Post on 26-Dec-2015
description
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak hal yang dipelajari dalam ilmu Mteatematika, salah satunya adalah
fungsi. Dalam matematika fungsi memiliki banyak peranan, misalnya fungsi bisa
digunakan untuk menentukan waktu. Fungsi banyak juga digunakan dalam
perhitungan ilmu Fisika. Dengan fungsi kita bisa menemukan hasil yang susah
untuk ditemukan dengan cara yang biasa. Dengan menggunakan fungsi, seseorang
akan lebih mudah menemukan hasil akhir dari sebuah perhitungan.
Intinya konsep “fungsi” merupakan hal yang penting dalam berbagai
cabang matematika. Dalam banyak hal fungsi diterapkan dalam berbagai bidang
untuk menyelesaikan persoalan-persoalan baik dalam bidang teknik, ekonomi dan
bidang lain yang mempelajari hubungan-hubungan antar variabel, dimana variabel
satu sama lainnya saling pengaruh mempengaruhi dan dapat diukur, seperti jarak
dan waktu dapat diiukur, sehingga dapat dikatakan bahwa jarak adalah fungsi dari
waktu.
Banyak permasalahan fungsi yang dirasa sulit untuk diselesaikan, baik dari
segiperhitungan maupun dalam penggambaran dalam grafik. Namun, seiring
dengan perkembangan teknologi, untuk mempelajari fungsi kita dapat
menggunakan perangkat komputer dengan software Maple 13. Software ini
dirancang untuk mempermudah dalam pembelajaran fungsi, baik secara
perhitungan maupun penggambarannya.
1.2 Rumsan Masalah
a. Bagaimana penerapan fungsi dalam Maple 13?
b. Bagaimana cara menuliskan invers pada Maple 13?
1.3 Tujuan
a. Untuk mengetahui penerapan fungsi dalam Maple 13
b. Untuk mengetahui cara penulisan invers pada Maple 13
1.4 Manfaat
a. Agar dapat mengetahui penerapan fungsi dalam Maple 13
b. Agar dapat mengetahui penulisan invers pada Maple 13
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1Pengertian fungsi
Pengertian fungsi disini dikaitkan dengan pengertian pemetaan yang dalam
analisis matematika dikenal dengan nama fungsi. Dengan demikian fungsi
merupakan kejadian khusus dari suatu relasi.(Sukardji Ranuwihardjo,1986:7).
Fungsi menurut buku lain adalah suatu persamaan dimana mempunyai dua
buah variabel atau lebih yang masing masing variabel tersebut nilainya saling
mempengaruhi(Suprapto kartono SE,1983:2).
Misalnya :
a. Fungsi yang mempunyai dua variabel
y = f(x) dibaca y sama dengan fungsi dari x
f(x,y) = 0 dibaca, fungsi x dan y sama dengan nol
b. Fungsi yang mempunyai lebih dari dua variable.
z = G(x,y) dibaca, z sama dengan fungsi dari x dan y.
G(x,y.z) = 0 dibaca, fungsi x,y, dan z sama dengan nol
Dalam fungsi ini x,y, dan z adalah yang dimaksud dengan variabel, yaitu
nilainya tidak tetap,tetapi berubah ubah.
Variabel dapat dibedakan menjadi dua yakni:
a. Variable bebas (independent)
b. Variabel tidak bebas (dependent)
2.2 Jenis jenis fungsi
2.2.1 Fungsi injektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya
jika untuk sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak
sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
2.2.2 Fungsi surjektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya
jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam
domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi
surjektif sama dengan kisarannya (range).
2.2.3 Fungsi bijektif
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk
sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a)
= b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain,
fungsi bijektif adalah adalah sekaligus injektif dan surjektif.
2.2.4 Fungsi Konstan (fungsi tetap)
Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam ruumus f(x) = c,
dengan c suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat
dimana domainnya sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.
2.2.5 Fungsi Linier
Suatau fungsi f(x) disebut fungsi linier apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax + b, dimana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa
garis lurus.
2.2.6 Fungsi Kuadrat
Suatau fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan
oleh f(x) = ax2 + b + c, dimana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan
grafiknya berupa parabola.
2.2.7 Fungsi Identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain
fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya
sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titi asal dan semua
titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.
2.2.8 Fungsi Tangga (bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x)
berbentuk interval-interval yang sejajar.
2.2.9 Fungsi Modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini
memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsure harga mutlaknya.
2.2.10 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(-x) = -f(x) dan
disebut fungsi genap apabila berlaku f(-x) = f(x). Jika f(-x) ≠ -f(x) maka fungsi ini
tidak genap dan tidak ganjil.
2.2.11 Fungsi Polinomial
Fungsi polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk : f(x) =
an x n + an-1 x n-1 + ……. A2 x 2 + a1 x a0 jika n = 1maka terbentuk fungsi
linier (grafik berbentuk garis lurus). Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat
(grafiknya berbentuk parabola) (Anonim1, 2013).
2.3 Nilai fungsi
Kalau kita ingin mengetahui nilai dari suatu fungsi, maka kita harus
menetukan terlebih dahulu nilai dari variabel bebasnya. Sebab besarnya fungsi itu
tergantung dari nilai variabel bebas. (Suprapto kartono SE,1983:7).
2.4 Fungsi invers
Jika fungsi f : A → B dinyatakan dalam pasangan terurut
f : {(a,b) | a → A dan b → B} maka invers dari fungsi f adalah f -1 : B A ditentukan oleh :f-1 : {(b,a) | b → B dan a → A}
Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi
merupakan fungsi maka invers fungsi itu disebut fungsi invers (Anonim2, 2013).
2.5 Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi dapat dianalogikan seperti contoh di atas. Misalkan kita
memiliki fungsi f(x) = 2x + 3 dengan domainnya bilangan real, dan g(x) = √(x – 1)
dengan domain x ≥ 1 untuk x bilangan real. Fungsi komposisi g ○ f dapat
digambarkan sebagai berikut.
Mula-mula x, anggota domain f, dipetakan oleh f ke bayangan x, yaitu f(x).
Kemudian f(x) dipetakan lagi oleh g ke g(f(x). Dengan demikian fungsi komposisi
g ○ f adalah pemetaan x anggota domain f oleh fungsi f, kemudian bayangannya
dipetakan lagi oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.
Diketahui f dan g dua fungsi sembarang, maka fungsi komposisi f dan g
ditulis g ○ f didefinisikan sebagai (g ○ f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x anggota
domain f.
Sebagai contoh kita ambil x = –1 anggota domain f, kita akan memperoleh
f(x) = 1 yang berada dalam daerah asal fungs g. Bayangan x = –1, yaitu f(x) = 1
dapat dipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(1) = √(1 – 1) = 0.
Lain halnya jika x = –2. Untuk x = –2 diperoleh f(–2) = –1 yang berada di
luar daerah asal fungsi g. Bayangan x = –2, yaitu f(x) = –1 tidak dapat dipetakan
oleh g ke fungsi komposisi g(f(x)) sebab g(–1) = √(–1 – 1) = √–2. Nilai ini tidak
terdefinisi jika kita membatasi daerah asal pada himpunan seluruh bilangan real.
Dari uraian tersebut dapat dipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat
dilakukan jika bayangan x jatuh pada daerah asal fungsi g. Dengan demikian,
diperoleh daerah asal fungsi g ○ f adalah Dg○ f = {x | x anggota Df, f(x) anggota
Dg}.
Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f ○ g adalah pemetaan x
anggota domain g oleh fungsi g, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh
fungsi f. Dengan demikian daerah asal fungsi komposisi f ○ g adalah Df○ g = {x | x
anggota Dg, f(x) anggota Df} (Anonim1, 2013).
BAB 3. METODOLOGI PERCOBAAN
3.1 Alat dan Bahan3.1.1 Alat
Adapun alat yang digunakan dalam praktikum penggunaan maple dalam
pengoperasian fungsi adalah :
a. Laptop Toshiba Satelite L375-S9310D CORE i5
3.1.2 Bahan
Adapun bahan yang digunakan dalam praktikum penggunaan maple dalam
pengoperasian fungsi adalah :
a. Software Maple 13
3.2 Prosedur Kerja
a. Menekan tombol On pada laptop
b. Menunggu hingga laptop siap digunakan
Gambar 3.1 Tampilan Menu Windows
c. Lalu double klik pada ikon Maple 13 atau bias menggunakan cara berikut:
Start→All Pragram→Maple 13→Classic Worksheet Maple 13
Gambar 3.2 Tampilan Jendela Maple 13
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Mendefinisikan Fungsi
Sebelum mengerjakan fungsi dalam Maple 13 ini, kita harus membuat
fungsi itu sendiri atau mendefinisikan fungsi. Cara mendefinikan fungsi adalah
menuliskan unsur-unsur fungsi tersebut dalam Maple 13. Seperti halnya unsur
dalam fungsi yaitu nama fungsi, variable, maupun fungsi itu sendiri. Berikut
adalah format penulisan fungsi dalam Maple 13:
Nama fungsi:=(variabel)->fungsi
Mendefinisikan suatu fugsi dalam Maple 13 ini jangan sampai salah.
Karena hasil yang dihasilkan nantinya akan erorr. Namun bedanya dengan
Matlab, Maple 13 dapat mengahapus unsure yang salah dengan lebih mudah,
sehingga dalam pengoreksian juga lebih mudah.
Contoh dalam menuliskan fungsi berikut f(x) = √ x+1. Maka penulisan
dalam Maple 13 adalah seperti dibawah ini:
> f:=x->x^(1/2)+1:, tanda titik dua (:) setelah penulisan fungsi erguna
untuk menyimpan fungsi tersebut.ketika kita ingin memanggilnya kembali dalam
pengoperasian fungsi kita hanya cukup menuliskan f(x) saja. Pemanggilan fungsi
ini akan menghasilkan seperti dibawah ini
x 1
Contoh lainnya yaitu fungsi g(x) = x2 + 4. Penulisan dalam Maple 13 adalah:
> g:=x->x^2-4:
Dengan pemanggilan kembali yaitu x2 4
4.2 Operasi Fungsi
Setelah kita membuat fungsi-fungsi diatas, kita hanya perlu menuliskan
f(x) atau g(x) saja dalam pengoperasian fungsi dalam Maple 13 ini. Karena fungsi
sudah dibuat sebelumya. Seperti contoh penjumlahan dan pengurangan berikut:
> f(x)+g(x); x 3 x2
> f(x)-g(x);x 5 x2
Selain penjumlahan dan pengurangan ada juga perkalian, pembagian, akar,
pangkat dan sebagainya. Kita hanya perlu menuliskan operasi apa yang kita
butuhkan.
4.3 Nilai fungsi
Ada banyak cara untuk menentuka nilai fungsi. Dalam Maple 13 terdapat
beberapa perintah atau cara dalam menentukan fungsi yaitu solve, factor, expand,
dan simplify. Keempat perintah tersebut memiliki fungsi berbeda-beda. Dimana
solve adalah perintah untuk mencari akar atau menyelesaikan fungsi tersebut,
factor untuk memfaktorkan fungsi, expand untuk menjabarkan fungsi, dan
simplify untuk menyederhanakan fungsi.
Berikut adalah cara penggunaan dari keempat perintah tersebut
a. Solve
Untuk menggunakan perintah solve ketiklah solve(fungsi); seperti contoh
dibawah ini:
Jika g(x) = (x-1) (x+1), maka dalam Maple 13 penulisannya
> g:=x->(x-1)*(x+1):
Maka solve dari fungsi di atas adalah > solve(g(x)); dengan hasil
,1 -1
b. Factor
Untuk menggunakan perintah factor ketiklah factor(fungsi); seperti contoh
dibawah ini:
Jika t(x) = x2 – 1, maka dalam Maple 13 penulisannya
> t:=x->x^2-2*x+1:
Maka factor dari fungsi adalah > factor(t(x)); dengan hasil
( )x 1 2
c. Expand
Untuk menggunakan perintah expand ketiklah expand(fungsi); seperti
contoh dibawah ini:
Jika > g:=x->(x-1)*(x+1):
Maka expand dari fungsi di atas adalah > expand(g(x));dengan hasil
x2 1
d. Simplify
Untuk menggunakan perintah simplify ketiklah expand(fungsi); seperti
contoh dibawah ini:
Jika t(x) = x2 – 1, maka dalam Maple 13 penulisannya
> t:=x->x^2-2*x+1:dan h(x) = x – 1, maka dalam Maple 13 penulisannya
> h:=x->x-1;Serta s(x) = t(x)/h(x), maka dalam Maple 13 penulisannya> s:=x->t(x)/h(x);Sehingga penyederhanaan dari s(x) adalah > simplify(s(x));
dengan hasil x 1
4.4 Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara
berurutan sehingga menghasilkan dua fungsi baru. Penulisan fungsi komposisi
dalam Maple 13 misal f(x) dikomposisikan terhadap g(x) maka menggunakan
‘@’, sehingga f(g(x)) = (f@g)(x). seperti contoh y(x) = x2 + 2x dan z(x) = 2x + 3,
jika yang ditanyakan y(z(x)) maka
> y:=x->x^2+2*x:
> z:=x->2*x+3:
> (y@z)(x);
( )2 x 3 2 4 x 6
4.5 Fungsi Invers
Fungsi invers adalah kebalikan dari fungsi itu sendiri. Dalam Maple 13
penulisan fungsi invers harus menmbuat nama calon dari fungsi invers itu, karena
pada Maple 13 tidak ada perintah khusu untuk fungsi invers. Misal jika e(x)
merupakan invers dari d(x) maka berlaku d(e(x)) = x. Sehingga untuk mencari
invers dari d(x) yaitu e(x) maka menggunakan perinta ‘solve’. Jika d(x) = 5x – 3,
dan e(x) adalah invers dari d(x) maka
> d:=x->5*x-3:
> solve((d@e)(x)=x,e(x));
x5
35
BAB 5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan di atas dapa disimpulkan bahwa
5.1.1 Penerapan Fungsi dalam Maple 13
a. Definisi Fungsi
Penulisan fungsi dalam Maple 13 adalah > f:=x->x^(1/2)+1:
b. Operasi Fungsi
Operasi fungsi dalam Maple 13 yaitu dengan cara memilih perintah
operasi yang dibutuhkan seperti penjumlahan dan pengurangan fungsi
berikut:
> f(x)+g(x);
> f(x)-g(x);
c. Nilai fungsi
Mencari nilai fungsi dalam Maple 13 ada empat cara yaitu solve, factor,
expand, dan simplify. Dengan penulisan masing-masing perintah sebagai
berikut:
> solve(t(x));
> expand(t(x));
> factor(t(x));
> simplify(t(x));
d. Fungsi Komposisi
Menuliskan fungsi komposisi dalam Maple 13 yaitu dengan cara misal f(x)
dikomposisikan terhadap g(x) maka menggunakan ‘@’, sehingga f(g(x)) =
(f@g)(x). Seperti contoh di bawah ini:
> y:=x->x^2+2*x:
> z:=x->2*x+3:
> (y@z)(x);
( )2 x 3 2 4 x 6
e. Fungsi Invers
Menuliskan fungsi invers dalam Maple 13 tidak ada cara yang khusus.
Sehingga penulisan fungsi invers dalam Maple 13 dengan cara membuat
nama baru dari calon incers fungsi itu sendiri. Misal jika e(x) merupakan
invers dari d(x) maka berlaku d(e(x)) = x. Berikut penulisan dalam Maple
13.
Jika > d:=x->5*x-3:
Maka > solve((d@e)(x)=x,e(x));
x5
35
5.2. Saran
Setiap kali melakukan percobaan dalam Maple 13 ini jangan pernah takut
salah. Agar tidak salah, seharusnya praktikan bisa mencerna dan mendengarkan
apa yang dijelaskan oleh asisten dengan baik. Sehingga bias meminimalisir
kesalahan yang terjadi
DAFTAR PUSTAKA
Kartono,Suprapto.1983.Penerapan Fungsi Dalam Ekonomi.Jakarta: Universitas Indonesia.Baisuni,hasyim.1986.Kalkulus.Jakarta:Universitas Indonesia.www.meetmath.com/001297-materi- komposisi - fungsi .html http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29 ( anonim 1)
http://yos3prens.wordpress.com/2013/01/28/fungsi-komposisi/ (anonim 2)