Permbledhje e Ligjeratave Statistike- Rahmije Mustafa

Bazat e Statistikës 2010

Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu 1

Çështë Statistika ?Qëllimet:

Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të :

Kuptoni rolin dhe rëndësinë e statistikës.

Spjegoni se çka kuptoni me dukuri masive variabile, mostër, njësistatistikore dhe variabël.

Bëni dallimin në mes të variablave kualitative dhe variablavekuntitative

Bëni dallimin në mes të variablave diskrete dhe variablave tëvazhdueshme.

Kuptoni se çka është Statistika Deskriptive dhe StatistikaReprezentative.

Keni një paraftyrim rreth zhvillimit historik të statistikës.

Kuptoni rëndësinë e kompjuterëve dhe softverëve për aplikimin e metodave statistikore

Kuptimi dhe rëndësia e statistikës

H.G.Wells: ”Mënyra statistikore e të menduarit një ditë do të jetë e domosdoshme për qytetari efektive si aftësia për të lexuar “

Më 1998, David Moore, kryetar i Asociacionit të Statistikës Amerikane: ”Edhe pse statistika është shkencë matamatikore, ajo nuk është pjesë e matematikës, dhe as që duhet studentëve t’iu spjegohet në atë mënyrë”. Statistika ka metodën e vet induktive të të menduarit që dallon dukshëm nga metoda deduktive në matematikë.

2002- Statisticientët (50) më të njohur në botë:

“Statistika nuk është fushë e matematikës,

por vetëm shfrytëzues i madh i matematikës

si dhe i metodave të tjera të llogaritjes”

Gjithashtu kanë theksuar se statistika ka natyrë

multidiciplinare dhe se qëllimi i përbashkët i

profesionit të statisticientit është nxjerrja e

informatave nga të dhëna të llojllojshme.

Statistika për biznes dhe ekonomi:

Statistika është shkencë e grumbullimit, organizimit, prezantimit , analizimit dhe interpretimit të dhënave numerike me qëllim të ndihmës për marrjen e vendimeve më efektive në kushtet e pasigurisë.

Për të kuptuar statistikën duhet analizuar Dukuria variabile

Dukuria variabile është ajo dukuri në të cilën ndikojnë shumë faktorë dhe për këtë arsye ajo në paraqitjen e saj merr vlera të ndryshme nga një rast në tjetrin.

Pse paraqiten variacionet?

Për arsye se në dukuri veprojnë , në përgjithësi, e veçanërisht në ekonomi dhe shoqëri, në të njejtën kohë shumë faktorë.

Pse duhet të hulumtohen variacionet?

Që të shikohet se çka është e rëndësishme në to e çka jo, sa janë devijimet(shmangiet) në raport me “normalen”

Definicioni i statistikës

Statistika është shkencë e

grumbullimit, organizimit, prezantimit ,

analizimit dhe interpretimit të dhënave

të dukurive masive variabile.

Pse duhet të mësohet statistika?

Arsyeja e parë: Gjithkund hasim në të dhëna numerike;

Arsyeja e dytë : Teknikat statistikore shfrytëzohen për të marrë vendime të cilat kanë ndikim në jetën tonë, gjegjësisht që ndikojnë në mirëqenjen tonë personale.

Arsyeja e tretë: Njohuritë për metodat statistikore ndihmojnë që të kuptojmë pse janë marrë vendimet dhe të kuptojmë më mirë se çfarë efekti kanë në jetën tonë, etj.

Kush e shfrytëzon statistikën ?

Teknikat statistikore gjerësisht shfrytëzohen nga marketingu, kontabiliteti , kontrolli i kualitetit, konsumatorët, njerëzit profesional të sportit, administrata e spitaleve, arsimtarët, politikanët, fizicientët etj…..

Përdorimi i gjerë i kompjuterëve, a para se gjithash i softverëve të ndryshëm statistikor, i ka krijuar hapësirë shfrytëzuesve të statistikës që në mënyrë relativisht të thjeshtë të përdoret në shumë disiplina shkencore; mjekësi, psikologji, farmaci, veterinari, astronomi,biologi, sociologji, fizikë, gjeologji, inxhinjeri, ekonomi, biznis, etj.

Elementet e analizës statistikore

Popullimi / tërësia e përgjithshme ose

dukuria masive

Mostra

Njësia statistikore (individi)

Të dhënat statistikore (atributi ose

tipari statistikor), Variablat.

Popullimi / tërësia e përgjithshme ose

dukuria masive

Dukuritë masive / kolektive ose

popullimi statistikor janë grumbull i

njerëzve, objekteve, sendeve, rasteve,

ngjarjeve etj, që janë me interes. Dukuria

masive është sasia e diferencuar në

mënyrë cilësore.

Popullimi / tërësia e përgjithshme ose dukuria

masive

Varëshisht nga qëllimi i hulumtimit, tërësia e përgjitshme

mund të përbëhet nga njerëzit, kafshët, ngjarjet, objektet,

sendet.

Kështu për shembull tërësinë statistikore mund ta

përbëjnë:

- të gjithë banorët e një qyteti,

- të gjithë studentët e një fakulteti,

- fondi i kafshëve në një shtet,

- të gjitha ndërmarrjet në një regjion, ose komunë ose

shtet,

- të gjithë kompjuterët në një universitet, etj.

masive

Tërësinë statistikore mund ta përbëjnë edhe

ngjarjet si:

vizitat turistike,

importi dhe eksporti,

prodhimi dhe konsumi,

veprat kriminale,

fatkeqësitë e komunikacionit, etj.

masive

Tërësia e përgjithshme duhet të definohet saktë

nga aspekti:

Përmbajtësor; (punëtorët)

Hapësinor; (ndërmarrjet e vogla në Kosovë)

Kohor. (01.06.2008)

Shembull. Popullimi statistikor: Punëtorët në

ndërmarrjet e vogla në Kosovë më 01.06.2008

Mostra/Zgjedhja

Mostra është porcion ose pjesë e

popullimit me interes, përmes së cilës

merret vendimi, bëhet vlerësimi ,

parashikimi ose përgjithësimi rreth

popullimit.

Populacioni dhe mostra

Populacioni/dukuria masive

Mostra

Pse mostra?

Pamundësia fizike për të kontaktuar me të gjitha njësitë e popullimit.

Shpenzimet e studimit të të gjitha njësive në popullim.

Rezultatet e mostrës zakonisht janë adekuate.

Kontaktimi i të gjitha njësive do të marrë shumë kohë.

Natyra shkatërruese e disa provave/testeve.

Njësia statistikore (individi)

Njësia statistikore (individi) paraqet elementet

individuale prej të cilave përbëhet tërësia e

përgjithshme ose dukuria masive të cilat kanë

karakteristika variabile.

Njësia (individi ) paraqet pjesën përmbajtësore

të dukurisë masive dhe ka rëndësi të veçantë.

Shembull: Regjistrimi i popullsisë – banori, për

standardin jetësor- familja, etj.

Të dhënat statistikore, (atributi ose

tipari- VARIABLAT)

Të dhënat statistikore, (atributi ose

tipari (variablat) paraqesin çdo veti të

veçantë për secilin dhe të përbashkët për

të gjitha njësitë statistikore.

Tipet (llojet ) e Variablave

Variabla kualitative ose Atributive:

karakteristikat e variablave që studiohen

janë jo numerike dhe mund të jenë

nominale dhe rendore/shkallore.

SHEMBUJ: Gjinia, përkatësia fetare, tipi i

automobilit, vendi i lindjes, ngjyra e syve

Tipet (llojet ) e Variablave

Variabla kuantitavie (sasiore-numerike):variablat mund të raportohen në mënyrë numerike dhe mund të jenë në intervaledhe proporcionale.

SHEMBULL: bilanci në llogarinë e juaj bankare, mosha e punëtorëve të një firme, numri i fëmijëve në një familje, etj.

Variabla kuantitavie (sasiore-

numerike)

Variablat kuantitative mund të klasifikohen si

diskrete - të ndërprera dhe të vazhdueshme-

kontinuale .

Variablat diskrete - të ndërprera: mund të

marrin vetëm disa vlera të caktuara dhe

gjithmonë ka “ndërprerje” në mes të vlerave.

SHEMBULL: numri i dhomave të fjetjes në

shtëpi ( 1,2,3,.., etj), numri i anëtarëve të

familjes, etj.

Variabla kuantitavie (sasiore-

numerike)

Variablat e vazhdueshme - kontinuale:

mund të marrin çfarëdo vlere brenda një

rangu të caktuar.

SHEMBULL: Koha e kaluar me aeroplan

prej Prishtine në Gjenevë, gjatësia e

nxënësve të një klase, etj.

Përmbledhje e llojeve të variablave

Të dhënat/variablat

Kualitative/Atributive)

Diskrete/të ndërprera

Numerike/Kuantitative)

Të vazhdueshme/kontinuale

Shembuj:•gjinia, nacionalitetingjyra e flokëve,etj

Shembuj: •Numri i fëmijëve, Numri i të punësuarëve, Numri i kinemave Numri i veturave të shitura

Shembuj: •Mosha e studentëveKilometrat e kaluara në mes të dy distancaveGjatësia trupore enxënësve, etj

Të dhënat/variablat

Të dhënat statistikore mund të klasifikohen

edhe sipas nivelit të matjes së tyre.

Niveli nominal i të dhënave (të parënditshme)

Niveli ordinal i të dhënave (të renditëshme)

Niveli interval i të dhënave

Niveli proporcional i të dhënave

Shembull për të dhënat nominale/ të parenditshëm

Variablat kualitative Kategoritë/Modalitetet

Pronarë i automobilit Po Jo

Gjendja martesore I/e martuar; I/e pamartuar; I/e ve; I/e

ndarë

Gjinia Mashkull; Femër

Veprimtaritë ekonomike Industria dhe xehtaria; bujqësia;

tregtia; pylltaria, ndërtimtaria;

komunikacioni dhe lidhjet; etj

Format ligjore të

shoqërive tregtare

Biznes individual, Partneritet,

Korporatë, etj

Shembuj pët të dhënat ordinale/ të renditshme

Variablat kualitative Kategoritë/Modalitetet

Kënaqja me produktin Shumë i pakënaqur; pak i pakënaqur;

neutral, Pak i kënaqur; shumë i kënaqur

(Shkallët e Likertit)

Thirrjet akademike të

profesorëve

Profesor i rregullt; Profesor i asocuar;

Profesor asistent; Assistent; Asistent i ri.

Suksei i studentëve 10; 9; 8; 7; 6; 5.

Shembuj të shkallës intervale dhe proporcionale të

dhënave

Variablat kuantitative Niveli i matjeve

Temperatura (në shkallë

Celsius ose Fafrenheit)

Intervale

Gjatësia (në metra dhe cm) proporcionale

Pesha (në litër ose kg) Proporcionale

Pagat (në euro apo valutë

tjerër)

Proporcionale

Shembull. Vrojtimi i punëtorëve të firmës “X”

Emri dhe

mbiemri

Gjinia Mosha Pozita Pervoja

e punes

Paga vjetore

Albulena Z. F 30 Menaxhere 12 20

Afrim T. M 25 Shefe e shitjes 13 15

Vjollca M F 22.3 Financa 10 10

Aferdita I. F 45 Marketing 2 8

Agon T. M 32.5 Shites 5 6

Genc M. M 23.8 Shites 8 6

Adelina B. F 27 Shites 6 6

Bardha M. F 19 Shites 14 6

Yll T M 27 Shofer 12 5

Valton K. M 28.6 Shofer 3 5

Shembull, vazhdim

Popullimi/tërësia e përgjithshme: Të gjithë

punëtorët e firmës “X”.

Mostra/Zgjedhja : Disa elemente të

popullimit,p.sh. Albulena, Ylli, Vjollca, Genci.

Njësitë statistikore: Albulena, Afrimi, Vjollca, …

Valtoni.

Variabla cilësor: Gjinia, Pozita në firmë/

Variabla numerikë: Mosha, Përvoja e punës,

Paga vjetore.

Burimet e të dhënave statistikore

Primare

Mbledhja e të dhënave

Sekondare

Të dhëna të grumbulluara

Vrojtimi

Eksperimentimi

Studimi

Të printuara ose

elektronike

Burimet e të dhënave statistikore

Burime primare janë ato të cilat krijohen përmes vrojtimit dhe përmbledhjes së të dhënave për qëllime të hulumtimit të fenomeneve me interes.

Burime Sekonadare janë të dhënat që sigurohen nga burime sekondare siç janë entet e statistikave, ose institucione të autorizuara për mbledhjen e të dhënave primare (banka qendrore, shërbimi i doganave, shërbimet e ndryshme komunale, raportet për afarizmin e firmave etj).

Burimet sekondare gjinden në vjetar të ndryshëm statistikorë në nivel ndërkomëtar, rajonal dhe kombëtar, në artikujt e publikuar, në revista, gazeta, etj.

Burimet ndërkombëtare

Organizata e Kombeve të Bashkuara-“Statistical yearbook” (Vjetari statistikor ), Demgraphic yearbook (Vjetari demografik), Yearbook of national accounts statistic ( Vjetari statistikor i llogarive kombëtare) etj.

Organizata Ndërkombëtare e Punës (ILO)- Yearbook of Labour Statistic ( Vjetari statistior i punës).

Organizata Ndërkombëtare e Shëndetësisë - “World Health Statistic annual” (Vjetari Statistikor i shëndetit botëror).

Organizata Ndërkombëtare e Ushqimit (FAO)-“”Production yearbook”(Vjetari i prodhimit), etj.

Burime rajonale

Instituti i Statistikës së Unionit Evropian (EUROSTAT) publikon një gamë të gjerë periodikësh, zakonisht vjetor ose mujor, të cilët përmbajnë statistikat e fenomeneve të ndryshme të jetës ekonomike dhe sociale të vendeve që bëjnë pjesë në Bashkimin Evropian.

Enti i Statistikës i BE, Eurostat-i, i jep rekomandimet lidhur me definicionet, klasifikimet dhe standardet. Për shtetet anëtare të BE disa nga këto rekomandime janë të obligueshme. Natyrisht, standardet ndërkombëtare kanë për qëllim mundësimin e krahasueshmërisë ndërmjet shteteve dhe në kohë.

Burime nacionale

Në Kosovë, Enti i Statistikave të

Kosovës (ESK) bënë publikimin e një

numri të caktuar të statistikave zyrtare

përmes publikimeve të ndryshme si:

Publikimet e bujqësisë dhe të ambientit,

Publikimet ekonomike,

Publikimet e popullsisë,

Publikimet e përgjithshme etj.

Enti i Statistikave të Kosovës (ESK)

Në kuadër statistikave të përgjithshme, Enti i statistikës rregullisht publikon Buletinët mujor mbi statistikat e përgjithshme të cilët përcjellin trendët dhe ecuritë e çështjeve të ndryshme në Kosovë si: Statistikat vitale (lindjet, vdekjet, kurorëzimet, shkurorëzimet, etj)

Tregu i punës;

Kushtet sociale;

Statistikat ekonomike të përgjithshme;

Prodhimi i energjisë dhe rrymës elektrike;

Transporti dhe komunikimi;

Tregtia e jashtme;

Çmimet, gjegjësisht indeksi i Çmimeve të konsumit (IÇK) i cili mat nivelin e kostos së jetesës së banorëve të Kosovës.

Statistikat zyrtare

Statistikat zyrtare formojnë një pjesë të rëndësishme të infrastrukturës informative të shoqërisë. Statistikat zyrtare duhet të sigurojnë informacione globale lidhur me situatën dhe trendët zhvillimore.

Statistikat e mira zyrtare duhet të japin një pasqyrë gjithëpërfshirëse të shoqërisë, andaj duhet t’i mbulojnë të gjithë sektorët, aspektet dhe konditat.

Statistikat duhet të distribuohen në një formë që mundëson qasje të lehtë dhe formë të kuptueshme në mënyrë që t’i shfrytëzojnë të gjithë të interesuarit në shoqëri.

Në bashkësinë ndërkombëtare, Kombet e Bashkuara i kanë përpiluar rekomandimet përkitazi me statistikat zyrtare dhe statistikat përkatëse të lëmenjve të ndryshëm.

Pak histori për statistikën

Zhvillimin e statistikës në vija të trasha mund ta ndajmë në tri etapa:

Mbledhja e të dhënave për gjendjen e popullsisë, ushtarëve, detyruesve tatimor, para se gjithash për udhëheqjen e politikave të taksave.

Zhvillimi i teorisë së probabilitetit, statistikës i ka dhënë një mekanizëm të domosdoshëm i cili mundëson që në bazë të mostrës të bihen vendime të rëndësishme për tërësinë e përgjithshme.

Revolucioni në zhvillimin dhe disponueshmëria me kompjutor në dhjetë vitet e fundit i ka ofruar statistikës mundësi të jashtëzakonshme që ajo të jetë a aplikueshme në të gjitha fushat shkencore dhe të shfrytëzojë metodat e reja të cilat nuk do të mund të aplikoheshin pa mbështetjen e kompjuterëve.

Rritja dhe zhvillimi i statistikës moderne

Nevojat e qeverive për të mbledhur

të dhëna për qytetarët e tyre

Zhvilli i teorisë së

probabilitetit

Zbulimi i kopmpjuterit

Sot konsiderohet se fjala “Statistikë”rrjedh nga shprehja e re latine statisticum collegium (ligjërata për punët e shtetit).

Fjala “statistikë” rrjedh prej latinishtes mesjetare “status”, që tregon rendin politik, në këtë kuptim statistika është shkenca që përshkruan faktet më të rëndësishme të shtetit.

Njeriu që për herë të parë e përdori emrin “Statistikë” në formë të shkruar është Gottfried Achenvall më 1784, i cili konsideron se detyra e statistikës është sistematizimi i të dhënave për popullsinë me qëllim të udhëheqjes së

politikës shtetërore.

Gottfried Achenwall (1723-1762)

Në Gjermani zhvillohet

shkolla e posaçme

“Statistika Universitare”

nga prof. Herman Konring

(Hermann Counring, 1606 -

1681), Shkolla deskriptive

ose përshkrimi i shtetit.

Fillimet e statistikës si shkencë mund të gjinden në Gjermani dhe Angli në shekullin XVII dhe gjysmën e parë të shekullit XVIII, kur paraqiten dy koncepte të statistikës.

Në anën tjetër , në Angli është

zhvilluar një koncept tjetër i

statistikës “Aritmetika Politike” e

cila është përgëzuar nga John

Graunt (1620-1674), kurse më pas

është përkufizuar si “art i të

arsyetuarit përmes shifrave mbi

çështjet që kanë lidhje me

qeverisjen”. Përshkrimi dhe

analiza. Është vënë theksi në

nevojën për përpunim matematik të

dhënave dhe përpjekjet për të

zbuluar ligjshmëritë e sjelljeve të

dukurive

John Graunt (1620-1674)

Tipet (Llojet ) e Statistikës

Edhe sot ndihet ndikimi i ndryshimeve të këtyre dy

qasjeve dhe statistika e aplikuar ndahet në dy

grupe kryesore:

Statistika deskriptive (Përshkruese)

Statistika representative

(Inferenciale) (Mostra)

Statistika

StatistiaDeskriptive

StatistikaInferenciale

Përfshin Mbledhjen Organizimin Përmbledhjen Prezantimin etë dhënave

Përfshin Bërjen e vlerësimeve Testimin e hipotezave Përcaktimin e raporteve Bërjen e parashikimeve

Zbërthimi i analizës statistikore

Statistika deskriptive: Metodat e organizimit, përmbledhjes dhe prezentimit të dhënave në mënyrë informative.

SHEMBULL 1: Regjistrimi i popullsisë dhe krahasimi i të dhënave nëpër periudha të ndryshme kohore.

SHEMBULL 2: Të ardhurat personale të punëtorëve të një firme konkrete, mosha e të punësuarve të kësaj firme, përvoja e punës ose elemente të tjera rreth punëtorëve të kësaj firme.

Statistika reprezentative (mostra): Vendimi ,

vlerësimi , parashikimi ose përgjithësimi rreth

populacionit bazuar në mostër.

Populacioni / dukuria masive është mbledhja e

të gjithë individëve të mundshëm, objekteve dhe

njësive të tjera me interes ose sasia e

diferencuar në mënyrë cilësore.

Mostra është porcion ose pjesë e populacionit

me interes.

Tipet (Llojet ) e Statistikës(shembuj të statistikës reprezentative)

SHEMBULL 1: TV – në mënyrë konstante

monitorojnë popullaritetin e programeve të tyre

duke bërë hulumtimin me një pjesë të shikuesve ose

duke i angazhuar organizatat e specializuara për

këtë qëllim.

SHEMBULL 2: Departamenti i kontabilitetit të një

firme të madhe do të zgjedhë një mostër prej disa

faturave për të vërtetuar saktësinë e të gjithë

faturave të firmës.

SHEMBULL 3: Testuesit e verës do të provojnë

disa gllënjka të verës për të marrë vendim në lidhje

me shitjen e tyre.

Disa veprime më të rëndësishme statistikore, zbulime dhe të dhëna

për evolucionin e statistikës

VITI ZBULIMI OSE NGJARJA AUTORI

3800 p.e.r. Regjistrimi në Babiloni me qëllim të tatimit

2323 p.e.r. Regjistrimi i fondit të kafshëve në Egjipt ( para kësaj date për cdo dy vjet, a pas kësaj date për cdo vjet)

1055 p.e.r. Regjistrimi i popullsisë në Izrael Mbreti David

550 p.e.r. Regjistrimi i parë i popullsisë në Romë, Roma ka 83.000 banorë Servilje Tulje

28 p.e.r. Regjistrimi i popullsisë zbulon se në mbretërinë e Romës ka 4.063.000 banorë.

2 Regjistrimi i popullsisë më i vjetër rezultatet e të cilit janë ruajtur.Kina në bazë të këtij regjistrimi ka pasur 47.5 milionë banorë

Dinastia e Hunëve në Kinë

1086 Aksioni më i rëndësishëm statistikor në mesjetë - Regjistrimi i popullsisë në Angli, rezultatet janë botuar në Librin e gjyqit të tmerrshëm.

Williami i Parë Pushtues

1654 Vënia e themeleve të Teorisë së Probabilitetit Blaise Pascal & Pierre de Fermat

1662 Studimi i parë demografik i publikuar i bazuar në tabelat e vdekjes John Graunt

1676 Del nga shtypi “Aritmetika politike” William Petty

1710 Përdorimi i parë i një lloj testi statistikor John Arbuthnott

1713 Shtypet punimi më i rëndësishëm për teorinë e probabilitetit në shek. e XVIII: Ars Conjectanti (Ligji i numrave të mëdhenj) Golden Theorem

Jacob Bernoulli

1733 Zbulimi i Shpërndarjes Normale Abraham De Moivre

1749 Për herë të parë përmendet termi “STATISTIKË” në një punim

Gottfried Achenvall

1763 Bazat e statistikës së Bayes-it, e bazuar në konceptet subjektive të probabilitetit

Tomas Bayes

1801 Popullsia e botërore arrin në 1 miliard banorë

1805 Zbulimi i metodës së katrorëve më të vegjël A.M.Legendre

1809 Gausi përsëri zbulon shpërndarjen normale dhe zgjeron metodën e katrorëve më të vegjël

Carl F.Gauss

1812 Publikimi i parë i punimit nga teoria e gjasave Pierre S.Laplace

1853 Në Berlin organizohet Konferenca e Parë Ndërkombëtare e Statistikës

Adolphe Quetelet

1885 Për here të pare futet ideja e regresionit Francis Galton

1896 Formulohet koeficienti korrelacionit të thjeshtë linear Karl Pearson

1900 Formulohet testi χ2 Karl Pearson

1904 Formulohet Koeficienti i Korrelacionit të Spearman-it Charles Spearman

1908 Zbulimi i vlerësimit të mesatares aritmetike në rastin kur devijimi standard i populacionit nuk dihet.

William Gosset (“Student”)

1918 Formulohet koncepti i analizës së variancës. Ronald Fisher

1925 Popullsia në botë arrin në 2 miliardë banorë

1925 Botohet libri “Metodat statistikore për hulumtim”, padyshim libri më me ndikim i statistikës në shekullin e XX

Ronald Fisher

1933 Formulohet intervali i besimit, gabimi i llojit të II-të, fortësia e testit, regjionet kritike.

Jerzy Neyman & Egon Pearson

1933 Është vendosur koncepti aksiomatik i probabilitetit Andrei Kolmogorov

1945 Është formuluar testi më i njohur joparameter: testi i shumës së rangimit të Wilcoxon rangut me shenjë

Frank Wilcoxon

1959 Popullsia e botërore arrin në 3 miliardë banorë

1966 Përdorimi i parë i metodave statistikore resampling (metoda e mostrave të përsëritura)

Julian Simon

1972 Është formuluar koncepti i analizës hulumtuese të të dhënave John Tukey

1972 Janë formuluar modelet lineare të përgjithshme J.A.Nelder & R.W>M Wedderburn

1974 Popullsia në botë arrin në 4 miliardë banorë

1979 Formulohet bootstrap metoda Bradley Efron

1986 Popullsia në botë arrin në 5 miliardë

2000 Popullsia në botë arrin në 6 miliardë.

2002 Me shfrytëzimin e FDR metodës është vërtetuar teoria e Big Beng-ut

Përdorimi i kompjuterëve në statistikë

Softwear-ët që më së shumti përdoren për

zgjidhjen e shumë problemeve statistikore janë:

Excel ,

SPSS ( Statistical Package for Social Science),

SAS (Staistical Anlysis System),

Minitab,

Statgraphics,

Statistica, etj.

Përdorimi i Excel-it

Në mënynë rënëse Tools klikojmë me anë të miut në opsionin Data Analysis.

Në kornizën e gjetur Analysis Tools selektojmë metodën që dëshirojmë të shfrytëzojmë.

Nëse opsioni Data Analysis nuk paraqitet në mënynë rënëse Tools, atëherë klikoni në të njëjtën meny në Add-Ins dialog box.

Në kornizën e gjetur selektoni opsionet Analysis ToolPak dhe Analysis ToolPak –VBA dhe klikoni Ok.

Kthehuni përsëri në Tools dhe do të gjeni Data analysis.

Konceptet kyçe

Dukuritë variabile

Statistikë

Popullimi/tërësia e përgjithshme

Mostra

Njësia statistikore, individi

Të dhënat statistikore:diskrete dhe kontinuale/të vazhdueshme

Modalitetet

Statistika deskriptive

Statistika representative

Detyrë

Shpjego dallimin në mes të të dhënave

kualitative dhe kuantitative dhe jep tre

shembuj për secilën.

Shpjego dallimin në mes të dhënave

diskrete dhe të vazhdueshme dhe jep tre

shembuj për secilën.

Detyrë

Përcakto se cilat nga variablat vijuese është kualitative e cila kuantitative. Nëse janë kuantitative përcaktoni se fenomeni me interes a është diskret apo kontinual:

- Numri i telefonave në familje,

- Lloji i telefonit,

- Ngjyra e telefonit,

- Pagesa mujore (në euro dhe cent) për thirrje telefonike,

- Numri i thirrjeve lokale të bëra gjatë muajit,

- Zgjatja (në minuta) e thirrjeve lokale gjatë muajit,

- Fakultetet e Universitetit të Prishtinës.

Ushtrime

Ushtrim 1. “Jam shumë i stresuar” është

një shprehje që shumë e shpeshtë në mes

të studentëve. Çka ju streson juve. Cili është populacioni me interes?

Identifikoni më së paku tri arsye për të marrë

mostrën.

Identifikoni dy variabla ose karakteristika të

anëtarëve të këtij populacioni që ju dëshironi të

studioni.

Ushtrime

Ushtrim 2. Dekani i fakultetit dëshiron të shoh se çfarë lloj aktiviteti dhe pune bëjnë studentët e diplomuar të fakultetit pas 5 vjet diplomimi.

Cili është populacioni me interes?

Identifikoni arsyet për të marrë mostrën për hulumtim.

Identifikoni dy variabla/karakteristika të anëtarëve të populacionit që ju dëshironi të studioni

Ushtrime

Ushtrim 3. Kryetari i një shteti dëshiron të

shoh se sa është i popullarizuar pas dy

vjetëve të mandatit të tij. Një mostër e

votuesve të rritur janë pyetur se a do ta

rizgjedhnin prapë atë në atë post. A janë të dhënat kualitative apo kuantitative

Nëse të dhënat janë kualitative a janë ato

nominale apo rendore/shkallore. Nëse janë

numerike a janë ato diskrete apo kontinuale.

Ushtrime

Ushtrim 4. Më poshtë janë të listuar disa pyetje nga anketa rreth virusit “Trojan horse”. Për çdo lloj të pyetjes identifikoni se çfarë lloj të dhënash duhet të grumbullohen.

A është infektuar kompjuteri juaj me virusin “Trojan horse” Po, kompjuteri im është infektuar me këtë virus.

Jo , kompjuteri im nuk është infektuar me këtë virus.

Nuk jam i sigurt se kompjuteri im është infektuar.

A dini dikë tjetër që kompjuteri i është infektuar me virusin “Trojan Horse” Po

Sa shpesh ju me kujdes ekzaminoni subjektin e-mailit të juaj para se të hapni atachmentët. Gjithmonë

Shpesh

Sipas rastit

Rrallë ose kurrë

Fazat e studimit statistikorQëllimet:

Dini se cilat janë fazat e studimit statistikor

Kuptoni rëndësinë , llojet dhe mënyrat e vrojtimit statistikor

Bëni dallimin në mes të vrojtimit të përgjithshëm dhe vrojtimit të

pjesshëm

Kuptoni rëndësinë , llojet dhe mënyrat e grupimit statistikor.

Kuptoni seritë statistikore , llojet e tyre dhe të formoni seritë e

distribucinit të frekuencave për të dhënat kualitative dhe kuantiative

Paraqitni grafikisht seritë e distribucionit të frekuencave

Fazat e studimit statistikor

Vrojtimi statistikor ( mbledhja dhe

grumbullimi i të dhënave);

Grupimi dhe klasifikimi i të dhënave

(formimi i serive statistikore, përdorimi i

tabelave, grafeve, etj.);

Analiza statistikore

Publikimi dhe interpretimi i të dhënave

Vrojtimi statistikor (Mbledhja e të

dhënave)

Vrojtimi statistikor paraqet fazën e parë kërkimore të studimit gjatë së cilës bëhet grumbullimi i të dhënave për dukuritë masive dhe tipareve të tyre të llojllojshme

Njësia (individi ) paraqet pjesën përmbajtësore të dukurisë masive dhe ka rëndësi të veçantë.

Shembull: regjistrimi i popullsisë – banori, për standardin jetësor- familja, etj.

Vrojtimi/grumbullimi i të dhënave

Plani i mbledhjes së të dhënave përfshinë:

Definimi i qëllimit të vrojtimit/mbledhjes së të dhënave;

Përcaktimi i tërësisë statistikore/dukurisë masive dhe

njësisë statistikore;

Zgjedhja e karakteristikës/variablës dhe definimi i

modaliteteve;

Përcaktimi i pyetësorëve për mbledhjen e të dhënave;

Përcaktimi i mënyrës dhe metodave të mbledhjes së të

dhënave, etj.

Burimet e vrojtimit/mbledhjes së të dhënave

VROJTIMI I

DREJTPËRDREJTËVROJTIMI PËRMES

DEKLARIMITVROJTIMI PËRMES

DOKUMENTEVE

Marrja e informatave

drejtpërdrejtë nga

persona fizikë

dhe juridikë

Informata të tërthorta

, nga profesionistët

që e njohin mirë

problematikën.

Dokumenta zyrtarë:

Libri amë, kontabiliteti,

Listëpagesa e

punëtorëve, etj

SIPAS BURIMIT TË

SIGURIMIT TË DHËNAVE

Mënyrat e vrojtimit

Mënyra ekspeditive

Mënyra përmes thirrjes zyrtare

Mënyra përmes korrespondetëve

Mënyra e vetëregjistrimit

Llojet e vrojtimeve statistikore

VROJTIMI SIPAS KOHËS VROJTIMI SIPAS VËLLIMIT

Vrojtimi i

vazhdueshëm

Vrojtimi

jo i vazhdueshëm

Vrojtimi i

pjesshëm

Vrojtimi i

përgjithshëm

LLOJET E VROJTIMEVE (Qëllimi, natyra e dukurisë dhe rrethanat e saj)

Vrojtimi sipas vëllimit

VROJTIMI I PËRGJITHSHËM bëhet përmes: Regjistrimit dhe Evidencës gjegjësisht raporteve statistikore.

Karakteristikat e regjistrimit:

Gjithëpërfshirës (vrojtimi i të gjitha elementeve të dukurisë)

I njëkohshëm (periudha më e shkurtë jep rezultate më të mira)

Koha e regjistrimit – Momenti Kritik- kur gjendja e dukurisë është “normale”.

Përsëritja e regjistrimit (mundëson krahasimin e rezultateve)

Rregullimi normativ i regjistrimit (rregullat ligjore me të cilat rregullohen të drejtat dhe obligimet e pjesëmarrësve në regjistrim)

- P.sh.Regjistrimi i popullsisë, amvisnive, ekonomive shtëpiake, etj. (çdo dhjetë vjet)

Vrojtimi sipas vëllimit

Vrojtimi përmes evidencës ose raporteve statistikore.

Bëhet te dukuritë që tregojnë variabilitet më të madh gjatë kohës apo hapësirës.

- gjendja e të punësuarëve,

- prodhimtaria e realizuar,

- lëvizja natyrore e popullsisë e të ngjashme.

( Regjistrimi dhe raportet statistikore japin të dhëna më të sigurta dhe më të plota)

VROJTIMI I PJESSHËM/ JO I PLOTË /REPREZENTATIV

Vrojtimi i pjesshëm paraqet metodën përmes së cilës në bazë të vështrimit të një pjese të njësivestatistikore të dukurisë bihen konkluzione/përfundime për karakteristikat dhe sjelljen e tërësisë së përgjithshme.

Mostra është një pamje e zvogëluar, por besnike e popullimit.

Ajo përmbush dy kritere të rëndësishme:

Zvogëlimi i kohës dhe punës së nevojshme për mbledhjen dhe përpunimin e të dhënave;

Lejon një reduktim të ndjeshëm të kostove të mbledhjes dhe përpunimit të të dhënave.

Pse vrojtimi i pjesshëm?

Pamundësia fizike për të kontaktuar me të gjitha njësitë e popullimit.

Shpenzimet e studimit të të gjitha njësive në popullim.

Rezultatet e mostrës zakonisht janë adekuate.

Kontaktimi i të gjitha njësive do të marrë shumë kohë.

Natyra shkatërruese e disa provave/testeve.

Llojet e mostrave/vrojtimit të pjesshëm

Llojet e mostrave

Mostra të rastësishme

/probabile

Mostra jo të rastësishme

/jo probabile/e arsyetuar

Mostër e stratifikuar/shtresëzuar

Mostër e grumbulluar / klaster

Mostër e rastit sistematike

Mostër e rastësisshme e thjeshtë

Mostër me kuota

Mostër subjektive

Mostër e përshtatshme

Gabimet gjatë vrojtimit

GABIMET E REPREZANTIMIT

(PËRFAQËSIMIT)GABIMET E REGJISTRIMIT

Gabimet e rastit

Gabimet sistematike/

e qëllimta

Gabime gjatë vrojtimit

të pjesshëm

GABIMET E VROJTIMIT

Kontrolli i të dhënave

Pas përfundimit të mbledhjes së të dhënave duhet

të bëhet kontrollimi i tyre në mënyrë cilësore dhe

sasiore.

Zakonisht bëhen dy lloje të kontrollimeve:

Kontrolli logjik i të dhënave;

Kontrolli aritmetik (llogaritës) i të dhënave

PËRMBLEDHJA DHE GRUPIMI I TË

DHËNAVE STATISTIKORE

Grupimi i të dhënave paraqet ndarjen e dukurisë

masive të hulumtuar sipas tipareve të përbashkëta,

në grupe homogjene.

Grupimi paraqet fazën e dytë të studimit statistikor

gjatë së cilës materiali rregullohet, gjegjësisht

grupohet sipas karakteristikave të caktuara që

hulumtuesit i interesojnë.

Gjatë kësaj faze është karakteristikë formimi i serive

statistikore, tabelave statistikore dhe paraqitja

grafike e të dhënave të rregulluara.

Llojet e grupimeve

Sipas qëllimit Sipas llojit të tiparit Sipas vëllimit

Tipologjike

Variacionit

Analitike

Cilësore

Numerike

Kohore-Kronologjike

Hapësinore

I thjeshtë

I përbërë

Rigrupimi

LLOJET E GRUPIMEVE:

Seritë statistikore

Radhitja e të dhënave në formë të vargut

quhet seri statistkore. Ato formohen prej më së

paku dy madhësive, modaliteteve.

Seritë statistikore mund të jenë:

Të thjeshta

Të përbëra

Hapësinore/Territoriale

Kohore

Shpërndarjes/distribucionit/ të frekuencave

Seritë e shpërndarjes/ distribucionit të

frekuencave

Seritë e shpërndarjes/distribucionit të frekuencave mund të jenë:

Atributive/Cilësore

Variacionit (numerike)

Seritë e distribucionit të frekuencave janë mjet shumë i shfrytëzueshëm për organizimin dhe grupimin e masës së të dhënave në një formë të shfrytëzueshme.

Seritë e distribucionit të frekuencave Distribucioni i frekuencave paraqet grupimin e të dhënave

në kategori, të treguara me numrin e vrojtimeve në çdokategori.

Distribucioni i frekuencave jep numrin se sa herë çdo vlerëparaqitet në çdo klasë/modalitet/kategori

Karakteristika (X)

Modalitetet e karakteristikës/variablës

Frekuencat/ Denduritë (f)

x1 f1x2 f2x3 f3x4 f4xn fnΣ ΣF

Distribucionet e frekuencave

• Çka është distribucioni i frekuencave?

Distribucioni i frekuencave është organizimi

i të dhënave të pagrupuara në formë

tabelore duke shfrytëzuar modalitetet dhe

frekuencat/denduritë.

• Çka janë frekuencat?

Frekuencat/denduritë ose numërimi i

frekuencave tregojnë se sa herë një vlerë

paraqitet në grumbullin e të dhënave.

Distribucioni i frekuencave për të dhënat kualitative/atributive/jonumerike

Të dhënat

kualitative

Distribucionit të frekuencave

Tabela përmbledhëse

Paraqitja

grafike

Diagrami tortë

Diagrami i

ParetosBar

diagramet

Paraqitja tabelare dhe grafike e të dhënave

kualitative

Të dhënat kualitative

Distribucioni i frekuencave

Tabela përmbledhëse

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0

Stocks

Savings

Paraqitja grafike

Diagrami tortë

Diagrami i ParetosBar diagramet

Stocks Bonds Savings C D

Σ ΣF

Distribucioni i frekuencave për të

dhënat kualitative-- Shembull

• Shembull: Gjaku sipas grupit i 25 dhuruesveështë dhënë më poshtë. Gruponi të dhënatpërmes distribucionit të frekuencave

AB B A O BO B O A O B O B B BA O AB AB O A B AB O A

Distribucioni i frekuencave për të dhënat kualitative--

Shembull -vazhdim

KaraGrupi i

gjakut

Nr. i dhuruesve

(Frekuencat F)

Gjithsej 25

Karakteristika kualitative/e parenditshme/nominale

Modalitetet e karakteristikës

Frekuencat/Denduritë

Vrojtimet /matjet

Shembull: Distribucioni i frekuencave për stafin

akademik të Fakultetit Ekonomik të UP.

Stafi akademik sipas thirjes akademike

Thirrja akademike Nr. i stafit

Profesor të rregullt 17

Profesor të asocuar 5

Profesor asistent 11

Ligjërues 7

Asistent mësimor 19

Gjithsej 59Modalitetet e karakteristikës

Karakteristika kualitative

Burimi: Fakulteti Ekonomik Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, korrik 2008

Frekuencat relative

Frekuencat relative paraqesin raportin në

mes të frekuencave individuale absolute

dhe totalit të frekuencave.

ff f frekuenca relative

f frekuencaapsolute f tatali i frekuencave

Frekuencat në përqindje

% %100,ifF F frekuenca ne perqindjef

Frekuencat në përqindje paraqesin

raportin në mes të frekuencave individuale

absolute dhe totalit të frekuencave

shumëzuar me 100.

Distribucioni i frekuencave relative dhe në përqindje

Tab. Stafi akademik sipas thirrjes akademike të FA të UP, korrik, 2008

Thirrja akademike Nr. i stafit(Frekuenca absolute)

Frekuenca relative

Frekuenca në përqindje %

Profesor të rregullt 17 17/59=0.29 0.29 x 100=29%

Profesor të asocuar 5 5/59=0.08 0.08 x 100= 8%

Profesor asistent 11 11/59=0.19 0.19x100=19%

Ligjërues 7 7/59=0.12 0.12x100=12%

Asistent mësimor 19 19/59=0.32 0.32x100=32%

Gjithsej 59 1.00 100

Burimi: Fakulteti Ekonomik, UP, Raporti i vetëvlerësimit, Prishtinë, Korrik 2008

Paraqitja grafike e të dhënave kualitative

(Diagrami Tortë)

Personeli akademik sipas thirrjes akademike

Profesor te rregullt

Profesor te asocuar

Profesor asistent

Asistent mësimor

Ligjërues

(Bar diagramet)

0 5 10 15 20

Profesor te rregullt

Profesor te asocuar

Profesor asistent

Asistent mësimor

Ligjërues

Nr. i personelit

(Bar diagramet)

Profesor te

rregullt

Profesor te

asocuar

Profesor

asistent

Asistent

mësimor

Ligjërues

Thirrja akademike

Distribucioni i frekuencave/Organizimi i të

dhënave numerike

Të dhënat

numerike

Rregullimi sipas radhësDistribucioni i frekuencave

Distribucionet kumulative

Histogrami Polygoni

OgivaTabela

41, 24, 32, 26, 27, 27, 30, 24, 38, 21

21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 38, 41

Organizimi i të dhënave numerike në tabela dhe grafe

Poligoni i frekuencave

5 15 25 36 45 55 More

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0

Të dhënat numerike

Regullimi sipas radhës

Histogramet Ogiva

Tabelat

41, 24, 32, 26, 27, 27, 30, 24, 38, 21

21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 38, 41

Distribucioni i frekuencave

Distribucionet kumulative

PolygoniOgive

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0

Σ ΣF

Organizimi i të dhënave numerike/diskrete-të ndërprera

Të dhënat në formë të

papërpunuar (ashtu si janë

mbledhur) p.sh. suksesi i

nxënësve në matematikë):

4,5, 4, 3, 4, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 1, 1, 4,

5, 4, 3, 2, 5, 3, 5

Të dhënat e rregulluara sipas

radhës, nga vlera më e vogël

te vlera më e madhe:

1,1,1,2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4,

4, 5, 5, 5, 5, 5,

Suksesi

Nr. i nxënësve

1 III 3

2 IIII 4

3 IIII 4

4 IIII 4

5 IIII 5

Gjithsej 20

Hapat për ndërtimin e distribucionit të frekuencave/ të dhënat

numerike diskrete/të ndërprea dhe kontinuale/të vazhdueshme

1. Formimi i një vargu/rreshti i të dhënave nga vlera minimale

deri te ajo maksimale apo anasjelltas.

2. Përcaktimi i gjerësisë së intervalit dhe numri i klasëve,

gjegjësisht grupeve. Nëse është vendosur numri i klasëve,

atëherë gjerësia e intervalit të sygjeruar mund të llogaritet

me formulat vijuese:

Vlera më e lartë - vlera më e ulëti=

numri i klasëve

1 3,32(log )

Vleramaksimale vlera imalei

i te gjitha frekuencave (Rregulla e Struges)

Hapat për ndërtimin e distribucionit të frekuencave/

të dhënat numerike diskrete dhe kontinuale

3. Vendosja e grupeve/klasave

4. Vendosja e të dhënave në klasë për të

krijuar distribucionin e frekuencave

Kriteret për ndërtimin e distribucionit të frekuencave

a) Zakonisht seritë nuk duhet të kenë më pak

se 5 klasë/grupe, por gjithashtu nuk duhet

të kenë më shumë se 15 klasë/modalitete.

b) Duhet bërë përpjekeje për t’iu larguar

klasëve të hapura, gjegjësisht gjithmonë

duhet krijuar klasë të mbyllura aty ku është

e mundur.

c) Gjerësitë e intervaleve duhet të jenë të

barabarta.

Prezantimi i të dhënave numerike në tabelë/në

distribucionin e frekuencave

Rreshtimi i të dhënave sipas madhësisë:

12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53,

Gjetja e rangut: Xmax-Xmin= 58 - 12 = 46

Zgjedhja e numrit të klasëve: 5 (zakonisht në mes të 5 dhe 15)

Llogaritja e gjerësisë së intervalit (gjerësia): 10 (46/5 mandej

rrumbullakëso)

Përcaktimi i limiteve të klasëve (limitet): 10, 20, 30, 40, 50, 60.

Logaritja e mesit të intervalit: 15, 25, 35, 45, 55.

Numrimi i vrojtimeve dhe vendosja nëpër grupe klasë/kategori.

Prezantimi i të dhënave numerike në tabelë/në

Të dhënat e rregulluara sipas madhësisë:

12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Grupet/KlasëtFrek. absolute

10 por më pak se 20 3

Gjithsej 20

20- Limiti i fundit të grup-intervalit të parë.

10- Limiti i fillimit të grup-intervalit të parë.

Mesi i intervalit

Mesi intervalit është pika e mesit në mes

të dy kufijëve të çdo klase dhe është

reprezentative për të dhënat brenda

klasës.

Llogaritet si mesatare e thjeshtë në mes

të dy niveleve të një intervali.

Distribucioni i frekuencave, Distribucioni i frekuencave

relative dhe Distribucioni i frekuencave në përqindje

GrupetFrek. absolute

Mesi i

intervalit (X)

relative

Frek. në

përqindje

10 por më pak se 20 3 10+20/2=15 3/20= 0.15 0.15x100 =15%

20 por më pak se 30 6 20+30/2=25 6/20=0.30 0.30x100=30%

30 por më pak se 40 5 30+40/2=35 5/20=0.25 0.25x100=25%

40 por më pak se 50 4 40+50/2=45 4/20=0.20 0.20x100=20%

50 por më pak se 60 2 50+60/2=55 2/20=0.1 0.1x100=10%

Gjithsej 20 1.00 100

12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Paraqitja grafike e të dhënave numerike:

Histogrami i frekuencave

Histogrami

5 15 25 36 45 55 More

12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Nuk ka zbrastësi

në mes te

katërkëndëshave

Mesi i intervalitKufijtë e klasëve

e më shumë

Histogrami: Grafiku në të cilin klasët

shënohen në abshisë (boshtin horizontal)

kurse frekuencat e klasëve shënohen në

boshtin vertikal(ordinatë) të sistemit

koordinativ.

Frekuencat e klasëve janë të prezantuara

me gjatësinë e katërkëndëshave të cilët

janë të mbështetur në njëri tjetrin.

Histogrami prezanton tri lloje të informatave :

Mund të vërehet se përafërsisht ku janë

të koncentruara të dhënat.

Mund të kuptojmë shkallën e

shpërndarjes ose variacionet në të dhëna.

Mund të vërejmë formën e distribucionit.

Histograme që tregojnë qendra të ndryshme

0<2 2<4 4<6 6<8 8<10 10<12 12<14 14<16 16<18

Histograme – Qendra e njejtë, Shpërndarje të

ndryshme

0<2 2<4 4<6 6<8 8<10 10<12 12<14 14<16 16<18

Paraqitja grafike: Poligoni i frekuencave

5 15 25 36 45 55 More

Mesi i intervalit

12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Poligoni i frekuencave konstruktohet nga vija

që paraqet lidhjen e pikave të formuara në

mes të frekuencave dhe klasëve, gjegjësisht

mesit të intervalit dhe frekuencave.

Poligoni i frekuencave ofron informatat e

njëjta sikurse histogrami i frekuencave.

Distribucioni i frekuencave kumulative

Frekuencat kumulative përfshijnë vlerat korresponduese

të variablës brenda çdo limiti, plus të gjitha vlerat më të

ulëta ose më të larta. Në fakt ekzistojnë dy metoda për

llogaritjen e frekuencave kumulative:

- Frekuencat kumulative “nën” ose progresive

- Frekuencat kumulative “mbi” ose degresive.

Përdorimi i metodës së parë është shumë i gjerë.

Frekuencat kumulative të fundit sipas metodës “nën’ dhe

të fillimit sipas metodës “mbi” janë të barabarta me

totalin e frekuencave. Kjo njëherit shërben si kontrollim i

rezultatit.

Distribucioni i frekuencave kumulative

12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Grupet

Frekuencatabsolute

Frekuencatkumulative(“nën”)

Frekuencatkumulative(“mbi”)

Frekuencatkumulative

10 por më pak se 20 3 3 20 15

20 por më pak se 30 6 3+6=9 20-3=17 45

30 por më pak se 40 5 9+5=14 17-6=11 70

40 por më pak se 50 4 14+4=18 11-5=6 90

50 por më pak se 60 2 18+2=20 6-4=2 100

Gjithsej 20

Paraqitja grafke: Ogiva (Poligoni kumulativ në %)

10 20 30 40 50 60

Limitet e klasëve (Jo mesi i intervalit)

12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Distribucioni kumulativ i frekuencave

Distribucioni kumulativ i frekuencave (ogiva)

shfrytëzohet për të përcaktuar se sa ose

çfarë pjese e të dhënave është nën apo mbi

vlerën e caktuar.

SHEMBULL

Të dhënat në vijim paqaqesin kohën e

kaluar në minuta prej shtëpisë në punë, për

një grup prej 30 punëtorësh.

28 25 41 37 41 19 32 20 26 24 16 23 23

29 36 31 26 21 32 25 31 43 35 44 38 33

28 27 32 18

Rregolloni të dhënat në distribucionin e

frekuencave

Hapi i parë, rreshtimi nga vlera më e vogël deri te vlera me e madhe

16 18 19 20 21 23 23 24 25 25

26 26 27 28 28 29 31 31 32 32

32 33 35 36 37 38 41 43 43 44.

Hapi i dytë. Përcaktimi i klasëve dhe gjerësisë së

intervalit

Vlera më e lartë - vlera më e ulët 44 16Gjeresia e intervalit= 5,33 5

numri i klasëve 6

SHEMBULL vazhdim

16 18 19 20 21 23 23 24 25 25 26 26 27 28 28 29 31 31 32 32 32

33 35 36 37 38 41 43 43 44.

Koha e kaluar

në minuta

Frekuencat

Denduritë (f)

Numri i

punëtorëve (f)

15 por më pak se 20 III 3

20 por më pak se 25 IIII 5

25 por më pak se 30 IIII III 8

30 por më pak se 35 IIII I 6

ΣF 30

Sugjerime për konstruktimin e distribucionit

të frekuencave

Gjerësitë e intervaleve në mes të klasëve

duhet të jenë të barabartë .

Shfrytëzoni intervalin e sugjerur për të

konstruktuar histogramin e frekuencave.

Shënim: ky është intervali i sugjeruar ; nëse

intervali i llogaritur është 97, më mirë do të ishte

që të shfrytëzohet 100.

Llogaritni numrin e vlerave për çdo klasë

Mesi i intervalit Mesi intervalit është pika e mesit në mes të dy kufijëve të çdo

klase dhe është reprezentative për të dhënat brenda klasës.

Llogaritet si mesatare e thjeshtë në mes të dy niveleve të një

intervali:

Koha e kaluar

në minuta

Mesii i intervalit

Numri i

punëtorëve

15- 20 15+20/2 =17,5 3

20 - 25 20+25/2=22,5 5

25 - 30 25+30/2=27,5 8

30 - 35 30+35/2=32,5 6

35 - 40 35 + 40/=37,5 4

40-45 40+45/2=42,5 4

Distribucioni relativ i frekuencave Frekuencat realtive fitohen duke ndarë frekuencat e çdo klase

me frekuencat totale.

Koha e

kaluar

në minuta

Nrumri i

punëtorëve (f)

Frekuencat absolute

Frekuencat

relative

15- 20 3 3/30=0,10

20 - 25 5 5/30 =0,17

25 - 30 8 8/30 =0,27

30 - 35 6 6/30 =0,2

35 - 40 4 4/30=0,13

40 - 45 4 4/30 =0,13

Σ 30 1,00

Distribucioni i frekuencave në përqindje

Frekuencat në përqindje llogariten duke

shumëzuar frekuencat realtive me 100.

Koha e

kaluar

në minuta

Frekuencat

relative

Frekuencat në

përqindje

15- 20 3/30=0,10 0,10 x 100 =10%

20 - 25 5/30 =0,17 0,17 x 100 =17%

25 - 30 8/30 =0,27 0,27 x 100 =27%

30 - 35 6/30 =0,2 0,20 x 100 =20%

35 - 40 4/30=0,13 0,13 x 100 =13%

40 - 45 4/30 =0,13 0,13 x 100 =13%

Σ 1,00 100

Distribucioni kumulativ i frekuencave

Kumulativi progresiv (rritës) dhe degresiv (zbritës)

Koha e kaluar

në minuta

Numri i

punëtorëve

Frekuencat

kumulative progresive

Frekuencat

kumulative

degresive

15- 20 3 3 30

20 - 25 5 3+5=8 30-3= 27

25 - 30 8 3+5+8=16 27-5= 22

30 - 35 6 3+5+8+6 =22 22-8=14

35 - 40 4 3+5+8+6+4 =26 14-6= 8

40 - 45 4 3+5+8+6+4+4 =30 8-4= 4

Histogrami i distribucionit të frekuencave

17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5

Koha e kaluar në minuta

Konceptet kyçe

Vrojtimi statistikor

Vrojtimi i përgjithshëm

Vrojtimi i pjesshëm

Mostra të rastësishme

Mostra jo të

rastësishme

Grupimi statistikor

Seritë statistikore

Frekuencat

Distribucioni i

frekuencave

Frekuenca absolute

Frekuenca relative

Frekuenca në përqindje

Frekuenca kumulative

progresive dhe degresive

Diagrami tortë

Bar diagrami

UshtrimeDetyrë 1. Menaxheri i një firme lokale është i interesuar që të dijë se një konsumator

sa herë hyn në shitoren e tij brenda dy javëve. Përgjigjet e 50 konsumatorëve kanë qenë si vijon.

Të dhënat e papërpunuara për frekuentim në shitore brenda dy javëve

5 3 3 1 4 4 5 6 4 2

6 6 6 7 1 1 14 1 2 4

4 4 5 6 3 5 3 4 5 6

8 4 7 6 5 9 11 3 12 4

7 6 5 15 1 10 8 9 2 12

Formoni distribucionin e frekuencave duke përcaktuar zeron (0) si limit i fillimit

të klasës së parë dhe gjerësinë e intervalit 3 .

Përshkruani distribucionin. Ku tentojnë të grumbullohen të dhënat.

Gjeni mesin e intervalit dhe konstruktoni frekuencat relative, në përqindje dhe

ato kumulative progresive dhe degresive.

Prezantoni distribucionin e frekuncave grafikisht përmes histogramit të

frekuencave, poligonit të frekuencave dhe ogivës.

Ushtrime

Detyrë 2. Një mostër e rastit përfshinë 50

nënkryetarë ekzekutivë të disa firmave të

mëdha ku të ardhurat vjetore të tyre janë

analizuar. Të ardhurat janë ranguar nga

52.000$ deri në 137.000$. Cakto kufijtë e

klasëve për distribucionin e frekuencave:

Nëse dëshirojmë të kemi 5 klasë

Ushtrime

Detyrë 3. Importet vjetore për një grup të zgjedhur rastësisht të furnitorëve

elektronik janë të prezantuara në distribucionin e mëposhtëm.

Importet

(në milion $)

Numri i

furnizuesve

2 deri në 5 6

5 deri në 8 13

8 deri në11 20

11 deri në 14 10

14 deri në 17 1

a) Prezantoni importet në formë të

histogramit dhe të poligonit të

frekuencave

b) Përmblidhni disa fakte të rëndësishme për

distribucionin ( si vlerat më të ulëta , vlerat

më të larta, koncentrimi më i madh, etj.)

c) Gjeni frekuencat relative, në përqindje dhe

kumulative progresive dhe kumulative

degresive.

d) Prezantoni grafikisht distribucionin

kumulativ progresiv dhe degresiv

Ushtrime

Detyrë 4. Distribucioni i frekuencave i mëposhtëm prezanton numrin e

ditëve të munguara në punë për shkak të sëmundjeve në një kompani.

Numri i ditëve

të munguara

Nr. i punëtorëve

/frekuencat

0 deri në 3 5

3 deri në 6 12

6 deri në 9 23

9 deri 12 8

12 deri 15 2

Gjithsej: 50

a)Sa punëtorë kanë munguar më pak se tri

ditë në vjet. Sa më pak se 6 ditë në ditë?

Sa më pak se 12 ditë.

Konvertoni distribucionin e frekuencave në

distribucion kumulativ progresiv.

b) Ndërtoni distribucionin kumuluativ

degresiv të frekuencave dhe paraqitni

grafikisht.

c)Sa është madhësia e mostrës.

d) Sa është mesi i intervalit të klasës së

parë.

e) Konstruktoni histogramin e frekuencave

Ushtrime

Detyrë 5. Supozojmë se klasët janë të dhëna

kësisoji:Këto klasë përmbajnë në vete tri

praktika që duhet të eliminohen. Cilat janë

90-150

150 e më lartë.

Ushtrime Detyrë 6. Për të konstruktuar poligonin e frekuencave na duhet

mesi i intervalit dhe frekuencat. Po Jo.

Detyrë 7. Në përgjithësi ne mund të konstruktojmë distribucionin e frekuencave me më së paku 20 klasë Po Jo.

Detyrë 8. Numri i vrojtimeve për çdo klasë quhet distribucion i frekuncave. Po Jo.

Detyrë 9. Poligoni i frekuencave dhe distribucioni i frekuencave relative janë të ngjashëm për arsye se bazohen në distribucionin e frekuencave. Po Jo.

Detyrë 10. Distribucioni i frekuencave relative fitohet duke ndarë frekuencat e çdo klase me numrin total të vrojtimeve. Po Jo.

Paraqitjet grafikeQëllimet:

Dini rolin dhe rëndësinë e paraqitjeve grafike

Dini disa nga llojet e paraqitjeve grafike

Konstruktoni diagramet vijore dhe diagramin polar.

Konstruktoni diagramet sipërfaqësore përmes shtyllave, të

katrorit dhe rrethit.

Kuptoni disa nga parimet e konstruktimit të paraqitjeve të

ndryshme grafike

Qëllimi i paraqitjes grafikeGrafikët rrefejnë një tregim…..

Shumë njerëz tregojnë pak interesim ose nuk kanë kohë që të analizojnë shifrat dhe faktet e ndryshme të dhëna në gazetat ditore. Mirëpo nëse këto të dhëna janë të prezantuara grafikisht, ato bëhen më të lehta për tu kuptuar dhe mbesin për një kohë më të gjatë në kujtesë.

Prezantimi grafik i të dhënave e bëjnë leximin e tyre më interesant, më të shpejtë dhe më lehtë të kuptueshme.

E metë e prezantimit grafik të të dhënave është mungesa e detaleve dhe saktësia më e vogël.

Qëllimi i paraqitjes grafike

Paraqitja grafike përbën një nga mjetet më efikase si për përshkrimin në formë vizualetë rezultateve të vrojtimit të shumta të një apo disa karakteristikave të një popullimi statistikor, ashtu edhe për zbulimin e raporteve dhe ndërlidhjeve midis këtyre karakteristikave ose midis ndryshimeve në kohë dhe hapësirë të fenomeneve.

Paraqitja grafike lehtëson kuptimin shumë më shpejtë sesa paraqitja e një morie të madhe shifrash, duke i kryer një shërbim të madh shkencës dhe përbënë një mjet ndihmës shumë të vlefshëm për studimet statistikore.

Në ekonomi, një figurë e vërtetë është më e vlefshme se njëmijëfjalë……

Format e paraqitjes grafike

FORMAT E PARAQITJES GRAFIKE

Ideogramet/piktogramet

KartogrametDiagramet

-Pikësore (stigmograme)-Vijore-Sipërfaqësore-Hapësinore

-Kartodiagrame-Harta statistikore

Grafikë me figuranatyrale

Diagramet

Stigmograme (diagrame pikësore)

Diagrame vijore (përmes vijave)

Diagrame sipërfaqësore (histograme)

Stereograme (hapësinore)

Diagrami vijor

Bazohet në pasqyrimin grafik përmes vijave të drejta , të shtrembra dhe të thyera.

Në konstruktimin e tyre , kryesisht, shfrytëzohen sistemet koordinative:

-sistemi i koordinatave këndrejta dhe- sistemi polar

Përmes diagrameve vijore mund të pasqyrojmë me sukses grafikisht një ose të krahasojmë dy e më tepër seri kohore, por nëse vlerat e tyre nuk dallohen shumë dhe nëse janë të shprehura në njësi të njeta të matjes.

Diagrami vijor

Diagramet vijore janë të përshtashme për tëprezantuar ecuritë e biznesit sepse përmestyre mund të shihen ndryshimet gjatë tërëkohës. Variabla, si numri i njësive të shituraprezantohet në boshtin vertikal (ordinatë)derisa koha prezantohet në boshtinhorizontal(abshisë)

Përmes diagramit vijor me sukses mund tëkrahasojmë ecuritë e eksportit, importit, të ofertës , kërkesës, natalitetit dhemortalitetit e kështu me radhë.

Shembull 1. Diagrami vijor

Shitjet e telefonave celularë (në 000 copë) nënjë shtet gjatë periudhës 2000-2004 janë sinë tabelën vijuese: Paraqitni të dhënat përmesdijagramit vijor.

Vitet Shitjet në 000 copë

2000 280

2001 300

2002 570

2003 900

2004 1200

Prezantimi i të dhënave përmes dijagramitvijor

Telefona te shitur

2000 2001 2002 2003 2004

Nr. i t

Diagrami polar

Diagrami polar shfrytëzohet për pasqyrimin e dukurive të karkaterit sezonal, përkatësisht për hulumtimin e variacioneve sezonale dhe pasqyrohet në diagramin polar.

Variacione sezonale kanë këto dukuri: numri dhe bujtjet e turistëve, qarkullimi hotelier, konstruktimi ndërtimor, konsumi i energjisë elektrike, kërkesa për mallra sezonale etj.

Diagrami polar na mundëson që në mënyrë mjaft figurative të vërejmë varaiacionet e dukurisë së vështruar përmes muajve dhe të shikojmë ndikimin e sezonës në to.

Paraqitja përmes diagramit polarShembull 2 Kurorëzimet në Kosovë në vitin 2004 sipas

muajve janë si në tabelën vijuese

Burimi:ESK: Analiza e statistikaveVitale të Kosovës për periudhën

më të re, shukrt, 2008

Diagrami polar

Sa më tepër që vija i afrohet mesit të rrethit (polit), do të thotë se sezoni ndikon ashtu që dukuria zvogëlohet.

Sa më tepër që vija largohet nga mesi i rrethit – sezoni ndikon në rritjen e dukurisë.

Diagramet sipërfaqësore (histograme)

Diagramet sipërfaqësore janë grafikë të cilët përmes sipërfaqeve të figurave gjeometrike pasqyrojnë të dhënat statistikore. Më të përdorshmit janë:

Shtyllat (bar diagramet)

Katrori

Rrethi

Diagramet me shtylla (Bar diagramet )

Diagramet me shtylla (bar diagramet ), përdoren shumë në prezantimin e tëdhënave. Ata mund të jenë:

Shtylla të thjeshta,

Shtylla të dyfishta dhe tëshumëfishta

Shtyllat simetrike

Shtylla të ndara ose strukturale

Shtyllat e thjeshta

Shtyllat e thjeshta shfrytëzohen për paraqitjen e madhësisë ose të nivelit të dukurisë sipas modaliteteve apo vlerave të një veçorie ose sipas veçorisë kohore ose hapësinore.

Me shtylla të thjeshta mund të prezantohen gati të gjitha llojet e serive.

Shembull 3 Shtyllat e thjeshta

Shitjet e telefonave celularë (në 000 copë) në një shtet gjatë periudhës 2000-2004 janë si në tabelën vijuese: Paraqitni të dhënat përmes shtyllave të thjeshta

Vitet Shitjet në 000 copë

2000 280

2001 300

2002 570

2003 900

2004 1200

Shembull 3- vazhdim Shtyllat e thjeshta/ të njëfishta

(në 0

2000 2001 2002 2003 2004

Shitja e telefonave celular

Shembull 4. Shtyllat e thjeshta/ të njëfishta

Levizja e numrit të popullsisë së Kosovës për periudhën 123 vjeçare

Burimi: ESK: Analiza e Statstikave Vitale të Kosovës për periudhën më të re, Shkurt 2008.

Shembull 4. vazhdim Shtyllat e thjeshta/ të njëfishta

Shtylla të dyfishta dhe të shumëfishta

Shtyllat e dyfishta dhe të shumëfishta shfrytëzohen kur duam të krahasojmë madhësinë, përkatësisht nivelin e dy e më shumë dukurive sipas të njetës veçori, ndërsa të dhënat janë të shprehura në njësi të njëjta të matjes.

Shembull 5. Shtyllat e dyfishta

Popullsia ne Kosove sipas gjinise, 2002-2005)

2002 2003 2004 2005

i populls

Gra Burra

Shembull 5. Shtyllat e shumëfishta

2002 2003 2004 2005

ise (ne m

Popullsia totale e Kosoves sipas gjinise (2002 -2005)

Gra Burra Gjithsej popullsia

Sygjerimet për konstruktimin e Diagrameve me shtylla

Për përgjigjet kategorike që janë kualitative, shtyllat duhet të konstruktohen horizontalisht kurse për përgjigje numerike shtyllat duhet të konstruktohen vertikalisht.

Hapësira në mes të shtyllave duhet të jetë sa gjysma e gjerësisë së shtyllës ose sa gjerësia e shtyllës.

Shkallët dhe porositë janë mjet i rëndësishëm për leximin e grafëve dhe duhet të përfshihen.

Boshtet duhet të definohen qartë.

Titulli i grafit vendoset mbi grafik.

Burime te të dhënave dhe spjegime të tjera duhet të prezantohen.

Shtyllat simetrike

Shtyllat simetrike janë formë specifike e shtyllave të dyfishta (ose binarëve) të cilat janë të shtrira horizontalisht dhe për ballë njëri tjetrit.

Më së shpeshti zbatohen në statistikën demografike me qëllim të pasqyrimit të të strukturës së popullsisë sipas gjinisë dhe moshës.

Duke pasqyruar të dhënat e popullsisë sipas moshës dhe gjinisë formojmëPIRAMIDËN E POPULLSISË

Shtyllat simetrike

Shtyllat simetrike shfrytëzohen edhe për pasqyrimin dhe krahasimin e madhësisë dhe strukturës së dukurive të cilat janë të kundërta njëra me tjetrën, por reciprokisht të lidhura dhe të kushtëzuara. Si p.sh.

Të hyrat dhe të dalat

Eksporti dhe importi

Të lindurit dhe të vdekurit

Të shpërngulurit dhe të kthyerit në një regjion të caktuar

Kurorëzimet dhe shkurorëzimet

Piramida e popullsisë

Piramida e popullsisë ,e quajtur gjithashtu piramida moshë-gjini e popullsisë ose diagrami i strukturës së moshës, është ilustrim grafik që prezanton shpërnadarjen e moshave të ndrysheme të popullsisë sipas gjinisë (zakonisht për një shtet ose regjion).

Ajo përbëhet nga dy bar diagrame të mbështetura shpinë për shpinë ashtu që popullsia shënohet në boshtin X (abshisë) kurse gjinia në boshtin Y,(ordinatë), njëra tregon gjininë femerore e tjetra gjininë mashkullore, zakonisht në grupe moshore prej 5 vjet.

Meshkujt prezantohen në anën e majtë kurse femratnë anën e djathtë dhe ata mund të prezantohen në përqindje ose me numrin absolut të popullsisë.

Piramida e popullsisë/ilustrim

Piramida e popullsisë së Kosovës(ESK: Anketa Demografike dhe Socio-ekonomike 1999),

Përdorimi i piramidës së popullsisë

Piramida e popullsisë mund të shfrytëzohet për të gjetur numrin e popullsisë që është ekonomikisht e varur nga pjesa tjetër e popullsisë.

Vartësit ekonomik ( popullsia e paaftë për punë) janë ata që janë më të rinj se 15 vjet dhe ata mbi 65 vjet.

Natyrisht në disa vende më pak të zhvilluara fëmijët fillojnë të punojnë edhe para moshës 15 vjeçare, kurse në disa vende të tjera është e zakonshme që puna të filloj gjatë moshës 18-21 vjet, kurse njerëzit mund të punojnë edhe pas moshës 65 vjeçare ose të pensionohen më herët.Për këtë definimi është një lloj vlerësimi.

Në shumë vende,qeveritë planifikojnë zhvillimin ekonomik në atë mënyrë që popullsia e aftë për punë duhet të mbështesë popullsisnë e paaftë për punë.

Piramida e popullsisë mund të shfrytëzohet edhe për vështrimin e rritjes natyrore të popullsisë, lindjet dhe normën e vdekjes së popullsisë.

Diagramet përmes sipërfaqes së

katrorit dhe rrethit

Katrorët , gjegjësisht sipërfaqja e katrorit shfrytëzohen për pasqyrim grafik të dhënave me qëllim të krahasimit të madhësive të tyre të cilat mund të jenë proporcionale me madhësinë të cilat i përfaqësojnë.

2S a siperfaqjaekatrorit

a S brinjaekatrorit

Shembull 6

Rastet e sëmundjeve malinje, 2005

Nr. i të sëmurëve

Niveli primar 3885

Niveli seknodar 462

Niveli terciar 1148

Gjithsej 5495

Sëmundjet nga kanceri në Kosovë në vitin 2005 sipas niveleve janë si në tabelën vijuese. Prezantoni grafikisht të dhënat përmes sipërfaqes së katrorit.

Burimi: ESK Statistikat sociale, “Statistikat e shëndetësisë”, 2005

Shembull 6 - vazhdim

Niveli primar =3885;S= 3885

Niveli sekondar = 462; S= 462

Niveli terciar=1148 S=1148

3885 62,32 :10 6,232 6

a S cm

462 21,49 :10 2,149 2

a S cm

1148 38,38 :10 3,8 4

a S cm

Fig. Sëmundjet nga kanceri sipas niveleve në vitin 2005 në Kosovë.

Niveli primar

S= 3885 pacientë

S= 462 pacientëS= 1148 pacientë

Niveli terciarNiveli sekondar

a=62,32 (6 cm) a= 21,49 (2m) a=38,38 (4cm)

Diagramet sipërfaqësore të rrethit

Diagramet sipërfaqësore të rrethit, përdoren për nevoja të krahasimit të dhënave statistikore si dhe për paraqitjen e strukturës së dukurisë.

2 3,14S r

Sr r rrezjae rrethit

Të dhënat e shembullit të gjashtë të shfrytëzohen për paraqitjen e sëmundjeve nga kanceri sipas niveleve.

Shembull 7

Niveli primar =3885;S= 3885

Niveli sekondar = 462; S= 462

Niveli terciar=1148 S=1148

38851237,3 35,17 :10 3,517

462147,13 12,3:10 1,123

1148365,6 19,12 :10 1,912

Fig. Sëmundjet nga kanceri sipas niveleve në vitin 2005 në Kosovë.

Niveli primar

Niveli terciarNiveli sekondar

r=35,17 (3,5 cm) r= 12,13 (1,2cm) r=19,12 (1,9cm)

r=3,5cm

r=1,2cm

r=1,9cm

Rrethi struktural/diagrami tortë

•Diagrami struktural ëshët një grafik i ndarë në sektore, i cili ilustron frekuencat në përqindje.

•Në daigramin tortë madhësia e çdo sektori është proporcionale me sasitë që prezanton.

•Bashkërisht të gjithë sektorët krijojnë rrethin e plotë.

Hapat për ndërtimin e diagramit torte ose rrethit struktural:

Komponentet e veçanta të variablave konvertohen në përqindje për të ndërtuar diagramin tortë.

Këto përqindje konvertohen në shkallë korresponduese të rrethit.

Vizatohet rrethi me kompas me madhësi adekuate.

Maten pikat në rreth që prezantojnë madhësinë e çdo sektori me ndihmën e këndmatësit.

Aranzhohen sektorët sipas madhësisë.

Përdoren ngjyra të ndryshme për të dalluar pjesët e veçanta.

Diagrami tortë veçanërisht është i përshtatshëm për prezantimin e distribucionit relativ dhe në përqindje të frekuencave. Rrethi është i ndarë në mënyrë proporcionale me frekuencat relative dhe pjesët e rrethit e përgjigjen grupeve të ndryshme.

SHEMBULL 5: Përgjigjet e 200 lojtarëve në lidhje me llojin e patikave që preferojnë janë si në tabelën

vijuese:

Shembull 8- vazhdim

Lloji i patikave

Nr. i lojtarëve

Struktura %

Shkallët e rrethit

Nike 92 46% 46x3,6=165,6o

Adidas 49 24,5% 24,5 x 3,6=88,2o

Reebok 37 18,5% 18,5 x 3,6=66,6o

Ascis 13 6,5% 6,5 x 3,6=23,4o

Të tjera 9 4,5% 4,5 x3,6=16,2o

Gjithsej 200 100 360o

Bazuar në të dhënat në vijim , prezantoni ato përmes diagramit tortë.

Diagrami tortë për preferencat e lojtarëve

Adidas

Reebok

Të tjera

Adidas

Reebok

Të tjera

Derisa diagrami tortë ndoshta është grafiku statistikor më i përhapur në botën e biznesit dhe të mas mediave, ai rrallë shfrytëzohet për publikime shkencore dhe teknike.

Eshtë një prej grafikëve më të kritikuar, dhe shumë statisticientë rekomandojnë që të eliminohet krejt nga përdorimi , duke theksuar veçanërisht se është vështirë të krahasohen pjesë të ndryshme të një grafiku të dhënë, ose të krahasohen të dhënat nga diagrame të ndryshme strukturale.

Forma të tjera të paraqitjes grafike

Kartogrami- i cili mund të paraqitet si kartodiagram dhe si hartë.

Ideogrami /Piktogramet –paraqiten përmes simboleve dhe figurave natyrale

Shtrirja territoriale e dukurisë më së miri mund të pasqyrohet përmes kartodiagramit.

Paraqitja grafike përmes hartave

Disa rekomandime për ndërtimin e grafikëve

Çdo grafik duhet të përmbajë në vetvete të gjithë treguesit e nevojshëm për interpretimin e saktë të tij, pavarësisht nga teksti, pra:

-titullin e qartë të objektit që paraqitet;

-periudhës së cilës i referohen të dhënat;

-hapësirën territoriale;

-burimin si dhe

-shkallët e matjeve që janë zbatuar.

Numrat dhe fjalët që përmban grafiku,duhet tëlexohen pa e rrotulluar fletën.

Disa rekomandime për ndërtimin e grafikëve

- vazhdim

Duhet zgjedhur drejt metoda e paraqitjes,në mënyrë që ajo të jetë më e përshtatshmja për një tip tabele të caktuar, kur mund të përdoren korrektësisht disa metoda, përparësi duhet dhënë metodës më të thjeshtë;

Në boshtet duhet treguar saktësisht gjithmonë përmbajtja e variablave dhe njësia e matjes;

Prerjet e shkallëve duhet treguar nëpërmjet ndërprerjes së boshteve, etj.

Konceptet kyçe

Diagramet

Diagramet vijore

Diagrami polar

Diagrametsipërfaqësore

Shtyllat e thjeshta, të shumëfishta

Shtyllat simetrike

Piramida e popullsisë

Katrori

Rrethi

Diagrami struktural

Kartodiagramet

Ideogramet

Analiza e të dhënave statistikoreMadhësitë mesatare

QëllimetNë fund të orës së mësimit , ju duhet të jeni në gjendje që të :

Llogaritni mesataren aritmetike të thjeshtë dhe të

ponderuar, dhe mesataren gjeometrike.

Shpjegoni karakteristikat, përdorimin , përparësitë

dhe të metat e çdo njërës mesatare.

Kuptoni madhësitë mesatare të pozicionit (moda

dhe mediana) dhe ti llogaritni ato.

Përcaktoni pozitën e mesatares aritmetike,

medianës dhe modës te distribucionet simetrike dhe

asimetrike.

Analiza statistikore

Analiza statistikore paraqet fazën e tretë të studimit statistikor.

Varësisht nga qëllimi dhe objekti i studimit, gjatë analizës statistikore bëhet përpunimi i të dhënave dhe formohen tregues të ndryshëm statistikor përmes të cilëve nxirrren konkluzione cilësore për fenomenet e hulumtuara.

Analiza statistikore ka rëndësi të veçantë se përmes saj mund të bëjmë krahasimin e të dhënave dhe rezultateve kërkimore për dy e më shumë dukuri, në kohë dhe hapësirë.

Disa nga llojet e analizave statistikore

Llojet e analizave

Statistikore

Analiza

statike

Analiza

dinamike

Analiza

reprezentative

Analiza regresive

statistikore

Disa nga treguesit e analizës statike

Treguesit e

analizës statike

Madhësitë

mesatare

Treguesit e

variaconitTreguesit e formës

së shpërndarjes

Mesataret

algjebrike

Mesataret e

pozicionit

Mesatarja aritmetike

Mesatarja harmonike

Mesatarja gjeometrike

Mediana

Treguesit absolut Treguesit relativ

Gjerësia e intervalit

Devijimi mesatar

absolut

Varianca

Devijimi standard

Koeficienti I

variacionit

Devijimi

I standardizuar

Treguesit e

Asimetrise

Treguesit e

Kurtozisit

Koeficienti i

Asimterisë

Koeficienti

i Kurtozisit

Madhësitë mesatare

Madhësitë mesatare, gjegjësisht vlerat mesatare ,

janë vlera reprezentative të cilat zëvendësojnë të

gjitha vlerat e veçorisë së dukurisë së dhënë.

Vlerat mesatare llogariten vetëm nga seritë

numerike të njësive statistikore.

Sa më homogjene që të jenë të dhënat statistikore

më reprezentative do të jetë vlera mesatare dhe

devijimet nga ajo do të jenë më të vogla.

Mesataret shprehin nivelin tipik të ndryshimeve të

modaliteteve të grupeve homogjene me tipare

sasiore.

Llojet e madhësive mesatare

Madhësitë

mesatare

Mesatare

Algjebrike

Mesatare të

pozicionit

Mesatarja

aritmetike

Mesatarja

harmonike

Mesatarja

gjeometrike Moda Mediana

•E thjeshte

•E ponderuar •E thjeshte

•E ponderur

•E thjeshte

•E ponderuar

•E thjeshte

•E ponderur

Mesataret algjebrike / Mesatarja aritmetike

Mesatarja aritmetike është madhësia

mesatare e përdorur më së shumti dhe

prezanton nivelin tipik të zhvillimit të dukurisë.

Ajo mund të jetë:

- mesatare aritmetike e populimit dhe

- mesatare aritmetike e mostrës

Mesataja aritmetike e thjeshtë

Mesatarja e populacionit

Shuma e te gjitha vlerave ne populacionMesatarja e populacionit

Numri i te gjitha vlerave ne populacion

osemetjeshteN N

paraqet shenjen per mesatarene populacionit Shkronje grekeqelexohet mi

N numri i njesiv

ene populacion

X prezanton cdo vlere te vecante

sigma shkronje greke qe tregon operacionin e mbledhjes

X eshte shuma e te gjitha vlerave te X

Mesataja aritmetike e thjeshtë

Mesatarja e mostrës

Ajo llogaritet për seritë e thjeshta statistikore kur numri i dendurive është i njejtë ose është i barabartë me 1 me formulën vijuese:

X ose me thjeshte XN N

shuma e të gjitha vleravenemosterMesatarja aritmetike e mostrës=

numrii tegjitha vlerave nemoster

Mesatarja (Mesatarja aritmetike)

Mesatarja është mesatare aritmetike e të

dhënave numerike

Mesatarja e populimit

Mesatarja e mostrës

n = Madhësia e mostrës

N = Madhësia e populimit

Mesatarja aritmetike - e thjeshtë

(iks bar)-prezanton simbolin për

mesataren aritmetike të mostrës

n- është numri total i vrojtimeve-

elementeve

X - prezanton vlerat individuale.

- prezanton shumën e përgjithshme të

vlerave.

1 2 3 1...

XX X X X

Matësi më i shpeshtë i tendencës qendrore

Mesatarja = Shuma e vlerave e ndarë për numrin e

vlerave

Ndikohet nga vlerat ekstreme

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mesatarja = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mesatarja = 4

104321

Shembull 1

Nga vlerat vijuese: 3, 8, and 4 llogaritni:

a) mesataren aritmetike të thjeshtë dhe

b) vërtetoni vetinë se:

Shembull 1, vazhdim

1 2 3 ... nX X X XX

( ) 3 5 8 5 4 5 2 3 1 0n

3 8 4 155

Mesatarja aritmetike e ponderur/ për të

dhënat e grupuara

Mesatarja aritmetike e ponderuar është rast iveçantë i mesatares aritmetike dhe llogaritet nërastet kur ka disa vrojtime në të njejtën modalitet, gjegjësisht kur të dhënat grupohen në distribucionine frekuencave.

Mesatarja aritmetike e ponderuar llogaritet në rastetku përveç vlerave të X janë edhe të dhënat përdenduritë, gjegjësisht kur frekuencat nuk janë tëbarabarta , ashtu që njëri modalitet “peshon” me shumë e tjetri më pak.

Mesatarja aritmetike e ponderuar quhet edhemesatare aritmetike e “peshuar”

Mesatarja aritmetike e ponderur/për të dhënat e grupuara

Formula për llogaritjen e mesatares aritmetike të ponderuar është:

Simbolet:

(iks bar)-prezanton simbolin për mesataren

aritmetike të mostrës

f- frekuencat në çdo klasë/për cdo modalitet

fx - është prodhimi i frekuencave f me vlerat e x

X - prezanton vlerat individuale të çdo modaliteti

fx - prezanton shumën e përgjithshme të këtyre

produkteve.

Mesatarja aritmetike e ponderuar

Llogaritet me formulën:

1 1 1 2 2 3 3

f Xf x f x f x f x

X osef f f f

Shembull 2.

Një spital punëson 200 infermiere. Prej tyre

50 janë ndihmëse të motrave, 50 të tjera

janë në punë praktike dhe 100 të tjera janë

motra të përhershme. Të parat marrin 8€ në

ditë, të dytat 10 € kurse të tretat 14 € në

ditë.

a) Sa është paga mesatare ditore?

b) Vërtetoni vetinë se:

( ) 0n

Shembull 2- vazhdim

Tab.nr.1. Pagat e infermiereve

Pagat ($)

infermiereve

(X)x(f) (X-11,5)

8 50 400 -3.5 -175

10 50 500 -1.5 -75

14 100 1400 2.5 250

Σ 200 2300 0

X X f X X

230011,5$

Shembull 2- vazhdim

230011,5$

11,5$X

Mesatarja aritmetike te seritë me intervale

Shembull 3

Distribucioni i mëposhtëm prezanton numrin e

ditëve të munguara për shkak të sëmundjes së

punëtorëve të një firme.

Brenda vitit, mesatarisht sa ditë kanë munguar

punëtorët e kësaj firme?Tab.nr.2. Ditët e munguara nga puna

Numri i ditëve të

munguara0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 Σ

Nr. i të punësuarve 5 12 23 8 2 50

Shembull 3-vazhdim Tab.nr.2-vazhdim

Numri i ditëve të

munguara

(Grupet)

Nr. i të

punësuarëve

Mesi i intervalit

(X) . (f)

0-3 5 1,5 7.5

3-6 12 4,5 54

6-9 23 7,5 172,5

9-12 8 10,5 84

12-15 2 13,5 27

Σ 50 345

Shembull 3-vazhdim

3456,9 7

Disa veti të mesatares aritmetike

Mesatarja aritmetike është vlerë mesatare më e madhe se vlera minimale dhe më e vogël se vlera maksimale e të dhënave, gjegjësisht:

Çdo grumbull i të dhënave numerike ka mesatare.

Të gjitha vlerat përfshihen në llogaritjen e mesatares aritmetike.

Një grumbull i të dhënave ka vetëm një mesatare.

max minX X X

Nëse të gjitha vlerat e X-it janë të barabarta ,

gjegjësisht x1= x2 = x3 = x4….= xn atëherë

mesatarja aritmetike ëstë e barabartë me vlerën

e X-it.

Nëse f1= f2 = f3 = f4….= fn , atëherë mesatarja

aritmetike e ponderuar është e barabartë me

mesataren aritmetike të thjeshtë.

Zakonisht mesatarja aritmetike është e ndikuar

nga vlera maksimale dhe minimale.

Mesatarja aritmetike është e vetmja mesatare në

të cilën shuma e devijimeve nga çdo vlerë është

gjithmonë e barabartë me zero:

Te seritë thjeshta:

Te seritë e ponderuara :

( ) 0n

Disa veti të mesatares aritmetike Shuma e devijimeve të ngritura në katror të gjitha

vlerave nga vlera mesatare e tyre është minimale

, gjegjësisht më e vogël se shuma e devijimeve të

ngritura në katror të vlerave individuale nga

cilado vlerë tjetër e marrë.

Te seritë thjeshta:

Te seritë e ponderuara : 2

( ) minn

Mesatarja gjeometrike përdoret për gjetjen e mesatares së përqindjeve, normave, indekseve ose normën e rritjes.

Ka aplikim të gjerë në biznes dhe ekonomi sepse ata janë të interesuar në gjetjen ndryshimit të shitjeve në përqindje, në paga, të kategorive të ndryshme ekonomike si Bruto Produkti Kombëtar, etj.

Mesatarja gjeometrike mund të jetë:

- e thjeshtë (për të dhënat e pagrupuara)

- e ponderuar (për të dhënat e grupuara)

Mesatarja e thjeshtë gjeometrike

Mesatarja gjeometrike (G) e një grumbulli n të dhënave

është rrënja n e prodhimit të n numrave.

Formula për mesataren e thjeshtë gjeometrike është:

Mesatarja gjeometrike përdoret për gjetjen e përqindjeve

mesatare, indekseve mesatare dhe numrave të tjerë relativ.

( )( )( )...( ),

G X X X X ose

Shembull 6. Gjeni mesataren gjeometrike për

numrat: 2, 4, 6, 5

1 2 3)( )( )....(nnG X X X X

4 42 4 6 5 240G x x x

4 240 / logG

log log240 2,38 0,544 4

log 0,54/ log

G anti

Mesatarja gjeometrike e ponderuar

Llogaritet sipas formulës:

1 2 3)( )( )....( / lognff f f f

nG X X X X

1 1 2 2 3 3

1log log log log .... logn nG f x f x f x f x

1 2 3( )nnG x x x x

ixLogN

AntiLogG

G AntiLog f Log xf

31 2)( )( )....( nff f f fG X X X X

Te dhenat e pagrupuaraTe dhenat e grupuara

Mesatarja gjeometrike e ponderuar Shembull 7. Për të dhënat në vijim llogaritni mesataren

gjeometrike: x 2 4 5 3 Σ

f 5 2 6 4 17

31 2)( )( )....( nff f f fG X X X X

5 2 6 417 2 )(4 )(5 )(3 / logG

log 5log2 2log4 6log5 4log317

Shembull 7-vazhdim

log 5log2 2log4 6log5 4log317

log 5 0,30 2 0,60 6 0,699 4 0,4817

G x x x x

log 1,5 1,2 4,194 1.9217

log 8,81417

log 0,5185 / log17

G anti 3,2996 3,3G

Mesatarja geometrike – Norma mesatare e

zhvillimit

Shembull 8. Firma “Dardania” gjatë periudhës 2001-2005 ka

realizuar prodhimtari si në tabelën vijuese (prodhimi i shprehur në

tonelata)

Vitet Prodhimi/ton

2001 500

2002 700

2003 600

2004 500

2005 800

Sa është norma mesatare e shtimit për një vit?

Shembull 8-vazhdim

Së pari gjemë koeficientët zingjir k1, k2….

7001,4

6000,85......

Vitet Prodhimi/ton Koeficientët

zingjir (k)

2001 500 -

2002 700 1,4

2003 600 0,85

2004 500 0,833

2005 800 1,6

1 2 3)( )( )....(nnG k k k k

4 1,4)(0,85)(0,8333)(1,6G

Shembull 8-vazhdim

4 1,6 / logG

log log1,64

0,20412

log 0,051034

log 0,05103/ logG anti

1,125 100 112,5G x

112,5 100 12,5%Nmzh

12,5%Nmzh

4 1,4)(0,85)(0,8333)(1,6G

Shembull 8-vazhdim Normën mesatare të shtimit mund ta gjejmë edhe përmes formulës

vijuese:

1,6 / log

4 1,6 / log

0,204120,05103 / log

1,125 100 112,5

112,5 100 12,5

logNzh anti

Mesataret e pozicionit

Mesataret e pozicionit për dallim nga

mesataret algjebrike gjinden në bazë të

pozitës që e marrin në serinë statistikore.

Te këto mesatare nuk kanë ndikim vlerat

ekstreme, gjegjësisht vlerat minimale dhe

maksimale.

Në mesatare të pozicionit bëjnë pjesë:

- Mediana

- Moda

Madhësi të tjera të pozicionit

Kuartilet - i ndajnë të dhënat e serisë në

katër pjesë të barabarta

Decilet- i ndajnë të dhënat në 10 pjesë të

barabarta

Percentilet- i ndajnë të dhënat në 100

pjesë të barabarta

Mediana/Mesorja

Mediana: Vlera e mesit e vlerave të caktuara

pasi ato të jenë renditura prej vlerës më të

ulët deri te vlera më e lartë ose prej vlerës

më të lartë deri te vlera më e ulët.

Numri i vlerave është i njejtë mbi dhe nën

vlerën e medianës

Shënim: Nëse vlerë e mesit paraqiten dy

vlera , atëherë mediana është mesatare

aritmetike e thjeshtë e atyre dy vlerave.

Chap 3-43

Mediana

Në një varg të numrave të renditur sipas

madhesisë, mediana është numri i mesit (50%

mbi dhe 50% nën)

Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mediana = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mediana = 3

Gjetja e medianës

Pozita e medianes:

Nëse numrii të dhënave ështe tek, mediana është numri i mesit

Nëse numri i te dhënave eshtë qift, mediana është mesatare e dy

numrave të mesit.

Keni kujdes : nuk është vlera e medianës , por

vetëm pozita e medianës (vendi ku gjindet mediana) në

të dhënat e rregulluara.

nPozitaemedianes pozita netedhenat e rregulluara

MedianaShembull 1.

Llogaritni medianën për këto të dhëna:Mosha e pesë studentëve është: 21, 25, 19, 20, dhe 22 vjet.

Rregullimi i të dhënave sipas madhësisë është:

19, 20, 21, 22, 25.

Pra, mediana është 21.

Shembull 2.

Pesha e katër studentëve (në kg) është : 76, 73, 80, dhe

Regullimi i të dhënave sipas madhësisë është:

73, 75, 76, 80. Pra mediana është 75,5. 75 7675,5

Mediana për të dhënat e grupuara

Mediana për të dhënat e grupuara në distribucionin e

frekuencave llogaritet si vijon:

Së pari, gjejmë frekuencat kumulative;

Së dyti, gjejmë rangun e medianës :

Shembull 3. Për të dhënat në vijim gjeni medianën :

Mosha 18 20 25 40 50 60

Nr. i punëtorëve (f) 10 15 20 30 15 5 95

Mediana për të dhënat e grupuara

Mosha Nr. i

punëtor

ëve (f)

Frekuencat

kumulative

18 10 10

20 15 25

25 20 45

40 (Me) 30 75 ( Rme 47,5)

50 15 90

60 5 95

9547,5

Mediana për të dhënat e grupuara / seritë me

intervale

Mediana per seritë e ponderuara llogaritet me formulën:

Simbolet e formulës prezantojnë :

Me – simboli për medianën

X1 – limiti i fillimit të intervalit medial

X2 – limiti i fundit të intervalit medial

w1 – frekuenca kumulative mbi intervalin medial

w2- frekunca kumulative e intervalit medial

2 11 1

X X fMe X w

Mediana për të dhënat e grupuara / seritë

me intervale

Mediana te seritë me intervale mund të llogaritet

edhe përmes kësaj formule:

f wMe X d

Simbolet e formulës prezantojnë :

Me – simboli për medianën

X1 – limiti i fillimit të intervalit medial

w1 – frekuenca kumulative mbi intervalin medial

fme- frekunca absolute e intervalit medial

d - gjerësia e intervalit medial

Mediana për të dhënat e grupuara / seritë me

intervaleShembull 4 Për të dhënat në vijim gjeni medianën (Me)

Grupet Frekuencat Frekuencat

kumulative

0-5 2 2

5-10 7 9 (W1)

(X1)10-15

12 Rme=15 21 (W2)

15-20 6 27

20-25 3 30

15 10 5

10 . 15 9 10 6 10 2,5 12,521 9 12

2 11 1

X X fMe X w

12,5Me

Mediana te seritë me intervale

15 910 5 12,5

f wMe X d

Vetitë e medianës/mesorës

Ekziston vetëm një medianë për një grumbull të të dhënave .

Nuk ndikohet nga vlerat maksimale dhe minimale dhe për këtë është e përshtatshme dhe e besueshme për të treguar tendecën qendrore kur kemi kësi lloj raste.

{3, 4, 5, 6, 7} Mediana = 5

{3, 4, 5, 6, 700} Mediana = 5

Mund të llogaritet edhe në rastet kur kemi intervale të hapura me kusht që mediana të mos qëllojë në atë interval.

Chap 3-53

Moda Moda është vlera e vrojtimeve që shfaqet më së shpeshti, gjegjësisht

vlera e karakteristikës që e ka frekuencën më të madhe.

Te seritë e thjeshta nuk ka modë.

Shembull 2. : Sa është moda për secilën seri të numrave të dhënë:

a) 5 20 125 150 450 (nuk ka modë)

b) 5 20 20 150 450 (20)

c) 5 5 80 80 180 (5 dhe 80)-bimodale

Seritë me më shumë se dy moda quhen seri multimodale

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Moda = 9

0 1 2 3 4 5 6

Ska Modë

Moda për të dhënat e grupuara.

Shembull 6. Nga të dhënat e tabelës gjeni sa është

punëtorëve

40 M0 30 (f max)

Moda për të dhënat e grupuara/ Seritë me intervale

Simbolet e formulës prezantojnë:

Mo- simboli për modën

X1 – limiti i fillimit të intervalit modal

f2– frekuenca e intervalit modal

f1 – frekuenca absolute mbi intervalin modal

f3 – frekuenca absolute nën intervalin modal

d- gjerësia e intervalit

2 1 2 3( ) ( )o

f fM X d

f f f f

Moda për të dhënat e grupuara/

Seritë me intervale

Shembull 7 . Nga të dhënat e tabelës gjeni sa është

Grupet Frekuencat

0 - 5 2

5 - 10 f 1 7

10 - 15 f 2 12

15 - 20 f 3 6

20 - 25 3

2 1 2 3( ) ( )o

f fM X d

f f f f

12 7 510 5 10 5

(12 7) (12 6) 5 6oM

2510 10 2,27 12,27

Karakteristikat e modës

Përdorim më i vogël

E vetmja metodë për matjen e

tendecës qendrore të të dhënave

kualitative nominale.

Mund të ketë distribucione me më

shumë moda

Mund të ketë distribucione pa modë.

Zgjedhja e mesatares nga të dhënat në

Në distribucionin normal, gjegjësisht simetrik të frekuencave ku të dy pjesët e poligonit të frekuencave janë plotësisht të njejta , të tri mesataret :aritmetike, moda dhe mediana janë të barabarta.

Te distribucionet jo simetrike raportet në mes të këtyre tri mesatareve ndryshojnë.

Në distribucionin asimetrik pozitiv në të djathtë mesatarja aritmetike është më e madhe në krahasim me medianën dhe modën, sepse mesatarja aritmetike është e ndikuar më shumë se moda dhe mediana nga disa vlera shumë të larta.

Në distribucionin asimetrik negativ në të majtë, mesatarja aritmetike është më e vogël se mesataret tjera , gjegjësisht mediana dhe moda sepse ajo është e ndikuar më shumë nga disa vlera shumë të vogla.

Nëse distribucioni është shumë asimetrik atëherë mesatarja aritmetike nuk është përfaqësuese e mirë e distribucionit.

Distribucioni simetrik/normal

“Asimetri zero”

Moda = Mediana = Mes.aritmetike

Mediana

Mes.aritmetike

Distribucioni me asimetri në të djathtë

“Asimetri pozitive”

Mes.aritmetike dhe Mediana janë në anën e djathtë të

Modës.

Moda<Mediana<Mes.aritmetike

Mediana

Mes.aritmetike

Distribucioni me asimetri në të majtë

“Asimetri negative”

Mes.aritmetike dhe Mediana janë në anën e majtë të

Modës.

Mes.aritmetike<Mediana<Moda

Mediana

Mes.aritmetike

Shembull:

Rezultatet e testit nga provimi i statistikes. Gjeni mesataren aritmetike,

modën , medianën dhe paraqitni grafikisht të dhenat permes poligonit të

frekuecave, cfarë shpërndarje ka seria.

Vrojtimi Frekuenca

Llogaritja e mesatares aritmetike, modes dhe medianes

X F X*F Fkumulat

ive (nen)

65 1 65 1

70 2 140 3

75 3 225 6

80 4 320 10

85 3 255 13

90 2 180 15

95 1 95 16

16 1280

128080 80

Mo Me X shperndarja simetrike

Shperndarja eshte plotesisht simetrike

60 65 70 75 80 85 90 95 100

Te dhenat X

Mo =Me =X

Shembull

Mes.art.: ($3,000,000/5)

= $600,000

Mediana: vlera e mesit e të

dhënave të rregulluara = $300,000

Moda: Vlera më e shpeshtë

= $100,000

Çmimet e shtëpive:

$2,000,000

500,000

300,000

100,000

Shuma 3,000,000

Madhësi të tjera të pozicionit të dhënave

Madhësi të tjera

të pozicionit

Percentilet Kuartilet

Kuartili i 1rë = ¼ e të dhënave

Kuartili i 2të = ½ e të dhënave

= medianën

Kuartili i 3të = ¾ e të dhënave

E ndajnë serinë në 100

pjesë të barabarta

Kuartilet

Kuartilet i ndajnë të dhënat në katër grupe

25% 25% 25% 25%

Të dhënat : 11 12 13 16 16 17 18 21 22

Shembull: Gjeni kuartilin e parë

(n = 9)

Q1 = (n+1)/4 = (9+1)/4=2,5 (9+1)/4 = 2.5 pozita

Kështu që shfrtëzon vlerat në mes të 11 dhe 13 (12+13)/2=12.5

ashtu që Q1 = 12.5

Q1 Q2 Q3

Kuartili i parë dhe i tretë për të dhënat e grupuara

Shembull 8. Nga të dhënat e tabelës gjeni sa është

Kuartili i parë dhe Kuartili i tretë.

f wQ X d

Grupet Frekue

Frekuenc

kumulativ

0-5 2 2

5-10 7 9

10-15 12 21

15-20 6 27

20-25 3 30

7,5 2 5,5 27,55 5 5 5 5 5 3,9 8,93

7 7 7Q

1 8,93Q

Quartili i tretë

f wQ X d

3 3 3022,5

22,5 2115 5

1,5 7,515 5 15 15 1,25 16,25

Konceptet kyçe

Mesataret algjebrike

Norma mesatare e

zhvillimit

Mesataret e pozicionit

Mediana

Kuartilet

Decilet

Percentilet

Distribucioni simetrik

Asimetri negative

Asimetri pozitive

Dini rëndësinë e treguesve të dispersionit dhe pse përdoren ata.

Llogaritni dhe interpretoni treguesit absolut të variacionit, gjegjësisht gjerësinë e variacionit, devijimin mesatar apsolut, variancën dhe devijimin standard për seritë e thjeshta dhe seritë e ponderuara.

Spjegoni karaktristikat, përdorimin, përparësitë dhe të metat për çdo tregues apsolut të variacionit

Të dini të interpretoni devijimin standard dhe të kuptoni Rregullën Empirike/normale

Llogaritni dhe të kuptoni koeficientin e variacionit dhe interkuartilit.

Treguesit e dispersionit/shpërndarjes/variacionit

Qëllimet:Në fund të orës së mësimit, ju duhet të jeni në gjendje që të :

Termat e treguesve te variacionit

Variacion

Dispersion

Shmangie

Devijim

Shpërndarje

Ndryshueshmëri

Luhatshmëri

Pse duhet të studiohet dispersioni?

Vlerat mesatare prezantojnë populacionin statistikorë në tërësi. Dy apo më shumë populacione mund të kenë madhësi të njëjtë mesatare, mirëpo dallohen sipas shpërndarjes rreth qendrës së shpërndarjes. P.sh.

I: 100; 100; 100; 100; 100. 500, 100: 100; 108; 107; 105; 80. 500, 100: 2; 5; 4; 486; 3. 500, 100

X XII X XIII X X

Σ = =

Pse duhet të studiohet dispersioni/shmangia?

Në serinë e parë , çdo e dhënë është e përfaqësuar në mënyrë perfekte me mesataren aritmetike. Këtu nuk kemi dispersion/shpërndarje.

Në serinë e dytë , vetëm një e dhënë është e përfaqësuar përmes mesatares së vet në mënyrë perfekte, kurse të dhënat e tjera devijojnë nga mesatarja aritmetike.

Në serinë e tretë të dhënat individuale devijojnë shumë nga mesatarja aritmetike dhe vlera mesatare në këtë rast nuk prezanton mirë dukurinë.

Pse duhet të studiohet dispersioni?

1) Për të vërtetuar rëndësinë prezantimit të tërësisë statistikore përmes një vlere mesatare. Kur dispersioni është i vogël, vlera mesatare prezanton në mënyrë të besueshme çdo vlerë. Kur dispersioni është i madh vlera mesatare nuk është e besueshme dhe e dobishme.

2) Për të krahasuar dy apo më shumë seri statistikore në kuptimin e shpërndarjes së të dhënave.

3) Të lehtësoj shfrytëzimin e treguesve të tjerë statistikorë.

Treguesit e dispersionit/variacionit

Treguesit e dispersionitshpërndarjes

RelativAbsolut

1. Gjerësia e variacionit,2. Devijimi mesatar apsolut3. Devijimi standard4. Varianca

1. Koeficienti i variacionit,2. Koeficienti i interkuartilit,

Treguesit absolut të variacionit për

seritë e thjeshta

Gjerësia e variacionit: gjv = Xmax-Xmin

Devijimi mesatar absolut:

Varianca:

Devijimi standard:

Treguesit absolut shprehen në njësi të njejta të matjes si dukuria

X Xshma

nΣ −

2 ( )X Xn

σ Σ −=

2( )X Xn

σ Σ −=

Treguesit absolut/

Gjerësia e variacionit

Për seritë e thjeshta gjerësia e

variacionit është ndryshimi në mes të

vlerës më të lartë dhe vlerës më të ulët të

të dhënave të hulumtuara.

Gjerëaia e variacionit

Gjv = Xmax-Xmin

Shembull 1:

Rrogat në orë (të shprehura në €) për të

punësuarit në kompanin “A” dhe “B” janë si

vijon:

“A”: 2, 10, 6, 8, 9

“B”: 5, 9, 7, 6, 8

“A”: Gjv = Xmax-Xmin = 10 - 2= 8 €

“B”: Gjv = Xmax-Xmin = 9 - 5= 4 €

Sa është gjerësia e variacionit

në të dy kompanitë?

Përparësitë :

1. Është i thjeshtë për ta kuptuar.

2. Është i lehtë për ta llogaritur.

3. Përdoret për kontrollin e kualitetit statistikor të proceseve, për parashikimin e kohës, etj.

Të metat:

1. Ndikohet shumë nga vlerat ekstreme.

2. Është i bazuar në dy vrojtime ekstreme.

3. Nuk mund të llogaritet për klasët e hapura te seritë me intervale.

4. Përdoret shumë rrallë.

Devijimi mesatar absolut/shmangia

mesatare absolute:

Devijimi mesatar absolut është Mesatare

aritmetike e vlerave absolute të devjimeve

nga mesatarja aritmetike.

X – vlerat individuale;

- mesatajra aritmetike;

n- numri i elementeve të serisë.

X Xshma

nΣ −

Shenjat për vlerë

absolute

Devijimi mesatar absolut (shma)

Shembull 2 : Rrogat në orë (të shprehura në €)

për të punësuarit në kompanin “A” dhe “B” janë

si vijon:

“A”: 2, 10, 6, 8, 9;

“B”: 5, 9, 7, 6, 8;

Sa është devijimi mesatar absolut në të dy kompanitë?

Shembull 2, vazhdim

Rrogat/A/€ Rrogat/B/€

X X-X X-X X X-X X-X

2 -5 5 5 -2 2

10 3 3 9 2 2

6 -1 1 7 0 0

8 1 1 6 -1 1

9 2 2 8 1 1

35 0 12 35 0 6

35 7€5

12 2.4€2

Kompania A

== = =

Σ −= = =

35 7€5

6 1.2€5

Kompania B

== = =

Σ −= = =

Devijimi mesatar absolut (shma)Përparësitë dhe të metat

Përparësitë: Merr në konsiderim të gjitha vlerat në llogaritje;

Është i lehtë për tu kuptuar dhe lexuar – është vlera mesatare e devijimeve të vlerave individuale nga mesatarja e tyre aritmetike.

Të metat: Përdorë vlerat absolute me të cilat është vështirë të

punohet.

Pak përdoret në krahasim me treguesit e tjerë të variacionit e sidomos në krahasim me devijimin standard.

Varianca dhe Devijimi standard

Varianca dhe devijimi standard, të dyja

bazohen në devijimet nga mesatarja

aritmetike.

Varianca- mesatarja aritmetike e

devijimeve nga mesatarja të ngritura në

katror

Devijimi standard është rrënja katrore e

variancës

Varianca

Varianca për të dhënat e thjeshta është mesatarja aritmetike e devijimeve nga mesatarja të ngritura në katror.

var lim

Nsimboli per iancen e popu it

X vlerat evrotimeveindividualeX mesatarja aritmetikee mostresN numri total i vrojtimeve

−−

Devijimi standard

Devijimi standard është rrënja katrore e

variancës, gjegjësisht:

tan( )

devijimi s dardX X shuma e devijimeve nga X te ngritura ne katror

n numri i elementeve

Σ −=

Σ − −−

Varianca dhe devijimi standard

/shembull vazhdim

Rrogat

2 -5 25 5 -2 4

10 3 9 9 2 4

6 -1 1 7 0 0

8 1 1 6 -1 1

35 0 40 35 0 10

22 ( ) 40 8 €

nσ Σ −

= = =2

2 ( ) 10 2 €5

σ Σ −= = =

2( ) 40 8 2.8 €5

σ Σ −= = = =

2( ) 10 2 1,41 €5

σ Σ −= = = =

( )X X− 2( )X X−

Varianca

Dev.standard

( )X X− 2( )X X−

Varianca Përparësitë dhe të metat

Përparësitë Në llogaritje përfshihen të gjitha të dhënat

Shprehet në njësi të njëjta si të dhënat por

të ngitura në katrorë.

E metë Është shumë vështirë të interpretohet.

Devijimi standard…

►Mat shumë mirë variabilitetin e të

dhënave.

► Ka lidhje të ngusht me mesataren

aritmetike.

► Është shumë i rëndësishëm për

zhvillimin e teorisë statistikore.

► Gjindet lehtë përmes softverëve!

të dhënat e grupuara

Llogariten për seritë e ponderuara dhe

shprehen në njësi të njetja të matjes

sikurse dukuria. Ata janë:

a) Gjerësia e variacionit (Gjv):

b) Devijimi/shmangia/ mesatar absolut

(shma) ose d

c) Varianca

d) Devijimi standard

( )σ( )2σ

Gjerësia e variacionit: gjv = Xmax-Xmin

Devijimi mesatar absolut:

Varianca:

Devijimi standard:

Treguesit absolut shprehen në njësi të njejta të matjes si dukuria

f X Xshma

fΣ −

22 ( )f X X

fσ Σ −

2( )f X Xf

σ Σ −=

Shembull:

Për të dhënat vijuese të llogariten treguesit

absolut të variacionit.

x 3 5 8 10 12 Σ

f 2 8 5 3 2 20

3 2 6 4 8 16 32

5 8 40 2 16 4 32

8 5 40 1 5 1 5

10 3 30 3 9 9 27

12 2 24 5 10 25 50

20 140 48 146

X X− f X X−

X f⋅ 2( )X X− 2( )f X X⋅ −

Treguesit e variacionit /të dhënat e

grupuara

a) Gjerësia e variacionit:

GJv=XMax- Xmin

Gjv=12-3=9

b) Devijimi mesatar apsolut (shma)

48 2, 420

f X XShma

fΣ −

= = =Σ

140 720

Treguesit absolut të variacionit /të

dhënat e grupuara

c) Varianca

d) Devijimi standard

2 1( )

146 7,320

−= = =

2( ) 7,3 2,70f X Xf

σ Σ −= = =

Interpretimi dhe përdorimi i devijimit

standard

Devijimi standard është treguesi absolut i variacionit që përdoret më së shumti.

Sa më i vogël që është devijimi standard kjo nënkupton që vlerat individuale të variablës janë të vendosura, gjegjësisht janë të koncentruara më afër mesatares aritmetike.

Sa më i madh që është devijimi standard vlerat individuale të variablës janë të vendosura më larg gjegjësisht janë të shpërndara më larg mesatares aritmetike.

Interpretimi dhe përdorimi i devijimit

standard

Rregulla empirike/normale: Për çdo distribucion

normal/simetrik/ në formë kambane/,

Përafërsisht 68% e vrojtimeve gjendet në mes

mesatares aritmetike dhe

Përafërsisht 95% e vrojtimeve gjendet në mes të

mesatares aritmetike dhe

Përafërsisht 99.7% gjendet në mes të mesatares

aritmetike dhe

1σ±µ

3σ±µ

µ−3σ µ−2σ µ−1σ µ µ+1σ µ+2σ µ+ 3σ

Lakorja simetrike (në formë këmbane) që tregon raportet në mes të dhe .µ σ

68.26%

95.44%

99.74%

Rregulla empirike

Ose rregulla

68%; 95%; 99.7%

Lakorja simetrike (në formë këmbane) që tregon raportet në mes të dhe .µ σ

−3σ −2σ −1σ +1σ +2σ + 3σ

68.26%

95.44%

99.74%

X XXXX XX

Lakorja simetrike (në formë këmbane) që tregon raportet në mes të dhe .X σ

Shembull

Një mostër që prezanton shumën e shpenzimeve mujore për ushqime nga një qytetar i moshuar që jeton vetëm i ofrohet shpërndarjes normale në formë kambane. Mesatarja e mostrës është 150$ kurse devijimi standard është 20$.

1. Rreth 68% e shpenzimeve mujore janë në mes të cilave vlera?

2. Rreth 95% e shpenzimeve mujore janë në mes të cilave vlera?

3. Gati të gjitha shpenzimet mujore janë në mes të cilave vlera?

Zgjidhje

1. 130$ 170$1 150$ 1(20$)

2. 110$ 190$2 150$ 2(20$)

3. 90$ 210$3 150$ 3(20$)

Rreth jane ne mes te dheX

± = ±

Treguesit relativ të

variacionit/Dispersioni relativ

Treguesit relativ të variacionit përdoren në rastet kur dëshirojmë të bëjmë krahasimin e shpërndarjes së dy apo më shumë dukurive në rastet kur:

1. Të dhënat janë në njësi të ndryshme të matjes;

2. Të dhënat janë në njësi të njejta por në kuptim ato dallohen shumë ( si të ardhurat e menaxherëve dhe të ardhurat e punëtorëve të pakualifikuar)

Treguesit relativ të

variacionit/Dispersioni relativ

Treguesit relativtë variacionit

Koeficienti ivariacionit

Variabla e standaridizuar/Devijimi inormalizuar

Koeficienti iinterkuartilit

Koeficienti i variacionit

Koeficienti i variacionit është raporti në mes

të devijimit standard dhe mesatares aritmetike i

shprehur në përqindje:

Autor i këtij treguesi është Karl Pearson(1857-

100KVXσ

Shembull:

Produktiviteti mesatar për një punëtor në ndërmarrjen

A është 1000 copë, me devijim standard 80 copë.

Produktiviteti mesatar për një punëtor në ndërmarrjen

B është 600 copë,ndërsa devijimi standard 72 copë.

Në cilën ndërmarrje kemi shpërndarje më të madhe

të produktitvitetit të punës.

Shembull-vazhdim

: 1000 ë 80 ëB: 600 ë 72 ëA X cop cop

X cop copσ

A80Kv 0,08 100 8%

1000Xσ

= = = ⋅ =

B72Kv 0,12 100 12%600X

σ= = = ⋅ =

Shembull Në një shkollë 350 nxënës kanë

gjatësinë mesatare 129 cm, me devijim

standard 5,9 cm. Ky grup i nxënësve ka

peshën mesatare 27 kg, me devijim standard

3,2 kg.

Ku është variabiliteti më i madh , te gjatësia

apo te pesha e këtij grupi të nxënësve.

: 129 , 5,9: 27 , 3, 2

Gjatesia X cm cmPesha X kg kg

5,9( ) (100) 100 4,5%129

3,2( ) (100) 100 11,8%27

KV cmX

KV kgX

= = ⋅ =

Shembull 3 Në dy ndërmarrje prodhimi mujor gjatë

një tremujori ka qenë si vijon:

Ku është variacioni më i madh , te ndërmarrja A

apo ndërmarrja B

Prodhimi në tonelata sipas muajve

Muajt Ndërmarrja A Ndërmarrja B

I 6 60

II 7 70

III 8 80

21 210Σ

211: 7 0,81232102 : 70 8,12

Ndermarrja X ton

0,812 100 11,6%7

8,12 100 11,6%70

= ⋅ =

Shembull -vazhdim

Variabla e standardizuar/normalizuar/Devijimi i

standardizuar/ z-scores

Devijimi i standardizuar prezanton masën e

devijimeve të ndonjë të dhëne të vecantë nga

mesatrja aritmetike e shprehur në njësi të devijimit

standard. Llogaritet në këtë mënyrë:

Vlera Z ose t: Distanca në mes të vlerës së selektuar, e

shënuar me X dhe mesatares së populacionit, e ndarë me

devijimin standard të populacionit.

Distribucioni normal me mesatare 0 dhe devijim

standard 1 quhet distribucion standard normal .43

X X XZ ose tµσ σ− −

SHEMBULL

Të ardhurat mujore të posa diplomuarve

në një korporatë të madhe kanë

shpërndarje normale me mesatare

aritmetike prej µ= $2000 dhe devijim

standard prej σ= $200. Sa është vlera e Z për një të ardhur prej x= $2200?

Për një të ardhur prej X=$1700?

2200 2000 1200

XZ µσ− −

SHEMBULL 1 vazhdim

Për X=$1700,

Vlera Z = 1 tregon se vlera 2200$

është 1σ mbi mesataren aritmetike prej

$2000, derisa Vlera Z=-1,5 tregon se

vlera prej $1700 është 1.5 σ nën

mesataren aritmetike që është $2000.

1700 2000 1,5200

XZ µσ− −

= = = −

SHEMBULL 3.

o Përdorimi ditor i ujit për person në

komunën X ka shpërndarje normale me

mesatare 20 galon dhe me devijim

standard 5 galon.

a) Rreth 68% e shfrytëzuesve të ujit në

komunën X gjendet në mes të cilave

vlera?

Për këtë, rreth 68% e shfrytëzuesve ditor të

ujit do të jetë ndërmjet 15 dhe 25 galon.

).5(1201 ±=± σµ

20 , 5X galon galonσ= =

SHEMBULL 3

b) Sa përqind e personave përdorin më pak se 20 galon ujë brenda ditës.

Vlera e Z: Z=0. Kështu,P(X<20)=P(Z<0)=0.5, gjegjësisht 50% e personave përdorin më pak se 20 galon ujë brenda ditës.

20 20 05

XZ µσ− −

SHEMBULL 3, vazhdim

c) Sa përqind përdorin në mes të 20 dhe 24 galon?

Vlera e Z e lidhur me X=20 është Z=0 dhe me X=24, Z=0.8. Kështu, P(20<X<24)=P(0<Z<0.8)=28.81%(Këtë përqindje e gjejmë në tabelën e shpërndarjes

normale në fund të librit, fq. 360)

20 , 5 , 24X galon galon Xσ= = =

24 20 0,85

X XZσ− −

r a l i t r b u i o n : µ = 0 ,

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P(0<Z<.8)

=0.2881

SHEMBULL 3

0<X<0.8

Irwin/McGraw-Hill © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999Bazat e Statistikës Dr. Rahmije Mustafa -Topxhiu

SHEMBULL 3 vazhdim

d) Sa përqind e popullsisë përdorë në mes

të 18 dhe 26 galon?

Vlera e Z e lidhur me X=18 është:

Vlera e Z e lidhur X=26 është

P(18<X<26)

=P(0.4<Z<1.2)=0.1554+0.3849=0.5403 x 100=54.03% (fq. 360 e

librit)

18 20 0.45

X XZσ− −

= = = −

26 20 1.25

X XZσ− −

SHEMBULL 4

Bakshishi që një kamerier në një restaurant ekskluziv merr në një ndërrim ka shpërndarje normale me mesatare 80$ dhe devijim standard $10. Zana ndjen se ka ofruar shërbime jo të mira (të dobëta) nëse bakshishi total për një ndërrim është më i vogël se 65 $. Sa është probabiliteti se ajo ka ofruar shërbime të dobëta?

Le të jetë X sasia e bakshishit. Vlera e Z e lidhur me X=65 është Z= (65-80)/10= -1.5. Kështu, P(X<65)=P(Z<-1.5)=0.5-0.4332=0.0668.

Koeficienti i interkuartilit

Koeficienti i nterkuartilit llogaritet me formulën:

Q QKqQ Q

Kq koeficienti i erkuartilitQ kuartili i treteQ Kuartili i pare

+−−−

f wQ X df

Σ −= + ⋅

f wQ X df

Σ −= + ⋅

Shembull: Nga të dhënat në vijim, gjeni

koeficientin e interkuartilit

Grupet 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22

Frekuencat 1 4 10 3 2 20

14 10 4 0,1614 10 24

Q QKqQ Q

− −= = = =

Koeficienti i interkuartilit ( Kq) merr vlerat prej 0 deri në 1.

Përparësitë dhe të metat

Përparësitë :

1. Llogaritet dhe kuptohet lehtë;

2. Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme;

3. Mund të llogaritet në seritë me intervale të mbyllura dhe të hapura.

Të metat:

1. Nuk bazohet në të gjitha vlerat por vetëm në dy vlera pozicionale Q1 dhe Q3.

3. Ndikohet nga fluktuacionet e mostrës.

Konceptet kyçe

Treguesit e variacionit

Devijimi mesatar

absolut

Devijimi standard

Varianca

Rregulla empirike

Koeficienti i

variacionit

Variabla e

standardizuar/normal

Koeficienti i

interkuartilit

Shembuj të tjerë

Shembull. Në 10 teste studenti A dhe B kanë fituar këta poena:

Përcaktoni se cili student është më i arsimuar dhe cili i ka rezultatet më stabile(homogjene)

A: 25 50 45 30 70 42 36 48 34 60

B: 10 70 50 20 95 55 42 60 48 80

Shembuj të tjerë Shembull. Nga distribucioni i mëposhtëm i frekuencave

llogaritni dhe gjeni :

a) Sa është gjerësia e intervalit

b) Sa është devijimi standard

c) Sa është varianca

d) Gjeni koeficientin e variacionit dhe koeficientin e dispersionit

e) Koeficientin e interkuartilit

Gjeni koeficientin e asimetrise dhe paraqitni grafikisht te dhenat. Distribucioni a eshte simetrik apo asimetrik.

Grupet 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70

Frekuencat 7 12 21 18 12 70

Numrat indeksor dhe tregues të tjerë ekonomik

Qëllimet

Në fund të orës së mësimit ju duhet të jeni në gjendje që të:

Përshkruani se çka kuptoni me indekse.

Kuptoni dallimet në mes të indekseve të thjeshta/individuale dhe

indekseve të ponderuar/agregat/gruporë.

Konstruktoni dhe interpretoni indeksin e çmimeve sipas Laspeyres-it.

Konstruktoni dhe interpretoni indeksin e çmimeve sipas Paasche-ut

dhe Edgworth-it

Konstruktoni dhe interpretoni Indeksin e Vlerës.

Shpjegoni se si konstruktohet Indeksi i Çmimeve të konsumit/Indeksi i

kostos së jetesës (CPI) dhe për çka përdoret.

Llogaritni dhe interpretoni disa tregues të tjerë ekonomik (treguesit e

strukturës dhe treguesit e dinamikës dhe të intenzitetit)

Numrat indeksor

Numri indeksor është një numër që mat ndryshimet relative në: çmime, sasi, vlerë ose në ndonjë njësi tjetër që është me interes prej një periudhe në një periudhë tjetër.

Çdo indeks ka një bazë që është pikë fillestare për të gjitha krahasimet dhe shumica e indekseve e kanë bazën 100.

Shembull: Në vitin 2007/08 në Fakultetin Ekonomik janë pranuar 1200 studentë , kurse në vitin akademik 2008/2009, janë regjistruar 1600 studentë. Sa është indeksi i pranimit të studentëve në vitin 2009, krahasuar me vitin 2008.

Numrat indeksor

Shembull, vazhdim

Zgjidhje :2009 1600

100 100 133,332008 1200

. 100 133,33 100 33,33%

2009 33,3%

Studentet e regjistruarInd

Studentet e regjistruar

Nevitin jane regjistruar

me shume studente se ne vitin

Numrat indeksor

Në bazë të disa vlerësimeve të Entit të Statistikës së Kosovës të

vitit 2002,Komuna e Prishtinës ka rreth 500.000 banorë , kurse

komuna e Pejës ka rreth 181.130 banorë.

Sa është indeksi i popullsisë së Prishtinës në krahasim me

Popullsinë e komunës së Pejës. Komento rezultatin.

Zgjidhje

Pr 500.000100 100 276

181.130

100 276 100 176%

Pr sin

Popullsia e ishtinesInd

Popullsia ePejes

Popullsia e ishtines krahasuar me popull e Pejes

eshteme e madhe per

Shembull

Pse bëhet shndërrimi i të dhënave

në indekse?

Indekset lehtësojnë krahasimin e serive të ndryshme,

gjegjësisht të dukurive të ndryshme.

Një indeks është një mënyrë e përshtatshme për të shprehur

ndryshimet e një grupi të përgjithshëm të njësive heterogjene.

Për shembull, Indeksi i çmimeve të konsumit përfshin rreth 400 njësi dhe

vetëm me shndërrimin e çmimeve të këtyre njësive të llojllojshme që paraqesin

produkte dhe shërbime të ndryshme në një numër indeksor, qeveritë dhe të

tjerët të interesuar për inflacionin dhe çmimin e konsumit mund të informohen

drejt.

Ndryshimi në përqindje shpesh është më i lehtë për tu kuptuar

se sa numrat aktual, veçanërisht kur numrat janë të mëdhenj.

Llojet e numrave indeksor

LLojet e indekseve

Indekset e ponderuar/Agregat/gruporë

Indekset e thjeshtë/individual

1. Indeksi çmimeve

2. Indeksi i sasisë

3. Indeksi i vlerës

1.Indeksi çmimeve

2.Indeksi i sasisë

4. Indeksi për qëllime të veçanta

Indekset individuale/të thjeshtë

Indeksi i thjeshtë është një numër indeksor që përdoret për të matur ndryshimet relative/në përqindje vetëm në një variabël. Ai është normë e dy vlerave të një variable e shprehur në përqindje.

Një indeks mund të klasifikohet si indeks i çmimeve, indeks i sasisë, indeks i vlerës,

Indeksi i çmimeve mat ndryshimet në çmime në mes të periudhës selektuese si bazë dhe periudhës tjetër si raportuese.

Indeksi i sasisë mat ndryshimet në sasinë e konsumuar ose prodhuar nga periudha bazë në një periudhë tjetër.

Llojet e numrave indeksor

Indeksi i vlerës mat ndryshimet në vlerë

të një apo më shumë njësive nga periudha

bazë në një periudhë tjetër. Vlerat për

periudhën bazë dhe për periudhën

raportuese gjinden duke shumëzuar

sasinë me çmimin ( PxQ)

Ndërtimi i numrave indeksor

/të thjeshtë

Indeksi i thjeshtë i çmimeve, Ip:

Le të jetë çmimi i periudhës bazë p0 dhe

çmimi i periudhës raportuese p1, atëherë

indeksi i çmimeve do të shprehet përmes

formulës:1

mimii periudhesbaze

mimii periudhes raportuese

Indeksi i çmimeve mund të jetë indeks bazë dhe indeks zinxhir

Indeksi bazë dhe indeksi zinxhir/vargor

Indeksi bazë paraqet raportin në mes të nivelit

të dhënë të serisë kohore ndaj nivelit apo

madhësisë së asaj serie të zgjedhur si bazë.

N 1- niveli raportues

N 0- niveli bazë

Indeksi bazë

Nëse nivelet e serisë kohore i shënojmë me :

N1, N2 , N3 ,N4 ,N5 ,N6 ,… dhe nëse nga seria

kohore si bazë për krahasim marrim nivelin e

parë, N1, atëherë indekset bazë llogariten si

vijon:

3 5 62 42 3 4 5 6

1 1 1 1 1

100; 100; 100; 100; 100;

100;ii

N N NN NI I I I I

N N N N N

Ndhe I

Indeksi bazë

3 51 2 41 2 3 4 5

3 3 4 3 3

100; 100; 100; 100; 100;

100;ii

N NN N NI I I I I

N N N N N

Ndhe I

Nëse si bazë për krahasim marrim nivelin e tretë N3

të të dhënës atëherë do të kemi :

Indekset zinxhirorë/vargorë

Indekset zinxhirorë/vargorë tregojnë ndryshimet

relative/në përqindje të dukurisë në periudhën

vijuese në raport me periudhën paraprake, dhe

llogariten sipas formulës:

Ni - niveli raportues, vijues

Ni-1 - niveli bazë (periudha paraprake)

Indekset zinxhirorë/vargorë

3 5 62 42 3 4 5 6

1 2 3 4 5

100; 100; 100; 100; 100;

100;ii

I nuk mund te gjin sepsenuk i kemi tedhenat enivelit paraprak

N N NN NI I I I I

N N N N N

Ndhe I

Indekset zinxhiroe/vargorë paraqesin raportin e secilës

madhësi raportuese të serisë ndaj madhësisë paraprake si

bazë.

Nëse nivelet e serisë kohore i shënojmë me :

N1, N2 , N3 ,N4 ,N5 ,N6,…. Ni, lndekset zinxhir llogariten si

vijon:

Indekset bazë dhe indekset zinxhirorë

Shembull 1

Tabela vijuese prezanton çmimin e një artikulli në periudha të ndryshme kohore.

Llogaritni :

a) Indekset e thjeshtë të çmimeve, për bazë të merret viti 2004

b) 2005=100

c) Indekset zinxhirore të çmimeve

d) interpretoni rezultatet

e) Paraqitni grafikisht rezultatet e fituara të indekseve.

Vitet 2004 2005 2006 2007 2008

Çmimet 15 20 21 30 25

Konstruktimi i indekseve bazë

Vitet Çmimi

2004=100

2004 15 (N1 ) 100

2005 20 (N2 ) (20/15)*100=133.33

2006 21 (N3 ) (21/15)*100=140

2007 30 (N4 ) (30/15)*100=200

2008 25 (N5 ) (25/15)*100=166.66

322005 2 2006 3

542007 4 2008 5

20 21100 100 133,33 100 100 140

30 25100 100 200; 100 100 166.66.

Interpretimi i indekseve bazë

Baza e indekseve =100

Indeksi mbi 100 – dukuria ka rritje

Indeksi nën 100 – dukuria ka rënje

Indeksi =100 – dukuria është në nivel të njejtë.

Në këtë rast themi se çmimi në vitin 2005

krahasuar me vitin 2004 është rritur për

33,33%. 17

2005 2 133,33 100 33,33%I

Shembull 1- vazhdim

Indekset bazë

Vitet Çmimi

Indeksi bazë

( 2005=100)

2004 15 (15/20)*100 =75

2005 20 (20/20)*100=100

2006 21 (21/20)*100=105

2007 30 (30/20)*100=150

2008 25 (25/20)*100=125

15100 100 0,75 100 75

21100 100 105

30100 100 150

25100 100 125

Kostruktimi i indekseve zinxhirorë

Vitet Çmimi

Indekset zinxhirë

2004 15 Nuk mund të llogaritet -

2005 20 (20/15)*100 =133,33

2006 21 (21/20)*100 =105

2007 30 (30/21)*100 =142,85

2008 25 (25/30)*100= 83,33

20100 100 133,33

21100 100 105

30100 100 142,86

25100 100 83,0

Interpretimi i rezultateve/indekseve

21100 100 105

105-100 = 5%, d.t.th çmimi ka shënur rritje për 5% në vitin 2006 në krahasim

me vitin 2005.

25100 100 83,0

83-100 = 17%, d.t.th çmimi ka shënur rënje për 17% në vitin 2008 në

krahasim me vitin 2007.

P.sh. Marrim indeksin zinxhiror për vitin 2006 dhe për vitin 2008.

Indeksi i thjeshtë i sasisë Iq

Indeksi i thjeshtë i sasisë, Iq:

Le të jetë sasia e periudhës bazë q0 dhe sasia

e periudhës raportuease q1, atëherë indeksi i

thjeshte i sasisë do të shprehet përmes

formulës:

0 sasia e periudhës baze

1-sasia e periudhës raportuese

Indekset bazë dhe indekset zinxhirorë të

sasisë

Shembull 2

Tabela vijuese prezanton sasinë e prodhuar (000kg) të një artikulli në periudha të ndryshme kohore.

Llogaritni :

a) Indekset e thjeshtë të sasisë, për bazë të merret viti 2001.

b) Indekset zinxhirore të sasisë

c) interpretoni rezultatet

d) Paraqitni grafikisht rezultatet e fituara të indekseve.

Vitet 2000 2001 2002 2003 2004

Çmimet 5 4 5 6 10

Shembull 2-vazhdim

Vitet Sasia

(000kg)

Indeksi bazë

( 2001=100)

Indekset

zinxhir

2000 5 125 -

2001 4 100 80,0

2002 5 125 125

2003 6 150 120

2004 10 250 166,66

5100 125

6100 150

10100 250

Shembull 2- vazhdim

Indekset zinxhirore të sasisë

4100 80

5100 125

6100 120

10100 166,66

Shndërrimi/Transformimi i indekseve bazë

në indekse zinxhirore dhe anasjelltas

Për nevoja praktike mund të bëhet transformimi,

gjegjësisht shndërrimi i:

indekseve bazë në indekse zinxhirore dhe

anasjelltas,

krijimi i indekseve bazë nga indekset

zinxhirore.

Marrim shembullin në vijim:

Transformimi i indekseve bazë në

indekse zinxhirore dhe anasjelltas

Vitet Sasia

(000kg)

Indeksi bazë

( 2000=100)

Indekset bazë

(2002=100)

Indekset

zinxhir

2000 5 100 83,33 -

2001 4 80.0 66,66 80,0

2002 6 120 100 150

2003 8 160 133,33 133,33

2004 10 200 166,66 125,0

2005 9 180 150 90

Shembull 3Tabela vijuese prezanton sasinë e prodhuar (000kg) të një artikulli në periudha të ndryshme kohore dhe indekset e llogaritura bazë dhe zinxhirore të sasisë.

Bëni transformimin e indekseve bazë në indekse zinxhirore dhe anasjelltas.

Transformimi i indekseve bazë në indekse

zinxhirore

2000 100

80100 80

120100 150

160100 133,33

200100 125

180100 90

Viti 2002=100

66,66100 80

100100 150

133,33100 133,33

166,66100 125

133,33

150100 90

166,66

Transformimi i indekseve zinxhirore në

indekse bazë

2000 100

(80 150) :100 120

(80 150 133,33) :100 160

(80 150 133,33 125) :100 200

(80 150 133,33 125 90) :100 180

Transformimi i indekseve zinxhirore në

indekse bazë

2002 100

100 : (150*80) 83.33

100 :150 66.66

133.33

(133 125) :100 166.65

(133 125 90) :100 150

Indekset agregate të ponderuar

Me indekse agregate të ponderuar, çdo njësi

ponderohet në bazë të rëndësisë së tij, dhe

zakonisht është sasia e shfrytëzuar e

mallrave ose shërbimeve.

Ata mund të jenë:

1.Indeksi çmimeve

2.Indeksi i sasisë

4. Indeksi për qëllime të veçanta.

Ndërtimi i indekseve agregate/të

ponderuar

Indekset agregate të ponderuar të çmimeve dhe të

sasisë marrin në konsiderim edhe çmimin edhe sasinë

e njësive dhe llogariten për një grumbull të njësive.

Ekzistojnë tri metoda bazë për konstruktimin e tyre:

Metoda e Laspeyres-it (Étienne Laspeyres, 1864)

Metoda e Paasche-ut (Herman Paasche, 1874)

Metoda e Edgworth-it

Metoda e Fisherit ( Irving Fisher)

Indeksi për qëllime të veçanta

Indeksi për qëllime të veçanta kombinon dhe

ponderon (peshon) një seri të grupeve heterogjene

për të arritur te ndonjë indeks i përgjithshëm për të

treguar ndryshimet në aktivitet e biznesit në raport

me dy periudha.

Në bazë të këtyre indekseve llogariten edhe:

Indeksi i Çmimit të Konsumit (CPI),

Indeksi i Çmimit të prodhuesve (Indeksi i

çmimeve me shumicë) (1890)

Indeksi i Produktivitetit të Punës,

Dow Jones Mesatarja e industrisë (DJIA), etj.

Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar

/ Indeksi i çmimeve dhe sasise

Metoda e Laspeyres-it : Kjo metodë përdorë sasitë dhe

çmimet e periudhës bazë si ponderë dhe llogaritet me

anën e formulave vijuese:

p0 – çmimi i periudhës bazë

p1 - çmimi i periudhës raportuese

qo- sasia e periudhës bazë

qo- sasia e periudhës raportuese

100L p

Indeksi i çmimeve

100L p

Indeksi i sasise

Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar /

Indeksi i çmimeve dhe sasise

Metoda e Paasche-ut. Kjo metodë përdorë sasitë

dhe çmimet e periudhës raportuese si ponderë dhe

llogaritet me anën e formulave vijuese:

p0 – çmimi i periudhës bazë

p1 - çmimi i periudhës raportuese

qo - sasia e periudhës bazë

q1 - sasia e periudhës raportuese

100P p

Indeksi i çmimeve

100P p

Indeksi i Sasise

Krahasimi në mes të indekseve të Laspeyres-it dhe

Paasche-ut

Indeksi i LASPEYRE-sit:

Kërkon që sasitë të caktohen vetëm nga periudha bazë.

Emëruesi është i fiksuar, kështu që indeksi mund të llogaritet sa herë që janë të njohura sasitë dhe çmimet e periudhës raportuese.

Indeksi i Laspeyres-it mund të krahasohet direkt për disa periudha kohore për faktin se emëruesi është fiks.

Ponderimi te Indeksi i Laspayeres-it mund të vjetërohet.

Kjo supozon që për çfarëdo ndryshimi të çmimit, sasitë e blera do të mbesin të njëjta, gjegjësisht, sa do që çmimet ngriten, e njëjta sasi e mallit do të blihet.

Krahasimi në mes të indekseve të Laspeyres-it dhe

Paasche-ut

INDEKSI I PAASCHE-ut

Kërkon që sasitë të përcaktohen për çdo periudhë, dhe kjo ka treguar se është shumë e shtrenjtë.

Emëruesi duhet të rillogaritet për çdo periudhë. Indeksi nuk mund të llogaritet deri në fund të periudhës deri sa të dihen sasitë dhe çmimet e periudhës vijuese.

Krahasimet mund të bëhen drejtpërdrejt në mes të vitit vijues dhe periudhës bazë për arsye se emëruesi duhet të rillogaritet për çdo vit.

Indeksi i Paasche-ut freskohet për çdo vit.

Efekti i ponderimit vijues nënkupton që rëndësi më e madhe i kushtohet mallrave që relativisht janë më të lira tani se sa kanë qenë në periudhën bazë.

Ndërtimi i indekseve agregate/të ponderuar /

Indeksi i çmimeve

Metoda e Edgworth-it. Kjo metodë si

ponderë merr sasitë e periudhës bazë dhe

periudhës raportuese dhe llogaritet sipas

formulës:

( )100

( )E p

p q qI

p0 – çmimi i periudhës bazë;

p1 - çmimi i periudhës raportuese;

qo - sasia e periudhës bazë;

q1 - sasia e periudhës raportuese.

Indekset ideale të çmimeve

Indeksi ideal i Fisherit (i publikuar me 1922)

Indeksi sipas mesatares aritmetike

F L PI I I

I indeksi i Laspayers it

I indeksi i Paasche ut

Indeksi i vlerës

Indeksi i vlerës : reflekton ndryshimet në

çmim dhe në sasi në periudhën raportuese

në krahasim me periudhën bazë.

Shembull

Çmimet dhe sasitë e shitura në një butik për lloje të ndryshme të mallrave në maj të vitit 2008 dhe maj të vitit 2009 janë si vijon:

a) Përcaktoni indekset individuale të çmimeve dhe të sasisë;

b) Llogaritni indeksin agregat të çmimeve dhe sasisë sipas të gjitha metodave.

c) Llogaritni indeksin e vlerës.

d) Interpretoni rezultatet.

Mallrat e shitura 2008 2009

Çmimi Sasia Çmimi Sasia

(1)Veshje 20 100 25 80

(2) Këpucë 40 50 50 60

(3) Qanta 30 100 40 70

Shembull-vazhdim

A) Indekset individuale të çmimeve:

50100 100 125

25100 100 125

40100 100 133,33

Shembull-vazhdim

Indeksi i Laspayres-it

Mallrat e

shitura

2008 2009

p1q0 p0q0Çmimi

Çmimi

(1)Veshje 20 100 25 80 2 500 2 000

(2) Këpucë 40 50 50 60 2 500 2 000

(3) Qanta 30 100 40 70 4 000 3 000

Gjithsej: 9 000 7 000

9000100 100 128,57

7000L p

Shembull-vazhdim

Indeksi i Paasche-ut

Mallrat e

shitura

2008 2009

p1q1 p0q1Çmimi

Çmimi

(1)Veshje 20 100 25 80 2 000 1 600

(2) Këpucë 40 50 50 60 3 000 2 400

(3) Qanta 30 100 40 70 2 800 2 100

Gjithsej: 7 800 6 100

7800100 100 127,87

6100P p

Shembull-vazhdim

Indeksi i Edgworth-it

Mallrat e

shitura

2005 2006

q0+q1 p1(q0+q1) po(q0+q1)

(1)Veshje 20 100 25 80 180 4 500 3 600

(2) Këpucë 40 50 50 60 110 5 500 4 400

(3) Qanta 30 100 40 70 170 6 800 5 100

Gjithsej: 16 800 13 100

( ) 16800100 100 128,24

( ) 13100E p

p q qI

Shembull-vazhdim

Indeksi i Fisherit

Indeksi sipas mesatares aritmetike

128,6 127,87 16444,082 128,23F L PI I I

127,87 128,6128,22

Shembull-vazhdim

Indeksi i vlerës

7800100 100 111.42

Mallrat e

shitura

200 2009

p0q0 p1q1Ç

(1)Veshje 20 100 25 80 2 000 2 000

(2) Këpucë 40 50 50 60 2 000 3 000

(3) Qanta 30 100 40 70 3 000 2 800

Gjithsej: 7 000 7 800

Indeksi i Çmimeve të Konsumit (CPI-Consumer

Price Index)

IÇK/ (CPI) mat ndryshimet në çmim të një “shporte fikse të mallrave dhe shërbimeve ” prej një periudhe në një periudhe tjetër.

Indeksi (SHBA) përfshin rreth 400 njësi, dhe rreth 250 agjentë që grumbullojnë të dhënat për çmime për çdo muaj. Çmimet mblidhen nga 21.000 firma tregtare dhe nga 60.000 familje në 91 qendra urbane përgjatë tërë vendit (SHBA).

Çmimet e bukës, birrës, rrymës, shkurtimi i flokëve, norma e interesit të hipotekës, taksat, janë vetëm disa prej njësive që përfshihen në shportën e mallrave dhe shërbimeve që blehen.

Indeksi i Çmimeve të Konsumit

CPI daton nga viti 1913 dhe është publikuar

rregullisht që nga viti 1921.(SHBA)

Periudha bazë ka ndryshuar disa herë për

shkak të ndryshimit të shprehive të mallrave

të konsumuara të cilat kanë ndryshuar në

mënyrë drastike gjatë kohëve të fundit.

(SHBA)

Indeksi i Çmimeve të konsumit (IÇK)

Përdorimi i IÇK :

Iu mundëson konsumatorëve që të përcaktojnë

efektet e rritjes së çmimeve në fuqinë e tyre

blerëse.

Është matës për të rishikuar pagat, pensionet,

pagesat për ushqim, etj.

Është një tregues ekonomik për normën e

inflacionit në shumë shtete.

Përmes tij llogariten të ardhurat reale:

Të ardhurat reale = të ardhurat në para / IÇK x100

INDEKSI I ÇMIMIT TË KONSUMIT

(IÇK)/Kosovë

Enti i Statistikës së Kosovës (ESK) Indeksin e

çmimeve të konsumit (IÇK) ka filluar ta publikoj

në shtator të vitit 2002.

Çmimet e konsumit kanë filluar të mblidhen në

muajin maj të vitit 2002 i cili konsiderohet muaji

bazë. Çmimet mblidhen prej datës 10 deri 20 të

muajit në 10 qendra të Kosovës.

ESK nga shtatori 2002 ka publikuar në baza

mujore dhe dhe në baza vjetore Indeksin e Çmimit

të Konsumit.

(IÇK)/Kosovë

Nga janari i vitit 2006, IÇK kalkulohet me

peshat, të dhënat mbi konsumin e

realizuar për periudhën qershor 2002 –

dhjetor 2004.

Grumbullimi i të dhënave tani bëhet nga

dhjetë komuna (vendbanime urbane dhe

rurale), për 210 artikuj të klasifikuar sipas

COICOP-it .

(IÇK)/Kosovë

COICOP Classification of Individual

Consumption According to Purpose

(United Nations statistical methodology)

COICOP Klasifikimi i konsumit individual

në bazë të qëllimeve. Metodologjia

Statistikore e Kombeve të Bashkuara në

bazë të qëllimeve

COICOP COICOP

01-12 - Shpenzimet e konsumit individual për familje.

01 – Ushqimi dhe pijet joalkholike.

02 – Pijet alkoholike, cigaret dhe narkotikët.

03 – Veshmbathja

04 – Banimi, uji, energjia elektrike, gasi dhe lëndë të tjera djegëse.

05 – Mobiljet, pajisjet shtëpikake dhe mirëmbajtja e vazhdueshme e shtëpisë.

06 – Shëndeti

07 - Transporti

08 - Komunikimi

09 – Kultura dhe rekreacioni

10 - Arsimimi

11 – Restorane dhe hotelet

12 –Mallra dhe shërbime të ndryshme.

13 – Shpenzimet e konsumit individual për instiucione jo-përfituese që shërbejnë për familje.

14 - Shpenzimet e konsumit individual nga qeveria në përgjithësi.

Treguesit e tjerë ekonomik

Treguesit e strukturës

Treguesit e dinamikës dhe të intenzitetit

a) Niveli

b) Shtimi Absolut

c) Ritmi i zhvillimit

d) Norma mesatare e zhvillimit

Treguesit e strukturës

Treguesit e strukturës prezantojnë strukturën e

dukurisë së hulumtuar në një moment të

caktuar. Gjinden përmes formulës:

P Pjesa

T Tërësia

Shembuj të tjerë

Shembull. Në vitin 1990 shitjet e kompanisë

Johnson and Johnson Co të shprehura në

million ishin 1 461 $, në vitin 1995 shitjet ishin

rritur në 2 403 milionë $ kurse në vitin 1996

shitjet ishin 2 887 milionë $. Duke shfrytëzuar

vitin 1990 si bazë gjeni indeksin e thjeshtë

për ndryshimet në shitje të kësaj kompanie

për vitin 1995 dhe 1996 duke u bazuar në

shitjet e vitit 1990.

Shembuj të tjerë

Shembull. Shitjet vjetore për disa korporata multinacionale të zgjedhura janë:

Shprehni shitjet vjetore te GM ne indekse duke shfrytëzuar shitjet e IBM si bazë. Interpretoni rezultatin.

Shpreh shitjet vjetore te Daimler-Chrysler në indekse duke shfrytëzuar shitjet e IBM si bazë.Interpreto rezultatin.

KOMPANIA GM EXXON FORD IBM DAIMLER-

CHRYSLER

Shitjet në million $ 101 781 76 416 71 643 54 217 26 257

Shembuj të tjerë

Shembull. Prodhimtaria e firmës “Agroni Co” – e shprehur në tonë- gjatë peridhuës kohore 1999 –2003 ka qenë si vijon:

Llogaritni indekset bazë – viti 1999 si bazë

Llogaritni indekset bazë – viti 2002 si bazë

Llogaritni indekset zinxhir

Paraqitni grafikisht indekset

Interpretoni rezultatet

VITET 1999 2000 2001 2002 2003

Prodhimi-në 000

10 15 12 16 11

Shembuj të tjerë

Shembull. Firma “Drita” gjatë muajit janar të vitit 2008 dhe 2009 ka realizuar këtë prodhimtari:

Përcaktoni indeksin e vlerës

Përcaktoni indekset individuale të çmimeve dhe sasisë

Përcaktoni indeksin agregat të çmimeve dhe sasisë

Komentoni rezultatet

PRODUKTET E SHITURA 2008 2009

Çmimi Sasia Çmimi Sasia

Kukulla me veshje kombëtare 20 100 30 120

Veshje kombëtare 15 200 20 300

Qilima të vegjël 30 300 30 400

Lodra për fëmijë 10 500 8 400

Metodat e analizës

dinamike

Seritë kohore

Metodat e analizës dinamike/Analiza e serive kohore

Qëllimet:Pas kësaj ore të ligjeratave ju duhet të jeni në gjendje që të :

Dini disa nga metodat e analizës dinamike

Kuptoni faktorët /komponentët e serive kohore si trendi, variacionet

ciklike, variacionet sezonale dhe variacionet e parregullta

Vlerësoni parametrat e trendit linear, parabollik dhe eksponencial.

Përdorni metodat e zbutjes variacioneve të serive kohore me qëllim

të vështrimit të tendencës kryesore të zhvillimit të dukurisë

Llogaritni indekset sezonale , të vlerësoni ndikimimin e komponentës

së sezonës dhe të eliminoni ndikimet sezonale në seritë statistikore

kohore.

Seritë kohore/kronologjike

Analiza e serive kohore është një fushë e veçantë e statistikës e cila është zhvilluar me një hov të madh pas viteve të 1970-ta.

Seritë kohore paraqesin nivelin e të dhënave numerike për dukuritë e ndryshme të cilat janë të rregulluara me renditje kronologjike në periudha të rregullta kohore.

Seritë kohore përmbajnë të dhëna numerike të siguruara në intervale të rregullta kohore.

Intervalet kohore mund të jenë vjetore, kuartale, javore, ditore dhe në orë.

Shembull:Vitet 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Shitjet 75,3 74.2 78,5 79,7 80,2 81.5

Komponentët e serive kohore

Analiza e serive kohore në funksion të kohës niset nga

supozimi se në ndryshimin e dukurive të vrojtuara

gjatë kohës kanë ndikim katër komponenta/faktorë:

Trendi- tendenca zhvillimore e dukurisë në afat të

gjatë

Variacionet ciklike, - lëkundjet në afat më të gjatë

se një vjet,

Variacionet sezonale- lëkundjet në afat të shkurtë

brenda një viti.

Variacionet e parregullta/reziduale- si variacione

të rastësishme.

Komponentët/faktorët e serive kohore

Seritë kohore

Variacionet

ciklike

Variacionet e

rastësishme

Trendi

Variacionet

sezonale

Komponenta e trendit

Rritja ose zvogëlimi në afat të gjatë kohës (lëvizjet e përgjithshme lartë ose poshtë)

Të dhënat merren për periudha të gjata kohore,

Shitjet

Trendi linear në rënie

Komponenta e trendit

Trendi mund të jetë në rritje ose në rënie

Trendi mund të jetë linear ose jolinear

Shitjet

KohaTrendi jolinear në rritje

Shitjet

(vazhdim)

Komponenta sezonale

Lëkundjet në rënie ose në rritje.

Paraqitje e rregullt.

Vështrohen brenda një viti.

Shitjet

Koha (Mujore ose në kuartal)

DimriPranvera Vjeshta

Komponenta ciklike

Lëkundje në afat të gjatë;

Ndodhin rregullisht por dallojnë në gjatësi;

Zakonisht maten prej maje në maje.

Shitjet

1 Cikël

Komponenta e rastësishme

Fluktuacione të paparashikueshme, të

rastësishme “reziduale”

Për shkak të variacioneve të rastësishme:

Natyra

Aksidentet ose ngjarjet e jashtëzakonshme.

Kopmonentet e serive kohore

Nuk është e domosdoshme që çdo seri

kohore ti ketë të katër komponentët, mirëpo

të gjitha përmbajnë komponentin e

rastësishme.

Një seri statistikore mund të mos ketë

asnjërën nga komponentët, njërën, të dy ose

Seria që prezanton të dhënat vjeçare nuk

mund të përmbajë komponentët sezonale.

Kopmonentet/Përbërësit e serive kohoreFaktorët që ndikojnë në ndryshimin e dukurisë gajtë periudhës kohore.

Komponenta

Përbërësit

Definicioni Arsyet e paraqitjes Koha e zgjatjes

Trendi

Tendenca zhvillimore e ndonjë

dukurie ( rritja ose rënia) në

periudhën e vështruar

Ndryshimi i teknologjisë,

popullsisë, pasurisë,

vlerave

Më shumë kohë (muaj,

vjet, etj)

Variacionet

sezonale

Përafërsisht fluktuacione

periodike të rregullta të cilat

paraqiten gjatë muajit të caktuar

ose periudhës kuartale prej viti në

Kushtet kohore, zakonet

shoqërore, zakone

fetare, pushimet

shkollore.

Gjatë muajve të caktuar

ose kuartalëve (mujore

ose kuartale)

Variacionet

ciklike

Përsëritja e lëvizjes nëpër katër

faza: nga maja (prosperiteti) kah

zvogëlimi (recesioni) nga poshtë

(depresioni) kah ekspanzioni).

Ndërveprimi i shumë

kombinimeve të

faktorëve që ndikojnë në

ekonomi.

Zakonisht më shumë

vjet, me intenzitet të

ndryshueshëm për një

cikël komplet.

Variacionet

reziduale/të

rastsësishme

Të rastësishme, dhe të tjera

flukuacione që gjinden në seri

përveç T C, S .

Variacionet e

rastësishme, si dhe

variacionet për shkak të

ngjarjeve të papritura si

grevat, vërshimet.

Zgjasin shkurt pa

përsëritje

Variacionet e serive kohore

Trendi

Variacionet e

parregullta

Variacionet sezonale

Ciklet

Seritë kohore dhe parashikimi

Qëllimi kryesor i analizës së serive kohore

është prognozimi / parashikimi i vlerave të

dukurisë në të ardhmen.

Supozimi themelor gjatë prognozimit në

analizën e serive kohore është :

Faktorët që kanë ndikuar në nivelin e

dukurisë në të kaluarën dhe në të

tashmen do të veprojnë në të njëjtën

mënyrë edhe në të ardhmen dhe nuk do të

ketë ndikim të faktorëve të tjerë.

Seritë kohore vjetoreTrendi

Trendi është tendenca zhvillimore e dukurisë në kuadër të periudhës së vështruar.

Trendi shpreh nivelin mesatar të ecurisë së dukurisë për periudhën e vrojtuar.

Vija e trendit duhet të eliminoj variacionet nga seria kohore dhe të shpreh lëvizjen mesatare, gjegjësisht tendencën e përgjithshme të zhvillimit të dukurisë

Trendi Modeli i trendit shprehet përmes funksionit të caktuar

matematikor dhe mund të jetë linear, parabollik dhe eksponencial.

Jo sezonal Sezonim Shtesë Sesonim multiplikativ

konstant

Trendi

linear

Trendi

eksponencial

Trendi

jolinear/

Parabolës

Trendi

Në hulumtimin e tendencës së zhvillimit të

dukurisë duhet:

Faza e parë: duhet të shikohet se a ekziston

trendi, përmes paraqitjes grafike në diagramin e

serisë kohore. Shumë subjektive.

Faza e dytë: Zgjedhet funksioni adekuat që i

përgjigjet më së miri të dhënave: linear, jolinear

përmes:

a) paraqitjes grafike;

b) metodës së dallimeve/diferencave;

c) metodës së zbutjes së variacioneve.

Trendi

Metoda e dallimeve (diferencave) bazohet në llogaritjen e dallimeve në mes të vlerave individuale të të dhënave. Në bazë të saj zgjedhim metodën e trendit.

Trendi linear i përgjigjet më së miri të dhënave ku dallimet në mes të anëtarëve të serisë janë përafërsisht të barabartë.

Yc= a + bx

Trendi i parabollës zgjedhet atëherë nëse vlerat absolute të ndryshimeve të dyta (ndryshimet e ndryshimeve të para) janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është:

Yc = a+bx+cx2

Trendi eksponencial sipas kësaj metode zgjedhet atëherë kur dallimet e vlerave logaritmike të serisë kohore janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është:

Yc =a * bx

Zgjedhja e modelit /funksionit përmes shfrytëzimit të

diferencave/dallimeve.

Modeli i Trendit Linear përdoret nëse

diferencat e para janë pak a shumë konstante.

Modeli i Trendit të Parabolës përdoret nësediferencat e dyta janë pak a shumë konstante.

2 1 3 2 1n nY Y Y Y Y Y

3 2 2 1 1 1 2n n n nY Y Y Y Y Y Y Y

Zgjedhja e modelit /funksionit përmes shfrytëzimit të

diferencave/dallimeve.

3 2 12 1

100% 100% 100%n n

Y Y Y YY Y

Modeli i Trendit Eksponencial përdoret

nëse diferencat në përqindje janë pak a

shumë konstante.

(vazhdim)

Trendi linearEkuacioni i trendit në afat të gjatë (linear) vlerësohet përmes metodës së katrorëve më të vegjël për kohën X dhe është:

Yc– është vlera e projektuar e variablës Y për vlerën e selektuar të

kohës X

a – është vlera e vlerësuar e Y kur X=0

b- është pjerrësia e vijës së trendit, ose ndryshimi mesatar në Yc

për çdo ndryshim në një njësi të X (pozitive ose negative).

X – çdo vlerë e kohës që është selektuar.

cY a bx

Ekuacioni i trendit linear

Y na b X

XY a X b X

cY a bx

Kur përdoret

metoda e lehtësimeve\

( )( )

n XY Y Xb

Y Xa b

Kur përdoret

metoda e e kodimit prej

vitit të parë

ΣX≠0

Gabimi standard i trendit

Me rastin e vlerësimit të zgjedhjes së

funksionit adekuat të trendit i cili më së miri i

përgjigjet të dhënave, shpesh shfrytëzohet

gabimi standard i trendit:

Yi – të dhënat origjinale

Yc – të dhënat e vlerësuara të Y

n – numri i viteve

Shembull 1

Përcaktoni ekuacionin e trendit duke shfrytëzuar metodën e katrorëve më të vegjël. Vlerësoni shitjet e firmës për vitin 2014 (Ekstrapolimi i vlerave të trendit)

Vitet 2005 2006 2007 2008 2009

Shitjet (0000 $) 7 10 9 11 13

Paraqitja grafike e te dhenave origjinale

2005 2006 2007 2008 2009

Shitjet ne 0000$ (2005=2009)

Shembull 1- vazhdim

Vitet Shitjet

(00000)

(Kodimi i

viteve)

2005 7 -2 -14 4 7,4

2006 10 -1 -10 1 8,7

2007 9 0 0 0 10

2008 11 1 11 1 11,3

2009 13 2 26 4 12,6

Gjithsej: 50 ∑X=0 13 10 50,0

Shembull 1-vazhdim

Y na b X

XY a X b X

50 5 50 5 10

1313 0 10 1,3 1,3

a b o a a

a b b b

10 1,3cy x

Yc a bx

Ekuacioni i trendit përmes formulave kur përdoret

metoda e lehtësimeve

5010 10

131,3 1,3

10 1,3cy x

Shembull 1 vazhdim /Interpolimi dhe

ekstrapolimi i vlerave të trendit

10 1,3cy x

10 1,3 10 1,3 ( 2) 7,4

10 1,3 10 1,3 ( 1) 8,7

10 1,3 10 1,3 (0) 10

10 1,3 10 1,3 (1) 11,3

10 1,3 10 1,3 (2) 12,6

2014 10 1,3 10 1,3 (7) 10 9,1 19,1cy x

Interpolimi i Vlerave

të trendit

Ekstrapolimi i vlerave të trendit

Paraqitja grafike e të dhenave origjinale dhe e vijës së trendit

2005 2006 2007 2008 2009

Te dhenat origjinale dhe vija e trendit

Vija e

trendit

Te dhenat

origjinale

Interpolimi dhe Ekstrapolimi i trendit

Interpolimi i trendit është llogaritja e

vlerave të trendit brenda intervaleve kohore

të përfshira në serinë kohore

Ekstrapolimi i trendit është zgjatja e vijës

së trendit jashtë intervaleve kohore të

përfshira në serinë kohore, qoftë në të

ardhmen qoftë në të kaluarën.

Ekstrapolimi përdoret për të parashikuar

zhvillimin e dukurisë në të ardhmen

Ekstrapolimi i trenditPër të qenë relativisht i suksesshëm ekstrapolimi i trendit

duhet të plotësohen disa kushte:

Faktorët që kanë ndikuar në lëvizjen e dukurisë në periudhën e

vështruar duhet që edhe më tutje të veprojnë përafërsisht me

intensitet të njëjtë, në drejtim të njëjtë dhe pa ndikim të

theksuar të faktorëve të tjerë.

Për ekstrapolim të suksesshëm është e nevojshme që të kemi

seri kohore relativisht të gjata.

Nëse është fjala për projeksione të dukurive ekonomike,

prognoza që bëhet në kohën e afarizmit stabil është më e

saktë dhe më e besueshme në krahasim me ato që bëhen nga

koha me ndryshime të shpeshta dhe të papritura të ambientit

afarist.

Ekstrapolimi i trendit

Nëse seria ka variabilitet të theksuar ciklik, ose kthesa të mëdha në zhvillimin e saj, nuk është e preferuar që të bëhet prognozimi.

Prognozimi i më shumë agregateve ekonomikë (themi e tërë dega) është më i besueshëm se sa prognozimi i variablave ekonomike vetëm të një firme.

Me të gjitha kufizimet e përmendura, vlera e prognozuar e trendit mund të kuptohet si “pamje mesatare e së ardhmes”, si projeksion mekanik, sepse vlerat të cilat gjinden pikërisht në vijën e trendit tregojnë vlerësimet mesatare të serisë së dhënë.

Gabimi standard i trendit linear

Vitet Shitjet

(00000)

X Yc Yi-Yc (Yi-Yc)2

2005 7 -2 7,4 -0,4 0,16

2006 10 -1 8,7 1,3 1,69

2007 9 0 10 -1 1

2008 11 1 11,3 -0,3 0,09

2009 13 2 12,6 0,4 0,16

Gjithsej: 50 0 50,0 0 3.1

3,10,7874

Trendi i parabollës

Modeli i parabollës ose “Polinomi i shkallës së dytë” ëshë modeli më i thjeshtë nga modelet jo lineare .

Duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël, funksioni trendit të parabollës është:

a- Vlera e vlerësuar e yc- kur x=o

b- efekti i vlerësuar linear në Yc

c- efekti i vlerësuar jolinear në Yc

Yc=a+bx+cx2

Modeli i parabolës

Ekuacioni i trendit të parabollës është:

Yc=a+bx+cx2

Ekuacionet normale për llogaritjen e parametrave a, b dhe c sipas

metodës së katrorëve më të vegjël janë:

2 2 3 4

y na b x c x

xy a x b x c x

x Y a x b x c x

Formulat për gjetjen e parametrave a, b dhe c kur

përdoret metoda e lehtësimeve, gjegjësisht kur ∑X=0

janë:4 2 2

y x x yxa

n x x x

n yx x yc

n x x x

Shembull 2

Për të dhënat në vijim përcaktoni ekuacionin

e trendit të parabolës përmes metodës së

katrorëve më të vegjël.

Vitet 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Gjithsej:

Y 2 3 5 6 9 13 17 55

Shembull 2-vazhdim

Vitet (Y) X XY X2 X3 X4 X2y Yc

2002 2 -3 -6 9 -27 81 18 2,305

2003 3 -2 -6 4 -8 16 12 2,98

2004 5 -1 -5 1 -1 1 5 4,385

2005 6 0 0 0 0 0 0 6,5

2006 9 1 9 1 1 1 9 9,305

2007 13 2 26 4 8 16 52 12,8

2008 17 3 51 9 27 81 153 16,905

Gjithsej: 55 0 69 28 0 196 249 55,18

Shembull 2-vazhdim

2 2 3 4

y na b x c x

xy a x b x c x

x Y a x b x c x

55 7 0 28

69 0 28 0

249 28 0 196

55 7 28

6969 28 2,46

249 28 196

55 7 28

249 28 196 / : ( 4)

55 7 28

62,25 7 49

7,25 21 ( 1)

7,257,25 21 0,345

Shembull 2-vazhdim

55 7 28

55 7 28 0,345

55 7 9,66

55 9,66 7

45,34 7

45,346,477 6,5

26,5 2,46 0,345cy x x

Shembull 2-vazhdim

Llogaritja e parametrave a, b dhe c përmes formulave kur përdoret

metoda e lehtësimeve:

55 196 28 2496,47 6,5

7 196 28 28

692,46

7 249 28 550,345

7 196 28 28

y x x yxa

n x x x

n yx x yc

n x x x

Shembull 2-vazhdim

Interpolimi dhe ekstrapolimi i vlerave të trnedit .

26,5 2,46 0,345cy x x

6,5 2,46 ( 3) 0,345 (9) 2,305

............................

.............................

6,5 2,46 (3) 0,345 (9) 16,905

20136,5 2,46 (8) 0,345 (64) 48,26cy

Interpolimi i Vlerave

të trendit

Ekstrapolimi i vlerave të

trendit

Paraqitja grafike e te dhenave origjinale dhe e trendit te parabolles

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Te dhenat origjinale dhe trendii parabolles

Vija e

trendit

Te dhenat

origjinale

Trendi logaritmik-eksponencial

Kur të dhënat numerike të serive kohore kanë një rritje me një shkallë rritëse si diferencë nga viti në vit që është konstante, ne mund të përdorim një ekuacion të trendit eksponencial si në vijim:

m – Yc e vlerësuar kur X=0

n - norma e vlerësuar vjetore mesatare (në përqindje)

X- periudha kohore

cy m n

Trendi logaritmik-eksponencial

Nëse logaritmojmë të dy anët e ekuacionit fitojmë ekuacionin

logaritmik

Ekuacionet normale për llogaritjen e parametrave m dhe n janë:

log log logcY m x n

log log log

y n m x n

x y x m x n

Shembull 3

Shitjet për periudhën pesëvjeçare të firmës

që merret me shitjen e softverëve janë rritur

si në tabelën vijuese .

a)Përcaktoni ekuacionin logaritmik

b) Mesatarisht sa përqind janë rritur shitjet

për çdo vit gjatë periudhës.

c) Vlerësoni shitjet për periudhën 2014.

Vitet Shitjet

(0000$)

2005 1.1

2006 1.5

2007 2.0

2008 2.4

2009 3.1

Gjithsej 10.1

Shembull 3 vazhdim

Vitet Shitjet

(0000$)

x logy xlogy x2 logyc yc

2005 1.1 -2 0,0414 -0,083 4 0,088 1,2246

2006 1.5 -1 0,176 - 0,176 1 0,183 1,524

2007 2.0 0 0,301 0 0 0,278 1,8967

2008 2.4 1 0,380 0,380 1 0,373 2,3605

2009 3.1 2 0,491 0,983 4 0,468 2,9376

Gjithsej 10.1 0 1,39 0,951 10 9,9434

log 0,278 0,095cy x

Shembull 3 vazhdim

1,39 7 log 0 log

0,951 0 log 10log

1,391,39 7 log log 0,278

0,9510,951 10log log 0,095

log 0,278 0,095cy x

Shembull 3 vazhdim

log 0,278 0,095cy x

log 0,278 / log; 1,8967 1,9

log 0,095 / log; 1,2445 1,24

m anti m m

n anti n n

n=1,24 - 1 = 0,24 X 100 = 24% ose 1,24 x100=124-100=24%

Kjo do të thotë se norma mesatare vjetore e shtimit të prodhimit është 24%.

1,9 1,24x

Shembull 3 vazhdim/Interpolimi dhe ekstrapolimi i vlerave të trendit

log 0,278 0,095cy x

log 0,278 0,095 ( 2) 0,088 / log 1,2246

..........................................................

....................................................

log 0,278 0,095 (2) 0,468 / log 2,9

y anti

2014 log 0,278 0,095 (7) 0,943/ log 8,770cy anti

Paraqitja grafike e te dhenave origjinale dhe vijes se trendit eksponencial

2005 2006 2007 2008 2009

Shitjet dhe vija e trendit eksponencial

Vija e

trendit

Te dhenat

origjinale

Mesatarja rrëshqitëse

Përdoret për zbutjen e variacioneve ciklike,

sezonale, etj.

Seri e mesatareve aritmetike gjatë tërë

kohës.

Rezultatet varen nga zgjedhja e periudhës

për llogaritjen e mesatareve.

Për seritë kohore vjetore numri i viteve për

mesatare aritmetike duhet të jetë numër tek.

Mesatret rrëshqitëse

Mesatarja rrëshqitëse me tri të dhëna

Mesatarja e parë:

Mesatarja e dytë:

1 2 31(3)

X X XM

2 3 42 (3)

X X XM

(vazhdim)

........................

Mesatarja rrëshqitëse-Shembull

Vitet Njësitë Mest.rrq.

2000 2 -

2001 5 3

2002 2 3

2003 2 3.67

2004 7 5

2005 6 -

Zgjimi është ndërtues i shtëpive me një rekord prej 24 shtëpive familjare të ndërtuara gjatë periudhës gjashtë vjeçare. Pajis Zgjimin me grafikun me mesatare rrëshqitëse me tri vjet.

Mesatare rrëshqitëse-shembull

Viti Njësitë Mesatare

rrëshq.

2000 2 -

2001 5 3

2002 2 3

2003 2 3.67

2004 7 5

2005 6 -' „01 „02 „03 „04 „05

Njësitë

Gj = 3

Variacionet sezonale/Lëkundjet stinore

Variacionet sezonale, Për afërsisht fluktuacione

periodike të rregullta të cilat paraqiten gjatë

muajit të caktuar ose periudhës kuartale prej viti

në vit.

Arsyet e paraqitjes: Kushtet kohore/klimatike,

zakonet shoqërore, zakone fetare, pushimet

shkollore.

Koha e paraqitjes: Gjatë muajve të caktuar ose

kuartalëve (mujore ose kuartale)

Variacionet sezonale/Lëkundjet stinore

Indekset stinore llogarisin lëkundjet stinore

sipas muajve apo kuartalëve për dukurinë e

hulumtuar.

Indekset stinore janë tregues relativ të cilët

tregojnë ndikimin mesatar të sezonës në

muajin e caktuar apo në kuartalin e caktuar

përgjatë disa viteve.

Indekset stinore Shembull

Tremujorët/

Kuartalet

Prodhimi (T) sipas viteve dhe kuartalëve

2006 2007 2008

I 50 56 59

II 23 30 40

III 54 57 63

IV 102 120 150

Gjithsej 229 263 312

Shembull: Konsumi i patates (tonë) në një komunë sipas tremujorëve gjatë tri

viteve ka qenë si vijon:

Indekset stinoreShembull-vazhdim

Tremujo

Vitet Gjithsej

Prdhimi

Mesatarja

tremujoreIndekset

stinore2006 2007 2008

I 50 56 59 165 55 82,08

II 23 30 40 93 31 46,26

III 54 57 63 174 58 86,56

IV 102 120 150 372 124 185,07

Gjithsej 229 263 312 804 268 399.97≈

Së pari llogarisim nivelin mesatar tremujor të

tre vjetëve:

50 56 59 16555

23 30 40 9331

.................................................

Indekset stinore Shembull-vazhdim

Së dyti llogarisim mesataren e përgjithshme

tremujore për tri vjet:

55 31 58 124 26867

X tona ose

X tone

Indekset stinore Shembull-vazhdim

100;is

X niveli mesatar i cdokuartali

X niveli mesatar i pergjitshem

Së treti , llogarisim indekset stinore:

55100 82,08

31100 46,26

58100 86,56

124100 185,07

Indekset stinore – Interpretimi i rezultateve

Meqenëse indekset sezonale varirojnë rreth

100, nëse analizojmë të dhënat për kuartal,

shuma e tyre duhet të jetë 400, derisa shuma

e indekseve sezonale për një vit është e

barabartë me 1200.

Nëse indeksi sezonal është më i madh se

100, atëherë themi se sezona ka pasur

ndikim pozitiv në zhvillimin e dukurisë.

Nëse indeksi stinor është më i vogël se 100,

atëherë sezona ka pasur ndikim negativ në

zhvillimin e dukurisë

Indekset stinore – Interpretimi i rezultateve

Nëse në dukuri nuk ka faktorë sezonal, atëherë

të gjithë indekset do të ishin rreth 100,

gjegjësisht 100%.

Sa mëimadh që është variacioni në raport me

100, atëherë ndikimi i sezonës është më i madh.

Në shembullin tonë, të gjitha indekset dallojnë

nga 100, kështu që mund të themi se ka ndikim

sezona në konsumin e patates. Ndikimi më i

madh shihet gjatëk uartalit të katërt ku indeksi

sezonal tejkalon 100 për 85.07%

KONCEPTET KYÇE

Seri kohore

Trendi

Variacione ciklike

Variacione sezonale

Variacione te

rastësishme

Trendi linear

Trendi eksponencial

Gabimi standard i

trendit

Interpolimi i vlerave

të trendit

Ekstrapolimi i vlerave

të trendit

Mesataja rrëshqitëse

Indekset stinore

Analiza e Regresionit dhe Korrelacionit

Qëllimet: Në fund të orës së mësimit , ju duhet të jeni në gjendje që të :

Kuptoni rolin dhe rëndësinë e analizës së regresionit dhe

korrelacionit si dhe dallimet në mes të tyre

Kuptoni dhe interpretoni termet variabël e varur dhe variabël e pavarur.

Dini kuptimin e koeficienteve të regresionit linear a dhe b

Shfrytëzoni analizën e regresionit për të parashikuar/vlerësuar

variablën e varur të bazuar në variablën e pavarur.

Kalkuloni dhe interpretoni koeficientin e korrelacionit, koeficientin e determinacinit dhe aleancës.

Analiza e regresionit

• Analiza e regresionit: studimi i lidhjeve gjegjësisht raporteve apo marrëdhënieve në mes të dy apo më shumë variablave.

• Analiza e regresionit: një prej mjeteve më të shfrytëzuar për analizën e biznesit dhe fenomeneve të tjera shoqërore dhe ekonomike.

• Analiza e regresionit : E lehtë për tu përdorur dhe e aplikueshme në shumë situata.

• Regresion i thjeshtë : një variabël e shpjegueshme dhe mund të jetë regresion linear dhe jolinear.

• Regresioni multivariabël: përfshin disa variabla të shpjegueshme.

Analiza e regresionit linear

• Analiza e regresionit është teknikë që përdoret për të zhvilluar ekuacionin për vijën e drejtë për të bërë parashikime.

• Ekuacioni i regresionit është ekuacion që definon raportet në mes të dy variablave dhe shfrytëzohet për të vlerësuar variablën e varur (Y) të bazuar në variablën e pavarur(X).

• Variabla e varur (Y) është variabla e projektuar ose e vlerësuar.

• Variabla e pavarur (X) është variabla që siguron bazën për vlerësim.

• Analiza e regresionit përdoret për të :

Parashikuar vlerën e variablës së varurtë bazuar në më së paku në një variabël të pavarur.

Shpjeguar efektet e ndryshimit të variablës së pavarur në variablën e varur.

Variabla e varur: variabla që ne dëshirojmë të parashikojmë ose ta shpjegojmë-sqarojmë.

Variabla e pavarur: variabla e përdorur për të shpjeguar variablën e varur.

Modeli i thjeshtë i regresionit linear

Vetëm një variablël e pavarur , X.

Raportet në mes të X dhe Y përshkruhen përmes funksionit linear .

Ndryshimet në Y supozohet që ndodhin për shkak të ndryshimeve në X

Llojet e raporteve/marëdhënjeve në mes të X dhe Y

Raporte/lidhje lineare Raporte/lidhje jolineare

Skater diagrami-diagrami shpërndarës

Raporte/lidhje të forta Raporte/lidhje të dobëta

(vazhdim)

Nuk ka kurrfarë raporte/lidhje në mes të X dhe Y (vazhdim)

iY a bx εc

Komponenta lineare

Ndërprerjen

e boshtit Y

Koeficienti

i pjerrësisë

Shenja për

gabimin e

rastësishëmVariabla e

Variabla e

pavarur

Komponenta e

gabimit të rastësishëm

(vazhdim)

Gabimi i

rastësishëm për

vlerën e Xi

Vlera e vrojtuar

e Y për Xi

Vlera e

parashikuar e

Y për Xi

iY a bx εc

Pjerrësia = b

Prerja = a

Metoda e katrorëve më të vegjël

• Parametrat a dhe b sigurohen përmes

gjetjes së vlerave a dhe b që

minimizojnë shumën e devijimeve të

ngritura në katror në mes të Yi dhe Yc:

(Y ) min, ,

(Y (a bX) min

cY gjegjesisht

Ekuacioni i regresionit:

Yc= a + bx, ku:

• Yc është vlera mesatare e projektuar e Yc

për ndonjë vlerë të X.

• a- vlera e vlerësuar e y kur x=0

• b – është pjerrësia e vijës, ose ndryshimi mesatar në Yc për çdo njësi të ndryshuar të X.

• Metoda e katrorëve më të vegjël shfrytëzohet për të gjetur parametrat a & b:

Analiza e regresionit/ metoda e katrorëve më të vegjël

Y na b X

XY a X b X

bn XY X Y

( ) ( )( )

( ) ( )

Shembull 1.

• Firma “Mobileria” është biznes familjar i cili për kohë të gjatë ju ka shitur firmave tregtare me pakicë produktet e veta . Ata vazhdimisht reklamojnë mallin e tyre përmes radios dhe televizionit duke theksuar çmimet e ulëta dhe kushtet e mira të kreditimit. Pronari i firmës dëshiron të rishikojë raportet në mes të shitjes dhe shumës së shpenzuar për reklamim. Më poshtë janë dhënë informatat për shitjet dhe shpenzimet e reklamimit për katër muajt e

fundit.Muajt Shp. e

reklamës (në milionë dollarë)

Të Hyrat nga

shitja ( në milionë dollarë )

Shtator 2 7

Tetor 1 3

Nëntor 3 8

Dhjetor 4 10

Shembull 1-vazhdim

• a) Pronari dëshiron të planifikojë shitjet në bazë të shpenzimeve të reklamës. Cila është variabël e varurdhe cila është variabël e pavarur .

• b) Vizatoni skater diagramin(diagramin shpërnadarës);

• c) Përcaktoni ekuacionin e regresionit.

• d) Interpretoni vlerat e a-së dhe b-së .

• e) Vlerësoni shitjet kur për reklamë harxhohen 3,5 milionë dollarë.

Shembull 1-vazhdim

• a) Shpenzimet e reklamës=X- variabël e pavarur

Të hyrat nga shitja =Y- variabël e varur

Skater diagrami – diagrami shpërndarës

Të hyrat nga shitja dhe shpenzimet e reklamës

0 1 2 3 4 5Shpenzimet e reklamës (X)

Shembull 1-vazhdim/ ekuacioni i regresionit

Muajt X Yi Y X X2 Yc

Shtator 2 7 14 4 5,9

Tetor 1 3 3 1 3,7

Nëntor 3 8 24 9 8,1

Dhjetor 4 10 40 16 10,3

Gjithsej: 10 28 81 30 28

Y na b X

XY a X b X

28 4 10 / ( 3)

81 10 30

84 12 30

81 10 30

3 2 / ( 1)

33 2 1,5

Shembull 1-vazhdim / ekuacioni i regresionit

28 4 10

28 4 1,5 10

28 6 10

1,5 2,2cy x

28 102,2 1,5

4 81 10 282,2

4 30 10

y xa b

n x y x yb

1,5 2,2cy x

Shembull 1-vazhdim / ekuacioni i regresionit

d) a=1,5 kur x=0

• b- ndryshimi mesatar në Yc për ndryshim të një vlerë të X-it.

• b=2,2 – kjo do të thotë se një rritje prej 1 milion dollar për reklamë do të rezultojë në rritje të të hyrave për 2,2 milionë dollarë

e) Yc=1,5+2,2(3,5)=9,2

Interpretimi i koeficientit/parametrit a

• a është vlera mesatare e vlerësuar e Yc kur

vlera e x është zero.

· Këtu në shembullin tonë do të thotë se nëse

firma nuk harxhon për reklamë, gjegjësisht

shpenzimet e reklamës janë zero, atëherë

të hyrat nga shitja janë 1,5 , gjegjësisht 1

500 000$ (1,5 * 1 000 000 $)

Te hyrat nga shitja 1,5 2.2 (shpenzime te reklames)

Y 1,5 2.2c x

Interpretimi i koeficientit të pjerrësisë, b

• b - mat ndryshimet e vlerësuara në vlerën

mesatare të Yc si rezultat i ndryshimit të një

njësie të X.

Këtu në shembullin tonë b = 2,2 tregon se vlera

mesatare e të hyrave nga shitja do të rritet për

2 200 000$, (2.2 *1 000 000=2 200 000$),

në mesatare, për çdo 1 milion dollarë shtesë për

reklamë.

Te hyrat nga shitja 1,5 2.2 (shpenzime te reklames)

Y 1,5 2.2c x

1.5 2.2

Te hyrat nga shitja 1.5 2.2 (shpenzime te reklames)

1.5 2.2(3.5)

Yc a bx

•Vlerësoni /parashikoni shitjet kur për reklamë harxhohen 3,5 milionë dollarë.

Vlera e parashikuar e te hyrave nga shitja me 3,5 milion dollarë

shtesë është 8 100 000$. (9.2*1 000 000=9 200 000$).

Parashikimi përmes analizës së regresionit

Gabimi standard i vlerësimit

• Gabimi standard i vlerësimit mat shpërndarjen , ose dispersionin e vlerave të vrojtuara përreth vijës së regresionit.

• Formulat për llogaritjen e gabimit standard janë:

var var

( ) ( )

y te dhenat origjinalete iables se ur

y te dhenat e vleresuara te iables se ur

Y a Y b X Y

Llogaritja e gabimit standard të vlerësimit

Muajt X Shitjet

aktuale

Shitjet e

vlerësuara

(Yi –Yc) (Yi-Yc)2 Yi

Shtator 2 7 5,9 1.1 1.21 49

Tetor 1 3 3,7 -0.7 0.49 9

Nëntor 3 8 8,1 -0.1 0.01 64

Dhjetor 4 10 10,3 -0.3 0.09 100

Gjithsej: 10 28 28 0 1.8 222

Llogaritja e Gabimit standard të vlerësimit

2( ) 1.8 1.80.9 0.95

2 4 2 2

2 ( ) ( ) 222 1.5(28) 2.2(81) 1.80.95

2 4 2 2yx

Y a Y b X Y

Regresioni i parabollës

• Funksioni i regresionit të parabollës

• Yc=a+bx+cx2

• Metoda e katrorëve më të vegjël shfrytëzohet për të gjetur parametrat a , b dhe c:

2 2 3 4

y na b x c x

xy a x b x c x

x Y a x b x c x

Shembull 3.

• Nga të dhënat vijuese gjeni funksionin e parabollës së regresionit:

x 1 2 3 4 5 6 7 ∑28

y 2 3 4 5 5 4 3 ∑26

Shembull 3- vazhdim

X Y XY X2 X3 X4 X2y Yc

1 2 2 1 1 1 2

2 3 6 4 8 16 12

3 4 12 9 27 81 36

4 5 20 16 64 256 80

5 5 25 25 125 625 125

6 4 24 36 216 1296 144

7 3 21 49 343 2401 147

28 26 110 140 784 4676 546

Shembull 3- vazhdim• Yc=a+bx+cx2

110 28 140 784 /( 5)

546 140 784 4676

550 140 700 3920

546 140 784 4676

4 84 756

Marrimdy ekuacionet e fundit

b c ekuacioni II

2 2 3 4

26 7 28 140 /( 4)

110 28 140 784

546 140 784 4676

104 28 112 560

110 28 140 784

6 28 224

y na b x c x

xy a x b x c x

x Y a x b x c x

b c ekuacioni I

6 28 224 /( 3)

4 84 756

18 84 672

4 84 756

220, 27

b c II

Shembull 3- vazhdim

6 28 224

6 28 224 ( 0,27)

6 28 60,48

26 7 28 140

26 7 28 2,4 140( 0,27)

26 7 67,2 37,8

20,48 2,4 0,27

cY a bx cx

Analiza e korrelacionit

• Analiza e korrelacionit: grup i teknikave statistikore që përdoren për të matur fortësinë e raporteve (korrelacionit) në mes të dy variablave.

Analiza e korrelacionit

TREGUESIT E

ANALIZES

KORRELACIONIT

KOEFICIENTI I

KORRELACIONIT

KOEFICIENTI I

DETERMINACIONIT

KOEFICIENTI I

ALEANCES/

KONTIGJENCES

Koeficienti i korrelacionit, r

Koefiecienti i korrelacionit (r)është tregues i raporteve në mes të dy variablave.

Ai merr vlerat prej: -1.00 deri në 1.00.

Vlerat -1.00 ose 1.00 tregojnë korrelacionin perfekt dhe të fortë ose lidhjen funksionale në mes të dy variablave.

Vlerat afër 0.0 tregojnë korrelacion të dobët.

Vlerat negative tregojnë një raport inverz kurse vlerat pozitive tregojnë një raport direkt.

Korrelacion perfekt negativ

r = -1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Korrelacion perfekt pozitiv

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Korrelacioni zero

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Korrelacion pozitiv shumë i fortë

Vlera e “r” shumë afër 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Koeficienti i Korrelaconit/ r

Korrelacion

perfekt

pozitiv

Nuk ka

korrelacion

Korrelacion

perfekt

negativ

-0.5 0.5

Korrelacion negativ Korrelacion pozitiv

Korrelacion i

fortë negativ

Korrelacion i

dobët negativ

Korrelacion

mesatar

negativ

Korrelacion i

fortë pozitiv

Korrelacion

mesatar

pozitiv

Korrelacion i

dobët pozitiv

Formula për r

n XY X Y

n X X n Y Y

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2

( ) ( )

X X Y Yr

X X Y Y

Koeficienti i determinacionit/ r2

• Koeficienti i determinacionit, r2 –proporcioni i variacioneve totale në variablën e varur Y që mund të shpjegohen përmes variacioneve në variablën e varur X.

• Koeficienti i determinacionit është katrori i koeficientit të korrelacionit dhe merr vlerat prej 0 deri në 1.

Koeficienti i determinacionit/ r2

Koeficienti i determinacionit si raport i pjesës së pashpjegueshme të variabilitetit dhe variabilitetit të tërësishëm

Koeficienti i determinacionit si katror i koeficientit të korrelacionit

r2 merr vlerat prej 0 deri te 1

2 2( )r r

Koeficienti i aleancës (kontigjencës)

Koeficienti i aleancës:

ra merr vlerat prej 0 deri te 1.

Y Yr ose

Shembull 2.

Duke ju referuar shembullit 1:

• a) Përcaktoni koeficientin e korrelacionit

• b) Interpretoni koeficientin e korrelacionit;

• c) Përcaktoni koeficientin e determinacionit dhe interpretoni rezultatin

• d) Gjeni koeficientin e aleancës

Shembull 2- vazhdim

M X Y Y X Y2 X2 Yc

Sh. 2 7 14 49 4 5,9 -0,5 0,25 0 0 0

T 1 3 3 9 1 3,6 -1,5 2,25 -4 16 6

N 3 8 24 64 9 8,1 0,5 0,25 1 1 0,5

Dh 4 10 40 100 16 10,3 1,5 2,25 3 9 4,5

Gj 10 28 81 222 30 27,9 5 0 26 11

( )iX X ( )iY Y

( ) ( )

X X Y Yr

X X Y Y

2( )iX X 2( )iY Y ( ) ( )i iX X Y Y

11 110,9649

5 26 130

0,9649

22 2 2

( ) ( )( )

( ) ( )

4 81 10 280,9648

4(30) (10) 4 222 28

0,9648

n XY X Yr

n X X n Y Y

Shembull 2 vazhdim

Koeficienti i korrelacionit: r=0,964, do të thotë se ekziston një lidhje shumë e fortë pozitive në mes të hyrave nga shitja dhe shpenzimeve të reklamës.

Koeficienti i determinacionit r2=(0,964)2=0,93, nga këtu kemi se 93% e variacioneve në shitje shpjegohen me variacionet në shpenzimet e reklamës.

Koeficienti i aleancës : Ka = 1- r2=1-0,93 =0,07, nga këtu rrjedh se 7% janë faktorë të tjerë të pashpjegueshëm që ndikojnë në të hyrat

nga shitja.

Testimi i signifikances/rëndësisë/ për koeficientin e korrelacionit

• Testimi bëhet përmes t testit për koeficientin e korrelacionit:

r nt me n shkalle te lirise

Testimi i signifikancës për koeficientin e korrelacionit

Testimi i hipotezës se nuk ekziston korrelacion në mes të

variablave në populacion.

• Hapi 1: Formulimi i hipotezës zero dhe alternative

H0: R=0 (Korrelacioni në populacion është zero)

H1: R ≠ 0 (Korrelcaioni në populacion nuk është zero).

• Hapi i dytë: Niveli i signifikancës 0.05: , Vlera

kritike për n-2 shkallë lirie është 4.303 (Merret te shpërndarja studenti se mostra është e vogël , n=4)

• Hapi 3. Llogaritja e testit t për koeficientin e korrelacionit

2 0,964 4 25.04

1 1 0,964

Testimi i signifikancës për koeficientin e korrelacionit

• Hapi 4. Formulimi i rregullës së vendosjes:

• H0 refuzohet nëse t> 4.303 ose nëse t< - 4.303, sh.l=2, =.05

• Hapi 5. Marrja e vendimit

• 5.04> 4.303 , refuzohet hipoteza zero, se koeficienti i korrelacionit në poulacion është i barabartë me zero, ndërsa pranohet hipoteza alternative se koeficienti i korrelacionit të populacionit është i ndryshëm nga zero.

KONCEPTET KYÇE

ANALIZA E REGRESIONIT ANALIZA KORRELACIONIT

REGRESIONI LINEAR KORRELACIONI POZITIV

REGRESIONI JOLINEAR KORRELACIONI NEGATIV

VARIABËL E VARUR KOEFICIENTI I KORRELACIONIT

VARIABËL E PAVARUR FAKTORËT E SPJEGUESHËM

SKATER DIAGRAMI FAKTORËT E PASPJEGUESHËM

METODA E KATRORËVE MË TË VEGJËL

KOEFICIENTI I ALEANCËS/KONTIGJENCËS

GABIMI STANDARD I VLERËSIMIT

KOEFICIENTI I DETERMINACIONIT-PËRCAKTIMIT

Një vështrim mbi konceptet e probabilitetit

QëllimetPas përfundimit të kësaj ligjerate ju duhet të jeni në gjendje që të:

Definoni probabilitetin.

Kuptoni termet: eksperimenti (prova), rezultati, ngjarja.

Përshkruani qasjet klasike, empirike dhe subjektive të probabilitetit dhe të

bëni dallimet në mes të tyre.

Njihni disa nga rregullat e llogaritjes së probabiliteteve.

Definoni termet: probabiliteti i kushtëzuar dhe probabiliteti i

përbashkët.

Njihni disa nga rregullat e llogaritjes së rasteve të volitshme

(permutacionet, variacionet, kombinacionet)

Bazat e Statistikës

Probabiliteti

• Probabiliteti është një matës

numerik për gjasat se një ngjarje

do të ndodhë.

• Probabiliteti i një ngjarje duhet të

jetë në mes të 0 dhe 1.

• Shuma e probabiliteteve të të gjitha

ngjarjeve reciprokisht përjashtuese/të

papajtueshme/ duhet të jetë i barabartë

E sigurt

E pamundur

0 ≤ P(A) ≤ 1 Për çfarëdo ngjarje A

1P(C)P(B)P(A) Nëse A, B, dhe C janë reciprokisht

përjashtuese dhe te domosdoshme

Definicionet

Probabiliteti: Matja e gjasave se një ngjarje e pasigurt mund të ndodhë në të ardhmen; mund të marrë vlera vetëm në mes të 0 dhe1.

Prova/Eksperimenti: Vështrimi (vrojtimi ) idisa aktiviteteve ose veprimi i marrjes së ca matjeve, gjegjësisht një proces që shpien derite paraqitja e një (dhe vetëm një) nga disavrojtime të mundshme.

Rezultati: Rezultati i pjesshëm i njëeksperimenti.

Ngjarja: Grumbullimi i një apo më shumërezultateve të një eksperimenti.

Bazat e Statistikës .

Hapësira e mostrës/ rezultatet e mundshme

Hapësira e mostrës /është mbledhja e të gjitha

ngjarjeve të mundshme

p.sh. Të gjitha faqet e zarit/kubit (6):

P.sh. Të gjitha letrat e bixhozit (52):

Shembuj të eksperimentit, rezultatit dhe hapsirës së mostrës

Eksperimenti Rezultati Hapësira e mostrës

Gjuajtja e monedhës Stema (S) , numri (N) S= { Stema, Numri}

Gjuajtja e zarit 1,2,3,4,5,6 S= { 1, 2, 3,4, 5, 6}

Gjuajta e monedhës dyherë

NN, NS, SN, SS S = {NN, NS, SN, SS}

Loja në lotari Fitim, Humbje S ={ Fitim, Humbje}

Dhënja e provimit Me kalu, mos me kalu S ={Me kalu, mos me kalu}

Zgjedhja e studentëve Mashkull, Femer S= {Mashkull, Femer}

Bazat e Statistikës .

Ngjarjet• Ngjarje e thjeshtë

· Një rezultat nga të gjitha rezultatet e

mundshme me një karakteristikë.

· P.sh., Karta e kuqe nga letrat e bixhozit.

• Ngjarje komplementare e A (e shënuar~A)

· Të gjitha rezultatet që nuk janë pjesë e ngjarjes

· P.sh. Të gjitha letrat që nuk janë me shenjën e

rombit.

• Ngjarje e përbashkët

· Përfshin dy e më shumë karakteristika/ngjarje

që paraqiten njëkohësisht.

· P.sh., Një As që është gjithashtu i kuq. Bazat e Statistikës

Vlerësimi i probabilitetit/Qasjet e probabilitetit

• Janë tri qasje për vlerësimin e probabilitetit të ndodhjes së një ngjarje të pasigurt:

1. a priori probabiliteti klasik

2. a posteriori probabiliteti klasik empirik/frekuenca relative

3. Probabiliteti subjektiv

numri i rezultateve te favorshmeprobabiliteti

n numri rezultateve te mundshme

total i

Numri ngjarjeve qe kane ndodhur ne te kaluaren Probabiliteti =

Numri total i vrojtimeve

Një vlerësim apo opinion individual rreth

probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes.

Qasjet e probabilitetit

• Probabiliteti klasik bazohet në supozimin se rezultatet e një eksperimenti kanë mundësi të barabarta.

• Sipas pikëpamjes klasike ,Numri i rezultateve tefavorshme

Probabiliteti i nje ngjarje = Numrii pergjithshem i rezultateve te mundshme

SHEMBULL 1

• Marrim në konsiderim eksperimentin e hudhjes së dy monedhave metalike nëtë njejtën kohë.

• Numri i rasteve të mundshme S = {NN, NS, SN, SS}

• Marrim në konsiderim ngjarjen për njëN.

• Probabiliteti për me ra numri =2/4 = 1/2.

Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme

• Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme/: Paraqitja e ndonjë ngjarje nënkupton se të tjerat nuk mund të ndodhin në të njejtën kohë.

• Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme janë reciprokisht përjashtuese/ të papajtueshme.

Ngjarjet e domosdoshme

• Ngjarjet e domosdoshme : Më së paku një ngjarje duhet të ndodhë kur bëhet një eksperiment.

• Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme janë ngjarje të domosdoshme. Me fjalë të tjera shuma e probabiliteve është = 1 (0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25).

Koncepti i frekuencave relative/Koncepti empirik

• Probabiliteti i një ngjarje që ka ndodhur në afat të gjatë përcaktohet nga vështrimi se çfarë pjese e kohës si ngjarja ka ndodhur në të kaluarën:

Numri i rezultateve qe kane ndodhur ne te kaluaren Probabiliteti i nje ngjarje=

Numri total i vrojtimeve

Probabiliteti empirik/koncepti i frekuencave relative

Supozojme se dëshirojmë të llogaisim probabilitetet e këtyre ngarjeve:

- Probabilitetin se automobili i ardhshëm i prodhuar nga fabrika do të jetë me “defekt”.

- Probabilitetin se një familje e zgjedhur rastësisht ka shtëpi te veten.

- Probabilitetin se një grua e zgjedhur rastësisht nuk e punë duhanin.

- Probabilitetin se një tetëdhjetëvjeçar do të jetoj më së paku edhe një vjet, etj.

Shembull

• Dhjetë nga 500 automobila të zgjedhur rastësisht të prodhuar në një fabrikë kanë qenë me defekt. Sa është probabiliteti që automobili i ardhshëm i prodhuar nga kjo fabrikë të jetë me defekt.

• n=500 P(A) = 10/500=0.02

• m=10

Shpërndarja e frekuencave dhe frekuencave relative në mostrën prej 500 automobilave

Automobili Frekuenca Frekuencarelative

I rregullt 490 490/500=0.98

Me defekt 10 10/500=0.02

Gjithsej 500 1.00

SHEMBULL 2

• Përgjatë karrierës së saj prof. Anitë ka shpërblyer 186 studentë me A nga1200 studentë sa ajo i ka mësuar. Sa është probabiliteti që studenti nëdepartamentin e saj në këtë semestërdo të marrë A?

• Duke aplikuar konceptin e frekuencave relative probabiliteti përnjë A është

• P(A)= 186/1200=0.155

Probabiliteti subjektiv

• Probabiliteti subjektiv: Gjasat (probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje të veçantë që caktohet nga individi duke u bazuar në kombinimet e përvojave të kaluara të individit, opinionin personal dhe analizës së situatave të vecanta.

• Si shembuj të probabilitetit subjektiv mund të shërbejnë si vijon:

- Vlerësimi i probabilitetit se klubi futbollistik “X” do të luajë vitin e ardhshëm në ligën e kampionëve.

- Vlerësimi i probabilitetit se studenti do të marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e caktuar, etj

Disa rregulla të probabilitetit

Rregullat e

probabilitetit

Rregullat

aditive

(të mbledhjes)

Rregullat e

multiplikatorit

(e shumëzimit)

Rregulla e

veçantë

aditive

Rregulla e

plotësuese

komplementare

Rregulla e

përgjithshme

aditive

Rregulla e

veçantë e

multiplikatorit

Rregulla e

përgjithshme

e multiplikatorit

Rregullat bazë të probabilitetit

• Nëse ngjarjet janë reciprokisht përjashtuese, atëherë ndodhja e ndonjë nga ngjarjet pamundëson ndodhjen e ngjarjeve të tjera.

• Rregullat aditive ( të mbledhjes): Nëse dy ngjarje A dhe B janë reciprokisht përjashtuese, rregulla e veçantë aditive thotë se probabiliteti i ndodhjes së A ose B është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. P(A ose B) = P(A) + P(B)

• Rregulla e veçantë aditive P(A ose B ose C ) = P(A) + P(B) + P(C)

Shembull 3

• Aeroporti X së voni ka marrë informata për fluturimet nga Prishtina në Gjenevë

Arritja Frekuenca

Herët 100

Vonë 75

Në kohë 800

Anuluar 25

Gjithsej 1000

Shembull 3 vazhdim

• Nëse A është ngjarja se fluturimi arrin herët, atëherë probabiliteti P(A) = 100/1000 = 0.1

• Nëse B është ngjarja se fluturimi do të arrijë vonë , atëherë P(B) = 75/1000 = 0.075

• Probabiliteti se aeroplani do të vijë herët ose do të arrijë vonë është;

P(A ose B) = P(A) + P(B) = 0.1 + 0.075 =0.175

Rregulla plotësuese/komplementare

• Rregulla plotësuese/komplementare/përdoret për probabilitetin se një ngjarje që do të ndodhë përmes heqjes së probabilitetit të një ngjarje që nuk do të ndodhë nga 1.

• Nëse P(A) është probabiliteti i ngjarjes A dhe P(~A) është plotësues i A, atëherë P(A) + P(~A) = 1 ose P(A) = 1 - P(~A).

Rregulla komplemenare/plotësuese vazhdim

• Diagrami i Ven-it (J.Venn 1834-1888) ilustron rregullën komplementare që do të duket si në vijim:

SHEMBULL 4

• I rikthehemi SHEMBULLIT 3.

• Nëse C është ngjarja se fluturimi do të arrijë në kohë, atëherë, P(C) = 800/1000 = 0.8.

• Nëse D është ngjarja se flutruimi është shtyrë, atëherë,P(D) = 25/1000 = 0.025.

• Shfrytëzoni rregullën komplementare për të treguar se probabiliteti i një fluturimi të hershëm (A) ose të vonshëm (B) është 0.175.

SHEMBULL 4 vazhdim

• P(A ose B) = 1 - P(C ose D) = 1 -ë0.8 +.025] =0.175

~(C ose D) = (A ose B)

Rregulla aditive e përgjithshme

• Nëse A dhe B janë dy ngjarje që nuk janë reciprkisht përjashtuese , atëherë ,

P(A ose B) është i dhënë me formulën vijuese:

• P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B)

• Diagram i Ven-it ilustron këtë rregull:

A dhe B

SHEMBULL 5

• Në një mostër prej 500 studentëve, 320 kanë thënë se kanë stereo , 180 kanë thënë se kanë TV, dhe 100 kanë thënë se i kanë të dyja:

Stereo

Bashkë

SHEMBULL 5 vazhdim

• Nëse studenti zgjedhet rastësisht , sa është probabiliteti që studenti të ketë vetëm stereo, vetëm TV dhe të dyja stereo dhe TV?

• P(St) = 320/500 = 0.64.

• P(Tv) = 180/500 = 0.36.

• P(St dhe Tv) = 100/500 =0.20.

SHEMBULL 5 vazhdim

• Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është probabiliteti që studenti ka gjithashtu stereo ose TV në shtëpinë e tij?

• P(St ose TV) = P(St) + P(Tv) - P(S dhe T) = 0.64 +0.36 - 0.20 =0.80.

Shembull

• Studenti është duke mbajtur dy kurse në histori dhe matematikë. Probabiliteti se studenti do ta jap historinë është 0.60, kurse probabiliteti se do ta jap matematikën është 0.70. Probabiliteti se do t’i kaloj të dyja është 0.50. Sa është probabiliteti se së paku do ta jap njërin provim.

• P(A ose B) = P(A) + P(B) – P (A dhe B)= 0.60+0.70-0.50 =0.8.

Probabiliteti i përbashkët

• Probabiliteti i përbashkët është probabiliteti që mat gjasat se dy ose më shumë ngjarje do të ndodhin njëkohësisht. Një shembull do të jetë ngjarja që studenti i ka të dyja, stereon dhe TV në shtëpinë e tij.

Rregulla e veçantë e multiplikatorit

• Rregulla e veçantë e multiplikatoritkërkon që dy ngjarje A dhe B të jenë të pavarura.

• Dy ngjarje A dhe B janë të pavaura nëse ndodhja e njërës nuk ka efekt në probabilitetin e ndodhjes së tjetrës.

• Rregulla e veçantë e multiplikatoritështë:

( ) ( ) ( )P Adhe B P A P B

SHEMBULL 6

• Shpendi posedon dy fletëaksione të cilat janë të pavaruara nga njëra tjetra. Probabiliteti që fletëaksioni A të rritet në vlerë në vitin e ardhshëm është 0.5. Probabiliteti se vlera e aksionit B do të rritet në vitin e ardhshëm është 0.7.

• Sa është probabiliteti se vlera e të dy aksioneve do të riten vitin e ardhshëm?

• P(A dhe B) = (0.5)(0.7) = 0.35.

Probabiliteti i kushtëzuar

• Probabiliteti i kushtëzuar është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarje të veçantë duke ditur që një ngjarje tjetër ka ndodhur.

• Vërejtje: Probabiliteti i ngjarjes A duke ditur që do të ndodhë ngjarja B shënohet me P(A|B).

Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit

• Rregulla e përgjithshme e multiplikatoritpërdoret për të gjetur probabilitetin e përbashkët se dy ngjarje që do të ndodhin dhe definohet kësisoji: për dy ngjarje A dhe B, probabiliteti i përbashkët se të dy ngjarjet do të ndodhin gjindet përmes shumëzimit të probabilitetit se ngjarja A do të ndodhë me probabilitetin e kushtëzuar të B duke ditur se ngjarja A ka ndodhur.

( ) ( ) ( / )P Adhe B P A P B A

Shembull

• Në një anketë, punëtorët e kompanisë ,X’’, në pyetjen se: Nëse do t’iu ipej një mundësi për të punuar në një kompani tjetër, me pozitë të njejtë apo më të mirë se kjo që keni tani, do të dëshironit ta ndërronit?

• Përgjigjet e tyre janë të klasifikuara në bazë të përvojës së tyre në atë kompani

sipas tabelës vijuese:

Përvoja ->

Me pak se një

1-5vite

6-10 vite

Më shumë se 10vite

Totali

Do të qëndrojnë

10 30 5 75 120

Nuk do të qëndrojnë

25 15 10 30 80

Totali 35 45 15 105 200

Lojaliteti i punëtorëve ndaj kompanisë dhe përvoja e tyre e punës

• Sa është probabiliteti se një punëtor i zgjedhur rastësisht nga kjo kompani do të qëndrojë në atë kompani dhe që ka më shumë se 10 vjet përvojë pune ?

• P(A) - do të qëndroj në kompani

• P(B) ka përvojë pune më se 10 vjet

• P(B|A) – qëndron në kompani dhe ka përvoj më se 10 vite

P(A dhe B)= P(A) x P(B|A)

= 120/200 x 75/120

= 9000/24000

= 0.375

Zgjidhja

Shembull

Bordi i drejtorëve të firmës “X” përbëhet nga 8 meshkuj dhe katër femra. Një komitet prej katër anëtarëve duhet të zgjidhet në mënyrë të rastësishme për të rekomanduar presidentin e ri të kompanisë.

a) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët e këtij komiteti të jenë femra?

b) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët të jenë meshkuj.

c) Shuma e probabiliteteve për A dhe B a është e barabartë me 1? Spjego.

Zgjidhje

• a) 0.002

• b) 0.14

4 3 2 10.002

12 11 10 9

8 7 6 5 16800.1414

12 11 10 9 11880

Disa parime të llogaritjes

• Rregullat për llogaritjen e numrit të rezultateve të mundshme:

• Rregulla 1.

• Formula e Multiplikatorit: Nëse ka m mënyra për ta bërë një gjë dhe n mënyra për ta bërë një tjetër , atëherë ka m x n mënyra për t’i bërë të dyja.

• Shembull 10:

Ju dëshironi të shkoni në park, të hani në restaurant dhe të shihni filma. Janë 3 parqe, 4 restaurante dhe 6 kinema. Sa kombinime të ndryshme të mundshme janë:

• Përgjigje:

• 3 x 4 x 6 =72 mundësi të ndryshme

Rregullat e llogaritjes

• Rregulla 2· Mënyrat se si mund të rregullohen n elemente

sipas rregullit është:

· Shembull:

– Restorani i juaj ka pesë zgjedhje në menynë e tij. Në sa mënyra ju mund të porositni për menynë tuaj?

Përgjigje:

5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 mundësi të ndryshme.

n! = (n)(n – 1)…(1)

(vazhdim)

Bazat e Statistikës Dr. Rahmije Mustafa -TopxhiuBazat e Statistikës

• Rregulla 3.

• Permutacionet: çdo regullim i X elementeve izgjedhur nga n elementet e mundshme.

· Shembull:

– Restauranti i juaj ka pesë zgjedhje në meny, kurse tri duhet të zgjidhen për drekë. Sa mënyra të ndryshme mund të porositetdreka?

Përgjigje:

Vërejte: Renditja e rregullimit të elementeve është e

rëndësishme te permutacionet.

(vazhdim)

n! 5! 120P 60

(n X)! (5 3)! 2

• Rregulla 4• Kombinacionet: Numri i mënyrave të zgjedhjes

së x elementeve nga grupi i n elementeve pa respektuar renditjen

· Shembull:

– Restauranti i juaj ka pesë meny për zgjedhe dhe tri duhet të zgjidhen për drekë . Sa mënyra të ndryshme mund të bëhet kombinimi duke injoruar rregullin e zgjedhjes.

– Përgjigje:

(vazhdim

X)!(nX!

10(6)(2)

3)!(53!

X)!(nX!

SHEMBULL 11

• Trajneri X duhet të zgjedhë pesë lojtarë në mes të 12 sa i ka në ekip për të formuar formacionin fillestar. Sa grupe të ndryshme janë të mundshme?

12C5 = (12!)/ë5!(12-5)!] =792

• Supozojmë se Trajneri X duhet ti rangoj ata kësisoj:

12P5 = (12!)/(12-5)! = 95,040.

Konceptet kyçe

Probabiliteti

Eksperimenti

Rezultati

Ngjarja

Hapësira e mostrës

Probabiliteti apriori

Probabiliteti aposteriori

Probabiliteti subjektiv

Ngjarje e thjeshtë

Ngjarje komplementare

Ngjarjet e papajtueshme

Ngjarjet e domosdoshme

Ngjarjet e kushtëzuara

Regulla aditive e thjeshte

Rregulla komplementare

Rregulla e multiplikatorit

Rregulla e përgjithshmee multiplikatorit

Permuatacionet

Kombinacionet

VariacionetBazat e Statistikës

Permbledhje e Ligjeratave Statistike- Rahmije Mustafa

Documents

Transcript of Permbledhje e Ligjeratave Statistike- Rahmije Mustafa

STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)

Financat e Korporatave - Permbledhje

PErmbledhje punimesh

Kombet e Bashkuara- Permbledhje

Permbledhje Gjuhesh Programimi

Statistika dr rahmije mustafa provime nga afatet e kaluara

Permbledhje Detyrash Nga Matematika Per Studentet e Kimise

Konsumimi Dhe Te Drejtat e Konsumatoreve Permbledhje

E drejta unionit europian permbledhjE

Kriminologjia Dhe Penologjia Permbledhje J

SENSORET 2 PERMBLEDHJE

STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Provime nga afatet e kaluara)

Bekim Baliqi: Permbledhje Analizash dhe Refleksionesh Politike

Permbledhje dhe sinteze e teorive te motivimit

Seminaret ne Java1 permbledhje 2011.pdf

E Drejta e Prucedures Civile Permbledhje

Permbledhje pytjesh ne nvm prof besnik krasniqi

PERMBLEDHJE E PERFORMANCES SE FONDEVE & TREGJEVE …

Permbledhje e lendes se Gjuhes Shqipe

E Drejte Financiare-Permbledhje