Parametrik doğru denklemleri 1Parametrik doğru denklemleri 1

A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu)

vektörü olan d doğrusunun, k parametresine

göre parametrik denklemi:

w��������������

AP k w����������������������������

A

w��������������

P

d

P A k w

P A k w

P A k W

������������������������������������������

������������������������������������������

(P değişken nokta)

Alıştırma – Ödev Alıştırma – Ödev

A(3, 5) noktasından geçen

vektörüne paralel olan doğrunun k

parametresine göre parametrik denklemini

yazınız.

a)k =0, k=-1, k =1/2 ve k=2 değerleri için doğru

üzerindeki noktaları bulunuz.

b)k 1 için doğru üzerindeki noktalar

kümesinin belirttiği şekli bulunuz.

c)k 2 için doğru üzerindeki noktalar

kümesinin belirttiği şekli bulunuz.

u ( 2,1)

A(3, 5)

u ( 2,1)

P

d

Parametrik doğru denklemleri 2Parametrik doğru denklemleri 2

A ve B noktasından geçen doğrunun, k

parametresine göre parametrik denklemi:

AP k AB����������������������������

A

P

d

B

P A k B A

P A k B A

P A k B A

��������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

Özel olarak;0 k 1 için [AB] doğru parçasının denklemi elde edilir.

(P değişken nokta)

Alıştırma – Ödev Alıştırma – Ödev

A(3, 5) ve B(2, 0) noktalarından geçen

doğrunun k parametresine göre denklemini

yazınız.

a)k =0, k=1 ve k=2 değerleri için doğru

üzerindeki noktaları bulunuz.

b)0 k 1 için doğru üzerindeki noktalar

kümesinin belirttiği şekli bulunuz.

A(3, 5)

P

d

B(2, 0)

Bir doğrunun normal vektörüBir doğrunun normal vektörü

Bir doğrunun doğrultusuna dik olan vektöre doğrunun normal vektörü denir.

A P

dn

d doğrusunun denklemi:

AP n 0 ����������������������������

Kartezyen doğru denklemleriKartezyen doğru denklemleri

Parametrik denklemle P değişken noktanın koordinatları (x, y) denklemde yazılarak parametre yok edilirse elde edilen denkleme doğrunun kartezyen denklemi denir.

Eşitliğin bir tarafı sıfır olacak biçimde yazılmış doğru denklemlerine kapalı doğru denklemi denir.

Örnek

P (5,3) k (2,1)��������������

Parametrik denklemiyle verilen doğrunun kapalı kartezyen denklemini bulunuz.

Kapalı kartezyen doğru denkleminin incelenmesiKapalı kartezyen doğru denkleminin incelenmesi

ax + by + c = 0 denklemi

• a = 0 ise x eksenine paralel bir doğru belirtir.

• b = 0 ise y eksenine paralel bir doğru belirtir.

• c = 0 ise orijinden geçen bir doğru belirtir.

ax + by + c = 0 (by = -ax – c) doğrusunun

• doğrultman vektörü :

• normal vektörü :

w (b, a) ��������������

n (a,b)

w n 0 ����������������������������

O

x

y

AlıştırmaAlıştırma

3x + 4y = 0 doğrusunun grafiğini çiziniz ve

a)doğrultu vektörünü bulunuz.

b)normal vektörünü bulunuz.

O

x

y

EşitsizliklerEşitsizlikler

ax + by + c 0 , ax + by + c 0 , …

eşitsizlikleri kapalı yarı düzlem, açık

yarı düzlem belirtir.

O

x

y

AlıştırmaAlıştırma

2x - y + 4 0 eşitsizliğinin grafiğini çiziniz.

İki doğrunun birbirine göre durumları 1İki doğrunun birbirine göre durumları 1

1 1

2 2

d :P A m u

d :P B n u

��������������

��������������

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

1) u ile u lineer bağımlı u // u ve A B ise d ile d paraleldir.

2) u ile u lineer bağımlı ve A B ise d ile d çakışıktır.

3) u ile u lineer bağımsız u //

��������������������������������������������������������

����������������������������

������������������������������������������ 2 1 2

1 2 1 2

u ise d ile d kesişir.

u ile u arasındaki açıya d ile d arasındaki açı denir.

��������������

����������������������������

Doğrultu vektörlere göre kıyaslama

İki doğrunun birbirine göre durumları 2İki doğrunun birbirine göre durumları 2

1 1 1 1

2 2 2 2

d : a x b y c 0d : a x b y c 0

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2

1) (a ,b ) k (a ,b ) ve c k c ise d ile d paraleldir.

2) (a ,b ) k (a ,b ) ve c k c ise d ile d çakışıktır.

3) (a ,b ) k (a ,b ) ise d ile d kesişir. Kesişme noktası yok etme yöntemi il

e bulunur.

Normal vektöre göre kıyaslama

Alıştırma 1Alıştırma 1

1

2

d : 2x y 4 0d : 3x y 1 0

doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz eğer varsa kesişme noktasını bulunuz.

Alıştırma 2Alıştırma 2

1

2

d : (x,y) (3 k,1 2k)d : (x,y) (6 2m,2 4m)

doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz eğer varsa kesişme noktasını bulunuz.

Tanjant oranı ile ilgili temel bilgilerTanjant oranı ile ilgili temel bilgiler

Doğrunun eğim açısı ve eğimiDoğrunun eğim açısı ve eğimi

Doğrunun x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açıya doğrunun eğim açısı denir. Bu açının tanjantına doğrunun eğimi denir.

O

x

y

Eğim açısı ile eğimin incelenmesiEğim açısı ile eğimin incelenmesi

Alıştırma 1Alıştırma 1

Alıştırma 2Alıştırma 2

Doğrultu vektörü : 0

0 00

yw (x ,y ) eğim(m)

x

��������������

Doğrultu vektörü bilinen bir doğrunun eğimiDoğrultu vektörü bilinen bir doğrunun eğimi

ax + by + c = 0 için: aw (b, a) eğim

b

��������������

y = mx + n için: w ( 1, m) eğim m �������������� O

x

y

(x0, y0)

w��������������

Özel olarak

Alıştırma 1Alıştırma 1

3Eğimi olan ve

2A(4,0) noktasından geçen doğrunun denklemini ve doğrultusunu bulunuz.

O

x

y

w��������������

Alıştırma 2Alıştırma 2

O

x

y

w��������������

A(4,0) ve B(6,9) noktalarından geçen doğrunun eğimini ve denklemini bulunuz.

Eğimleri bilinen iki doğru arasındaki dar açının tanjantıEğimleri bilinen iki doğru arasındaki dar açının tanjantı

Alıştırma 1Alıştırma 1

Alıştırma 2Alıştırma 2

ÖdevÖdev

x – 2y + 2 = 0 ile x – 3y – 6 = 0 doğruları arasındaki geniş açının tanjantını bulunuz.

Eğimi bilinen iki doğrunun durumlarıEğimi bilinen iki doğrunun durumları

1) Eğimleri farklı olan iki doğru kesişir. Özel olarak eğimleri çarpımı -1 olan iki doğru birbirine diktir.

2) Eğimleri eşit olan doğrular çakışık veya paraleldir.

d k için d doğrusunun eğimi yoksa k doğrusunun eğimi 0 dır. Yani d doğrusu x eksenine dik k doğrusu x eksenine paraleldir.

Eğim açıları eşit olan doğrular birbirine paraleldir. Eğimi olmayan doğrular da birbirine paraleldir.

Alıştırma 1Alıştırma 1

ÖdevÖdev

Alıştırma 2Alıştırma 2

Doğrunun ötelenmesi - ÖdevDoğrunun ötelenmesi - Ödev

O

x

y

Noktanın doğruya uzaklığıNoktanın doğruya uzaklığı

K(x0, y0)

k : ax + by + c = 0

A

n (a,b)

AK�������������� hu

K noktasının k doğrusuna uzaklığı, doğruya dik olan u vektörünün uzunluğudur.u vektörü ise herhangi bir AK vektörünün normal vektör üzerindeki dik iz düşüm vektörüdür.

0 0

2 2

AK n ax by cd(K,k) h u

n a b

����������������������������

AlıştırmaAlıştırma

1. Yol vektör ile

2. Yol formül ile

n (2, 3)

A(4, 3)

B

AB nh

n

����������������������������

AB

n

AB n

n

��������������

����������������������������

Paralel iki doğru arasındaki uzaklıkParalel iki doğru arasındaki uzaklık

d2: ax + by + c2 = 0

d1: ax + by + c1 = 0 1 2

2 2

c ch

a b

Örnek

ÖdevÖdev

İki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeriİki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri

d2: a2x + b2y + c2 = 0

d1: a1x + b1y + c1 = 0

k1

k2

1 1 1 2 2 21,2 2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y ck :

a b a b

Örnek

1 2 1 2 1 2

1 21 2

d // d a a a, b b bc c

k k : ax by 02

İki noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeriİki noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri

A B

d

a) Uç noktaları A(1, 2) ve B(3, 0) olan AB doğru parçasının orta dikme doğrusunun denklemini bulunuz.

b) A(1, 2) ve B(3, 0) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerini bulunuz.

Örnek

Ödev 1Ödev 1

Ödev 2Ödev 2

Ödev 3Ödev 3

Ödev 4Ödev 4

Ödev 5Ödev 5

Ödev 6Ödev 6

Ödev 7Ödev 7

Ödev 8Ödev 8

Ödev 9Ödev 9

Ödev 10Ödev 10

Ödev 11Ödev 11

Ödev 12Ödev 12

Ödev 13Ödev 13

Ödev 14Ödev 14

Ödev 15Ödev 15

Ödev 16Ödev 16

Ödev 17Ödev 17

Ödev 18Ödev 18

Ödev 19Ödev 19

Ödev 20Ödev 20

Ödev 21Ödev 21

Ödev 22Ödev 22

Ödev 23Ödev 23

Ödev 24Ödev 24

Ödev 25Ödev 25

Ödev 26Ödev 26

Ödev 27Ödev 27

Ödev 28Ödev 28

Ödev 29Ödev 29

Ödev 30Ödev 30

Ödev 31Ödev 31

Ödev 32Ödev 32

Ödev 33Ödev 33

Ödev 34Ödev 34

Ödev 35Ödev 35

Ödev 36Ödev 36

Ödev 37Ödev 37

Ödev 38Ödev 38

Ödev 39Ödev 39

Ödev 40Ödev 40

Ödev 41Ödev 41

Ödev 42Ödev 42

Ödev 43Ödev 43