Post on 04-Dec-2015
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Profesor: Dr. Miguel Arias Albornoz
CAP 1. Introducción
CAP 2. Operación en régimen dinámico
CAP 4. Principios de Supervisión y Control
CURSO: Operación y Control de SEE
Programa del curso
CAP 3. Operación Económica de SEP
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Problema general de despacho económico:
Donde PL: Pérdidas en la transmisión del tipo RI2.
PL = f ( Pgi ; Abs(Vi) ; cos i ; etc. )
Obtención de la Matriz de Pérdidas
maxmin
22
1
··········
:.
min
iii
DLi
i
m
i
iT
PgPgPg
PPPgPgPg
as
PgCC
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Casos Particulares Caso A: Corrientes en fase:
Donde:
Luego:
y
Matriz de Pérdidas
22222112
2111
22
222
2
221
2121
221
122
1
21
2
22
22
22121
2122
11
21
21
2
coscoscos2
cos
cos33
coscos36
cos333
PBPPBPBP
PV
RPP
VV
RP
V
RRP
V
PR
VV
PPR
V
PRRP
L
L
L
2
22212212
211
2122
212
211
2212
211
363
233
33
IRIIRIRIRP
IIIIRIRP
IIRIRP
L
L
L
11
11
cos3
V
PI
22
22
cos3
V
PI
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Caso B: Corrientes con desfase:
como:
Pérdidas en (p.u.)
Sólo interesa el módulo
y Entonces:
212122
21
2
cos
21212122
222
212
122
1
2
22211
22211
cos2
coscos2coscos
coscos
21
IIIII
sensenIIsenIsenII
senIsenIIII
o
o
02222
21
2
212211
IIIIII
IIRIRP
o
L
111 VVo
222 VVo
111
11
cos
V
PI
222
22
cos
V
PI
221121 IIIIIooo
Matriz de Pérdidas
Casos Particulares
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Reemplazando:
Sustituyendo en la expresión de pérdidas:
22222112
2111
22
2222
2
221
222121
212
1122
1
2121
2
coscoscos
cos2
cos
PBPPBPBP
PV
RPP
VV
R
V
PRRP
L
L
22221212
2121
21212222
212
211
cos2
cos2
IRIIRIRR
IIRIRIRIRPL
Matriz de Pérdidas
Casos Particulares
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Fórmula de George:
RG: Nº de generadores en el sistema.
Fórmula de Kross:
O bien:
O bien:
G GGR
i
R
i
ii
R
j
jijiL BPBPBPP
1
00
1
0
1
G GR
i
R
j
jijiL PBPP
1 1
GT
GL PBPP
000 BBPPBPP TGG
TGL
Formulas de pérdidas
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
En un sistema de “r” ramas (corrientes conocidas):
Es necesario expresar estas fórmulas usando las variables de barras:
La caída de tensión en la rama “i” es:
Deducción de la Formula de George
n
I
i
o
i
n
i
o
iLL
o
L IVSjQPS
!
*
1
r
i
iiLL
o
L IVjQPS
1
*
i
o
ii IZV
r
i
i
o
iLL
o
L IZjQPS
1
2
r
i
iiL IXQ
1
2
r
i
iL IRP
1
21
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Tomando como referencia la barra 1:
Luego:
1VVR
n
i
inR IIIIII
2
321 ·······
Ri
n
i
i
o
L
n
i
ii
n
i
iR
n
i
ii
o
L
VVIS
IVIV
IVIVS
2
*
2
*
2
*
2
**11
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Empleando ZB:
La expresión para SL:
O bien:
(forma lineal)
(forma cuadrática)
nnnnn
n
Rn
R
R
I
I
I
ZZZ
ZZZ
VV
VV
VV
3
2
32
22322
3
2
VIVVIS tR
to
L **
IZIS to
L *
nnnnn
n
n
n
o
L
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
IIIS
3
2
32
33332
22322
**3
*2
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Las pérdidas de potencia activa son:
• La expresión depende del punto de operación del sistema (caso base), para
el cual se determinan los coeficientes Bij.
• Reduciendo el sistema (ecuación de corrientes) a las barras de generación,
se obtienen los elementos Bij.
• La expresión resultante es válida para el punto de operación.
Pero, para despacho económico:
IZIPt
L *
PBPPt
L
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Un procedimiento para obtener los elementos Bij, aplicando formula de
George, es el siguiente: Ecuación del sistema:
Pérdidas:
1º. Eliminación de variables de barras de carga:
Las corrientes de carga se pueden considerar como una fracción constante de
la carga total del sistema, de la forma:
donde
IZIS to
L *
IZEE R
0,1i
654 III
Iii
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
donde:
Entonces:
2º. Determinación de un nuevo vector E’:
donde:
1 I'CI
L
L
L
I
L
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
6
5
4
3
2
'
3
2
6
5
4
6
5
4
3
2
00
00
00
010
001
ECEt
*
1'
RL
R
R
R
R
R
R
R
EE
EE
EE
EE
EE
EE
EE
EE
E 3
2
6
5
4
3
2
*
6
*
5
*
400
00010
00001
'
RRRRL EEEEEEEE 6
*
65
*
54
*
4
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
3º. Obtener una nueva matriz Z’ para el sistema reducido:
De esta forma:
*
1
*
1' CZCZt
'''' 3
2
3
2
IZ
I
I
I
Z
EE
EE
EE
E
LRL
R
R
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
4º. Introducir la barra de referencia y cambiar la referencia de “R” a “L”.
Aumentando la matriz Z’ en una línea:
Entonces:
4
3
2
3
2
'
0
0
0
0000
I
I
I
I
Z
EE
EE
EE
EE R
RL
R
R
RR
''' IZE
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
5º. Transformación de corriente:
Considerando que:
Usando la matriz de transformación C2, sólo para las barras de generación:
donde:
32
3
1
IIIII R
i
iL
''' 2 ICI
''
3
2
3
2
111
100
010
001
'
I
R
L
R
I
I
I
I
I
I
I
I
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
6º. También la transformación de tensión:
Así, la matriz Z’’ transformada es:
donde:
y
'''*
2 ECEt
L
L
LR
RL
R
R
RR
EE
EE
EE
EE
EE
EE
EE
E
3
2
3
2
1100
1010
1001
''
21*1
*22
*2 ''' CCZCCCZCZ
ttt
'''''' IZE
3
2
''
33
''
32
''
3
''
23
''
22
''
2
''
3
''
2
''
3
2
I
I
I
ZZZ
ZZZ
ZZZ
EE
EE
EE R
R
R
RRRR
L
L
LR
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
7º. Las transformaciones de tensión y corriente están basadas en la
invariabilidad de la potencia, por lo que las pérdidas de potencia son:
O sea:
donde:
: Matriz no-simétrica.
''''''*
IZIPt
L
''''
3
''2
''1
''3
''2
''1
I
I
I
ZIIIPL
RII 1
''Z
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
8º. Escribir PL en términos de la potencia en barras de generación,
considerando, en general, el siguiente diagrama fasorial:
Entonces:
donde:
y
Representa al generador “i” en el vector I’’
cos
cos
E
PII
IEEIP
eIIIj
o
cos
E
ePI
jo
i
jt
i
j
LE
ePZ
E
ePP
cos''
cos
i
j
E
eP
cos
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Incluyendo todas las variables, excepto P en la matriz de impedancias, resulta:
La matriz B resulta, en general, compleja
Donde:
PBPPt
L
tPPPP 321
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Donde: WHHRR kiikikik
11''
lg
gj
jijik RH1
11
lg
gj
jkjki RH1
11
lg
gj
jkjijik RRX1
''2
lg
gi
ik
lg
gk
kiki RW1 1
2211
Los elementos de la matriz B son:
kiki
kiikkiik
ikEE
XRB
coscos
sencos''''
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
P
iE
i
ik
ik
ii 2;1
ikR
ikX
: Vector columna de las potencias generadas
: magnitud de tensión en barras
: ángulo de fase entre tensión y corriente en barra
: diferencia angular entre corrientes de barra i-k
kiikkkiikiik
: ángulo de tensión entre barras i-k
: Componentes reales e imaginaria de carga, con respecto a la
corriente total de la carga
L
ii
I
I
: componente resistivo de la impedancia mutua entre barra i-k
de la matriz Z
: componente reactivo
Matriz de Pérdidas
Deducción de la Formula de George
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Deducción de la Formula de Kross
La carga total es:
siendo: y
Cumpliendose:
Tomando barra “n” como referencia:
(primera fila)
Reemplazando los valores de I3 e I4, tenemos que ID es:
Donde In0 es la corriente inyectada en la barra “n” con V1n constante:
DIII 43
DIdI 33 DIdI 44
143 dd
4143132121111 IZIZIZIZV n
0
144133
112
144133
121
144133
11nD I
ZdZd
ZI
ZdZd
ZI
ZdZd
ZI
11
10
Z
VI n
n
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Escribiendo:
y
La corriente total de la carga queda:
Los valores de I3 e I4 serán:
144133
111
ZdZd
Zt
144133
122
ZdZd
Zt
0
12211 nD ItItItI
0
142241144
0
132231133
n
n
ItdItdItdI
ItdItdItdI
Deducción de la Formula de Kross
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Definiendo la matriz C como la transformación a las nuevas
corrientes I1, I2, In0, se tiene:
La expresión para la potencia activa perdida en la red queda:
0
2
1
0
2
1
141414
132313
4
3
2
1
010
001
nn I
I
I
C
I
I
I
tdtdtd
tdtdtd
I
I
I
I
*
0
2
1
0
21
n
B
T
nL
I
I
I
CRCIIIP
Deducción de la Formula de Kross
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Definiendo la matriz C como la transformación a las corrientes nuevas I1, I2, In0,
se tiene:
La expresión para la potencia activa perdida en la red queda:
Donde RB es la parte real simétrica de ZB. Como la naturaleza de la
potencia es invariante a la transformación C, la expresión anterior
representa la perdida de potencia total en términos de las corrientes
generadas y de la corriente de neutro.
0
2
1
0
2
1
141414
132313
4
3
2
1
010
001
nn I
I
I
C
I
I
I
tdtdtd
tdtdtd
I
I
I
I
*
0
2
1
0
21
n
B
T
nL
I
I
I
CRCIIIP
Deducción de la Formula de Kross
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Asumiendo factor de potencia constante del generador en el período de interés:
Donde: y
Las corrientes entregadas por los generadores son:
son reales
Las corrientes pueden escribirse como:
gigg PjsjQP 111 1 2222 1 ggg PjsjQP
111 gg PQs 222 gg PQs
111*
1
11
1gg PP
V
jsI
222*
2
22
1gg PP
V
jsI
100
00
00
2
1
0
2
1
0
2
1
g
g
nn
P
P
II
I
I
Deducción de la Formula de Kross
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Se obtiene:
Y se observa:
Lo que resulta en:
*
2
1
*
0
2
1
*
0
2
1
2
1
100
00
00
00
00
00
1
g
g
T
n
B
T
n
T
g
g
L P
P
I
CRC
I
P
P
P
2
22
2
2*
002010
202221
101211 TT
BBB
BBB
BBB
122
2
2
1 2
1
002010
202221
101211
21 g
g
ggL P
P
BBB
BBB
BBB
PPP
Deducción de la Formula de Kross
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
B12 es igual a B21 y multiplicando filas con columnas se tiene:
Una forma equivalente:
Otra forma más general (vectorial-matricial):
00
2
1
0
2
1
2
1
21
00220110
2
2222112
2
111 2
BPBPBP
BPBPBPBPPBPBP
i
gii
i j
gijg
ggggggL
00
20
10
21
2
1
2221
1211
21 BB
BPP
P
P
BB
BBPPP gg
g
g
ggL
000 BBPPBPPT
GG
T
GL
Deducción de la Formula de Kross
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Cuando un sistema tiene “K” generadores, se obtiene:
00
1
0
1 1
BPBPBPPK
i
gii
K
i
K
j
gjijgiL
Deducción de la Formula de Kross
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Ejemplo (Ejemplo 13.3 del Grainger - Stevenson)
Para el sistema siguiente, calcular los coeficientes de la matriz B y
calcular las pérdidas en la transmisión.
Datos de Línea Datos de Barra
Z Serie Y Shunt Generación Carga Barra a barra
R X B Barra P V º P Q
Línea 1-4 0.00744 0.0372 0.0775 1 - 1.0 0º - -
Línea 1-3 0.01008 0.0504 0.1025 2 3.18 1.0 - -
Línea 2-3 0.00744 0.0372 0.0775 3 - - 2.20 1.3634
Línea 2-4 0.01272 0.0636 0.1275 4 - - 2.80 1.7352
Matriz de Pérdidas
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
El flujo de potencia para el caso base es:
Caso Base
Generación Voltaje Barra
P Q Magnitud
(por unidad) Angulo (grados)
1 1.913152 1.872240 1.0 0.0
2 3.18 1.325439 1.0 2.43995
3 - - 0.96051 -1.07932
4 - - 0.94304 -2.62658
total 5.093152 3.197679
Matriz de Pérdidas
Ejemplo:
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Las Matrices resistencia y reactancia de barras:
582784.2606321.2603899.2597783.2
606321.2582884.2597783.2601379.2
603899.2597783.2582784.2606321.2
597783.2601379.2606321.2582884.2
10
932995.2786620.1300878.1072159.0
786620.1911963.2072159.0795044.0
300878.1072159.0932995.2786620.1
072159.0795044.0786620.1911963.2
3
B
B
X
R
Matriz de Pérdidas
Ejemplo:
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
Con el resultado del flujo de potencia se calculan las corrientes de carga:
Y se puede encontrar que:
Se calculan t1 y t2
º5863.145493043.3
º1331.147694641.2
*
4
444
*
3
333
V
jQPI
V
jQPI
006637.0564527.0
006637.0435473.0
43
44
43
33
jII
Id
jII
Id
000547.0002681.1
001259.0993664.0
144133
122
144133
111
jZdZd
Zt
jZdZd
Zt
Matriz de Pérdidas
Ejemplo:
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
La matriz C es:
además:
005884.0560958.0006964.0566037.0005884.0560958.0
007143.0432705.0006416.0436644.0007143.0432705.0
010
001
jjj
jjjC
3*10
0601225.0006039.0387642.1005255.00985724.0
0060039.0`36764.10080886.5010638.0030982.0
005255.0985724.0010638.0030982.00282185.4
jjj
jjj
jjj
CRC BT
Matriz de Pérdidas
Ejemplo:
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
La corriente de neutro se calcula:
Utilizando el flujo de potencia del caso base, se calculan:
387164.0000436.0582884.2002912.0
0.00.1
11
10j
j
j
Z
VIn
373855.0016838.1º439950.20.1
180000.3
325439.11
1
978615.00.1º00.1
913152.1
872240.11
1
*
2
22
*
1
11
j
j
V
js
j
j
V
js
Matriz de Pérdidas
Ejemplo:
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
La matriz hermitiana es:
La matriz B es:
*
0
2
1
*
0
2
1
00
00
00
00
00
00
n
B
T
n I
CRC
I
T
310
0.0090121.0539511.0`19497.0380069.03750082.0
539511.0`19497.00.0963568.5004538.0049448.0
380069.03750082.0004538.0049448.00.0383183.8
jjj
jjj
jjj
T
3
002010
202221
101211
10
090121.0194971.0375082.0
194971.0963568.5049448.0
375082.0049448.0383183.8
22
2
2
BBB
BBB
BBB
Matriz de Pérdidas
Ejemplo:
Profesor : Dr. Miguel Arias Albornoz
La pérdidas son:
..093153.0
1
18.3
913152.1
22
2
2
118.3913152.1
002010
202221
101211
up
BBB
BBB
BBB
PL
Matriz de Pérdidas
Ejemplo: