Post on 16-Oct-2021
Optikai leképezés visszaverődés és törés útján
Síktükör képalkotásaAz optikai kép. Pontszerű tárgy képe
• P pontszerű tárgyból kiinduló tetszőleges fénysugár a visszaverődés után úgy hagyja el a tükröt, mintha a P’ pontból indult volna ki.
• Ha egy adott P pontból kiinduló fénysugarak – visszaverődések és/vagy törések után – az optikai eszközt úgy hagyják el, hogy a sugarak vagy azok meghosszabbításai egy adott P’ ponton mennek keresztül, akkor azt mondjuk, hogy az optikai eszköz képet alkot, és a P’ pontot a P pont képének nevezzük.
valóditárgy
valódikép
optikai rendszer
látszólagos képvalóditárgy
A kép típusai
• valódi
• látszólagos(virtuális)
• A síktükör valódi tárgyról virtuális képet állít elő.
• A képtávolság egyenlő tárgytávolsággal.
Virtuális tárgy
• Tekintsünk egy a tükörre eső, a P’ ponton átmenő fénysugarakból álló összetartó(konvergens) fénynyalábot.
• A fénysugarak megfordíthatóságából rögtön következik, hogy a tükröt egy a P ponton átmenő összetartó fénynyaláb hagyja el.
• Vagyis a P’ pont felé tartó összes sugár az optikai eszköz után a P ponton megy keresztül, így joggal mondhatjuk, hogy a P pont a P’ látszólagos (virtuális) tárgy képe.
• A síktükör virtuális tárgyról valódi képet alkot.
• Virtuális tárgyról persze egy optikai eszköz alkothat virtuális képet is!
• A virtuális tárgy az egymás utáni képalkotások leírásánál nagyon hasznos segéd eszköz.
látszólagos tárgy valódikép
látszólagos tárgy
látszólagos kép
• A későbbi leképezési egyenleteknél virtuális tárgyra a tárgytávolság negatív ( t < 0 ).
Kiterjedt tárgy képe
• A kiterjedt tárgy pontszerű tárgyak összességének tekinthetjük.
• Ezekre külön-külön alkalmazhatjuk az előzőekben megállapított szabályokat.
Ezek alapján a képalkotás sajátosságai:
• A képtávolság egyenlő tárgytávolsággal.
• A kép egyenes állású és a tárggyal azonos nagyságú.
• Valódi tárgy képe virtuális, és virtuális tárgy képe valódi.
• A bal és jobb kéz egymás tükörképei.
Síktükör alkalmazásai• Periszkóp
• Skála tükör• Forgó tükör
?21 =∠ ss
=α+α−ϕ+α+ϕ+α )()()( ϕ2=∠ 21 ss
• Reflexiós goniométer
α−°=ϕ 180
• Ugyanez az eszköz használható a törésmutató mérésére a minimális deviációszögének és a prizma törőszögének mérésével!
• Ugyancsak használható a színkép tanulmányozására (prizmás spektroszkóp)!
• Szögtükör
P
P2
P1
P3
314
2
1 33
4
2
4
δ=ε+γ
°=γ+α 1802
°=ε+β 1802
°=δ+β+α 36022
°=ϕ+β+α 360222
°=ϕ+β+α 180
ϕ=δ 2
β
β αA
B
n1
n0
nβ
0°
n1║ n0
• Szextáns
β−δ=ε
ε+α=δ 22
β−δ+α=δ 222
β=α 2
ε
εε
δ
δ
Gömbtükrök képalkotása
homorú tükör domború tükör
O a tükröző gömbfelület görbületi középpontja
φ a tükör nyílásszöge
C tetőpont a tükör optikai középpontja
OC egyenes az optikai tengely (vagy főtengely)
O2φ
C O 2φ C
Homorú tükör fókusztávolsága
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.00.20.40.60.81.0
x
yx
= −−
21
1 2
y
2
rOB =
OF
OB=αcos
α⋅=
cos2
rOF
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−⋅=−=
cos
12
2
rOFrCF
22 )(1sin1cos rd−=α−=α
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−⋅==
2)(1
12
2 rd
rCFf
Paraxiális közelítés
• Az optikai tengelyhez közeli, a tengellyel kis szöget bezáró fénysugarakra, a paraxiális sugarakra korlátozzuk a vizsgálatot.
Paraxiális közelítésben2
rf = paraxiális fókusztávolság
Kísérleti szemléltetés: Hartl-féle koronggal.
OA = OC = r
O CF
α φ
ABd
(254,2. ábra)
αα
tárgy a főtengelyen a fókuszon kívül
Leképezés paraxiális közelítésben
t
CA=α
r
CA=β
k
CA=γ
2
rf =
ε+β=γ
ε+α=ββ=γ+α 2
r
CA
k
CA
t
CA2=+
fkt
111=+ Leképezési egyenlet (tükör egyenlet)
OP’A ∆ :
POA ∆ :
tárgy a főtengelyen afókuszon belül
t
CA=α
r
CA=β
k
CA
−=γ
2
rf =
ε+β=α
γ+α=ε2β=γ−α 2
r
CA
k
CA
t
CA2=
−−
fkt
111=+ Leképezési egyenlet (tüköregyenlet)
OPA ∆ :
P’AP ∆ :
Nem a főtengelyen lévő pont leképezés paraxiális közelítésben
• T és az O ponton keresztül berajzoljuk a melléktengelyt.
• T képét megszerkeszthetjük az előbb látott módon.
• Hasonlóan kapjuk a kicsiny τ körív κ képét.
• Paraxiális közelítésben a kicsiny körív helyettesíthető az optikai tengelyre merőleges kicsiny szakasszal.
• Paraxiális közelítésben az optikai tengelyre merőleges kicsiny szakasz képe az optikai tengelyre merőleges kicsiny szakasz.
• A tárgy- és a képtávolságra érvényes a leképezés egyenlet:
fkt
111=+
O CFK
τκ
T
OCFTárgy
1
1
2
2
3
3
4
4 Kép
Képszerkesztés nevezetes sugarakkal
O CF
Tárgy 1
1
22 3
34
4
Kép
tárgy a fókuszponton kívül
tárgy a fókuszponton belül
CPQ és CP’Q’háromszögek hasonlók
Nagyítás:
Nagyítás és a leképezési egyenlet Newton-féle alakja
• N > 0, ha kép egyenes állású,
• N < 0, ha kép fordított állású.
tk
N −=
Fókuszon belüli, valamint virtuális tárgy esetén ugyanezek az összefüggések érvényesek.
1 1 1
t k f+ =
PQQPN ''=
yyN '=
y
'y−
k
y
t
y '−=
t
k
y
y−=
'
fkt
111=+ 1−==−
f
k
t
kN
f
x
f
fk '=
−=
f
xN
'−=
11
−==−f
t
k
t
N f
x
f
ft=
−=
x
fN −=
x
f
f
x=
'
2' fxx =⋅ Newton-féle leképezési egyenlet
Az optikai tengely közelében haladó (d/r < 0.1) párhuzamos sugarak jó közelítéssel egy pontban metszik egymást.
Domború tükör fókuszpontja
2
rOB =
OFOB=αcosα⋅
=cos2
rOF
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−⋅=−==−
cos
12
2
rOFrCFf
22 )(1sin1cos rd−=α−=α
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−⋅−=−=
2)(1
12
2 rd
rCFf
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.00.20.40.60.81.0
x
yx
= −−
21
1 2
y
Paraxiális közelítésben 2rf −= paraxiális fókusztávolság
Az optikai tengellyel párhuzamosan beeső (paraxiális) sugarak úgy verődnek vissza, mintha az F (paraxiális) fókuszpontból indultak volna ki,
Azaz a tükröt széttartó nyaláb hagyja el! Ekkor fókuszpontot virtuálisnak nevezzük. Virtuális fókuszpont esetén – a számolások miatt – célszerű a fókusztávolságot negatívnak tekinteni.
Képszerkesztés nevezetes sugarakkal
254,9. ábra
CPQ és CP’Q’háromszögek hasonlók
Nagyítás és leképezési egyenlet
OC F
Tárgy 11
22
3 34
4
Kép
x
f
f
x
t
kN −=−=−=
'
fkt
111=+
2' fxx =⋅
Optikai leképezés gömb- és síkfelületen való törés útján
Paraxiális közelítés
ϕ+ε=α '' α+ε=ϕ
'sin'sin α=α nn
ϕ+ε=α nnn
,sin α≈α 1cos ≈α
''α=α nn
th=ε
kh=ε'
rh=ϕ
''''' ε−ϕ=α nnn ''' ε−ϕ=ϕ+ε nnnn ϕ−=ε+ε )'('' nnnnrh
nnkh
nth
n )'(' −=+
rnn
kn
tn −
=+''
P pontból kiinduló összes (paraxiális) sugár a törés után P’ ponton halad keresztül!
Leképezési egyenlet:
AOP’ ∆PAO ∆
255,1. ábra
Síkfelület esetén r = ∞, így ekkor a leképezési egyenlet sík törőfelületre: 0'=+
kn
tn
rnn
D−
='
Törőerősség:
• Ha a tárgy felől nézve a felület domború, akkor r > 0.• Ha a tárgy felől nézve a felület homorú, akkor r < 0.• Valódi tárgy esetén t > 0, virtuális tárgy esetén t < 0.• Valódi kép esetén k > 0, virtuális kép esetén k < 0.
Előjel megállapodás a leképezési egyenlet alkalmazásánál (szemléletes rendszer)
Lehetséges esetek valódi tárgy esetén
O C– r
t– k
n > n’
PP’
255,2. ábra (a tankönyvben hibás a d rész!
Tárgyoldali (elülső) fókuszpont
• A képoldalról beeső, az optikai tengellyel párhuzamos sugarak vagy azok meghosz-szabbításai az F tárgyoldali fókuszponton mennek keresztül.
Képoldali (hátsó) fókuszpont
• A tárgyoldalról beeső, az optikai tengellyel párhuzamos sugarak vagy azok meghosz-szabbításai az F’ képoldali fókuszponton mennek keresztül.
rnn
fn −=
'''
∞=t
rnn
nf
−=
''
'r
nnfn −=
'r
nnn
f−
='
rff =−'
Fókuszpontok és fókusztávolságok
F’
'fk =
'fk −=−
F’
∞=k
ft =
F
ft −=−
F
rnn
kn
tn −
=+''
Képszerkesztés „nevezetes” sugarakkal
Newton-féle leképezési egyenlet
'' ffxx ⋅=⋅ftx −=
'' fkx −=
tf
tx
−=1
kf
kx '
1'
−= kf
tf
kf
tf
kx
tx ''
1'
⋅+−−=⋅
= 0
tnkn
fx
xf
N''
'−=−=−=
rnn
kn
tn −
=+''Leképezési egyenlet 1'
'' =−+−
k
rnn
n
t
rnn
n
1'=+
kf
tf
Oldalnagyítás
yy
N'
=PQF ∆ és BCF ∆
P’Q’F’ ∆ és ACF’ ∆ ky
nty
n'
'−
=
QCQ’ fénysugár
y
–y’
n n’(255,3. ábra)
C O
fn
n nr
fn
n nr
f f r=
−
′ =′−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
′ − ='
'
f f ’
fr
F F’P
Q1
1
A
2
2B
33
P’
Q’
t k
x x’
O C|r|
t
n = 1,33n’ = 1r = – 8 cm
Kísérleti szemléltetés
Értelmezés
Egyenes állású nagyított képet látunk
F’
f
fn
n nr=
-=
',32 24 cm f
nn n
r''
',=
-= 24 24 cm
F
f’
nt nk
nL
Gömbi lencsék. Vékonylencsék képalkotása
t
K1T K2
O2 O1
R1
R2
optikai tengely
k2 k1
A lencse elülső felületének képalkotása
111 Rnn
kn
tn tLLt −
=+
tt =111 Rnn
kn
tn tLLt −
=+
A lencse hátsó felületének képalkotása
222 Rnn
kn
tn LkkL
−−
=+
12 kt −=
2kk =21 Rnn
kn
kn kLkL −
=+−
2121
DDR
nn
R
nn
k
n
t
n kLtLkt +=−
+−
=+
Az elülső felület a K1 képet alkotná, amely a hátsó felület jelenléte miatt valójában nem jön létre. A K1 kép a hátsó felület képalkotásánál virtuális tárgy. Ennek a képe a végső kép.
T2K
= k= t1
A vékony lencsék gyújtópontjai és gyújtótávolságai
F’
f ’
nt nk
nL
tárgyoldali (elülső)
képoldali (hátsó)
F
f
nt nk
nL
∞=t
'fk =
2121
DDR
nn
R
nn
k
n
t
n kLtLkt +=−
+−
=+
21'DD
f
nk +=21
'DD
nf k
+=
ft =
∞=k
21 DDf
nt +=21 DD
nf t
+=
'f
n
f
n kt =
21 DDk
n
t
n kt +=+ 12121 =+++k
DD
n
tDD
n kt
1'=+
k
f
t
f
Mind a kép-, mind a tárgyoldali fókuszpontok lehetnek virtuálisak is!
Leképezési egyenlet
'f
n
f
n kt = kt nn = így ekkor 'ff =
=+
=tn
DD
f211 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
21
11
RRn
nn
t
tL⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅−
21
11)1(
RRn ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅−=
21
11)1(
1
RRn
f
1=+k
f
t
f
fkt
111=+
t
L
n
nn =ahol
lencseegyenlet
Sokszor
Lencse típusok
R1 –+ ∞ +
R2 + + +
–
– – –
∞
f > 0 f < 0
f < 0 f > 0
Képszerkesztés nevezetes sugármenetekkel, lencseegyenlet
Nevezetes sugármenetek ( f = f’ esetén )
gyűjtő lencse
fősíktárgy oldalifókuszsík
F
F’
f’f
kép oldalifókuszsík
−f’ −f
F’
szóró lencse
F
tárgy oldalifókuszsík
kép oldalifókuszsík
fősík
Képszerkesztés nevezetes sugármenetekkel ( f = f’ esetén )
1'=+
k
f
t
f
'' ffxx ⋅=⋅
'
'
f
x
x
fN −=−=
tn
knN
⋅⋅
−=' f
x
x
f
t
kN
fktfxx
',
111,' 2 −=−=−==+=⋅f = f’ esetén:
FősíkTárgyoldalifókuszsík
Képoldalifókuszsík
f 'f
FF '
TárgyKép
t k
x x’
y
–y′
Képszerkesztés nevezetes sugármenetekkel ( f = f’ esetén )
1'=+
k
f
t
f
'' ffxx ⋅=⋅
'
'
f
x
x
fN −=−=
tn
knN
⋅⋅
−=' f
x
x
f
t
kN
fktfxx
',
111,' 2 −=−=−==+=⋅f = f’ esetén:
FősíkKépoldalifókuszsík
Tárgyoldalifókuszsík
FF'
– f '
Tárgy Kép
t – kx
x’
– f
Nem főtengelyen lévő, végtelen távoli pont képe
f f’
FF’
P’ff’
F’F
P’
Fókuszsíkbeli pont képe
f f’
F F’
Pff’
F’F
P
• az előző sugármenetek megfordítása
T Kt k
L1
L
L2
D
nt nk
nL
R1 R2
h1 h2 h3 h4
kLtTK c
kLcL
cLt
t+
+++
= 21
tt ccn 0=
LL ccn 0=
kk ccn 0=
)()( 210 kLnLnLtntc kLtTK ++++==∆
Képalkotás esetén
• T-ből kiinduló sugarak K-n mennek keresztül, azaz
• mindegyik sugár mentén terjed a fény!
• A Fermat elve miatt az összes sugárra azonosnak kell lenni az optikai úthossznak,
mert ha nem így lenne, akkor csak azon sugár mentén terjedne a fény, amelyen a legrövidebb az optikai úthossz (és így a terjedési idő).
A tengely menti sugárra L1 = 0, L = D és L2 = 0, ezért knDntn kLt ++=∆
)()( 21 kLnLnLtnknDntn kLtkLt ++++=++ 21)( LnLnLDn ktL +=−
Leképezési egyenlet tárgyalása Fermat elve alapján
optikai úthossz
=−= lRd =−− 22 hRR
=−−= 2)(1 RhRR
( )2)(11 RhR −−⋅=y xx
( ) = −12
2
y x x( ) = −1 2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.8
0.9
1.0
x
y
Paraxiális közelítés
211
22 x
x −≈−
Rh
d2
2
≈
paraxiális közelítésben
A
B CO
R
l
h
d
Dα
α
DBA és ABC derékszögű háromszögek hasonlók
h
d
dR
h=
−2ddRh ⋅−= )2(2
R
hd
2
2
≈
2R » d
Analitikus számolással:
vékony lencsékre
4321 hhhh === h=L1
L
L2
D
R1R2
h h h h
paraxiális közelítés
1
22
1 22 Rh
th
L +=
kh
Rh
L22
2
2
2
2 +=
2
2
1
2
22 R
h
R
hDL −−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1
2 11
2 Rt
h
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2
2 11
2 Rk
h
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
21
2 11
2 RR
hD
21)( LnLnLDn ktL +=− ktL nRk
hn
Rt
hn
RR
h⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
2
2
1
2
21
2 11
2
11
2
11
2
21 R
nn
R
nn
k
n
t
n kLtLkt −+
−=+