Post on 04-Nov-2020
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
1
PENDAHULUAN
Pada modul ini akan dibahas
ruang dimensi tiga. Beberapa
topik yang dipelajari di
antaranya adalah cara
menggambar beberapa bangun
ruang. Menggambar bangun
ruang membutuhkan daya
imajinasi dan visualisasi yang
baik. Modul ini memberikan
dasar menggambar beberapa
bangun sederhana seperti
kubus, balok, dan limas.
Menggambar kesenian karena
menggambar bangun pada
modul ini dimaksudkan sebagai
bagian memahami geometri
matematika. Keahlian
menggambar bangun ruang
akan sangat berguna bagi
mereka yang berminat
menerjuni bidang - bidang di
mana dimensi tiga menjadi teori
dan pembahasannya, seperti
arsitektur, seni rupa, dan teknik
sipil. Bagi kamu yang kurang
berminat pada bidang-bidang
tersebut maka bahasan ini dapat
dianggap sebagai latihan
terhadap daya imajinasi dan
visualisasi.
Untuk memudahkan
pemahaman tentang
Ruang Dimensi Tiga, modul
ini akan membahas
1 kegiatan belajar yaitu :
Kegiatan Belajar 1 :
Ruang Dimensi Tiga
Standar Kompetensi : Menentukan kedudukan jarak, dan
besar sudut yang melibatkan titik,
garis, dan bidang dalam ruang dimensi
tiga.
Kompetensi Dasar : Menentukan kedudukan titik, garis,dan
bidang dalam ruang dimensi tiga.
Kompetensi Dasar : Menentukan jarak dari titik ke garis
dan dari titik ke bidang dalam ruang
dimensi tiga.
Kompetensi Dasar : Menentukan besar sudut antara garis
dan bidang dan antara dua bidang
dalam ruang dimensi tiga.
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
2
❖ Titik, Garis, dan Bidang
Pengertian titik
Titik biasanya digambarkan dengan sebuah noktah kecil ( . ) dan diberi nama dengan satu huruf
kapital, seperti M
Contoh : . M
Pengertian garis
Garis adalah kumpulan titik-titik yang banyaknya tak terhingga, bentuk garis bisa lurus atau
lengkung,yang dimaksud garis di sini adalah garis lurus. Garis tidak memiliki batas ke kiri atau ke
kanan, oleh karena itu garis cukup digambar wakilnya saja. Garis ditulis dengan huruf kecil,
misalnya garis g, garis h, garis k, garis l, dan seterusnya.
Contoh : g
Pengertian bidang
Sebuah bidang memiliki luas yang tak terbatas. Dalam geometri, sebuah bidang cukup digambar
wakilnya saja, yaitu suatu daerah terbatas yang terletak pada bidang.
D C
A B
Bidang di atas disebut bidang ABCD karena bidang ABCD termuat di dalamnya. Secara
sederhana bidang yang memuat ABCD tersebut dapat disebut bidang .
Mengkonstruksi sebuah bidang.
1. Tiga titik yang tidak segaris.
Tiga titik A, B, C yang tidak segaris membentuk sebuah bidang 1 .
KEGIATAN BELAJAR 1
. A . C
.B
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
3
2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.
Titik P ada di luar garis g.
Titik P dan garis g membentuk bidang 2
P
2
3. Dua garis yang berpotongan.
Garis g dn garis h berpotongan. Garis g dan garis h membentuk bidang 3
g
h
3
4. Dua garis yang sejajar.
Garis 1g dan garis 1h sejajar. Garis
1g dan 1h membentuk bidang 4
1g
4
1h
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
4
❖ Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang.
1. Kedudukan Titik terhadap Garis
1. Titik P dikatakan terletak pada garis g, jika titik P tersebut dapat dilalui oleh garis g atau
perpanjangannya.
g g
P P
2. Titik Q dikatakan terletak di luar garis m, jika titik Q tersebut tidak dapat dilalui oleh
garis m
m
Q
2. Kedudukan Titik terhadap bidang
Q
P
α
1. Titik P dikatakan terletak pada bidang α , jika titik P tersebut dapat dilalui oleh bidang α
atau perluasannya.
2. Titik Q dikatakan terletak di luar bidang α, jika titik Q tersebut tidak dapat dilalui oleh
bidang α atau perluasannya.
3. Kedudukan Dua Garis
a. Dua garis berimpit, jika kedua garis itu mempunyai paling sedidkit 2 buah titik
persekutuan.
Q a
P
α b
b. Dua garis berptongan, jika kedua garis itu mempunyai 1 titik persekutuan, titik ini
disebut titik potong kedua garis itu.
a
P b
α
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
5
c. Dua garis sejajar, jika kedua garis itu terletak pada satu bidang, tetapi tidak mempunyai
titik persekutuan.
a
b
α
d. Dua garis bersilangan
b
α
4. Kedudukan Garis dan Bidang.
1. Garis terletak pada bidang
Jika terdapat 2 buah titik yang terletak pada garis dan juga terletak pada bidang, dengan
kata lain terdapat 2 buah titik pesekutuan antara garis dan bidang.
P Q
m
α
2. Garis sejajar bidang
Jika garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan walaupun garis itu diperpanjang
dan bidang itu diperluas.
m
α
3. Garis menembus bidang
Jika dan hanya jika terdapat 1 titik persekutuan antara garis dan bidang. Titik persekutan
ini disebut titik tembus.
m
T
α
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
6
5. Kedudukan Dua Bidang.
1. Dua buah bidang berimpit.
Jika kedua bidang itu mempunyai 3 buah titik persekutuan yg tidak segaris.
B C
α A β
Titik A, B, dan C terletak pada α, juga terletak pada β, maka α dan β berimpit.
2. Duah bidang sejajar
Jika kedua bidang itu tidak mempunyai titik persekutuan, walaupun diperluas
secukupnya.
α
β
3. Dua bidang berpotongan
Jika kedua bidang itu tidak berimpit dan tidak sejajar. Perpotongan kedua bidang
tersebut berupa garis lurus dan dinamakan garis potong atau garis tembus atau garis
persekutuan. Jika kedua bidang itu adalah α dan β, maka garis potongnya disebut ( α, β )
β
(α,β)
α
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
7
H G
E
C
A B
Tentukan kedudukan
1. Garis AH terhadap CF .
2. Garis BH terhadap bidang DCGH
3. Garis DG terhadap bidang ABFE
4. Bidang ABCD terhadap bidang EFGH
5. Bidang ACGE terhadap bidang BDHF
6. Titik A terhadap bidang ABFE
7. Titik B terhadap garis AC.
F
D
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
8
❖ Proyeksi
1. Proyeksi titik pada bidang
P
P1
Proyeksi sebuah titik P pada bidang adalah titik tembus garis yang tegak lurus dari P pada
bidang .
P1 = proyeksi P pada
P P1 = proyektor atau jarak titik P terhadap bidang
= bidang proyeksi
P P1 ⊥
2. Proyeksi garis pada bidang
A B
A1 B1
Jika semua titik pada garis AB diproyeksikan pada bidang , maka proyektor-proyektornya
terletak pada satu bidang (bidang proyektor) dan semua proyeksinya terletak pada satu garis
A1B1. Sehingga, proyeksi AB pada bidang adalah garis A1B1.
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
9
❖ Menggambar Bangun Ruang
H G
E
C
A B
Beberapa pengertian untuk menggambar bangun ruang.
a. Bidang gambar adalah suatu bidang atau permukaan sebagai tempat untuk menggambar atau
melukis bangun ruang. Contohnya adalah buku tulis, papan tulis, dan kertas gambar.
b. Bidang frontal adalah bidang gambar atau bidang yang sejajar dengan bidang gambar.
Bidang ABFE dan DCGH adalah frontal.
Keistimewaan bidang frontal adalah bahwa ukuran dan bentuk semua bangun yang terleatk di
situ, sama dengan bentuk dan ukuran yang sebenarnya.
c. Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal. Di antara garis-garis frontal
yang terpenting adalah yang vertikal (yaitu AE, BF, CG, dan DH) dan yang horisontal (yaitu
AB, EF, GH, dan CD)
d. Garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus pada bidang frontal, misalnya AD, BC, EH,
dan FG.
e. Sudut surut (sudut menyisi) adalah sudut dalam gambar antara garis frontal horisontal arah
ke kanan dan garis ortogonal arah ke belakang, misalnya BAD dan FEH. Besar sudut ini
sebenarnya adalah 900.
Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 5 cm. Tentukan proyeksi dan
panjang proyeksi :
1. garis AE pada bidang BCGF
2. garis AE pada bidang ABCD
3. garis AG pada bidang ABCD
F
D
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
10
f. Perbandingan ortogonal (perbandingan proyeksi) adalah perbandingan antara panjang
suatu garis ortogonal dalam gambar dan panjang garis itu sebenarnya.
Perbandingan proyeksi = sebenarnyayangBCpanjang
gambardalamBCpanjang
Misalnya panjang BC dalam gambar = 2 cm dan panjang BC sebenarnya = 4 cm, maka
perbandingan ortogonal gambar itu = 4
2= 0, 5.
Perbandingan ortogonal berkisar antara 3
1sampai dengan
3
2
Contoh : Diketahui kubus ABCD. EFGH, dengan AB = 4 cm. Gambarkan kubus itu, jika
bidang ABFE frontal, AB horisontal, sudut surut = 1500, dan perbandingan
proyeksi = 0,6.
Jawab : H G
E F
4 cm
D C
2,4 cm 1500
A B
• Buatlah garis AB sepanjang 4 cm.
• Buatlah sudut surut = 1500 di titik A.
• Buatlah AD = 0, 6 x 4 = 2, 4 cm
• Buatlah bidang ABCD
• Lengkapi rusuk-rusuk kubus yang lainnya, sehingga kubus ABCD. EFGH terlukis
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
11
❖ Jarak pada Bangun Ruang.
1. Jarak titik ke titik
Jarak antara 2 titik merupakan panjang garis yang menghubungkan 2 titik tersebut.Pada
gambar berikut, jarak antara P dan Q ditunjukan oleh panjang garis PQ.
P Q
Contoh : Diketahui kubus ABCD. EFGH, rusuknya 12 cm, hitunglah panjang antara titik
A dan H !
Jawab : AH = diagonal sisi = ( ) ( ) cmDHAD 2121212 2222=+=+
2. Jarak titik ke garis
Jarak antara titik dan garis merupakan panjang garis yang ditarik dari titik tersebut sampai
memotong garis tegak lurus. Hal ini diambil karena jarak tersebut merupakan jarak
terdekat antara titik dan garis. Perhatikan gambar berikut :
g
C
B
Q
A
P
PA, PB, dan PC adalah garis-garis yang menghubungkan titik P dan garis g. PB adalah
garis yang ditarik dari P ⊥ pada garis g sehingga PB disebut jarak dari titik P ke garis g.
Q merupakan titik lain yang terletak pada garis g. Adapun jarak titik Q ke garis g adalah
nol.
Diketahui kubus ABCD. EFGH, dengan AB = 4 cm. Gambarkan kubus itu, jika
bidang ACGE frontal, AC horisontal, sudut surut = 300 dan perbandingan proyeksi = 0,5
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
12
Contoh : Diketahui kubus ABCD. EFGH, rusuknya 12 cm, hitunglah jarak titik A ke
garis BC !
Jawab : Jarak dari titik A ke garis BC merupakan garis dari A tegak lurus pada BC, yaitu
AB. Jadi jarak A ke garis BC adalah AB = a = 12 cm
3. Jarak titik ke bidang
Jarak antara titik P dengan bidang α jika P terletak di bidang α adalah 0. Jika titik P
terletak di luar bidang α, maka jarak P dan α dapat ditentukan sebagai berikut :
Lukislah garis g melalui titik P dan tegak lurus bidang α. Misalkan menembus di Q.
PQ adalah jarak titik P dengan α.
P
α Q
g
Contoh : Hitunglah jarak titik B ke bidang AFC dari gambar kubus di bawah ini !
H G
E
6 cm
C
6 cm
A B
6 cm
Jawab :
Titik B terletak pada bidang BDHF. Bidang BDHF dan bidang AFC berpotongan pada
ruas garis FL. Misalkan BK adalah garis tinggi segitiga BLF, maka BK ⊥ FL. BK
menembus bidang AFC dan ⊥ garis FL pada bidang AFC, maka BK merupakan jarak
dari B ke bidang AFC.
F
K
D
L
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
13
Perhatikan segitiga FBL
F
K 6 cm
α
L 23 cm B
BF = 6 cm, LB = 2
1, DB = cmx 2326
2
1=
3
3263
123sinsin
63
1
63
6sin
6354
543618222
=
==→=
===
==
=+=+=
xBLBKBL
BK
FL
FB
cmFL
BFLBFL
Jadi jarak titik B ke bidang AFC adalah 32 cm.
4. Jarak antara Dua Garis Sejajar.
P g
P1 h
α l
Perhatikan gambar di atas. Misalkan garis g dan garis h sejajar dan terletak pada
bidang α. Misalkan garis l tegak lurus garis g dan h memotong g dan h masing-masing
di titik P dan P1. Jarak antara garis g dan h adalah panjang ruas garis PP1.
Contoh : Dari gambar balok di bawah ini, tentukan jarak antara AB dengan GH !
H G
E
6 cm
C
4 cm
A 8 cm B
F
D
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
14
Jawab : AB dan GH terletak dlm bidang ABGH. AB dan GH sejajar, jadi jarak
antara AB dan GH dpt diwakili oleh panjang BG.
cmBG 1322
42
6 =+=
Jadi jarak antara AB dan GH adalah 132 cm
5. Jarak antara Dua Garis yang Bersilangan
Dua garis g dan h dikatakan bersilangan jika garis tersebut tidak sejajar dan terletak pada
2 bidang yang berbeda. Perhatikan gambar pada contoh jarak antara 2 garis sejajar.
Garis AE bersilangan dengan garis GH. Sampai kapanpun kedua garis ini tak akan
berpotongan, begitu juga garis EH dan BF atau garis EH dan BG.
Contoh : Dari gambar pada contoh jarak antara 2 garis sejajar, tentukanlah jarak antara
AE dengan CH !
Jawab :
Garis AE dan CH saling bersilangan. Garis DH sejajar AE dan memotong CH di titik H.
Garis DH dan CH membentuk bidang DCGH. Garis HE tegak lurus bidang DCGH dan
memotong garis AE secara tegak lurus, sehingga HE dapat mewakili jarak AE dan CH.
Jadi jarak AE dan CH adalah 4 cm
6. Jarak antara Garis dan Bidang yang Sejajar.
P g
P1
α
Perhatikan gambar di atas. Misalkan garis g sejajar dengan bidang α. Tariklah garis yang
melalui sembarang titik P di g dan tegak lurus bidang α. Misalkan titik tersebut
menembus bidang α di P1. Jarak antara garis g dan bidang α adalah PP1. P1 adalah
proyeksi titik P pada bidang α.
Contoh : Dari gambar pada contoh jarak antara 2 garis sejajar, tentukanlah jarak antara
AH dengan bidang BCGF !
Jawab : AH sejajar dengan bidang BCGF. AH sejajar BG pada bidang BCGF.
Jarak antara AH dan BCGF dapat diwakili oleh panjang AB.Panjang AB =
8 cm. Jadi jarak antara AH dan bidang BCGF adalah 8 cm.
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
15
7. Jarak antara Dua Bidang yang Sejajar.
P
Q
α
Contoh : Dari gambar pada contoh jarak antara 2 garis sejajar, tentukanlah jarak antara
bidang BCGF dengan bidang ADHE !
Jawab : BCGF // ADHE. Ruas garis AB dapat digunakan untuk mewakili jarak
kedua bidang ini karena AB ⊥ BCGF. Jadi jarak BCGF dengan ADHE
adalah 8 cm.
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 6 cm. Tentukan dan hitung jarak
antara :
1. Titik E dan C 4. HD dan BF
2. Titik A dan GC 5. AD dan GC
3. Titik H dan bidang ABCD 6. EG dan ABCD
7. EFGH dan ABCD
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
16
❖ Sudut – sudut dalam Ruang.
1. Sudut antara Dua Garis
Q1 g
P
β β
O
P1 Q
α h
Dua garis yang tidak sejajar dalam ruang dapat berpotongan atau bersilangan. Jika 2 garis
berpotongan, maka kedua garis tersebut berada dalam bidang yang sama. Dengan demikian
menentukan sudut 2 garis yang berpotongan tersebut sama seperti menentukan sudut
berpotongan pada bidang datar. Perhatikan gambar disamping. Garis g dan h berada dalam
1 bidang dan berpotongan di titik O. Sudut yang dibentuk oleh garis g dan h,
ditulis ( )hg, adalah 11OPQatauQOP .
Jika 2 garis bersilangan, maka kedua garis tersebut berada dalam bidang yang berlainan. Kita
dapat memperoleh sudut antara 2 garis bersilangan dengan cara menggeser salah satu garis
( atau keduanya ) sehingga keduanya terletak pada bidang yang sama. Dengan demikian
kedua garis tersebut berpotongan. Sudut yang terbentuk setelah pergeseran adalah sudut
antara 2 garis bersilangan yang dimaksud.
Contoh : Dari gambar kubus di bawah ini, tentukanlah sudut yang dibentuk oleh garis AE dan
ED !
H G
E
C
A B
Jawab : Garis AE dan ED berpotongan di E. Sudut antara garis AE dan ED adalah
AED. Perhatikan AED yang merupakan segitiga siku-siku sama kaki.
Jadi AED = 450. Garis AE dan ED membentuk sudut 450.
F
D
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
17
2. Sudut antara Garis dan Bidang.
g
P
P1 g1
α
β
Jika garis g tidak tegak lurus bidang β, maka sudut antara garis g dan bidang β adalah sudut
lancip yang dibentuk oleh garis g dan proyeksinya pada bidang α (g1 ) atau
( ) ( )1,, ggg = . Dengan perkataan lain, jika g dan β sejajar, maka ( ) 00, = g .
Jika g tidak sejajar β, maka ( ) ( )1,, ggg = dengan g1 merupakan proyeksi garis g pada
bidang β, 0 < ( ) 01 90, gg . ( ) ( ) ( ) === 1,,, gggg .
Contoh : H G
E F
D C
M
A B
Jawab : AM ⊥ BDHF. Proyeksi garis AH pada bidang BDHF adalah MH.
( ) ( ) AHMMHAHBDHFAH == ,,
AH = 26 , HM = 63 , AM = 23
( ) ( ) 272
263
223
22AHHMAM ==+=+
AHM siku-siku di M
H
β
A M
AM = 23 ; HM =
030
33
1
63
23tan
63
=
==
=→
AHM
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
18
3. Sudut antara Dua Bidang.
Adalah sudut antara garis l dan m, dimana garis l dan m masing-masing terletak pada
bidang α dan β serta memotong garis ( α,β ) siku-siku di satu titik yaitu titik A.
Contoh :
β
m
A
( α,β )
l
α
Contoh : Dari gambar kubus di bawah. Hitunglah sudut yg terbentuk antara bidang BDG
dengan bidang alas ABCD !
H G
E F
D α C
P
A B
Jawab : Bidang BDG dan ABCD beririsan di garis potong BD. Pilih titik P pertengahan BD.
BD ⊥ PC ( diagonal pada persegi ABCD )
BD ⊥ PG ( garis tinggi = garis berat = garis bagi pada segitiga BDG sama sisi ).
( ) CPGABCDBDG = ,
( ) 0
0
7,54,
7,54
222
4tan
=
=
==
=
ABCDBDG
CPG
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
19
❖ Menggambar Irisan Bangun Ruang.
Sebelum melukis irisan (penampang) ada beberapa prinsip yang perlu diperhatikan :
1. Melukis bidang datar.
Sebuah bidang datar ditentukan oleh :
a. Tiga titik yang tidak segaris
b. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.
c. Dua garis yang berpotongan.
d. Dua garis yang sejajar.
2. Melukis garis potong dua bidang.
Garis potong bidang dan dapat ditentukan sebagai berikut :
Cai 2 titik persekutuan dari bidang dan (misalnya P dan Q). Garis yang
menghubungkan 2 titik tersebut (PQ) adalah garis potong yang dicari.
Pada gambar berikut, PH = garis pootng ACH dan BDHF.
H G
E
C
A B
3. Melukis titik tembus garis dan bidang.
Cara menentukan titik tembus garis g dan bidang sebagai berikut :
• Buat bidang melalui garis g.
• Tentukan garis potong ( , )
• Tentukan titik potong garis g dan garis ( , ) yaitu P.
• P titik yang dicari.
P
( , )
g
F
D
P
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
20
Salah satu cara untuk melukis irisan adalah dengan membuat sumbu afinitas
(garis koliniasi = garis dasar). Sumbu afinitas adalah garis potong bidang pengiris dengan
bidang alas. Sumbu afinitas memainkan peranan penting dalam melukis bidang irisan.
Beberapa hal berikut perlu dipahami agar berhasil memperoleh bidang irisan :
1. Sumbu afinitas hanya ada satu karena irisan dua bidang hanya menghasilkan satu garis.
Sumbu afinitas dapat diperpanjang.
2. Misalkan P1 adalah titik potong suatu garis di bidang pengiris dengan suatu garis di
bidang alas. Misalkan pula P2 titik potong dari garis yang lain di bidang pengiris dengan
garis di bidang alas. Garis yang menghubungkan P1 dan P2 merupakan sumbu afinitas.
3. Sumbu afinitas dan bidang irisan termuat dalam bidang pengiris. Dengan demikian setiap
garis yang ditarik dari suatu titik pada sumbu afinitas ke titik di bidang irisan termuat
juga dalam bidang pengiris.
Contoh : Diketahui kubus ABCD. EFGH. Titik P terletak pada AE sehingga AP : PE = 1 : 4
Titik Q pada DH sehingga DQ : QH = 3 : 1. Titik R pada CG sehingga CR : RG
= 1 : 2. Lukislah bidang irisan yang melalui PQR !
Jawab : H G
Q
E F
R
D C
P
A B
Perhatikan gambar di atas. Jelas bidang PQR belum dapat dikatakan bidang irisan
karena belum membelah kubus menjadi dua bagian. Perlu memperluas bidang PQR
untuk mendapatkan bidang irisan. Tentukan dulu sumbu afinitasnya.
• Lukis titik tembus PQ dengan bidang alas, misalkan di U.
• Lukis titik tembus QR dengan bidang alas, misalkan di V.
• UV merupakan sumbu afinitas.
• Lukis garis-garis potong bidang PQR dengan kubus.
o garis potong bidang PQR dengan bidang ADHE adalah PQ.
o garis potong bidang PQR dengan bidang ABFE adalah PM.
o garis potong bidang PQR dengan bidang alas adalah MN.
o garis potong bidang PQR dengan bidang BCGF adalah NR.
o garis potong bidang PQR dengan bidang DCGH adalah QR.
Jadi bidang PQRNM merupakan irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan
kubus ABCD. EFGH
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
21
H G
Q
E F R
D C V
N
P
A M B
sumbu afinitas
U
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
22
1. Pada suatu kubus ABCD. EFGH, hitunglah sudut antara garis AH dan bidang diagonal BFHD
2. Panjang alas sebuah balok adalah 20 cm, lebar 15 cm dan tinggi 25 cm. Hitunglah panjang
daigonal ruangnya.
3. Dari limas beraturan T. ABC diketahui bahwa panjang rusuk alas = 2 cm, tinggi limas 3
2cm.
Hitunglah panjang rusuk tegaknya !
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
23
A
O
P Q
Gambar di atas adalah daerah pinalti lapangan sepakbola. Titik pinalti O berjarak 15 m dari
garis gawang A. PQ berjarak 20 m dari gawang A. Busur PQ berpusat di O dan berjari-jari
13 m. Panjang garis PQ adalah....
Jawab :
A
15
O 13
P R Q
QR = 12513 22 =−
PQ = 2 x QR = 2 x 12 = 24.
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
24
H G
E
C
A B
Tentukanlah perbandingan volume H. ABFE dan H. BCGF pada balok ABCD.
EFGH di atas !
Jawab : ltptinggialasluasV ABFEH ..3
1
3
1. ==
ptltinggialasluasV BCGFH ..3
1
3
1. ==
1:1..3
1..
3
1.. === ptlltpVV BCGFHABFEH
F
D
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
25
PENUTUP
Pada Tugas Mandiri cocokanlah jawaban kamu dengan kunci jawaban yang ada di bawah ini, dan
hitunglah jumlah jawaban yang benar. Kemudian gunakan rumus
%100xTotalSkorJumlah
BenarSkorJumlahterakhirSkor =
Apabila memperoleh skor %65 bagus, berarti telah menguasai materi modul ini dan dapat
melanjutkan mempelajari materi selanjutnya. Tetapi apabila memperoleh skor %65 , berarti harus
mempelajari modul ini sampai benar-benar paham.
Kunci Jawaban Tugas Mandiri
1. 030
2. 225
3. 3
4
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
26
DAFTAR PUSTAKA
Marthen Kanginan, Matematika Untuk SMA Kelas I Semester I Jilid 1A, Grafindo Media Pratama,
Bandung, 2004.
Wilson Simangunsong, Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar, Erlangga, Jakarta, 1997.
I Wayan Juliartawan, Formula Tercepat Matematika Contoh Soal dan Penyelesaian, ANDI, Bangli,
2004.
Abdul Muis, Menaklukan 1000 Soal Matematika SMA, Kreasi Wacana, Yogyakarta, 2007.
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
27
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
28
MAT. 02 IPA
Tri Subiantoro, S.Mat
29