OSNOVNI STATISTIČKO OSNOVNI STATISTIČKO ANALITIČKI POKAZATELJIANALITIČKI POKAZATELJI

Metodama deskriptivne statistike skup vrijednosti Metodama deskriptivne statistike skup vrijednosti numeričke varijable nastoji se opisati s pomoću numeričke varijable nastoji se opisati s pomoću manjeg broja brojčanih pokazatelja ili parametara. manjeg broja brojčanih pokazatelja ili parametara. Općenito se numerički pokazatelji mogu svrstati u tri Općenito se numerički pokazatelji mogu svrstati u tri skupine:skupine:

Srednje vrijednosti (mjere centralne tendencije)Srednje vrijednosti (mjere centralne tendencije)

Mjere disperzije (rasipanja)Mjere disperzije (rasipanja)

Mjere oblika raspodjele (mjere asimetrije, mjera Mjere oblika raspodjele (mjere asimetrije, mjera zaobljenosti)zaobljenosti)1

2

Srednja vrijednost je konstanta oko koje se Srednja vrijednost je konstanta oko koje se gomilaju vrijednosti numeričke varijable. S gomilaju vrijednosti numeričke varijable. S obzirom da postoje različiti kriteriji za njeno obzirom da postoje različiti kriteriji za njeno izračunavanje govori se o različitim srednjim izračunavanje govori se o različitim srednjim vrijednostima.vrijednostima.

Mjere disperzije su pokazatelji stupnja Mjere disperzije su pokazatelji stupnja varijabilnosti podataka.varijabilnosti podataka.

Mjerama asimetrije izražava se simetričnost, Mjerama asimetrije izražava se simetričnost, odnosno asimetričnost rasporeda vrijednosti odnosno asimetričnost rasporeda vrijednosti numeričke varijable oko aritmetičke sredine, a numeričke varijable oko aritmetičke sredine, a mjerom zaobljenosti uspoređuje se zaobljenost mjerom zaobljenosti uspoređuje se zaobljenost distribucije frekvencija sa zaobljenosti normalne distribucije frekvencija sa zaobljenosti normalne distribucije.distribucije.

SREDNJE VRIJEDNOSTI

X

MOD Mo

MEDIJAN Me

3

POTPUNEPOTPUNE POLOŽAJNEPOLOŽAJNE

ARITMETIČKA SREDINA

HARMONIJSKA SREDINA H

GEOMETRIJSKA SREDINA G

x

POLOŽAJNE SREDNJE VRIJEDNOSTI

4

MOD MEDIJAN

Mod je najčešći modalitet kvalitativne varijable ili najčešća vrijednost kvantitativne varijable.

Medijan je položajna srednja vrijednost koja numerički ili redosljedni niz dijeli na dva jednakobrojna dijela.

5

Nominalni podaci su mjerenja koja jedinice Nominalni podaci su mjerenja koja jedinice populacije raščlanjuju na kategorije.populacije raščlanjuju na kategorije.

Ako nominalna varijabla Ako nominalna varijabla ppoprima modalitete oprima modalitete (kategorije, oblike) (kategorije, oblike) kAAA ,,, 21 čija ječija je

učestalost pojavljivanja (frekvencija)učestalost pojavljivanja (frekvencija) kfff ,,, 21

tada se niz parova tada se niz parova )},(),,(),,{( 2211 kk fAfAfA

zove nominalni (atributivni, geografski) statistički zove nominalni (atributivni, geografski) statistički niz.niz.

Mod je najčešći oblik (modalitet, kategorija) kvalitativne varijable.Ako se promatra nominalni statistički niz:

6

jij AMkiAfAf 0 ,...,2,1),(max)(

Anketirani prema vrsti objekta u kojem stanuju

7

Najveća frekvencija?MOD=“stambena zgrada”

8

Za razliku od nominalne varijable čiji modaliteti čine Za razliku od nominalne varijable čiji modaliteti čine neuređen skup, te im je stoga poredak proizvoljan, skup neuređen skup, te im je stoga poredak proizvoljan, skup modaliteta redosljedne varijable je uređen. Ako modaliteta redosljedne varijable je uređen. Ako redosljedna varijabla poprima modaliteteredosljedna varijabla poprima modalitete kOOO 21

s frekvencijama s frekvencijama kfff ,,, 21 , , tada je niz parovatada je niz parova

)},(),,(),,{( 2211 kk fOfOfO redoslredosliijedni statistički niz.jedni statistički niz.

REDOSLIJEDNI NIZREDOSLIJEDNI NIZ

Anketirani prema stupnju zadovoljstva rasporedom prostorija

9

Anketirani prema stupnju zadovoljstva rasporedom prostorija

Najveća frekvencija?MOD=“djelomično zadovoljan”

Anketirani prema stupnju zadovoljstva rasporedom prostorijaAnketirani prema stupnju zadovoljstva rasporedom prostorija

MOD

Ako su vrijednosti numeričke varijable grupirane u razrede, vrijednost moda se određuje polazeći od histograma. Razred kojem je pridružen najviši stupac (najveća korigirana frekvencija) zove se modalni razred. Iz grafičkog se prikaza izvodi slijedeća formula:

b=najveća korigiana frekvencija a= korigirana f. ispred modalnog razreda

c= korigirana f. iza modalnog razreda

L1 = donja granica modalnog razreda, a i je veličina modalnog razreda 10

)()(10 icbab

abLM

Šošić,I.(2006). PRIMIJENJENA STATISTIKA.

Zagreb, Školska knjiga, stranica 76. PRIMJER

3.42.

11

b

a

cL1

12

)()(10 icbab

abLM

67.265)1004615183()1261315183(

1261315183250

M13

b

a

cL1

14

Mod se može odrediti ako postoje barem dva jednaka modaliteta kvalitativne varijable, odnosno barem dvije jednake vrijednosti numeričke varijable. Ako u statističkom nizu postoji samo jedan modalitet (jedna vrijednost) čija je frekvencija veća od susjednih niz je unimodalan. Inače niz može biti bimodalan ili općenito višemodalan.

15

Mod se jednostavno određuje i nije osjetljiv na ekstremno male i ekstremno velike vrijednosti, no nedostatak mu je da ga se ne može uvijek odrediti, te da je procjena moda u distribuciji frekvencija s razredima ovisna o postupku grupiranja.

MEDIJAN

16

Neka su vrijednosti numeričkog niza. Ako je broj vrijednosti N neparan medijan je jednak središnjoj vrijednosti niza. U slučaju da je broj vrijednosti N paran, medijan se računa kao aritmetička sredina dviju središnjih vrijednosti uređenog niza. Izraz za određivanje (izračunavanje) medijana negrupiranih podataka može se zapisati u obliku:

2

r ,2

2

1)2

( ,2

1 NINT

Nxx

NINTrINT

Nx

Mrr

r

e

INT=cjelobrojni dio decimalnog broja

PRIMJER 3.49, STR 78

1 3 5 7 10 12 14

7 4 13

1)5.3( 5.32

7 7

1)2

( ,2

4

xMrr

INTrINTN

NINTrINT

NxM

e

re

17

Me

PRIMJER 3.49, STR 78

11 24 29 37 40 53 65 72

5.382

4037

eM

5.382

4037

2 4

2 ,8

2

r ,2

2

54

1

xxMr

NN

NINT

NxxM

e

rre

18

19

U distribuciji frekvencija s razredima medijan se određuje grafički kao apscisa točke na kumulanti čija je ordinata N/2 odnosno 50%, ako su kumulativne frekvencije nastale zbrajanjem postotaka. Razred u kojem se nalazi medijan zove se medijalni razred. Iz grafičkog se prikaza izvodi formula:

if

fN

LMmed

e

1

1

2

= kumulativna frekvencija ispred medijalnog razreda

L1= donja granica medijalnog razreda

i = veličina medijalnog razreda

fmed= frekvencija medijalnog razreda

1f

stranica 81,82.

20

1708652

341730

2

N

N

PRIMJER 3.53.

L1

21

22

N/2N/2 12

fN

1f

mf

1LMx e

if

fN

xffN

ixmN

M

m

e

1

2

12 :)

2(:

23

if

fN

LMmed

e

1

1

2

30402.275119819

11565217086525

eM

Svojstva medijana

24

Medijan ima slijedeća svojstva:

Medijalna se vrijednost nalazi između najmanje i najveće vrijednosti numeričke varijable:

Zbroj modula (apsolutnih vrijednosti) odstupanja vrijednosti numeričke varijable od medijana je minimalan:

maxmin xMx e

1111

i

k

iii

k

iei

N

ii

N

iei faxfMxaxMx

KVANTILI

25

Kvantili k-tog reda su položajne vrijednosti koje uređeni numerički ili redosljedni niz dijele na k jednakobrojnih dijelova.Medijan je kvantil reda k=2 jer dijeli niz na dva jednakobrojna dijela.Kvartili: su kvantili reda k=4 jer dijele niz na četiri jednakobrojna dijela.Decili: su kvantili reda k=10 jer dijele niz na deset jednakobrojnih dijelova.Percentili: su kvantili reda k=100 jer dijele niz na 100 jednakobrojnih dijelova.(Broj kvantila reda k uvijek je jednak k-1).Postupak određivanja kvantila analogan je postupku određivanja medijana.

PRIMJER 3.49, STR 78

1 3 5 7 10 12 14

12 6151)25.5( 25.54

73

1)4

3( ,

4

3

3Q

21)75.1( 75.14

7 7

1)4

( ,4

3

3

21

1

QINTrINT

NINTrINT

NxQ

x

INTrINTN

NINTrINT

NxQ

r

r

26

Q1Q3

PRIMJER 3.49, STR 78

11 24 29 37 40 53 65 72

5.262

29241

Q

592

6553

2 6

4

3

4

3 r ,

4

3

2

5.262

2924

2 2

4 ,8

4

r ,4

2

763

13

321

11

xxQ

N

NINT

NxxQ

xxQr

NN

NINT

NxxQ

rr

rr

27

592

65533

Q

stranica 81,82.

28

5.854324

341730

4

N

N

PRIMJER 3.53.

L1

29

Q1=22

N/4

30

88.21548482

671705.8543220

5 48482 67170 5.854324

1

1

Q

iffN

q

stranica 81,82.

31

5.2562974

3417303

4

3

N

N

PRIMJER 3.53.

L1

32

3N/4

Q3

33

27.311082263

2354715.25629730

10 22638 235471 5.2562974

3

3

1

Q

iffN

q

ARITMETIČKA SREDINA

34

JEDNOSTAVNAJEDNOSTAVNA VAGANAVAGANA

N

xx

N

xxxx

N

ii

N

1

21

SKUPAOPSEG

TOTALx

i

k

ii

k

iii

k

ii

k

iii

k

kk

pxxPx

x

f

fxx

fff

fxfxfxx

1

1

1

1

21

2211

100

35

5.22

41

x

41

2.5

36

26

4214

6

441111

x

1

1

1

4

4

1

2

37

36

4412

6

444411

x

3

Zadatak 3.1, str 56 Proizvodnja deterdženta Lahor

N

xx

N

xxxx

N

ii

N

1

21

10710

1070x

0)(1

xxN

ii

38

Zadatak 3.2, str 57

39 i

k

ii

k

iii

k

ii

k

iii

k

kk pxxPx

xf

fxx

fff

fxfxfxx

1

1

1

1

21

2211 100

378.182

100 3.78182

110

416

40

3.26

(str 152)

Šošić,I.(2006). PRIMIJENJENA STATISTIKA. Zagreb,

Školska knjiga, stranica 84-86. PRIMJER 3.55.

41

42

Svojstva aritmetičke sredine:

43

Vrijednost aritmetičke sredine se nalazi uvijek između najmanje i najveće vrijednosti numeričkog niza:

Zbroj odstupanja vrijednosti numeričke varijable od aritmetičke sredine jednak je nuli:

zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti numeričke varijable od aritmetičke sredine je minimalan:

maxmin xxx

0)(x 0)(k

1ii

1

i

N

ii fxxx

iii

N

ii

N

ii faxfxaxxx 22

k

1ii

2

1

2

1

)()(x )()(

ARITMETIČKA SREDINA ARITMETIČKIH SREDINA

44 kk

kkkk

kk

NNNNTTN

Tx

NxTN

TxNxT

N

Tx

2121

1111

11

,TT ,

,,

45

Aritmetička sredina k aritmetičkih sredina je njihova vagana aritmetička sredina, a ponderi su jednaki veličinama podskupova ili njima proporcionalnim brojevima.

k

ii

k

iii

k

kk

N

Nxx

NNN

NxNxNxx

1

1

21

2211

46

007,5761 7,29

9,171101

1

21

2211

11

xx

NNN

xNxNxNxNNxN

Nx

k

kkk

iii

k

ii

ARITMETIČKA SREDINA RELATIVNIH BROJEVA

47

Relativni brojevi su omjeri dviju veličina, od kojih je veličina u nazivniku baza relativnog broja.

Najčešće korišteni relativni brojevi su postoci i relativni brojevi koordinacije (BDP po stanovniku, prinos pšenice u t po ha obradive površine, koeficijenti pokrivenosti uvoza izvozom).

RELATIVNI BROJEVI KOORDINACIJE

48

Relativni brojevi koordinacije definirani su izrazom:

kiB

VR

i

ii ,...,2,1 ,

Njihova je srednja vrijednost:

k

ii

i

k

ii

iiik

ii

k

ii

B

BRRBRV

B

VR

1

1

1

1 :jednako zbog je toa ,

49

Na sličan se način može pokazati da je aritmetička sredina postotaka:

kiC

DP

i

ii ,...,2,1 ,100

određena s:

k

ii

k

iii

C

CPP

1

1

GEOMETRIJSKA SREDINA

50

Geometrijska sredina je potpuna srednja vrijednost. Može se primjeniti u slučaju kad su sve vrijednosti numeričke varijable pozitivni brojevi.

JEDNOSTAVNA

NNxxxG 21

VAGANA

k

ii

N fk

ff fNxxxG k

121 21

HARMONIJSKA SREDINA

51

Harmonijska sredina je potpuna srednja vrijednost, a definira se kao recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti numeričke varijable.

JEDNOSTAVNA

N

i iN x

NH

xxx

NH

121

1 ili

111

k

i i

i

k

ii

kk

k

ii

xf

f

fx

fx

fx

fH

1

1

22

11

1

H

ili

111

VAGANA

52

Zračna luka Broj putnika Broj putnika po letu

Broj letova

Zagreb 227720 69 3315Split 226280 89 2534Ukupno 454000 _ 5849

iV iR i

ii R

VB

62.775849

454000

R

V

R

V

RB

V

R

i i

i

ii

ii

ii