Post on 14-Mar-2022
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Operaciokutatas I.2019/2020-2.
Szegedi TudomanyegyetemInformatikai Intezet
Szamıtogepes Optimalizalas Tanszek
7. Eloadas
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Arazasi interpretacio
Tekintsuk ujra az eroforras allokacios problemat (katona es vonatgyartasa, fa es festek kell)
Max z = 3x1 + 2x2 [profit]
x1 + x2 ≤ 80 [fa]2x1 + x2 ≤ 100 [festek]
x1, x2 ≥ 0
Legyen egy egyseg fa piaci ara y1 ($), egy egyseg festek ara y2 ($).
Mit tehet a gyarto?
Eladhatja az eroforrasait (fa, festek) piaci aron
Vehet tovabbi fat es festeket
Gyart a rendelkezesre allo eroforrasokbol es eladja a jatekokat
Mi a legjobb strategia (felteve, hogy mindent tenyleg el tud adni)?
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Arazasi interpretacio
Ha eladja a keszletet 80y1 + 100y2 profitra tesz szert
Ha egy katona (piaci) eloallıtasi ara kisebb, mint az eladasi ara,azaz
y1 + 2y2 < 3($)
akkor a gyarto korlatlan hasznot el tud erni. Miert?
1 db katona gyartasi koltsege y1 + 2y2 =⇒ x1 db katona eseten:(y1 + 2y2)x1 a koltseg
Mivel y1 + 2y2 < 3, legyen pl. y1 + 2y2 = 2.9$ (koltseg), az eladasi arpedig 3$
=⇒ 1db katona eseten a profit 0.1$ =⇒ x1 db katona eseten: 0.1x1$(ami tetszolegesen nagy lehet)
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Arazasi interpretacio
Hasonloan megy a dolog a vonatokra is : Ha egy vonat (piaci)eloallıtasi ara kisebb, mint az eladasi ara, azaz
y1 + y2 < 2($)
akkor a gyarto korlatlan hasznot el tud erni.
De hogyan mukodik a piac?
A piac (hosszu tavon) nem engedi, hogy a gyarto korlatlan haszonrategyen szert. Ellenkezoleg, ugy
”allıtja be” az arakat, hogy a gyarto a
leheto legkisebb profitot realizalja.
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Arazasi interpretacio : a piac ar kepzese
A piac a kovetkezo optimalizalasi feladatot”oldja meg”:
Min 80y1 + 100y2
y1 + 2y2 ≥ 3 [katonak]y1 + y2 ≥ 2 [vonatok]
y1, y2 ≥ 0
Ezt hıvjuk az eredeti feladat dualisanak
Az eredeti feladatot (ez alapjan) primal feladatnak hıvjuk.
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Primal-dual feladatpar
A primal feladat:
Max z = 3x1 + 2x2
x1 + x2 ≤ 802x1 + x2 ≤ 100
x1, x2 ≥ 0
A dual feladat:
Min w = 80y1 + 100y2
y1 + 2y2 ≥ 3y1 + y2 ≥ 2
y1, y2 ≥ 0
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Primal-dual feladatpar
A primal-dual feladatpar altalanosan:
n∑j=1
aijxj ≤ bi i = 1,2, . . .m
Primal feladat xj ≥ 0 j = 1,2, . . . n
max
n∑i=1
cixi = z
m∑i=1
aijyi ≥ cj j = 1,2, . . . n
Dual feladat yi ≥ 0 i = 1,2, . . .m
min
m∑i=1
biyi = w
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Primal-dual feladatpar
Spec eset: Primal LP 2 valtozoval es 3 feltetellel
Max z = c1x1 + c2x2
a11x1 + a12x2 ≤ b1a21x1 + a22x2 ≤ b2a31x1 + a32x2 ≤ b3
x1, x2 ≥ 0
DualisMin w = b1y1 + b2y2 + b3y3
a11y1 + a21y2 + a31y3 ≥ c1a12y1 + a22y2 + a32y3 ≥ c2
y1, y2, y3 ≥ 0
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Primal-dual feladatpar
A primal-dual feladatpar altalanosan, matrix formaban:
A primal feladat:Max cTx = z
Ax ≤ bx ≥ 0
A dual feladat:Min bT y = w
AT y ≥ cy ≥ 0
A dual a (standard alaku) primabol egyszeruen megkaphato
transzponaljuk A matrixot
”csereljuk fel” b es c vektorok szerepet
csereljuk az egyenlotlensegeket ≥-ra
Max helyett Min feladatot ırunk fel
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Primal-dual feladatpar
Allıtas. A dual feladat dualisa az eredeti primal feladat.
Bizonyıtas. Atırva a dualis feladatot maximalizalasi standard alakram∑i=1
(−aij)yi ≤ −cj j = 1,2, . . . n
Dual feladat yi ≥ 0 i = 1,2, . . .m
maxm∑i=1
(−bi)yi = w
n∑j=1
(−aij)xj ≥ −bi i = 1,2, . . .m
Dual dualisa xj ≥ 0 j = 1,2, . . . n
min
n∑j=1
−(cj)xj = z
ami ekvivalens a primal feladattal.
�
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Gazdasagi ertelmezes
Tegyuk fel, hogy az LP feladatunk egy korlatozott eroforrasok mellettmaximalis nyereseget celzo gyartasi folyamat modellje (ld. katona-vonatmintapelda):
m – eroforrasok szama
n – gyartott termekek szama
xj – j termekbol gyartott mennyiseg
aij – j termek egysegnyi mennyisegenek eloallıtasahoz szuksegesmennyiseg a i eroforrasbol
bi – az i eroforrasbol rendelkezesre allo mennyiseg
cj – a j termek egysegnyi eloallıtasaval (majd eladasaval) keletkezohaszon
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Gazdasagi ertelmezes
A dual feladat megoldasaban y∗i a primal (eredeti) feladat i eroforrasahoztartozo un. marginalis ar, vagy mas neven arnyek ar.
Az eroforras erteke az LP megoldojanak szemszogebol
Az i eroforras mennyisegenek egy egysegnyi novelesevel (bizonyoshatarokon belul) eppen y∗i -gal no a nyereseg (azaz a celfuggvenyerteke)
Viszont ha”tul sok” van egy eroforrasbol, az nem erhet sokat1
Tovabba y∗i -nal tobbet mar nem erdemes fizetni az i eroforrasert, mıgkisebbet igen
1 ld. kesobb komplementaris lazasag resz
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Primal-dual feladatpar
A primal feladat egy peldan
Max z = 3x1 + 2x2
x1 + x2 ≤ 802x1 + x2 ≤ 100x1 − 3x2 ≤ 60
x1, x2 ≥ 0
A dual feladat:
Min w = 80y1 + 100y2 + 60y3
y1 + 2y2 + y3 ≥ 3y1 + y2 − 3y3 ≥ 2
y1, y2, y3 ≥ 0
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Gyenge dualitas tetel
Tetel. (Gyenge dualitas) Ha x = (x1, . . . , xn) lehetseges megoldasa aprimal feladatnak es y = (y1, . . . , ym) lehetseges megoldasa a dualfeladatnak, akkor cTx ≤ bT y, azaz
n∑j=1
cjxj ≤m∑i=1
biyi.
Vagyis a dualis feladat barmely lehetseges megoldasa felso korlatot ad aprimal barmely lehetseges megoldasara (azaz az optimalis megoldasra is).
Bizonyıtas. Egyszeru helyettesıtes becslessel :
n∑j=1
cjxj ≤n∑
j=1
(m∑i=1
yiaij
)xj =
m∑i=1
n∑j=1
xjaij
yi ≤m∑i=1
biyi,
vagy matrixosan:
cTx ≤ (AT y)Tx = (yTA)x = yT (Ax) ≤ yT b = bT y
�
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Gyenge dualitas
Latjuk, hogy a korlatossag es a megoldhatosag nem fuggetlenekegymastol
Ha a primal nem korlatos, akkor a dualnak nincs lehetseges megoldasa
Hasonloan, ha a dual nem korlatos, akkor a primalnak nincslehetseges megoldasa
Lehetseges, hogy egyiknek sincs lehetseges megoldasa
De ha mindkettonek van, akkor mindketto korlatos
Tovabba a primal es a dual feladat egyideju optimalitasa ellenorizheto
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Eros dualitas tetel
Tetel. (Eros dualitas) Ha x∗ = (x1, . . . , xn) egy optimalis megoldasa aprimal feladatnak es y∗ = (y1, . . . , ym) optimalis megoldasa a dualfeladatnak, akkor cTx∗ = bT y∗, azaz
n∑j=1
cjxj =
m∑i=1
biyi.
Tovabba az is igaz, hogy
y∗T (b−Ax∗) = 0 es x∗T (AT y∗ − c) = 0.
Egyszeruen: ha valamely i-edik feltetel egyenlet nem eles (azaz nincsegyenloseg) a primal optimumban, akkor a kapcsolodo dual yi valtozo 0kell legyen. Visszafele, ha egy primal xi valtozo szigoruan pozitıv, akkor akapcsolodo dualis feltetel egyenlet eles (=) kell legyen. Eztkomplementaris lazasagnak hıvjuk.
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Eros dualitas es komplementaris lazasag
Primal LPMax z = c1x1 + c2x2
a11x1 + a12x2 ≤ b1a21x1 + a22x2 ≤ b2a31x1 + a32x2 ≤ b3
x1, x2 ≥ 0
DualisMin w = b1y1 + b2y2 + b3y3
a11y1 + a21y2 + a31y3 ≥ c1a12y1 + a22y2 + a32y3 ≥ c2
y1, y2, y3 ≥ 0
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Eros dualitas es komplementaris lazasag
Ha x∗ = (x1, x2) a primal es y∗ = (y1, y2, y3) a dual optimalis megoldasa,akkor
z∗ = c1x1 + c2x2 = b1y1 + b2y2 + b3y3 = w∗
tovabbay1(b1 − a11x1 − a12x2) = 0
y2(b2 − a21x1 − a22x2) = 0
y3(b3 − a31x1 − a32x2) = 0
esx1(a11y1 + a21y2 + a31y3 − c1) = 0
x2(a12y1 + a22y2 + a23y3 − c2) = 0
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Eros dualitas tetel
A masodik resz bizonyıtasa :
0 ≤ yT (b−Ax) = yT b− yTAx = bT y − (AT y)Tx ≤ bT y − cTx = 0,
illetve
0 ≤ xT (AT y−c) = (yTA−cT )x = yT (Ax)−cTx ≤ yT b−cTx = bT y−cTx = 0.
�
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Eros dualitas tetel
Az elso resz bizonyıtas vazlata peldan keresztul :
Pelda. Adott a kovetkezo primal feladat:
x1 − x2 − x3 + 3x4 ≤ 15x1 + x2 + 3x3 + 8x4 ≤ 55−x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 ≤ 3x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
max 4x1 + x2 + 5x3 + 3x4 = z
A feladat megoldasanak utolso szotara
x4 = 5 − x1 − x3 − x5 − x7x6 = 1 + 5x1 + 9x3 + 21x5 + 11x7x2 = 14 − 2x1 − 4x3 − 5x5 − 3x7z = 29 − 2x1 − 2x3 − 11x5 − 6x7
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
A dualis feladat:
y1 + 5y2 − y3 ≥ 4−y1 + y2 + 2y3 ≥ 1−y1 + 3y2 + 3y3 ≥ 53y1 + 8y2 − 5y3 ≥ 3y1 , y2 , y3 ≥ 0
min y1 + 55y2 + 3y3 = w
A dualis egy optimalis megoldasa: y∗ = (11, 0, 6)
A primal feladat utolso szotaraban a mesterseges valtozok celfuggvenyegyutthatoi : c5 = −11, c6 = 0, c7 = −6 (Mit veszunk eszre? )
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Eros dualitas tetel
A gyenge dualitasi tetel miatt eleg, ha talalunk egy olyan (y∗1, y∗2, y
∗3)
dual lehetseges megoldast, amelyre∑4
j=1 cjx∗j =
∑3i=1 biy
∗i
Az eredeti feladat utolso szotarabol kiolvashato a dualis feladatmegoldasa. A peldaban
x4 = 5 − x1 − x3 − x5 − x7x6 = 1 + 5x1 + 9x3 + 21x5 + 11x7x2 = 14 − 2x1 − 4x3 − 5x5 − 3x7z = 29 − 2x1 − 2x3 −11x5 +0x6 −6x7
A dualis valtozok az eredeti feladat mesterseges valtozoihozrendelhetok:
x5 ←→ y1, x6 ←→ y2, x7 ←→ y3 ⇒ y1 = 11, y2 = 0, y3 = 6
Az altalanos esetben az utolso szotarhoz erve kell szamolassal azoptimumok egyenloseget.
�
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Dualitasi tetelbol adodo lehetosegek
A dualitas fogalma rendkıvul hasznos, mert rugalmas hozzaallast tesztlehetove az LP feladatok megoldasanal.
1 A szimplex algoritmus iteracioszama kozelıtoleg a sorok szamavalaranyos −→ sok feltetel, keves valtozo eseten erdemes atterni adualisra
2 Ha az elso esetben szukseg van 2 fazisra, mıg a dualisnal nincs,erdemes atterni
3 Ha menet kozben kell uj felteteleket hozzavenni az LP-hez −→ a dualfeladattal dolgozva az uj feltetel csak egy uj, nembazis valtozokentjelenik meg → hozzavesszuk az aktualis szotarhoz, es folytatjuk afeladatmegoldast
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Altalanos LP feladat
Mi a helyzet akkor, ha az LP feladatunk tartalmaz egyenlosegetvagy nem korlatozott valtozot (ami felvehet negatıv erteket is)?
A jo hır, hogy ez kezelheto, ugyanis
az egyenloseg feltetel egy nem korlatozott (dual) valtozohoztartozik
egy nem korlatozott valtozo eseten egy egyenloseg feltetel kell legyen(a dualban)
Miert? Peldaul tegyuk fel, hogy x1 + x2 = 80 [fa]
3x1 + 2x2 ≤ 5x1 + 2x2 = (−1) (x1 + x2)︸ ︷︷ ︸=80
+3 (2x1 + x2)︸ ︷︷ ︸≤100
≤
≤ −80 + 3× 100 = 220$
Azaz y1 nem korlatozott (itt −1).
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Altalanos LP feladat
Visszafele, tfh. x1-nek nincs elojelre vonatkozo korlatozasa
Ekkor peldaul3x1 + 2x2 ≤ 4x1 + 2x2
nem igaz (pl. ha x1 = −1 ; x2 ≥ 0 tovabbra is all)
altalanosan 3x1 ≤ (y1 + 2y2)x1 [∗], vagyis y1 + 2y2 erteket beallıtva amaximalis 3 ertekre negatıv x1 eseten is igaz marad a [∗] felso becsles.
Hasonloan igaz, hogy
egy primal”≥” feltetel egy nem-pozitıv dual valtozohoz tartozik
nem-pozitıv primal valtozohoz egy”≥” dual feltetel tartozik
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Altalanos LP feladat
Osszegezve:
Primal (Max) Dual (Min)
i-edik feltetel ≤ yi ≥ 0i-edik feltetel ≥ yi ≤ 0i-edik feltetel = yi nem korlatozott
xi ≤ 0 i-edik feltetel ≤xi ≥ 0 i-edik feltetel ≥
xi nem korlatozott i-edik feltetel =
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Altalanos LP feladat
Pelda.Primal
Max z = 3x1 + 2x2 + x3x1 + x2 + 0.5x3 ≤ 80
2x1 + x2 + x3 = 100x1 + x3 ≥ 40
x1 nem korlatozottx2 ≤ 0x3 ≥ 0
Dual
Min w = 80y1 + 100y2 + 40y3y1 + 2y2 + y3 = 3y1 + y2 ≤ 2
0.5y1 + y2 + y3 ≥ 1y1 ≥ 0y2 nem korlatozotty3 ≤ 0
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
LP feladatok megoldhatosaga
Inkonzisztencia: egyenletek es egyenlotlensegek egy m elemu
n∑j=1
aijxj ≤ bi i ∈ I
n∑j=1
aijxj = bi i ∈ E
rendszere inkonzisztens, ha leteznek olyan y1, y2, . . . , ym valos szamok,amelyekre teljesul, hogy
m∑i=1
aijyi = 0 j = 1, 2, . . . , n
m∑i=1
biyi < 0
yi ≥ 0 i ∈ I
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
LP feladatok megoldhatosaga
Tucker lehetetlensegi tetele egyenlet es egyenlotlenseg rendszerekre.Egyenletek es egyenlotlensegek egy rendszere akkor es csak akkormegoldhatatlan, ha inkonzisztens
Nem bizonyıtjuk
A tetel bizonyıthato a linearis programozas alaptetelenek es az erosdualitas tetelenek altalanos LP feladatokra vonatkozo formajaratamaszkodva
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Komplementaris lazasag
Ha a primal-dual feladatpar
Max cTxAx ≤ bx ≥ 0
Min bT yAT y ≤ c
y ≥ 0
akkor azt mondjuk, hogy x = (x1, . . . , xn) es y = (y1, . . . , ym)komplementarisak, ha
yT (b−Ax) = 0 es xT (AT y − c) = 0.
Vagyis
ha yi > 0, akkor x-et az i-edik egyenletbe helyettesıtve =-et kapunk(”a feltetel eles”)
ha xi > 0, akkor y-t a dualis feladat i-edik egyenletebe helyettesıtveaz = teljesul
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Komplementaris lazasag
A primal feladat:
Max z = c1x1 + c2x2 + c3x3
a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1a21x1 + a22x2 + a23x3 ≤ b2
x1 x2 x3 ≥ 0
A dualis :Min w = b1y1 + b2y2
a11y1 + a21y2 ≥ c1a12y1 + a22y2 ≥ c2a13y1 + a23y2 ≥ c3
y1 y2 ≥ 0
Komplementaris lazasag :
yi(bi − ai1x1 − ai2x2 − ai3x3) = 0 (i = 1,2)
xi(a1jy1 + a2jy2 − cj) = 0 (j = 1,2,3)
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Komplementaris lazasag tetel
Az eros dualitas tetelnel tobb is tudunk mondani :
Tetel. (Komplementaris lazasag) Tegyuk fel, hogy x a primal feladatoptimalis megoldasa. Ekkor
Ha y a dual optimalis megoldasa, akkor x es y komplementaris
Ha y lehetseges megoldasa a dualisnak es komplementaris x-szel,akkor y optimalis megoldasa a dualnak
Letezik olyan lehetseges y megoldasa a dualnak, hogy x es ykomplementaris.
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Komplementaris lazasag
Tekintsuk a kovetkezo feladatot:
Max z = 6x1 + x2 − x3 − x4x1 + 2x2 + x3 + x4 ≤ 5
3x1 + x2 − x3 ≤ 8x2 + x3 + x4 = 1
x1 nem korlatosx2, x3, x4 ≥ 0
Azt szeretnenk ellenorizni, hogy vajon a kovetkezok egyike optimalismegoldas-e:
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0
x1 = 3, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 0
Gondoljuk at, miert pont ezeket valasztottuk?
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Komplementaris lazasag: pelda
Annak ellenorzesehez, hogy a javasolt megoldasok valamelyik optimalis-e,kelleni fog a dualis feladat:
Max z = 6x1 + x2 − x3 − x4x1 + 2x2 + x3 + x4 ≤ 5
3x1 + x2 − x3 ≤ 8x2 + x3 + x4 = 1
x1 nem korlatosx2, x3, x4 ≥ 0
Dual :Min w = 5y1 + 8y2 + y3
y1 + 3y2 = 62y1 + y2 + y3 ≥ 1y1 − y2 + y3 ≥ −1y1 + y3 ≥ −1
y1, y2 ≥ 0y3 nem korlatos
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Komplementaris lazasag: pelda
Az elso javaslat : x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0 ; tegyuk fel, hogy ezoptimalis
Ekkor letezik y = (y1, y2, y3) lehetseges megoldasa a dualisnak amikomplementaris x-szel
Az elso primal feltetel : x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 + 2 + 0 + 0 = 4 < 5nem eles → y1 = 0 kell legyen a komplementaritas miatt
A masodik primal feltetel : 3x1 + x2 − x3 = 6 + 1− 0 = 7 < 8 nemeles → y2 = 0 kell legyen a komplementaritas miatt
Ezek alapjan az elso dual feltetel : y1 + 3y2 = 0 + 0 = 0 6= 6 → azaz(y1, y2, y3) nem lehetseges megoldasa a dualnak, de feltettuk, hogyaz ⇒ x nem optimalis megoldasa a primalnak
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Komplementaris lazasag: pelda
Az masodik javaslat : x1 = 3, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 0 ; tegyuk fel, hogy ezoptimalis
Ekkor letezik y = (y1, y2, y3) lehetseges megoldasa a dualisnak amikomplementaris x-szel
Az elso primal feltetel : x1 + 2x2 + x3 + x4 = 3 + 0 + 1 + 0 = 4 < 5nem eles → y1 = 0 kell legyen a komplementaritas miatt
A masodik primal feltetel : 3x1 + x2 − x3 = 9 + 0− 1 = 8 eles
A harmadik primal feltetel : x2 + x3 + x4 = 0 + 1 + 0 = 1 eles
Elojel feltetelek is teljesulnek (x1, x2, x3, x4 ≥ 0) ⇒ x lehetsegesmegoldasa a primalnak
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Komplemetaris lazasag: pelda
Nezzunk meg a x ertekeit a dualra vonatkozoan
x1 nem korlatos → elso dual feltetel y1 + 3y2 = 6 eles(szuksegszeruen)
x3 > 0 → a harmadik dual feltetelnek elesnek kell legyen:y1 − y2 + y3 = −1
Osszegezve az eddigieket:
y1 = 0y1 + 3y2 = 6y1 − y2 + y3 = −1
Ennek az egyertelmu megoldasa: y1 = 0, y2 = 2, y3 = 1. Akonstrukciobol adodoan ez komplementaris x-szel.
Az utolso lepes annak ellenorzese, hogy y lehetseges megoldasa-e adualnak. Igen ⇒ x optimalis megoldasa a primalnak.
Dualitas Dualitasi tetelek Altalanos LP feladat Komplementaris lazasag
Komplementaris lazasag: osszegzes
Osszefoglalva:
1 Adott x (javasolt primal megoldas), ellenorizzuk, hogy lehetseges-e
2 Nezzuk meg mely yi valtozoknak kell 0-nak lennie
3 Nezzuk meg mely dual felteteleknek kell elesnek lennie →egyenletrendszert kapunk
4 Oldjuk meg ezt a rendszert
5 Ellenorizzuk, hogy a kapott megoldas lehetseges megoldasa-e adualnak
Ha minden lepes sikeres volt, akkor az adott x optimalis, kulonben nem.
Kerdes : mi van akkor, ha x lehetseges, de nem bazismegoldas?