Post on 16-Feb-2018
1
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
doc. dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.
Govorilne ure:
• pisarna: FS - 414
• telefon: 01/4771-414
• boris.jerman@fs.uni-lj.si
(Tema/Subject: ONK - ...)
Soavtor gradiva: i.prof.dr. Janez Kramar, univ.dipl.inž.str.
KKTS – Katedra za konstruiranje in transportne sistemeLASOK – Laboratorij za transportne naprave in sisteme ter nosilne strojne konstrukcije
Obseg predmeta (5 ECTS):
• predavanja: 30 ur;
• seminar: 0 ur;
• vaje: 30 ur.
Obveznosti:
• teorija: izpit/kolokvij (pozitivno > 50%);
• vaje: delo na vajah/domače delo/seminarska naloga (po skupinah).
Vsak se mora sam prijaviti/odjaviti na/z izpit/a.
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
2
2
Gradivo za študente (prosojnice s predavanj):� http://www.fs.uni-lj.si/lasok/
� Gradivo FS� Optimiranje nosilnih konstrukcij (RR).
Geslo za odpiranje študijskega gradiva!
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
3
LITERATURA
1. Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; Second edition;
Elsevier Academic Press, Amsterdam, ... , 2004.
2. Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; McGraw-Hill Book
Company, New York, ... , 1989.
3. Singiresu S. Rao: Engineering Optimization, Theory and Practise; John
Wiley & Sons, New York, ... , 1996.
4. JozsefFarkas, Karoly Jarmai: Analysis and Optimum Design of Metal
Structures; Balkema, Rotterdam; 1997.
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
4
3
LITERATURA
5. Y.M. Xie and G.P.Steven: Evolutionary Structural Optimization; Springer-
Verlag 1997.
6. A.A. Seireg, J. Rodriguez: Optimizing the Shape of Mechanical
Elements and Structures; Marcel Dekker; 1997.
7. Helical Springs; Engineering Design Guides; prepared by The Spring
Research Association; Oxford University Press, 1974.
8. Dubbel Taschenbuch fiir den Maschinenbau, 15. Auflage; Springer-
Verlag, 1986.
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
5
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij.
Osnovni cilj predmeta: približati metode optimiranja inženirski praksi.
Obravnavani so praktični primeri: - ki jih je mogoče matematično korektno popisati - in je njihovo reševanje relativno enostavno.
V teoretskem smislu je snov naslonjena na literaturo :Arora. Introduction to optimum desig [1],
obseg pa prilagojen razpoložljivemu številu ur.
Predstavljeni so tudi ustrezni pripadajoči postopki konstruiranja.
6
4
7
Uvod
Strojništvo (samostojno ali interdisciplinarno) pokriva široko paleto izdelkov kot so:• orodja, stroji, naprave (tudi transportne),• vozila: cestna, tirnična, • plovila: vodna, zračna, vesoljska,• medicinski aparati in naprave, inštrumenti,• gradbeni elementi,• procesna oprema,• pretvorniki energije,• elementi informatike,• ...
V želji po konkurenčnejših izdelkih (↑kvaliteta, ↓cena, ↓masa, ...) se stalno razvija tudi
inženirska optimizacija izdelkov - iskanje najboljšega rezultata ob danih okoliščinah.
Pri snovanju, izdelavi in vzdrževanju inženirskega izdelka ali tehniškega sistema se je potrebno neprestano odločati o:• tehniških vidikih;• estetskih vidikih;• ekonomskih vidikih; • ergonomskih vidikih; • varnostnih vidikih.
Skrajni cilj takih odločitev je
• minimizirati nastopajoče stroške ali
• maksimirati dobiček. 8
5
Večina odločitev je vezanih na merljive veličine (zvezne ali diskretne), katerih učinek je možno izraziti v matematični obliki.
Razvoj novega izdelka
Niz aktivnosti pri razvoju novega izdelka:
Razvojne naloge v podjetju se razlikujejo, če se razvija:• nov serijski izdelek (glej (1) v nadaljevanju) ali• nov individualni izdelek (glej (2) v nadaljevanju).
9
• (1): Razvoj novega serijskega izdelka
Niz prepletenih aktivnosti:• zasnova, razne analize, (sprememba zasnove), (ponovne analize), • konstruiranje, • izdelava prototipa, preskušanje, • sprememba detajlov ali sprememba zasnove, ponovne analize, • popravek prototipa ali nov prototip, ponovno preskušanje, • ...
ki vsebuje tudi elemente optimiranja.
• (1b) Razvoj nove generacije obstoječega serijskega izdelka
• morajo imeti vse boljše funkcionalne lastnosti, • ob hkratnih poenostavitvah (pocenitvah).
Spet je potrebno optimiranje.
10
6
• (2): Razvoj individualnega izdelka
Individualno snovanje:• izdelek za znanega kupca (naročilo),• brez prototipa.
V tekmi s konkurenco se uporablja optimizacijske postopke.
Vrste optimiranja pri snovanju izdelka:
• klasično snovanje: k optimumu po intuiciji – postopoma;• matematično podprto optimalno snovanje:
k optimumu z analitičnimi in numeričnimi matematičnimi
sredstvi – iterativno;• interaktivno optimalno snovanje:
k optimumu izmenično intuitivno in z matematičnimi sredstvi
11
12
Osnovni izrazi in značilni primeri
Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function)
V procesu razvoja je potrebno izdelek presojati:• po tehničnih kriterijih;• lahko tudi po ekonomskih in drugih kriterijih.
Presoja se lahko vrši s tehtanjem:• enega• ali večihmerljivih parametrov.
7
13
Osnovni izrazi in značilni primeri
Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function)
Primeri merljivih parametrov:• izpolnjevanje funkcionalnih zahtev;• količina vgrajenega gradiva (maso);• lastna cena izdelka (cena gradiva, energije, dela, ...);• stroški izdelka v življenjski dobi (nabavna cena + cena
obratovanja + cena vzdrževanja);• raba energije (npr. pogonske enote);• izguba toplote skozi stene;• torne izgube;• izkoristek.
14
Osnovni izrazi in značilni primeri
Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function)
je matematični izraz, ki zajame vse opazovane parametreoptimizacijskega probleme z ustreznimi utežmi (ponderji) glede na njihovo pomembnost za določen cilj.
Tudi upoštevani parametri morajo biti zapisani z ustreznimi matematičnimi izrazi.
8
15
Osnovni izrazi in značilni primeri
Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function).
Cenilno funkcijo se v procesu razvoja izdelka zapiše z namenom presoje oz. optimiranja izdelka.
Nosilne konstrukcije se optimira predvsem glede na:• funkcionalnost, • maso, • lastno ceno, • stroške v življenjski dobi.
16
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske spremenljivke (design variables)
Vsaka konstrukcija vsebuje eno ali več komponent.
Vsaka komponenta je lahko popisana z več spremenljivkami, ki enoznačno določajo njeno obliko.
Poleg popisa oblike so lahko vključene tudi druge spremenljivke, npr.:• vrsta in lastnosti gradiva, • vrsta polizdelka.
9
17
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske spremenljivke (design variables)
Spremenljivke so lahko: • zvezne spremenljivke (geometrijske mere); • nezvezne (diskretne) spremenljivke:
− število ojačitvenih reber, − vrsta gradiva, − način izdelave, − ... .
Spremenljivke, ki enoznačno popišejo potrebne lastnosti konstrukcije v procesu optimiranja, imenujemo konstrukcijske
spremenljivke.
18
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske spremenljivke (design variables)
Isto komponento lahko enoznačno popišemo z različnimi nizi konstrukcijskih spremenljivk:a) b)
Opredelitev oblike prečnega preseka pravokotne cevi:a) s spremenljivkami b, d in t, b) s spremenljivkami bsr, dsr in t.
10
19
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske spremenljivke (design variables).
Za popolno opredelitev konstrukcijske komponente (škatlastega nosilca) je potrebno podati še npr.:• dolžino nosilca,• število, položaj in obliko prečnih reber ,• število, položaj in obliko vzdolžnih reber,• material nosilca,• robne pogoje.
20
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints)
Vsak izdelek mora izpolniti niz zahtev in se podvreči mnogim omejitvam. Omejitve se uvršča v več skupin:
I) Glede na matematično formo:
• Enakostne omejitve - ena ali več konstrukcijskih spremenljivk (KS), povezanih v enakostni pogoj/omejitev (=).
• Neenakostne omejitve - ena ali več KS, povezanih v neenakostno omejitev (<, ≤) (večina inženirskih nalog ima več neenakostnih omejitev).
11
21
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints)
II) Glede na linearnost:
• Linearne omejitve - KS nastopajo v linearni povezavi.
• Nelinearne omejitve - KS nastopajo v nelinearni povezavi.
______________Opomba: Konstrukcijske omejitve morajo biti funkcija vsaj ene ali večih KS, da bodo imele ustrezen vpliv.
22
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints).
III) Glede na eksplicitnost:
• Eksplicitna omejitev - posamezna KS v omejitvenem smislu ni funkcijsko povezana z drugimi.
• Implicitna omejitev – KS so v omejitvenem smislu funkcijsko implicitno povezane.
Vsaka konstrukcijska omejitev lahko močno vpliva na položaj in velikost optimuma, zato je potrebno njeno uporabo dobropretehtati in utemeljiti.
12
23
Osnovni izrazi in značilni primeri
Sprejemljiva izvedba (feasible design).
je tista izvedba nekega izdelka, konstrukcije ali sistema, ki izpolnjuje vse postavljene zahteve in omejitve.
Če izvedba ne izpolnjuje ene ali večih zahtev oz. omejitev je to nesprejemljiva izvedba (unfeasible design).
24
Osnovni izrazi in značilni primeri
Dovoljeno območje (feasible region)
je območje konstrukcijskih rešitev, ki obsega vse nabore KS, za katere so izpolnjene vse zahteve in vse omejitve.
Dovoljeno območje: • je toliko dimenzionalno, kolikor je neodvisnih KS. • je omejeno z enakostnimi pogoji in neenakostnimi
omejitvami.
13
25
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer dovoljenega območja, določenega z eno neenakostnoomejitvijo implicitne oblike:
ki je določena s pomočjo dveh KS (x1 in x2).
Dovoljeno območje (feasible region)
Neenakostna omejitev določa dovoljeno območje kot krog -obod in ploščino kroga - s polmerom:
� � 9 � 3
26
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer dovoljenega območja (DO), določenega eksplicitno:A) z enakostnim pogojem (x1 = x2) – DO je premica; B) z neenakostno omejitvijo (x1 ≤ x2) – DO je premica in
površina nad premico.
Dovoljeno območje (feasible region).
Dovoljeno območje je v primeru (B) bistveno večje.
Opomba: šrafira se tista stran, ki ni vsebovana v dovoljenem območju.
14
27
Osnovni izrazi in značilni primeri
Opredelitev optimizacijske naloge (formulation of an
optimizing problem).
• ima zelo pomembno mesto v optimizacijskem procesu;
• potrebna je jasna in celovita besedilna opredelitev;
• potrebna je prevedba v matematično govorico:• cenilna funkcija,• enakostni pogoji,• neenakostne omejitve.
28
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 1: Izolacija kroglastega rezervoarja
Besedilna opredelitev:
Izbrati je potrebno optimalno debelino izolacije, ki bo minimizirala stroške vzdrževanja znižane temperature v rezervoarju kroglaste oblike. Stroški so sestavljeni iz stroškov namestitve izolacije ter stroškov obratovanja hladilne naprave. Upošteva naj se čas obratovanja 10 let in 5 % letno obrestno mero za vložena finančna sredstva.
15
29
Osnovni izrazi in značilni primeri
Matematična opredelitev:
r .................. poznan polmer kroglastega rezervoarja [m].
� � 4��� ... površina kroglastega rezervoarja;t .................. debelina izolacije (išče se optimalna vrednost)t << r .......... realna predpostavkac1 (€/m3) ..... cena na enoto volumna nameščene izolacije
Prvi strošek je strošek namestitve izolacije:
� �� ���� ∙ � � � ∙ � ∙ � � 4� ∙ ��∙ � ∙ �
30
Osnovni izrazi in značilni primeri
Drugi strošek so toplotne izgube skozi izolacijo:∆Θ [K]... temperaturna razlika
λ�
��... toplotna prevodnost
t [m] ... debelina izolacijec2 [€/kW h] ... cena za enoto energije (1 kW h = 3,6 MJ)
Toplotni tok skozi steno ob predpostavki t << r je:
[W]
Celotni strošek zaradi toplotnih izgub:
[€] (T...življenjska doba rezervoarja v urah)
16
31
Osnovni izrazi in značilni primeri
Tretji strošek je obratovalni strošek hladilne naprave:• izgube energije zaradi izkoristka hladilne naprave,• amortizacija ter • strošek vzdrževanja hladilne naprave.
c3 [€/kWh] ... dodaten strošek na kW h* nadoknadenih toplotnih izgub.
* ... (kWh = 3,6 MJ)
32
Osnovni izrazi in značilni primeri
T=10 [let] ... celotna življenjska doba rezervoarja.(T = 10 let·365 dni/leto·24 h/dan = 87.600 h)o=0 ... obrestna mera - zaradi enostavnosti je časovni vpliv na
vrednost denarja zanemarjen.
Celoten strošek obratovanja (cenilna funkcija):
a=const b=const
17
33
Osnovni izrazi in značilni primeri
Obstaja tudi dodatna omejitev:
• debelina izolacije: t ≥0;• oziroma: Ker brez izolacije ohladitev vsebine rezervoarja na
želeno temperaturo sploh ni možna, je realna omejitev: t > 0;• oziroma: Ker zelo tenkih izolativnih slojev ni mogoče
izdelovati in nameščati, je dejanska omejitev: t ≥ tmin.
Zaradi prostorske stiske se pogosto pojavlja tudi omejitev debeline izolacije navzgor, kar ima običajno velik vpliv na lego optimalne točke. Tedaj obstaja še dodatna omejitev: t ≤ tmax.
Predpostavljena je ena vrsta izolacije, lahko bi bilo več možnosti.
34
Osnovni izrazi in značilni primeri
Rešitev je pri konkretnih podatkih enostavna:
� ∙ � � � ∙ �� � �
� ∙ �� � ∙ � � � � 0
�,� � � � � 4��
2�
pri pogoju: �,� ! ���"
in/alipri pogoju: �,�≤���#
18
35
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 1b: Izolacija kroglastega rezervoarja
Podano inženirsko nalogo je mogoče obravnavati tudi v zahtevnejši obliki, ki je uporabna tudi za večje debeline izolacije, kjer ne velja več predpostavka: t << r
Strošek namestitve izolacije se lahko zapiše s točnejšim zapisom volumna izolacije:
� � ∙ �
36
Osnovni izrazi in značilni primeri
Toplotne izgube se zapiše z obrazcem, ki upošteva debelostenskost izolacije in oba prestopnostna koeficienta:
α ... koeficient prestopa toplote z medija na steno posode,α� ... koeficient prestopa toplote z izolacije na okoliški zrak,λ ... koeficient toplotne prevodnosti izolacije,$� ... notranji premer izolacije = zunanji prem. rezervoarja = const.,$� ... zunanji premer izolacije = spremenljivka, ki se jo išče.
Prej enostavnejše:
19
37
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 2: Počevinka za pivo prostornine 400 cm3
Besedilna opredelitev:Optimirati je potrebno dimenzije pločevinke valjaste oblike.
Dimezije so zaradi uporabnosti omejene na:
38
Osnovni izrazi in značilni primeri
Globoki vlek – drago orodje � Potrebne velike serije �Cena orodja se lahko pri optimiranju zanemari �O rentabilnosti odloča predvsem poraba pločevine �Optimira naj se poraba pločevine – debelina pločevine je znana � poraba premo sorazmerna s površino pločevinke.
Matematična opredelitev:
KS:• višina pločevinke h [mm],• premer pločevinke d [mm].
Cenilna funkcija (površina valja):
20
39
Osnovni izrazi in značilni primeri
Neenakostne omejitve:
Enakostni pogoj:
Enakostni pogoj (poznan V) povezuje KS h in d:
� poenostavitev cenilne funkcije �
$ % 80'' → d– 80% 0
$ ! 35'' → 35– d% 0
, % 180'' → h– 180% 0
, ! 30'' → 30– h% 0
40
Osnovni izrazi in značilni primeri
Cenilna funkcija po poenostavitvi vsebuje le še eno KS:
:(Prej: )
Kandidatne točko za optimum se dobi z odvodom:
21
41
Osnovni izrazi in značilni primeri
Iz odvoda sledi:
ter iz enačbe za višino:
Kandidatna točka je tik ob meji, vendar znotraj dovoljenega področja KS:
42
Osnovni izrazi in značilni primeriPrimer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Besedilna opredelitev:• Izdeluje se N=100 izdelkov/dan. • Sestavljajo se iz:
• ZA=8 komponent A, • ZB=5 komp. B in • ZC=15 komp. C.
• Št. potrebnih vijakov ali kovic:• za komp. A 5 vijakov ali kovic, • za komp. B 6 vijakov ali kovic in • za komp. C 3 vijaki ali kovice.
• �
22
43
Osnovni izrazi in značilni primeriPrimer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Besedilna opredelitev:•
• Cena in vgradnja enega vijaka stane: • pri komp. A VA=0,70 €, • pri komp. B VB=1,0 € in • pri komp. C VC=0,60 €.
• Cena in vgradnja ene kovice stane: • pri komp. A KA=0,60 €, • pri komp. B KB=0,80 € in • pri komp. C KC=1,0 €.
• �
44
Osnovni izrazi in značilni primeriPrimer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Besedilna opredelitev:•
• Zmogljivost delavnice je:• največ NV=6000 vgrajenih vijakov in hkrati
• največ NK=8000 vgrajenih kovic na dan.
Koliko komponent naj bo vijačenih in koliko kovičenih, da so stroški najmanjši?
23
45
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Matematična opredelitev:
Konstrukcijske spremenljivke:x1 število vijačenih komponent A na danx2 število kovičenih komponent A na danx3 število vijačenih komponent B na danx4 število kovičenih komponent B na danx5 število vijačenih komponent C na danx6 število kovičenih komponent C na dan
46
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Matematična opredelitev:
Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan):
(Št. potrebnih vijakov ali kovic za A, B, C: 5, 6, 3)
Omejitve glede na dnevno potrebo po komponentah:
Vi ... cena za vijakeKi ... cena za koviceN ... št. izdelkov na danZi ... št. komp./izdelek
24
47
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Matematična opredelitev:
Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje:... največ vgrajenih vijakov/dan... največ vgrajenih kovic/dan
(Št. potrebnih vijakov ali kovic za A, B, C: 5, 6, 3)
Vse konstrukcijske spremenljivke morajo biti nenegativne (torej pozitivne ali enake nič):
48
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave -
- pristop z drugega zornega kota:
Pojavi se estetska omejitev, da kupce motijo mešane vijačene in kovičene komponente v istem izdelku. �
� Nova zahteva, da so komponente samo kovičene ali samo vijačene. V takem primeru zadostujeta samo dve KS:
x1 število izdelkov na dan z vijačenimi komponentami;x2 število izdelkov na dan s kovičenimi komponentami.
25
49
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan):
Enakostna omejitev:
Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje:
Vi ... cena za vijakeN ... št. izdelkov na danZi ... št. komp./izdelek
(Št. potrebnih vijakov ali kovic za A, B, C: 5, 6, 3)
50
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
oziroma:
in
Obe konstrukcijski spremenljivki morata biti nenegativni:
kar drži.Kaj pa enakostna omejitev?
26
51
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Kaj pa enakostna omejitev (pogoj)?
52,17 + 69,57 = 121,74 ≠ 100
Enakostno omejitev ni izpolnjena, zato dobljena rešitev ne leži v dovoljenem območju.
Enakostno omejitev se uporabi za iskanje drugih kandidatnih točk za optimum: za izračun pripadajoče druge konstrukcijske spremenljivke ob znani (zaokroženi navzdol) prvi:
2 = 52 → 2� = 48
2� = 69 → 2 = 31
52
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Optimum je na eni od mej ali pa imamo lahko izjemoma isto rešitev povsod v intervalu:
Optimum je na gornji meji vijačenih izdelkov:
2 � 52 3 52,17;2� � 48 3 69,57.
27
53
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Besedilna opredelitev:
Dimenzionirati je potrebno steber višine h iz krožne valjaste cevi polmerov rn in rz, ki je v tla vpet momentno skoraj popolnoma togo, in obremenjen s tlačno silo F na vrhu stebra.
Kriterij je najmanjšo porabo gradiva. Gradivo ima dopustno napetost sdop in gostoto r.
54
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Opombe:• uklonska dolžina za momentno popolnoma togo (konzolno)
vpetje bi bila: 45 � 24;• uklonska dolžina za obravnavani primer je: 45 = 2,24;• kadar se za dimenzioniranje uporabi neposredno Eulerjev
obrazec* in se pričakuje relativna vitkost več kot 1, mora biti faktor varnosti najmanj 2,5 (Krautov strojniški priročnik)
67 ≥ 2,5,zato se pri optimiranju uporabi npr.:
67 = 2,5.
* ... kontrolo je potrebno izvesti po enačbah iz veljavnih hEN.
28
55
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Matematična opredelitev:
Konstrukcijski spremenljivki: - notranji (rn) in zunanji (rz) polmer cevi.
Pomembni statični vrednosti sta:
- prerez cevi:
- upogibni vztrajnostni moment:
56
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Cenilna funkcija: masa cevi, Brez upoštevanja gradiva za vpetišče se CF zapiše:
Neenakostne omejitve:- geometrijska zahteva:
- kriterij za čisto tlačno trdnost:
- ...
29
57
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Neenakostne omejitve:- ...
- kriterij zauklonsko trdnost:
- kriterij za lokalno izbočitveno trdnost:
Enakostnih pogojev v tem primeru ni.