Post on 06-Jul-2018
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
1/53
KALKULUS LANJUT
Pertemuan ke-2
Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
2/53
Fungsi Balikan
Purcell et all. (2003) :Suatu fungsi f mengambil suatu nilai x daridaerah asalnya D dan memadankannya dengannilai tunggal y dari daerah hasilnya R.
Jika beruntung, kita dapat membalikkan f , yakniuntuk semua nilai y dalam R, kita dapat secarapasti kembali dan mendapatkan nilai x tempatdia berasal.
Fungsi baru ini, yang mengambil y danmemadankannya dengan x, dinyatakan dengan
f -1. Fungsi ini dinamakan balikan (invers).
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
3/53
Fungsi Balikan Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka inversfungsi f adalah fungsi dari himpunan ke B ke himpunan A
Ingat :
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
4/53
Grafik Fungsi Balikan
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
5/53
Fungsi BalikanFungsi f (x)=x+4 dengan domain A={1,2,3,4} dengan daerah hasilB={5,6,7,8) dapat dituliskan sebagai berikut :
Fungsi invers dari f (x) atau f -1(x) yang merupakan sebuah fungsidari daerah hasil B ke daerah asal (domain) A dapat dituliskansebagai :
4; 1, 5 , 2, 6 , 3, 7 , 4, 8 f x x
1 4; 5,1 , 6, 2 , 7, 3 , 8, 4 f x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
6/53
Keberadaan Fungsi BalikanTidak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, jikay= f (x)=x2 tidak mempunyai balikan, kecuali kalau daerah definisinyadibatasi.
Contoh :
Perlihatkan bahwa f (x)=x5 +2x+1 memiliki balikan.
Penyelesaian :
f’(x)=5x4 +2 > 0 untuk semua x
Jadi f naik pada seluruh garis real, sehingga f memiliki balikan.
Teorema A (Purcell, et all, page 333, 2003) : Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki
balikan. 1 1 f f x y f f y x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
7/53
Cara Menentukan Fungsi Invers
Contoh :
Perlihatkan bahwa :
Memiliki fungsi balikan dan carilah f -1(x)
Langkah mencari fungsi invers (Purcell, et all, page 335, 2003) :1. Selesaikan persamaan y= f (x) untuk x dalam bentuk y.2. Gunakan f -1(y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.3. Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus untul f -1(x)
1
x y f x
x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
8/53
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
9/53
Cara Menentukan Fungsi Invers
Langkah 2 :
Langkah 3 :
1
1
y f y
y
1
1
x f x
x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
10/53
Turunan Fungsi Invers
Teorema B (Purcell, et all, page 336, 2003) : Jika f terdiferensiasikan dan monoton murni pada selang I . Jika f’(x)≠0 di suatu x tertentu dalam I , maka f -1 terdiferensiasikan di
titik yang berpadanan y= f (x) dalam daerah hasil f dan
1 1
1
f y f x
dx
dydy
dx
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
11/53
Turunan Fungsi InversContoh :Andaikan y= f (x)=x5 +2x+1, carilah ( f -1)’(4)!
Penyelesaian :
Walaupun kita dapat mencari f -1
,pada kasus ini perhatikan bahwa jika y=4, maka 4=x5 +2x+1 yang diperoleh bahwa x=1.
Kemudian :
y'= f’(x)=5x4 +2
Maka :
1
4
1 1 14
1 75 1 2 f y
f
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
12/53
Fungsi Eksponen Asli
Purcell, et all, (page 339, 2003):
Louis Leithol, (page 405, 1976):
Definisi :Balikan (invers) ln disebut eksponen asli dan dinyatakan olehexp , jadi :
exp ln x y y x
Definisi :
The exponential function is the inverse of the natural logarithmic function and it is defines by :
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
13/53
Fungsi Eksponen Asli
Berdasarkan definisi maka :i. Exp (ln x) = x, untuk x>0
ii. ln (exp y) = y, untuk semua y
Oleh karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi balikan maka grafik
y=exp x adalah grafik y=ln x yang dicerminkan terhadap garis y=x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
14/53
Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli
Purcell, et all, (page 339, 2003):
Louis Leithol, (page 407, 1976):
Definisi :Huruf e menyatakan bilangan real positif unik sedemikianrupa sehingga ln e = 1
Definisi :The number e is defined by the formula :
e=exp 1
The number e is a trancendental number, that is, it cannot beexpressed as the root of any polynomial with integer coeffisients.
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
15/53
Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli
Paul A. Foerster (page 288, 2005) :
Robert Oman & Daniel Oman (page 134, 1999) :
the number e is defined to be this limit. The equivalent definition
the first definition of e involves a limit. The number e is defined as :
1
1lim
x
n x
11lim
x
n
e
x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
16/53
Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli
Robert Oman & Daniel Oman (page 134, 1999) :
Berdasarkan hasil perhitungan limit di atas, maka sama halnyaseperti yang disebutkan oleh Purcell, et all, Louis Leithol, Paul A.
Foerster dan Robert Oman & Daniel Oman :
2, 718281828459045 2, 72e
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
17/53
Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli
Purcell, et all, (page 339, 2003): Jika r adalah sebarang bilangan rasional :
Dengan demikian untuk semua nilai x (rasional & irasional) :
exp ln exp ln expr r e e r e r
exp
x
e x
Teorema A (Purcell, et all, page 340, 2003):Andaikan a dan b sebarang bilangan real, maka :
a b a b
aa b
b
e e e
ee
e
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
18/53
Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli
Proof :
exp ln
exp ln ln
exp ln ln
exp
a b a b
a b
a b
e e e e
e e
a e b e
a b
e
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
19/53
Turunan Fungsi Eksponen Asli
Purcell, et all (page 340, 2003):
Apabila u= f (x) terdiferensiasikan, maka menurut aturan rantai :
x x
x D e e
u u x x D e e D u
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
20/53
Turunan Fungsi Eksponen Asli
Contoh :Tentukan :
Penyelesaian :Dengan menggunakan u=√x diperoleh bahwa
x
x D e
1
2
1
2
2
x x
x x
x
x
D e e D x
e x
e
x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
21/53
Turunan Fungsi Eksponen Asli
Contoh :Tentukan :
Penyelesaian :
Dengan menggunakan u=x2
ln x diperoleh bahwa
2ln x x
x D e
2 2
2
2
2
2
ln ln 2
ln 2
ln
ln
ln 2
ln
12 ln
2 ln
1 2 ln
1 ln
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
D e e D x x
e x x x x
e x x x
xe x
xe x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
22/53
Integral Fungsi Eksponen AsliPurcell, et all (page 341, 2003):
Contoh :
Tentukan
x x
u u
e dx e C
e du e C
4 xe dx
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
23/53
Integral Fungsi Eksponen Asli
Andaikan u=-4x maka du=-4dx maka :
4
4
1
4
14
1
4
1
4
x u
u
u
x
e dx e du
e du
e C
e C
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
24/53
Integral Fungsi Eksponen Asli
Contoh :Tentukan
Misalkan u=-3x2 maka du=-6x dx sehingga :
23 x xe dx
2
2
3
3
1
6
1
6
1
61
6
x u
u
u
x
xe dx e du
e du
e C
e C
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
25/53
Fungsi Eksponen dan Logaritma
Umum
Purcell, et all (page 343, 2003):
Louis Leithol, (page 414, 1976):
Untuk a>0 dan sebarang bilangan real x
We have that if a is any positive number and x is anyreal number, then the function f defined by :
Is called the exponential function to the base a
ln x r xa e
ln x r xa e
x
f x a
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
26/53
Sifat-sifat a x
Teorema A (Purcell, et all, page 344, 2003):
Jika a>0, b>0 dan x dan y adalah bilangan-bilangan real maka :
x y x y
y x xy
x x
x
x x y
y
x x x
i a a a
ii a a
a aiii
b b
aiv aa
v ab a b
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
27/53
Sifat-sifat a x
Teorema B (Purcell, et all, page 344, 2003):
Contoh :
Cari
ln
1, 1
ln
x x
x
x x
D a a a
a dx a C a
a
3 x x D
1
21 3 ln 3
3 3 ln 3 3 ln 32 2
x x x x
x x D D x x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
28/53
Sifat-sifat a x
Contoh :Carilah
Misalkan u=x3 maka du = 3x2 dx, sehingga :
322 x x dx
3
3
2 12 2
3
12
3
1 12
3 ln 2
2
3 ln 2
x u
u
u
x
x dx du
du
C
C
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
29/53
Fungsi loga
Purcell, et all. (page 345, 2003): Jika 0
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
30/53
Fungsi loga
Ingat kembali bahwa logaritma natural (asli) memiliki basis e,kemudian perhatikan bahwa log, adalah fungsi invers dari f (x)=ex
sehingga lambang lain untuk ln adalah :
Jika y=loga x sehingga x=ay maka :
Dengan demikian
log lne x x
ln ln x y a
lnlogln
1log
ln
a
x a
x xa
D x x a
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
31/53
Fungsi loga
Contoh : Jika carilah dy/dx
Andaikan u=x4 +13 maka berdasarkan aturan rantai :
410log 13 y x
3
3
4
14
ln10
4
13 ln 10
dy dy du
dx du dx
xu
x
x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
32/53
Fungsi ax,xadan xx
Bedakan bahwa :
Fungsi Eksponen :
Fungsi pangkat :
x f x a
a f x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
33/53
Fungsi ax,xadan xx
Turunan dari masing-masing fungsi adalah :
Fungsi Eksponen :
Fungsi pangkat :
ln x x
x x D f x D a a a
1a a x x D f x D x ax
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
34/53
Fungsi ax,xadan xx
Integral dari masing-masing fungsi adalah :
Fungsi Eksponen :
Fungsi pangkat :
1, 1ln
x x
a dx a C aa
11
, 1
1
a a f x dx x dx x C a
a
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
35/53
Fungsi xx
Jika y=xx dan x>0 , maka
ln ln
ln ln
1 1ln
1 ln
1 ln
x
x
x
x
x
x
y x
y x
y x x
D y x x y x
D y y x
D y x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
36/53
Contoh
Carilah :
Misalkan u=1/x maka du=(-1/x2)dx maka :
1
2
5 xdx
x
1
2
1
55
5
5
ln 5
5
ln 5
xu
u
u
x
dx du x
du
C
C
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
37/53
Fungsi Trigonometri
Trigonometri
Sinus
Kosinus
Tangen
Kotangen
Sekan
Kosekan
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
38/53
Fungsi Balikan Trigonometri
Purcell, et all. (page 360, 2003):
Note :
arcsin=sin-1
arccos=cos-1
Definisi :Untuk memperoleh balikan dari sinus dan cosinus, kita membatasi daerahasal mereke masing-masing pada selang [-π/2,π/2] dan [0,π]. Sehingga
1
1
sin sin2 2
cos cos 0
x y y x dan x
x y y x dan x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
39/53
Grafik Fungsi Balikan Sin x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
40/53
Grafik Fungsi Balikan Cos x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
41/53
Fungsi Balikan Trigonometri
Contoh :Hitunglah
1
1
1
2
sin 2
1cos
2
cos cos 0, 6
a
b
c
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
42/53
Fungsi Balikan Trigonometri
Ingat kembali bahwa :sin cos
0 0 1
1 3
6 2 2
2 2
4 2 2
3 1
3 2 2
1 02
2 3 1
3 2 2
3 2 2
4 2 2
5 1 3
6 2 2
0 1
x x x
1
1
1
2sin
2 4
1 2cos
2 3
cos cos 0, 6 0, 6
a
b
c
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
43/53
Fungsi Balikan Trigonometri
Purcell, et all. (page 361, 2003):
Definisi :Untuk memperoleh balikan dari tangen dan sekan, kita membatasi daerahasal mereka masing-masing pada selang [- π /2, π /2] danSehingga :
1
1
1 1
tan tan2 2
sec sec 0 ,2
1 1sec sec coscos
x y y x dan x
x y y x dan x x
x y x y
0, ,2 2
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
44/53
Fungsi Balikan Trigonometri
Contoh :Hitunglah
1
1
1
1
1
1
tan 1
tan 3
tan tan 5, 236
sec 1
sec 2
sec 1, 32
a
b
c
d
e
f
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
45/53
Fungsi Balikan Trigonometri
Ingat kembali
1
1
1
1 1
1 1
1 1
tan 14
tan 3 3
tan tan 5, 236 1, 0471853
1sec 1 cos
1
1sec 2 cos 2 3
1sec 1, 32 cos 2, 4303875
1, 32
a
b
c
d
e
f
sin
tan cos
x
x x
sin cos
0 0 1
1 3
6 2 2
2 2
4 2 2
3 1
3 2 2
1 02
2 3 1
3 2 2
3 2 2
4 2 2
5 1 3
6 2 2
0 1
x x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
46/53
Fungsi Balikan Trigonometri
Purcell, et all. (page 362, 2003):
Teorema A
1 2
1 2
1 2
2
1
2
sin cos 1
cos sin 1
sec tan 1
1 , 1tan sec1 , 1
i x x
ii x x
iii x x
x xiv x x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
47/53
Fungsi Balikan Trigonometri
Contoh :Hitunglah
Ingat bahwa : sin 2θ=2 sin θ cos θ, maka :
1 2sin 2 cos3
1 1 1
2
2 2 2sin 2 cos 2 sin cos cos cos
3 3 3
2 22 1
3 3
4 5
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
48/53
Turunan Fungsi Trigonometri
Purcell, et all. (page 363, 2003):
2
2
sin cos
cos sin
tan sec
cot csc
sec sec tancsc csc tan
x
x
x
x
x
x
D x x
D x x
D x x
D x x
D x x x D x x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
49/53
Turunan Fungsi BalikanTrigonometri
Purcell, et all. (page 363, 2003):
Teorema B
1
2
1
2
1
2
1
2
1sin , 1 1
1
1cos , 1 1
1
1tan
1
1sec , 11
x
x
x
x
i D x x x
ii D x x x
iii D x x
iv D x x x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
50/53
Turunan Fungsi Balikan Trigonometri
Contoh :Carilah
Gunakan teorema B dan aturan rantai
1sin 3 1 x D x
1
2
2
2
2
2
1sin 3 1 3 1
1 3 13
1 3 1
3
1 9 6 1
3
1 9 6 1
3
9 6
x x D x D x
x
x
x x
x x
x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
51/53
Turunan Fungsi Balikan Trigonometri
Contoh :Seorang berdiri di puncak sebuah bukit tegak kira-kira 200 kaki diatas sebuah danau. Dia mengamati perahu bermotor yangbergerak lurus menjauhi kaki bukit dengan laju 25 kaki tiap detik.Berapa laju perubahan sudut penglihatan θ apabila perahu berada
pada jarak 150 kaki dari kaki bukit itu
θ
200
x
1
2 2
200tan
1 200 200
40.0002001
x
d d dx dx dx
dt dx dt x dt x dt
x
x=150 dan dx/dt=25, maka 0, 08d
dt
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
52/53
Integral Fungsi BalikanTrigonometri
Purcell, et all. (page 364, 2003):
1
2
1
2
1
2
1sin
1
1tan
1
1sec
1
i dx x C x
ii dx x C x
iii dx x C
x x
8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)
53/53
TERIMA KASIH