuk membangun selang kepercayaan parameter populasi. Selain
itu, prinsip bootstrap dalam regresi linear berganda juga dipelajari dalam tuli-
san ini. Sebagai tambahan, kitapun akan mempelajari bagaimana penerapan
prinsip-prinsip tersebut dalam pemrograman MATLAB. Tulisan ini juga di-
susun sebagai pemenuhan tugas akhir dalam Program Studi Matematika Un-
iversitas Sanata Dharma.
E. Manfaat Penulisan
Dengan memperlajari topik ini kita dapat mempelajari kegunaan-
kegunaan metode Bootstrap dalam membangun selang penduga parameter po-
pulasi dengan memanfaatkan data-data yang ada. Kita juga dapat mempelajari
prinsip bootstrap dalam pengambilan sampel dalam regresi linear berganda.
Terlebih dari itu, kita juga dapat menerapkan metode tersebut dalam algoritma
dan pemrograman MATLAB sehingga proses komputasi lebih efektif dan efi-
sien.
F. Metode Penulisan
Penulis menggunakan metode studi kepustakaan, yaitu dengan mempela-
jari literatur yang berkaitan dengan topik metode Bootstrap dan teknik sam-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
pling guna mencari perannya dalam membangun selang penduga parameter
populasi dan penduga parameter regresi linear berganda.
G. Sistematika Penulisan
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Perumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II. LANDASAN TEORI
A. Teori Sampling
B. Estimasi
C. Regresi Linear Berganda
BAB III. METODE BOOTSTRAP
A. Prinsip Dasar Dan Algoritma Metode Bootstrap
B. Aplikasi Pendekatan Galat standar Dari Mean Dengan Metode Boot-
strap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
BAB IV. APLIKASI METODE BOOTSTRAP
A. Metode Persentil Bootstrap
B. Regresi Bootstrap
BAB V. PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Teori Sampling
1. Sampling
Dalam statistika, selalu ditemui istilah populasi atau semesta. Istilah
ini mengacu pada sekumpulan dari individu-individu atau atributnya, yang
dapat dispesifikasikan secara numerik. Contohnya, populasi dari berat ba-
dan, harga beras, dan sebagainya. Populasi yang memiliki elemen yang
terhingga jumlahnya disebut sebagai populasi terhingga. Contohnya ada-
lah populasi dari berat badan 48 siswa di suatu kelas. Istilah yang juga
sering dijumpai adalah sampel. Sampel merupakan bagian yang terpilih
dari suatu populasi dan proses pemilihan bagian terpilih tersebut disebut
sebagai sampling.
Sampling atau penarikan sampel, bertujuan untuk memperoleh in-
formasi (sebanyak mungkin) yang mendukung pengamatan variabel ter-
tentu guna mendapatkan keterangan tentang suatu populasi. Secara khu-
sus, sampling dilakukan untuk mengestimasi parameter tertentu dari suatu
populasi. Pemilihan sampel harus dilakukan secara acak (sampling acak)
agar semua elemen populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih.
Bilangan random (yang akan dibahas dalam subbab berikutnya) digunakan
dalam proses sampling acak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.1.
Diberikan 𝑁𝑁 dan 𝑛𝑛 yang mewakili banyaknya elemen dari ukuran populasi
dan ukuran sampel secara berturut-turut. Bila samplingnya diperoleh den-
gan suatu cara sedemikian sehingga setiap dari �𝑁𝑁𝑛𝑛� buah sampel memiliki
probabilitas yang sama untuk terpilih, sampling tersebut dikatakan acak
dan hasilnya dikatakan sampel acak.
Dengan sampling sederhana, kita bermaksud melakukan sampling
acak secara bersamaan. Cara ini merupakan cara untuk memilih 𝑛𝑛 buah
sampel acak dari 𝑁𝑁 anggota populasi, sehingga 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑁𝑁 sampel yang berbeda
memiliki peluang yang sama untuk dipilih. Dengan begitu, setiap sampel
memiliki probabilitas yang independen dan konstan. Tiap sampel diambil
satu-persatu setelah sebelumnya dinomori dari 1 sampai 𝑁𝑁. Kemudian, bi-
langan-bilangan random bernilai di antara 1 sampai 𝑁𝑁 dibangkitkan dan
digunakan untuk memilih secara acak.
Terdapat dua macam cara penarikan sampel berdasarkan pengemba-
lian sampel, yaitu sampling tanpa pengembalian dan sampling dengan pe-
ngembalian. Menurut buku Encyclopedia of Statistical Sciences (2006),
“Sampling is said to be with or without replacement according as to
whether or not the same member of the population may be selected more
than once.”, kemungkinan suatu anggota dari populasi dapat dipilih lebih
dari sekali itulah yang menentukan cara sampling ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Bila sebuah sampel yang diambil pada pengambilan pertama tidak
dikembalikan sebelum pengambilan sampel yang kedua, dan begitu sete-
rusnya, maka cara ini disebut dengan sampling tanpa pengembalian. Sam-
pling dengan metode ini tidak termasuk dalam sampling sederhana karena
probabilitas terpilihnya sampel tidak konstan. Pada sampling tanpa pen-
gembalian, pengambilan pertama pada sebuah himpunan sampel berukur-
an 𝑛𝑛 memiliki probabilitas sebesar 𝑛𝑛 𝑁𝑁⁄ . Pengambilan kedua memiliki
probabilitas sebesar (𝑛𝑛 − 1) (𝑁𝑁 − 1)⁄ karena anggota sampel dan populasi
masing-masing berkurang 1 anggota dengan tidak dilakukannya pengem-
balian sampel. Begitu pula untuk pengambilan ketiga dan seterusnya.
Maka dari itu, untuk sampling tanpa pengembalian, probabilitas semua 𝑛𝑛
buah sampel dapat dipilih dalam 𝑁𝑁 kali pengambilan adalah:
𝑛𝑛𝑁𝑁⋅
(𝑛𝑛 − 1)(𝑁𝑁 − 1)
⋅(𝑛𝑛 − 2)(𝑁𝑁 − 2)
⋅⋅⋅1
(𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 + 1)=𝑛𝑛! (𝑁𝑁 − 𝑛𝑛)!
𝑁𝑁!=
1𝐶𝐶𝑛𝑛𝑁𝑁
Pada sampling dengan pengembalian, sampel yang sebelumnya telah
diambil, dikembalikan terlebih dulu sebelum mengambil sampel berikut-
nya. Jadi, sampel ke-i dapat muncul 0,1,2, … ,𝑛𝑛 kali dalam himpunan
sampelnya. Karena adanya pengembalian, seluruh unit sampel memiliki
peluang yang sama untuk dipilih, berapa kalipun sampel tersebut sudah
terpilih sebelumnya. Jadi, pada sampling dengan pengembalian, probabili-
tas masing-masing 𝑛𝑛 buah sampel untuk terpilih adalah 1 𝑁𝑁⁄ .
Alasan dilakukannya sampling yaitu, adalah suatu hal yang mustahil
bila seorang peneliti mengamati seluruh anggota dari populasi. Kalaupun
hal tersebut mungkin dilakukan, maka pasti akan membutuhkan biaya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
waktu dan sumber daya manusia yang tidak sedikit. Suatu populasi, mi-
salnya darah dalam tubuh manusia, tidak mungkin diobservasi seluruhnya
karena pengamatan seperti itu bersifat destruktif bagi populasi. Sering kali
pula populasi dianggap terlalu dinamis, dapat berubah-ubah sewaktu-
waktu, contohnya populasi penduduk suatu daerah. Sebenarnya peng-
amatan secara keseluruhan anggota populasi mungkin saja dilakukan dan
akan menghasilkan keterangan tentang populasi yang lebih tepat dan aku-
rat dibandingkan dengan mengamati sampel. Meskipun begitu, kita perlu
menjaga keseimbangan antara ketepatan hasil dengan banyaknya sumber
daya yang harus dikorbankan dengan mengamati populasi secara menyelu-
ruh. Karena itulah, para peneliti lebih memilih untuk mengamati sampel,
dengan syarat galat pengamatan diminimalisir daripada mengorbankan ba-
nyak sumber daya untuk penelitian populasi. Keterangan tentang populasi
dengan galat yang minimal dianggap cukup memuaskan bagi peneliti.
2. Bilangan Random
Sebelum teknologi komputer dan simulasi matematis berkembang
seperti sekarang ini, bilangan random biasanya didapat dari tabel bilangan
random yang disusun oleh L. H. C. Tippet. Tabel tersebut terdiri dari
10.400 buah bilangan empat digit. Bilangan random ini sangat diperlukan
untuk metode statistika yang bersifat probabilistik, seperti metode sam-
pling Monte Carlo. Dewasa ini, bilangan random sudah dapat dibang-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
kitkan dengan menggunakan komputer, sehingga simulasi matematis dapat
dilakukan dengan mudah.
Sifat bilangan random yang acak diterapkan untuk membangkitkan
nilai dari variabel-variabel random untuk sembarang distribusi. Bilangan
random dibangkitkan dengan menggunakan algoritma numerik. Algoritma
numerik tersebut membuat barisan bilangan yang bersifat deterministik.
Bila dilihat tanpa mengetahui algoritmanya, bilangan-bilangan tersebut
terlihat acak. Sifat acak yang sebenarnya didapatkan dari algoritma inilah
yang menyebabkan sifat semu dari bilangan random tersebut. Maka dari
itu, bilangan random sering kali disebut sebagai bilangan pseudorandom.
3. Pembangkit Bilangan Random
Cara yang paling sederhana untuk membangkitkan bilangan random
yaitu dengan menggunakan Linear Congruential Generators.
Langkah pertama dimulai dengan nilai awal 𝑥𝑥0, lalu secara rekursif
menghitung nilai-nilai selanjutnya 𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ≥ 1, dengan rumus:
𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + 𝑐𝑐 modulo 𝑚𝑚
di mana 𝑎𝑎,𝑚𝑚 ∈ ℤ+ (ℤ+ adalah himpunan bilangan bulat positif) dan
𝑎𝑎𝑥𝑥𝑛𝑛−1 dapat dibagi oleh 𝑚𝑚 dan sisanya diambil sebagai nilai dari 𝑥𝑥𝑛𝑛 . Se-
tiap 𝑥𝑥𝑛𝑛 , nilainya bisa bernilai 0, 1, … ,𝑚𝑚− 1 dan nilai dari 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑚𝑚⁄ lah yang
disebut sebagai bilangan random. Bilangan ini diambil sebagai pendekat-
an dari sebuah variabel random seragam (0,1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Sebagai contoh, bila diambil 𝑎𝑎 = 13, 𝑐𝑐 = 0, 𝑚𝑚 = 31, dan 𝑥𝑥0 = 1,
akan didapatkan deret sebagai berikut:
1, 13, 14, 27, 10, 6, 16, 22, …
Rumus rekursif untuk 𝑥𝑥𝑛𝑛 akan menghasilkan 30 bilangan bulat yang me-
rupakan permutasi dari 1 sampai 30. Hal ini akan berulang ketika ketiga
puluh bilangan sudah termuat dalam 30 bilangan pertama dalam deret. Pe-
riode perulangan ini biasanya terjadi pada saat 𝑚𝑚− 1.
Sesuai dengan aturan bilangan random, kita telah mendapatkan bari-
san untuk 𝑥𝑥𝑛𝑛 dan untuk membangkitkan bilangan random, kita tinggal
membagi masing-masing 𝑥𝑥𝑛𝑛 dengan 𝑚𝑚 = 31. Dengan begitu, kita akan
mendapatkan barisan:
0.03225, 0.41935, 0.45161, 0.87097, 0.32258, 0.19355, 0.51613, 0.70968, …
Barisan bilangan itu disebut dengan bilangan pseudorandom.
Pada program MATLAB, bilangan random dapat dibangkitkan de-
ngan mudah, dengan menggunakan fungsi tertentu. Matriks akan dibang-
kitkan dalam bentuk vektor kolom atau matriks. Fungsi pembangkit bi-
langan randomnya adalah
rand(n) dan rand(m,n)
di mana m adalah banyaknya baris dan n adalah banyaknya kolom.
4. Distribusi Sampling
Sebuah statistik pada dasarnya adalah penduga bagi parameter popu-
lasi. Statistik digunakan untuk menghitung nilai dugaan parameter popu-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
lasi tersebut. Statistik berkaitan erat dengan distribusi dari sampel yang te-
lah diamati. Distribusi ini yang menentukan kesimpulan tentang distribusi
dari populasi.
Definisi 2.2.
Statistik adalah sebuah fungsi dari variabel random yang dapat diobservasi
dalam sebuah sampel dan diketahui sebagai konstanta. Statistik digunakan
untuk membuat inferensi (estimasi atau keputusan) tentang parameter po-
pulasi yang tidak diketahui.
Karena statistik adalah fungsi dari variabel random yang diobservasi
dalam sebuh sampel, jadi statistik itu sendiri adalah variabel random. Dis-
tribusi probabilitas dari suatu statistik tersebut disebut distribusi sampling.
Untuk membentuk distribusi sampling secara teoritis dari sebuah statistik,
akan bergantung pada distribusi dari random variabel yang dapat diobser-
vasi pada sampel.
Distribusi sampling yang berkaitan dengan distribusi normal sangat
diperlukan karena dibutuhkan untuk mendekati distribusi normal. Hal ini
disebabkan oleh banyaknya pengamatan konkrit yang memiliki distribusi
yang dapat dimodelkan dengan distribusi normal. Misalkan diberikan va-
riabel random 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … ,𝑋𝑋𝑛𝑛 yang dapat diobservasi pada suatu sampel
acak, teorema berikut membentuk distribusi sampling dari statistik
𝑋𝑋� = (1 𝑛𝑛⁄ )(𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝑋𝑛𝑛).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Teorema 2.1.
Diberikan variabel random 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … ,𝑋𝑋𝑛𝑛 yang secara independen berdis-
tribusi normal dengan 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖) = 𝜇𝜇𝑖𝑖 dan 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖) = 𝜎𝜎𝑖𝑖2, 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛. Di-
definisikan 𝑈𝑈 sebagai
𝑈𝑈 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 𝑎𝑎1𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎2𝑋𝑋2 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑋𝑋𝑛𝑛
di mana 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2, … ,𝑎𝑎𝑛𝑛 konstan. Maka 𝑈𝑈 adalah variabel random yang ber-
distribusi normal dengan
𝐸𝐸(𝑈𝑈) = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝜇𝜇𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑈𝑈) = �𝑎𝑎𝑖𝑖2𝜎𝜎𝑖𝑖2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
Bukti:
Karena 𝑋𝑋𝑖𝑖 berdistribusi normal dengan mean 𝜇𝜇𝑖𝑖 dan variansi 𝜎𝜎𝑖𝑖2, 𝑋𝑋𝑖𝑖
memiliki Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
𝑚𝑚𝑋𝑋𝑖𝑖(𝑡𝑡) = exp�𝜇𝜇𝑖𝑖𝑡𝑡 +𝜎𝜎𝑖𝑖2𝑡𝑡2
2�
maka dari itu, 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖 memiliki FPM
𝑚𝑚𝑎𝑎𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸(𝑒𝑒𝑡𝑡𝑎𝑎𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖) = 𝑚𝑚𝑋𝑋𝑖𝑖(𝑎𝑎𝑖𝑖𝑡𝑡) = exp�𝜇𝜇𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑡𝑡 +𝑎𝑎𝑖𝑖2𝜎𝜎𝑖𝑖2𝑡𝑡2
2�
Karena 𝑋𝑋𝑖𝑖 independen, maka 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖 juga independen untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛,
maka
𝑚𝑚𝑈𝑈(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚𝑎𝑎1𝑋𝑋1 (𝑡𝑡)𝑚𝑚𝑎𝑎2𝑋𝑋2 (𝑡𝑡) …𝑚𝑚𝑎𝑎𝑛𝑛𝑋𝑋𝑛𝑛 (𝑡𝑡)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
= exp�𝜇𝜇1𝑎𝑎1𝑡𝑡 +𝑎𝑎1
2𝜎𝜎12𝑡𝑡2
2�… exp�𝜇𝜇𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡 +
𝑎𝑎𝑛𝑛2𝜎𝜎𝑛𝑛2𝑡𝑡2
2�
= exp�𝑡𝑡�𝜇𝜇𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
+𝑡𝑡2
2�𝑎𝑎𝑖𝑖2𝜎𝜎𝑖𝑖2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
�
adalah FPM dari distribusi normal dengan mean ∑ 𝜇𝜇𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 dan variansi
∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖2𝜎𝜎𝑖𝑖2𝑛𝑛𝑖𝑖=1 . Karena FPM berkorespondensi satu-satu dengan distribusi
probabilitas, maka menurut teorema ketunggalan FPM, 𝑈𝑈 berdistribusi
normal dengan mean ∑ 𝜇𝜇𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 dan variansi ∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖2𝜎𝜎𝑖𝑖2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 .
Teorema 2.2.
Diberikan sampel acak 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … ,𝑋𝑋𝑛𝑛 berukuran 𝑛𝑛 dari distribusi normal
dengan mean 𝜇𝜇 dan variansi 𝜎𝜎2, maka
𝑋𝑋� =1𝑛𝑛�𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
berdistribusi normal dengan 𝜇𝜇 dan variansi 𝜎𝜎2 𝑛𝑛⁄ .
Bukti:
Karena 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … ,𝑋𝑋𝑛𝑛 adalah sampel acak dari distribusi normal de-
ngan mean 𝜇𝜇 dan variansi 𝜎𝜎2, 𝑋𝑋𝑖𝑖 adalah variabel independen berdistribusi
normal, dengan 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖) = 𝜇𝜇, 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖) = 𝜎𝜎2, 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛. Maka,
𝑋𝑋� =1𝑛𝑛�𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
=1𝑛𝑛
(𝑋𝑋1) +1𝑛𝑛
(𝑋𝑋2) + ⋯+1𝑛𝑛
(𝑋𝑋𝑛𝑛)
dan 𝑋𝑋� adalah kombinasi linear dari 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … ,𝑋𝑋𝑛𝑛 atau
𝑋𝑋� = 𝑎𝑎1𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎2𝑋𝑋2 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑋𝑋𝑛𝑛
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
dengan 𝑎𝑎1 = 1 𝑛𝑛⁄ , 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛.
Maka dari itu, Teorema 2.1 dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa
𝑋𝑋� berdistribusi normal dengan
𝐸𝐸(𝑋𝑋�) = 𝐸𝐸 �1𝑛𝑛
(𝑋𝑋1) +1𝑛𝑛
(𝑋𝑋2) + ⋯+1𝑛𝑛
(𝑋𝑋𝑛𝑛)�
=1𝑛𝑛
(𝜇𝜇) +1𝑛𝑛
(𝜇𝜇) + ⋯+1𝑛𝑛
(𝜇𝜇)
= 𝜇𝜇
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑌𝑌�) = 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉 �1𝑛𝑛
(𝑋𝑋1) +1𝑛𝑛
(𝑋𝑋2) + ⋯+1𝑛𝑛
(𝑋𝑋𝑛𝑛)�
=1𝑛𝑛2 (𝜎𝜎2) +
1𝑛𝑛2 (𝜎𝜎2) + ⋯+
1𝑛𝑛2 (𝜎𝜎2)
=1𝑛𝑛2 (𝑛𝑛𝜎𝜎2) =
𝜎𝜎2
𝑛𝑛
Jadi, distribusi sampling dari 𝑋𝑋� adalah normal dengan mean 𝜇𝜇 dan
variansi 𝜎𝜎2 𝑛𝑛⁄ . Artinya, harapan 𝑋𝑋� sama dengan harapan dari 𝑋𝑋, tetapi be-
sarnya variansi dari 𝑋𝑋� adalah 1 𝑛𝑛⁄ variansi dari 𝑋𝑋. Dengan nilai 𝑛𝑛 yang
semakin besar, semakin kecil nilai 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑋𝑋), jadi estimasi bagi 𝜇𝜇 semakin
baik.
Efron (1993) menjelaskan bahwa bila diberikan variabel random 𝑋𝑋
dengan fungsi probabilitas 𝑓𝑓(𝑋𝑋), nilai harapan 𝐸𝐸(𝑋𝑋), dan variansi
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑋𝑋), galat standar dari mean 𝑋𝑋�, yang dinotasikan sebagai 𝑆𝑆𝐸𝐸(𝑋𝑋�) ada-
lah akar dari variansi dari 𝑋𝑋�, yaitu
𝑆𝑆𝐸𝐸(𝑋𝑋�) = [𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑋𝑋�)]1 2⁄ = 𝜎𝜎 √𝑛𝑛⁄ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Teorema 2.3. (Teorema Limit Pusat)
Diberikan variabel random 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … ,𝑋𝑋𝑛𝑛 yang secara independen dan seca-
ra identik berdistribusi dengan 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖) = 𝜇𝜇 dan 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖) = 𝜎𝜎2 < ∞,
𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛. Didefinisikan
𝑈𝑈𝑛𝑛 = √𝑛𝑛 �𝑋𝑋� − 𝜇𝜇𝜎𝜎
� di mana 𝑋𝑋� =1𝑛𝑛�𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
maka fungsi distribusi dari 𝑈𝑈𝑛𝑛 akan mendekati fungsi distribusi normal stan-
dar dengan 𝑛𝑛 → ∞.
Bukti:
Sebuah variabel random didefinisikan sebagai berikut
𝑍𝑍𝑖𝑖 =𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝜇𝜇𝜎𝜎
Perhatikan bahwa 𝐸𝐸(𝑍𝑍𝑖𝑖) = 0 dan 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑍𝑍𝑖𝑖) = 1. Fungsi Pembangkit Mo-
men dari 𝑍𝑍𝑖𝑖 , yaitu 𝑚𝑚𝑍𝑍(𝑡𝑡) dapat ditulis sebagai
𝑚𝑚𝑍𝑍(𝑡𝑡) = 1 +𝑡𝑡2
2+𝑡𝑡3
3!𝐸𝐸�𝑍𝑍𝑖𝑖3� + ⋯
lalu,
𝑈𝑈𝑛𝑛 = √𝑛𝑛 �𝑋𝑋� − 𝜇𝜇𝜎𝜎
� =1√𝑛𝑛
�∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑛𝑛𝜇𝜇𝑛𝑛𝑖𝑖=1
𝜎𝜎� =
1√𝑛𝑛
�𝑍𝑍𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
karena 𝑋𝑋𝑖𝑖 saling independen, hal ini mengakibatkan 𝑍𝑍𝑖𝑖 juga independen,
untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Mengingat bahwa fungsi pembangkit momen dari jumlahan variabel-
variabel random yang independen adalah perkalian dari fungsi pembangkit
momen individualnya masing-masing, maka
𝑚𝑚𝑛𝑛(𝑡𝑡) = �𝑚𝑚𝑍𝑍 �𝑡𝑡√𝑛𝑛
��𝑛𝑛
= �1 +𝑡𝑡2
2𝑛𝑛+
𝑡𝑡3
3!𝑛𝑛3 2⁄ 𝐸𝐸�𝑍𝑍𝑖𝑖3� + ⋯�𝑛𝑛
di mana 𝑘𝑘 = 𝐸𝐸(𝑍𝑍𝑖𝑖3).
Langkah selanjutnya adalah mengambil limit dari 𝑚𝑚𝑛𝑛(𝑡𝑡) untuk
𝑛𝑛 → ∞. Salah satu cara untuk menghitung nilai limit tersebut adalah den-
gan menggunakan ln𝑚𝑚𝑛𝑛(𝑡𝑡), di mana
ln𝑚𝑚𝑛𝑛(𝑡𝑡) = 𝑛𝑛 ln �1 + �𝑡𝑡2
2𝑛𝑛+
𝑡𝑡3𝑘𝑘6𝑛𝑛3 2⁄ + ⋯��
ekspansi deret standar untuk log (1 + 𝑥𝑥) adalah
ln(1 + 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 −𝑥𝑥2
2+𝑥𝑥3
3−𝑥𝑥4
4+ ⋯
dengan mengandaikan
𝑥𝑥 = �𝑡𝑡2
2𝑛𝑛+
𝑡𝑡3𝑘𝑘6𝑛𝑛3 2⁄ + ⋯�
kita akan mendapatkan
ln𝑚𝑚𝑛𝑛(𝑡𝑡) = 𝑛𝑛 ln(1 + 𝑥𝑥) = 𝑛𝑛 �𝑥𝑥 −𝑥𝑥2
2+ ⋯�
= 𝑛𝑛 ��𝑡𝑡2
2𝑛𝑛+
𝑡𝑡3𝑘𝑘6𝑛𝑛3 2⁄ + ⋯� −
12�𝑡𝑡2
2𝑛𝑛+
𝑡𝑡3𝑘𝑘6𝑛𝑛3 2⁄ + ⋯�
2
+ ⋯�
di mana suku-suku selanjutnya dalam ekspansi tersebut melibatkan 𝑥𝑥3, 𝑥𝑥4, dan
seterusnya. Dengan dikalikan dengan 𝑛𝑛, tampak bahwa suku pertama,
𝑡𝑡2 2⁄ tidak melibatkan 𝑛𝑛, sementara seluruh suku yang lainnya akan me-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
miliki 𝑛𝑛 dengan pangkat positif pada penyebutnya. Maka dari itu, dapat
ditunjukkan bahwa
lim𝑛𝑛→∞
ln𝑚𝑚𝑛𝑛(𝑡𝑡) =𝑡𝑡2
2
atau
lim𝑛𝑛→∞
𝑚𝑚𝑛𝑛(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒𝑡𝑡2
2
adalah fungsi pembangkit momen untuk variabel random normal standar.
Dengan begitu, kita dapat menyimpulkan bahwa 𝑈𝑈𝑛𝑛 memiliki fungsi dis-
tribusi yang mendekati variabel random normal standar.
Galat standar adalah cara yang paling umum dan sederhana untuk
mengindikasikan keakuratan secara statistikal. Kita mengharapkan 𝑋𝑋� akan
berada kurang dari satu galat standar dari 𝜇𝜇, ekspektasinya berkisar 68%
dan kurang dari dua galat standar, ekspektasinya sekitar 95%. Persentase
tersebut berasal dari Teorema Limit Pusat, dalam kondisi umum, distribusi
dari 𝑋𝑋� akan mendekati distribusi normal seiring dengan membesarnya nilai
𝑛𝑛. Pada kondisi inilah metode Bootstrap lebih menguntungkan kita. Teo-
rema Limit Pusat tersebut tidak perlu dijadikan pedoman utama untuk
mendapatkan pernyataan keakuratan statistik penduga mengenai populasi.
Galat standar dari mean dapat kita dekati langsung dengan bootstrap.
Terdapat contoh yang sederhana yang menunjukkan keterbatasan da-
ri Teorema Limit Pusat. Diberikan 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … ,𝑋𝑋𝑛𝑛 adalah variabel random
yang saling independen dan nilai-nilainya memiliki dua kemungkinan, ya-
itu 0 (gagal) dan 1 (sukses). Sedangkan 𝑌𝑌 adalah variabel random yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
berdistribusi binomial dengan 𝑛𝑛 kali ulangan dan probabilitas sukses sebe-
sar 𝑝𝑝 dan 𝑌𝑌 adalah jumlahan dari 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … ,𝑋𝑋𝑛𝑛 .
𝑌𝑌 = �𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
Variabel random 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … ,𝑋𝑋𝑛𝑛 saling independen karena ulangannya
saling bebas. Maka dari itu, untuk 𝑛𝑛 yang besar, proporsi ulangan yang
sukses adalah
𝑌𝑌𝑛𝑛
=1𝑛𝑛�𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 𝑋𝑋�
Jadi 𝑋𝑋� akan memiliki distribusi sampling yang mendekati distribusi nor-
mal dengan mean 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖) = 𝑝𝑝 dan 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖) 𝑛𝑛⁄ = 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝) 𝑛𝑛⁄ .
Pendekatan normal untuk distribusi binomial akan bekerja dengan
efektif untuk 𝑛𝑛 yang besar, tetapi ketika nilai 𝑝𝑝 mendekati 0 atau 1, atau
dapat juga dikatakan nilai 𝑝𝑝 yang berada di sekitar 0.5, pendekatan ini ti-
dak lagi efektif. Gambar 2.1 dan Gambar 2.2 berikut menggambarkan ke-
lemahan Teorema Limit Pusat dalam pendekatan normal untuk distribusi
binomial tersebut. Hal ini terjadi karena Teorema Limit Pusat memiliki
kesimetrisan dalam segi bentuk, dan untuk nilai 𝑝𝑝 yang berada di sekitar
0.5, distribusi binomial memiliki kesimetrisan, sehingga pendekatan nor-
mal bekerja efektif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
B. Estimasi
Penentuan penduga atau estimator untuk suatu parameter populasi (con-
tohnya: mean, proporsi, dll) merupakan salah satu masalah yang mendasar da-
lam statistika. Cara untuk mengestimasi penduga tersebut dibedakan menjadi
dua, yaitu estimasi titik dan estimasi interval.
Gambar 2.1. Untuk 𝑛𝑛 = 25 dan 𝑝𝑝 = 0.25, pendekatan normal untuk dis-tribusi binomial memberikan pendekatan yang baik.
Gambar 2.2. Untuk 𝑛𝑛 = 25 dan 𝑝𝑝 = 0.95, pendekatan normal untuk dis-tribusi binomial tidak memberikan pendekatan yang baik karena nilai 𝑝𝑝 yang mendekati 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Definisi 2.3.
Estimator adalah aturan yang menentukan bagaimana menghitung sebuah
penduga berdasarkan pengukuran (observasi) yang termuat dalam sebuah
sampel.
1. Estimasi Titik
Definisi 2.4.
Penentuan suatu nilai tunggal yang dapat sebaik-baiknya mendekati nilai
parameter populasi yang tidak diketahui disebut sebagai estimasi titik.
Bila 𝜃𝜃 adalah parameter populasi dan 𝜃𝜃� adalah penduga dari 𝜃𝜃, maka
kita berharap nilai-nilai dugaan akan berada di sekitar parameter yang di-
tuju. Ada banyak kemungkinan, bisa saja penduga akan berpusat di seki-
tar parameter tujuan ataupun tidak. Bila penduga berada di sekitar para-
meter tujuan, maka nilai harapan dari distribusi nilai dugaan akan sama
dengan parameter yang diduga (𝐸𝐸�𝜃𝜃�� = 𝜃𝜃). Sebagai contoh, 𝑋𝑋�, �̂�𝑝, dan
𝑋𝑋�1 − 𝑋𝑋�2 adalah penduga titik yang baik.
2. Estimasi Interval
Definisi 2.5.
Penentuan suatu selang nilai yang dengan peluang besar memuat parame-
ter populasi yang sebenarnya disebut sebagai estimasi interval.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Estimasi interval bertujuan untuk membangun suatu selang nilai dari
parameter tujuan yang berpeluang besar memuat nilai sebenarnya dari pa-
rameter tujuan. Selang kepercayaan dari parameter populasi juga diguna-
kan untuk mengindikasikan reliabilitas dari sebuah penduga. Informasi-
informasi yang terdapat pada sampel digunakan untuk membentuk dua
buah nilai yang membentuk batas atas dan batas bawah selang. Bila dike-
tahui 𝜃𝜃 dan 𝜃𝜃� (penduga dari 𝜃𝜃), maka berdasarkan batas atas dan bawah
selang, terdapat tiga bentuk selang kepercayaan yaitu, �𝜃𝜃�𝑙𝑙 ,𝜃𝜃�𝑢𝑢�, �𝜃𝜃�𝑙𝑙 ,∞�,
dan �∞,𝜃𝜃�𝑢𝑢�.
Definisi 2.6.
Diberikan 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 memiliki fungsi distribusi probabilitas
𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ;𝜃𝜃);𝜃𝜃 ∈ 𝛀𝛀, di mana 𝛀𝛀 adalah sebuah selang. Diketahui 𝐿𝐿
dan 𝑈𝑈 adalah statistik, misalkan 𝐿𝐿 = 𝑙𝑙(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) dan 𝑈𝑈 =
𝑢𝑢(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛). Bila dalam sebuah data percobaan 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , ke-
mudian telah dicari nilai 𝑙𝑙(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) dan 𝑢𝑢(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛).
Selang �𝑙𝑙(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛),𝑢𝑢(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)� dikatakan selang kepercayaan
(1 − 𝛼𝛼)100% untuk 𝜃𝜃 bila
𝑃𝑃[𝑙𝑙(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) < 𝜃𝜃 < 𝑢𝑢(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)] = 1 − 𝛼𝛼
di mana 0 < (1 − 𝛼𝛼) < 1. Nilai observasi 𝑙𝑙(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) dan 𝑢𝑢(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)
secara berturut-turut disebut sebagai batas bawah dan batas atas selang ke-
percayaan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
(1 − 𝛼𝛼) adalah simbol untuk probabilitas dari selang kepercayaan
atau juga disebut sebagai koefisien kepercayaan atau tingkat kepercayaan.
Tingkat kepercayaan ini menentukan seberapa sering atau seberapa besar
peluang sebuah selang memuat parameter populasi tujuan.
Bentuk selang pada Definisi 2.6 merupakan bentuk selang keper-
cayaan dua sisi sedangkan pada Definisi 2.7 berikut akan didefinisikan
bentuk selang kepercayaan satu sisi.
Definisi 2.7.
Selang Kepercayaan Satu Sisi
a. Bila
𝑃𝑃[𝑙𝑙(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) < 𝜃𝜃] = 1 − 𝛼𝛼
maka 𝑙𝑙(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) disebut sebagai batas bawah selang kepercayaan
(1 − 𝛼𝛼)100% satu sisi
b. Bila
𝑃𝑃[𝜃𝜃 < 𝑢𝑢(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)] = 1 − 𝛼𝛼
maka 𝑢𝑢(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) disebut sebagai batas atas selang kepercayaan
(1 − 𝛼𝛼)100% satu sisi
C. Regresi Linear Berganda
1. Model Regresi Linear Berganda
Dalam analisis regresi, model regresi linear memuat dua variabel
utama, yaitu 𝑦𝑦𝑖𝑖 = (𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2, … ,𝑦𝑦𝑛𝑛) merupakan variabel dependen (sering ju-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
ga disebut sebagai variabel respons), 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = (𝑥𝑥𝑖𝑖1, 𝑥𝑥𝑖𝑖2, … , 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘) adalah varia-
bel independen atau regressor, di mana 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛 dan 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑘𝑘.
Pada dasarnya, persamaan regresi linear merupakan kombinasi linear dari
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 dan 𝛽𝛽𝑖𝑖 .
𝑦𝑦𝑖𝑖 = �𝛽𝛽𝑖𝑖𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑘𝑘
𝑖𝑖=1
di mana 𝛽𝛽𝑖𝑖 = (𝛽𝛽1,𝛽𝛽2, … ,𝛽𝛽𝑘𝑘) adalah koefisien regresi yang merupakan tu-
juan dari analisis regresi yang disimpulkan berdasarkan observasi 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 . Ni-
lai-nilai 𝛽𝛽𝑖𝑖 didekati dengan menggunakan �̂�𝛽𝑖𝑖 sebagai penduga.
Struktur probabilitas dari model regresi linear biasanya dinyatakan
dalam bentuk matriks dan vektor adalah sebagai berikut.
𝐘𝐘 = 𝐗𝐗𝐗𝐗 + 𝛆𝛆
di mana 𝐘𝐘 = �
𝑦𝑦1𝑦𝑦2⋮𝑦𝑦𝑛𝑛
� , 𝐗𝐗 = �
𝑥𝑥0 𝑥𝑥11 𝑥𝑥12𝑥𝑥0 𝑥𝑥21 𝑥𝑥22
… 𝑥𝑥1𝑘𝑘… 𝑥𝑥2𝑘𝑘
⋮ ⋮ ⋮𝑥𝑥0 𝑥𝑥𝑛𝑛1 𝑥𝑥𝑛𝑛2
⋮ ⋮… 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑘𝑘
�, 𝐗𝐗 = �
𝛽𝛽0𝛽𝛽1⋮𝛽𝛽𝑘𝑘
�, dan
𝛆𝛆 = �
𝜀𝜀1𝜀𝜀2⋮𝜀𝜀𝑛𝑛
�.
Pada persamaan di atas, 𝐘𝐘 adalah vektor variabel dependen, berdi-
mensi 𝑛𝑛 × 1 yang memuat 𝑦𝑦𝑖𝑖 , 𝐗𝐗 adalah matriks variabel independen yang
memuat 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 dan berdimensi 𝑛𝑛 × (𝑘𝑘 + 1), untuk 𝑥𝑥0 = 1, 𝐗𝐗 adalah vektor
yang memuat koefisien-koefisien regresi yang belum diketahui, dan 𝛆𝛆 me-
nyatakan vektor galat yang berdistribusi normal dengan 𝐸𝐸(𝛆𝛆) = 0, serta
variansinya diharapkan konstan (𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝛆𝛆) = 𝜎𝜎2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
2. Metode Kuadrat Terkecil
Metode kuadrat terkecil adalah sebuah prosedur untuk mendekati pa-
rameter yang tidak diketahui dari sebuah model linear. Pengilustrasian
prosedur ini secara sederhana adalah dengan mencocokkannya dengan ga-
ris lurus yang paling dekat dengan himpunan titik-titik. Bila kita meng-
inginkan untuk menentukan model
𝑦𝑦 = 𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1𝑥𝑥1 + 𝛽𝛽2𝑥𝑥2 + ⋯+ 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑥𝑥𝑘𝑘 + 𝜀𝜀
di mana model tersebut linear dalam parameter 𝛽𝛽𝑖𝑖 . Bila nilai-nilai penga-
matan dinyatakan sebagai 𝑥𝑥𝑖𝑖1, 𝑥𝑥𝑖𝑖2, … , 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘 ,𝑦𝑦𝑖𝑖 diambil secara acak dari suatu
populasi untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛 dan 𝜀𝜀 adalah galatnya, yang memiliki nilai
harapan 𝐸𝐸(�𝜀𝜀|𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑘𝑘) = 0 yang mengakibatkan 𝐸𝐸(𝜀𝜀) = 0. Agar lebih
jelas, galat dari suatu model akhir regresi linear
𝑦𝑦�𝑖𝑖 = �̂�𝛽0 + �̂�𝛽1𝑥𝑥𝑖𝑖1 + �̂�𝛽2𝑥𝑥𝑖𝑖2 + ⋯+ �̂�𝛽𝑘𝑘𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘
adalah
𝜀𝜀𝑖𝑖 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�𝑖𝑖
𝜀𝜀𝑖𝑖 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 − �̂�𝛽0 − �̂�𝛽1𝑥𝑥𝑖𝑖1 − �̂�𝛽2𝑥𝑥𝑖𝑖2 −⋯− �̂�𝛽𝑘𝑘𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘
Maka tujuan utama dari metode kuadrat terkecil adalah mencari per-
samaan yang meminimalkan jumlahan dari kuadrat selisih antara titik-titik
dan garisnya atau galatnya.
�𝜀𝜀𝑖𝑖2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= ��𝑦𝑦𝑖𝑖 − �̂�𝛽0 − �̂�𝛽1𝑥𝑥𝑖𝑖1 − �̂�𝛽2𝑥𝑥𝑖𝑖2 −⋯− �̂�𝛽𝑘𝑘𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘 �2
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
Persamaan di atas adalah jumlahan kuadrat dari galat atau sering kali
disebut sebagai jumlahan kuadrat dari residual. Bila nilai persamaan di
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
atas minimum, akan memenuhi untuk seluruh nilai 𝛽𝛽𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 0,1, … ,𝑘𝑘.
Dengan mengambil turunan parsial dari persamaan kuadrat tersebut terha-
dap 𝛽𝛽𝑖𝑖 dan menyamakannya dengan nol, akan diperoleh
𝜕𝜕(∑ 𝜀𝜀𝑖𝑖2𝑛𝑛𝑖𝑖=1 )𝜕𝜕�̂�𝛽0
= ��𝑦𝑦𝑖𝑖 − �̂�𝛽0 − �̂�𝛽1𝑥𝑥𝑖𝑖1 − �̂�𝛽2𝑥𝑥𝑖𝑖2 −⋯− �̂�𝛽𝑘𝑘𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘 �𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= �𝜀𝜀𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 0
𝜕𝜕(∑ 𝜀𝜀𝑖𝑖2𝑛𝑛𝑖𝑖=1 )𝜕𝜕�̂�𝛽1
= �𝑥𝑥𝑖𝑖1�𝑦𝑦𝑖𝑖 − �̂�𝛽0 − �̂�𝛽1𝑥𝑥𝑖𝑖1 − �̂�𝛽2𝑥𝑥𝑖𝑖2 −⋯− �̂�𝛽𝑘𝑘𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= �𝑥𝑥𝑖𝑖1𝜀𝜀𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 0
𝜕𝜕(∑ 𝜀𝜀𝑖𝑖2𝑛𝑛𝑖𝑖=1 )𝜕𝜕�̂�𝛽2
= �𝑥𝑥𝑖𝑖2�𝑦𝑦𝑖𝑖 − �̂�𝛽0 − �̂�𝛽1𝑥𝑥𝑖𝑖1 − �̂�𝛽2𝑥𝑥𝑖𝑖2 −⋯− �̂�𝛽𝑘𝑘𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= �𝑥𝑥𝑖𝑖2𝜀𝜀𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 0
…
𝜕𝜕(∑ 𝜀𝜀𝑖𝑖2𝑛𝑛𝑖𝑖=1 )𝜕𝜕�̂�𝛽𝑘𝑘
= �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑦𝑦𝑖𝑖 − �̂�𝛽0 − �̂�𝛽1𝑥𝑥𝑖𝑖1 − �̂�𝛽2𝑥𝑥𝑖𝑖2 −⋯− �̂�𝛽𝑘𝑘𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘𝜀𝜀𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 0
Keseluruh persamaan di atas akan diselesaikan dalam bentuk ma-
triks. Jumlahan pada ruas sebelah kanan, mengandung elemen-elemen da-
ri matriks 𝐗𝐗 dan 𝜀𝜀. Jadi ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 untuk 𝑖𝑖 = 0,1, … ,𝑘𝑘 di mana untuk
𝑘𝑘 = 0, 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘 = 1 dapat dinyatakan dalam matriks berikut.
𝐗𝐗′𝛆𝛆 = 𝟎𝟎
𝐗𝐗′�𝐘𝐘 − 𝐗𝐗𝐗𝐗�� = 𝟎𝟎
(𝐗𝐗′𝐗𝐗)𝐗𝐗� = 𝐗𝐗′𝐘𝐘
𝐗𝐗� = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′𝐘𝐘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
3. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil
Dalam metode kuadrat terkecil, terdapat sifat-sifat penduga yang
baik. Bila dipandang model umum regresi linear yang berbentuk
𝐘𝐘 = 𝐗𝐗𝐗𝐗 + 𝛆𝛆
dan dianggap bahwa 𝜀𝜀𝑖𝑖 saling bebas satu sama lain, serta 𝐸𝐸(𝜀𝜀𝑖𝑖) = 0,
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝜀𝜀𝑖𝑖) = 𝜎𝜎2, untuk setiap 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛. Dalam lambang matriks, ini be-
rarti 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝜀𝜀𝑖𝑖) = 𝜎𝜎2𝐼𝐼, bila 𝐼𝐼 menyatakan matriks satuan berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛,
dengan demikian bila 𝐗𝐗 tidak memiliki distribusi sehingga diperlakukan
sebagai konstanta, maka
𝐸𝐸(𝐘𝐘) = 𝐗𝐗𝐗𝐗
dan
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝑌𝑌) = 𝜎𝜎2𝐼𝐼
Jadi sifat-sifat dari penduga 𝐗𝐗� = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1𝐗𝐗′𝐘𝐘 adalah
a. Tak Bias (𝐸𝐸��̂�𝛽𝑖𝑖 � = 𝛽𝛽𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 0,1, … , 𝑘𝑘)
𝐸𝐸�𝐗𝐗�� = 𝐸𝐸((𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1𝐗𝐗′𝐘𝐘)
= (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1𝐗𝐗′𝐄𝐄(𝐘𝐘)
= (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1𝐗𝐗′𝐗𝐗𝐗𝐗
= 𝐗𝐗
b. Variansi Minimum 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉��̂�𝛽𝑖𝑖 � = 𝜎𝜎2𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah elemen pada baris ke-𝑖𝑖
dan kolom ke-𝑖𝑖 dari matriks (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉�𝐗𝐗�� = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1𝐗𝐗′𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝐘𝐘)𝐗𝐗(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1
= (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1𝐗𝐗′𝜎𝜎2𝐼𝐼𝐗𝐗(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
= 𝜎𝜎2(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1
Variansi dari 𝐗𝐗� merupakan variansi minimum dari semua penduga
tak bias. Hal ini dijamin oleh teorema Gauss-Markov berikut.
Teorema 2.4.
Penduga kuadrat terkecil 𝐗𝐗� = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1𝐗𝐗′𝐘𝐘 memiliki variansi terkecil da-
lam himpunan semua penduga linear tak bias.
Bukti:
Misalkan 𝛂𝛂 adalah penduga linear lain dari 𝐗𝐗 yang juga tak bias, ka-
rena itu 𝛂𝛂 dapat di misalkan dengan bentuk berikut
𝛂𝛂 = [(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′ + 𝐔𝐔]𝐘𝐘
di mana 𝐔𝐔 adalah suatu matriks yang merupakan fungsi dari 𝐗𝐗, maka
𝐄𝐄(𝛂𝛂) = 𝐄𝐄[((𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′ + 𝐔𝐔)𝐘𝐘]
= [(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′ + 𝐔𝐔]𝐄𝐄(𝐘𝐘)
= [(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′ + 𝐔𝐔](𝐗𝐗𝐗𝐗)
= (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′𝐗𝐗𝐗𝐗 + 𝐔𝐔𝐗𝐗𝐗𝐗
= (𝐼𝐼 + 𝐔𝐔𝐗𝐗)𝐗𝐗
agar 𝛂𝛂 menjadi penduga tak bias dari 𝐗𝐗, maka 𝐔𝐔𝐗𝐗 = 𝟎𝟎. Jadi,
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝛂𝛂) = ((𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′ + 𝐔𝐔)𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝐘𝐘)(𝐔𝐔′ + 𝐗𝐗(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏)
= 𝜎𝜎2[(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′𝐔𝐔′ + 𝐔𝐔𝐔𝐔′ + (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏 + 𝐔𝐔𝐗𝐗(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏]
= 𝜎𝜎2[(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏 + 𝐔𝐔𝐔𝐔′]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Karena 𝐔𝐔𝐗𝐗 = 𝐗𝐗′𝐔𝐔′ = 𝟎𝟎 dan matriks 𝐔𝐔𝐔𝐔′ adalah definit tak negatif,
semua unsur diagonalnya berbentuk kuadrat. Jadi terbukti bahwa variansi
dari setiap unsur dari vektor 𝛂𝛂 selalu lebih besar atau paling kecil sama
dengan variansi unsur 𝐗𝐗� yang bersesuaian. Seringkali 𝐗𝐗� disebut sebagai
Best Linear Unbiased Estimator (BLUE).
4. Selang Kepercayaan Untuk Parameter Regresi
Dalam model regresi linear berganda, dapat pula ditentukan selang
kepercayaan untuk parameter regresi. Untuk 𝑛𝑛 < 30, diberikan statistik
𝑡𝑡(𝑣𝑣,𝛼𝛼 2⁄ ) dengan derajat bebas 𝑣𝑣 = 𝑛𝑛 − 𝑝𝑝, di mana 𝑛𝑛 adalah ukuran sampel
dan 𝑝𝑝 = 𝑘𝑘 + 1 ditentukan dari banyaknya parameter. Maka selang keper-
cayaan (1 − 𝛼𝛼)100% untuk 𝛽𝛽𝑖𝑖 adalah
�̂�𝛽𝑖𝑖 − 𝑡𝑡(𝑣𝑣,𝛼𝛼 2⁄ )𝑠𝑠�𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 < 𝛽𝛽𝑖𝑖 < �̂�𝛽𝑖𝑖 + 𝑡𝑡(𝑣𝑣,𝛼𝛼 2⁄ )𝑠𝑠�𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖
dengan 𝑖𝑖 = 0,1,2, … ,𝑘𝑘 di mana 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah elemen dari baris ke-𝑖𝑖 dan ko-
lom ke-𝑖𝑖 dari matriks (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1 dan 𝑠𝑠 adalah penduga tak bias dari 𝜎𝜎 dan
didefinisikan sebagai berikut.
𝑠𝑠2 =𝐘𝐘′𝐘𝐘 − 𝐗𝐗�′𝐗𝐗′𝐘𝐘
𝑛𝑛 − 𝑝𝑝
Variansi dari model regresi linear tersebut diduga dengan menggu-
nakan 𝑠𝑠2𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 dan galat standar dari model regresi ini diduga dengan 𝑠𝑠�𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 .
Bila 𝑛𝑛 ≥ 30, maka statistik 𝑡𝑡 dapat diganti dengan statistik 𝑧𝑧.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
METODE BOOTSTRAP
A. Prinsip Dasar dan Algoritma Metode Bootstrap
Kvam dan Vidakovic (2007) menyatakan bahwa dengan resampling, kita
berniat untuk mengambil sampel acak dari sampel. Misalkan sampel yang te-
lah diambil adalah 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 dipandang sebagai sampel asli yang mewakili
suatu populasi terhingga dengan ukuran n. Sampel baru (biasanya berukuran
n pula) diambil secara “sampling dengan pengembalian”, maka beberapa dari
n sampel asli dapat muncul lebih dari satu kali. Kumpulan sampel baru ini
disebut sampel bootstrap. Metode tersebut dinamakan dengan Metode Boot-
strap. Agar lebih dapat memahami metode bootstrap, Gambar 3.1 menje-
laskan tahapannya dalam bentuk skema.
Dari sampel asli 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 diambil b buah sampel bootstrap. Setiap
sampel bootstrap (x*1, x*2, …, x*b) memiliki n buah anggota yang diambil se-
𝑥𝑥∗1 𝑥𝑥∗2
𝑥𝑥∗𝑏𝑏
𝑠𝑠(𝑥𝑥∗1)
𝑠𝑠(𝑥𝑥∗2)
𝑠𝑠(𝑥𝑥∗𝑏𝑏)
…
…
𝑋𝑋 = {𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛} Sampel Asli
Sampel Bootstrap
Replikasi bootstrap
Gambar 3.1. Prosedur pengambilan sampel dengan menggunakan metode Bootstrap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
cara sampling dengan pengembalian n kali dari data sampel asli. Replikasi
bootstrap s(x*1), s(x*2), …, s(x*b) didapatkan dengan menghitung nilai statistik
tertentu, misalkan s(x) pada setiap sampel bootstrap. Akhirnya, standar devia-
si dari nilai-nilai s(x*1), s(x*2), …, s(x*b) adalah penduga dari galat standar dari
s(x). Galat standar inilah yang merupakan tujuan utama dari metode bootstrap,
yang kemudian dapat digunakan untuk membangun selang kepercayaan boot-
strap.
Secara umum, kita dapat mengurutkan langkah-langkah untuk metode
bootstrap secara umum. Misalkan pada suatu populasi, diambil 𝑛𝑛 buah sam-
pel acak yaitu 𝑋𝑋 = {𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛}. Dari 𝑛𝑛 buah sampel acak tersebut, akan di-
ambil sebanyak 𝑏𝑏 unit sampel bootstrap, yaitu 𝑥𝑥∗1, 𝑥𝑥∗2, … , 𝑥𝑥∗𝑏𝑏 . Masing-
masing unit sampel tersebut adalah vektor yang terdiri dari 𝑛𝑛 buah sampel
yang diambil dengan pengembalian. Notasi bintang tersebut menandakan
bahwa vektor kumpulan data tersebut adalah hasil resampel dari sampel asli.
𝑋𝑋∗ bukanlah himpunan data sampel asli (𝑥𝑥).
Sampel bootstrap tersebut akan berupa vektor-vektor yang masing-
masing terdiri dari 𝑛𝑛 buah nilai. Nilai-nilai dari sampel asli dapat muncul be-
berapa kali karena adanya pengembalian sampel sebelum pengambilan kem-
bali sampel berikutnya. Dengan begitu setiap sampel bootstrap juga bisa me-
miliki beberapa data asli yang terwakili lebih dari sekali, atau bahkan tidak
terwakili sama sekali. Maka dari itu, sampel bootstrap ini bisa saja sama per-
sis dengan sampel asli ataupun sama sekali tidak sama dengan sampel aslinya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Pengambilan unit-unit sampel bootstrap dengan pengembalian dilakukan
sampai 𝑏𝑏 kali sehingga terdapat 𝑏𝑏 unit sampel bootstrap. Besarnya nilai 𝑏𝑏
umumnya diambil dalam jumlah yang besar, karena semakin besar nilai 𝑏𝑏,
maka distribusi sampling yang didekati akan semakin mendekati distribusi
normal. Secara teoritis, besar nilai 𝑏𝑏 tidak pernah dibatasi, bisa sebesar
mungkin, asal kita memiliki kesabaran untuk membentuk sampel-sampel
bootstrap tersebut. Lagipula, jikalau nilai 𝑏𝑏 terlampau besar, hal itu tidak lagi
menjadi masalah karena semua proses penghitungan dilakukan dengan kom-
puter. Setelah didapatkan 𝑏𝑏 buah sampel bootstrap, hal yang dilakukan selan-
jutnya adalah menghitung statistik dari masing-masing sampel bootstrap untuk
menduga galat standar dari parameter penduga yang disimbolkan 𝜃𝜃�. Statistik
uji untuk masing-masing sampel bootstrap disimbolkan sebagai
𝑠𝑠(𝑥𝑥∗1), 𝑠𝑠(𝑥𝑥∗2), … , 𝑠𝑠(𝑥𝑥∗𝑏𝑏). Statistik uji tersebut bisa berupa mean, median,
atau proporsi. Seluruh standar deviasi dari statistik uji tersebut akan diguna-
kan untuk mengestimasi galat standar dari 𝑠𝑠(𝑥𝑥) atau 𝜃𝜃�. Pendugaan galat stan-
dar dari 𝜃𝜃� tersebut adalah tujuan utama dari metode bootstrap ini. Seluruh
proses pendekatan nilai ini akan langsung menggunakan kalkulasi dengan
komputer tanpa memerlukan kalkulasi teoritis.
Untuk setiap pengambilan kesimpulan langsung berdasarkan distribu-
sinya, terlihat jelas bahwa sampel bootstrap tidak sebaik sampel asli. Bila kita
mendekati sebuah parameter populasi, yaitu 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃(𝐹𝐹), dari distribusi 𝐹𝐹, jelas
bahwa lebih baik memilih untuk menggunakan 𝜃𝜃�𝑛𝑛 = 𝜃𝜃�(𝐹𝐹𝑛𝑛). Yang dapat dije-
laskan dari sampel-sampel bootstrap adalah, bagaimana nilai 𝜃𝜃�𝑛𝑛 mungkin be-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
rubah-ubah dari sampel ke sampel. Hal ini disebabkan karena elemen-elemen
dari masing-masing sampel bootstrap bisa sama atau sama sekali berbeda den-
gan sampel asli seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Daripada kita
hanya dapat menghitung 𝜃𝜃�𝑛𝑛 sekali saja karena hanya dimiliki satu buah sam-
pel sebanyak 𝑛𝑛, lebih baik kita meresampel (sebanyak tak hingga kali secara
teoritis) dan membentuk sampel bootstrap. Sebuah meta-estimator dibentuk
dari estimator untuk estimator awal bagi parameter populasi. Dengan begitu,
sebenarnya kita telah membangun sebuah meta-estimator dari sampel boot-
strap (misalkan 𝜃𝜃�∗ = 𝑠𝑠(𝑥𝑥∗)) dan meta-estimator tersebut menjelaskan tentang
𝜃𝜃�𝑛𝑛 , bukan 𝜃𝜃. Bila kita membangun sampel bootstrap berulang kali, kita dapat
membentuk gambaran secara tak langsung tentang distribusi 𝜃𝜃�𝑛𝑛 dan dari situ,
kita dapat membentuk suatu pernyataan tentang 𝜃𝜃.
Secara sederhana, metode bootstrap untuk pengambilan sampel dapat di-
tuliskan dalam algoritma berikut:
1. Bangun distribusi probabilitas empiris 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dari sampel acak 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛
dengan menempatkan probabilitas 1 𝑛𝑛⁄ pada setiap titik di 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 .
Ini adalah fungsi distribusi empiris dari 𝑥𝑥, yang merupakan pendekatan
(kemungkinan maksimum) maximum likelihood dari fungsi distribusi pro-
babilitas untuk populasi 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
2. Dari distribusi probabilitas empiris tersebut, ambil sampel acak sederhana
sebanyak 𝑛𝑛 buah dengan pengembalian. Sampel inilah yang disebut sam-
pel bootstrap. Notasikan kumpulan sampel bootstrap ini dengan tanda bin-
tang (*) dan indeks nomor (contoh: 𝑥𝑥∗𝑏𝑏).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
3. Hitung statistik yang dituju, yaitu 𝜃𝜃� (mean, proporsi, dst) untuk masing-
masing sampel bootstrap. Notasikan dengan 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 .
4. Ulangi langkah ke-2 dan ke-3 sebanyak 𝑏𝑏 kali, di mana 𝑏𝑏 adalah bilangan
yang besar nilainya. Biasanya 𝑏𝑏 tidak dibatasi, tetapi diambil antara 50
sampai 200 untuk mengestimasi galat standar dari 𝜃𝜃� dan minimal 𝑏𝑏 berni-
lai 1000 untuk mengestimasi interval kepercayaan di sekitar 𝜃𝜃�. (Mooney
& Duval, 1993)
5. Bangun distribusi probabilitas dari 𝑏𝑏 buah 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 dengan menempatkan pro-
babilitas 1 𝑏𝑏⁄ pada setiap titik 𝜃𝜃�∗1,𝜃𝜃�∗2, … ,𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 . Distribusi ini adalah esti-
masti bootstrap dari distribusi sampling 𝜃𝜃�, 𝑓𝑓∗(𝜃𝜃�∗).
Basis pendekatan bootstrap secara statistikal adalah memperlakukan
sampel seolah-olah sampel tersebut adalah populasi dan menerapkan metode
sampling Monte Carlo (random sampling) untuk membangkitkan pendekatan
empiris dari statistik distribusi samplingnya. Prosedur dalam metode boot-
strap secara garis besar adalah sebagai berikut:
Langkah 1: Resampling
Pada awal pengambilan sampel acak dari suatu populasi, biasanya hanya
diambil satu unit sampel acak berukuran 𝑛𝑛 buah (untuk selanjutnya akan dis-
ebut sebagai sampel asli). Agar memiliki jumlah sampel yang lebih banyak,
maka dilakukan resampling dari satu buah sampel acak tersebut. Resampling
dilakukan dengan metode sampling dengan pengembalian dan berukuran sama
dengan sampel asli, yaitu 𝑛𝑛 buah sampel acak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Setiap kali kita mengambil sebuah resampel acak dari sampel asli, sam-
pel tersebut dikembalikan terlebih dahulu sebelum dilakukannya pengambilan
resampel yang berikutnya, inilah yang dimaksud dengan resampling dengan
pengembalian. Dengan adanya pengembalian sampel, nilai-nilai observasi
pada sampel acak asli tersebut akan dapat diambil lebih dari sekali, ataupun
sama sekali tidak terambil. Bila yang dilakukan adalah sampling tanpa pen-
gembalian, yang akan kita dapatkan hanyalah satu buah sampel acak yang me-
rupakan permutasi dari sampel asli. Tak menutup kemungkinan pula, hasil re-
sampel akan sama dengan sampel asli. Kumpulan hasil resampel baru ini di-
sebut sampel bootstrap.
Contoh berikut diharapkan dapat memberikan gambaran besar tentang
langkah di atas.
Contoh 3.1. (Sumber: Introduction of the Practice Statistics oleh D. Moore,
hal. 16-3)
Di Amerika, banyak terdapat perusahaan yang menawarkan jasa layanan
telepon lokal. Bukanlah suatu ketertarikan publik untuk mendapati seluruh
perusahaan tersebut menggali jalan hanya untuk memendam kabel, jadi peru-
sahaan telepon lokal utama di setiap daerah harus (untuk bayaran tertentu)
berbagi jaringan dengan kompetitornya. Istilah legal untuk perusahaan tele-
pon lokal utama ini adalah Incumbent Local Exchange Carrier, ILEC. Para
kompetitor disebut sebagai Competing Local Exchange Carriers, atau CLECs.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Verizon adalah ILEC untuk suatu area besar di Amerika bagian timur,
seperti seharusnya, mereka harus menyediakan jasa perbaikan untuk pelang-
gan dari CLECs di area tersebut. Apakah Verizon memberikan layanan per-
baikan untuk pelanggan CLEC secepat (dalam rata-rata) seperti kepada pe-
langgannya sendiri? Bila tidak, itu keputusan pelanggan untuk meminta ganti
rugi. Komisi Perangkat Publik lokal memerlukan penggunaan dari tes uji sig-
nifikansi untuk membandingkan waktu perbaikan untuk kedua grup pelanggan.
Waktu perbaikan jauh dari normal. Gambar 3.2 dan 3.3 menggambarkan
distribusi dari sampel random dari 1664 kali perbaikan untuk pelanggan Veri-
zon sendiri. Distribusinya memiliki ekor kanan yang sangat panjang. Me-
diannya adalah 3.59 jam, tetapi meannya adalah 8.41 jam dan waktu perbaikan
terlama adalah 191.6 jam. Kita ragu untuk menggunakan prosedur 𝑡𝑡 untuk da-
ta seperti itu, terutama karena ukuran sampel bagi pelanggan CLEC lebih kecil
dari pelanggan Verizon sendiri.
Gambar 3.2. Distribusi dari 1664 kali perbaikan untuk pelanggan Verizon.
Waktu perbaikan (dalam jam)
Ban
yakn
ya p
erba
ikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Resampling dan sampling dengan pengembalian pada Contoh 3.1 dije-
laskan dalam Gambar 3.4 berikut.
Gambar 3.3. Plot quantil normal untuk jumlah waktu perbaikan. Distribusinya sangat condong ke kanan.
Nilai normal
Wak
tu p
erba
ikan
(dal
am ja
m)
𝑥𝑥∗1 𝑥𝑥∗2 𝑥𝑥∗3
Gambar 3.4. Kotak teratas adalah sampel acak asli dengan 𝑛𝑛 = 6 dari data Verizon. Tiga kotak di bawahnya adalah tiga unit resampel dari sampel asli (𝑏𝑏 = 3). Beberapa nilai dari sam-pel asli muncul berulang kali dalam resampel.
�̅�𝑥∗1 = 4.13
{1,57; 0,22; 19,67; 0,00; 0,22; 3,12}
{0,00; 2,20; 2,20; 2,20; 19,67; 1.57}
�̅�𝑥∗2 = 4.64 �̅�𝑥∗3 = 1.74
{0,22; 3,12; 1,57; 3,12; 2,20; 0,22}
𝑋𝑋 = {3,12; 0,00; 1,57; 19,67; 0,22; 2,20} �̅�𝑥 = 4.46
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Setelah dilakukan resampling, hal berikutnya yang dilakukan adalah
menghitung replikasi bootstrap (pada contoh ini akan dihitung rata-rata sam-
pel) untuk sampel asli dan setiap sampel bootstrap. Gambar 3.4 menunjukkan
bahwa bagaimana nilai replikasi bootstrap, dalam hal ini rata-rata sampel
bootstrap dapat berubah-ubah di setiap sampel bootstrap. Pada sampel boot-
strap ke-1, ke-2, dan ke-3, secara berturut-turut rata-ratanya adalah 4.13, 4.64,
dan 1.74. Nilai-nilai observasi dari sampel asli juga ada yang muncul bebera-
pa kali di sampel bootstrap.
Secara umum, rumus untuk menghitung rata-rata sampel bootstrap, yang
disimbolkan menjadi mean𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 adalah sebagai berikut.
mean𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 =1𝑏𝑏��̅�𝑥∗𝑖𝑖𝑏𝑏
𝑖𝑖=1
Setelah itu, galat standar dari mean sampel bootstrap juga dapat dipero-
leh dengan rumus berikut ini.
SE𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 = �1
𝑏𝑏 − 1�(�̅�𝑥∗𝑖𝑖 − mean𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 )2
𝑏𝑏
𝑖𝑖=1
Langkah 2: Distribusi Bootstrap
Dari statistik yang telah dihitung nilainya, dapat diperoleh distribusi
samplingnya. Distribusi bootstrap dari sebuah statistik menghimpun seluruh
nilai-nilai tersebut dari hasil resampel pada Langkah 1. Distribusi bootstrap
inilah yang nantinya akan memberikan gambaran tentang distribusi sampling
dari statistik tujuan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Contoh 3.2.
Pada Contoh 3.1, kita menginginkan untuk mengestimasi rata-rata popu-
lasi untuk waktu perbaikan (𝜇𝜇), jadi statistiknya adalah mean sampel (�̅�𝑥).
Untuk satu sampel random dari 1664 waktu perbaikan, �̅�𝑥 = 8.41 jam. Ketika
kita meresampel, kita mendapatkan nilai-nilai yang berbeda untuk �̅�𝑥, seperti
yang kita inginkan bila kita mengambil sampel baru dari populasi seluruh
waktu perbaikan.
Gambar 3.5 dan Gambar 3.6 berikut menjelaskan tentang distribusi boot-
strap dari rata-rata dari 1000 buah resampel dari data waktu perbaikan Verizon,
menggunakan histogram terlebih dahulu dan kurva densitas, kemudian plot
kuantil normal. Garis lurus pada histogram menandakan rata-rata sebesar 8.41
dari sampel asli, dan garis putus-putus menandakan rata-rata dari sampel boot-
strap. Menurut prinsip bootstrap, distribusi bootstrap merepresentasikan dis-
tribusi sampling. Akan dibandingkan distribusi bootstrap dengan apa yang ki-
ta ketahui tentang distribusi sampling.
Gambar 3.5. Distribusi Bootstrap untuk rata-rata 1000 resampel dari sampel waktu perbaikan Verizon.
Waktu perbaikan dari resampel (dalam jam)
Rata-rata sampel asli Rata-rata bootstrap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Dari segi bentuk pada Gambar 3.5 dan Gambar 3.6, dapat dikatakan
bahwa distribusi bootstrap mendekati normal. Garis tengah distribusi boot-
strap dekat dengan mean sampel asli. Dengan kata lain, distribusi bootstrap
hanya memiliki sedikit bias sebagai penduga mean sampel asli. Seperti yang
kita ketahui, distribusi sampling dari �̅�𝑥 terletak di tengah mean populasi 𝜇𝜇, se-
hingga �̅�𝑥 adalah penduga tak bias dari 𝜇𝜇. Jadi distribusi resamplingnya bersi-
fat seperti yang kita harapkan untuk sifat distribusi samplingnya. Penyebaran
distribusi bootstrap juga tergambarkan dalam Gambar 3.5. Standar deviasi
yang merupakan ukuran numerik dari variansi di antara rata-rata resampel bisa
didapatkan. Nilai numerik tersebut bisa diperoleh dari 1000 nilai �̅�𝑥 yang
membentuk distribusi bootstrap dan disebut sebagai galat standar bootstrap
Gambar 3.6. Plot quantil normal menegaskan bahwa distribusi bootstrap mendekati normal dari bentuknya.
Nilai normal
Wak
tu p
erba
ikan
dar
i res
ampe
l (d
alam
jam
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
dari rata-rata. Untuk contoh di atas, nilainya adalah 0.367. Secara teori, kita
mengetahui bahwa rumus untuk galat standar dari �̅�𝑥 adalah 𝜎𝜎 √𝑛𝑛⁄ di mana 𝜎𝜎
yang merupakan standar deviasi dari populasi, diduga dengan 𝑠𝑠 (standar de-
viasi dari sampel). Dari Contoh 3.1.1 dan 3.1.2, didapat 𝑠𝑠 = 14.69, maka
𝑠𝑠√𝑛𝑛
=14.69√1664
= 0.360
Nilai galat standar bootstrap sebesar 0.367 hampir mendekati nilai galat stan-
dar secara teoritis, 0.360.
B. Aplikasi Pendekatan Galat standar Dari Mean Dengan Metode Bootstrap
Pada sub-bab ini, akan dijelaskan tahapan pendekatan galat standar den-
gan menggunakan metode Bootstrap dengan menggunakan contoh. Pada Ta-
bel 3.1 diberikan 10 buah sampel acak yang diambil seorang peneliti menge-
nai tinggi bangunan yang memiliki 30 lantai atau lebih di suatu kota besar di
Amerika Serikat.
Tujuan kita adalah mendapatkan nilai pendekatan galat standar dari
mean dengan menggunakan metode bootstrap. Pendekatan akan dilakukan
dengan dua cara, yaitu perhitungan secara manual dan dengan perhitungan
program MATLAB. Prosedur pendekatan galat standar mean bootstrap secara
manual akan dijelaskan terlebih dahulu.
Dari sampel asli tersebut, akan diambil 10 buah resampel dengan meng-
gunakan bilangan random. Dibutuhkan sebanyak 100 buah bilangan random,
untuk meresampel sampel asli. Bilangan-bilangan random tersebut dibang-
kitkan dengan menggunakan program MATLAB (agar bilangan random yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
diperoleh sama, sehingga hasil perhitungannya dapat dibandingkan). Tabel
3.2 menyajikan 100 buah bilangan random tersebut. Nomor pada kolom me-
nunjukkan banyaknya resampel yang dilakukan untuk mendapatkan sampel
bootstrap, sedangkan nomor pada baris menunjukkan nomor sampel yang di-
ambil.
Langkah berikutnya adalah mengkonversikan bilangan-bilangan random
tersebut ke dalam indeks nomor sampel, sehingga bisa diperoleh nilai-nilai re-
sampelnya. Tabel 3.4 menguraikan hasil konversi tersebut. Angka-angka di
dalam Tabel 3.4 menunjukkan nomor sampel yang terpilih pada masing-
masing hasil sampel bootstrap. Adapun aturan konversi bilangan random ke
indeks nomor sampel yang dipilih ditampilkan pada Tabel 3.3.
Dari tabel hasil konversi indeks tersebut, kita akan mendapatkan Tabel
3.5 yang menguraikan nilai-nilai untuk masing-masing hasil sampel bootstrap.
Dari tabel tersebut akan langsung dihitung berapa mean untuk masing-masing
sampel bootstrap.
Pada Tabel 3.5, sepuluh buah nilai mean sampel bootstrap tersebut ada-
lah nilai statistik yang sebelumya kita lambangkan sebagai 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 atau dalam
contoh ini, statistik yang digunakan adalah �̅�𝑥, maka dapat disimbolkan menja-
di �̅�𝑥∗𝑏𝑏 .
Perhitungan nilai mean dan galat standar untuk sampel asli diperoleh se-
bagai berikut.
�̅�𝑥 =1𝑛𝑛�𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
=1
10(485 + 520 + 511 + 535 + 841 + 635 + 725 + 616 + 615 + 582)
= 606.5
dengan nilai standar deviasi sebesar 𝑠𝑠 = 109.079.
𝑆𝑆𝑆𝑆 =𝑠𝑠√𝑛𝑛
=109.079√10
= 34.494
Pendekatan mean untuk populasi dengan metode bootstrap, diperoleh
dengan menggunakan mean bootstrap (mean𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 ). Penduga mean𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 dida-
pat dengan menghitung rata-rata dari masing-masing mean dari setiap replika-
si bootstrap. Sedangkan pendekatan untuk galat standar diperoleh dengan
menghitung standar deviasi dari replikasi-replikasi bootstrap.
Estimasi mean sampling dan galat standar dari mean dapat diperoleh
dengan rumus berikut.
mean𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 =1𝑏𝑏��̅�𝑥∗𝑖𝑖𝑏𝑏
𝑖𝑖=1
SE𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 = �1
𝑏𝑏 − 1�(�̅�𝑥∗ − mean𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 )2
𝑏𝑏
𝑖𝑖=1
Jadi, rata-rata dan galat standar bootstrap untuk tinggi gedung yang memiliki
lebih dari 30 lantai adalah
mean𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 =1
10( 588.2 + 544.3 + 590.4 + 586 + 603.6 + 582.5 + 660.5
+ 617.5 + 605.9 + 632.9)
= 601.18
SE𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡 = 31.48
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Dalam MATLAB telah disediakan fungsi yang langsung dapat mere-
sampel dan mencari nilai parameter populasi dengan metode bootstrap, fung-
sinya yaitu
bootstat = bootstrp(nboot,bootfun,d1,...)
di mana nboot adalah besaran skalar yang menyatakan banyaknya resampel
yang ingin dibentuk, bootfun adalah fungsi untuk menghitung statistik tu-
juan, seperti mean (@mean) dan koefisien korelasi (@corr), dan d1,… me-
nyatakan data yang berupa skalar, vektor kolom atau matriks yang digunakan
sebagai input untuk bootfun. Pada tulisan ini, fungsi bootstat tidak
akan digunakan, melainkan membentuk sintaks program sederhana untuk
membentuk resampel bootstrap dan menghitung statistik tujuan.
Untuk membuat program yang dapat meresampel pada MATLAB, hal
yang pertama kali dilakukan adalah menyusun algoritma dan diagram alir.
Dalam program tersebut, data sampel asli berukuran 𝑛𝑛 dapat kita tuliskan se-
bagai masukan (input) sebagai vektor kolom. Banyaknya sampel bootstrap
(𝑏𝑏) yang ingin dibentuk juga dituliskan sebagai input, tetapi dalam bentuk be-
saran skalar. Untuk dapat melakukan resampling acak, kita perlu membang-
kitkan bilangan random dalam bentuk matriks (𝑛𝑛 × 𝑏𝑏) agar masing-masing
sampel bootstrap juga berukuran 𝑛𝑛 . Selanjutnya, proses penentuan indeks
sampel asli dari bilangan random harus ditentukan dalam rumus umum agar
berlaku untuk setiap 𝑛𝑛 buah sampel yang dimasukkan sebagai input. Karena
bilangan random yang dibangkitkan adalah bilangan random seragam yang
berada di selang (0,1), maka, untuk mempermudah proses penentuan indeks,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
selang (0,1) dibagi menjadi 𝑛𝑛 buah sub-selang. Indeks sampel akan berjalan
dari 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛, sehingga titik-titik ujung dari sub-selang pasti merupakan
kelipatan dari 1 𝑛𝑛⁄ . Jadi, untuk suatu bilangan random U, kita akan memilih
sampel ke-1 bila 0 ≤ 𝑈𝑈 < 1 𝑛𝑛⁄ , sampel ke-2 bila 0 ≤ 𝑈𝑈 < 2 𝑛𝑛⁄ , begitu sete-
rusnya sampai kita memilih sampel ke- 𝑛𝑛 bila (𝑛𝑛 − 1) 𝑛𝑛⁄ ≤ 𝑈𝑈 < 1 atau
(𝑛𝑛 − 1) 𝑛𝑛⁄ ≤ 𝑈𝑈 < 𝑛𝑛 𝑛𝑛⁄ . Pada matriks bilangan random 𝑈𝑈, proses penentuan
indeks nomor sampel ini dimulai dari kolom ke-1, lalu diperiksa tiap baris ke-𝑖𝑖
bilangan randomnya, 𝑖𝑖 = 1, … ,𝑛𝑛, lalu berpindah ke kolom ke-2, lalu diperiksa
tiap baris ke- 𝑖𝑖 bilangan randomnya, 𝑖𝑖 = 1, … ,𝑛𝑛, dan begitu seterusnya sampai
kolom ke-j (𝑗𝑗 = 1, … , 𝑏𝑏). Ketika sudah terbentuk matriks baru yang merupa-
kan sampel bootstrap, rata-rata dari masing-masing kolom akan dihitung terle-
bih dulu sebelum dilakukannya perpindahan kolom ke kolom berikutnya, se-
hingga akan terbentuk vektor kolom untuk replikasi bootstrap ketika seluruh
kolom sudah diperiksa. Dari nilai-nilai replikasi bootstrap tersebut, akan dipe-
roleh pendekatan mean bootstrap dengan menghitung seluruh rata-ratanya,
serta pendekatan galat standar sampling dengan menghitung standar deviasi
dari nilai-nilai replikasi tersebut.
Algoritma pada MATLAB untuk membentuk metode bootstrap adalah
sebagai berikut.
1. Bangkitkan 𝑛𝑛 buah sampel asli (𝑠𝑠𝑠𝑠) dari suatu populasi dengan fungsi dis-
tribusi probabilitas tertentu (normal, eksponensial, binomial, dan random)
dengan nilai 𝑆𝑆(𝑥𝑥) dan 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑉𝑉(𝑥𝑥) tertentu yang bersesuaian dengan fungsi
distribusinya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
2. Masukkan 𝑏𝑏, yaitu besaran skalar yang mewakili banyaknya sampel boot-
strap.
3. Bangkitkan bilangan random 𝑈𝑈 dalam bentuk matriks 𝑖𝑖 × 𝑗𝑗 di mana 𝑖𝑖 se-
banyak ukuran sampel dan 𝑗𝑗 sebanyak resampel bootstrap.
4. Untuk 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑏𝑏, 𝑖𝑖 = 1, … ,𝑛𝑛 dan 𝑘𝑘 = 1, … ,𝑛𝑛
𝑈𝑈(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) < 𝑘𝑘(1 𝑛𝑛⁄ ) & 𝑈𝑈(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ≥ (𝑘𝑘 − 1)(1 𝑛𝑛⁄ ) & 𝑈𝑈(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) < 0,
𝑈𝑈(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) = 𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘)
5. Hitung rata-rata dari masing-masing kolom, matriks 𝑈𝑈.
6. Kembali ke Langkah 4 sampai seluruh 𝑖𝑖 & 𝑗𝑗 dieksekusi.
7. Hitung rata-rata dari seluruh rata-rata pada Langkah 5.
8. Hitung standar deviasi dari seluruh rata-rata pada langkah 5. Selesai.
Runtutan sintaks program untuk pendekatan rata-rata dan galat standar
dengan menggunakan metode bootstrap ditulis dengan menggunakan fasilitas
m-file pada MATLAB, dilampirkan pada tulisan ini pada Program 3.1, se-
dangkan diagram alirnya dijelaskan pada Gambar 3.7 yang juga terlampir.
Bila dibandingkan, antara perhitungan MATLAB dengan perhitungan
manual menghasilkan hasil yang sama. Pengambilan bilangan random yang
sama pada penghitungan manual hanya dilakukan untuk menguji apakah pro-
gram tersebut berjalan dengan benar. Kalaupun dibangkitkan dengan meng-
gunakan MS Office Excel, tidak akan didapatkan kumpulan bilangan random
yang persis sama. Jadi nilai pendekatan, baik untuk mean dan galat standar,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
yang didapat dengan program ini tidak akan ada yang sama persis karena bi-
langan random tersebut.
Dengan membuat grafik distribusi bootstrap, kita dapat melihat apakah
secara kasar, sampling berdistribusi normal atau tidak. Di sinilah Teorema
Limit Pusat tidak dibutuhkan oleh metode bootstrap. Pada umumnya, distri-
busi bootstrap memiliki kedekatan dengan bentuk distribusi normal, tetapi le-
bih berada di tengah nilai statistik sampel asli dibandingkan nilai parameter-
nya. Galat standar dapat dihitung dengan bootstrap, tanpa rumus tertentu dan
juga menguji normalitas data untuk statistik-statistik yang sulit diuji secara
teoritis. Gambar 3.8 menjelaskan distribusi bootstrap untuk hasil replikasi
bootstrap terhadap sampel asli dari tinggi bangunan yang memiliki 30 lantai
atau lebih di suatu kota di Amerika Serikat.
Gambar 3.8. Grafik distribusi dari repllikasi bootstrap dengan 500 resampel. Grafik memperlihatkan bahwa data cenderung berdistribusi normal.
Frek
uens
i
Rata-rata bootstrap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Dari segi bentuk yang ditampilkan dalam Gambar 3.8, distribusi boot-
strap memiliki bentuk yang hampir serupa dengan distribusi normal. Nilai
tengahnya berada di sekitar rata-rata sampel asli, yaitu 606.5. Mean dari boot-
strap tersebut tak bias, karena biasanya nilainya berdekatan dengan nilai mean
dari sampel asli. Selisih dari kedua nilai tersebut disebut sebagai pendekatan
bootstrap terhadap bias. Tabel 3.6 yang terlampir menyajikan perbandingan
antara mean asli dengan mean bootstrap untuk beberapa nilai 𝑏𝑏 yang berbeda.
Terlihat jelas bahwa, semakin besar nilai 𝑏𝑏0T, maka nilai mean dan galat
standar bootstrap akan semakin mendekati nilai mean sampel asli. Selisih dari
kedua nilai mean untuk 𝑏𝑏0T yang semakin besar, juga semakin mengecil. Nilai
mean dan galat standar bootstrap ini dianggap sudah cukup baik sebagai nilai
penduga dari mean dan galat standar sampling.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
APLIKASI METODE BOOTSTRAP
Pada bab ini akan dibahas bagaimana aplikasi metode bootstrap untuk pen-
dugaan selang kepercayaan rata-rata populasi dan regresi linear.
A. Metode Persentil Bootstrap
1. Dasar Pembentukan Selang Parameter Populasi dengan Metode Per-
sentil Bootstrap
Selang kepercayaan dibentuk berdasarkan distribusi sampling dari
suatu statistik. Bila sebuah statistik penduga tidak bias, maka distribusi
samplingnya terletak pada nilai sebenarnya dari parameter populasi. Se-
lang kepercayaan 95% dapat diperoleh dengan mengambil 95% distribusi
sampling yang berada di tengah. Pada dasarnya ada beberapa cara pende-
katan untuk membangun selang parameter populasi dengan menggunakan
prinsip bootstrap. Metode persentil bootstrap adalah metode yang paling
mudah dan jelas untuk membangun selang parameter populasi berdasarkan
pendekatan bootstrap. Disebut sebagai persentil karena metode ini meng-
gunakan data persentil ke (𝛼𝛼 2⁄ )100 dan (1 − 𝛼𝛼 2⁄ )100 sebagai titik
ujung selang, untuk membentuk selang kepercayaan (1 − 𝛼𝛼)100%. Se-
lang yang terbentuk memuat (1 − 𝛼𝛼)100% data dari 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 replikasi boot-
strap. Misalkan 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 = 𝑠𝑠(𝑥𝑥∗𝑏𝑏) adalah replikasi bootstrap atau nilai suatu
statistik ke-b yang telah dihitung dari sampel bootstrap berukuran n yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
diambil dengan pengembalian. Sebagai contoh, untuk membangun selang
kepercayaan 90%, digunakan persentil ke-5 dan ke-95 dari 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 untuk me-
nandai batas 90% distribusi sampling yang ada di tengah. Dengan mengu-
rutkan sejumlah b replikasi bootstrap tersebut dari yang terkecil sampai
yang terbesar, akan dapat diperoleh selang yang memuat 90% data dari
𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 yang dapat dijadikan selang kepercayaan 90% untuk 𝜃𝜃. Jadi secara
umum, selang kepercayaan dengan metode bootstrap adalah sebagai beri-
kut.
𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 < 𝜃𝜃 < 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙
di mana 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑏𝑏𝛼𝛼 2⁄ dan 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑏𝑏(1 − 𝛼𝛼 2⁄ ). Bila 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 dan
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙 bukan berupa bilangan bulat, maka dapat dibulatkan ke bilangan
bulat terdekat atau menginterpolasikan antara nilai-nilai 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 yang bersebe-
lahan.
Selang parameter populasi dengan menggunakan pendekatan anali-
tik, mengasumsikan bahwa statistik uji tersebut berdistribusi normal serta
melibatkan Teorema Limit Pusat sebagai landasan. Metode persentil boot-
strap yang basisnya adalah metode nonparametrik, memiliki keunggulan
tersendiri karena tidak perlu bergantung pada Teorema Limit Pusat karena
metode ini tidak memerlukan asumsi distribusi samplingnya, untuk distri-
busi sampling seperti apapun, diketahui atau tidak, metode ini dapat dite-
rapkan. Asumsi bahwa data tersebut berdistribusi tertentu secara parame-
trik juga tidak diperlukan karena metode persentil bootstrap mengandalkan
persentil dari distribusi bootstrap yang telah dibentuk dari 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 . Selain itu,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
rumus-rumus sulit juga tidak diperlukan dalam metode ini karena penggu-
naan distribusi bootstrap tersebut.
Bila dijelaskan dalam bentuk algoritma dan diagram alir, maka me-
tode persentil bootstrap dapat digambarkan sebagai berikut:
1. Bangkitkan 𝑛𝑛 buah sampel asli (𝑠𝑠𝑠𝑠) dari suatu populasi dengan fungsi
distribusi probabilitas tertentu (normal, eksponensial, binomial, dan
random) dengan nilai 𝐸𝐸(𝑥𝑥) dan 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑙𝑙(𝑥𝑥) tertentu yang bersesuaian den-
gan fungsi distribusinya.
2. Masukkan 𝑏𝑏, yaitu besaran skalar yang mewakili banyaknya sampel
bootstrap.
3. Masukkan 𝛼𝛼, yaitu besaran skalar yang mewakili tingkat signifikansi
untuk selang kepercayaan.
4. Bangkitkan bilangan random 𝑈𝑈 dalam bentuk matriks 𝑖𝑖 × 𝑗𝑗 di mana 𝑖𝑖
sebanyak ukuran sampel dan 𝑗𝑗 sebanyak resampel bootstrap.
5. Untuk 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑏𝑏, 𝑖𝑖 = 1, … ,𝑛𝑛 dan 𝑘𝑘 = 1, … ,𝑛𝑛
𝑈𝑈(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) < 𝑘𝑘(1 𝑛𝑛⁄ ) & 𝑈𝑈(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ≥ (𝑘𝑘 − 1)(1 𝑛𝑛⁄ ) & 𝑈𝑈(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) < 0,
𝑈𝑈(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) = 𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘)
6. Hitung rata-rata dari masing-masing kolom, matriks 𝑈𝑈, namakan vek-
tor ini sebagai 𝑈𝑈∗.
7. Kembali ke Langkah 4 sampai seluruh 𝑖𝑖 & 𝑗𝑗 dieksekusi.
8. Hitung rata-rata dari rata-rata pada Langkah 5.
9. Hitung standar deviasi dari seluruh rata-rata pada langkah 5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
10. Urutkan vektor 𝑈𝑈∗ dari yang terkecil hingga yang terbesar (vektor ini
akan memiliki 𝑏𝑏 buah elemen.
11. Dengan tingkat signifikansi 𝛼𝛼 persentil dari 𝑈𝑈∗ dengan aturan:
𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑈𝑈(𝑏𝑏𝛼𝛼 2⁄ ) dan 𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑈𝑈(𝑏𝑏(1 − 𝛼𝛼 2⁄ ))
Selesai.
Kode sintaks dalam program MATLAB akan dilampirkan pada Pro-
gram 4.1, sedangkan diagram alirnya adalah Gambar 4.1 juga terlampir
dalam tulisan ini. Pada program tersebut, fungsi distribusi populasi diba-
tasi untuk empat buah distribusi, yaitu distribusi normal, eksponensial, bi-
nomial, dan poisson.
2. Pembentukan Selang Kepercayaan dengan Metode Persentil Boot-
strap
Sebagai contoh, diberikan data banyaknya darah yang hilang dari tu-
buh babi. Sepuluh ekor babi dipilih secara acak dan diamati berapa ba-
nyak tubuhnya kehilangan darah dalam milliliter. Hasil observasi dije-
laskan pada Tabel 4.1 (sumber: Chernick, 2003). Selanjutnya, akan diam-
bil 20 sampel bootstrap dengan ukuran sampel 10 buah dengan cara pem-
bangkitan nilai random. Untuk itu, kita membutuhkan 200 buah bilangan
acak seragam. Pada Tabel 4.2 disajikan bilangan acak seragam yang ma-
sing-masing merepresentasikan sampel bootstrap. Aturan konversi bilan-
gan random ke indeks sampel asli yang terpilih untuk mendapatkan sampel
bootstrap dijelaskan dalam Tabel 4.3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Dengan demikian, bilangan-bilangan random dalam Tabel 4.2 dapat
dikonversikan ke dalam yang disajikan pada Tabel 4.4. Berdasarkan nilai-
nilai indeks pada Tabel 4.4, Tabel 4.5 berisi nilai-nilai sampel bootstrap
yang bersesuaian dengan sampel asli pada Tabel 4.1.
Pada baris terakhir di Tabel 4.5, ditunjukkan rata-rata dari masing-
masing sampel bootstrap serta rata-rata dari keduapuluh sampel bootstrap.
Sebagai perbandingan, pada Tabel 4.1, dari 10 buah sampel random yang
asli, didapatkan mean sebesar 1.085,9 dan estimasi galat standar sebesar
226,772. Sedangkan pada Tabel 4.5 didapatkan mean sampel bootstrap
sebesar 1.159,8 dan estimasi galat standar bootstrap sebesar 217,15.
Selang penduga parameter populasi dengan metode persentil akan
dibangun dengan mengurutkan estimasi bootstrap mulai dari yang terkecil
sampai yang terbesar. Untuk selang kepercayaan 90%, persentil ke-5 dan
ke-95 digunakan menjadi titik-titik ujung interval. Karena terdapat 20 es-
timasi bootstrap, maka interval akan dibentuk dari estimasi terkecil kedua
sampai estimasi kedua terbesar (estimasi ke-2 dan ke-19). Tabel 4.6 me-
nyajikan estimasi bootstrap yang telah diurutkan dari nilai yang terkecil
sampai yang terbesar. Dengan menggunakan metode persentil bootstrap,
selang yang terbentuk adalah
�̅�𝑥∗𝑏𝑏 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 < 𝜇𝜇 < �̅�𝑥∗𝑏𝑏𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙
�̅�𝑥∗2 < 𝜇𝜇 < �̅�𝑥∗19
867 < 𝜇𝜇 < 1.517,4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Estimasi bootstrap yang ke-2 adalah 867 dan ke-19 adalah 1.517,4,
jadi selang kepercayaan persentil bootstrap 90% yang kita dapatkan adalah
[867; 1.517,4]. Selang kepercayaan ini akan kita bandingkan dengan se-
lang penduga parameter parametrik. Selang kepercayaan secara analitik,
dengan menggunakan data sampel yang asli dengan ukuran sampel 10
buah, didapatkan sebagai berikut:
�̅�𝑥 − 𝑡𝑡𝛼𝛼 2⁄ ;𝑣𝑣𝑠𝑠√𝑛𝑛
≤ 𝜇𝜇 ≤ �̅�𝑥 + 𝑡𝑡𝛼𝛼 2⁄ ;𝑣𝑣𝑠𝑠√𝑛𝑛
1.085,9 − 𝑡𝑡0.05;9717.12√10
≤ 𝜇𝜇 ≤ 1.085,9 + 𝑡𝑡0.05;9717,12√10
1.085,9 − 1,8331717.12√10
≤ 𝜇𝜇 ≤ 1.085,9 − 1,8331717,12√10
670,2019 ≤ 𝜇𝜇 ≤ 1.501,598
Batas atas selang penduga parametrik dengan tingkat kepercayaan
90% adalah 1.501,598 dan batas bawahnya adalah 670,2019. Bila diban-
dingkan dengan selang kepercayaan 90% yang dihasilkan dengan metode
persentil bootstrap terdapat beberapa perbedaan pada nilai-nilai selang ke-
percayaan, tetapi metode persentil secara nyata memiliki lebar selang yang
lebih sempit dibandingkan dengan selang parametrik.
Bila distribusi bootstrap dari 𝜃𝜃�∗𝑏𝑏 mendekati normal, maka selang
persentil bootstrap akan mendekati interval standar normal pula. Menurut
Teorema Limit Pusat, dengan membesarnya nilai 𝑛𝑛 mendekati tak hingga,
maka distribusi sampling akan mendekati distribusi normal. Begitu pula
dengan distribusi bootstrap, semakin banyak jumlah sampel bootstrapnya,
distribusi bootstrapnya juga semakin mendekati normal. Namun, untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
contoh di atas, 10 buah sampel bootstrap dianggap terlalu sedikit untuk
menyatakan bahwa distribusi bootstrapnya mendekati normal dan selang
persentil bootstrap juga mendekati interval standar normal.
Untuk menguji apakah selang persentil bootstrap memuat nilai pa-
rameter populasi yang sebenarnya, maka dilakukan perbandingan dengan
simulasi. Batas-batas selang kepercayaan yang diperbandingkan adalah
selang yang dibentuk dengan metode persentil bootstrap dengan selang
kepercayaan normal untuk ukuran populasi, ukuran sampel dan ukuran
sampel bootstrap yang berbeda-beda. Dengan program MATLAB, simu-
lasi yang dilakukan akan akan diambil 𝑛𝑛 = 10, serta 15 buah nilai 𝑏𝑏 yang
berbeda, yaitu 10, 20, 50, 60, 100, 200, 500, 700, 1.000, 1.500, 2.000,
3.000, 5.000, 7.000, dan 10.000. Hasil simulasi yang diperoleh dari pen-
geksekusian Program 4.1 yang terlampir, disajikan pada Tabel 4.7, Tabel
4.8, Tabel 4.9, dan Tabel 4.10. Pada tabel-tabel tersebut, diasumsikan dis-
tribusi populasi diketahui, yaitu populasi yang berdistribusi normal, eks-
ponensial, binomial, dan poisson. Selang kepercayaan yang akan dibentuk
berdasarkan tingkat signifikansi sebesar 5%. Untuk populasi yang berdis-
tribusi normal, akan diambil 𝜇𝜇 = 20 dan 𝜎𝜎 = 2 disajikan dalam Tabel 4.7.
Sedangkan untuk populasi berdistribusi eksponensial dan poisson secara
berturut-turut disajikan dalam Tabel 4.8 dan Tabel 4.10 dan nilai 𝜆𝜆 = 20
dan untuk populasi berdistribusi binomial, disajikan dalam Tabel 4.9 den-
gan nilai 𝑢𝑢 = 0,05 dan 𝑁𝑁 = 10.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Pada Tabel 4.7, diperlihatkan perbandingan selang kepercayaan
bootstrap dengan selang kepercayaan normal secara teoritis. Bila diang-
gap kita mengetahui distribusi populasinya, yaitu distribusi normal, seiring
dengan membesarnya nilai 𝑏𝑏, nilai pendekatan mean bootstrap semakin
mendekati mean sampel asli dengan bias yang kecil. Nilai mean bootstrap
berada di sekitar 20 (konvergen ke nilai parameter populasi, yaitu 𝜇𝜇 = 20)
dan sangat dekat dengan nilai mean sampel aslinya. Bias yang dihasilkan
mean bootstrap dengan sampel asli dapat dikatakan cukup kecil. Galat
standar yang dihasilkan dengan metode bootstrap selalu lebih kecil diban-
dingkan dengan galat standar secara teoritis, yaitu 𝑠𝑠 √𝑛𝑛⁄ . Variansi boot-
strap yang didapat sering kali berbeda cukup jauh dengan variansi sampel
asli dan variansi populasi yang telah ditentukan. Hal ini terjadi karena
sampel acak yang diambil selalu berbeda-beda dan terlalu beragam untuk
setiap pengambilannya.
Selain itu, pada tabel tersebut, terlihat sangat jelas bahwa selang per-
sentil bootstrap yang dihasilkan memiliki interval yang lebih sempit di-
bandingkan selang kepercayaan normal. Meskipun kedua selang tersebut
sama-sama memuat nilai sebenarnya dari populasi, yaitu 𝜇𝜇 = 20, tetapi
dengan tingkat signifikansi yang sama, metode persentil yang lebar inter-
valnya lebih sempit dinilai lebih baik daripada selang kepercayaan normal.
Semakin besar nilai 𝑏𝑏, distribusi bootstrap yang dihasilkan semakin men-
dekati distribusi normal bila dilihat grafik histogram fungsi distribusi
bootstrapnya pada program MATLAB.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Untuk populasi yang berdistribusi ekponensial, dipilih 𝜆𝜆 = 20, ke-
mudian dilakukan simulasi perbandingan mean dan selang kepercayaan-
nya. Terlihat perbedaan yang cukup signifikan untuk mean sampel asli da-
ri satu nilai 𝑏𝑏 ke nilai 𝑏𝑏 yang lain pada Tabel 4.8. Sampel acak yang diha-
silkan selalu memiliki jangkauan yang cukup jauh, sehingga berpengaruh
pada variansinya pula. Bila dilihat dari segi bentuk grafik, distribusi eks-
ponensial memiliki keesktreman bentuk yang berbeda jauh dengan grafik
distribusi normal. Berbeda dengan distribusi populasi lain yang hanya
memerlukan nilai 𝑏𝑏 yang terbilang kecil, untuk distribusi ini, diambil nilai
𝑏𝑏 yang cukup besar, yaitu 50.000 dan 100.000. Dalam pengeksekusian
program MATLAB, khusus untuk fungsi distribusi ini membutuhkan wak-
tu yang lebih lama sampai diperoleh hasilnya. Mean bootstrap dan pende-
katan galat standar yang dihasilkan pada Tabel 4.8 (pada lampiran) diang-
gap cukup mendekati nilai mean sampel asli dan galat standar secara teori-
tis untuk nilai 𝑏𝑏 tersebut. Variansi bootstrap yang dihasilkan juga cukup
beragam dan berbeda jauh dengan variansi populasi, di mana variansi po-
pulasi adalah 𝜆𝜆2 = 400. Bentuk distribusi populasi juga berpengaruh pada
sampel acak, sehingga juga berpengaruh pada penduga bootstrap. Kita
dapat mengambil kesimpulan bahwa pendekatan bootstrap ini baik atau ti-
dak, bila ada penduga lain yang dapat dibandingkan.
Selang kepercayaan yang dihasilkan juga tidak terlalu konsisten (ni-
lai batas bawah dan batas atasnya tidak selalu dekat) seperti contoh sebe-
lumnya, tetapi untuk setiap percobaan, selang persentil bootstrap selalu le-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
bih sempit dibandingan selang kepercayaan normal, meskipun keduanya
sama-sama memuat parameter sampel.
Pada Tabel 4.9, pada pemilihan populasi yang berdistribusi binomial,
dengan 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑢𝑢 = 5 dan 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑢𝑢(1 − 𝑢𝑢) = 2.5 mean bootstrap
yang dihasilkan selalu mendekati nilai mean sampel asli dan nilai mean
populasi. Distribusi bootstrap yang ditampilkan pada grafik juga mende-
kati distribusi normal seiring dengan membesarnya nilai 𝑏𝑏. Pendekatan
galat standar bootstrap juga selalu mendekati galat standar secara teori, te-
tapi tidak untuk variansinya. Variansi yang dihasilkan cukup beragam dan
terkadang berbeda cukup jauh dari variansi sampel asli.
Selang kepercayaan persentil bootstrap juga mendekati selang keper-
cayaan normal, tetapi jangkauannya lebih sempit bila dibandingkan den-
gan selang kepercayaan normal. Baik selang persentil bootstrap maupun
selang normal tersebut juga selalu memuat parameter populasi. Selang
persentil bootstrap juga selalu memuat parameter sampel yang diduga.
Pendekatan mean bootstrap untuk populasi yang berdistribusi pois-
son dengan 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 𝜆𝜆 = 20 selalu mendekati parameter sam-
pelnya dan nilainya selalu mendekati parameter populasinya. Hal ini terli-
hat pada nilai-nilai yang disimulasikan dan ditulis pada Tabel 4.10. Va-
riansi yang dihasikan, baik variansi secara teoritis berdasarkan sampel asli
dan variansi bootstrap dapat dikatakan tidak terlalu konsisten. Kemungki-
nan hal ini disebabkan oleh keragaman sampel acak yang dihasilkan. Ga-
lat standar yang dihasilkan cukup mendekati galat standar secara teoritis,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
selain itu bias untuk mean sampel asli dan sampel bootstrap terbilang cu-
kup kecil.
Meskipun terlihat cukup baik, selang persentil bootstrap memiliki
beberapa kekurangan. Selang persentil bootstrap tidak begitu efektif keti-
ka ukuran sampelnya cukup kecil, karena pentingnya ujung-ujung dari dis-
tribusi sampling dalam perhitungan selang kepercayaan ini. Masalah yang
kedua adalah, dalam penggunaan selang persentil bootstrap, kita harus
mengasumsikan bahwa distribusi sampling bootstrapnya merupakan pen-
duga tak bias dari distribusi sampling 𝑓𝑓�𝜃𝜃�� (Mooney & Duval, 1993). Se-
lain itu, menurut Efron (1993), selang persentil ini tidak memiliki petunjuk
apapun tentang distribusi normal yang menjadi dasar dan menggunakan
distribusi empiris sebagai gantinya, di sinilah konsekuensi dari inferensi
nonparametrik. Dalam hal ini, selang tersebut kurang memperhitungkan
pentingnya ujung-ujung ekor distribusi dari 𝜃𝜃�∗.
B. REGRESI LINEAR BOOTSTRAP
1. Metode Bootstrap Untuk Pendugaan Parameter Dalam Regresi Li-
near Berganda
Model regresi adalah metode statistikal yang sangat berguna dan me-
tode yang paling sering digunakan di antara metode-metode lainnya. Re-
gresi memudahkan kita untuk menganalisis situasi yang rumit dengan cara
yang relatif mudah, di mana kita mencoba untuk mengurutkan akibat-
akibat dari variabel-variabel penjelas dari sebuah variabel respons. Me-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
tode bootstrap yang memiliki banyak keunggulan di dalam pengolahan da-
ta, juga dapat diterapkan pada pembentukan model regresi linear berganda
ini. Cara penarikan sampel bootstrap diterapkan untuk menentukan pen-
dekatan parameter regresi atau koefisien regresi.
Terdapat dua jenis penerapan metode bootstrap untuk meresampling
dalam analisis regresi, yaitu metode bootstrap untuk meresampling nilai
observasi dan metode bootstrap untuk meresampling eror. Pemilihan pe-
nerapan di antara kedua metode tersebut tergantung pada tetap atau acak-
nya variabel independen. Bila variabel independennya dianggap tetap,
maka metode yang dipilih adalah resampling dari erornya. Bila variabel
independennya acak, maka yang diresampling adalah nilai observasinya.
a. Algoritma Metode Bootstrap Untuk Meresampling Observasi
Pendekatan dengan metode ini dilakukan bila variabel indepen-
den dalam model regresi yang dibangun berdasarkan data, sama acak-
nya dengan variabel dependennya. Untuk memulainya, diberikan vek-
tor 𝐰𝐰𝑖𝑖 = �𝑦𝑦𝑖𝑖𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗 � menyatakan nilai yang berasosiasi dengan observasi ke-
𝑖𝑖. Himpunan observasi dalam metode ini adalah vektor 𝐖𝐖 =
[𝐰𝐰1,𝐰𝐰2, … ,𝐰𝐰𝑛𝑛 ]. Untuk mempermudah, sampel asli yang akan diam-
bil dijelaskan pada gambar berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
𝑌𝑌 𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 … 𝑋𝑋𝑘𝑘
𝑦𝑦1 𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 … 𝑥𝑥1𝑘𝑘
𝑦𝑦2 𝑥𝑥21 𝑥𝑥22 … 𝑥𝑥2𝑘𝑘
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛1 𝑥𝑥𝑛𝑛2 … 𝑥𝑥𝑛𝑛1
Secara sederhana, Gambar 4.3 menjelaskan prosedur metode
bootstrap dalam meresampling data observasi dalam regresi berganda.
Selanjutnya, algoritma atau prosedur metode bootstrap dalam
meresampling observasi secara umum adalah sebagai berikut.
1) Ambil sampel bootstrap 𝐰𝐰∗𝑏𝑏 (berupa vektor yang memuat 𝑛𝑛 buah
𝐰𝐰𝑖𝑖) dengan sampling dengan pengembalian dari observasi, kemu-
𝐰𝐰1 𝐰𝐰2
𝐰𝐰𝑛𝑛
Gambar 4.2. Pasangan terurut (𝑦𝑦𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗 ) dinotasikan da-
lam bentuk vektor 𝐰𝐰𝑖𝑖
OLS
Gambar 4.3. Skema regresi boostrap dengan meresampling observasi
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 = 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏�����
Replikasi bootstrap
Sampel Asli
𝐰𝐰∗1 𝐰𝐰∗2
𝐰𝐰∗𝑏𝑏
𝛃𝛃�∗1 𝛃𝛃�∗2 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 …
…
𝐖𝐖 = (𝐰𝐰1,𝐰𝐰2, … ,𝐰𝐰𝑛𝑛)
Sampel Bootstrap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
dian bentuk distribusi empirisnya dengan menempatkan distribusi
probabilitas untuk setiap nilai 𝑙𝑙𝑖𝑖 . Notasikan elemen-elemen dari
setiap vektor dengan 𝐰𝐰𝑖𝑖∗𝑏𝑏 = �
𝑦𝑦𝑖𝑖∗𝑏𝑏
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗 ∗𝑏𝑏� di mana 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛 dan
𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑘𝑘. Elemen pada 𝐰𝐰𝑖𝑖∗𝑏𝑏 diambil dari elemen-elemen vek-
tor 𝐘𝐘∗𝑏𝑏 =
⎣⎢⎢⎡𝑦𝑦1
∗𝑏𝑏
𝑦𝑦2∗𝑏𝑏
⋮𝑦𝑦𝑛𝑛∗𝑏𝑏⎦
⎥⎥⎤ dan matriks
𝐗𝐗∗𝑏𝑏 =
⎣⎢⎢⎡𝑥𝑥0 𝑥𝑥11
∗𝑏𝑏 𝑥𝑥12∗𝑏𝑏
𝑥𝑥0 𝑥𝑥21∗𝑏𝑏 𝑥𝑥22
∗𝑏𝑏… 𝑥𝑥1𝑘𝑘
∗𝑏𝑏
… 𝑥𝑥2𝑘𝑘∗𝑏𝑏
⋮ ⋮ ⋮𝑥𝑥0 𝑥𝑥𝑛𝑛1
∗𝑏𝑏 𝑥𝑥𝑛𝑛2∗𝑏𝑏
⋮ ⋮… 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑘𝑘 ∗𝑏𝑏⎦
⎥⎥⎤.
2) Hitung koefisien regresi bootstrap dengan OLS dari sampel boot-
strap.
𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 = (𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐗𝐗∗𝑏𝑏)−1𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐘𝐘∗𝑏𝑏
3) Ulangi langkah 1 dan 2 hingga 𝑏𝑏 kali.
4) Bentuk distribusi bootstrap 𝐹𝐹(𝛃𝛃�∗𝑏𝑏) dari estimasi bootstrap
𝛃𝛃�∗1,𝛃𝛃�∗2, …𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 dan gunakan 𝐹𝐹(𝛃𝛃�∗𝑏𝑏) untuk mengestimasi koefisien
regresi. Koefisien regresi diduga dengan
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 =1𝑏𝑏�𝛃𝛃�∗ℎ𝑏𝑏
ℎ=1
= 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏�����
5) Oleh karena itu, persamaan akhir regresi bootstrap adalah
𝐘𝐘� = 𝐗𝐗𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡
di mana 𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 adalah penduga tak bias dari 𝛃𝛃�.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Bukti:
𝐸𝐸�𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 � = 𝐸𝐸 �1𝑏𝑏�𝛃𝛃�∗ℎ𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐗𝐗∗𝑏𝑏)−1(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐘𝐘∗𝑏𝑏)
𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐗𝐗∗𝑏𝑏)−1 �𝐗𝐗∗𝑏𝑏 ′�𝐗𝐗∗𝑏𝑏𝛃𝛃� + 𝛆𝛆∗𝑏𝑏��
𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐗𝐗∗𝑏𝑏)−1(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐗𝐗∗𝑏𝑏)𝛃𝛃� + �(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐗𝐗∗𝑏𝑏)−1(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝛆𝛆∗𝑏𝑏)�
𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��𝛃𝛃� + �(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐗𝐗∗𝑏𝑏)−1(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝛆𝛆∗𝑏𝑏)�
𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��𝛃𝛃� + �(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐗𝐗∗𝑏𝑏)−1 �𝐗𝐗∗𝑏𝑏 ′𝐄𝐄(𝛆𝛆∗𝑏𝑏)��
𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 �𝑏𝑏 �𝛃𝛃� + (𝐗𝐗∗𝑏𝑏′𝐗𝐗∗𝑏𝑏)−1 �𝐗𝐗∗𝑏𝑏 ′(0)��� =
1𝑏𝑏𝑏𝑏 𝐸𝐸�𝛃𝛃�� = 𝛃𝛃�
Pada Program 4.2, pasangan terurut �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗 ,𝑦𝑦𝑖𝑖�, diambil secara ran-
dom dan diperlakukan sebagai input. Program ini juga menggunakan
regresi linear berganda dengan konstanta.
Sedangkan pada Program 4.3, pasangan terurut �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗 ,𝑦𝑦𝑖𝑖�, diambil
secara random, di mana 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗 berdistribusi multivariat normal dengan
mean yaitu vektor 𝛍𝛍. Vektor ini berukuran 1 × 𝑘𝑘, memuat mean dari
masing-masing variabel independen, yaitu 𝜇𝜇𝑋𝑋1 , 𝜇𝜇𝑋𝑋2 , … , 𝜇𝜇𝑋𝑋𝑘𝑘 ) dan kova-
riansi 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 di mana vektor berukuran 𝑘𝑘 × 𝑘𝑘 ini memuat variansi dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
variabel-variabel independen tersebut pada elemen diagonalnya. Se-
lain itu, 𝑦𝑦𝑖𝑖 harus memenuhi persamaan 𝐘𝐘 = 𝐗𝐗𝛃𝛃 + 𝛆𝛆. Nilai-nilai pada
vektor kolom galat dibangkitkan dengan menggunakan pembangkit bi-
langan random yang berdistribusi normal, di mana 𝐸𝐸(𝛆𝛆) = 0 dan
𝑉𝑉𝑠𝑠𝑙𝑙(𝛆𝛆) = σ2. Untuk menguji apakah metode bootstrap memberikan
pendekatan yang cukup signifikan untuk parameter populasi, diasum-
sikan kita telah mengetahui nilai 𝛃𝛃, karena itu nilai-nilai pada vektor
kolom tersebut diperlakukan sebagai input. Pada program ini, tidak
melibatkan regresi linear berganda dengan konstanta. Gambar 4.4
yang terlampir, menjelaskan diagram alir untuk program resampling
observasi untuk Program 4.2, sedangkan Gambar 4.5 merupakan dia-
gram alir dari Program 4.3. Kode sintaks untuk program-program
MATLAB tersebut, terdapat pada bagian lampiran.
Contoh 4.1. (Sumber: Efron (1993))
Pada tabel 4.11 berikut, disediakan data 27 alat medis yang seca-
ra kontinu menghantarkan hormon anti-inflamatori setelah digunakan
dalam suatu waktu tertentu. Alat medis diambil dari 3 pabrik yang
berbeda, A, B, dan C. Model ini mengabaikan jenis pabrik dan men-
ganggap variabel independennya hanyalah lamanya waktu penggunaan
alat medis (𝑋𝑋) dan variabel dependennya adalah besarnya konsentrasi
hormon anti-inflamatori (𝑌𝑌). Variabel independen (𝑌𝑌) diambil secara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
acak, sehingga prosedur bootstrap yang akan dilakukan adalah pen-
gambilan sampel bootstrap dari himpunan pasangan terurut dari data.
Dengan bilangan random yang dibangkitkan pada Tabel 4.13,
akan diambil 5 sampel bootstrap yang berupa pasangan terurut (𝑥𝑥,𝑦𝑦)
dengan ukuran sampel 𝑛𝑛 = 9 untuk masing-masing jenis pabrik. Atu-
ran konversi indeks sampel yang dipilih terdapat pada Tabel 4.12, se-
dangkan hasil konversi indeks sampel yang terpilih untuk dijadikan
sampel bootstrap ditampilkan pada Tabel 4.14. dan Tabel 4.15 menya-
jikan hasil sampel bootstrap yang telah dibangkitkan, beserta nilai-nilai
koefisen regresi untuk masing-masing sampel bootstrap tersebut.
Dari hasil perhitungan sesuai dengan algoritma, didapatkan
�̂�𝛽0∗1
= 31,976, �̂�𝛽1∗1
= −0,062, �̂�𝛽0∗2
= 34,6517, �̂�𝛽1∗2
= −0,0762,
�̂�𝛽0∗3
= 34,5755, �̂�𝛽1∗3
= −0,0771, �̂�𝛽0∗4
= 34,2202, �̂�𝛽1∗4
=
−0,0755, dan �̂�𝛽0∗5
= 33,901, �̂�𝛽1∗5
= −0,072. Dengan begitu, dapat
diperoleh 𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 dengan cara menghitung rata-rata dari seluruh 𝛃𝛃�∗𝐛𝐛.
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 = � 33,8649−0,07264�
Jadi persamaan regresi bootstrap yang terbentuk untuk data hormon
berdasarkan pabrik A adalah
𝑦𝑦�𝑖𝑖 = 33,8649 − 0,07264𝑥𝑥𝑖𝑖
Untuk alat medis buatan pabrik B, akan dibangkitkan bilangan
random, sama seperti pada data untuk pabrik A, bilangan random ter-
sebut disajikan pada Tabel 4.16. dengan menggunakan aturan konversi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
indeks sampelpada Tabel 4.12, konversi indeks sampel yang terpilih
untuk dijadikan sampel bootstrap ditampilkan pada Tabel 4.17. dan
Tabel 4.18 menyajikan hasil sampel bootstrap yang telah dibangkitkan
untuk data pabrik B, beserta nilai-nilai koefisen regresi untuk masing-
masing sampel bootstrap tersebut. Pada Tabel 4.18, terdapat nilai rep-
likasi bootstrap sebagai berikut �̂�𝛽0∗1
= 34,1259, �̂�𝛽1∗1
= −0,0525,
�̂�𝛽0∗2
= 35,3939, �̂�𝛽1∗2
= −0,0566, �̂�𝛽0∗3
= 38,1158, �̂�𝛽1∗3
=
−0,0667, �̂�𝛽0∗4
= 34,9339, �̂�𝛽1∗4
= −0,0508, dan �̂�𝛽0∗5
= 34,1427,
�̂�𝛽1∗5
= −0,0547. Maka, dapat diperoleh 𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 , yaitu
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 = �35,34244−0,05626�
Jadi persamaan regresi bootstrap yang terbentuk untuk data hormon
berdasarkan pabrik B adalah
𝑦𝑦�𝑖𝑖 = 35,34244 − 0,05626𝑥𝑥𝑖𝑖
Sedangkan untuk alat medis buatan pabrik C, akan dibangkitkan
bilangan random, sama seperti pada data untuk pabrik A dan B, bilan-
gan random tersebut disajikan pada Tabel 4.19 dan dengan aturan kon-
versi indeks sampel ada Tabel 4.12, konversi indeks sampel yang terpi-
lih untuk dijadikan sampel bootstrap terdapat pada Tabel 4.20, serta
Tabel 4.21 menyajikan hasil sampel bootstrap yang telah dibangkitkan
untuk data pabrik C, beserta nilai-nilai koefisen regresi untuk masing-
masing sampel bootstrap tersebut. Pada Tabel 4.20, terdapat nilai rep-
likasi bootstrap. Nilai-nilai tersebut, yaitu �̂�𝛽0∗1
= 36,3948, �̂�𝛽1∗1
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
−0,0646, �̂�𝛽0∗2
= 42,8542, �̂�𝛽1∗2
= −0,01137, �̂�𝛽0∗3
= 37,2071,
�̂�𝛽1∗3
= −0,0742, �̂�𝛽0∗4
= 38,3745, �̂�𝛽1∗4
= −0,0832, dan �̂�𝛽0∗5
=
38,4051, �̂�𝛽1∗5
= −0,0849. Maka, dapat diperoleh 𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 , yaitu
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 = �38,64714−0,08412�
Jadi persamaan regresi bootstrap yang terbentuk untuk data hormon
berdasarkan pabrik C adalah
𝑦𝑦�𝑖𝑖 = 38,64714 − 0,08412𝑥𝑥𝑖𝑖
b. Algoritma Metode Bootstrap untuk Meresampling Galat
Bila regressornya tetap, maka resampling bootstrap perlu meng-
awetkan strukturnya. Algoritma untuk meresampling galat atau resi-
dual dari model regresi adalah sebagai berikut.
1) Bentuk persamaan regresi dengan menggunakan kuadrat terkecil
untuk sampel awal.
2) Hitung nilai 𝜀𝜀𝑖𝑖 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�𝑖𝑖 di mana 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛
3) Dari langkah 2, ambil sampel bootstrap 𝛆𝛆∗𝑏𝑏 , berupa vektor yang
memuat 𝑛𝑛 buah 𝜀𝜀𝑖𝑖 dan diambil dengan pengembalian. Untuk se-
tiap nilai 𝜀𝜀𝑖𝑖 diberikan distribusi probabilitasnya dengan peluang
1 𝑛𝑛⁄ .
4) Hitung nilai 𝐘𝐘∗𝑏𝑏 dengan menambahkan residual resampel pada
model regresi kuadrat terkecil pada langkah 1.
𝐘𝐘∗𝑏𝑏 = 𝐗𝐗𝛃𝛃� + 𝛆𝛆∗𝑏𝑏
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
5) Dari sampel bootstrap yang pertama, kita akan memperoleh
𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′𝐘𝐘∗𝑏𝑏
atau
𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 = 𝛃𝛃� + (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′𝛆𝛆∗𝑏𝑏
6) Ulangi langkah 3, 4, dan 5 sebanyak 𝑏𝑏 kali.
7) Bentuk distribusi bootstrap 𝐹𝐹(𝛃𝛃�∗𝑏𝑏) dari estimasi bootstrap
𝛃𝛃�∗1,𝛃𝛃�∗2, …𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 dan gunakan 𝐹𝐹(𝛃𝛃�∗𝑏𝑏) untuk mengestimasi koefisien
regresi. Koefisien regresi diduga dengan
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 =1𝑏𝑏�𝛃𝛃�∗ℎ𝑏𝑏
ℎ=1
= 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏�����
8) Oleh karena itu, persamaan regresi bootstrap adalah
𝐘𝐘� = 𝐗𝐗𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡
di mana 𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 adalah penduga tak bias dari 𝛃𝛃�.
Bukti:
𝐸𝐸�𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 � = 𝐸𝐸 �1𝑏𝑏�𝛃𝛃�∗ℎ𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1(𝐗𝐗′𝐘𝐘∗𝑏𝑏)
𝑏𝑏
ℎ=1
� =1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1 �𝐗𝐗′�𝐗𝐗𝛃𝛃� + 𝛆𝛆∗𝑏𝑏��
𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1(𝐗𝐗′𝐗𝐗)𝛃𝛃� + �(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1(𝐗𝐗′𝛆𝛆∗𝑏𝑏)�
𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��𝛃𝛃� + �(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1(𝐗𝐗′𝛆𝛆∗𝑏𝑏)�
𝑏𝑏
ℎ=1
�
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 ��𝛃𝛃� + �(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1�𝐗𝐗′𝐄𝐄(𝛆𝛆∗𝑏𝑏)��
𝑏𝑏
ℎ=1
�
=1𝑏𝑏𝐸𝐸 �𝑏𝑏 �𝛃𝛃� + (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1�𝐗𝐗′(0)���
=1𝑏𝑏𝑏𝑏 𝐸𝐸�𝛃𝛃�� = 𝛃𝛃�
Secara sederhana, langkah-langkah dalam metode bootstrap pada
penerapannya dalam meresampling residual atau galat pada persamaan
regresi linear berganda dapat digambarkan dalam Gambar 4.6. Serta
aplikasi dalam runtunan kode sintaks MATLAB akan dilampirkan da-
lam tulisan ini pada Program 4.4 dan Program 4.5. Perbedaan dari ke-
dua program tersebut adalah perlakuan sampel asli pasangan terurut-
nya. Pada Program 4.4, variabel independen dan variabel dependen-
nya langsung diperlakukan sebagai input, sedangkan pada Program
4.5, variabel independennya dibangkitkan dari suatu populasi yang
berdistribusi multivariat normal dengan mean yaitu vektor 𝛍𝛍. Vektor
ini berukuran 1 × 𝑘𝑘, memuat mean dari masing-masing variabel inde-
penden, yaitu 𝜇𝜇𝑋𝑋1 ,𝜇𝜇𝑋𝑋2 , … , 𝜇𝜇𝑋𝑋𝑘𝑘 ) dan kovariansi 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 di mana vektor be-
rukuran 𝑘𝑘 × 𝑘𝑘 ini memuat variansi dari variabel-variabel independen
tersebut pada elemen diagonalnya. Selain itu, 𝑦𝑦𝑖𝑖 harus memenuhi per-
samaan 𝐘𝐘 = 𝐗𝐗𝛃𝛃 + 𝛆𝛆. Nilai-nilai pada vektor kolom galat dibangkitkan
dengan menggunakan pembangkit bilangan random yang berdistribusi
normal, di mana 𝐸𝐸(𝛆𝛆) = 0 dan 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑙𝑙(𝛆𝛆) = σ2. Untuk menguji apakah
metode bootstrap memberikan pendekatan yang cukup signifikan un-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
tuk parameter populasi, diasumsikan kita telah mengetahui nilai 𝛃𝛃, ka-
rena itu nilai-nilai pada vektor kolom tersebut diperlakukan sebagai
input. Selain itu, Program 4.5 juga tidak melibatkan konstanta dalam
regresi linear gergandanya. Diagram alir untuk Program 4.4 terlampir
pada Gambar 4.7 dan untuk Program 4.5, diagram alirnya adalah
Gambar 4.8.
Contoh 4.2.
Dengan data yang sama seperti pada Tabel 4.11 dan mengasum-
sikan bahwa lamanya waktu penggunaan alat medis penghantar hor-
mon anti-inflamatori adalah tetap, akan digunakan metode regresi
Gambar 4.6. Skema regresi boostrap dengan meresampling galat
Sampel Asli 𝛆𝛆 = (𝜀𝜀1, 𝜀𝜀1, … , 𝜀𝜀𝑛𝑛)
OLS 𝐘𝐘� = 𝐗𝐗𝛃𝛃� + 𝛆𝛆
Sampel Bootstrap 𝛆𝛆∗2
… 𝛆𝛆∗1
𝛆𝛆∗𝑏𝑏
…
𝐘𝐘∗1 = 𝐗𝐗𝛃𝛃� + 𝛆𝛆∗1
𝐘𝐘∗2 = 𝐗𝐗𝛃𝛃� + 𝛆𝛆∗2
𝐘𝐘∗𝑏𝑏 = 𝐗𝐗𝛃𝛃� + 𝛆𝛆∗𝑏𝑏
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 = 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏�����
Replikasi bootstrap 𝛃𝛃�∗1 𝛃𝛃�∗2 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
bootstrap untuk meresampling residual. Langkah pertama adalah
menggunakan metode OLS untuk memperoleh model regresi dari
sampel awal. Pada Tabel 4.22, telah diperoleh nilai-nilai koefisien re-
gresi untuk persamaan awal. Persamaan regresi untuk ketiga jenis alat
berdasarkan buatan pabrik A, B, dan C secara berturut-turut adalah se-
bagai berikut.
𝐘𝐘𝐴𝐴 = 33,3601 − 0,0683𝑿𝑿𝑨𝑨
𝐘𝐘𝐵𝐵 = 35,2061 − 0,0563𝑿𝑿𝑩𝑩
𝐘𝐘𝐶𝐶 = 37,1973 − 0,0745𝐗𝐗𝐶𝐶
Selanjutnya, dengan menggunakan nilai 𝑋𝑋 untuk masing-masing
jenis alat, akan diperoleh nilai residual yang akan digunakan sebagai
sampel asli untuk resampel bootstrap. Nilai residual tersebut disajikan
pada Tabel 4.23, kemudian bangkitkan bilangan random untuk mere-
sampel nilai-nilai residual tersebut. Tabel 4.24, Tabel 4.28, dan Tabel
4.32 menyajikan bilangan random yang telah dibangkitkan dengan MS
Office Excel. Aturan konversi yang digunakan adalah aturan konversi
pada Tabel 4.12, sedangkan Tabel 4.25, Tabel 4.29, dan Tabel 4.33
memuat indeks sampel asli yang telah dikonversi dari bilangan ran-
domnya. Dalam Tabel 4.26, Tabel 4.30, dan Tabel 4.34 terdapat 5
buah sampel bootstrap residual berukuran 𝑛𝑛 = 9 untuk masing-masing
tabel, sehingga total terdapat 15 buah unit sampel bootstrap.
Nilai residual pada masing-masing sampel bootstrap tersebut di-
tambahkan dengan 𝐗𝐗𝛃𝛃�, sehingga didapatkan vektor 𝐘𝐘∗𝑏𝑏 . Seluruh hasil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
perhitungan 𝐘𝐘∗𝑏𝑏 disajikan pada Tabel 4.27, Tabel 4.31, dan Tabel 4.35.
dari vektor 𝐗𝐗 dan 𝐘𝐘∗𝑏𝑏 dapat diperoleh parameter regresi 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 dengan
menggunakan OLS. Nilai-nilai dugaan parameter 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 tersebut juga
disajikan pada tabel yang sama dengan nilai-nilai 𝐘𝐘∗𝑏𝑏 . Untuk masing-
masing jenis alat medis A, B, dan C, dapat dihitung nilai dugaan para-
meter regresi bootstrapnya 𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 , dengan menghitung rata-rata dari se-
luruh nilai 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 . Dengan begitu, dugaan parameter regresi bootstrap
untuk alat medis A, B, dan C secara berturut-turut adalah
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝐴𝐴 = �26,7922−0,0035�
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝐵𝐵 = �13,80760,00267�
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝐶𝐶 = �27,61130,0074 �
Dari ketiga nilai 𝛃𝛃�∗ tersebut, kita dapat membentuk model regresi
bootstrap dengan formula
𝐘𝐘� = 𝐗𝐗𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡
sehingga model regresi bootstrap yang terbentuk adalah
𝐘𝐘�𝐀𝐀 = 𝐗𝐗𝐀𝐀𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝐀𝐀 atau 𝑦𝑦�𝑖𝑖𝐴𝐴 = 26,7922 − 0,0035𝑥𝑥𝑖𝑖𝐴𝐴
𝐘𝐘�𝐁𝐁 = 𝐗𝐗𝐁𝐁𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝐁𝐁 atau 𝑦𝑦�𝑖𝑖𝐵𝐵 = 13,8076 + 0,00267𝑥𝑥𝑖𝑖𝐵𝐵
𝐘𝐘�𝐂𝐂 = 𝐗𝐗𝐂𝐂𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝐂𝐂 atau 𝑦𝑦�𝑖𝑖𝐶𝐶 = 27,6113 + 0,0074𝑥𝑥𝑖𝑖𝐶𝐶
Sebagai perbandingan, model regresi yang terbentuk dari sampel
asli tanpa sampel bootstrap dan diolah dengan OLS adalah sebagai be-
rikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
𝐘𝐘�𝐀𝐀 = 𝐗𝐗𝐀𝐀𝛃𝛃�𝐀𝐀 atau 𝑦𝑦�𝑖𝑖𝐴𝐴 = 33,3601 − 0,00683𝑥𝑥𝑖𝑖𝐴𝐴
𝐘𝐘�𝐁𝐁 = 𝐗𝐗𝐁𝐁𝛃𝛃�𝐁𝐁 atau 𝑦𝑦�𝑖𝑖𝐵𝐵 = 35,2061 − 0,00563𝑥𝑥𝑖𝑖𝐵𝐵
𝐘𝐘�𝐂𝐂 = 𝐗𝐗𝐂𝐂𝛃𝛃�𝐂𝐂 atau 𝑦𝑦�𝑖𝑖𝐶𝐶 = 37,1937 − 0,0745𝑥𝑥𝑖𝑖𝐶𝐶
Contoh di atas hanyalah sebagai gambaran bagaimana prosedur
regresi bootstrap, hasilnya dianggap kurang memadai untuk dikatakan
sebagai penduga 𝛃𝛃� karena nilai 𝑏𝑏 yang kecil. Kekurangan dari resam-
pling bootstrap untuk regresor yang tetap adalah keimplisitasan prose-
durnya mengasumsikan bahwa bentuk fungsional dari model regresi
yang cocok dengan data adalah benar dan erornya berdistribusi secara
identik. Bila andaikan nilai eror sebenarnya variansinya tidak konstan,
maka akan berimbas pada pencilan pada resamplingnya.
Bila terdapat pencilan dalam sampel dan himpunan data yang ke-
cil, metode bootstrap dalam pendekatannya untuk regresi, bisa dikata-
kan distribusi dari �̂�𝛽 tidak begitu baik digunakan untuk mendekati dis-
tribusi dari 𝛽𝛽. Selain itu, metode bootstrap sangat berdasarkan pada
asumsi keindependenan datanya, sehingga tidak dianjurkan untuk data
yang berstruktur dependen seperti model runtun waktu.
Kelebihannya dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil ada-
lah performanya yang praktis sering kali lebih disukai tetapi hal ini ti-
dak menjamin kepastian akan hasilnya karena metode bootstrap selalu
menghasilkan hasil pendekatan berbeda-beda setiap kali simulasinya
dilakukan. Namun diyakini bahwa pendekatannya akan mendekati pa-
rameter tujuan dengan membesarnya nilai 𝑏𝑏. Metode bootstrap dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
regresi juga membutuhkan ukuran sampel yang lebih kecil dibanding-
kan dengan metode kuadrat terkecil.
Dari kedua metode bootstrap dalam regresi linear, pemilihan me-
tode mana yang lebih baik, apakah meresampling observasi atau resi-
dualnya bergantung pada seberapa besar kita mempercayai model re-
gresi 𝐘𝐘 = 𝐗𝐗𝛃𝛃 + 𝛆𝛆. Menurut Chernick (2008), seperti yang ditulis ber-
dasarkan pernyataan Efron dan Tibshirani (1986), kedua pendekatan
parameter regresi ini ekivalen secara asimptotikal, tetapi dapat berbeda
ketika ukuran sampelnya kecil. Kemudian, berdasarkan Chernick
(2008), resampling observasi pasangan terurut pada regresi bootstrap
memiliki keuntungan tersendiri bila dibandingkan dengan resampling
galat pada regresi. Metode ini memberikan pendekatan variabilitas
yang lebih baik pada parameter-parameter regresi ketika modelnya ti-
dak baik. Penggunaan metode ini lebih disarankan ketimbang resam-
pling galat ketika (1) terdeteksi adanya heteroskedastisitas pada va-
riansi galat, (2) ada struktur korelasi pada galat, atau (3) dicurigai
adanya kemungkinan parameter penting yang hilang dalam model.
2. Pembentukan Selang Kepercayaan Bootstrap Untuk Parameter Re-
gresi
Berdasarkan teori dasar estimasi parameter populasi dengan meng-
gunakan selang kepercayaan, selang kepercayaan (1 − 𝛼𝛼)100% secara
umum berbentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
𝑃𝑃[𝑙𝑙(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) < 𝜃𝜃 < 𝑢𝑢(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)] = 1 − 𝛼𝛼
di mana 𝑙𝑙(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) dan 𝑢𝑢(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) adalah suatu statistik ter-
tentu dari parameter populasi yang dituju.. Maka, selang kepercayaan
dengan pendekatan normal tersebut berbentuk
�̂�𝛽𝑖𝑖 − 𝑡𝑡(𝑣𝑣,𝛼𝛼 2⁄ )𝑠𝑠�𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 < 𝛽𝛽𝑖𝑖 < �̂�𝛽𝑖𝑖 + 𝑡𝑡(𝑣𝑣,𝛼𝛼 2⁄ )𝑠𝑠�𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖
Statistik yang digunakan adalah 𝑡𝑡(𝑣𝑣,𝛼𝛼 2⁄ ) dengan derajat bebas
𝑣𝑣 = 𝑛𝑛 − 𝑢𝑢, di mana 𝑛𝑛 adalah ukuran sampel dan 𝑢𝑢 = 𝑘𝑘 + 1 ditentukan da-
ri banyaknya parameter. Distribusi Student-t digunakan untuk ukuran
sampel asli yang kurang dari 30, apabila 𝑛𝑛 ≥ 30, maka yang digunakan
adalah nilai 𝑧𝑧 (angka distribusi normal).
Selain dengan menggunakan pendekatan normal, terdapat juga se-
lang kepercayaan parameter regresi persentil bootstrap. Selang ini berben-
tuk
�̂�𝛽𝑗𝑗∗𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
< 𝛽𝛽𝑗𝑗 < �̂�𝛽𝑗𝑗∗𝑏𝑏𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙
di mana 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑏𝑏𝛼𝛼 2⁄ dan 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑏𝑏(1 − 𝛼𝛼 2⁄ ). Selang ini dibentuk
dengan menggunakan metode persentil bootstrap seperti pada subbab A,
dengan 𝛽𝛽𝑗𝑗 sebagai parameter populasi dan �̂�𝛽𝑗𝑗∗𝑏𝑏
sebagai parameter pendu-
ga. Meskipun sebelumnya telah dikatakan bahwa penduga bootstrap tidak
bias, terkadang ketidakbiasannya hanyalah dalam jumlah yang kecil, untuk
itu, dapat ditentukan berapa besarnya bias dari penduga bootstrap tersebut.
𝑏𝑏𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 = �̂�𝛽𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 − �̂�𝛽
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Untuk menentukan keakuratan dari parameter regresi bootstrap, di-
tentukanlah galat standar dari parameter regresi bootstrap. Secara umum
variansi untuk parameter regresi bootstrap menurut Efron (1993) adalah
𝑉𝑉𝑠𝑠𝑙𝑙��̂�𝛽𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 � = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1𝐗𝐗′𝑉𝑉𝑠𝑠𝑙𝑙(𝐘𝐘∗)𝐗𝐗(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1
= 𝑠𝑠𝟐𝟐(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1
untuk 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑙𝑙(𝐘𝐘∗) = 𝑠𝑠𝟐𝟐𝐈𝐈, dan 𝐈𝐈 adalah matriks identitas. Maka dari itu,
𝑆𝑆𝐸𝐸 ��̂�𝛽𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠�𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖
dengan 𝑖𝑖 = 0,1,2, … ,𝑘𝑘 di mana 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah elemen dari baris ke-𝑖𝑖 dan ko-
lom ke-𝑖𝑖 dari matriks (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−1, atau dengan kata lain, pendekatan galat
standar bootstrap 𝑆𝑆𝐸𝐸 ��̂�𝛽𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝑗𝑗 � serupa dengan pendekatan galat standar se-
cara teoritis biasa.
Untuk Contoh 4.1, dapat dibangun selang kepercayaan parameter re-
gresinya, baik dengan pendekatan normal, maupun dengan metode persen-
til bootstrap. Dengan menggunakan sintaks program MATLAB, yaitu
Program 4.2, secara cepat dapat diperoleh selang kepercayaan parameter
regresinya. Pada program dengan sampel asli sebagai input, diberikan
model regresi dengan menggunakan konstanta (kolom pertama berisi nilai
𝑥𝑥𝑖𝑖1 = 0, 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛). Sebagai contoh, bila diinginkan selang keper-
cayaan untuk 𝛽𝛽0 (dalam contoh ini terdapat 2 buah parameter, yaitu 𝛽𝛽0 dan
𝛽𝛽1) dengan membentuk 100 buah sampel bootstrap, variabel independen
diasumsikan acak, dan dengan tingkat signifikansi sebesar 5%, selang ke-
percayaan 95% untuk 𝛽𝛽0 dan 𝛽𝛽1 bagi alat medis keluaran pabrik A adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
�̂�𝛽0∗𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 < 𝛽𝛽0 < �̂�𝛽0
∗𝑏𝑏𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙
30,46559 < 𝛽𝛽0 < 35,01045
�̂�𝛽1∗𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 < 𝛽𝛽1 < �̂�𝛽1
∗𝑏𝑏𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙
−0,08490 < 𝛽𝛽1 < −0,05528
dengan menggunakan metode persentil bootstrap, di mana �̂�𝛽0,1∗𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =
�̂�𝛽0,1∗3
dan �̂�𝛽0,1∗𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = �̂�𝛽0,1
∗98. Sedangkan dengan menggunakan pende-
katan normal, dengan diperoleh selang kepercayaan 95% sebagai berikut
�̂�𝛽0 − 𝑡𝑡(7;0,025)𝑠𝑠�𝑐𝑐00 < 𝛽𝛽0 < �̂�𝛽0 + 𝑡𝑡(7;0,025)𝑠𝑠�𝑐𝑐00
33,36006 − 2,3646(1.583�0,606) < 𝛽𝛽0
< 33,36006 + 2,3646(1.583�0,606)
30,44614 < 𝛽𝛽0 < 36,27397
�̂�𝛽1 − 𝑡𝑡(7;0,025)𝑠𝑠�𝑐𝑐11 < 𝛽𝛽1 < �̂�𝛽1 + 𝑡𝑡(7;0,025)𝑠𝑠�𝑐𝑐11
−0,0683 − 2,3646 �1.583�2,183 × 10−5� < 𝛽𝛽1
< −0,0683 + 2,3646(1,583�2,183 × 10−5))
−0,08579 < 𝛽𝛽1 < −0,05081
Bila dibandingkan, antara selang kepercayaan yang dibentuk dengan
metode persentil dengan pendekatan normal, metode persentil menghasil-
kan selang kepercayaan yang lebih sempit dibandingkan dengan pendeka-
tan normal. Selain itu, dengan 100 buah sampel bootstrap, nilai pendeka-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
tan �̂�𝛽𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 untuk �̂�𝛽0 dan �̂�𝛽1 secara berturut-turut adalah 33,44471 dan -
0,07013 sangat mendekati nilai �̂�𝛽0 dan �̂�𝛽1, yaitu 33,36006 dan -0,0683.
Apabila variabel independennya dianggap tetap (fixed) seperti pada
Contoh 4.2, dengan Program 4.4 pada lampiran, maka selang kepercayaan
95% untuk 𝛽𝛽0 dengan metode persentil bootstrap yaitu
�̂�𝛽0∗𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 < 𝛽𝛽0 < �̂�𝛽0
∗𝑏𝑏𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙
31,38263 < 𝛽𝛽0 < 34,9939
�̂�𝛽1∗𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 < 𝛽𝛽1 < �̂�𝛽1
∗𝑏𝑏𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙
−0,07986 < 𝛽𝛽1 < −0,05601
di mana �̂�𝛽0,1∗𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = �̂�𝛽0,1
∗3 dan �̂�𝛽0,1
∗𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = �̂�𝛽0,1
∗98. Apabila diban-
dingkan dengan selang kepercayaan normal yang sebelumnya, selang per-
sentil bootstrap dengan variabel independen yang dianggap tetap tetap
menghasilkan selang yang lebih sempit tetapi mendekati selang dengan
pendekatan normal tersebut.
Dari hasil simulasi tersebut, selang dengan lebar yang lebih sempit
dihasilkan oleh metode persentil bootstrap. Tetapi apabila dibandingkan
dari metode penarikan sampelnya, metode persentil untuk variabel inde-
penden yang dianggap tetap menghasilkan selang kepercayaan yang lebih
sempit lebarnya dibandingkan dengan meresampling pasangan terurut
sampelnya (variabel independen dianggap acak).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Untuk mendapatkan perbandingan yang lebih luas jangkauannya,
Tabel 4.36 dan Tabel 4.37 secara berturut-turut memperlihatkan perban-
dingan selang kepercayaan serta pendekatan 𝛃𝛃� dengan metode resampling
observasi dan resampling galat. Program yang digunakan adalah Program
4.3 dan 4.5 di mana kolom konstanta pada matriks variabel independen di-
hilangkan. Selain itu, pada program ini, variabel independennya dibang-
kitkan secara random dengan distribusi multivariat normal. Vektor
𝛍𝛍 = [65 90] diambil sebagai rata-rata, sedangkan 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 = �20 22 19,3� dipi-
lih sebagai matriks kovariansi untuk membangkitkan sampel random mul-
tivariat untuk variabel independennya. Nilai-nilai pada kedua tabel terse-
but diperoleh dengan program yang tidak menggunakan kolom konstanta
pada matriks variabel independennya. Selain itu, pada program ini di-
asumsikan bahwa kita telah mengetahui nilai 𝛽𝛽𝑖𝑖 , agar kita dapat mengeta-
hui secara pasti bahwa selang persentil bootstrap memuat parameter popu-
lasinya, seperti pada tabel-tabel perbandingan di subbab pertama. Dalam
tabel-tabel tersebut dipilih 𝛽𝛽1 = 5 dan 𝛽𝛽2 = −2. Dengan begitu dari sam-
pel random, nilai-nilai variabel dependennya dibangkitkan dengan persa-
maan 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 5𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝜀𝜀𝑖𝑖 , di mana 𝜀𝜀𝑖𝑖 dibangkitkan dengan menggunakan
bilangan random yang berdistribusi normal dengan 𝐸𝐸(𝛆𝛆) = 0 dan
𝑉𝑉𝑠𝑠𝑙𝑙(𝛆𝛆) = 𝜎𝜎2. Variansi dari galat tersebut diambil sebesar 1,92.
Bila dilihat perbandingan pada Tabel 4.36, yaitu resampling observa-
si data, nilai pendekatan �̂�𝛽𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝑖𝑖 cukup mendekati �̂�𝛽𝑖𝑖 dengan bias yang
mengecil seiring membesarnya 𝑏𝑏. Selang persentil bootstrap juga lebih
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
sempit daripada selang normal standard dan juga memuat nilai 𝛽𝛽𝑖𝑖 . Begitu
pula dengan nilai-nilai pada Tabel 4.37, pendekatan �̂�𝛽𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡 𝑖𝑖 juga mendekati
�̂�𝛽𝑖𝑖 dengan bias kecil.
Dengan adanya kedua metode yang menghasilkan hasil yang terbi-
lang hampir sama, muncul pertanyaan metode mana yang lebih baik digu-
nakan atau kapan harus digunakan. Mooney dan Duval (1993) menyata-
kan bahwa dalam pemilihan resampling observasi atau galat, harus diper-
hitungkan komponen stokastik dari model. Secara teoritis resampling ga-
lat lebih dapat dinyatakan kebenarannya, maka dari itu banyak statistika-
wan teoritis menyarankan metode resampling galat ini. Tetapi ketika da-
lam eksperimen nyata, variabel independen dapat dinyatakan tetap (ini
adalah indikasi untuk menggunakan resampling galat), kebanyakan peneli-
ti sosial tidak berkutat dengan data eksperimental, melainkan penelitian
survey di mana nilai-nilai variabel independennya sama acaknya seperti
variabel dependennya. Alasan yang lain adalah resampling observasi di-
anggap kurang sensitif terhadap asumsi dibandingkan dengan resampling
galat (Efron & Tibshirani, 1993).
Givens dan Hoeting (2005) juga menekankan bahwa dalam pemili-
han metode resampling galat sangat bergantung pada seberapa besar mo-
del terpilih dapat cocok pada nilai observasi dan pada asumsi bahwa galat-
nya memiliki variansi konstan ataupun asumsi regresi lainnya. Tanpa ke-
percayaan terhadap hal-hal itu, lebih disarankan untuk meresampling ob-
servasinya. Meskipun begitu, resampling observasi dianggap kurang peka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
terhadap pelanggaran-pelanggaran terhadap asumsi, di mana resampling
ini lebih berupa cerminan dari mekanisme pembangkit data asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Metode bootstrap adalah metode resampling yang sederhana dan sangat
mudah untuk diterapkan di berbagai bidang dalam dunia statistika. Prinsip dari
metode ini adalah pemberlakuan sampel asli sebagai populasi lalu meresampel
berulang kali hingga distribusi resampel dapat digunakan untuk
menggambarkan distribusi sampel asli, sehingga dapat memberikan penjelasan
lebih lanjut tentang distribusi populasi.
Selang kepercayaan parameter populasi dapat dibentuk dengan
sederhana dengan menggunakan metode persentil bootstrap. Data persentil ke-
(𝛼𝛼 2⁄ )100 dan ke-(1 − (𝛼𝛼 2⁄ ))100 digunakan sebagai batas bawah dan atas
selang kepercayaan (1 − 𝛼𝛼)100% untuk suatu parameter populasi. Metode ini
menghasilkan selang kepercayaan yang mendekati selang kepercayaan
normal, tetapi memiliki jarak yang lebih sempit dibandingkan selang
kepercayaan normal secara teoritis tersebut.
Pada pendugaan koefisien regresi dengan dua metode regresi bootstrap
yang berbeda, dihasilkan nilai-nilai penduga yang mendekati penduga dengan
metode OLS. Penduga koefisien regresi bootstrap tersebut juga memiliki bias
yang kecil terhadap penduga dengan metode OLS. Sedangkan untuk
pembentukan selang kepercayaan koefisien regresi bootstrap, kedua metode
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
tersebut sama-sama membentuk selang kepercayaan yang lebih sempit, bila
dibandingkan dengan selang kepercayaan normal.
B. Saran
Aplikasi metode bootstrap pada selang parameter populasi dalam skripsi
ini adalah selang parameter rata-rata populasi dan koefisien regresi linear
berganda dengan metode persentil bootstrap. Skripsi ini akan lebih baik bila
dikembangkan dengan pembahasan metode pembentukan selang parameter
populasi yang lain seperti metode Bias Corrected Bootstrap atau Studenized
Bootstrap.
Selain itu dapat juga dikembangkan dengan membahas aplikasi metode
bootstrap pada bidang lain di statistika seperti uji hipotesis bootstrap atau
Bayesian Bootstrap.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
DAFTAR PUSTAKA
Bain, L. J. & Engelhardt, M. (1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Belmont, CA: Brooks/Cole.
Chernick, M. R. (2008). Bootstrap Methods, A practitioner's guide. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.
Chernick, M. R. & Friis, R. H. (2003). Introductory Biostatistics for the Health Sciences (Modern Applications Including Bootstrap). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.
Efron, B. & Tibshirani, R. (1993). An Introduction to the Bootstrap. New York: Chapman & Hall.
Efron, B. (1994). The Jackknife, the Bootstrap and Other Resampling Plans. Montoelier, Vermont: Capital City Press.
Givens, G. H. & Hoeting, J. A. (2005). Computational Statistics. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.
Johnson, R. A. (2005). Probability and Statistics for Engineers. Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall.
Johnson, R. W. (2001). An Introduction to the Bootstrap. Journal of the Royal Statistical Society Series D (The Statistician) 23(2): 49-54.
Kapur, J. N. & Saxena, H. C. (2001). Mathematical Statistics. New Delhi: S. Chand & Company LTD.
Korn, R., Korn, E., & Kroisandt, G. (2010). Monte Carlo Methods and Models in Finance. Boca Raton: CRC Press.
Kvam, P. H. & Vidakovic, B. (2007). Nonparametric Statistics with Application to Science and Engineering. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.
Mendenhall, W., Scheaffer, R. L., & Wackerly, D. D. (1986). Mathematical Statistics With application (Third Edition). Boston: PWS Publisher.
Mooney, C Z & Duval, R D. (1993). Bootstrap: A Nonparametric Approach to Statistical Inference. Newbury Park, CA: Sage Publications.
Moore, D., McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2009). Introduction to the Practice of Statistics. New York: W. H. Freeman and Company.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Kotz, S. (2006). Encyclopedia of Statistical Sciences (Second Edition). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.
Sembiring, R. K. (2003). Analisis Regresi. Bandung: Penerbit ITB.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
LAMPIRAN
TABEL-TABEL PADA BAB III
Tabel 3.1. Sampel Acak Tinggi Bangunan di Suatu Kota di Amerika Serikat
485 511 841 725 615 520 535 635 616 582
Sumber: Pittsburgh Tribune Review, 27 January 1997
Tabel 3.2. Daftar Bilangan Random 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0,5345 0,1946 0,9446 0,0655 0,3982 0,7809 0,7813 0,4606 0,8983 0,4576 2 0,9904 0,734 0,0878 0,3608 0,3561 0,5648 0,4534 0,7775 0,7668 0,7592 3 0,7173 0,1749 0,2795 0,2581 0,6466 0,0233 0,2971 0,8168 0,9469 0,9388 4 0,9801 0,1051 0,5962 0,4326 0,7331 0,0076 0,3584 0,6314 0,5357 0,8107 5 0,0537 0,3141 0,8284 0,3061 0,7317 0,989 0,4824 0,3649 0,9598 0,9304 6 0,6369 0,3488 0,7822 0,9666 0,9582 0,2016 0,4312 0,8875 0,9782 0,447 7 0,9604 0,399 0,5572 0,1299 0,046 0,8233 0,6988 0,2509 0,5221 0,8339 8 0,2699 0,2839 0,0363 0,2174 0,4244 0,361 0,6751 0,0661 0,8454 0,9878 9 0,9494 0,3139 0,6694 0,8934 0,009 0,4613 0,0069 0,7272 0,898 0,3696
10 0,9022 0,7183 0,849 0,6217 0,7038 0,11 0,079 0,7668 0,9312 0,1708
Tabel 3.3. Tabel Aturan Konversi Bilangan Random
No. Nilai bilangan random
dalam Tabel 3.2.2. Nomor sampel yang
dipilih 1 [0.0, 0.1) 1 2 [0.1, 0.2) 2 3 [0.2, 0.3) 3 4 [0.3, 0.4) 4 5 [0.4, 0.5) 5 6 [0.5, 0.6) 6 7 [0.6, 0.7) 7 8 [0.7, 0.8) 8 9 [0.8, 0.9) 9
10 [0.9, 1.0) 10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Tabel 3.4. Hasil Konversi Bilangan Random Ke Dalam Indeks Nomor Sampel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 6 2 10 1 4 8 8 5 9 5 2 10 8 1 4 4 6 5 8 8 8 3 8 2 3 3 7 1 3 9 10 10 4 10 2 6 5 8 1 4 7 6 9 5 1 4 9 4 8 10 5 4 10 10 6 7 4 8 10 10 3 5 9 10 5 7 10 4 6 2 1 9 7 3 6 9 8 3 3 1 3 5 4 7 1 9 10 9 10 4 7 9 1 5 1 8 9 4
10 10 8 9 7 8 2 1 8 10 2
Tabel 3.5. Daftar 10 Sampel Bootstrap Berdasarkan Tabel 3.4 Beserta Meannya 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 635 520 582 485 535 616 616 841 615 841 2 582 616 485 535 535 635 841 616 616 616 3 616 520 511 511 725 485 511 615 582 582 4 582 520 635 841 616 485 535 725 635 615 5 485 535 615 535 616 582 841 535 582 582 6 725 535 616 582 582 511 841 615 582 841 7 582 535 635 520 485 615 725 511 635 615 8 511 511 485 511 841 535 725 485 615 582 9 582 535 725 615 485 841 485 616 615 535
10 582 616 615 725 616 520 485 616 582 520 Mean
Bootstrap Sampel 588,2 544,3 590,4 586 603,6 582,5 660,5 617,5 605,9 632,9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Tabel 3.6. Perbandingan Mean Asli dengan Mean Bootstrap
B Mean asli
Standar eror sampel asli
Mean boot
Standar eror
sampel bootstrap
Selisih mean
Selisih standar
eror
5 606,5 34,494 610,7 47,172 4,2 12,678 10 606,5 34,494 592,76 16,3397 13,74 18,1543 20 606,5 34,494 615,34 29,0079 8,84 5,4861 50 606,5 34,494 611,302 29,3235 4,802 5,1705
100 606,5 34,494 607,644 32,173 1,144 2,321 200 606,5 34,494 608,729 32,1191 2,2285 2,3749 500 606,5 34,494 605,594 32,5847 0,906 1,9093
1000 606,5 34,494 606,147 32,5664 0,3531 1,9276
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
TABEL-TABEL PADA BAB IV
TABEL 4.1. Data Banyaknya Darah yang Hilang dari Tubuh Babi (ml) Nomor Indeks Babi Perlakuan
1 543 2 666 3 455 4 823 5 1.716 6 797 7 2.828 8 1.251 9 702 10 1.078
rata-rata = 1.085,9
standar deviasi sampel = 717,12 Sumber: Tabel 8.2 pada Chernick (2003)
TABEL 4.2. Angka Acak Seragam Sampel Boostrap 1 0,00858 0,04352 0,17833 0,41105 0,46569 0,90109 0,14713 0,15905 0,84555 0,92326 2 0,69158 0,38683 0,41374 0,17028 0,09304 0,10834 0,61546 0,33503 0,84277 0,44800 3 0,00439 0,81846 0,45446 0,93971 0,84217 0,74968 0,62758 0,49813 0,13666 0,12981 4 0,29676 0,37909 0,95673 0,66757 0,72420 0,40567 0,81119 0,87494 0,85471 0,81520 5 0,69386 0,71708 0,88608 0,67251 0,22512 0,00169 0,58624 0,04059 0,05557 0,73345 6 0,68381 0,61725 0,49122 0,75836 0,15368 0,52551 0,54604 0,61136 0,51996 0,19921 7 0,19618 0,87653 0,18682 0,22917 0,56801 0,81679 0,93285 0,68284 0,11203 0,47990 8 0,16264 0,39564 0,37378 0,61382 0,51274 0,89407 0,11283 0,77207 0,90547 0,50981 9 0,40431 0,28106 0,28655 0,84536 0,71208 0,47599 0,36136 0,46412 0,99748 0,76167
10 0,69481 0,57748 0,93003 0,99900 0,25413 0,64661 0,17132 0,53464 0,52705 0,69602 11 0,80142 0,64567 0,38915 0,40716 0,76797 0,37083 0,53872 0,30022 0,43767 0,60257 12 0,25769 0,28265 0,26135 0,52688 0,11867 0,05398 0,43797 0,45228 0,28086 0,84568 13 0,61763 0,77188 0,54997 0,28352 0,57192 0,22751 0,82470 0,92971 0,29091 0,35441 14 0,54302 0,81734 0,15723 0,10921 0,20123 0,02787 0,97407 0,02481 0,69785 0,58025 15 0,80089 0,48271 0,45519 0,64328 0,48167 0,14794 0,07440 0,53407 0,32341 0,30360 16 0,60138 0,40435 0,75526 0,35949 0,84558 0,13211 0,29579 0,30048 0,47671 0,44720 17 0,56644 0,52133 0,55069 0,57102 0,67821 0,54934 0,66318 0,35153 0,36755 0,88011 18 0,97091 0,42397 0,08406 0,04213 0,52727 0,08328 0,24057 0,78695 0,91207 0,18451 19 0,71447 0,27337 0,62158 0,25679 0,63325 0,98669 0,16926 0,28929 0,06692 0,05049 20 0,18849 0,96248 0,46509 0,56863 0,27018 0,64818 0,40938 0,66102 0,65833 0,39169 Sumber: Tabel 8.3 pada Chernick (2003)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
Tabel 4.3. Tabel Aturan Konversi Bilangan Random
No, Nilai bilangan random
dalam Tabel 4.2. Nomor sampel yang dipilih 1 [0,0; 0,1) 1 2 [0,1; 0,2) 2 3 [0,2; 0,3) 3 4 [0,3; 0,4) 4 5 [0,4; 0,5) 5 6 [0,5; 0,6) 6 7 [0,6; 0,7) 7 8 [0,7; 0,8) 8 9 [0,8; 0,9) 9 10 [0,9; 1,0) 10
Tabel 4.4. Konversi Indeks Sampel Yang Dipilih 1 1 1 2 5 5 10 2 2 9 10 2 7 4 5 2 1 2 7 4 9 5 3 1 9 5 10 9 8 7 5 2 2 4 3 4 10 7 8 5 9 9 9 9 5 7 8 9 7 3 1 6 1 1 8 6 7 7 5 8 2 6 6 7 6 2 7 2 9 2 3 6 9 10 7 2 5 8 2 4 4 7 6 9 2 8 10 6 9 5 3 3 9 8 5 4 5 10 8
10 7 6 10 10 3 7 2 6 6 7 11 9 7 4 5 8 4 6 4 5 7 12 3 3 3 6 2 1 5 5 3 9 13 7 8 6 3 6 3 9 10 3 4 14 6 9 2 2 3 1 10 1 7 6 15 9 5 5 7 5 2 1 6 4 4 16 7 5 8 4 9 2 3 4 5 5 17 6 6 6 6 7 6 7 4 4 9 18 10 5 1 1 6 1 3 8 10 2 19 8 3 7 3 7 10 2 3 1 1 20 2 10 5 6 3 7 5 7 7 4
Sumber: Tabel 8.4 pada Chernick (2003)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
Tabel 4.5. Data Sampel Bootstrap Besarnya Kehilangan Darah Berdasarkan Tabel 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Rata-Rata
Sampel Bootstrap
1 543 543 666 1,716 1,716 1,078 666 666 702 1,078 937,4 2 2,828 823 1,716 666 543 666 2,828 823 702 1,716 1.331,1 3 543 702 1,716 1,078 702 1,251 2,828 1,716 666 666 1.186,8 4 455 823 1,078 2,828 1,251 1,716 702 702 702 702 1.095,9 5 2,828 1,251 702 2,828 455 543 797 543 543 1,251 1.174,1 6 2,828 2,828 1,716 1,251 666 797 797 2,828 797 666 1.517,4 7 666 702 666 455 797 702 1,078 2,828 666 1,716 1.027,6 8 666 823 823 2,828 797 702 666 1,251 1,078 797 1.043,1 9 1,716 455 455 702 1,251 1,716 823 1,716 1,078 1,251 1.116,3
10 2,828 797 1,078 1,078 455 2,828 666 797 797 2,828 1.415,2 11 702 2,828 823 1,716 1,251 823 797 823 1,716 2,828 1.430,7 12 455 455 455 797 666 543 1,716 1,716 455 702 796,0 13 2,828 1,251 797 455 797 455 702 1,078 455 823 964,1 14 797 702 666 666 455 543 1,078 543 2,828 797 907,5 15 702 1,716 1,716 2,828 1,716 666 543 797 823 823 1.233,0 16 2,828 1,716 1,251 823 702 666 455 823 1,716 1,716 1.269,6 17 797 797 797 797 2,828 797 2,828 823 823 702 1.198,9 18 1,078 1,716 543 543 797 543 455 1,251 1,078 666 867,0 19 1,251 455 2,828 455 2,828 1,078 666 455 543 543 1.110,2 20 666 1,078 1,716 797 455 2,828 1,716 2,828 2,828 823 1.573,5 Rata-rata dari keduapuluh sampel bootstrap 1.159,8 Sumber: Tabel 8.5 pada Chernick (2003)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
Tabel 4.6. Estimasi Bootstrap dari Banyaknya Darah yang Hilang dari yang Terkecil
Urutan ke- Rata-rata Boostrap 1 796 2 867 3 907,5 4 937,4 5 964,1 6 1027,6 7 1043,1 8 1095,9 9 1110,2 10 1116,3 11 1174,1 12 1186,8 13 1198,9 14 1233 15 1269,6 16 1331,1 17 1415,2 18 1430,7 19 1517,4 20 1573,5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Tabel 4.7. Perbandingan Selang Kepercayaan Rata-Rata Populasi Berdistribusi Normal
SK Normal SK Percentil Mean Sampel
Asli
Mean Bootstrap
Variansi Asli
Variansi Bootstrap
SE Sampel
Asli
SE Bootstrap Bias
𝑛𝑛 𝑏𝑏 batas bawah
batas atas
batas bawah
batas atas
10 10 18,98756 22,24458 19,47538 21,40263 20,61607 20,59128 5,18245 3,20501 0,71989 0,56613 -0,0248
20 18,83157 20,6224 19,50171 20,23337 19,72698 19,81587 1,56676 0,4755 0,39582 0,21806 0,08889
50 18,88821 20,77765 19,1841 20,63278 19,83293 19,7475 1,74406 1,33145 0,41762 0,36489 -0,0854
60 19,6423 21,99763 19,75752 21,7084 20,81997 20,80486 2,71018 2,38448 0,52059 0,48831 -0,0151
100 19,25496 22,36573 19,56081 22,19748 20,81035 20,91294 4,72749 4,99761 0,68757 0,70694 0,10259
200 18,64061 21,35034 18,72471 21,02883 19,99547 19,98359 3,58712 3,08254 0,59893 0,55521 -0,0119
500 17,97873 21,75584 18,38355 21,49568 19,86728 19,86556 6,96967 6,29959 0,83485 0,79370 -0,0017
700 18,01784 20,95377 18,2659 20,73437 19,4858 19,4843 4,211 3,67791 0,64892 0,60646 -0,0015
1.000 18,28046 21,2827 28,60319 21,03145 19,78158 19,81184 4,40336 4,04445 0,66358 0,63596 0,03026
1.500 18,18501 20,98677 18,54654 20,8138 19,58589 19,58079 3,83492 3,26163 0,61927 0,57111 -0,0051
2.000 17,96361 21,6065 18,33984 21,30314 19,78506 19,78258 6,48318 5,74384 0,80518 0,75788 -0,0025
3.000 18,23089 22,13397 18,50325 21,71165 20,18243 20,17199 7,44233 6,84029 0,86269 0,82706 -0,0104
5.000 19,24148 22,12203 19,50032 21,8482 20,68176 20,68998 4,05365 3,59815 0,63668 0,59985 0,00822
7.000 18,69232 21,16047 18,94632 20,93078 19,9264 19,9331 2,97603 2,63938 0,54553 0,51375 0,0067
10.000 18,83916 21,7102 19,03178 21,38056 20,27468 20,2638 4,021693 3,61804 0,63417 0,60150 -0,0109
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
Tabel 4.8. Perbandingan Selang Kepercayaan Rata-Rata Populasi Berdistribusi Eksponensial
SK Normal SK Percentil Mean Sampel
Asli
Mean Bootstrap
Variansi Asli
Variansi Bootstrap
SE Sampel
Asli
SE Bootstrap Bias
𝑛𝑛 𝑏𝑏 batas bawah
batas atas
batas bawah
batas atas
10 10 15,56777 56,53501 14,48083 50,05206 36,05139 32,32486 819,91329 896,57962 9,05491 9,46879 3,72653
20 9,70712 25,96265 6,8957 21,7917 17,83489 16,62887 129,09126 126,99353 3,59293 3,56362 1,20602
50 8,75454 31,07987 12,08316 31,02249 19,9172 19,97729 243,49499 256,51169 4,93452 5,06470 -0,0601
60 9,73689 52,59952 16,38048 50,84708 31,16821 31,8789 897,53639 859,48604 9,47384 9,27085 -0,7107
100 5,30218 42,43288 12,5198 40,69801 23,86753 24,17752 673,53571 600,7698 8,20692 7,75093 -0,31
200 10,05469 41,17845 15,12739 39,88704 25,61657 25,93019 473,23676 405,54455 6,87922 6,36824 -0,3136
500 8,8796 25,75298 13,74721 26,63075 17,33629 19,98695 139,75099 104,0611 3,73833 3,22585 -2,6507
700 9,22862 29,42665 11,69938 27,65731 19,32763 19,44738 199,30234 167,3555 4,46433 4,09091 -0,1198
1.000 8,21544 28,41439 11,08974 27,26411 18,31492 18,2652 199,32051 170,51747 4,46453 4,12938 0,04972
1.500 12,9504 31,24202 15,55862 29,66179 22,09621 22,22579 163,45522 134,86418 4,04296 3,67239 -0,1296
2.000 1,16064 37,58346 7,91006 35,82594 19,37205 19,46174 648,09925 573,82451 8,05046 7,57512 -0,0897
3.000 4,68547 28,94151 8,59478 28,20023 16,81349 16,88031 287,43139 260,07694 5,36126 5,09977 -0,0668
5.000 0,69244 50,4282 10,5277 49,11418 25,56032 25,43293 1208,4596 1113,693 10,99300 10,55317 0,12739
7.000 7,68651 34,98058 11,174 33,37386 21,33355 21,42432 363,94122 329,98193 6,03275 5,74441 -0,0908
10.000 1,88995 25,14349 6,07282 24,11707 13,51672 13,41603 264,1634 233,0531 5,13968 4,82756 0,10069
50.000 7,45291 26,26794 9,9849 25,16009 19,14764 19,10594 301,9276 262,0557 5,4947939 5,1191376 0,0417
100.000 4,56688 33,88441 6,64778 30,21143 19,22565 19,34908 419,8874 380,5071 6,4798719 6,1685258 -0,1234
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Tabel 4.9. Perbandingan Selang Kepercayaan Rata-Rata Populasi Berdistribusi Binomial
SK Normal SK Percentil Mean Sampel
Asli
Mean Bootstrap
Variansi Asli
Variansi Bootstrap
SE Sampel
Asli
SE Bootstrap Bias
𝑛𝑛 𝑏𝑏 batas bawah
batas atas
batas bawah
batas atas
10 10 3,42213 5,77787 4,2 5,2 4,6 4,68 2,71111 1,28444 0,52068 0,35839 -0,08
20 4,31275 5,88725 4,5 5,9 5,1 5,08 1,21111 1,39579 0,34801 0,37360 0,02
50 3,93361 6,06639 4,2 5,6 5 4,964 2,22222 1,61943 0,47140 0,40242 0,036
60 3,63095 5,76905 3,8 5,3 4,7 4,53833 2,23333 2,29184 0,47258 0,47873 0,16167
100 4,08526 6,71474 4,4 6,5 5,4 5,565 3,37778 3,34015 0,58119 0,57794 -0,165
200 3,23095 5,36905 3,5 5 4,3 4,2655 2,23333 1,97346 0,47258 0,44424 0,0345
500 4,47054 6,12946 4,6 6 5,3 5,313 1,34444 1,13999 0,36667 0,33764 -0,013
700 4,49514 6,30486 4,7 6,2 5,4 5,41386 1,6 1,51582 0,40000 0,38934 -0,0139
1.000 2,53227 5,26773 2,8 5,2 3,9 3,8913 3,65556 3,39814 0,60461 0,58294 0,0087
1.500 3,42213 5,77787 3,5 5,5 4,6 4,59947 2,71111 2,49459 0,52068 0,49946 0,00053
2.000 3,8178 6,5822 4 6,3 5,2 5,21295 3,73333 3,39257 0,61101 0,58246 -0,013
3.000 3,5294 5,8706 3,7 5,7 4,7 4,72273 2,67778 2,36382 0,51747 0,48619 -0,0227
5.000 2,26699 5,53301 2,7 5,3 3,9 3,89246 5,21111 4,56536 0,72188 0,67567 0,00754
7.000 4,08712 7,51288 4,4 7,2 5,8 5,79549 5,73333 5,16688 0,75719 0,71881 0,00451
10.000 2,94727 5,45273 3,2 5,3 4,2 4,2046 3,06667 2,75837 0,55378 0,52520 -0,0046
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
Tabel 4.10. Perbandingan Selang Kepercayaan Rata-Rata Populasi Berdistribusi Poisson
SK Normal SK Percentil Mean Sampel
Asli
Mean Bootstrap
Variansi Asli
Variansi Bootstrap
SE Sampel
Asli
SE Bootstrap Bias
𝑛𝑛 𝑏𝑏 batas bawah
batas atas
batas bawah
batas atas
10 10 17,05997 24,14003 19,2 23,1 20,6 20,99 24,28889 15,43222 1,55849 1,24226 -0,39
20 17,60438 23,99562 17,3 22,5 20,8 20,845 19,95556 19,52079 1,41264 1,39717 -0,045
50 17,48672 24,31328 18,3 23,9 20,9 21,062 22,76667 21,94649 1,50886 1,48143 -0,162
60 18,21439 25,58561 19 24,1 21,9 21,73833 26,54444 21,81048 1,62925 1,47684 0,16167
100 16,57105 23,22895 18,1 22,7 19,9 20,251 21,65556 16,77878 1,47158 1,29533 -0,351
200 17,47759 23,12241 18,1 22,4 20,3 20,316 15,56667 13,40346 1,24766 1,15773 -0,016
500 19,87759 25,52241 20,4 24,9 22,7 22,7494 15,56667 13,67555 1,24766 1,16943 -0,0494
700 16,36396 25,63604 17,3 24,5 21 21,006 42 36,62425 2,04939 1,91375 -0,006
1.000 18,27811 23,52189 18,8 23,2 20,9 20,8806 13,43333 12,30594 1,15902 1,10932 0,0194
1.500 16,82487 24,57513 17,3 23,8 20,7 20,71 29,34444 27,03702 1,71302 1,64429 -0,01
2.000 16,0267 25,3733 16,7 24,4 20,7 20,7125 42,67778 38,24306 2,06586 1,95558 -0,0125
3.000 18,98018 24,41982 19,7 24 21,7 21,7269 14,45556 12,84028 1,20231 1,13315 -0,0269
5.000 18,1013 21,6987 18,5 21,3 19,9 19,90664 6,32222 5,6881 0,79512 0,75419 -0,0066
7.000 19,90352 27,89648 20,7 27,2 23,9 23,93161 31,21111 28,15401 1,76667 1,67792 -0,0316
10.000 17,04952 22,75048 17,7 22,3 19,9 19,88328 15,87778 13,92498 1,26007 1,18004 0,01672
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Tabel 4.11. Data sisa konsentrasi anti-inflamatori pada 27 alat setelah digunakan dalam suatu waktu tertentu
Pabrik Waktu Besarnya Konsentrasi Pabrik Waktu Besarnya
Konsentrasi Pabrik Waktu Besarnya Konsentrasi
A 99 25,8 B 376 16,3 C 119 28,8 A 152 20,5 B 385 11,6 C 188 22 A 293 14,3 B 402 11,8 C 115 29,7 A 155 23,2 B 29 32,5 C 88 28,9 A 196 20,6 B 76 32 C 58 32,8 A 53 31,1 B 296 18 C 49 32,5 A 184 20,9 B 151 24,1 C 150 25,4 A 171 20,9 B 177 26,5 C 107 31,7 A 52 30,4 B 209 25,8 C 125 28,5 Sumber: Efron (1993)
Tabel 4.12. Tabel Aturan Konversi Bilangan Random
No. Nilai bilangan random
Nomor sampel yang dipilih 1 [0.0, 0.1111) 1 2 [0.1, 0.2222) 2 3 [0.2222, 0.3333) 3 4 [0.3333, 0.4444) 4 5 [0.4444, 0.5556) 5 6 [0.5556, 0.6667) 6 7 [0.6667, 0.7778) 7 8 [0.7778, 0.8889) 8 9 [0.8889, 1) 9
Tabel 4.13. Daftar Bilangan Random Untuk Pengambilan Sampel Bootstrap Pabrik A 0,31935 0,05156 0,05732 0,60277 0,18976 0,68976 0,36702 0,65359 0,16988 0,47719 0,25875 0,82341 0,46757 0,43677 0,3861 0,14974 0,39133 0,7095 0,76153 0,66111 0,01119 0,68148 0,22144 0,1348 0,1862 0,91869 0,94531 0,65445 0,58754 0,96938 0,31187 0,62865 0,39526 0,1063 0,77753 0,67963 0,66109 0,79658 0,55003 0,52765 0,15849 0,34511 0,43549 0,51243 0,5482
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Tabel 4.14. Konversi Indeks Sampel Asli Untuk Sampel Bootstrap A
4 1 1 6 2 7 4 6 2 5 3 8 5 4 4 2 4 7 7 6 1 7 2 2 2 9 9 6 6 9 3 6 4 1 7 7 6 8 5 5 2 4 4 5 5
Tabel 4.15. Hasil Sampel Bootstrap A 𝐰𝐰∗1 𝐰𝐰∗2 𝐰𝐰∗3 𝐰𝐰∗4 𝐰𝐰∗5 𝐱𝐱∗1 𝐲𝐲∗1 𝐱𝐱∗2 𝐲𝐲∗2 𝐱𝐱∗3 𝐲𝐲∗3 𝐱𝐱∗4 𝐲𝐲∗4 𝐱𝐱∗5 𝐲𝐲∗5 1 155 23,2 99 25,8 99 25,8 53 31,1 152 20,5 2 184 20,9 155 23,2 53 31,1 152 20,5 196 20,6 3 293 14,3 171 20,9 196 20,6 155 23,2 155 23,2 4 152 20,5 155 23,2 184 20,9 184 20,9 53 31,1 5 99 25,8 184 20,9 152 20,5 152 20,5 152 20,5 6 52 30,4 52 30,4 53 31,1 53 31,1 52 30,4 7 293 14,3 53 31,1 155 23,2 99 25,8 184 20,9 8 184 20,9 53 31,1 171 20,9 196 20,6 196 20,6 9 152 20,5 155 23,2 155 23,2 196 20,6 196 20,6 �̂�𝛽0 31,976 34,6517 34,5755 34,2202 33,901 �̂�𝛽1 -0,062 -0,0762 -0,0771 -0,0755 -0,072
Tabel 4.16. Daftar Bilangan Random Untuk Pengambilan Sampel Bootstrap Pabrik B 0,5984 0,68385 0,2321 0,83021 0,38384
0,17375 0,54873 0,8748 0,52726 0,65925 0,15461 0,91618 0,63967 0,08781 0,60032 0,94872 0,07404 0,86384 0,83617 0,14968 0,06042 0,77064 0,9402 0,98932 0,19818 0,0088 0,31364 0,55583 0,55635 0,76729
0,31471 0,46937 0,86903 0,67799 0,39693 0,04179 0,52928 0,52487 0,81292 0,01572 0,72804 0,27435 0,1715 0,01132 0,87972
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
Tabel 4.17. Konversi Indeks Sampel Asli Untuk Sampel Bootstrap B
6 7 3 8 4 2 5 8 5 6 2 9 6 1 6 9 1 8 8 2 1 7 9 9 2 1 3 6 6 7 3 5 8 7 4 1 5 5 8 1 7 3 2 1 8
Tabel 4.18. Hasil Sampel Bootstrap B 𝐰𝐰∗1 𝐰𝐰∗2 𝐰𝐰∗3 𝐰𝐰∗4 𝐰𝐰∗5
𝐱𝐱∗1 𝐲𝐲∗1 𝐱𝐱∗2 𝐲𝐲∗2 𝐱𝐱∗3 𝐲𝐲∗𝟑𝟑 𝐱𝐱∗𝟒𝟒 𝐲𝐲∗𝟒𝟒 𝐱𝐱∗𝟓𝟓 𝐲𝐲∗𝟓𝟓
1 296 18 151 24,1 402 11,8 177 26,5 29 32,5 2 385 11,6 76 32 177 26,5 76 32 296 18 3 385 11,6 209 25,8 296 18 376 16,3 296 18 4 209 25,8 376 16,3 177 26,5 177 26,5 385 11,6 5 376 16,3 151 24,1 209 25,8 209 25,8 385 11,6 6 376 16,3 402 11,8 296 18 296 18 151 24,1 7 402 11,8 76 32 177 26,5 151 24,1 29 32,5 8 376 16,3 76 32 76 32 177 26,5 376 16,3 9 151 24,1 402 11,8 385 11,6 376 16,3 177 26,5 �̂�𝛽0 34,1259 35,3939 38,1158 34,9339 34,1427 �̂�𝛽1 -0,0525 -0,0566 -0,0667 -0,0508 -0,0547
Tabel 4.19. Daftar Bilangan Random Untuk Pengambilan Sampel Bootstrap Pabrik C 0,46304 0,03916 0,32864 0,0845 0,22954 0,35884 0,31648 0,45556 0,71942 0,72214 0,80166 0,8684 0,40873 0,76976 0,53107 0,71706 0,0293 0,42674 0,23867 0,71233 0,10211 0,18687 0,03386 0,53729 0,22617 0,43816 0,88673 0,18139 0,77996 0,91983 0,88455 0,68119 0,82932 0,69313 0,11269 0,53646 0,11008 0,93013 0,68141 0,49838 0,04747 0,10341 0,07658 0,53787 0,12289
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Tabel 4.20. Konversi Indeks Sampel Asli Untuk Sampel Bootstrap C
5 1 3 1 3 4 3 5 7 7 8 8 4 7 5 7 1 4 3 7 1 2 1 5 3 4 8 2 8 9 8 7 8 7 2 5 1 9 7 5 1 1 1 5 2
Tabel 4.21. Sampel Bootstrap C 𝐰𝐰∗1 𝐰𝐰∗2 𝐰𝐰∗3 𝐰𝐰∗4 𝐰𝐰∗5 𝐱𝐱∗1 𝐲𝐲∗1 𝐱𝐱∗2 𝐲𝐲∗2 𝐱𝐱∗3 𝐲𝐲∗𝟑𝟑 𝐱𝐱∗𝟒𝟒 𝐲𝐲∗𝟒𝟒 𝐱𝐱∗𝟓𝟓 𝐲𝐲∗𝟓𝟓
1 58 32,8 119 28,8 115 29,7 119 28,8 115 29,7 2 88 28,9 115 29,7 58 32,8 150 25,4 150 25,4 3 107 31,7 107 31,7 88 28,9 150 25,4 58 32,8 4 150 25,4 119 28,8 88 28,9 115 29,7 150 25,4 5 119 28,8 188 22 119 28,8 58 32,8 115 29,7 6 88 28,9 107 31,7 188 22 107 31,7 125 28,5 7 107 31,7 150 25,4 107 31,7 150 25,4 188 22 8 58 32,8 119 28,8 125 28,5 150 25,4 58 32,8 9 119 28,8 119 28,8 119 28,8 58 32,8 188 22 �̂�𝛽0 36,3948 42,8542 37,2071 38,3745 38,4051 �̂�𝛽1 -0,0646 -0,1137 -0,0742 -0,0832 -0,0849
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Tabel 4.22. Data sisa konsentrasi anti-inflamatori pada 27 alat setelah digunakan dalam suatu waktu tertentu
Pabrik Waktu Besarnya Konsentrasi Pabrik Waktu Besarnya
Konsentrasi Pabrik Waktu Besarnya Konsentrasi
A 99 25,8 B 376 16,3 C 119 28,8 A 152 20,5 B 385 11,6 C 188 22 A 293 14,3 B 402 11,8 C 115 29,7 A 155 23,2 B 29 32,5 C 88 28,9 A 196 20,6 B 76 32 C 58 32,8 A 53 31,1 B 296 18 C 49 32,5 A 184 20,9 B 151 24,1 C 150 25,4 A 171 20,9 B 177 26,5 C 107 31,7 A 52 30,4 B 209 25,8 C 125 28,5 �̂�𝛽0 33,3601 �̂�𝛽0 35,2061 �̂�𝛽0 37,1937 �̂�𝛽1 -0,0683 �̂�𝛽1 -0,0563 �̂�𝛽1 -0,0745
Tabel 4.23. Data Residual A B C
𝐱𝐱 𝐲𝐲 𝐲𝐲� 𝛆𝛆 𝐱𝐱 𝐲𝐲 𝐲𝐲� 𝛆𝛆 𝐱𝐱 𝐲𝐲 𝐲𝐲� 𝛆𝛆 99 25,8 26,5984 -0,7984 376 16,3 14,0373 2,2627 119 28,8 28,3282 0,4718
152 20,5 22,9785 -2,4785 385 11,6 13,5306 -1,9306 188 22 23,1877 -1,1877 293 14,3 13,3482 0,9518 402 11,8 12,5735 -0,7735 115 29,7 28,6262 1,0738 155 23,2 22,7736 0,4264 29 32,5 33,5734 -1,0734 88 28,9 30,6377 -1,7377 196 20,6 19,9733 0,6267 76 32 30,9273 1,0727 58 32,8 32,8727 -0,0727 53 31,1 29,7402 1,3598 296 18 18,5413 -0,5413 49 32,5 33,5432 -1,0432
184 20,9 20,7929 0,1071 151 24,1 26,7048 -2,6048 150 25,4 26,0187 -0,6187 171 20,9 21,6808 -0,7808 177 26,5 25,241 1,259 107 31,7 29,2222 2,4778 52 30,4 29,8085 0,5915 209 25,8 23,4394 2,3606 125 28,5 27,8812 0,6188
Tabel 4.24. Bilangan Random Untuk data A 0,40106 0,70333 0,44062 0,67512 0,68191 0,88888 0,34275 0,48461 0,97195 0,11113 0,14384 0,13337 0,80577 0,46686 0,14381 0,91458 0,16034 0,55998 0,45008 0,28429 0,27807 0,68461 0,48834 0,64046 0,75464 0,39908 0,10288 0,99719 0,3026 0,44086 0,33456 0,29458 0,7259 0,68912 0,84364 0,40059 0,64646 0,98843 0,02543 0,48572 0,65503 0,19925 0,13004 0,67226 0,16455
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
Tabel 4.25. Konversi Bilangan Random Untuk data A
4 7 4 7 7 8 4 5 9 2 2 2 8 5 2 9 2 5 5 3 3 7 5 6 7 4 1 9 3 4 4 3 7 7 8 4 6 9 1 5 6 2 2 7 2
Tabel 4.26. Sampel Bootstrap Untuk data A 0,4264 0,1071 0,4264 0,1071 0,1071
-0,7808 0,4264 0,6267 0,5915 -2,4785 -2,4785 -2,4785 -0,7808 0,6267 -2,4785 0,5915 -2,4785 0,6267 0,6267 0,9518 0,9518 0,1071 0,6267 1,3598 0,1071 0,4264 -0,7984 0,5915 0,9518 0,4264 0,4264 0,9518 0,1071 0,1071 -0,7808 0,4264 1,3598 0,5915 -0,7984 0,6267 1,3598 -2,4785 -2,4785 0,1071 -2,4785
Tabel 4.27. Data 𝐘𝐘∗𝐛𝐛 Untuk Alat Pabrik A A
𝐱𝐱 𝐲𝐲∗𝟏𝟏 𝐲𝐲∗𝟐𝟐 𝐲𝐲∗𝟑𝟑 𝐲𝐲∗𝟒𝟒 𝐲𝐲∗𝟓𝟓 99 27,0248 26,7055 27,0248 26,7055 26,7055
152 25,8176 27,0248 27,2251 27,1899 24,1199 293 24,1199 24,1199 25,8176 27,2251 24,1199 155 27,1899 24,1199 27,2251 27,2251 27,5502 196 27,5502 26,7055 27,2251 27,9582 26,7055 53 27,0248 25,8 27,1899 27,5502 27,0248
184 27,0248 27,5502 26,7055 26,7055 25,8176 171 27,0248 27,9582 27,1899 25,8 27,2251 52 27,9582 24,1199 24,1199 26,7055 24,1199 �̂�𝛽0 28,3357 25,9534 26,3032 26,8986 26,4701 �̂�𝛽1 -0,0105 -0,0004 -0,0022 -0,0007 -0,0036
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
Tabel 4.28. Bilangan Random Untuk data B 0,64962 0,50028 0,49676 0,09937 0,96002 0,50456 0,1088 0,39118 0,04915 0,94231 0,70176 0,92523 0,63459 0,45539 0,09615 0,38553 0,13314 0,13394 0,64602 0,05154 0,06297 0,32638 0,28653 0,03359 0,31386 0,13732 0,07487 0,25483 0,35238 0,70652
0,447 0,95414 0,06426 0,22659 0,74747 0,08626 0,59546 0,00571 0,30365 0,32535 0,33022 0,60852 0,88701 0,8662 0,54287
Tabel 4.29. Konversi Bilangan Random Untuk data B
6 5 5 1 9 5 1 4 1 9 7 9 6 5 1 4 2 2 6 1 1 3 3 1 3 2 1 3 4 7 5 9 1 3 7 1 6 1 3 3 3 6 8 8 5
Tabel 4.30. Sampel Bootstrap Untuk data B -0,5413 1,0727 1,0727 2,2627 2,3606 1,0727 2,2627 -1,0734 2,2627 2,3606
-2,6048 2,3606 -0,5413 1,0727 2,2627 -1,0734 -1,9306 -1,9306 -0,5413 2,2627 2,2627 -0,7735 -0,7735 2,2627 -0,7735
-1,9306 2,2627 -0,7735 -1,0734 -2,6048 1,0727 2,3606 2,2627 -0,7735 -2,6048 2,2627 -0,5413 2,2627 -0,7735 -0,7735
-0,7735 -0,5413 1,259 1,259 1,0727
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
Tabel 4.31. Data 𝐘𝐘∗𝐛𝐛 Untuk Alat Pabrik B B
X 𝐲𝐲∗𝟏𝟏 𝐲𝐲∗𝟐𝟐 𝐲𝐲∗𝟑𝟑 𝐲𝐲∗𝟒𝟒 𝐲𝐲∗𝟓𝟓 376 13,496 15,11 15,11 16,3 16,3979 385 15,11 16,3 12,9639 16,3 16,3979 402 11,4325 16,3979 13,496 15,11 16,3 29 12,9639 12,1067 12,1067 13,496 16,3 76 16,3 13,2638 13,2638 16,3 13,2638
296 12,1067 16,3 13,2638 12,9639 11,4325 151 15,11 16,3979 16,3 13,2638 11,4325 177 16,3 13,496 16,3 13,2638 13,2638 209 13,2638 13,496 15,2963 15,2963 15,11 �̂�𝛽0 15,2445 12,6226 14,1997 13,7669 13,2045 �̂�𝛽1 -0,0053 0,0092 0,00014 0,004 0,0053
Tabel 4.32. Bilangan Random Untuk data C 0,04133 0,08309 0,47273 0,03581 0,92374 0,54571 0,51096 0,90588 0,00461 0,86464 0,70257 0,62594 0,92681 0,33341 0,50538 0,03658 0,29969 0,25404 0,07317 0,82293 0,60876 0,53299 0,16089 0,23856 0,39637 0,37982 0,16877 0,36126 0,96598 0,06233 0,76713 0,21339 0,63889 0,55119 0,8395 0,94759 0,7704 0,91441 0,42745 0,23971 0,26492 0,21495 0,88395 0,21323 0,83818
Tabel 4.33. Konversi Bilangan Random Untuk data C
1 1 5 1 9 5 5 9 1 8 7 6 9 4 5 1 3 3 1 8 6 5 2 3 4 4 2 4 9 1 7 2 6 5 8 9 7 9 4 3 3 2 8 2 8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Tabel 4.34. Sampel Bootstrap Untuk data C 0,4718 0,4718 -0,0727 0,4718 0,6188
-0,0727 -0,0727 0,6188 0,4718 2,4778 -0,6187 -1,0432 0,6188 -1,7377 -0,0727 0,4718 1,0738 1,0738 0,4718 2,4778
-1,0432 -0,0727 -1,1877 1,0738 -1,7377 -1,7377 -1,1877 -1,7377 0,6188 0,4718 -0,6187 -1,1877 -1,0432 -0,0727 2,4778 0,6188 -0,6187 0,6188 -1,7377 1,0738 1,0738 -1,1877 2,4778 -1,1877 2,4778
Tabel 4.35. Data 𝐘𝐘∗𝐛𝐛 Untuk Alat Pabrik C C
𝐱𝐱 𝐲𝐲∗𝟏𝟏 𝐲𝐲∗𝟐𝟐 𝐲𝐲∗𝟑𝟑 𝐲𝐲∗𝟒𝟒 𝐲𝐲∗𝟓𝟓 119 28,8 28,8 28,2555 28,8 28,947 188 28,2555 28,2555 28,947 28,8 30,806 115 27,7095 27,285 28,947 26,5905 28,2555 88 28,8 29,402 29,402 28,8 30,806 58 27,285 28,2555 27,1405 29,402 26,5905 49 26,5905 27,1405 26,5905 28,947 28,8
150 27,7095 27,1405 27,285 28,2555 30,806 107 28,947 27,7095 28,947 26,5905 29,402 125 29,402 27,1405 30,806 27,1405 30,806 �̂�𝛽0 27,1528 28,0049 27,0888 28,7832 27,0267 �̂�𝛽1 0,0091 -0,0009 0,0125 -0,0057 0,022
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
Tabel 4.36. Perbandingan Selang Kepercayaan Populasi Berdistribusi Multivariat Normal (Variabel Independen Dianggap Random)
𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑖𝑖
SK Pendekatan Normal SK Percentil
�̂�𝛽𝑖𝑖 �̂�𝛽𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 Bias batas
bawah batas atas
batas bawah
batas atas
10 10 1 4,5211 5,06077 4,72145 4,97239 4,79094 4,84201 0,11701 0,05107
2 -2,04885 -1,66545 -1,99237 -1,80209 -1,85715 -1,89656 0,08313 -0,03941
20 1 4,46122 5,16031 4,51586 5,13504 4,81077 4,80589 0,15158 -0,00488
2 -2,10709 -1,63738 -2,09046 -1,66785 -1,87224 -1,86805 0,10184 0,00419
50 1 4,67918 5,16591 4,75456 5,18428 4,92255 4,93627 0,10554 0,01372
2 -2,12184 -1,76204 -2,15422 -1,8132 -1,94194 -1,95284 0,07801 -0,0109
60 1 4,93652 5,46009 4,87196 5,30566 5,19831 5,15154 0,11352 -0,04677
2 -2,3024 -1,94806 -2,18579 -1,92053 -2,12523 -2,09515 0,07683 0,03008
100 1 4,70313 5,12522 4,764 5,04968 4,91417 4,90719 0,09152 -0,00698
2 -2,08009 -1,78234 -2,02576 -1,83073 -1,93121 -1,92714 0,06456 0,00407
200 1 4,85245 5,45942 4,86665 5,42643 5,15593 5,16486 0,13161 0,00893
2 -2,33605 -1,88978 -2,31601 -1,91983 -2,11291 -2,11973 0,09676 -0,00682
500 1 4,74587 5,19931 4,78146 5,17989 4,97259 4,97144 0,09832 -0,00115
2 -2,15082 -1,80284 -2,12956 -1,84034 -1,97683 -1,97641 0,07545 0,00042
700 1 4,87409 5,33962 4,85616 5,24894 5,10685 5,0942 0,10094 -0,01265
2 -2,25014 -1,91613 -2,18545 -1,90422 -2,08313 -2,07408 0,07242 0,00905
1.000 1 4,56323 5,2072 4,68666 5,21234 4,88521 4,9095 0,13963 0,02429
2 -2,14819 -1,69256 -2,14106 -1,77884 -1,92038 -1,93661 0,09879 -0,01623
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
1.500 1 4,32952 5,05672 4,48302 5,14414 4,69312 4,72568 0,15767 0,03256
2 -2,03564 -1,52879 -2,09643 -1,63624 -1,78221 -1,80454 0,1099 -0,02233
2.000 1 4,79081 5,16766 4,81271 5,12925 4,97923 4,97913 0,08171 -0,0001
2 -2,1157 -1,84864 -2,09228 -1,86875 -1,98217 -1,98241 0,0579 -0,00024
3.000 1 4,72481 5,08508 4,79161 5,12036 4,90494 4,9278 0,07812 0,02286
2 -2,05959 -1,78839 -2,0872 -1,83699 -1,92399 -1,94089 0,0588 -0,0169
5.000 1 4,75399 5,16084 4,75244 5,13759 4,95741 4,96104 0,08821 0,00363
2 -2,1173 -1,83253 -2,09737 -1,8236 -1,97492 -1,97648 0,06175 -0,00156
7.000 1 4,86549 5,139 4,89387 5,11181 5,00225 4,99904 0,05931 -0,00321
2 -2,10176 -1,89781 -2,08498 -1,92066 -1,99978 -1,99764 0,04422 0,00214
10.000 1 4,63846 5,18918 4,70281 5,23449 4,91382 4,92323 0,11941 0.00941
2 -2,14061 -1,7466 -2,15522 -1,78445 -1,94361 -1,94436 0,08543 -0.00075
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
Tabel 4.37. Perbandingan Selang Kepercayaan Koefisien Regresi Populasi Berdistribusi Multivariat Normal
(Variabel Independen Dianggap Tetap)
𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑖𝑖
SK Pendekatan Normal SK Percentil
�̂�𝛽𝑖𝑖 �̂�𝛽𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 Bias batas
bawah batas atas batas
bawah batas atas 10 10 1 4,5794 5,23661 4,7968 5,09438 4,908 4,94685 0,1425 0,03885
2 -2,18107 -1,70019 -2,07746 -1,86436 -1,94147 -1,97284 0,10391 -0,03137
20 1 4,61222 5,18778 4,69656 5,13802 4,9 4,85795 0,1248 -0,04205
2 -2,14377 -1,72739 -2,10387 -1,78551 -1,93558 -1,90338 0,09028 0,0322
50 1 4,6643 5,38567 4,76739 5,26037 5,02498 5,03902 0,15641 0,01404
2 -2,28387 -1,76778 -2,19517 -1,83659 -2,02582 -2,03574 0,1119 -0,00992
60 1 4,88859 5,2473 4,88506 5,19168 5,06795 5,05767 0,07778 -0,01028
2 -2,17869 -1,91104 -2,13363 -1,90912 -2,04486 -2,03754 0,05803 0,00732
100 1 4,75569 5,46285 4,83489 5,37106 5,10927 5,10666 0,15333 -0,00261
2 -2,32179 -1,82676 -2,25753 -1,88765 -2,07428 -2,07546 0,10733 -0,00118
200 1 4,62089 5,21808 4,69647 5,1193 4,91948 4,90957 0,12949 -0,00991
2 -2,15639 -1,72427 -2,08794 -1,781 -1,94033 -1,93358 0,09369 0,00675
500 1 4,74524 5,13954 4,79002 5,08415 4,94239 4,94116 0,08549 -0,00123
2 -2,09377 -1,80547 -2,05539 -1,83664 -1,94962 -1,94916 0,06251 0,00046
700 1 4,78739 5,56441 4,91674 5,44602 5,1759 5,18411 0,16848 0,00821
2 -2,43191 -1,84478 -2,33955 -1,94542 -2,13835 -2,14417 0,12731 -0,00582
1.000 1 4,58455 5,24271 4,66836 5,16396 4,91363 4,91429 0,14271 0,00066
2 -2,17809 -1,70065 -2,12149 -1,76324 -1,93937 -1,94002 0,10352 -0,00065
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
1.500 1 4,71014 5,30934 4,78342 5,23087 5,00974 5,00846 0,12992 -0,00128
2 -2,21969 -1,79443 -2,16537 -1,84749 -2,00706 -2,00746 0,09221 -0,0004
2.000 1 4,66854 5,44569 4,74356 5,36429 5,05712 5,05832 0,16851 0,0012
2 -2,31107 -1,76109 -2,25588 -1,81444 -2,03608 -2,0393 0,11925 -0,00322
3.000 1 4,53044 5,35447 4,61771 5,23558 4,94245 4,93983 0,17867 -0,00262
2 -2,25926 -1,66126 -2,17318 -1,7268 -1,96026 -1,96127 0,12966 -0,00101
5.000 1 4,54078 5,28344 4,63967 5,19477 4,91211 4,91307 0,16103 0,00096
2 -2,21082 -1,67473 -2,1462 -1,74806 -1,94277 -1,94298 0,11624 -0,00021
7.000 1 4,8081 5,32721 4,86812 5,26415 5,06765 5,06778 0,11256 0,00013
2 -2,23598 -1,8556 -2,1909 -1,89962 -2,04579 -2,04541 0,08248 0,00038
10.000 1 4,58146 5,35144 4,68113 5,25626 4,96645 4,968 0,16695 0,00155
2 -2,23772 -1,69569 -2,1737 -1,76626 -1,96671 -1,96753 0,11753 -0,00082
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
DIAGRAM ALIR PADA BAB III
Gambar 3.7. Diagram alir untuk Program 3.1
Bangkitkan (𝑛𝑛) sampel asli dari suatu populasi berdistribusi
tertentu dengan 𝐸𝐸(𝑥𝑥) dan 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑥𝑥)
Banyaknya sampel bootstrap (𝑏𝑏),
ukuran sampel (𝑛𝑛)
Untuk 𝑘𝑘 = 1:𝑛𝑛
Untuk 𝑗𝑗 = 1: 𝑏𝑏
Mulai
Bangkitkan bilangan random 𝑢𝑢
YA (𝑘𝑘 − 1) 𝑛𝑛⁄ < 𝑢𝑢(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ≤ 𝑘𝑘 𝑛𝑛⁄
TIDAK
TIDAK
𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 YA 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛 = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑚𝑚(𝑢𝑢)/𝑛𝑛
YA 𝑗𝑗 = 𝑏𝑏
TIDAK Untuk 𝑖𝑖 = 1:𝑛𝑛
𝑢𝑢(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) = 𝑠𝑠𝑉𝑉(𝑘𝑘)
Selesai 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑏𝑏⁄
𝑆𝑆𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑠𝑠𝑏𝑏𝑠𝑠(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑏𝑏⁄ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
DIAGRAM ALIR PADA BAB IV
Untuk 𝑘𝑘 = 1:𝑛𝑛
Untuk 𝑗𝑗 = 1: 𝑏𝑏
Mulai
Bangkitkan bilangan random 𝑢𝑢
YA (𝑘𝑘 − 1) 𝑛𝑛⁄ < 𝑢𝑢(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ≤ 𝑘𝑘 𝑛𝑛⁄
TIDAK
TIDAK
𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 YA
YA 𝑗𝑗 = 𝑏𝑏
TIDAK Untuk 𝑖𝑖 = 1:𝑛𝑛 Selesai
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑏𝑏⁄ 𝑆𝑆𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑠𝑠𝑏𝑏𝑠𝑠(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑏𝑏⁄ ) 𝑝𝑝𝑚𝑚𝑉𝑉𝑙𝑙𝑏𝑏𝑙𝑙𝑚𝑚𝑉𝑉 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛(𝑏𝑏𝑏𝑏 2⁄ )
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑉𝑉𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑉𝑉 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛(𝑏𝑏(1 − 𝑏𝑏 2⁄ ))
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑉𝑉𝑛𝑛 = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑚𝑚(𝑢𝑢)/𝑛𝑛
Bangkitkan (𝑛𝑛) sampel asli dari suatu populasi berdistribusi
tertentu dengan 𝐸𝐸(𝑥𝑥) dan 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑥𝑥)
𝑢𝑢(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) = 𝑠𝑠𝑉𝑉(𝑘𝑘)
Gambar 4.1. Diagram alir untuk Program 4.1.
Banyaknya sampel bootstrap (𝑏𝑏),
ukuran sampel (𝑛𝑛)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
Gambar 4.4. Diagram alir dari Program 4.2.
Mulai
Untuk 𝑗𝑗 = 1: 𝑏𝑏
𝑛𝑛 < 30 TIDAK
YA
TIDAK 𝑗𝑗 = 𝑏𝑏
YA
𝑡𝑡𝑡𝑡 = |𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛼𝛼 2⁄ ,𝑛𝑛 − 𝑝𝑝)|
𝑡𝑡𝑡𝑡 = |𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛼𝛼 2⁄ , 0,1))|
Selesai
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑐𝑐𝑃𝑃𝑡𝑡𝑐𝑐(𝑛𝑛𝑃𝑃(𝛼𝛼 2⁄ ))) 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟(𝑛𝑛𝑃𝑃(1 − (𝛼𝛼 2⁄ )))) 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛃𝛃� − 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑠𝑠(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝)) 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛃𝛃� + 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑠𝑠(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝))
Untuk 𝑐𝑐 = 1:𝑝𝑝
𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 = 𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡�𝐗𝐗∗𝑏𝑏′ 𝐗𝐗∗𝑏𝑏�(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′ 𝐘𝐘∗𝑏𝑏)
Bangkitkan bilangan random 𝑟𝑟(𝑡𝑡)
Untuk 𝑡𝑡 = 1:𝑛𝑛
Untuk 𝑘𝑘 = 1:𝑛𝑛
𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑤𝑤(𝑘𝑘)
TIDAK
𝑡𝑡 = 𝑛𝑛
YA
YA (𝑘𝑘 − 1) 𝑛𝑛⁄ < 𝑟𝑟(𝑡𝑡) ≤ 𝑘𝑘 𝑛𝑛⁄
TIDAK
𝑠𝑠 =(𝐘𝐘′𝐘𝐘) − (𝛃𝛃�′𝐗𝐗′𝐘𝐘)
(𝑛𝑛 − 𝑝𝑝)
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑃𝑃𝑚𝑚𝑛𝑛�𝛃𝛃�∗𝑏𝑏�
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡 = 𝑠𝑠 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑡𝑡 �(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝)��
𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛃𝛃�∗𝑏𝑏)
Banyaknya sampel bootstrap (𝑏𝑏), ukuran sampel (𝑛𝑛), tingkat signifikansi (𝛼𝛼)
Pasangan terurut 𝐰𝐰 = (𝐱𝐱, 𝐲𝐲), 𝐱𝐱
(variabel independen dan dependen), banyaknya variabel
independen (𝑘𝑘) dan parameter (𝑝𝑝)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Gambar 4.5. Diagram alir dari Program 4.3.
Mulai
Untuk 𝑗𝑗 = 1: 𝑏𝑏
𝑛𝑛 < 30 TIDAK
YA
TIDAK 𝑗𝑗 = 𝑏𝑏
YA
𝑡𝑡𝑡𝑡 = |𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛼𝛼 2⁄ ,𝑛𝑛 − 𝑝𝑝)|
𝑡𝑡𝑡𝑡 = |𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛼𝛼 2⁄ , 0,1))|
Selesai
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑐𝑐𝑃𝑃𝑡𝑡𝑐𝑐(𝑛𝑛𝑃𝑃(𝛼𝛼 2⁄ ))) 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟(𝑛𝑛𝑃𝑃(1 − (𝛼𝛼 2⁄ )))) 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛃𝛃� − 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑠𝑠(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝)) 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛃𝛃� + 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑠𝑠(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝))
Untuk 𝑐𝑐 = 1:𝑝𝑝
𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 = 𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡�𝐗𝐗∗𝑏𝑏′ 𝐗𝐗∗𝑏𝑏�(𝐗𝐗∗𝑏𝑏′ 𝐘𝐘∗𝑏𝑏)
Bangkitkan bilangan random 𝑟𝑟(𝑡𝑡)
Untuk 𝑡𝑡 = 1:𝑛𝑛
Untuk 𝑘𝑘 = 1:𝑛𝑛
𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑤𝑤(𝑘𝑘)
TIDAK
𝑡𝑡 = 𝑛𝑛
YA
YA (𝑘𝑘 − 1) 𝑛𝑛⁄ < 𝑟𝑟(𝑡𝑡) ≤ 𝑘𝑘 𝑛𝑛⁄
TIDAK
𝑠𝑠 =(𝐘𝐘′𝐘𝐘) − (𝛃𝛃�′𝐗𝐗′𝐘𝐘)
(𝑛𝑛 − 𝑝𝑝)
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑃𝑃𝑚𝑚𝑛𝑛�𝛃𝛃�∗𝑏𝑏�
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡 = 𝑠𝑠 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑡𝑡 �(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝)��
𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛃𝛃�∗𝑏𝑏)
Banyaknya sampel bootstrap (𝑏𝑏),
ukuran sampel (𝑛𝑛), tingkat signifikansi (𝛼𝛼), dan banyaknya
variabel independen (𝑘𝑘)
𝑝𝑝 = 𝑘𝑘 + 1
Bangkitkan pasangan terurut 𝐰𝐰𝑡𝑡 dengan mean 𝐦𝐦𝐦𝐦 dan covariance 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
Banyaknya sampel bootstrap (𝑏𝑏), ukuran sampel (𝑛𝑛), tingkat signifikansi (𝛼𝛼)
Pasangan terurut 𝐰𝐰 = (𝐱𝐱, 𝐲𝐲), 𝐱𝐱
(variabel independen dan dependen), banyaknya variabel
independen (𝑘𝑘) dan parameter (𝑝𝑝)
Mulai
𝛆𝛆 = 𝐘𝐘� − 𝐘𝐘 𝛃𝛃� = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝐗𝐗′𝐘𝐘) Bangkitkan bilangan
random 𝑟𝑟(𝑡𝑡, 𝑗𝑗)
𝑠𝑠 =(𝐘𝐘′𝐘𝐘) − (𝛃𝛃�′𝐗𝐗′𝐘𝐘)
(𝑛𝑛 − 𝑝𝑝)
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑃𝑃𝑚𝑚𝑛𝑛�𝛃𝛃�∗𝑏𝑏�
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡 = 𝑠𝑠 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑡𝑡 �(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝)��
𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛃𝛃�∗𝑏𝑏)
Untuk 𝑗𝑗 = 1: 𝑏𝑏
Untuk 𝑘𝑘 = 1:𝑛𝑛
𝑟𝑟(𝑡𝑡, 𝑗𝑗) = 𝜀𝜀(𝑘𝑘)
Untuk 𝑡𝑡 = 1:𝑛𝑛
(𝑘𝑘 − 1) 𝑛𝑛⁄ < 𝑟𝑟(𝑡𝑡, 𝑗𝑗) ≤ 𝑘𝑘 𝑛𝑛⁄
YA
TIDAK
𝑡𝑡 = 𝑛𝑛
TIDAK YA 𝐘𝐘�∗𝑏𝑏 = 𝐗𝐗𝛃𝛃� + 𝛆𝛆 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′𝐘𝐘∗𝑏𝑏
𝑗𝑗 = 𝑏𝑏
YA
TIDAK
Selesai
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑐𝑐𝑃𝑃𝑡𝑡𝑐𝑐(𝑛𝑛𝑃𝑃(𝛼𝛼 2⁄ ))) 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟(𝑛𝑛𝑃𝑃(1 − (𝛼𝛼 2⁄ )))) 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛃𝛃� − 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑠𝑠(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝)) 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛃𝛃� + 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑠𝑠(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝))
Untuk 𝑐𝑐 = 1:𝑝𝑝
TIDAK
𝑛𝑛 < 30
YA
𝑡𝑡𝑡𝑡 = |𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛼𝛼 2⁄ , 0,1))|
𝑡𝑡𝑡𝑡 = |𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛼𝛼 2⁄ ,𝑛𝑛 − 𝑝𝑝)|
Gambar 4.7. Diagram alir dari Program 4.4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
Untuk 𝑡𝑡 = 1:𝑛𝑛
Gambar 4.8. Diagram alir dari Program 4.5.
Mulai
𝛆𝛆 = 𝐘𝐘� − 𝐘𝐘 𝛃𝛃� = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝐗𝐗′𝐘𝐘) Bangkitkan bilangan
random 𝑟𝑟(𝑡𝑡, 𝑗𝑗)
𝑠𝑠 =(𝐘𝐘′𝐘𝐘) − (𝛃𝛃�′𝐗𝐗′𝐘𝐘)
(𝑛𝑛 − 𝑝𝑝)
𝛃𝛃�𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡 = 𝑛𝑛𝑃𝑃𝑚𝑚𝑛𝑛�𝛃𝛃�∗𝑏𝑏�
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡 = 𝑠𝑠 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑡𝑡 �(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝)��
𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛃𝛃�∗𝑏𝑏)
Untuk 𝑗𝑗 = 1: 𝑏𝑏
Untuk 𝑘𝑘 = 1:𝑛𝑛
𝑟𝑟(𝑡𝑡, 𝑗𝑗) = 𝜀𝜀(𝑘𝑘)
(𝑘𝑘 − 1) 𝑛𝑛⁄ < 𝑟𝑟(𝑡𝑡, 𝑗𝑗) ≤ 𝑘𝑘 𝑛𝑛⁄
YA
TIDAK
𝑡𝑡 = 𝑛𝑛
TIDAK YA 𝐘𝐘�∗𝑏𝑏 = 𝐗𝐗𝛃𝛃� + 𝛆𝛆 𝛃𝛃�∗𝑏𝑏 = (𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏𝐗𝐗′𝐘𝐘∗𝑏𝑏
𝑗𝑗 = 𝑏𝑏
YA
TIDAK
Selesai
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑐𝑐𝑃𝑃𝑡𝑡𝑐𝑐(𝑛𝑛𝑃𝑃(𝛼𝛼 2⁄ ))) 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟(𝑛𝑛𝑃𝑃(1 − (𝛼𝛼 2⁄ )))) 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛃𝛃� − 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑠𝑠(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝)) 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝛃𝛃� + 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑠𝑠(𝐗𝐗′𝐗𝐗)−𝟏𝟏(𝑝𝑝, 𝑝𝑝))
Untuk 𝑐𝑐 = 1:𝑝𝑝
TIDAK
𝑛𝑛 < 30
YA
𝑡𝑡𝑡𝑡 = |𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛼𝛼 2⁄ , 0,1))|
𝑡𝑡𝑡𝑡 = |𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡(𝛼𝛼 2⁄ ,𝑛𝑛 − 𝑝𝑝)|
Banyaknya sampel bootstrap (𝑏𝑏),
ukuran sampel (𝑛𝑛), tingkat signifikansi (𝛼𝛼), dan banyaknya
variabel independen (𝑘𝑘)
𝑝𝑝 = 𝑘𝑘 + 1
Bangkitkan pasangan terurut 𝐰𝐰𝑡𝑡 dengan mean 𝐦𝐦𝐦𝐦 dan covariance 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
PROGRAM PADA BAB III
Program 3.1.
%PROGRAM 3.1 %program pendekatan rata-rata dan galat standar bootstrap %FS= jenis fungsi distribusi populasi %sa= sampel acak asli %n= besarnya ukuran sampel acak %re= banyaknya resampel bootstrap %u= matriks berisi bilangan random %bootstrapSAMPLE= matriks berisi hasil resampel dengan metode bootstrap % baris menyatakan ukuran sampel % kolom menyatakan banyaknya resampel (sampel bootstrap) %MEANboot= vektor kolom berisi mean untuk setiap hasil sampel bootstrap %xBARboot= pendekatan mean untuk sampling %RTasli= rata-rata sampel acak asli %SDasli= standar deviasi sampel acak asli %SEasli= standar eror sampel acak asli %RTpop= rata-rata populasi %SEpop= standar eror populasi %SEboot= pendekatan standar eror dari mean untuk sampling clear; clc; disp('Metode Bootstrap Pendekatan Standar Eror dan Selang kepercayaan Untuk Rata-Rata Populasi') disp(' ') disp('Jenis Fungsi Distribusi Simbol') disp(' Normal 1 ') disp(' Eksponensial 2 ') disp(' Binomial 3 ') disp(' Poisson 4 ') disp(' ') FS=input('masukkan jenis fungsi distribusi populasi: '); n=input('masukkan banyaknya sampel: '); re=input('masukkan banyaknya resampel :'); if FS==1 miu=input('masukkan nilai miu: '); sig=input('masukkan nilai sigma: '); sa=normrnd(miu,sig,1,n); rata=miu; varr=sig^2; elseif FS==2 L=input('masukkan nilai lamda: '); sa=exprnd(L,1,n); rata=L; varr=L^2; elseif FS==3 p=input('masukkan nilai p: '); C=input('masukkan banyaknya jumlah percobaan: '); sa=binornd(C,p,1,n); rata=p*C;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
varr=rata*(1-p); else L=input('masukkan nilai lamda: '); sa=poissrnd(L,1,n); rata=L; varr=L; end tic sa; RTasli=mean(sa); SDasli=std(sa); VARasli=SDasli^2; SEasli=SDasli/(sqrt(n)); RTpop=rata; VARpop=varr; SEpop=(sqrt(varr/n)); u=rand(n,re); for j=1:re; for i=1:n; for k=1:n; while u(i,j)<(k*(1/n))&&u(i,j)>=((k-1)*(1/n))&&u(i,j)>=0; u(i,j)=sa(k); end rt=mean(u); end end end bootstrapSAMPLE=u; MEANboot=rt; xBARboot=mean(rt); SEboot=std(rt); VARboot=(SEboot^2)*n; disp('Sampel Asli: ') disp(sa') disp('Mean Populasi Mean Sampel Asli Mean Bootstrap') disp(fprintf('%10.5f%18.5f%22.5f\n',RTpop,RTasli,xBARboot)) disp(' ') disp('Var Populasi Var Sampel Asli Var Bootstrap') disp(fprintf('%10.5f%18.5f%22.5f\n',VARpop,VARasli,VARboot)) disp(' ') disp(' SE Populasi SE Sampel Asli SE Bootstrap') disp(fprintf('%10.5f%18.5f%22.5f\n',SEpop,SEasli,SEboot)) toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
PROGRAM PADA BAB IV
Program 4.1.
%PROGRAM 4.1 %program percentile bootstrap %FS= jenis fungsi distribusi populasi %sa= sampel acak asli %n= besarnya ukuran sampel acak %re= banyaknya resampel bootstrap %ts=tingkat signifikansi selang kepercayaan %u= matriks berisi bilangan random %bootstrapSAMPLE= matriks berisi hasil resampel dengan metode bootstrap % baris menyatakan ukuran sampel % kolom menyatakan banyaknya resampel (sampel bootstrap) %MEANboot= vektor kolom berisi mean untuk setiap hasil sampel bootstrap %xBARboot= pendekatan mean untuk sampling %RTasli= rata-rata sampel acak asli %SDasli= standar deviasi sampel acak asli %SEasli= standar eror sampel acak asli %RTpop= rata-rata populasi %SEpop= standar eror populasi %SEboot= pendekatan standar eror dari mean untuk sampling clear; clc; disp('Metode Bootstrap Pendekatan Standar Eror dan Selang kepercayaan Untuk Rata-Rata Populasi') disp(' ') disp('Jenis Fungsi Distribusi Simbol') disp(' Normal 1 ') disp(' Eksponensial 2 ') disp(' Binomial 3 ') disp(' Poisson 4 ') disp(' ') FS=input('masukkan jenis fungsi distribusi populasi: '); n=input('masukkan banyaknya sampel: '); re=input('masukkan banyaknya resampel :'); ts=input('masukkan tingkat signifikansi :'); if FS==1 miu=input('masukkan nilai miu: '); sig=input('masukkan nilai sigma: '); sa=normrnd(miu,sig,1,n); rata=miu; varr=sig^2; elseif FS==2 L=input('masukkan nilai lamda: '); sa=exprnd(L,1,n); rata=L; varr=L^2; elseif FS==3 p=input('masukkan nilai p: '); C=input('masukkan banyaknya jumlah percobaan: ');
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
sa=binornd(C,p,1,n); rata=p*C; varr=rata*(1-p); else L=input('masukkan nilai lamda: '); sa=poissrnd(L,1,n); rata=L; varr=L; end tic sa; RTasli=mean(sa); SDasli=std(sa); VARasli=SDasli^2; SEasli=SDasli/(sqrt(n)); RTpop=rata; VARpop=varr; SEpop=(sqrt(varr/n)); u=rand(n,re); for j=1:re; for i=1:n; for k=1:n; while u(i,j)<(k*(1/n))&&u(i,j)<(k*(1/n))&&u(i,j)>=((k-1)*(1/n))&&u(i,j)>=0; u(i,j)=sa(k); end rt=mean(u); end end end bootstrapSAMPLE=u; MEANboot=rt; xBARboot=mean(rt); SEboot=std(rt) VARboot=(SEboot^2)*n; SO=sort(rt); PERlower=SO(ceil(re*(ts/2))); PERupper=SO(round(re*(1-(ts/2)))); if n<30 tt=abs(tinv((ts/2),(n-1))); else tt=abs(norminv((ts/2),0,1)); end SKlower=(RTasli)-(tt*((SDasli)/(sqrt(n)))); SKupper=(RTasli)+(tt*((SDasli)/(sqrt(n)))); histfit(SO) disp('Sampel Asli: ') disp(sa') disp('Mean Populasi Mean Sampel Asli Mean Bootstrap') disp(fprintf('%10.5f%18.5f%22.5f\n',RTpop,RTasli,xBARboot)) disp(' ') disp('Var Populasi Var Sampel Asli Var Bootstrap') disp(fprintf('%10.5f%18.5f%22.5f\n',VARpop,VARasli,VARboot)) disp(' ') disp(' SE Populasi SE Sampel Asli SE Bootstrap')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
disp(fprintf('%10.5f%18.5f%22.5f\n',SEpop,SEasli,SEboot)) disp(' ') disp('SK normal BB SK normal BA') disp(fprintf('%10.5f%19.5f\n',SKlower,SKupper)) disp(' ') disp('SK percentil BB SK percentil BA') disp(fprintf('%12.5f%20.5f\n',PERlower,PERupper)) toc
Program 4.2. %PROGRAM 4.2 %program bootstrap pendekatan parameter regresi dengan regressor RANDOM %t= banyaknya variabel independen %re= banyaknya sampel bootstrap %ip= banyaknya parameter regresi %ts= tingkat signifikansi selang kepercayaan parameter regresi %X= matriks VARIABEL INDEPENDEN ;kolom pertama terdiri dari elemen konstanta, x0=1 %Y= vektor VARIABEL DEPENDEN %u= matriks berisi bilangan random %Basli=Beta topi; vektor parameter penduga koefisien regresi asli. %s= standar deviasi dari eror %Bbntg= matriks berisi nilai Beta pendekatan dengan bootstrap %Bboot= vektor berisi hasil pendekatan parameter regresi bootstrap yang %didapat dari rata-rata kolom Bbntg %Bias= besarnya bias dari parameter bootstrap terhadap parameter penduga %SEboot= vektor berisi hasil pendekatan standar eror untuk parameter %regresi bootstrap %SKlower= batas bawah selang kepercayaan parameter regresi bootstrap pendekatan normal %SKupper= batas atas selang kepercayaan parameter regresi bootstrap pendekatan normal %PERlower= batas bawah selang kepercayaan parameter regresi bootstrap dengan %metode percentil %PERupper=batas atas selang kepercayaan parameter regresi bootstrap dengan %metode percentil clear; clc; t=input('masukkan banyaknya variabel independen: '); re=input('masukkan banyaknya sampel bootstrap: '); ip=t+1; ts=input('masukkan tingkat signifikansi: '); Y=input('masukkan matriks Variabel Dependen: '); n=length(Y); v=zeros(n,t); for e=1:t xx=input('masukkan matriks Variabel Independen: ');
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
v(:,e)=xx; end v; X=[ones(n,1),v]; In=inv(X'*X); Basli=In*(X'*Y); s=((Y'*Y)-(Basli'*X'*Y))/(n-ip) tic for j=1:re u=rand(n,1); w=repmat(u,1,(t+1)); oo=ones(n,1); sa=[oo,v]; for i=1:n; for k=1:n; while u(i)>=((k-1)*(1/n))&&u(i)<(k*(1/n))&&u(i)>=0; u(i)=Y(k); w(i,:)=sa(k,:); end end end Btopibntg=(inv(w'*w))*(w'*u); bb=length(Btopibntg); for l=1:bb Bbntg(l,j)=Btopibntg(l,:); end end Bbntg; Bbntgboot=Bbntg'; SO=sort(Bbntgboot); Bboot=mean(Bbntgboot); Bias=Bboot'-Basli; if n<30 tt=abs(tinv((ts/2),(n-length(Bboot)))); else tt=abs(norminv((ts/2),0,1)); end for d=1:ip SK=[SO(:,d)]; SEboot(d,:)=s*(sqrt(In(d,d))); Nbb=Basli(d)-(tt*s*(sqrt(In(d,d)))); Nba=Basli(d)+(tt*s*(sqrt(In(d,d)))); Pbb=SK(ceil(re*(ts/2))); Pba=SK(round(re*(1-(ts/2)))); SKlower(d,:)=Nbb; SKupper(d,:)=Nba; PERlower(d,:)=Pbb; PERupper(d,:)=Pba; end SKlower; SKupper; PERlower; PERupper; disp(' ')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
disp(' Beta Topi Asli Beta Topi Bootstrap SE Bootstrap') for qq=1:ip fprintf('%12.5f%20.5f%22.5f%22.5f\n',Basli(qq),Bboot(qq),SEboot(qq),Bias(qq)) end disp(' ') disp('SK normal BB SK normal BA') for qq=1:ip fprintf('%10.5f%19.5f\n',SKlower(qq),SKupper(qq)) end disp(' ') disp('SK percentil BB SK percentil BA') for qq=1:ip fprintf('%12.5f%20.5f\n',PERlower(qq),PERupper(qq)) end toc Program 4.3. %PROGRAM 4.3 %program bootstrap pendekatan parameter regresi dengan regressor RANDOM %(tanpa konstanta) %t= banyaknya variabel independen %mu= vektor berisi t elemen yang berisi rata-rata untuk masing-masing %variabel independen %sig= matriks berukuran txt yang elemen diagonalnya berisi variansi dari %variabel independen yang indeksnya bersesuaian. harus semi definite %positif. %n= ukuran sampel %re= banyaknya sampel bootstrap %ip= banyaknya parameter regresi %er= standar deviasi untuk bilangan random normal %ts= tingkat signifikansi selang kepercayaan parameter regresi %beta= koefisien regresi populasi %vv= vektor berisi bilangan random normal dengan mean=0 dan var=er^2 yang digunakan sebagai eror untuk %Y. %X= matriks VARIABEL INDEPENDEN %Y= vektor VARIABEL DEPENDEN %u= matriks berisi bilangan random %Basli=Beta topi; vektor parameter penduga koefisien regresi asli. %s= standar deviasi dari eror %Bbntg= matriks berisi nilai Beta pendekatan dengan bootstrap %Bboot= vektor berisi hasil pendekatan parameter regresi bootstrap yang %didapat dari rata-rata kolom Bbntg %Bias= besarnya bias dari parameter bootstrap terhadap parameter penduga %asli
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
%SEboot= vektor berisi hasil pendekatan standar eror untuk parameter %regresi bootstrap %SKlower= batas bawah selang kepercayaan parameter regresi bootstrap pendekatan normal %SKupper= batas atas selang kepercayaan parameter regresi bootstrap pendekatan normal %PERlower= batas bawah selang kepercayaan parameter regresi bootstrap dengan %metode percentil %PERupper=batas atas selang kepercayaan parameter regresi bootstrap dengan %metode percentil clear; clc; t=input('masukkan banyaknya variabel independen: '); mu=input('masukkan vektor mu yang berisi rata-rata dari masing-masing variabel bebas: '); sig=input('masukkan matriks covariance: '); n=input('masukkan ukuran sampel: '); re=input('masukkan banyaknya sampel bootstrap: '); ip=t; lm=ip; er=input('masukkan standar deviasi galat: '); ts=input('masukkan tingkat signifikansi: '); for pp=1:ip beta(pp,:)=input('masukkan koefisien regresi: '); end tic x=mvnrnd(mu,sig,n); vv=normrnd(0,er,n,1); X=x; jj=X*beta; Y=(X*beta)+vv; In=inv(X'*X); Basli=In*(X'*Y); pro=(Y-(X*Basli)).*(Y-(X*Basli)); s=sqrt(((Y'*Y)-((Basli')*X'*Y))/(n-ip)); ss=sqrt((sum(pro))/(n-ip)); for j=1:re u=rand(n,1); saX=x; w=repmat(u,1,ip); for i=1:n for k=1:n while u(i)>=((k-1)*(1/n))&&u(i)<(k*(1/n))&&u(i)>=0; u(i)=Y(k); w(i,:)=saX(k,:); break end end end Btopibntg=(inv(w'*w))*(w'*u);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
f=length(Btopibntg); for l=1:f Bbntg(l,j)=Btopibntg(l,:); end end Bbntg; Bbntgboot=Bbntg'; SO=sort(Bbntgboot); Bboot=mean(Bbntgboot); Bias=Bboot'-Basli; if n<30 tt=abs(tinv((ts/2),(n-ip))); else tt=abs(norminv((ts/2),0,1)); end for d=1:ip SK=[SO(:,d)]; SEboot(d,:)=s*(sqrt(In(d,d))) Nbb=Basli(d)-(tt*s*(sqrt(In(d,d)))) Nba=Basli(d)+(tt*s*(sqrt(In(d,d)))) Pbb=SK(ceil(re*(ts/2))); Pba=SK(round(re*(1-(ts/2)))); SKlower(d,:)=Nbb; SKupper(d,:)=Nba; PERlower(d,:)=Pbb; PERupper(d,:)=Pba; end SKlower; SKupper; PERlower; PERupper; SEboot; disp(' ') disp(' Beta Topi Asli Beta Topi Bootstrap SE Bootstrap') for qq=1:ip fprintf('%12.5f%20.5f%22.5f%22.5f\n',Basli(qq),Bboot(qq),SEboot(qq),Bias(qq)) end disp(' ') disp('SK normal BB SK normal BA jarak') for qq=1:ip fprintf('%10.5f%19.5f%19.5f\n',SKlower(qq),SKupper(qq),jarSK(qq)) end disp(' ') disp('SK percentil BB SK percentil BA jarak') for qq=1:ip fprintf('%12.5f%20.5f%20.5f\n',PERlower(qq),PERupper(qq),jarPER(qq)) end toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
Program 4.4. %PROGRAM 4.4 %program bootstrap pendekatan parameter regresi dengan regressor FIXED %X= matriks VARIABEL INDEPENDEN yang bersifat tetap/fixed %Y= vektor VARIABEL DEPENDEN %re= banyaknya resampel bootstrap %u= matriks berisi bilangan random %Btopi=Beta topi; vektor parameter penduga koefisien regresi awal. %E= vektor nilai RESIDUAL dari model regresi (digunakan sebagai sampel % asli) %Eboot= matriks berisi hasil resampel dengan metode bootstrap % baris menyatakan ukuran sampel % kolom menyatakan banyaknya resampel (sampel bootstrap) %Ybntg= matriks berisi hasil pendekatan nilai Y bintang bootstrap %Btopibntg= vektor berisi nilai Beta pendekatan dengan bootstrap %Bbntg= matriks berisi nilai rata-rata dari Btopibntg; merupakan hasil akhir %untuk parameter regresi bootstrap %Bboot= vektor berisi hasil pendekatan parameter regresi bootstrap yang %didapat dari rata-rata kolom Bbntg %s= standar deviasi dari eror %Bias= besarnya bias dari parameter bootstrap terhadap parameter penduga %SEboot= vektor berisi hasil pendekatan standar eror untuk parameter regresi bootstrap yang %didapat dari standar deviasi dari kolom Bbntg %SKlower= batas bawah selang kepercayaan parameter regresi bootstrap pendekatan normal %SKupper= batas atas selang kepercayaan parameter regresi bootstrap pendekatan normal %PERlower= batas bawah selang kepercayaan parameter regresi bootstrap dengan %metode percentil %PERupper=batas atas selang kepercayaan parameter regresi bootstrap dengan %metode percentil clear clc tic t=input('masukkan banyaknya variabel independen: '); re=input('masukkan banyaknya sampel bootstrap: '); ip=t+1; ts=input('masukkan tingkat signifikansi: '); x=input('masukkan matriks Variabel Independen: '); Y=input('masukkan matriks Variabel Dependen: '); n=length(x); tic oo=ones(n,1); X=[oo,x]; In=inv(X'*X); Btopi=In*(X'*Y);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
Ytopi=X*(Btopi); E=Y-(Ytopi); tr=E'; n=length(tr); s=((Y'*Y)-(Btopi'*X'*Y))/(n-ip); u=rand(n,re); for j=1:re for i=1:n for k=1:n while u(i,j)<(k*(1/n))&&u(i,j)>=((k-1)*(1/n))&&u(i,j)>=0; u(i,j)=tr(k); break end end end end Eboot=u; XB=X*Btopi; for j=1:re; for i=1:n; A(i,j)=XB(i,1); end end A; Ybntg=A+Eboot; C=(inv(X'*X))*(X'); rows=length(C(:,1)); Bbntg=zeros(rows,re); for j=1:re; Btopibntg=C*Ybntg(:,j); for i=1:rows Bbntg(i,j)=Btopibntg(i,:); end end trp=Bbntg'; Bboot=mean(trp); Bias=Bboot'-Btopi; SO=sort(trp); if n<30 tt=abs(tinv((ts/2),(n-length(Bboot)))); else tt=abs(norminv((ts/2),0,1)); end for d=1:ip SK=[SO(:,d)]; Nbb=Btopi(d)-(tt*s*(sqrt(In(d,d)))); Nba=Btopi(d)+(tt*s*(sqrt(In(d,d)))); Pbb=SK(ceil(re*(ts/2))); Pba=SK(round(re*(1-(ts/2)))); SKlower(d,:)=Nbb; SKupper(d,:)=Nba; PERlower(d,:)=Pbb; PERupper(d,:)=Pba; SEboot(d,:)=s*(sqrt(In(d,d)));
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
132
end SKlower; SKupper; PERlower; PERupper; disp(' ') disp(' Beta Topi Asli Beta Topi Bootstrap SE Bootstrap') for qq=1:ip fprintf('%10.5f%20.5f%23.5f%15.5f\n',Btopi(qq),Bboot(qq),SEboot(qq),Bias(qq)) end disp(' ') disp('SK normal BB SK normal BA') for qq=1:ip fprintf('%10.5f%19.5f\n',SKlower(qq),SKupper(qq)) end disp(' ') disp('SK percentil BB SK percentil BA') for qq=1:ip fprintf('%12.5f%20.5f\n',PERlower(qq),PERupper(qq)) end toc Program 4.5. %PROGRAM 4.5 %program bootstrap pendekatan parameter regresi dengan regressor FIXED %t= banyaknya variabel independen %mu= vektor berisi t elemen yang berisi rata-rata untuk masing-masing %variabel independen %sig= matriks berukuran txt yang elemen diagonalnya berisi variansi dari %variabel independen yang indeksnya bersesuaian. harus semi definite %positif. %n= ukuran sampel %re= banyaknya sampel bootstrap %ip= banyaknya parameter regresi %er= standar deviasi untuk bilangan random normal %ts= tingkat signifikansi selang kepercayaan parameter regresi %beta= koefisien regresi populasi %vv= vektor berisi bilangan random normal dengan mean=0 dan var=er^2 yang digunakan sebagai eror untuk %Y. %X= matriks VARIABEL INDEPENDEN %Y= vektor VARIABEL DEPENDEN %u= matriks berisi bilangan random %Basli=Beta topi; vektor parameter penduga koefisien regresi asli. %s= standar deviasi dari eror%E= vektor nilai RESIDUAL dari model regresi (digunakan sebagai sampel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
133
% asli) %Eboot= matriks berisi hasil resampel dengan metode bootstrap % baris menyatakan ukuran sampel % kolom menyatakan banyaknya resampel (sampel bootstrap) %Ybntg= matriks berisi hasil pendekatan nilai Y bintang bootstrap %Btopibntg= vektor berisi nilai Beta pendekatan dengan bootstrap %Bbntg= vektor berisi nilai rata-rata dari Btopibntg; merupakan hasil akhir %untuk parameter regresi bootstrap %Bboot= vektor berisi hasil pendekatan parameter regresi bootstrap yang %didapat dari rata-rata kolom Bbntg %Bias= besarnya bias dari parameter bootstrap terhadap parameter penduga %SEboot= vektor berisi hasil pendekatan standar eror untuk parameter regresi bootstrap yang %didapat dari standar deviasi dari kolom Bbntg %SKlower= batas bawah selang kepercayaan parameter regresi bootstrap pendekatan normal %SKupper= batas atas selang kepercayaan parameter regresi bootstrap pendekatan normal %PERlower= batas bawah selang kepercayaan parameter regresi bootstrap dengan %metode percentil %PERupper=batas atas selang kepercayaan parameter regresi bootstrap dengan %metode percentil clear clc t=input('masukkan banyaknya variabel independen: '); mu=input('masukkan vektor mu yang berisi rata-rata dari masing-masing variabel bebas: '); sig=input('masukkan matriks covariance yang elemen diagonalnya berisi variansi dari variabel bebas yang bersesuaian: '); n=input('masukkan banyaknya jumlah sampel: '); ip=t; re=input('masukkan banyaknya sampel bootstrap: '); lm=ip; er=input('masukkan standar deviasi dari galat: '); ts=input('masukkan tingkat signifikansi: '); tic for pp=1:ip beta(pp,:)=input('masukkan koefisien regresi: '); end x=mvnrnd(mu,sig,n); vv=normrnd(0,er,n,1); X=x; jj=X*beta; Y=(X*beta)+vv; In=inv(X'*X); Btopi=(In*(X'*Y));
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
134
Ytopi=X*(Btopi); E=Y-(Ytopi); tr=E'; s=sqrt(((Y'*Y)-((Btopi')*X'*Y))/(n-ip)); a=length(tr); u=rand(a,re); for j=1:re; for i=1:a; for k=1:a; while u(i,j)<(k*(1/a))&&u(i,j)>=((k-1)*(1/a))&&u(i,j)>=0; u(i,j)=tr(k); break end end end end Eboot=u; XB=X*Btopi; for j=1:re; for i=1:a; A(i,j)=XB(i,1); end end A; Ybntg=A+Eboot; C=In*X'; rows=length(C(:,1)); Bbntg=zeros(rows,re); for j=1:re; Btopibntg=C*Ybntg(:,j); for i=1:rows; Bbntg(i,j)=Btopibntg(i,:); end end trp=Bbntg'; Bboot=mean(trp); Bias=Bboot'-Btopi; SO=sort(trp); if a<30 tt=abs(tinv((ts/2),(a-(length(Bboot))))); else tt=abs(norminv((ts/2),0,1)); end for d=1:ip SK=[SO(:,d)]; SEboot(d,:)=s*(sqrt(In(d,d))) Nbb=Btopi(d)-(tt*(SEboot(d))); Nba=Btopi(d)+(tt*(SEboot(d))); Pbb=SK(ceil(re*(ts/2))); Pba=SK(round(re*(1-(ts/2)))); SKlower(d,:)=Nbb; SKupper(d,:)=Nba; PERlower(d,:)=Pbb; PERupper(d,:)=Pba; end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
135
SKlower; SKupper; PERlower; PERupper; disp(' ') disp(' Beta Topi Asli Beta Topi Bootstrap SE Bootstrap Bias') for qq=1:ip fprintf('%10.5f%20.5f%23.5f%15.5f\n',Btopi(qq),Bboot(qq),SEboot(qq),Bias(qq)) end disp(' ') disp('SK normal BB SK normal BA') for qq=1:ip fprintf('%10.5f%19.5f\n',SKlower(qq),SKupper(qq)) end disp(' ') disp('SK percentil BB SK percentil BA') for qq=1:ip fprintf('%12.5f%20.5f\n',PERlower(qq),PERupper(qq)) end toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI