Post on 12-Feb-2016
description
Compiladores
Optimizaciones Tradicionales
Simplificación Algebraica,Copy Propagation,
y Constant Propagation
2
Resumen• Overview de análisis de control de flujo• Simplificación algebraica• Copy Propagation• Constant Propagation
40
3
Expresiones Disponibles• Dominio
– conjunto de expresiones• Dirección de flujo de datos Hacia adelante• Función de flujo de datos
– OUT = gen (IN - kill)– gen = { a | a se calcula en el bloque básico }– kill = { a | una variable va que es definida en el b.b. }
• Operación Meet– IN = OUT
• Valores iniciales conjunto entero (Top)
4
Cadena DU (Reaching Definitions)
• Dominio– conjunto de definiciones
• Dirección de flujo de datos Hacia adelante• Función de flujo de datos
– OUT = gen (IN - kill)– gen = { x | x es definida en el statement}– kill = { x | LHS var. de x es redefinido en el statement. }
• Operación Meet– IN = OUT
• Valores iniciales Conjunto vacío (Bottom)
5
Framework para análisis• Análisis de control de flujo
– Identificar la estructura del programa– Ayuda a construir el análisis de flujo de datos
• Análisis de flujo de datos– Framework para encontrar la información necesaria para
optimizar– Hasta ahora hemos encontrado
• expresiones disponibles• cadenas UD y DU
– ¡Ahora usemos esta información para hacer algo interesante!
6
Optimizaciones
• Cada optimización es muy simple– Reduce la complejidad
• Se necesitan múltiples optimizaciones
• Es posible que haya que aplicar la misma optimización múltiples veces
7
Resumen• Overview de análisis de control de flujo• Simplificación algebraica• Copy Propagation• Constant Propagation
40
8
Simplificación algebraica
• Aplicar nuestro conocimiento de algebra, teoría de números, etc para simplificar expresiones
9
Simplificación algebraica• Aplicar nuestro conocimiento de algebra, teoría de
números, etc para simplificar expresiones• Ejemplo
– a + 0 a– a * 1 a– a / 1 a– a * 0 0– 0 - a -a– a + (-b) a - b– -(-a) a
10
Simplificación algebraica
• Aplicar nuestro conocimiento de algebra, teoría de números, etc para simplificar expresiones
• Ejemplo– a true a– a false false– a true true– a false a
11
Simplificación algebraica
• Aplicar nuestro conocimiento de algebra, teoría de números, etc para simplificar expresiones
• Ejemplo– a ^ 2 a*a– a * 2 a + a– a * 8 a << 3
12
Oportunidades para Simplificación Algebraica
• En el código– Los programadores no simplifican expresiones– Los programas son más legibles con exresiones
completas• Luego de la expansión del compilador
– Ejemplo: Lectura de array A[8][12] va a ser expandida a:
– *(Abase + 4*(12 + 8*256)) que puede ser simplificada después de otras optimizaciones
13
Utilidad de Simplificación Algebraica
• Reduce el número de instrucciones• Usa expresiones menos “caras”• Habilita otras optimizaciones
14
Implementación
• ¡No es una optimización de flujo de datos!• Encontrar candidatos que hagan match con las
reglas de simplificación y simplificar los árboles de expresión
• Los candidatos pueden no ser obvios
15
Implementación
• ¡No es una optimización de flujo de datos!• Encontrar candidatos que hagan match con las
reglas de simplificación y simplificar los árboles de expresión
• Los candidatos pueden no ser obvios– Ejemplo
a + b - aa -
b a
+
16
Usar nuestro conocimiento de los operadores
• Operadores conmutativos a op b = b op a
• Operadores asociativos (a op b) op c = b op (a op c)
17
Forma Canónica
• Poner los árboles de expresiones en forma canónica– Suma de multiplicandos– Ejemplo
• (a + 3) * (a + 8) * 4 4*a*a + 44*a + 96
– La Sección 12.3.1 de la ballena habla de esto
18
Efectos en la estabilidad numérica
• Algunas simplificaciones algebraicas pueden producir resultados incorrectos
19
Efectos en la estabilidad numérica
• Algunas simplificaciones algebraicas pueden producir resultados incorrectos
• Ejemplo– (a / b)*0 + c
20
Efectos en la estabilidad numérica
• Algunas simplificaciones algebraicas pueden producir resultados incorrectos
• Ejemplo– (a / b)*0 + c– Podemos simplificar esto a c
21
Efectos en la estabilidad numérica
• Algunas simplificaciones algebraicas pueden producir resultados incorrectos
• Ejemplo– (a / b)*0 + c– Podemos simplificar esto a c– Pero qué pasa cuándo b = 0
debería ser una excepción, pero vamos a obtener un resultado
22
Resumen• Overview de análisis de control de flujo• Simplificación algebraica• Copy Propagation• Constant Propagation
40
23
Copy Propagation
• Eliminar copias múltiples– propagar el valor directamente a su uso
• Ejemploa = b + cd = ae = df = d + 2*e + c
24
Copy Propagation
• Eliminar copias múltiples– propagar el valor directamente a su uso
• Ejemploa = b + cd = ae = df = d + 2*e + c
25
Copy Propagation
• Eliminar copias múltiples– propagar el valor directamente a su uso
• Ejemploa = b + cd = ae = af = d + 2*e + c
26
Copy Propagation
• Eliminar copias múltiples– propagar el valor directamente a su uso
• Ejemploa = b + cd = ae = af = d + 2*e + c
27
Copy Propagation
• Eliminar copias múltiples– propagar el valor directamente a su uso
• Ejemploa = b + cd = ae = af = a + 2*e + c
28
Copy Propagation
• Eliminar copias múltiples– propagar el valor directamente a su uso
• Ejemploa = b + cd = ae = af = a + 2*e + c
29
Copy Propagation
• Eliminar copias múltiples– propagar el valor directamente a su uso
• Ejemploa = b + cd = ae = af = a + 2*a + c
30
Copy Propagation
• Eliminar copias múltiples– propagar el valor directamente a su uso
• Ejemploa = b + cd = ae = af = a + 2*a + c
31
Oportunidades para Copy Propagation
• En código del usuario• Después de otras optimizaciones
– Ejemplo: Simplificación algebraica
32
Ventajas de Copy Propagation
• Lleva a más simplificaciones algebraicas
33
Ventajas de Copy Propagation
• Lleva a más simplificaciones algebraicas
• Ejemploa = b + cd = ae = af = a + 2*a + c
34
Ventajas de Copy Propagation
• Lleva a más simplificaciones algebraicas
• Ejemploa = b + cd = ae = af = a + 2*a + c
35
Ventajas de Copy Propagation
• Lleva a más simplificaciones algebraicas
• Ejemploa = b + cd = ae = af = 3*a + c
36
Ventajas de Copy Propagation
• Reduce instrucciones al eliminar ops de copia– Crea código muerto que puede ser eliminado
37
Ventajas de Copy Propagation
• Reduce instrucciones al eliminar ops de copia– Crea código muerto que puede ser eliminado
• Ejemploa = b + cd = ae = af = 3*a + c
38
Ventajas de Copy Propagation
• Reduce instrucciones al eliminar ops de copia– Crea código muerto que puede ser eliminado
• Ejemploa = b + c f = 3*a + c
39
Cómo hacer copy propagation
• Para cada expresión RHS Para cada variable v usada en expresión RHS– si la variable v es definida por un statement v = u– reemplazar la variable v por u
• En cada punto del programa hay que saber– qué variables son iguales– un elemento <u,v> está en el conjunto ssi v = u
(u, v son variables)
40
Cómo hacer copy propagation• Una asignación v = u todavía es válida en un
punto dado de ejecución ssi– Un statement v = u occurre en cada camino de
ejecución que llega al punto actual– La variable v no es redefinida en ninguno de estos
caminos de ejecución entre el statement y el punto actual
– La variable u no es redefinida en ninguno de caminos de ejecución entre el statement y el punto actual
• ¡un problema de flujo de datos!
41
Problema de Data-Flow paraCopy Propagation
• Dominio– Conjunto de tuplas <v,u> representando un statement v = u
• Dirección de flujo de datos Hacia adelante• Función de flujo de datos
– OUT = gen (IN - kill)– gen = { <v,u> | v = u es el statement }– kill = { <v,u> | LHS var. del stmt. es v ó u }
• Operación Meet– IN = OUT
• Valores Iniciales Conjunto vacio (Bottom)
42
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
43
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <v,u> | v = u es el statement }kill = { <v,u> | LHS var. del stmt. es v ó u }
44
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }
gen = { }
gen = { <d,b> }
gen = { }
gen = { <b,d> }
gen = { <v,u> | v = u es el statement }kill = { <v,u> | LHS var. del stmt. es v ó u }
45
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
gen = { <v,u> | v = u es el statement }kill = { <v,u> | LHS var. del stmt. es v ó u }
46
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
OUT = gen (IN - kill)
47
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
OUT = { <b,a> }
IN = { }
OUT = gen (IN - kill)
48
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
OUT = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { }
OUT = gen (IN - kill)
49
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
IN = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { }
OUT = { <b,a>, <d,b> }
OUT = gen (IN - kill)
50
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
IN = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { }
IN = { <b,a>, <d,b> }
OUT = { }
OUT = gen (IN - kill)
51
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
IN = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { }
IN = { <b,a>, <d,b> }
IN = { }
OUT = { <b,d> }
OUT = gen (IN - kill)
52
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,b> }
{ }
{ <b,d> }
OUT = gen (IN - kill)
53
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = b
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,b> }
{ }
{ <b,d> }
54
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,b> }
{ }
{ <b,d> }
55
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = d + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,b> }
{ }
{ <b,d> }
56
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,b> }
{ }
{ <b,d> }
57
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,b>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,b> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a> <d,b>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a>, <d,b> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,b> }
{ }
{ <b,d> }
58
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
¿Terminamos?
¡No!
59
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }
gen = { }
gen = { <d,a> }
gen = { }
gen = { <b,d> }
gen = { <v,u> | v = u es el statement }kill = { <v,u> | LHS var. del stmt. es v ó u }
60
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
gen = { <v,u> | v = u es el statement }kill = { <v,u> | LHS var. del stmt. es v ó u }
61
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
OUT = { <b,a> }
IN = { }
OUT = gen (IN - kill)
62
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
OUT = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { }
OUT = gen (IN - kill)
63
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { }
OUT = { <b,a>, <d,a> }
OUT = gen (IN - kill)
64
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { }
IN = { <b,a>, <d,a> }
OUT = { <d,a> }
OUT = gen (IN - kill)
65
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { <b,a> }
IN = { }
IN = { <b,a>, <d,a> }
IN = { <d,a> }
OUT = {<d,a> ,<b,d> }
OUT = gen (IN - kill)
66
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,a> }
{ <d,a> }
{<d,a> ,<b,d> }
67
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = b + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,a> }
{ <d,a> }
{<d,a> ,<b,d> }
68
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = a + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,a> }
{ <d,a> }
{<d,a> ,<b,d> }
69
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = a + c
b = d
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,a> }
{ <d,a> }
{<d,a> ,<b,d> }
70
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = a + c
b = a
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,a> }
{ <d,a> }
{<d,a> ,<b,d> }
71
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = a + c
b = a
gen = { <b,a> }kill = { <d,a>, <b,d> }
gen = { }kill = { }
gen = { <d,a> }kill = { <b,d> }
gen = { }kill = { <b,a>, <b,d> }
gen = { <b,d> }kill = { <b,a> }
{ <b,a> }
{ <b,a> }
{ }
{ <b,a>, <d,a> }
{ <d,a> }
{<d,a> ,<b,d> }
72
Ejemplo
b = a
c = b + 1
d = a
b = a + c
b = a
¿Terminamos?
¡Sí!
73
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
74
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }
Gen = {<d,a>, <s,p> } Gen = {<d,a> }
Gen = { }
gen = { <v,u> | v = u es el statement }kill = { <v,u> | LHS var. del stmt. es v ó u }
75
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
gen = { <v,u> | v = u es el statement }kill = { <v,u> | LHS var. del stmt. es v ó u }
76
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
77
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
78
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
79
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
80
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
IN = { }
81
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
IN = { }
82
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> }
83
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> }
84
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> }
85
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> } OUT = { <d,a> }
86
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> } OUT = { <d,a> }
IN = { <d,a> }
87
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> } OUT = { <d,a> }
IN = { <d,a> }
88
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
Gen = { }Kill = {<d,a>, <s,p> }
Gen = {<d,a>, <s,p> }Kill = { }
Gen = {<d,a> }Kill = { }
Gen = { }Kill = {{<d,a> }
IN = { }OUT = gen (IN - kill)IN = OUT
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> } OUT = { <d,a> }
OUT = { }
IN = { <d,a> }
89
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
IN = { }
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> } OUT = { <d,a> }
OUT = { }
IN = { <d,a> }
90
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = d + p
d = a
IN = { }
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> } OUT = { <d,a> }
OUT = { }
IN = { <d,a> }
91
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = a + p
d = a
IN = { }
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> } OUT = { <d,a> }
OUT = { }
IN = { <d,a> }
92
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = a + p
d = a
IN = { }
OUT = { }
IN = { } IN = { }
OUT = { <d,a>, <s,p> } OUT = { <d,a> }
OUT = { }
IN = { <d,a> }
93
Otro Ejemplo
a = b + cp = q + r
d = as = p
a = a + p
d = a
94
Resumen• Overview de análisis de control de flujo• Simplificación algebraica• Copy Propagation• Constant Propagation
40
95
Constant Propagation
• Usar valores constantes– Usar la constante conocida para una variable
96
Constant Propagation
• Usar valores constantes– Usar la constante conocida para una variable
• Ejemploa = 43b = 4d = a + 2*b + c
97
Constant Propagation
• Usar valores constantes– Usar la constante conocida para una variable
• Ejemploa = 43b = 4d = a + 2*b + c
98
Constant Propagation
• Usar valores constantes– Usar la constante conocida para una variable
• Ejemploa = 43b = 4d = 43 + 2*b + c
99
Constant Propagation
• Usar valores constantes– Usar la constante conocida para una variable
• Ejemploa = 43b = 4d = a + 2*b + c
100
Constant Propagation
• Usar valores constantes– Usar la constante conocida para una variable
• Ejemploa = 43b = 4d = 43 + 2*4 + c
101
Oportunidades paraConstant Propagation
• Constantes definidas por el usuario– Las mismas constantes se propagan por muchos
caminos– Constantes simbólicas definidas como variables
• Constantes conocidas al compilador– data sizes, stack offsets
• Constantes disponibles después de otras optimizaciones– Simplificación algebraica– Copy propagation
102
Ventajas de Constant Propagation
• Simplificación del programa
103
Ventajas de Constant Propagation
• Simplificación del programa
• Ejemploa = 43b = 4d = 43 + 2*4 + c
104
Ventajas de Constant Propagation
• Simplificación del programa
• Ejemploa = 43b = 4d = 43 + 2*4 + c
105
Ventajas de Constant Propagation
• Simplificación del programa
• Ejemploa = 43b = 4d = 51 + c
106
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
107
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 2*a - b + ce = c + d
108
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 2*a - b + ce = c + d
109
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 2*4 - b + ce = c + d
110
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 2*4 - b + ce = c + d
111
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 2*4 - 8 + ce = c + d
112
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 2*4 - 8 + ce = c + d
113
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 8 - 8 + ce = c + d
114
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 8 - 8 + ce = c + d
115
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 0 + ce = c + d
116
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = 0 + ce = c + d
117
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = ce = c + d
118
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = ce = c + d
119
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = ce = c + d
120
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = ce = c + c
121
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = ce = c + c
122
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = ce = c + c
123
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = ce = 2*c
124
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8d = ce = 2*c
125
Ventajas de Constant Propagation
• Habilita otras optimizaciones
• Ejemploa = 4b = 8
e = 2*c
126
Cómo hacer Constant Propagation
• En cada expresión RHS Para cada variable v usada en expresión RHS– si la variable v es una constante conocida k– reemplazar la variable v por k
• En cada punto del programa hay que saber– Para cada variable v, si v es una constante, y si lo
es, el valor constante
127
Cómo hacer Constant Propagation
• Una variable v es la constante k en un punto de ejecución ssi– el statement actual es v = k
o– todo camino que llega al punto actual tiene la
constante k asignada a v• ¡Un problema de flujo de datos!
128
Valores de dos caminos
a = 5
b = a + 10
a = 5
a = 5
129
Valores de dos caminos
a = 5
b = a + 10
a = k + 2
a no es constante
130
Valores de dos caminos
a = 5
b = a + 10
a = 7
a no es constante
131
Valores de dos caminos
a = 5
b = a + 10
a no definida
a = 5
132
Valores de dos caminos
a = 5
b = a + 10
a no definida
a = 5
• programa tonto, usa un valor no inicializado
133
Valores de dos caminos
a = 5
b = a + 10
a no definida
a = 5
• programa tonto, usa un valor no inicializado• semántica de alto nivel que el compilador no entiende hace que este sea un programa correcto
134
Lattice para Constant Propagation
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
135
Lattice (repaso)
• Un lattice L consiste de– un conjunto de valores – dos operaciones meet( ) y join ( )– un valor top (T) y un valor bottom ()
136
Lattice (repaso)
• Ejemplo: el lattice para el problema de reaching definitions cuándo sólo hay 3 definiciones
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
137
Operaciones Meet y Join
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
{ d1, d2 } { d2, d3 } = ???
138
Operaciones Meet y Join
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
{ d1, d2 } { d2, d3 } = ???
139
Operaciones Meet y Join
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
{ d1, d2 } { d2, d3 } = ???
140
Operaciones Meet y Join
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
{ d1, d2 } { d2, d3 } = { d2 }
141
Operaciones Meet y Join
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
{ d1, d2 } { d3 } = ???
142
Operaciones Meet y Join
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
{ d1, d2 } { d3 } = ???
143
Operaciones Meet y Join
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
{ d1, d2 } { d3 } = ???
144
Operaciones Meet y Join
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
{ d1, d2 } { d3 } = ???
145
Operaciones Meet y Join
{ d1, d2 }
{ d2, d3 }
{ d1 }
{ d3 }
= { }
T = { d1, d2, d3 }
{ d1, d3 }{ d2 }
{ d1, d2 } { d3 } = { d1, d2, d3 }
146
Lattice para Constant Propagation
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
147
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 a = 2
= a
2 2 =
148
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 a = 2
= a
2 2 =
149
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 a = 2
= a
2 2 = 2
150
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 a = 0
= a
2 0 =
151
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 a = 0
= a
2 0 =
152
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 a = 0
= a
2 0 =
153
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 a = 0
= a
2 0 = not a constant
154
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 undefined
= a
2 undefined =
155
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 undefined
= a
2 undefined =
156
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 undefined
= a
2 undefined =
157
Operación Meet en el lattice
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
a = 2 undefined
= a
2 undefined = 2
158
Problema de Data-Flow paraConstant Propagation
• Dominio– Para cada variable un lattice Lv
• Dirección de flujo de datos Hacia adelante• Función de flujo de datos
– OUT = gen (IN resv)
159
Problema de Data-Flow paraConstant Propagation
• Dominio– Para cada variable un lattice Lv
• Dirección de flujo de datos Hacia adelante• Función de flujo de datos
– OUT = gen (IN resv) T si v no es LHS
– gen = xv xv = valor si v es LHS & RHS es constante de otra forma
160
Problema de Data-Flow paraConstant Propagation
• Dominio– Para cada variable un lattice Lv
• Dirección de flujo de datos Hacia adelante• Función de flujo de datos
– OUT = gen (IN resv) T si v no es LHS
– gen = xv xv = valor si v es LHS & RHS es constante de otra forma
– prsv = xv xv = T si v es el LHS si v no es el LHS
161
Problema de Data-Flow paraConstant Propagation
• Dominio– Para cada variable un lattice Lv
• Dirección de flujo de datos Hacia adelante• Función de flujo de datos
– OUT = gen (IN resv) T si v no es LHS
– gen = xv xv = valor si v es LHS & RHS es constante de otra forma
– prsv = xv xv =
• Valores Iniciales T (= undefined)
T si v es el LHS si v no es el LHS
162
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
163
i = 1
j = 2
k = false
164
•
T si v no es LHS– gen = xv xv = valor si v es LHS & RHS es constante.
de otra forma
– prsv = xv xv = T si v es el LHS si v no es el LHS
165
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
•
T si v no es LHS– gen = xv xv = valor si v es LHS & RHS es constante.
de otra forma
– prsv = xv xv = T si v es el LHS si v no es el LHS
166
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
prsv = { i:, j:, k:, n: }•
T si v no es LHS– gen = xv xv = valor si v es LHS & RHS es constante.
de otra forma
– prsv = xv xv = T si v es el LHS si v no es el LHS
167
i = 1
gen ={ i:1, j:T, k:T, n:T }
prsv = { i:T, j:, k:, n: }•
T si v no es LHS– gen = xv xv = valor si v es LHS & RHS es constante.
de otra forma
– prsv = xv xv = T si v es el LHS si v no es el LHS
168
i = 1
j = 2
gen ={ i:1, j:2, k:T, n:T }
prsv = { i:T, j:T, k:, n: }•
T si v no es LHS– gen = xv xv = valor si v es LHS & RHS es constante.
de otra forma
– prsv = xv xv = T si v es el LHS si v no es el LHS
169
i = 1
j = 2
k = false
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T }
prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }•
T si v no es LHS– gen = xv xv = valor si v es LHS & RHS es constante.
de otra forma
– prsv = xv xv = T si v es el LHS si v no es el LHS
170
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
171
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
172
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
173
i = 1
j = 2
k = false
gen = { i:1, j:2, k:false, n:T }
prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }IN = { i:T, j:T, k:T, n:T }
174
i = 1
j = 2
k = false
gen = { i:1, j:2, k:false, n:T }
prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }IN = { i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT = gen (IN resv)
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
175
i = 1
j = 2
k = false
gen = { i:1, j:2, k:false, n:T }
prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }IN = { i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT = gen (IN resv)IN = { i:1, j:2, k:false, n:T }
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
176
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
177
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
178
i < n
out1 = { i:T, j:T, k:T, n:T }out2 = { i:1, j:2, k:false, n:T } IN = out1 out2
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
179
i < n
out1 = { i:T, j:T, k:T, n:T }out2 = { i:1, j:2, k:false, n:T } IN = out1 out2IN = { i:1, j:2, k:false, n:T }
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
180
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T } IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
181
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T } IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
182
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T } IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
183
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T } IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
184
i = 3
j = 2
gen = { i:3, j:2, k:T, n:T }
prsv = { i:T, j:T, k:, n: }IN = { i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT = gen (IN resv)
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
185
i = 3
j = 2
gen = { i:3, j:2, k:T, n:T }
prsv = { i:T, j:T, k:, n: }IN = { i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT = gen (IN resv)IN = { i:3, j:2, k:false, n:T }
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
186
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T } IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
187
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T } IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
188
i < n
out1 = { i:1, j:2, k:false, n:T }out2 = { i:3, j:2, k:false, n:T } IN = out1 out2
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
189
i < n
out1 = { i:1, j:2, k:false, n:T }out2 = { i:3, j:2, k:false, n:T } IN = out1 out2IN = { i:, j:2, k:false, n:T }
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
190
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
191
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
192
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
193
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
194
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
195
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
196
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
197
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
198
j = j + 1
gen = { i:T, j:, k:T, n:T }
prsv = { i:, j:T, k:, n: }IN = { i:, j:2, k:false, n:T }
OUT = gen (IN resv)
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
199
j = j + 1
gen = { i:T, j:, k:T, n:T }
prsv = { i:, j:T, k:, n: }IN = { i:, j:2, k:false, n:T }
OUT = gen (IN resv)IN = { i:, j:, k:false, n:T }
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
200
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
201
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
202
exit
out1 = { i:, j:2, k:false, n:T }out2 = { i:, j:, k:false, n:T } IN = out1 out2IN = { i:, j:, k:false, n:T }
= not a constant
T = undefined
false true …. -2 -1 0 1 2 3 4 ….
203
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
204
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
gen ={ i:1, j:2, k:false, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:T, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:3, j:2, k:T, n:T } prsv = { i:T, j:T, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
gen ={ i:T, j:, k:T, n:T } prsv ={ i:, j:T, k:, n:}
gen ={ i:T, j:T, k:T, n:T } prsv = { i:, j:, k:, n: }
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
OUT ={i:3, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
205
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
206
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
k
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
207
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
false
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
208
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print j j = j + 1
false
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
209
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print 2 j = j + 1
false
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
210
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print 2 j = j + 1
false
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
211
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print 2 j = j + 1
false
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
212
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print 2 j = 2 + 1
false
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
213
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
print 2 j = 2 + 1
false
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T } IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
214
i = 1 j = 2k = false
i = 3 j = 2
j = 2 + 1
exit
i < n
IN ={ i:T, j:T, k:T, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:1, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
IN ={i:, j:2, k:false, n:T }
OUT ={i:, j:, k:false, n:T }
215
Lecturas
• Ballena– Capítulo 13