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Octava
4. PRUEBAS Y SOLUCIONES
4.1 MATEMÁTICA
OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie de siete problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la
Problema 1: (24 puntos)
Encuentre las soluciones reales de las ecuaciones propuestas
a. θ θ π= ≤ <1cos2 0 21+2sen
b. ( )( ) = +2
3 3log 81log 19683x x
c. (−
−=
9(8) 3 82 274(27)
x
x
Problema 2: (15 puntos)
En un triángulo equilátero ABC, se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos a las divisiones D,E,F,G,H e I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la figura sombreada, si el área del triángulo equilátero es de 18?
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
PRUEBAS Y SOLUCIONES
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I
A continuación se le presenta una serie de siete problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
ncuentre las soluciones reales de las ecuaciones propuestas
θ θ πθ
= ≤ <1cos2 0 21+2sen
( )= +23 3log 81log 19683x x
)3 82 27
x
ABC, se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos H e I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la
figura sombreada, si el área del triángulo equilátero es de 18?
17 y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
A continuación se le presenta una serie de siete problemas, resuélvalos correctamente 0 minutos.
ABC, se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos H e I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la
18 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (10 puntos)
Sea =( ( ))f g x x y ′ = + 2( ) 1 [ ( )]f x f x demuestre que:
′ =+ 21( )
1g x
x
Problema 4: (15 puntos)
Sea: = 1 + Determine el valor de para que la gráfica de = tenga un punto de inflexión en = 1. Luego, trace la gráfica de indicando dominio, asíntotas, máximos y mínimos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento, decrecimiento y concavidad. Trace la gráfica.
Problema 5: (6 puntos)
Un estudiante que vive en el último nivel de un edificio, sube las escaleras de dos en dos escalones y los baja de tres en tres, con los que en total da 100 saltos. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?
Problema 6: (15 puntos)
En la siguiente figura se puede apreciar un cilindro de radio R y de altura H, el cual tiene inscrito un cono de igual altura y radio de base. Al pasar un plano perpendicular al eje de las figuras, las intercepciones de estas y el plano determinan una región de dos círculos concéntricos. Si la altura a la que se ubica el plano decrece a una razón constante de ⁄ unidades/minuto. ¿Cuál es el ritmo de variación del área de la región de intercepción de las figuras, cuando el plano se encuentra a una altura de H/3?
Problema 7: (15 puntos)
Un hombre en un bote P, a 5 millas del punto más próximo A de la playa, desea alcanzar un punto B, a 6 millas de distancia de A a lo largo de la playa, en el tiempo más breve posible. ¿Dónde debe tocar tierra si navega a 2 millas/hora y camina a 4 millas/hora?
19 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (24 puntos)
Encuentre las soluciones reales de las ecuaciones propuestas
a. θ θ πθ
= ≤ <1cos2 0 21+2sen
b. ( )( ) ( )= +2 2
3 3log 81log 19683x x
c. ( )−
−=
9(8) 3 82 274(27)
xx
x
Solución
a. Expresando en valores de senθ
θθ
θθ
θ θ θ
θ θ θ
=
− + =
− − + + =
+ − =
2
3 2
3 2
1cos21+2sen
12 11+2sen
4 2 2 1 1
2 0
sen
sen sen sen
sen sen sen
( )θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
+ − =
+ − =
− + =
2
2
(2 1) 0
2sen sen 1 0
(2sen 1)(sen 1) 0
sen sen sen
sen
sen
Si θ =sen 0 se obtiene que θ θ π= =0 &
Si θ = −sen 1 se obtiene que πθ = 32
Si θ = 1sen2
, entonces π πθ θ= = 5&6 6
,
de donde se obtiene
20 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
π
πθ
π
π
=
0
65
6
32
b. ( )( ) ( )= +
2 23 3log 81log 19683x x
Utilizando propiedades
( )( ) ( )= +2
3 3log 162log 19683x x Tiene la forma + b + c = 0 y sustituyendo:
( )= 3logu x
Entonces: = +2 162 19683uu
− − =2 162 19683 0u u Resolviendo la ecuación con la fórmula cuadrática:
( ) ( ) ( )( )( )
− − ± − − − ±= = = ±2162 162 4 1 19683 162 324 81 162
2 1 2u
Reescribiendo la ecuación por medio de factorización: ( )( )− + =243 81 0u u
( )= 3logu x
( )( ) ( )( )− + =3 3log 243 log 81 0x x
Las dos soluciones a la ecuación se determinan igualando a cero cada uno de los factores anteriores
( )( )− =3log 243 0x
( ) =3log 243x = 2433x
( )( )+ =3og 81 0l x
( ) = −3log 81x
−= 813x
21 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
c.
( )−
−=
9(8) 3 82 274(27)
xx
x
=
2 3
2 3(27)3 3 2*
22 (8) 3
xx
x
( ) ( ) =
32 3
33 3 3 2*2 2 32
x x
( ) ( ) ( )−
=2 3 33 3 3 3*
2 2 2 2
x x
( ) ( )+ − +
=2 3 3 13 3
2 2
x x
( ) ( )− ++
=
3 12 323 3
2 2
xx
( ) − ++ =3 3 1 32 3 ln ln2 2 2
xx
( ) − ++ = 3 12 32x
x
( )+ = − +2 2 3 3 1x x
+ = − +4 6 3 1x x
= −9 3x
= − 39
x
= − 13
x
22 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
Problema 2: (15 puntos)
En un triángulo equilátero ABC, sea las divisiones D, E, F, G, H e I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la figura sombreada, si el área del triángulo equilátero es de 18?
Solución Si se observa el triángulo equitres partes, divide en distancias equivalentes su área y por lo tanto se puede hacer el siguiente trazo en dicha figura.
Al formar 2 triángulos en el área sombreada, se puede observar, que si triángulo equilátero inicial tiene lado
la figura tiene como lado 3l ,
Será:
Entonces la base de los triángulos formados, a la cual se denominará de
Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
En un triángulo equilátero ABC, se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos H e I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la
figura sombreada, si el área del triángulo equilátero es de 18?
Si se observa el triángulo equilátero, se puede observar que la división de sus lados en tres partes, divide en distancias equivalentes su área y por lo tanto se puede hacer el siguiente trazo en dicha figura.
Al formar 2 triángulos en el área sombreada, se puede observar, que si triángulo equilátero inicial tiene lado “ l ”, entonces cada triángulo equilátero menor en , de donde para el mismo equilátero de lado
( ) = =
3 32 3 6
lh l
Entonces la base de los triángulos formados, a la cual se denominará H
= = =
3 32 26 3
H h l l
dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos H e I, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la
látero, se puede observar que la división de sus lados en tres partes, divide en distancias equivalentes su área y por lo tanto se puede hacer el
Al formar 2 triángulos en el área sombreada, se puede observar, que si el lado del cada triángulo equilátero menor en
de donde para el mismo equilátero de lado 3l su altura .
H tendrá un valor
23 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
H
= + =1 3 6 2l l l
l
=2 6l
l
Entonces el área sombreada en función de la variable “l” tendrá la expresión siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = + =1 21 1 12 2 2 6 3
l lS A A H H H l
( ) = =
23 1 33 3 9
S l l l
Si el área del triángulo equilátero original es de 18 unidades, entonces el valor de “l” será:
= 18A
24 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
( )
= =
23 3 182 4
l l l
De donde el valor de 2 l será:
=2 723
l
Al sustituir en “S”, se obtiene el área sombreada numéricamente, la cual es:
=
239
S l
=
3 729 3
S
= 8S
25 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (10 puntos)
Sea = y = 1 + demuestre que: ′ = 11 +
Solución Sea = = ′ = 1 ahora bien: ′ = ′ ∗ ′ sustituyendo: ′ = 1 1 = ′ ∗ ′ entonces: ′ = 1 ′
si: ′ = 1 + entonces: ′ = 1 + pero: = sustituyendo en ′ = 1 + sustituyendo en = 11 +
queda demostrado.
26 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (15 puntos)
Sea: = 1 +
Determine el valor de para que la gráfica de = tenga un punto de inflexión en = 1. Luego, trace la gráfica de indicando dominio, asíntotas, máximos y mínimos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento, decrecimiento y concavidad. Trace la gráfica.
Solución Para que exista un punto de inflexión en = 1, la segunda derivada de la función ´´ 1 = 0. Primero se buscan las tres funciones que definen la gráfica: la función, la primera derivada y la segunda derivada de ella. = 12 +
´ = −2 +
´´ = −2 − 3 + "
Encontrar el valor de para que ´´ 1 = 0:
0 = −2 − 3 + "
0 = −2 − 3 0 = −2 + 6 2 = 6
= ±%3
1 = %3
3 = 1 & = '
27 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Cuando & = ' se tiene un punto de inflexión en ( = ±)
Encontrar los valores críticos de la gráfica ´ = 0: 0 = −2 + = 0 Cuando ´ = 0 se tiene un punto crítico Se evalúa el límite de la función para encontrar asíntotas horizontales: lim-→/
1 + = 1∞ = 0
Tiene una asíntota horizontal = 0 (eje ) A continuación se realiza una evaluación de valores en los intervalos adecuados para hallar el comportamiento de la gráfica:
Intervalo 1( 1´ ( 1´ ´( Conclusión < −1 + + crece, la gráfica es cóncava hacia arriba. = −1 1 44 1 84 0 crece, la gráfica tiene un punto de inflexión.
−1 < < 0 + − crece, la gráfica es cóncava hacia abajo. = 0 1 34 0 − tiene un valor máximo absoluto, la gráfica es cóncava hacia abajo 0 < < 0 − − decrece, la gráfica es cóncava hacia abajo = 1 1 44 −1 84 0 decrece, la gráfica tiene un punto de inflexión.
1 < − + decrece, la gráfica es cóncava hacia arriba
Analizando el comportamiento se concluye que la gráfica tiene dominio −∞ < < +∞ , un máximo absoluto, una asíntota horizontal, creciente de −∞ < < 0 decreciente de 0 < < +∞ , es cóncava hacia arriba en < −1 y 1 < & es cóncava hacia abajo en −1 < < 1.
x
y
28 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 5: (6 puntos)
Un estudiante que vive en el último nivel de un edificio, sube las escaleras de dos en dos escalones y los baja de tres en tres, con los que en total da 100 saltos. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?
Solución Sean las incógnitas: = número de saltos hacia arriba = número de saltos hacia abajo 6 = número de escalones Tenemos las ecuaciones: 2 = 6 3 = 6 + = 100 Formando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tenemos: 2 = 3 + = 100 Resolviendo tenemos: = 60, = 40 Luego habrá: 6 = 2 = 2 × 60 = 120 Escalones
29 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 6: (15 puntos)
En la siguiente figura se puede apreciar un cilindro de radio R y de altura H, el cual tiene inscrito un cono de igual altura y radio de base. Al pasar un plano perpendicular al eje de las figuras, las intercepciones de estas y el plano determinan una región de dos círculos concéntricos. Si la altura a la que se ubica el plano decrece a una razón constante de ⁄ unidades/minuto. ¿Cuál es el ritmo de variación del área de la región de intercepción de las figuras, cuando el plano se encuentra a una altura de H/3?
Solución
Comencemos por definir el área de la región de intercepción del plano, el cilindro y el cono 8 = 9 − 9
Donde x representa el radio del circulo menor a la altura en la que se ubica el plano. Ahora, derivamos respecto del tiempo esta expresión para obtener 8′: = −29:′:
Solo necesitamos conocer los valores de : y ′:, como estos valores están relacionados con la altura a la que se ubica el plano, esto lo podemos encontrar analizando la siguiente figura
30 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Utilizando la información grafica podemos construir la relación entre las variables, x que representa el radio del círculo pequeño, y la altura a la que se ubica el plano = − +
entonces = − +
Por lo tanto ′: = − ′:
Sustituyendo este resultado para la variación de A(t)
8′: = −29:′:
8′: = −29− + − ′:
8′: = −29 ; < − ′:
Aplicando las condiciones del problema tenemos = /3 & ′: = −/
8′: = −29 ; < ;3 − < −
8′: = − 49 3
R
y
H x
x
y
31 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 7: (15 puntos)
Un hombre en un bote P, a 5 millas del punto más próximo A de la playa, desea alcanzar un punto B, a 6 millas de distancia de A a lo largo de la playa, en el tiempo más breve posible. ¿Dónde debe tocar tierra si navega a 2 millas/hora y camina a 4 millas/hora?
Solución
Variables t tiempo x la distancia de A a C y distancia que recorre en bote Restricción
225y x= + Función a Minimizar (t en función de x)
Tiempo = velocidad
distancia
4
6
2
xyt
−+=
al sustituir la restricción
4
6
2
25 2 xxt
−+
+=
Problema en intervalo cerrado [0,6]
P
tiempo 225y x= + C 5
distancia que recorre en bote A C B
x 6 x− - 6
32 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Encontrar números críticos
2
2
2 254
252
4
1
252 x
xx
x
xtD
x
+
+−=−
+=
0=tDx
; 0252 2 =+− xx ; 0)2)(8(4 =+− xx despejando 5 3
3x I= ∈
existenoADx
; 08 =−x ; Ix ∉= 8
único número crítico en el intervalo 3
35=x
Evaluando en los extremos del intervalo y en el punto crítico. (Problema en intervalo cerrado)
horas2
61)6(
mínimotiempohoras34
3615
4
6
3
5)
3
35t(
horas44
6
2
5)0(
3
35
=
+=
−+=
=+=
t
t
Respuesta:
Debe tocar tierra en un punto que diste 5 3
3 millas de A en dirección al B .
Octava
OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serieen el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 1
Problema 1: (10 puntos)
Grafique la región en R3 cuyo volumen se da mediante la integral
Reescriba usando el orden dxdydz
Problema 2: (10 puntos)
Plantee la integral para calcular la fuerza hidrostática de la placa que se muestra parcialmente sumergida en agua.
Problema 3: (10 puntos)
¿Cuál es la cantidad de dinero más pequeña que puede invertirse a un tasa de interéscompuesto anualmente i, con el fin que pueda
año, 4 quetzales al final del segundo año, ...., perpetuidad (nunca se termina el dinero invertido)?
Utilizando la fórmula del interés compuesto:
∞
=
= <− ∑
0
1 , 11
n
n
x xx .
2
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II
A continuación se le presenta una serie nueve de problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
puntos)
cuyo volumen se da mediante la integral − − −
−∫ ∫ ∫23 3 6
3 0 0
x x y
dzdydx
dxdydz
Plantee la integral para calcular la fuerza hidrostática de la placa que se muestra parcialmente sumergida en agua.
dinero más pequeña que puede invertirse a un tasa de interés, con el fin que pueda retirarse 1 quetzal al final del primer
año, 4 quetzales al final del segundo año, ...., 2n quetzales al final del enésimo año(nunca se termina el dinero invertido)?
órmula del interés compuesto: = +(1 )nS P i
2
4
33 y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
de problemas, resuélvalos correctamente 0 minutos.
Plantee la integral para calcular la fuerza hidrostática de la placa que se muestra
dinero más pequeña que puede invertirse a un tasa de interés, 1 quetzal al final del primer
quetzales al final del enésimo año, a
(1 )n y la serie
34 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (10 puntos)
Plantee la integral del área de la región que está dentro de la curva θcos3=r y fuera de θcos1+=r .
Problema 5: (15 puntos)
Una esfera tiene un radio de 5 pies, un cono de radio 6 pies y altura de 8 pies tiene su vértice sobre el centro de la esfera. Plantee para encontrar el volumen afuera de la esfera y adentro del cono por los siguientes métodos:
a. La integral definida por el método de las arandelas (anillos). b. La integral definida por el método de las capas cilíndricas. c. La integral triple por coordenadas esféricas.
Problema 6: (10 puntos)
Resuelva la ecuación diferencial:
− + =2 ´´ 4 ´ 4 2 tanxy y y e x
Problema 7: (15 puntos)
Compruebe el Teorema de Green para ∫ +C
xdydxy2 , donde C es el segmento de recta
que va desde (0, 2 ) hasta ( 5− , 3), seguido del arco de la parábola 24 yx −= desde
( 5− , 3) hasta (0, 2 ) .
Problema 8: (10 puntos)
Encuentre:
∫ tanxdx
Problema 9: (10 puntos)
Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la sustancia química C. La razón de reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 de A. Se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C.
a. ¿Cuánto se forma en 20 minutos de la sustancia química C? b. ¿Cuál es la cantidad límite de la sustancia química C a largo plazo? c. ¿Cuánto de las sustancias químicas A y B queda después de mucho tiempo?
35 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (15 puntos)
Grafique la región en R3 cuyo volumen se da mediante la integral − − −
−∫ ∫ ∫23 3 6
3 0 0
x x y
dzdydx
Reescriba usando el orden dxdydz
Solución
(√3,0,0)
y
z
x
(0,0,6)
(√3,0,6−√3)
(−√3,0,6+√3)
(−√3,0,0)
(0,3,3)
36 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Analizar 5 regiones diferentes en el plano yz
La integral se divide en 5 integrales
− − −
−∫ ∫ ∫23 3 6
3 0 0
x x y
dzdydx
−
− −= ∫ ∫ ∫
2.75 3 3
0 0 3
y
y
dxdydz
−
+ − + − − −+∫ ∫ ∫
3 3 3
2.75 (11 11 4 2 )*0.5 3
y
z z y
dxdydz
− − − + − −
− −+∫ ∫ ∫
6 3 (11 11 4 2 )*0.5 3
2.75 0 3
z z y
y
dxdydz
− + − + − − −
− − + − − −+∫ ∫ ∫
6 3 (11 11 4 2 )*0.5 (6 )
2.75 (11 11 4 2 )*0.5 3
z z y z
z z y
dxdydz
+ + − + − − −
− − −+∫ ∫ ∫
6 3 (11 11 4 2 )*0.5 6
6 3 0 3
z z y z
y
dxdydz
(3,3)
= + − + −(11 11 4 2 ) * 0.5y z z
= − − + −(11 11 4 2 ) * 0.5y z z
(0,6+√3)
(0,6−√3)
(0,2.75)
R3 R2
R1
R5
R4
z
y
(2.75,2.75)
37 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (10 puntos)
Plantee la integral que calcule la Fuerza Hidrostática de la placa que se muestra parcialmente sumergida en agua.
Solución
Para el triángulo
−= = = =−
2 0 2 21 0
m y mx y x
=2y
x ( )= =
=
2 22
ydA xdy dy
dA y dy Profundidad = −4 y ( )( )δ= −∫
2
0
4triánguloF y ydy
2
4 2
4 2
x
y
1 1
38 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Para el rectángulo
= 2dA dy
Profundidad = −4 y
( )( )δ= −∫4
2
4 2rectánguloF y dy
Entonces
+=TOT triángulo rectánguloF F F
( )( ) ( )( )γ γ= − + −∫ ∫2 4
0 2
4 4 2TOTF y ydy y dy
( ) ( ) = − + − ∫ ∫2 4
0 2
9800 4 2 4TOTF y y dy y dy
Si lo ejes se ponen en forma diferente las integrales cambian.
39 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (10 puntos)
¿Cuál es la cantidad de dinero más pequeña que puede invertirse a un tasa de interés i, compuesto anualmente, con el fin que pueda retirarse 1 quetzal al final del primer año,
4 quetzales al final del segundo año, ...., 2n quetzales al final del enésimo año, a perpetuidad (nunca se termina el dinero invertido)?
Utilizando la fórmula del interés compuesto: = +(1 )nS P i y la serie
∞
=
= <− ∑
0
1 , 11
n
n
x xx .
Solución Fórmula del interés compuesto: G = H1 + I, ecuación 1 Donde S es la cantidad obtenida luego de n períodos y P es la cantidad inicial invertida. El valor presente de un quetzal que deberá ser pagado luego de n años es
JJKLM,
que puede ser obtenido a partir de la fórmula del interés compuesto (ecuación 1). Por lo tanto, el valor en quetzales de la cantidad buscada es
N 6 11 + I∞
IOJ Si = JJKL en la serie obtenemos la serie
N 6I∞
IOJ
Por lo tanto se encuentra el valor de la serie plantead Partiendo de 11 − = N I∞
IOP , || < 1
RR ; 11 − < = N 6ISJ∞
IOJ
40 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
11 − = N 6ISJ∞
IOJ
1 − = N 6I∞
IOJ
RR ; 1 − < = N 6ISJ∞
IOJ
1 − 1 − T = N 6ISJ∞
IOJ
1 + 1 − " = N 6ISJ∞
IOJ
+ 1 − " = N 6I∞
IOJ , || < 1
Sustituyendo de nuevo = JJKL en la ecuación anterior y simplificando se obtiene:
N 6 ; 11 + <I =∞
IOJ1 + 2 + "
U6:RR 6VW Xí6X = 1 + 2 + "
Por ejemplo si el interés es 10 % entonces = 0.1 U6:RR 6VW Xí6X = 1 + 0.12 + 0.10.1"
U6:RR 6VW Xí6X = 23,100 Para poder retirar a perpetuidad lo indicado.
41 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (10 puntos)
Plantee la integral del área de la región que está dentro de la curva θcos3=r y fuera de θcos1+=r . (10 p)
Solución Identificar las gráficas [ = 3 cos ] , la gráfica corresponde a una circunferencia trasladada en el eje polar. [ = 1 + cos ], la gráfica corresponde a un cardiode que toca el polo. Se grafica [ = 3 cos ], se grafica 2 veces de 0 a 29 ] r(])
0 3 9 44 2.12 9 24 0 39 44 -2.12 -3 59 44 -2.12 3 9 24 0 79 44 2.12
eje polar
] = 9 24
42 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Se grafica [ = 1 + cos ] de 0 a 29
Se procede a graficar ambas ecuaciones en un solo plano, como se muestra a continuación:
] r(]) 0 2 9 44 1.71 9 24 1 39 44 0.29 0 59 44 0.29 3 9 24 1 79 44 1.71
eje polar
] = 9 24
eje polar
] = 9 34
] = 9 24
43 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Determinar el punto de intersección entre ambas gráficas. Se igualan ambas ecuaciones y se procede a despejar ], con el fin de la determinación del ángulo de intersección. 3 cos ] = 1 + cos ] 3 cos ] − cos ] = 1 2 cos ] = 1 cos ] = 1/2 ] = cosSJ1/2 ] = 9 34 y ] = 59 34 Se debe de encontrar el área de la región que está dentro de la curva de la circunferencia y fuera del cardiode, por lo tanto se debe restar el área del cardiode del área dentro de la circunferencia un intervalo de 0 a 9 3 4 . Como se observa en la gráfica
esta tiene simetría respecto al eje polar, por lo tanto la integral se debe multiplicar por 2.
8 = 2 ;12< ` 3Vab]R]c "4P − 2 ;12< ` 1 + Vab]R]c "4
P Sin utilizar simetría
8 = 12 ` 3Vab]R]c "4Sc "4 − 12 ` 1 + Vab]R]c "4
Sc "4
44 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 5: (15 puntos)
Una esfera tiene un radio de 5 pies, un cono de radio 6 pies y altura de 8 pies tiene su vértice sobre el centro de la esfera. Plantee para encontrar el volumen afuera de la esfera y adentro del cono por los siguientes métodos:
a. La integral definida por el método de las arandelas (anillos). b. La integral definida por el método de las capas cilíndricas. c. La integral triple por coordenadas esféricas.
Solución La solución inicia con el trazo de la esfera y cono de acuerdo a las condiciones exigidas. Para a) y b) observando la simetría de las figuras, es seleccionado el origen de las coordenadas xy en el centro de la esfera como se muestra:
x
y
45 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Sección transversal en el plano xy de la región R. a) Utilizando el método de las arandelas (anillo), se tiene el diferencial de volumen: Punto de intersección
d25 − = 34
25 − = 916
= 16 = 4
Punto de intersección del lado derecho 3,4
x
y
x
y
= "T
= d25 − 3,4
46 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Diferencial de Volumen
Rf = π g;34 < − hd25 − ij R Rk 4 5
Rf = π ;34 < R Rk 5 8
Al integrar y evaluar:
f = ` π g;34 < − hd25 − ij R + l T
` π ;34 < R m l
f = 238π3 n6RRkb"
b) Utilizando el método de capas cilíndricas se tiene el diferencial de volumen
Diferencial de Volumen Rf = 2π h8 − d25 − i R Rk 0 3
Rf = 2π ;8 − 43 < Rk 3 6
f = ` 2π h8 − d25 − i R + ` 2π ;8 − 43 < R o "
" P
f = 238π3 n6RRkb"
x
y
= T"
= d25 − 3,4
= 8
47 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
c) Por Integral Triple en coordenadas esféricas Esfera p = 5 Cono ∅ = :6SJ om = 0.6435
Plano p = 8Vab∅
f = ` ` ` pbk6∅Rrstu∅l
cP
P.oT"lP pR]R∅
f = 238π3 n6RRkb"
y
z
p = 5
∅ = 0.6435
p = 8Vab∅
x
48 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 6: (10 puntos)
Resuelva la ecuación diferencial:
− + =2 ´´ 4 ´ 4 2 tanxy y y e x
Solución
Primero se escribe la ecuación en su forma estándar dividiendo entre 2:
− + =´´ 2 ´ 2 tanxy y y e x
La solución de la ecuación es de la forma
= +c py y y
Obteniendo cy 0222 =+− mm
im ±=1 = +1 2
x xc C e cosx C ey senx
Por variación de parámetros
( )=
−=
+
2
( )
x xx
x x
e cosx e senxe
e cosx senx e cosx senxw
( )+= = −
= =−
21
22
0
tan
0
( ) ta
tan
cn
os tan
x
x x
x
x x
x
x
w e x senx
w
e senx
e x e cosx senx
e cosx
e cosx senx ee x
xx
−
′ = = = −2
11 2
tan tanx
x
w e senx xu senx x
w e
−= = −∫ ∫2
1 taco
ns
sen xu dxenx x dxx
s
( )−= − = − −∫ ∫21 cos sec cos
cosx
dx x x dxx
= − + = − + +∫ ∫sec cos ln sec tanxdx xdx x x senx
49 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
′ == =22
22cos tanx
x
e x xsenx
e
wu
w
= = −∫2 cosu senxdx x
( )
= +
= − + + −+
−= +
1 1 2 2
( ln sec tan ) cos
( ln sec tan )
x
x
p
xe co
y u y u y
x x senx x
x
sx e se
x
nx
e cosx
= +
= + ++ −1 2 ( ln sec tan )x
c
x x
p
C e cosx C e se
y y y
nx x x ey cosx
50 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 7: (15 puntos)
Compruebe el Teorema de Green para ∫ +C
xdydxy2 , donde C es el segmento de recta
que va desde (0, 2 ) hasta ( 5− , 3), seguido del arco de la parábola 24 yx −= desde
( 5− , 3) hasta (0, 2 ) .
Solución Por teorema de Green:
∂ ∂+ = −
∂ ∂ ∫ 2
C
Q Py dx xdy dA
x y∬
la orientación positiva es contra las manecillas del reloj Planteamos la integral doble utilizando el teorema
( ) = 2,P x y y
( ) =,Q x y x
Sustituimos y formamos la integral.
` ` 1 − 2 RR Svw vS
" = − 23
en contra de las manecillas del reloj, a favor con signo positivo.
(−5, 3)
y
x
(0, 2)
51 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Por integral de Línea: C1: La recta que une (0, 2 ) con (−5, 3) = 5: = : + 2 0 ≤ : ≤ 1 R = −5R: R = R:
` : + 2 −5R: + ` −5R: = − 2056JP J
P
C2: La parábola que va desde (−5, 3) hasta (0, 2 ) = 4 − : = −: − 3 ≤ : ≤ −2 R = −2:R: R = −R:
` : −2:R: + ` 4 − :−1R: = 2096SS" S
S"
Entonces y R + R = − 2056 + 2096 = 23
a favor de las manecillas del reloj Se comprueba que
∂ ∂+ = − ∂ ∂ ∫ 2
C
Q Py dx xdy dA
x y∬
52 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 8: (10 puntos)
Calcule la integral utilizando los procedimientos adecuados y dejando constancia de su razonamiento.
∫ tan xdx
Solución
Si se sustituye
=2 tanu x
= 22 secudu xdx
= + 22 (1 tan )udu x dx
=+ 42
1u
du dxu
= = =+ + + + − +∫ ∫ ∫ ∫
2 22
4 4 2 22 2 2tan
1 1 ( 2 1)( 2 1)u u u du
xdx u du duu u u u u u
Por fracciones parciales
+ += ++ + − + + + − +
2
2 2 2 22
( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1u Au B Cu D
u u u u u u u u
Donde
−=
=
=
=
12
12
0
0
A
B
C
D
−= +
+ + − +
2 22 2
2 22 1 2 1
u u
u u u u
entonces
+ + − +∫2
2 22
( 2 1)( 2 1)u du
u u u u
−= +
+ + − +∫ ∫2 2
2 22 22 1 2 1
u udu du
u u u u
− += ++ + + +
++ −− + − +
∫ ∫
∫ ∫
2 2
2 2
1 2 2 1 122 2 2 1 2 1
1 2 2 1 122 2 2 1 2 1
udu du
u u u u
udu du
u u u u
53 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
( )
( )
− += ++ + + +
++ −− + − +
∫ ∫
∫ ∫
22 21 12 2
22 21 12 2
1 2 2 1 122 2 2 1 ( )
1 2 2 1 122 2 2 1 ( )
udu du
u u u
udu du
u u u
( )( )
+−
−−
−= + + +
+ − + − +
12
12
12
12
2 1
2 1
1 1ln 2 1 2 tan22 2
1 1ln 2 1 2 tan22 2
u
u
u u
u u C
( )
( )
−
−
−= + + + +
+ − + − − +
2 1
2 1
2 2ln 2 1 tan 2 14 2
2 2ln 2 1 tan 2 14 2
u u u
u u u C
Retornando a la variable x
( )
( )
−
−
−= + + + +
+ − + − − +
∫ 1
1
2 2tan ln tan 2 tan 1 tan 2 tan 14 2
2 2ln tan 2 tan 1 tan 2 tan 14 2
xdx x x x
x x x C
54 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 9: (10 puntos)
Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la sustancia química C. La razón de reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 de A. Se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C.
a. ¿Cuánto se forma en 20 minutos de la sustancia química C? b. ¿Cuál es la cantidad límite de la sustancia química C a largo plazo? c. ¿Cuánto de las sustancias químicas A y B queda después de mucho tiempo?
Solución Definición de variable: x(t)= cantidad de gramos de la sustancia química C presentes en el tiempo t medido
en minutos. Planteo de relación entre las sustancias químicas " gramos de la sustancia química A y
J" gramos de la sustancia química B, se
necesitan para obtener x gramos de la sustancia química C. Planteo de cantidades de sustancias químicas que no se han convertido en la sustancia química C: A: 40 − " B: 50 − J"
Planteo de la ED:
z-z = U h40 − 23 i h50 − 13 i simplificando:
z-z = |120 − 2150 − donde | = U/9
Sujeto a las condiciones iniciales : x(0) = 0 y x(5) = 10 Resolviendo la ED con técnica de integración de Fracciones Parciales: R120 − 2150 − = |R:
Fracciones Parciales 8120 − 2 + 150 − = 1120 − 2150 −
55 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
8150 − + 120 − 2 = 1 1508 − 8 + 120 − 2 = 1 Ecuación 1: 1508 + 120 = 1 Ecuación 2: −8 − 2 = 0
entonces 8 = −2 y sustituyendo en Ecuación 1 150−2 + 120 = 1 −300 + 120 = 1 −180 = 1 = −1/180 8 = −2 ;− 1180< = 2180 = 190
Regresando a la ecuación diferencial
~ JP120 − 2 − JJmP150 − R = |R: Integrando 190 ;− 12< 6 120 − 2 − 1180 −16150 − = |: + U
− 1180 6 120 − 2 + 1180 6 150 − = |: + U 6 150 − 120 − 2 = 180|: +
si 180U=D 150 − 120 − 2 = kJmPK k = 150 − 120 − 2 = kJmP
aplicando la condición inicial 0 = 0 = 1.25
56 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
aplicando la otra condición inicial 5 = 10 150 − 10120 − 20 = 1.25kJmPl
| = 0.00013 Nos queda 150 − 120 − 2 = 1.25kP.P"T despejando x
150 − = 120 − 2 ∗ 1.25kP.P"T 150 − = 150kP.P"T − 2.5kP.P"T − + 2.5kP.P"T = 150kP.P"T − 150 −1 + 2.5kP.P"T = 150kP.P"T − 150
: = 150kP.P"T − 1502.5kP.P"T − 1
Respuesta a. ¿Cuánto se forma en 20 minutos de la sustancia química C?
20 = 150kP.P"TP − 1502.5kP.P"TP − 1 = 29.9 gramos de la sustancia química C
Respuesta b. ¿Cuál es la cantidad límite de la sustancia química C a largo plazo? Dividiendo todo entre kP.P"T y aplicando límite:
lim→/ = 150 − 150kSP.P"T2.5−kSP.P"T = 60
60 gramos de la sustancia química C Respuesta c. ¿Cuánto de las sustancias químicas A y B queda después de mucho tiempo? Como la cantidad límite de la sustancia química C a largo plazo es 60 gramos: Sustancia química A quedan: 40 − " ∗ 60 = 0 gramos
Sustancia química B quedan: 50 − J" ∗ 60 = 30 gramos
Octava
4.2 FÍSICA
OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE FÍSICA NIVEL I
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie de cuatrocorrectamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 1
Problema 1: (25 puntos)
Comprimiendo 10 cm un resorte de constante elástica 500 N/m se lanza desde el suelo una flecha de 50g hacia una manzanaresorte. Calcule:
a) ¿Con qué ángulo sobre la horizontal se debe lanzar la flecha para que alcance la manzana en posición horizontal?
b) ¿Desde qué distancia horizontal con respecto a la manzana debe lanzarse?
c) La flecha se clava en la manzana y el conjunto cae al suelo a 6.25m del punto de lanzamiento. ¿Cuál es la masa de la manzana?
Utiliza g = 9.8 m/s2 para la aceleración debida a la gravedad.
Problema 2: (25 puntos)
Se desea formar un lingote de aleación oro cde modelo un bloque de madera el cual al ser colocado en aceite de densidad 706 kg/mdesaloja 0.915 del volumen del bloque, y al ser colocado en agua desaloja 6.46 x 10 m3. Determine:
a) La densidad de la aleacib) El “quilataje” del oro en la aleación.
Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación.
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE FÍSICA NIVEL I
e le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 1
Comprimiendo 10 cm un resorte de constante elástica 500 N/m se lanza desde el suelo una flecha de 50g hacia una manzana que cuelga del árbol a 2m sobre el nivel del
¿Con qué ángulo sobre la horizontal se debe lanzar la flecha para que alcance la manzana en posición horizontal?
¿Desde qué distancia horizontal con respecto a la manzana debe lanzarse?
flecha se clava en la manzana y el conjunto cae al suelo a 6.25m del punto de lanzamiento. ¿Cuál es la masa de la manzana?
para la aceleración debida a la gravedad.
Se desea formar un lingote de aleación oro cobre con masa 12kg, para lo cual se toma de modelo un bloque de madera el cual al ser colocado en aceite de densidad 706 kg/mdesaloja 0.915 del volumen del bloque, y al ser colocado en agua desaloja 6.46 x 10
La densidad de la aleación, ρL = ? El “quilataje” del oro en la aleación.
Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación.
57 y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Comprimiendo 10 cm un resorte de constante elástica 500 N/m se lanza desde el suelo que cuelga del árbol a 2m sobre el nivel del
¿Con qué ángulo sobre la horizontal se debe lanzar la flecha para que alcance la
¿Desde qué distancia horizontal con respecto a la manzana debe lanzarse?
flecha se clava en la manzana y el conjunto cae al suelo a 6.25m del punto de
obre con masa 12kg, para lo cual se toma de modelo un bloque de madera el cual al ser colocado en aceite de densidad 706 kg/m3 desaloja 0.915 del volumen del bloque, y al ser colocado en agua desaloja 6.46 x 10 -4
Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación.
58 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (25 puntos)
Un bloque de masa XJ = 0.50 kg se deja caer desde una altura = 2.00 m (como muestra la figura), sobre una superficie sin fricción hasta llegar a un tramo rugoso de longitud R = 1.20 m, continúa desplazándose y choca con un segundo bloque de masa X = 1.00 kg que se encuentra en reposo. Ambos bloques quedan unidos después de la colisión y luego experimentan un choque perfectamente inelástico con el extremo de una pieza metálica cuadrada de 0.50 m por lado, masa = 1.50 kg la cual pivotea libre de fricción en torno a un eje perpendicular a la página en el punto HJ. Si el coeficiente de fricción cinética en el tramo rugoso es = 0.25, ¿cuál es la rapidez angular que experimenta el sistema de los dos bloques y la pieza metálica justo después de la colisión?
Problema 4: (25 puntos)
En la figura siguiente, un alambre de aluminio, de longitud J = 60.0 cm, con área de sección transversal 1.00 × 10S cm, y con densidad 2.60 g/cm", está unido a un alambre de acero, de densidad 7.80 g/cm" y la misma área de sección transversal. El alambre combinado, cargado con un bloque de masa X = 10.0 kg, se configura para que la distancia medida desde el punto de unión a la polea de soporte sea de 86.6 cm. Se establecen ondas transversales en el alambre por una fuente externa de frecuencia variable; un nodo se localiza en la polea. Encuentre:
a) La frecuencia más baja que genera una onda estacionaria teniendo el punto de unión como uno de los nodos.
b) ¿Cuántos nodos se observan a esa frecuencia?
P1
59 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (25 puntos)
Comprimiendo 10 cm un resorte de constante elástica 500 N/m se lanza desde el suelo una flecha de 50g hacia una manzana que cuelga del árbol a 2m sobre el nivel del resorte. Calcule:
a) ¿Con qué ángulo sobre la horizontal se debe lanzar la flecha para que alcance la manzana en posición horizontal?
b) ¿Desde qué distancia horizontal con respecto a la manzana debe lanzarse?
c) La flecha se clava en la manzana y el conjunto cae al suelo a 6.25m del punto de lanzamiento. ¿Cuál es la masa de la manzana?
Utiliza g = 9.8 m/s2 para la aceleración debida a la gravedad.
Solución: a) Por conservación de la energía para el sistema resorte – flecha.
12 | = 12 Xa
Despejando a
a = 5000.05 ∗ 0.1 = 10 X/b
Movimiento de la flecha hasta la manzana.
• Eje x : movimiento con velocidad constante a- • Eje y : movimiento con velocidad variable y aceleración constante igual al
valor de la gravedad. v = av + v:
0 = av − 9.8 Xb ∗ :
60 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
: = av9.8 w
= a + av + :J
2X = av av9.8 w− 12 9.8w av9.8 w
Dando como resultado av = 6.26
av = a bk6 ]
sen ] = 6.26 10
= '. °
En el movimiento sobre el eje de las x.
R = a- ∗ : = a- av9.8 w = 4.98 X
b) El movimiento del conjunto flecha-manzana acaba en la posición (, 0) después
de un tiempo :. Vuelve a ser uniformemente acelerado en la dirección y, con P = 2m , v = 0 , v = −9.8 m/s2; en la dirección x se trata de un movimiento uniforme con velocidad -.
′ = ′P + ′v: + 12 v: 0 = 2X − 12 9.8 Xb ∗ :′
:′ = 0.64b ′ = ′P + ′- ∗ :′ 6.25X = 4.98X + ′-:′
61 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
′- = 1.27X0.64b
′- = 1.98 X/b Conservación de la cantidad de movimiento lineal en dirección x. X ∗ - = X + ′- Donde la masa de la flecha es m y la masa de la manzana es M.
0.05kg*cos 38.8° =( 0.05kg + M) * 1.98 m/s
M = 0.15 kg
62 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (25 puntos)
Se desea formar un lingote de aleación oro cobre con masa 12kg, para lo cual se toma de modelo un bloque de madera el cual al ser colocado en aceite de densidad 706 kg/m3 desaloja 0.915 del volumen del bloque, y al ser colocado en agua desaloja 6.46 x 10 -4 m3. Determine:
a) La densidad de la aleación, ρL = ? b) El “quilataje” del oro en la aleación.
Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación.
Solución: Haciendo diagrama de cuerpo libre del bloque de madera cuando se encuentra en aceite Fe W Al hacer ∑F = 0 W = Fe ρbloqueg Vbloque = ρaceiteg Vdesalojado
ρbloqueg Vbloque = ρaceiteg (0.915)Vbloque (se elimina la gravedad y se despeja ρbloque). ρbloque = 646 kg/m3. Haciendo diagrama de cuerpo libre del bloque de madera cuando se encuentra en agua. Fe
W ρbloqueg Vbloque = ρaguag Vdesalojado
63 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Despejando el volumen del bloque y eliminando la gravedad. Vbloque = (ρaguaVdesalojado)/ρbloque = (1000 kg/m3) ( 6.46 x 10- 4m3)/ 646 kg/m3.
Vbloque = 0.001 m3. a Utilizando la ecuación que define la densidad de un cuerpo, p = , dondemM
y VM son datos del problema con los que obtenemos la densidad del lingote formado por oro y cobre.
p = Xf = 12 0.001m" = 12000 X"
b pOp + p
Con = ¡¢ = £¢ las respectivas fracciones de volumen del oro y del
cobre en la aleación. Recordando que XAu + XCu = 1, obtenemos: p = p + p 1 −
Por lo que despejando la fracción de oro en la mezcla, XAu: = p − p p − p
= 12000 X"4 − 8930 | X"419800 X"4 − 8930 X"4 = 0.295 = fJf = X p4f
64 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Despejando la masa de oro, de la última ecuación: X = 0.295pf = 5.71 Por lo que el porcentaje de oro en la muestra será XAu %= 5.71Kg/12Kg = 47.6%. es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleación, por lo que sus quilates serán: J¤T.Jo% = ¦¤T§.o% ,
entonces, los quilates XK, correspondientes a ese porcentaje de oro calculado son:
= 47.64.16% = 11.5 ¨nW:kb
65 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (25 puntos)
Un bloque de masa XJ = 0.50 kg se deja caer desde una altura = 2.00 m (como muestra la figura), sobre una superficie sin fricción hasta llegar a un tramo rugoso de longitud R = 1.20 m, continúa desplazándose y choca con un segundo bloque de masa X = 1.00 kg que se encuentra en reposo. Ambos bloques quedan unidos después de la colisión y luego experimentan un choque perfectamente inelástico con el extremo de una pieza metálica cuadrada de 0.50 m por lado, masa = 1.50 kg la cual pivotea libre de fricción en torno a un eje perpendicular a la página en el punto HJ. Si el coeficiente de fricción cinética en el tramo rugoso es = 0.25, ¿cuál es la rapidez angular que experimenta el sistema de los dos bloques y la pieza metálica justo después de la colisión?
Solución: Se aplicarán los principios de conservación de la energía mecánica, conservación del momentum lineal y el momentum angular. Por el conservación de la energía mecánica y el teorema Trabajo-Energía Cinética se puede calcular la rapidez del bloque 1 justo antes de chocar con el bloque 2 a través de la ecuación: 1 XJ − XJR = 12 XJ
Después, se aplica el principio de conservación del momentum lineal considerando que el tramo donde chocan los bloques es libre de fricción y que la colisión es perfectamente inelástica adquiriendo ambos bloques la misma velocidad. Este hecho permite escribir la ecuación siguiente para determinar la rapidez que adquieren ambos bloques:
2 " = XJXJ + X
Ambos bloques quedan unidos y siguen desplazándose sobre la superficie libre de fricción y en el instante donde colisionan con la lámina se aplica conservación del momentum angular para lo cual es necesario calcular el momento de inercia del sistema compuesto por los dos bloques considerados masas puntuales y la lámina
P1
66 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
girando en torno a un eje ubicado en uno de sus extremos. El momento de inercia total se calcula como sigue: 3 ©ª = W hXJ + X + " i
donde W es la longitud o ancho de la lámina de metal
El momentum angular inicial puede obtenerse a partir de la siguiente expresión: 4 P = W ∙ XJd2 − R
Y el momentum angular final puede calcularse a través de la siguiente ecuación: 5 ¬ = © = WXJ + X + 13
Igualando las ecuaciones 4) y 5) y despejando para para luego sustituir los valores numéricos tenemos que: 6 = XJWXJ + X + J"
. d2 − R = . ® ¯°±/²
67 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (25 puntos)
En la figura siguiente, un alambre de aluminio, de longitud J = 60.0 cm, con área de sección transversal 1.00 × 10S cm, y con densidad 2.60 g/cm", está unido a un alambre de acero, de densidad 7.80 g/cm" y la misma área de sección transversal. El alambre combinado, cargado con un bloque de masa X = 10.0 kg, se configura para que la distancia medida desde el punto de unión a la polea de soporte sea de 86.6 cm. Se establecen ondas transversales en el alambre por una fuente externa de frecuencia variable; un nodo se localiza en la polea. Encuentre:
a) La frecuencia más baja que genera una onda estacionaria teniendo el punto de unión como uno de los nodos.
b) ¿Cuántos nodos se observan a esa frecuencia?
Solución: a) La frecuencia de la onda es la misma para ambas secciones del alambre. La rapidez de la onda y la longitud de onda, sin embargo, ambas son diferentes en las diferentes secciones del alambre. Supóngase que hay 6J nodos en la sección de aluminio del alambre. Entonces J = 6J³J2 = 6JJ/2
donde ³J es la longitud de onda y J es la rapidez de la onda en aquella sección del alambre. En estas consideraciones, hemos sustituido ³J = J/, donde es la frecuencia. Así = 6JJ/2J. Una expresión similar se tiene para la sección de acero: = 6/2. Ya que la frecuencia es la misma para las dos secciones del alambre, 6JJ/2J = 6/2. Ahora bien la rapidez de onda en la sección de
aluminio está dada por JO%´ J4 donde J es la densidad lineal de masa para el
alambre de aluminio. La masa del alambre de aluminio está dada por XJ = pJ8J donde pJ es la densidad de masa para el aluminio y 8 es la sección transversal del alambre. Así JOpJ8J/J = pJ8
68 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
y JO%´ pJ84 . Una expresión similar se puede usar para la sección de acero
O%´ p84 Se nota que la sección transversal y la tensión son las mismas para las
dos secciones. La igualdad de frecuencias para las dos secciones lleva a que 66J = dpJdpJ = 2.50
Los enteros menores que tienen esta razón son 2 y 5. La frecuencia es
= 6J2J XpJ8 = 'µ ¶·
usando 2 en 6J. b) El patrón de onda estacionaria tiene dos nodos en la sección de aluminio y cinco nodos en la sección de acero, o siete nodos en total. Entonces hay 8 nodos contando los extremos.
Octava
OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE FÍSICA NIVEL II
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie de cuatrocorrectamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 1
Problema 1: (25 puntos)
El switch del circuito ha estado en la posición “En t = 0, el swith se mueve intan
a) VC (t) b) Vo (t) c) Io (t)
100V
10
Problema 2: (25 puntos)
Una esfera sólida conductora tiene una carga neta de potencial eléctrico cero en el infinito y encuentre:
a) La diferencia de potencial entre un punto esfera y otro punto B (VA –VB).
b) La diferencia de potencial entre un punto del centro de la esfera y el punto
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE FÍSICA NIVEL II
e le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 1
El switch del circuito ha estado en la posición “x” durante un largo período de tiempo. En t = 0, el swith se mueve intantáneamente a la posición “y”. Calcule:
10kΩ 10kΩ
47kΩ 240kΩ
x yIo
VoVC
1µF
Una esfera sólida conductora tiene una carga neta de +2Q y un radio potencial eléctrico cero en el infinito y encuentre:
La diferencia de potencial entre un punto A localizado en la superficie de la localizado a una distancia r1 > R del centro de la esfera
La diferencia de potencial entre un punto C, localizado a una distancia del centro de la esfera y el punto A localizado en su superficie (V
69 y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
” durante un largo período de tiempo. ”. Calcule:
kΩ
y un radio R. Tome el
localizado en la superficie de la del centro de la esfera
, localizado a una distancia r2 < R VC -VA).
70 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (25 puntos)
Desde el punto de vista electrostático la Tierra se considera como un buen conductor, dotada de una carga Qo y una densidad superficial promedio σ¸. Cuando las condiciones atmosféricas son buenas, existe un campo eléctrico vertical y hacia abajo, Eo, que en las proximidades de la superficie terrestre vale 150 V/m.
a) Calcular la densidad de carga superficial terrestre y la carga Qo. b) El módulo del campo eléctrico terrestre disminuye con la altura y su valor es
100V/m a una altura de 100 m sobre la superficie terrestre. Determinar la carga neta promedio que existe por m3 entre la superficie terrestre y la altura de 100 m.
c) La carga neta calculada en b) es el resultado de existir casi el mismo número de iones positivos y negativos, con una sola carga. En las proximidades de la superficie terrestre y con buenas condiciones atmosféricas nK = nS ≈ 6 × 10mmS". Estos iones se desplazan por la acción del campo eléctrico, siendo su velocidad proporcional al campo v = 1.5 × 10STE (v en m/s y E en V/m) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el movimiento de los iones atmosféricos neutralice la mitad de la carga superficial terrestre, suponiendo que no existe ningún otro proceso que tienda a restablecerla? Puede suponer que la neutralización de la carga en la superficie terrestre no hace variar la intensidad del campo eléctrico.
Problema 4: (25 puntos)
Levitación de una espira conductora. En un alambre largo horizontal circula una corriente I que decrece con el tiempo. Una espira conductora es suspendida durante un intervalo de tiempo ∆t pequeño. En ese intervalo la espira se mantiene en equilibrio. La espira se encuentra en un plano vertical a una distancia D por debajo del alambre, como se muestra en la figura. La espira es un cuadrado de lado a, masa m y resistencia R. La distancia D es mucho mayor que a. Desprecie la autoinductancia de la espira.
a) Haga un diagrama del sistema indicando claramente las corrientes, campos magnéticos y fuerzas involucradas.
b) Encuentre la corriente inducida en la espira. c) Encuentre la fuerza magnética neta sobre la espira, indicando su magnitud
(módulo), dirección y sentido.
71 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (25 puntos)
El switch del circuito ha estado en la posición “x” durante un largo período de tiempo. En t = 0, el swith se mueve intantáneamente a la posición “y”. Calcule:
a) VC (t) b) Vo (t) c) Io (t)
Solución: Como el circuito ha permanecido en "x" durante mucho tiempo, del circuito puede observarse que el capacitor se carga al voltaje de la fem, es decir 100V. Entonces, V½¾ = 100V
a) Al moverse el interruptor a la posición "y" se tiene un circuito de un capacitor y tres resistores, primero lo simplificaremos hasta obtener un circuito simple de la forma RC. Se observa que la resistencia de 47kΩ y de 240kΩ están en paralelo y su equivalente en serie con la resistencia de 10kΩ. Por lo que:
RÀÁJ = ; 1240 × 10" + 147 × 10"<SJ = 39303Ω
La resistencia equivalente de las tres es:
RÀÁ = 10 × 10" + ; 1240 × 10" + 147 × 10"<SJ = 49303Ω
Entonces el voltaje en el capacitor está dado por: V½ = V½¾e ÂÃÄÅÆÇ = 100eSÈ/P.PT
72 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
b) La corriente del circuito simplificado es igual a:
i = V½RÀÁ = 100eSÈ/P.PT49303 = 2. 03 × 10⁻³eSÈ/P.PT
Esta es la corriente que circula por RÀÁJ por lo que a partir de la ley de ohm puedo encontrar V :
V = RÀÁi = 39303 2. 03 × 10⁻³eSÈ/P.PT = 79. 785eSÈ/P.PT
c) Lo corriente I¸ es la que circula por la resistencia de 47kΩ en la cual el voltaje es V por lo que a partir de la ley de ohm:
I¸ = V47000 = 79. 785ehS ÃË.ËÌÍi47000 = 1. 6976 × 10⁻³ehS ÃË.ËÌÍi
73 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (25 puntos)
Una esfera sólida conductora tiene una carga neta de +2Q y un radio R. Tome el potencial eléctrico cero en el infinito y encuentre:
a) La diferencia de potencial entre un punto A localizado en la superficie de la esfera y otro punto B localizado a una distancia r1 > R del centro de la esfera (VA –VB).
b) La diferencia de potencial entre un punto C, localizado a una distancia r2 < R del centro de la esfera y el punto A localizado en su superficie (VC -VA).
Solución: a) Encontraremos la diferencia de potencial entre dos puntos a partir del campo
eléctrico en la región comprendida entre los puntos A y B.
∫
−+=
−+=
+=−
1
1
2
112
12
2r
R
BArR
kQr
kQr
kQdrVV
b) Por tratarse de una esfera conductora en la región interior de la esfera el campo
es cero. Por lo tanto:
AC VV =
0=− AC VV
74 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (25 puntos)
Desde el punto de vista electrostático la Tierra se considera como un buen conductor, dotada de una carga Qo y una densidad superficial promedio σ¸. Cuando las condiciones atmosféricas son buenas, existe un campo eléctrico vertical y hacia abajo, Eo, que en las proximidades de la superficie terrestre vale 150 V/m.
a) Calcular la densidad de carga superficial terrestre y la carga Qo. b) El módulo del campo eléctrico terrestre disminuye con la altura y su valor es
100V/m a una altura de 100 m sobre la superficie terrestre. Determinar la carga neta promedio que existe por m3 entre la superficie terrestre y la altura de 100 m.
c) La carga neta calculada en b) es el resultado de existir casi el mismo número de iones positivos y negativos, con una sola carga. En las proximidades de la superficie terrestre y con buenas condiciones atmosféricas nK = nS ≈ 6 × 10mmS". Estos iones se desplazan por la acción del campo eléctrico, siendo su velocidad proporcional al campo v = 1.5 × 10STE (v en m/s y E en V/m) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el movimiento de los iones atmosféricos neutralice la mitad de la carga superficial terrestre, suponiendo que no existe ningún otro proceso que tienda a restablecerla? Puede suponer que la neutralización de la carga en la superficie terrestre no hace variar la intensidad del campo eléctrico.
Solución: a) Calcular la densidad de carga superficial terrestre y la carga Qo.
Utilizando la ley de Gauss en una superficie esférica de radio r igual al radio terrestre se
tiene:
` EÎÎÏ ∙ dAÎÎÎÎÎÏ = qÀѽÀÒÒÓÔÓε¸
−E4πR× = Q¸ε¸
Despejando la carga:
Q¸ = −E4πR×ε¸ = −1504π6.4 × 10o8.85 × 10J = −6.8 × 10lC
Calculando σ¸ σ¸ = −Eε¸ = −1508.85 × 10J = −1.33 × 10S Cm
b) El módulo del campo eléctrico terrestre disminuye con la altura y su valor es 100V/m a una
altura de 100 m sobre la superficie terrestre. Determinar la carga neta promedio que existe
por m3 entre la superficie terrestre y la altura de 100 m.
75 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Si consideramos un cilindro gausiano con bases de superficie A y altura de 100m colocamos
una de sus bases en la superficie terrestre y la otra a 100m sobre la superficie terrestre, se
tendrá que el campo eléctrico en una base es 150 V/m, mientras que en la otra -100 V/m, en
ambos casos perpendicular a las bases y dirigidos hacia la superficie terrestre se tendrá:
ΦÑÀȸ = ΦÛÓÜÀJ + ΦÛÓÜÀ = qÀѽÀÒÒÓÔÓε¸ = ρVolumenε¸
EÎÎÏJ ∙ AÎÎÏJ + EÎÎÏ ∙ AÎÎÏ = ρAhε¸
+EJA − EA = ρAhε¸
ρ = EJ−Eε¸h = 4.425 × 10SJ Cm"
c) La carga neta calculada en b) es el resultado de existir casi el mismo número de iones
positivos y negativos, con una sola carga. En las proximidades de la superficie terrestre y
con buenas condiciones atmosféricas nK = nS ≈ 6 × 10mmS". Estos iones se desplazan por
la acción del campo eléctrico, siendo su velocidad proporcional al campo
v = 1.5 × 10STE (v en m/s y E en V/m)
¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el movimiento de los iones atmosféricos neutralice
la mitad de la carga superficial terrestre, suponiendo que no existe ningún otro proceso que
tienda a restablecerla? Puede suponer que la neutralización de la carga en la superficie
terrestre no hace variar la intensidad del campo eléctrico.
A la superficie terrestre llegan las cargas positivas dado que la dirección del campo eléctrico
apunta radialmente hacia ésta, así que sí se neutralizan las cargas de la superficie terrestre.
En una aproximación, se supondrá que la neutralización de la carga no hace variar la
intensidad del campo.
La mitad de la carga es: QP2 = −6.8 × 10l2 = −3.4 × 10lC
La cantidad de carga por segundo que llega a la superficie terrestre, la podemos calcular:
A×vnKe = 4πR×1.5 × 10STEnKe
= 4π6.4 × 10o1.5 × 10ST1506 × 10m1.6 × 10SJ = 1111.8C/s Por lo cual el tiempo aproximado es:
t = 3.4 × 10l1111.8 = 306s
76 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (25 puntos)
Levitación de una espira conductora. En un alambre largo horizontal circula una corriente I que decrece con el tiempo. Una espira conductora es suspendida durante un intervalo de tiempo ∆t pequeño. En ese intervalo la espira se mantiene en equilibrio. La espira se encuentra en un plano vertical a una distancia D por debajo del alambre, como se muestra en la figura. La espira es un cuadrado de lado a, masa m y resistencia R. La distancia D es mucho mayor que a. Desprecie la autoinductancia de la espira.
a) Haga un diagrama del sistema indicando claramente las corrientes, campos magnéticos y fuerzas involucradas.
b) Encuentre la corriente inducida en la espira. c) Encuentre la fuerza magnética neta sobre la espira, indicando su magnitud
(módulo), dirección y sentido.
Solución:
a) Haga un diagrama del sistema indicando claramente las corrientes, campos
magnéticos y fuerzas involucradas.
b) Encuentre la corriente inducida en la espira. ÏßJ
Ïß
X
77 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
El campo magnético de un alambre largo que transporta corriente a una distancia r del alambre es: BÎÎÏ = μ¸I2πr
La fem que se induce en la espira es igual a:
ε = −dΦâ/dt
Calcularemos el flujo magnético tomando en consideración que el campo magnético no es uniforme en el área de la espira, teniendo una mayor intensidad en la parte superior que en la inferior. dΦ = BdA = μ¸I2πr adr
Φ = ` μ¸I2πr adr = μ¸I2π aãKÓã ln ;D + aD <
ε = − dΦâdt = − μ¸2π aln ;D + aD < dIdt
En la expresión anterior como la corriente disminuye en el tiempo ÔåÔÈ es una
razón de cambio negativa. La corriente inducida es entonces: i = εR = − μ¸2πR aln ;D + aD < dIdt
c) Encuentre la fuerza magnética neta sobre la espira, indicando su magnitud
(módulo), dirección y sentido. La fuerza entre alambres paralelos separados una distancia d está dada por: FÎÏâ = μPIJIL2πd
La fuerza es de atracción si las corrientes se dirigen hacia el mismo sentido, repulsiva si las corrientes van en direcciones opuestas. Por lo que la fuerza magnética neta sobre la espira es la suma vectorial de la fuerza que experimente el lado superior de la espira y la fuerza magnética del lado inferior:
78 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
FÎÏâ = FÎÏâJ+FÎÏâ FÎÏâ = μPIia2πD ȷ − μPIia2πD + a ȷ = μPIia2πD ;1 − DD + a< ȷ
Donde la corriente inducida i en la expresión anterior es igual a: i = εR = − μ¸2πR aln ;D + aD < dIdt
Como la espira se encuentra en equilibrio la fuerza magnética calculada anteriormente debe ser igual al peso de la espira. Fâ = mg
Octava
4.3 QUÍMICA
OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular.
Primera Serie (50 puntos)
Consta de 25 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica. Subraye la respuesta correcta. Si nenúmero de inciso que se razona.
1. Se puede identificar un metal determinando con cuidado su densidad (pedazo de metal desconocido con masa de 2.361 g, mide 2.35 cm de largo, 1.34 cm de ancho y 1.05 mma. Níquel, d = 8.91 g/cmb. Titanio, d = 4.50 g/cmc. Zinc, d = 7.14 g/cm3
d. Estaño, d = 7.23g/cme. Estaño, d= 8.44 g/cm
2. El aluminio es un metal ligero (densidad = 2.70 g/cm
construcción de aviones, líneas de transmisión de alto voltaje, latas para bebidas y papel aluminio. ¿Cuál es su densidad en kg/ma. 2.83 x 103 kg/m3 b. 3.051 x 102 kg/m3 c. 2.70 x 102 kg/m3 d. 2.2876 x 103 kg/m3
e. 2.70 x 103 kg/m3
3. Ley que establece que la composición que la
compuesto puro, Siempre es la misma.a. Ley de la Conservación de la Materiab. Ley de la Conservación de la Energíac. Ley de las Proporciones Definidasd. Leyes Científicas e. Ley de los Gases Ideales
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de
conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular.
Primera Serie (50 puntos)
Consta de 25 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica. Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo, indicando el número de inciso que se razona.
Se puede identificar un metal determinando con cuidado su densidad (pedazo de metal desconocido con masa de 2.361 g, mide 2.35 cm de largo, 1.34 cm de ancho y 1.05 mm de grueso. ¿Cuál de los siguientes es el elemento?
Níquel, d = 8.91 g/cm3 Titanio, d = 4.50 g/cm3
3 Estaño, d = 7.23g/cm3 Estaño, d= 8.44 g/cm3
El aluminio es un metal ligero (densidad = 2.70 g/cm3) que se utiliza en la de aviones, líneas de transmisión de alto voltaje, latas para bebidas
y papel aluminio. ¿Cuál es su densidad en kg/m3?
Ley que establece que la composición que la Composición Elemental de un compuesto puro, Siempre es la misma.
Ley de la Conservación de la Materia Ley de la Conservación de la Energía Ley de las Proporciones Definidas
Ley de los Gases Ideales
79 y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y Periódica, tabla de factores de
conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular.
Consta de 25 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica. cesita razonar una respuesta, hágalo, indicando el
Se puede identificar un metal determinando con cuidado su densidad (d). Un pedazo de metal desconocido con masa de 2.361 g, mide 2.35 cm de largo, 1.34
de grueso. ¿Cuál de los siguientes es el elemento?
) que se utiliza en la de aviones, líneas de transmisión de alto voltaje, latas para bebidas
Composición Elemental de un
80 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4. ¿Cuál de los siguientes es un cambio químico? a. La digestión de los alimentos b. La evaporación del agua líquida c. La ebullición del agua d. La mezcla del agua y el azúcar e. La fusión del hielo
5. Una uma es igual a:
a. La masa del electrón b. La masa del neutrón c. La masa del núcleo d. La masa del protón e. NAC
6. El diámetro del núcleo es alrededor de un fermi, y el radio del átomo es alrededor de un angstrom, si el radio de un átomo fuera la longitud del canal de Panamá(77km) ¿Cuál sería el diámetro del núcleo en cm? a. 0.77 cm b. 770 cm c. 77 cm d.7.70 cm e. NAC
7. Se define como la energía que un electrón gana al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 V: a. Voltio b. Vatio c. eV d. MeV e. Ninguna de las anteriores es correcta.
8. Una placa de aluminio es irradiada con una luz A de longitud de
onda λ, a partir de la cual se lleva a cabo el efecto fotoeléctrico, si se irradia otra placa de aluminio con un rayo de luz B con 2λ, entonces: a. Se desprenden de cada placa la misma cantidad de electrones. b. La energía cinética de los electrones es cero. c. El rayo de luz B no es capaz de desprender un electrón de la placa. d. b y c son correctas e. Ninguna de las anteriores es correcta.
81 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
9. En general, el radio atómico de los elementos en la tabla periódica: a. Aumenta al bajar por un grupo, y aumenta a través del mismo periodo. b. Disminuye al bajar por un grupo, y no cambia a través del mismo periodo. c. Aumenta al bajar por un grupo y disminuye a través del mismo periodo. d. Aumenta al bajar por un grupo y no cambia a través del mismo periodo e. No cambia al bajar por un grupo y aumenta a través del mismo periodo.
10. La tendencia de la electronegatividad en la tabla periódica:
a. Aumenta al bajar por un grupo, y aumenta a través del mismo periodo. b. Disminuye al bajar por un grupo, y no cambia a través del mismo periodo. c. Aumenta al bajar por un grupo y disminuye a través del mismo periodo. d. Aumenta de izquierda a derecha en un periodo y de arriba hacia abajo en un
grupo. e. No cambia al bajar por un grupo y aumenta a través del mismo periodo.
11. El carácter metálico de los elementos en la tabla periódica obedece el siguiente
patrón: a. No existe patrón definido, depende de la ubicación del elemento en la tabla
periódica. b. Aumenta de derecha a izquierda a lo largo de los períodos y de arriba hacia
abajo a lo largo de los grupos c. Disminuye de derecha a izquierda a lo largo de los períodos y de arriba hacia
abajo a lo largo de los grupos d. Aumenta de derecha a izquierda a lo largo de los períodos y disminuye de
arriba hacia abajo a lo largo de los grupos e. Disminuye de derecha a izquierda a lo largo de los períodos y aumenta de
arriba hacia abajo a lo largo de los grupos
12. ¿Cuál de las siguientes moléculas es apolar? a. Amoniaco b. Ácido Sulfhídrico c. Dióxido de Carbono d. Ácido Clorhídrico e. Diclorometano (CH2Cl2)
13. La Forma geométrica de la molécula de formaldehído (H2CO) es: a. Lineal b. Triangular plana c. Angular d. Piramidal Triangular e. Tetraédrica
82 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
14. Para las siguientes moléculas: SiH4, PH3 y H2S: a. En las tres moléculas, el átomo central tiene cuatro pares de electrones en
orbitales enlazantes. b. El ángulo H-Si-H es menor que el ángulo H-P-H. c. En los tres casos el átomo central presenta hibridación sp3 d. La única molécula polar es PH3 e. La única linel es H2S.
15. Los metales alcalinos potasio, rubidio y cesio reaccionan con un exceso de dioxígeno para formar un grupo de compuestos que contienen el ión paramagnético. O21-. Estos compuestos se denominan en la nomenclatura química como: a. Óxidos b. Peróxidos c. Superóxidos d. Subóxidos e. Dióxidos
16. En la nomenclatura inorgánica básica, se estudia la molécula cíclica análoga al
benceno que resulta de la reacción entre el diborano y el amoníaco. Este compuesto se denomina: a. Borazina b. Hexaborano c. Nitruro de boro d. Borina e. El compuesto no existe
17. En el grupo de gases que forman los elementos de la familia del nitrógeno con el
hidrógeno, el estado (o número) de oxidación que presentan el nitrógeno, el fósforo y el arsénico es: a. -3 b. -1 c. 0 d. +1 e. +3
83 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
18. El nombre genérico que se utiliza para denominar los compuestos con oxígeno que forman los metales de la primera serie de transición utilizando estados de oxidación mayores o iguales a +4 es: a. Óxidos básicos b. Oxácidos c. Oxoaniónes d. Óxidos ácidos e. Anhídridos
19. El trióxido de azufre se prepara mediante las siguientes dos reacciones:
S8(s) + 802(g) → 8SO2(g) 2SO2 (g) + O2(g) → 2SO3(g)
¿ Cuantos moles SO3 se producen a partir de 1 mol deS8? a. 1 b. 2 c. 4 d. 8 e. 16
20. En la combustión de un cierto hidrocarburo se produjeron 16.0 g de CO2, lo que
representa un rendimiento del 75%. Cuál es el rendimiento teórico?. a. 12.0 g b. 8.0 g c. 21.3 g d. 32.9 g e. 44.0 g
21. De la reacción de combustión:
CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
¿Cuando se queman 16.0g de CH4 con 32.0g de O2. que enunciado es cierto? a. El CH4 es el reactivo limitante b. EL CO2 está en exceso c. EL CH4 está en exceso d. EL O2 está en exceso e. EL H2O es el reactivo limitante
84 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
22. Considere un recipiente cúbico perfectamente rígido. El recipiente está dividido por la mitad mediante el uso de una membrana, cuya naturaleza nos es indiferente. Del lado izquierdo hay un gas ideal, y el lado derecho está al vacío. La membrana se rompe y el gas se expande por todo el recipiente; entonces: a. T aumenta b. T disminuye c. T constante
23. El Hidrógeno molecular se licúa a -252.8°C; el Helio a -269°C. A condiciones normales, los dos se consideran gases ideales, pero cerca del cero absoluto ya no se les puede considerar así. A esas condiciones cercanas al cero absoluto, ¿cuál de las condiciones de gas ideal se cumplen más para el He que para H2? a. Las partículas son puntos masa b. Las partículas no interaccionan c. Los choques entre partículas son elásticos d. Ninguna de las anteriores
24. Un estudiante dice haber visto, con sus propios ojos que se han de comer los gusanos, un aparato donde un gas se compresiona aumentando su volumen. ¿Puede existir tal aparato? a. Sí b. No
25. Proponga un proceso isotérmico, en fase gaseosa, dentro de un recipiente rígido e impermeable al entorno, de modo que después del proceso la presión haya disminuido:
Segunda Serie (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explicita y ordenada de todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.
Problema 1 (Análisis dimensional y densidad)
Una refinería de cobre produce un lingote de cobre de 150 lb de peso. Si el cobre se convierte en alambres de 8.25 mm de diámetro, ¿cuántos pies de cobre pueden obtenerse de un lingote?
85 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2 (Energía)
Una placa de titanio es irradiada con una onda electromagnética que posee cuantos de tamaño de 399E3 kJ/mol. Determine:
a. ¿Cuál es el período de la onda electromagnética? b. ¿Cuál es la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos de
la placa de titanio?
Problema 3 (Enlace Químico )
El Azufre forma diferentes compuestos con oxígeno y los halógenos (El azufre es en todos los casos el átomo central). Estos compuestos forman enlaces covalentes por la química del azufre y muchos son hidrolizados fácilmente en agua, por lo que sus usos industriales (como en la industria azucarera) son muchísimos.
a. Escriba las estructura de Lewis de las moléculas SCl2, SO3, SO2ClF, SF4 y SBrF5 b. Dibuje la geometría de las 5 moléculas anteriores (desprecie las ligeras
desviaciones de los ángulos, use los ángulos ideales)
Problema 4 (Estequiometria )
Tenemos la siguiente reacción: H3PO4 + CaCO3 → Ca3 (PO4)2 + CO2 + H2O. se hace de calcio reaccionar 1 libra de carbonato con ½ Kg de ácido fosfórico, resultado de esta reacción nos da una producción real de 75g de fosfato de calcio.
A. Quien es el reactivo limitante B. Quien es el reactivo en exceso C. Cuantos gramos se produce de fosfato de calcio al 90% de producción D. Cuantos gramos se produce de CO2 con un rendimiento del 95% E. Cuantos gramos de agua se producen F. Cuál es el rendimiento de la producción G. Cuanto de reactivo en exceso hay.
Problema 5 (Gases ideales)
En una habitación pequeña, la temperatura es de 20°C y el aire atmosférico está compuesto por 21 por 100 mol de Oxígeno y 79 por 100 mol de Nitrógeno. Dentro de la habitación hay un pequeño cilindro que contiene GLP (una mezcla de Propano y Butano a una presión mayor que la presión de la habitación). Se deja escapar GLP hasta que la presión dentro del cilindro iguala a la presión atmosférica, sin que haya cambio en la temperatura de la habitación ni haya cambio en la composición del gas dentro del cilindro; pero, debido a la presencia del gas escapado, la presión atmosférica dentro de la habitación es ahora de 1.1 atm y el aire así viciado tiene una densidad de 1.3876 g/L y una composición de 90.9091 por 1000 mol de GLP, 190.9091 por 1000 mol de Oxígeno y el resto de Nitrógeno. Calcule la composición (en fracción) del GLP dentro del cilindro.
86 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PRIMERA SERIE
1. c 6. c 11. b 16. a 21. c
2. e 7. c 12. c 17. a 22. c
3. c 8. d 13. b 18. e 23. d
4. a 9. c 14. c 19. d 24. a
5. d 10. d 15. c 20. c
25. Una reacción química estequiométrica, en fase gaseosa donde el número de moles disminuya, por Ejemplo: N2 + 2O2 2NO2
SEGUNDA SERIE
Segunda Serie (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explicita y ordenada de todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.
Problema 1 (Análisis dimensional y densidad)
Una refinería de cobre produce un lingote de cobre de 150 lb de peso. Si el cobre se convierte en alambres de 8.25 mm de diámetro, ¿cuántos pies de cobre pueden obtenerse de un lingote? Solución
Gramos de cobre = (150 lb cobre) (1 kg/ 2.204 lb cobre) (1000 g/kg) = 6.806 x 104 g Diámetro del alambre en cm = (8.25 mm) (1cm/10 mm) = 0.825 cm Radio del alambre en cm = 0.825 cm/2 = 0.4125 cm Volumen del alambre = masa en g/densidad del cobre Volumen del alambre = 6.806 x 104 g/ 8.96 g/cm3 = 7.596 x 103 cm3
Volumen del alambre = 9 [ ℎ, Despejando ℎ ℎ = f/9 [ = 7.596 x 103 cm3/ 9 (0.4125cm)2 = 1.421 x 104 cm Pies de cobre = (1.421 x 104 cm) (1 pie) /(30.48 cm) = 466.21 pies Respuesta 466.21 pies
87 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2 (Energía)
Una placa de titanio es irradiada con una onda electromagnética que posee cuantos de tamaño de 399E3 kJ/mol. Determine:
a. ¿Cuál es el período de la onda electromagnética? b. ¿Cuál es la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos de
la placa de titanio?
Solución
a. 399000 |ë/XaW ∗ 1000ë/ |ë ∗ 1XaW / 6.0221023 a:a6kb = 6.62510SJo ë = ℎì ì = /ℎ = 6.62510SJoë /6.62610S"Të. b = 9.45510J§ bSJ í = 1/ì = 1/9.45510J§ bSJ = 1.010SJm b. b. = î + |î
= 6.82kf ∗ 1.6010SJ ë1 kf = 1.091210SJm ë. | = − î | = 6.62510SJoë − 1.091210SJm ë = 6.61410SJo ë | = ½ X
= d2 ∗ 6.61410SJo ë/9.109510S"J | = 38,106,566.81 X/b.
Respuesta ', )ðñ, òññ. ) ó/ô
88 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
Problema 3 (Enlace Químico
El Azufre forma diferentes compuestos con oxígeno y los halógenos (El azufre es en todos los casos el átomo central). Estos compuestos forman enlaces covalentes por la química del azufre y muchos son hidrolizados fácilmente en agua, por lo que sus usos industriales (como en la industria azucarera) son muchísimos.
a. Escriba las estructura de Lewis de las mb. Dibuje la geometría de las 5 moléculas anteriores (desprecie las ligeras
desviaciones de los ángulos, use los ángulos ideales)Solución
Compuesto a SCl2
SO3
Oo cargadas
SO2ClF
O susresonantes.
SF4
SBrF5
Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Enlace Químico )
El Azufre forma diferentes compuestos con oxígeno y los halógenos (El azufre es en el átomo central). Estos compuestos forman enlaces covalentes por la
química del azufre y muchos son hidrolizados fácilmente en agua, por lo que sus usos industriales (como en la industria azucarera) son muchísimos.
Escriba las estructura de Lewis de las moléculas SCl2, SO3, SO2
Dibuje la geometría de las 5 moléculas anteriores (desprecie las ligeras desviaciones de los ángulos, use los ángulos ideales)
b
angular
O sus formas resonantes o cargadas
Trigonal plana
O en susresonantes y cargadas.
O sus estructuras resonantes.
Tetraédrica:
O en su forma cargada
Trigonal bipiramidal
Octaédrica
El Azufre forma diferentes compuestos con oxígeno y los halógenos (El azufre es en el átomo central). Estos compuestos forman enlaces covalentes por la
química del azufre y muchos son hidrolizados fácilmente en agua, por lo que sus usos
2ClF, SF4 y SBrF5 Dibuje la geometría de las 5 moléculas anteriores (desprecie las ligeras
sus formas resonantes y cargadas.
su forma
Trigonal bipiramidal
89 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4 (Estequiometria )
Tenemos la siguiente reacción: H3PO4 + CaCO3 → Ca3 (PO4)2 + CO2 + H2O. se hace de calcio reaccionar 1 libra de carbonato con ½ Kg de ácido fosfórico, resultado de esta reacción nos da una producción real de 75g de fosfato de calcio.
A) Quien es el reactivo limitante B) Quien es el reactivo en exceso C) Cuantos gramos se produce de fosfato de calcio al 90% de producción D) Cuantos gramos se produce de CO2 con un rendimiento del 95% E) Cuantos gramos de agua se producen F) Cuál es el rendimiento de la producción G) Cuanto de reactivo en exceso hay.
Solución
PASO No. 1: Balancear la ecuacion: 2H3PO4 + 3CaCO3 → Ca3(PO4)2 + 3CO2 + 3H2O 0.5 = 500 1 õ = 454 PASO No. 2: Pasarlos a moles 500H3PO4 X 1 MOL H3PO4 = 5.1 MOL H3PO4 98 gH3PO4 454 g CaCO3 X1MOL CaCO3 = 4.54 MOL CaCO3
100g CaCO3
A) F U4 CaCO3 = 4.54/3 = 1.51 ← reactivo limitante
B) F U4 H3PO4 = 5.1/2 = 2.55 ← reactivo en exceso
90 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
PASO No. 3: Calculo de los productos
C) 1 MOL Ca3(PO4)2 X 4,54 MOLES CaCO3 X 310g Ca3(PO4)2 3 MOL Ca/CO3 1 MOL Ca3(PO4)2 = 469.13 g Ca3(PO4)2 al 100%
422.22 al 90%
D) 3 MOLES CO2 X 4.54 MOLES CaCO3 X 44g CO2 = 199.76 g CaCO3 al 100%
3 MOLES CaCO3 1 MOL CO2
189.77g al 95%
E) 3 MOLES H2O X 4.54 MOLES CaCO3 X 18g H2O = 81.72 g H20 3 MOLES CaCO3 1 MOL H2O
F) 75 g X 1000 = 15.98%
469.13
G) 2 MOLES H3PO4 X 1.51 MOL Ca3(PO4) X 98g H3PO4 = 296.61 g
1 MOL Ca3(PO4)2 1 MOL H3PO4
Teniamos 500g - 296.61 = 203.39 g en exceso
91 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 5 (Gases ideales)
En una habitación pequeña, la temperatura es de 20°C y el aire atmosférico está compuesto por 21 por 100 mol de Oxígeno y 79 por 100 mol de Nitrógeno. Dentro de la habitación hay un pequeño cilindro que contiene GLP (una mezcla de Propano y Butano a una presión mayor que la presión de la habitación). Se deja escapar GLP hasta que la presión dentro del cilindro iguala a la presión atmosférica, sin que haya cambio en la temperatura de la habitación ni haya cambio en la composición del gas dentro del cilindro; pero, debido a la presencia del gas escapado, la presión atmosférica dentro de la habitación es ahora de 1.1 atm y el aire así viciado tiene una densidad de 1.3876 g/L y una composición de 90.9091 por 1000 mol de GLP, 190.9091 por 1000 mol de Oxígeno y el resto de Nitrógeno. Calcule la composición (en fracción) del GLP dentro del cilindro.
Solución
Sea: P = presión M=masa molar R = constante universal de los gases ideales T = temperatura p = densidad y = fracción molar p = H í
ö÷ = p íH = 1.3876 ø . 0.08206 .ùú.¤ . 293.15 1.1 :X = 30.3454 XaW ö÷ = û. û + ü. ü + øúýøúý
øúý = ö÷ − û. û − ü. üøúý = 30.3454 − 0.1909091 ∗ 32 − 0.7181818 ∗ 28 øú0.0909091
= 45.3995 XaW
92 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
øúý = ýþý. ýþý + . ýþý + = 1
ýþý = øúý − ýþý − = 45.3995 − 58 øú44 − 58 øú= 0.9
= 0.1
Respuesta: Fracciones: propano:0.9; butano:0.1.
Octava
OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE QUÍMICA NIVEL
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular.
Primera Serie (50 puntos):
Consta de 25 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica. Subraye la respuesta correcta. de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.
1. Son aquellas reacciones que se caracterizan por uno o más iones o átomos que sufren un cambio en el número de oxidación:a. Reacciones electroquímicasb. Reacciones electrolíticasc. Reacciones de Precipitaciónd. Reacciones Oxidacióne. NAC
2. Se le llama agente oxidante a:a. La especie que cede electrb. La especie que efectúa la reducción de otra especie.c. La especie que arranca electrones a otra especie.d. La especie que se oxida a sí misma en la reacción.e. NAC
3. ¿Cuál de las siguientes
a. OH- (ac) O2 (g) b. Cl2(g) ClO3-(ac) c. NO2-(ac) NO3-(ac) d. Co3+(ac) Co2+ (ac) e. NAC
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de
conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular.
Primera Serie (50 puntos):
Consta de 25 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica. raye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte
de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.
Son aquellas reacciones que se caracterizan por uno o más iones o ufren un cambio en el número de oxidación:
Reacciones electroquímicas Reacciones electrolíticas Reacciones de Precipitación Reacciones Oxidación- Reducción
Se le llama agente oxidante a: La especie que cede electrones a otra especie. La especie que efectúa la reducción de otra especie. La especie que arranca electrones a otra especie. La especie que se oxida a sí misma en la reacción.
¿Cuál de las siguientes semireacciones es de reducción?
93 y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de
conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular.
Consta de 25 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte
Son aquellas reacciones que se caracterizan por uno o más iones o ufren un cambio en el número de oxidación:
94 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4. ¿Cuál tiene mayor poder oxidante? a. Cl2 b. I2 c. Br2 d. Al e. NAC
5. Todas las siguientes propiedades son propiedades coligativas de las soluciones:
a. Ósmosis, cambio de color de una sustancia, aumento del punto de
congelación, densidad. b. Disminución de la presión de vapor, aumento del punto de ebullición,
disminución del punto de congelación y presión osmótica. c. Aumento de la presión de vapor, disminución del punto de ebullición,
aumento del punto de congelación y entalpía. d. Disminución de la presión de vapor, disminución del punto de ebullición,
disminución del punto de congelación y solubilidad. e. Energía libre de Gibbs, entalpía, entropía y energía de red.
6. Cuando se está diluyendo un ácido (especialmente ácido sulfúrico) debe realizarse siempre en la siguiente forma: a. Agregar el agua al ácido b. Agregar el agua y el ácido al mismo tiempo c. Agregar el ácido al agua d. Agregar el ácido, esperar y luego agregar el agua e. Agregar el ácido a la base
7. Los factores que afectan la solubilidad son los siguientes:
a. Interacciones soluto-solvente, presión y temperatura. b. Energía libre de Gibbs, entalpía y entropía. c. Cambios físicos, cambios químicos y densidad. d. Densidad, color y sabor. e. Primera, segunda y tercera ley de la Termodinámica
Octava
8. ¿Cuál o cuáles de las siguientes oraciones son correctas en el diagrama de fases adjunto?
a. El movimiento del punto A a B resulíquido.
b. El punto C es el punto crítico.c. En el punto C el líquido y el gas coexisten en equilibrio.
9. En una reacción que ocurre en una sola etapa: 2A + B orden: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. Ninguna
10. Suponga una reacción donde un metal M, se corroe al gotear sobre él un ácido. La reacción es de orden cero porque:
11. En una reacción química, donde la constante cinética (constante de velocidad, k) aumenta con la temperatura, la proposición: “a mayor temperatura dmayor”: a. Falsa b. Verdadera
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
¿Cuál o cuáles de las siguientes oraciones son correctas en el diagrama de fases
El movimiento del punto A a B resulta en un cambio de fases de sólido a
El punto C es el punto crítico. En el punto C el líquido y el gas coexisten en equilibrio.
En una reacción que ocurre en una sola etapa: 2A + B A2B, la reacción es de
reacción donde un metal M, se corroe al gotear sobre él un ácido. La reacción es de orden cero porque:
En una reacción química, donde la constante cinética (constante de velocidad, k) aumenta con la temperatura, la proposición: “a mayor temperatura d
95 y Tecnología
¿Cuál o cuáles de las siguientes oraciones son correctas en el diagrama de fases
lta en un cambio de fases de sólido a
B, la reacción es de
reacción donde un metal M, se corroe al gotear sobre él un ácido.
En una reacción química, donde la constante cinética (constante de velocidad, k) aumenta con la temperatura, la proposición: “a mayor temperatura dk/dT es
96 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
12. Un catalizador actúa: a. Cambiando el mecanismo de reacción b. Cambiando la energía de activación c. a y b son correctas d. Ninguna es correcta
13. Sea una mezcla en equilibrio químico acuoso en la que hay presentes las siguientes especies químicas: CoCl42-, CoBr42-, Cl- y Br- contenidas en un matraz erlenmeyer a 25°C. ¿Cuál de las siguientes acciones que se describen, provocará un cambio de valor de la constante de equilibrio que describe las relaciones de concentración de las cuatro especies químicas descritas? a. Agregar mas Cl- a la disolución b. Agregar mas Br- a la disolución c. Colocar el erlenmeyer en un baño de agua a 80°C d. A y B son correctas e. Ninguna es correcta
14. En una reacción particular que posee una Kc = 997 a 472 K, en el equilibrio:
a. Los productos predominan b. Los reactivos predominan c. Están presentes cantidades casi equimolares de productos y reactivos d. Sólo hay productos e. Sólo hay reactivos
15. La reacción de descomposición del pentacloruro de fósforo gaseoso es un
equilibrio en el que se forma el tricloruro de fósforo gaseoso y cloro diatómico gaseoso. En el equilibrio, ¿Cuál es la presión parcial de tricloruro de fósforo en un recipiente de 3.00 L que fue cargado con 0.123 atm de pentacloruro de fósforo, si Kp = 0.0121? a. 0.078 b. 0.0450 c. 0.0900 d. 0.0330 e. No se puede determinar con los datos que se presentan
16. En el equilibrio químico en disolución:
a. Todos los procesos químicos han cesado. b. La velocidad de la reacción directa iguala la velocidad de la reacción inversa. c. La constante de velocidad de la reacción directa es igual a la velocidad de la
reacción inversa. d. Todas las anteriores son correctas. e. A, B y C con incorrectas.
97 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
17. La principal característica de la celda voltaica es la____________que separa las
dos soluciones, evitando que se mezclen. a. Hemicelda del catodo b. Hemicelda del anodo c. Pared porosa d. Bateria e. Ninguna
18. Una lámpara consume una corriente de 2.0 amperios. determine la carga en columbius, utilizada por la lámpara en 30 segundos. a. 10 columbius b. 20 columbius c. 120 columbius d. 0 columbius e. Ninguna
19. Cuál es el valor del electrodo normal de hidrogeno que se utiliza como referencia para hallar la diferencia de potencial entre un electrodo y una solución de sus iones. a. 1.10 v b. 1.0 v c. 0. v d. -1.10 v e. Ninguna
20. las cantidades de las diferentes sustancias liberadas o depositadas en los electrodos durante un cambio químico son proporcionales a la cantidad de electricidad que se hace pasar durante el proceso, este enunciado corresponde a: a. Ley de ohms b. Ley daniell c. Ley de faraday d. Ley de nernst e. Ninguna
98 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
21. Durante cierta electrolisis ocurre la siguiente reacción en el ánodo. Zn → Zn2+ + 2e-. llene los espacios en blanco:
Cuando pasan 9.65 amp por 10.000 seg se forman_______equivalentes gramo de Zn2+ y se oxidan________moles de zinc metálico. Durante este tiempo han circulado por el ánodo___________electrones.
22. Cuándo se disuelve cocoa en la leche, quizá usted ha observado que la
temperatura aumenta. Se puede afirmar de este proceso qué: a. El aumento de temperatura es proporcional a la cantidad de cocoa que se
agregue. b. El proceso es endotérmico c. La Entropia del sistema es 0. d. El Enlace Cocoa-Leche formado es covalente. e. Ninguna de las Anteriores, puesto que este tipo de procesos no hay cambio de
energía libre.
23. Para la reacción: SO3(g) + H2(g) SO2(g) + H2O (g)
El cambio en la Energía Libre (∆G) se expresa como: a. ∆G < ∆H b. ∆G > ∆H c. ∆G =∆H d. ∆G = ∆S e. ∆G = 0
24. De las siguientes condiciones ¿Cuál dará lugar a una reacción espontánea a
cualquier temperatura? a. ∆H < 0, ∆S < 0 b. ∆H > 0, ∆S = 0 c. ∆H > 0, ∆S >0 d. ∆H > 0, ∆S < 0 e. ∆H < 0, ∆S > 0
25. Para una reacción entre gases ideales del tipo:
2 A B + C; ∆Go = +20 kcal, a 25oC. Si se parte solo de A, a 25oC y 1 atm, en ausencia de B y C: a. La reacción se produce hasta que ∆Go = 0, en cuyo caso Kp= 1 b. La reacción no se produce espontáneamente. c. La reacción directa es siempre espontánea en todas las condiciones. d. Por ser gases ideales, el equilibrio no depende de la temperatura. e. La Constante de equilibrio no depende de la temperatura.
99 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Segunda Serie (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.
Problema 1: (Soluciones)
El acetato de bencilo es un componente activo del aceite de jazmín. Si se agrega 0.125 g de este compuesto a 25.0 g de cloroformo (CHCl3), el punto de ebullición de la solución es 61.82°C. ¿Cuál es la masa molar del acetato de bencilo?
Problema 2: (Cinética)
Considere una reacción química de descomposición, cuya estequiometria no se informa; llamemos A al reactivo y, B y C a los productos:
A B + C Definamos como “vida ¾” al tiempo que tarda la concentración de A en decaer a ¾ de la concentración inicial. Entonces, se preparan cinco experimento, con concentraciones iníciales de A diferentes, y se mide la “vida ¾”. Llamemos t¾ a esa “vida ¾” y Co a la concentración inicial de A en cada experimento. La Tabla de Resultados de los cinco experimentos (obviando desviaciones estándar) se muestra a continuación:
Co/M t¾ /s
3.0 3968 2.8 4252 2.5 4762 2.2 5411 2.0 5952
Utilice la Técnica de Integrales para determinar el orden de la reacción y la constante cinética, donde la forma de la ecuación es: −RU/R: = |UI siendo | la constante cinética, n el orden de reacción y U la concentración de A
100 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (Equilibrio)
A cierta temperatura, un matraz en equilibrio contienen 0.0114 M HCl, 0.0931 M Cl2 y 0.0154 M H2. ¿Cuál es el valor de Kppara el equilibrio en el cual el cloruro de hidrógeno gaseoso forma cloro diatómico gaseoso e hidrógeno diatómico gaseoso?
Problema 4: (Electroquímica)
Cuál es el potencial para la pila
Ni | Ni2+ (0.01 M) || C1- (0.2 M) | C12(1 atm) | Pt sabiendo que los potenciales: Ni+2 | Ni є0 - 0.25 Cl 2 | Cl-єO= + 1.36
Problema 5: (Termodinámica)
La alfa ciclodextrina (αCyD) es un oligosacáridos cíclico, utilizado para encapsular medicamentos: A 40 oC y 60 oC, la constante de equilibrio del complejo αCyD/Medicamento es de 3.12 X 102 y 2.09 x 102 respectivamente. Calcule para ambas temperaturas, el cambio de la entalpia (∆Ho) en KJ mol-1 y el cambio de la entropía (∆So) en J K-1 mol-1. (Ignore la dependencia de la temperatura de la entalpia y la entropía)
101 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PRIMERA SERIE
1. d 6. c 11. a 16. b 21. R 1, 0.5 , 1 .
2. c 7. a 12. c 17. c 22. a
3. d 8. a y c 13. c 18. e 23. c
4. a 9. d 14. a 19. e 24. e
5. b 10. 15. d 20. c 25. b
La velocidad depende del metal, y la concentración, o con mayor propiedad: la actividad química del metal es constante e igual a 1.
SEGUNDA SERIE
Segunda Serie (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.
Problema 1: (Soluciones)
El acetato de bencilo es un componente activo del aceite de jazmín. Si se agrega 0.125 g de este compuesto a 25.0 g de cloroformo (CHCl3), el punto de ebullición de la solución es 61.82°C. ¿Cuál es la masa molar del acetato de bencilo? Solución
El punto de ebullición de CHCl3 es 61.70 °C y Kb. = 3.63 °C/m. ∆Tb = kbm , despejando m =(61.82°C – 61.70°C) /3.63 °C/m = 0.033 m
m = moles soluto /kg solvente = (0.125 g /Masa molar) / 0.025 kg = 0.033 m Al despejar: Masa molar = 151.52 g/mol
Respuesta: 151.52 g/mol
102 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (Cinética)
Considere una reacción química de descomposición, cuya estequiometria no se informa; llamemos A al reactivo y, B y C a los productos:
A B + C Definamos como “vida ¾” al tiempo que tarda la concentración de A en decaer a ¾ de la concentración inicial. Entonces, se preparan cinco experimento, con concentraciones iníciales de A diferentes, y se mide la “vida ¾”. Llamemos t¾ a esa “vida ¾” y Co a la concentración inicial de A en cada experimento. La Tabla de Resultados de los cinco experimentos (obviando desviaciones estándar) se muestra a continuación:
Co/M t¾ /s
3.0 3968 2.8 4252 2.5 4762 2.2 5411 2.0 5952
Utilice la Técnica de Integrales para determinar el orden de la reacción y la constante cinética, donde la forma de la ecuación es: −RU/R: = |UI siendo | la constante cinética, n el orden de reacción y U la concentración de A. Solución
− RUR: = |UI
` RUUI
= −| ` R:P
UJSI = UaJSI + 6 − 1|: 6 ≠ 1
103 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
ln U = ln Ua − |: 6 = 1 : = :"/T → U = 34 Ua
34 UaJSI = UaJSI + 6 − 1|:"/T 6 ≠ 1
ln:"/T = 1 − 6W6Ua − W6 ~ 6 − 1"TJSI − 1 | 6 ≠ 1 1
ln ;34 Ua< = ln Ua − | :"/T 6 = 1
W6:"/T = ln ~W6 h"Ti| 6 = 1 2
Por tanto, de las ecuaciones (1) y (2), la pendiente de una ecuación lineal W6: ¾ = W6Ua determina el orden de la reacción: Orden pendiente
0 1 1 0 2 -1 3 -2
Calculando los logaritmos naturales: Ua/ :¾ /b W6 Ua W6 :¾
3.0 3968 1.098612289 8.28601747 2.8 4252 1.029619417 8.35514474 2.5 4762 0.916290732 8.46842303 2.2 5411 0.788457360 8.59618920 2.0 5952 0.693147181 8.69148258
104 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Correlacionando los datos, con la calculadora, se obtiene la siguiente ecuación: ln:"/T = −0.9999W6Ua + 9.3845 = 1 Y se concluye que la reacción es de orden 2. La constante cinética se determina:
−W6 ~ 6 − 1"TJSI − 1 | = − ln 1T" − 1 | = − ln3| = 9.3845
| = 2.8 − 5 XaW. b
Respuesta: Orden:2; | = 2.8 − 5 ú.
Problema 3: (Equilibrio)
A cierta temperatura, un matraz en equilibrio contienen 0.0114 M HCl, 0.0931 M Cl2 y 0.0154 M H2. ¿Cuál es el valor de Kppara el equilibrio en el cual el cloruro de hidrógeno gaseoso forma cloro diatómico gaseoso e hidrógeno diatómico gaseoso? Solución
Considerando un volumen unitario y una temperatura de 35°C 2 HCl↔ H2 + Cl2
= w úw úw ⟹ = P.PJlTP.P"JP.PJJTw = 11.0
ý = í∆I
⟹ ý = 11 h P.Pm Sù ú 308.15 iP= 11.0
105 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (Electroquímica)
Cuál es el potencial para la pila
Ni | Ni2+ (0.01 M) || C1- (0.2 M) | C12(1 atm) | Pt sabiendo que los potenciales: Ni+2 | Ni є0 - 0.25 Cl 2 | Cl-єO= + 1.36 Solución
La oxidación ocurre en el electrodo de Ni2+ / Ni, puesto que este es el ánodo de la pila, las dos medias reacciones de la pila son:
Ni → Ni2+ + 2 e- є0ox = + 0.25 V 2e- + Cl2 → 2Cl- є0red = 1.36 V
Por consiguiente, la reacción de la pila y є0 para la pila son: Ni + Cl2 → Ni2+ + 2Cl- є0 = +1.61 V Puesto que n = 2 Є = є0 - 0.0592 log[ Cl- ]2[ Ni2+] 2 PcI2 Є = + 1.61 - 0.0592log(0.2)2(0.01) 2 (1) Є = + 1.61 - 0.0296 log (0.0004) Є = + 1.61 + 0.10 = + 1.71 V
106 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 5: (Termodinámica)
La alfa ciclodextrina (αCyD) es un oligosacáridos cíclico, utilizado para encapsular medicamentos: A 40 oC y 60 oC, la constante de equilibrio del complejo αCyD/Medicamento es de 3.12 X 102 y 2.09 x 102 respectivamente. Calcule para ambas temperaturas, el cambio de la entalpia (∆Ho) en KJ mol-1 y el cambio de la entropía (∆So) en J K-1 mol-1. (Ignore la dependencia de la temperatura de la entalpia y la entropía) Solución
De la ecuación ∆G = -RTlnK se puede obtener la energía libre de cada acomplejamiento a diferente temperatura: ∆Go (40 oC) = -8.314 * 313.2 ln (3.12 X 102) = -14.94 X 103 J mol -1 ∆Go (60 oC) = -8.314 * 333.2 ln (2.09 X102) = -14.79 X 103 J mol-1 de la ecuación ∆Go = ∆Ho – T∆So se logra obtener una serie de ecuaciones a resolver de forma sencilla: -14.94 X 103 = ∆Ho – 313.2*∆So -14.79 X 103 = ∆Ho – 333.2*∆So resolviendo: ∆So = -7.5 JK-1 mol-1 y ∆Ho = -17 KJ mol-1
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
4.4 BIOLOGÍA
OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
Esta prueba consta de cuatro series. Debe responder negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder es de 120 minutos.
Primera serie (30 pts.)
A continuación encontrará 25letra que corresponde a la respuesta correcta (1.2 pts c/u). 1. ¿Cuál de las siguientes opciones presenta una jerarquía correcta de los niveles de
organización biológica? a. células > tejidos > órganosb. ecosistemas > poblaciones < comunidadesc. moléculas < tejidos > sistemasd. poblaciones < organismos < órganos
2. ¿Cuál de los siguientes elementos NO es un oligoelemento?
a. I b. Fe c. Mn d. N
3. En una molécula de agua, el oxígeno y el hidrógeno se unen mediante
___________________. a. un enlace covalente. b. un enlace iónico. c. puentes de hidrógeno. d. fuerzas de van der Waals
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I
Esta prueba consta de cuatro series. Debe responder TODA la prueba con tinta azul o negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder es
25 preguntas de selección múltiple, encierre en un círculo la rresponde a la respuesta correcta (1.2 pts c/u).
¿Cuál de las siguientes opciones presenta una jerarquía correcta de los niveles de
células > tejidos > órganos ecosistemas > poblaciones < comunidades
sistemas poblaciones < organismos < órganos
¿Cuál de los siguientes elementos NO es un oligoelemento?
En una molécula de agua, el oxígeno y el hidrógeno se unen mediante
fuerzas de van der Waals
107 y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
la prueba con tinta azul o negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder es
, encierre en un círculo la
¿Cuál de las siguientes opciones presenta una jerarquía correcta de los niveles de
En una molécula de agua, el oxígeno y el hidrógeno se unen mediante
108 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4. ¿Cuál de las siguientes propiedades del agua la hacen un buen solvente?
a. Su tensión superficial b. Su alto calor específico c. Su polaridad d. Su capacidad de disociarse
5. ¿Cuál de los siguientes compuestos NO es orgánico?
a. Mantequilla b. Monóxido de carbono c. Gas propano d. Gasolina
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta con respecto a los enantiómeros?
a. Son moléculas que son imágenes especulares una de la otra. b. Son moléculas que tienen el mismo número de átomos de los mismos elementos. c. Son moléculas que difieren en la disposición covalente de sus átomos. d. a y b son correctas.
7. Una molécula larga, formada por muchos componentes químicos similares o
idénticos conectados mediante enlaces covalentes se denomina: a. Polímero b. Grupo funcional c. Macromolécula d. Todas son correctas
8. ¿Qué grupo funcional NO está presente en la siguiente molécula?
a. Carboxilo b. Carbonilo c. Hidroxilo d. Amino
109 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
9. Las reacciones de ___________________ se utilizan en la síntesis de polímeros, mientras que las de _____________________ en la disociación de éstos. a. hidrólisis / deshidratación b. condensación / hidrólisis c. deshidratación / hidrólisis d. deshidratación / separación
10. ¿Cuál de las siguientes macromoléculas es un polímero?
a. Aceite de oliva b. Quitina c. Celulosa d. b y c son correctas
11. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es una proteína?
a. Hemoglobina b. Colesterol c. Insulina d. Colágeno
12. ¿Cuál de las siguientes opciones es una proteína?
a. Tela de araña b. Queratina c. Clara de huevo d. Todas son correctas
13. Elija los dos términos que completan correctamente la frase: Los nucleótidos son
a los/las _______ como los/las _______ son a las proteínas. a. ácidos nucleicos /aminoácidos b. aminoácidos / polipéptidos c. genes / enzimas d. polímeros / polipéptidos
Utilice las siguientes opciones para responder los numerales del 14 al 17. Escriba la letra que considere correcta en el espacio que se le proporciona.
a. Núcleo b. Retículo endoplásmico liso c. Mitocondria d. Ribosomas
110 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
14. ¿Cuál de los componentes celulares de la lista anterior NO está cubierto por membrana? ________
15. ¿Cuál de las opciones anteriores esperaría encontrar en abundancia en células con una elevada tasa de síntesis de proteínas? ________
16. ¿Cuál de los componentes celulares listados es importante en la síntesis de lípidos, tales como las hormonas sexuales? ________
17. ¿Qué organelo de los anteriores esperaría encontrar en abundancia en células móviles o contráctiles? ________
18. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es INCORRECTA con respecto a las
células procariontes? a. No poseen organelos recubiertos por membrana. b. No tienen citoesqueleto. c. Cuentan con pared celular d. Pueden tener flagelos.
19. ¿Cuál de las siguientes opciones es una función de las proteínas de membrana?
a. Reconocimiento intercelular b. Actividad enzimática c. Transporte d. Todas son correctas
20. Las reacciones del Ciclo de Calvin también son llamadas “fase oscura” ya que
deben llevarse a cabo en ausencia de luz. a. Verdadero, la energía lumínica interfiere con el Ciclo de Calvin. b. Verdadero, durante el día las reacciones de la fase luminosa producen el ATP que
el ciclo de Calvin utilizará durante la noche. c. Falso, se denominan así porque no requieren de luz, sin embargo la mayoría de
veces se llevan a cabo durante el día. d. Falso, se llevan a cabo durante el día ya que requieren del ATP y NADP+ que se
producen durante la fase luminosa.
21. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a los carotenoides? a. Actúan como antioxidantes. b. Amplían el espectro de colores que pueden impulsar la fotosíntesis. c. Absorben y disipan la energía lumínica excesiva. d. Todas son correctas.
111 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
22. De las siguientes afirmaciones, ¿cuál corresponde a la fase luminosa de la fotosíntesis? a. Utiliza ATP y NADPH para convertir CO2 en azúcar. b. Escinde el H2O y libera O2 a la atmósfera. c. Convierte la energía lumínica en ADP y NADP+ d. Ninguna es correcta.
23. ¿Cuál de las siguientes moléculas es utilizada por la glucólisis y el ciclo del ácido
cítrico para suministrar electrones a la cadena de transporte de electrones? a. NAD+ b. FAD c. NADH d. b y c son correctas
24. ¿Cuál de las siguientes es una vía catabólica?
a. Síntesis de proteínas b. Ciclo de Calvin c. Síntesis de ADN d. Fermentación
25. ¿Cuántas moléculas de ATP se forman en la glucólisis?
a. 32 b. 2 c. 36 d. 4
Segunda serie (25 pts.)
A continuación encontrará una serie de preguntas de respuesta directa, responda únicamente lo que se le indica. 1. Mencione dos características de los seres vivos.
_____________________________________ y _____________________________________
2. Las sustancias que tienen afinidad por el agua se denominan: __________________________
3. Escriba la ecuación de disociación del agua y el nombre de los iones resultantes:
112 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4. ¿Cómo se denominan las moléculas orgánicas que constan sólo de carbono e hidrógeno? _________________________
5. Un disacárido se compone de dos monosacáridos unidos por un enlace covalente llamado _________________________ __________________________.
6. Explique la diferencia estructural entre un triglicérido y un fosfolípido.
______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________
7. ¿Cuál es la función de los lisosomas?
______________________________________________________________________________
8. Realice un esquema para explicar qué sucede a una célula vegetal y a una animal en una solución hipertónica y una hipotónica.
Tipo de solución Célula animal Célula vegetal
Hipertónica
Hipotónica
113 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
9. Mencione un tipo de unión celular entre células animales y uno entre células
vegetales. _____________________________ (animal) y ______________________________ (vegetal)
10. Utilice el siguiente esquema de un cloroplasto para indicar los reactivos, productos, nombre de las reacciones, qué otras moléculas interfieren y el sitio de las reacciones de la fotosíntesis.
11. ¿Cuáles son los productos de la respiración celular? _______________, _______________ y _______________.
12. Escriba el orden correcto de las etapas de la respiración celular.
____________________________________________________________________________
13. ¿Qué vía metabólica comparten la respiración celular y la fermentación? ___________________________________
114 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Tercera serie (20 pts.)
Instrucciones: A continuación se le presentan 20 definiciones, escriba dentro del paréntesis el número de la definición que corresponda a los términos de la derecha. No DEFINICION TÉRIMINO 1 Durante esta fase de la mitosis, los dos núcleos hijos
comienzan a formarse en la célula, los cromosomas se vuelven menos condensados y se da la división del núcleo en dos núcleos genéticamente idénticos.
( )
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G1
Cromatina
Homología
Metafase
Meiosis
Cebador de ADN
Cebador de ARN
Transcripción
Anafase
Promotor
Traducción
Doble hélice
Bastoncillo
Telofase
Adaptación
ARN
Macroevolución
Selección natural
Selección sexual
Selección artificial
Microtúbulo
2 Cría selectiva de organismos para favorecer la ocurrencia de rasgos deseables.
3 Durante esta fase sucede la separación de los centrómeros de cada cromosoma y las cromátides hermanas se apartan. Finalmente, las cromátides hermanas de cada cromosoma se mueven como dos cromosomas separados hacia los polos opuestos.
4 Cambio evolutivo por debajo del nivel de las especies; cambio en la constitución genética de una población de generación en generación.
5 Secuencia de ADN donde se fija la ARN-polimerasa e inicia la transcripción.
6 Síntesis de ARN bajo la dirección del ADN. 7 Forma que adopta el ADN, que se refiere a sus dos
cadenas de polinucleótidos adyacentes unidos. 8 Aberración en la estructura cromosómica debida a
la fusión con un fragmento proveniente de un cromosoma homólogo.
9 Éxito diferencial en la reproducción de diferentes fenotipos que resulta en la interacción de los organismos con su medio ambiente.
10 Acumulación de características heredadas que facilita la capacidad del organismo para sobrevivir y reproducirse en ambientes específicos.
11
Visión de la historia de la Tierra que atribuye los cambios profundos como el producto acumulativo de procesos lentos pero continuos.
12 La síntesis de una nueva cadena de ADN comienza con:
13 Semejanza en las características que resultan de un ancestro compartido.
14 Es un resultado de evolución convergente, por ejemplo las alas de los murciélagos y las alas de las aves.
115 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
15 Tipo de ácido nucleico que consta de monómeros de nucleótido con un azúcar ribosa y las bases nitrogenadas adenina, citosina, guanina y uracilo.
( )
( )
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( )
( )
( )
( )
( )
( )
Analogía
Duplicación
ADN
Microevolución
Mitosis
Gradualismo
G2
Anafase II
Hélice
16 Etapa del ciclo celular en la que las cromátides de cada cromosoma se han separado y los cromosomas hijos se desplazan hacia los polos de la célula.
17 Tipo de división celular que se realiza en los organismos que se reproducen sexualmente y que produce células con la mitad del número de los cromosomas de la célula original.
18 Bastón hueco de proteína tubulina en el citoplasma de todas las células eucariontes y en los cilios, flagelos y citoesqueleto.
19 Síntesis de un polipéptido utilizando la información genética codificada en una molécula de ARNm.
20 Una célula en particular tiene la mitad del ADN de algunas de las células de un tejido mitóticamente activo. ¿En qué fase se encuentra dicha célula?
Cuarta serie (25 pts.)
Instrucciones: A continuación se presentan 5 problemas de genética y patrones de herencia. Se le proporcionarán hojas adicionales en las que deberá resolver cada problema identificándolo debidamente, dejando constancia de sus razonamientos y enmarcando su respuesta final. 1. Al cruzar dos moscas negras se obtiene una descendencia formada por 288 moscas.
Representando por N el color negro de las moscas y por n el color blanco, razone el cruzamiento e indique cuáles son los:
a. Genotipos de los padres b. Gametos de padres c. Número de moscas de color blanco d. Número de moscas negras heterocigóticas e. Proporción fenotípica
2. Entre las variedades de zanahorias que existen se puede encontrar zanahorias de
diversos fenotipos, ya sea: de color anaranjado (A), de color amarillo (a), de tamaño largo (L) y de tamaño pequeño (l). Tomando en consideración las posibles combinaciones, indique cuáles son los genotipos posibles y los gametos que producen los siguientes individuos:
a. Anaranjadas y largas b. Anaranjadas y pequeñas c. Amarillas y largas d. Amarillas y pequeñas
116 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
3. En el jocote, el color amarillo de la fruta es codificado por un alelo dominante (R) y el color rojo por el alelo recesivo (r). Un alelo dominante de otro locus (E) produce frutos en forma alargada y su alelo recesivo (e) produce frutos redondos. Si una variedad amarilla alargada (heterocigota para ambos caracteres) se cruza con una variedad roja y redonda, ¿cuál es la proporción fenotípica esperada de los miembros de la F1?
4. Un hombre con grupo sanguíneo A se casa con una mujer de grupo sanguíneo B y tienen un hijo de grupo sanguíneo O. Indique,
a. ¿Cuáles son los genotipos de estas tres personas? b. ¿Qué otros genotipos y con qué frecuencia se pueden esperar en los hijos de
este matrimonio?
5. Una raza de gallinas, denominada andaluza, presenta plumajes de tres colores negro, blanco y azul. El azul resulta de la combinación híbrida de los genes negro y blanco. Averigüe los fenotipos y los genotipos de la descendencia de estos tres cruzamientos:
a. Plumaje azul x plumaje negro b. Plumaje azul x plumaje azul c. Plumaje azul x plumaje blanco
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II
INSTRUCCIONES GENERALES:
Esta prueba consta de cinco series, cada una de las cuales posee instrucciones específicas. Debe responder utilizando tinta negra o azul. Puede usar calculadora, pero no celular. El tiempo para completar la prueba es de 2 horas
Primera serie 10 puntos (1 punto c/u)
SELECCIÓN MÚLTIPLE:
1) En la horquilla de replicación del ADN destacan las siguientes proteínas a. ADN ligasa b. ADN polimerasa II c. ADN girasa d. ADN helicasa
2) Seleccione la secuencia de bases del
siguiente fragmento de ADNa. AGGCCUUUACGC b. TCCGGAAATGCG c. UCCGGAAAUGCG d. CAAUUAAACTGC
3) Darwin llamó “selección natural” a:
a. La estabilidad en el proceso de la reproducción.b. Las variaciones aleatorias entre los organismos individuales no ocasionadas por
el ambiente. c. Las variaciones entre los organismos ocasionadas por el ambiente.d. Las variaciones favorables heredadas que tienden a
las generaciones siguientes. 4) ¿Cuál de las siguientes opciones es un ejemplo de evolución convergente?
a. Delfín y tiburón b. Murciélago y ave c. Euforbia y cactus d. Todas las anteriores
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II
INSTRUCCIONES GENERALES:
a prueba consta de cinco series, cada una de las cuales posee instrucciones específicas. Debe responder utilizando tinta negra o azul. Puede usar calculadora,
no celular. El tiempo para completar la prueba es de 2 horas.
Primera serie 10 puntos (1 punto c/u)
Subraye la respuesta correcta.
En la horquilla de replicación del ADN destacan las siguientes proteínas
la secuencia de bases del ARN que se producirá al transcribirse el ADN: AGGCCTTTACGC
Darwin llamó “selección natural” a: estabilidad en el proceso de la reproducción.
Las variaciones aleatorias entre los organismos individuales no ocasionadas por
Las variaciones entre los organismos ocasionadas por el ambiente.Las variaciones favorables heredadas que tienden a hacerse más frecuentes en las generaciones siguientes.
¿Cuál de las siguientes opciones es un ejemplo de evolución convergente?
117 y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
a prueba consta de cinco series, cada una de las cuales posee instrucciones específicas. Debe responder utilizando tinta negra o azul. Puede usar calculadora,
En la horquilla de replicación del ADN destacan las siguientes proteínas excepto:
que se producirá al transcribirse el
Las variaciones aleatorias entre los organismos individuales no ocasionadas por
Las variaciones entre los organismos ocasionadas por el ambiente. hacerse más frecuentes en
¿Cuál de las siguientes opciones es un ejemplo de evolución convergente?
118 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
5) En el ciclo biológico de los helechos, por meiosis se forman:
a. Esporas haploides b. Esporas diploides c. Gametos haploides d. Gametos diploides
6) En el ciclo de vida general de los hongos, se mantiene el siguiente orden en los procesos: a. Germinación – cariogamia – plasmogamia - meiosis b. Plasmogamia – germinación – cariogamia – meiosis c. Germinación – meiosis – plasmogamia – cariogamia d. Germinación – plasmogamia – cariogamia - meiosis
7) El pseudoceloma es una cavidad corporal que se desarrolla entre:
a. mesodermo y ectodermo b. mesodermo y endodermo c. endodermo y ectodermo d. dos capas de mesodermo
8) En los animales, el mesodermo es una capa embrionaria que da origen a:
a. El tubo digestivo, los músculos y el sistema nervioso b. El aparato circulatorio, los huesos y el sistema nervioso c. El aparato circulatorio, los músculos y los huesos d. La epidermis, los músculos y los huesos
9) En una especie africana de acacia, las hormigas del género Crematogaster perforan
las paredes de las espinas y viven permanentemente en su interior. Ellas obtienen alimento de las glándulas secretoras de néctar pero también se alimentan de orugas y otros herbívoros que depredan a la acacia. Indique qué tipo de relación se ejemplifica en el párrafo. a. Predación b. Mutualismo c. Competencia d. Parasitismo
10) Al finalizar la ovogénesis, una ovogonia (2n) habrá originado las siguientes
células haploides: a. Tres óvulos y un corpúsculo polar b. Un óvulo y tres corpúsculos polares c. Cuatro óvulos d. Dos óvulos y dos corpúsculos polares
119 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Segunda serie: 20 puntos (1 punto c/u)
VERDADERO O FALSO: En la columna A escriba “V” si el enunciado es verdadero o “F” si es falso. Si el enunciado es FALSO, subraye la frase o palabra que vuelve falsa la afirmación y coloque en la columna B, la palabra o frase que lo convierte en verdadero. Vea el ejemplo 0.
A B
0. La era más reciente en el calendario geológico es la Paleozoica.
F Cenozoica
1. La hebra adelantada de ADN crece en dirección de la horquilla de replicación y se sintetiza de manera continua.
2. La enzima cebadora participa tanto en la replicación como en la reparación del ADN.
3. Las bacterias con forma esférica que se agrupan en cadenas reciben el nombre de estafilococos.
4. Las características distintivas de las plantas dicotiledóneas son: dos cotiledones, piezas florales en múltiplos de 3, haces vasculares formando un anillo.
5. Los estomas son pequeños poros involucrados en el intercambio gaseoso y la evapotranspiración.
6. En plantas vasculares, la caliptra provee de protección mecánica a las células meristemáticas cuando la raíz crece a través del suelo.
7. El floema está formado por células muertas y se encarga de transportar nutrientes -especialmente azúcares- desde la parte aérea fotosintética, hacia resto de la planta.
8. Tanto el colénquima como el esclerénquima son tejidos de sostén en las plantas.
9. En las plantas xerófitas el agua se almacena en las grandes vacuolas celulares.
10. La relación filogenética entre vertebrados y equinodermos es estrecha, por lo que se les ha agrupado dentro de los protostomados.
11. El principal producto nitrogenado de desecho en insectos y aves es la urea.
12. La insulina es la hormona producida en los islotes de Langerhans del estómago, que interviene en el aprovechamiento metabólico de los nutrientes, sobre todo con el anabolismo de los glúcidos.
13. La membrana extraembrionaria que, junto con el endometrio materno, forma la placenta en humanos es el amnios.
120 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
14. Muchos herbívoros mantienen relaciones simbióticas con bacterias que les permiten hidrolizar la celulosa.
15. Los linfocitos son células que intervienen en los procesos de coagulación sanguínea.
16. Los oligodendrocitos y las células de en esencia la misma función.
17. El timo, la tiroides, las glándulas suprarrenales y las glándulas salivares son glándulas endocrinas.
18. El ectodermo da origen a la epidermis, las glándulas sudoríparas, los melanocitos y el cerebro.
19. Las células parietales del estómago son las encargadas de secretar moco para neutralizar el quimo ácido.
20. El epitelio de revestimiento interno de la tráquea, los bronquios y pulmones tiene origen endodérmico.
Tercera serie: 24 puntos (cada pregunta indica su
COMPLETACIÓN: Complete los espacios de esquemas, cuadros o párrafos. 1) Complete el siguiente esquema de la Síntesis de proteínas. (3 pts)
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Muchos herbívoros mantienen relaciones simbióticas con bacterias que les permiten hidrolizar la celulosa.
Los linfocitos son células que intervienen en los procesos de coagulación sanguínea.
Los oligodendrocitos y las células de Schwann tienen en esencia la misma función.
El timo, la tiroides, las glándulas suprarrenales y las glándulas salivares son glándulas endocrinas.
El ectodermo da origen a la epidermis, las glándulas sudoríparas, los melanocitos y el cerebro.
parietales del estómago son las encargadas de secretar moco para neutralizar el
El epitelio de revestimiento interno de la tráquea, los bronquios y pulmones tiene origen endodérmico.
Tercera serie: 24 puntos (cada pregunta indica su puntuación)
Complete los espacios de esquemas, cuadros o párrafos.
Complete el siguiente esquema de la Síntesis de proteínas. (3 pts)
puntuación)
Complete los espacios de esquemas, cuadros o párrafos.
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
2) La organización de una proteína Identifíquelos en el siguiente cuadro y explique en qué consiste cada uno. (6 pts)
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
La organización de una proteína se define por cuatro niveles estructuralessiguiente cuadro y explique en qué consiste cada uno. (6 pts)
121 y Tecnología
por cuatro niveles estructurales. siguiente cuadro y explique en qué consiste cada uno. (6 pts)
122 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
3) Describa el Ciclo del Carbono (incluya al menos los siguientes términos: respiración, meteorización, combustión, fotosíntesis, disolución, descomposición, combustible fósil). Utilice el esquema que se le presenta para gráficamente los procesos
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
el Ciclo del Carbono (incluya al menos los siguientes términos: respiración, meteorización, combustión, fotosíntesis, disolución, descomposición, combustible fósil). Utilice el esquema que se le presenta para gráficamente los procesos y flujos del carbono en el ciclo. (5 pts)
el Ciclo del Carbono (incluya al menos los siguientes términos: respiración, meteorización, combustión, fotosíntesis, disolución, descomposición, combustible fósil). Utilice el esquema que se le presenta para representar
s del carbono en el ciclo. (5 pts)
123 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4) Complete el siguiente cuadro: marque con una X la casilla de la clasificación a la
que pertenece cada especie, e indique su importancia ecológica, industrial, cultural o en salud – como se muestra en el ejemplo (10 puntos).
Especie Clasificación Taxonómica
Importancia Archae Bacteria Protista Fungi Plantae Animalia
Ejemplo: Zea
mays X
Cultural: Grano que constituye un
alimento básico para muchos
guatemaltecos
Entamoeba
histolytica
Tripanosoma
cruzi
Penicillium
chrysogenum
Aedes aegypti
Sacharomyces
cerevisiae
Plasmodium
vivax
Ceiba
pentandra
Escherichia
coli
Apis mellifera
Panthera
onca
124 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Cuarta serie: (36 puntos, 3 puntos c/u)
PREGUNTAS DIRECTAS: Responda brevemente las siguientes preguntas y deje constancia de procedimiento en donde se le solicite.
1) Explique qué propone la teoría endosimbiótica. 2) ¿Qué diferencias presentan en su pared y/o membrana celular, las bacterias gram
positivas y las gram negativas? 3) ¿Qué es el entrecruzamiento? ¿Cuál es su importancia en el contexto evolutivo? 4) ¿Cuál es la diferencia entre selección intrasexual y selección intersexual?
125 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
5) ¿Cuál es la diferencia entre sistemática y taxonomía? 6) ¿Cuál es la diferencia entre un clado monofilético y un agrupamiento parafilético?
Ilustre cada uno con un ejemplo real. 7) ¿Qué es la espermatogénesis? ¿En qué se diferencia de la espermiogénesis? 8) ¿Qué es una micorriza? ¿Cuáles son las ventajas de asociación que obtienen los
organismos que la forman?
126 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
9) En tomates, el color rojo del fruto (R) es dominante sobre el color amarillo (r), y el borde dentado de la hoja (D) es dominante al borde liso de la hoja (d). Si se cruza una planta que produce frutos rojos y hojas con borde liso, con otra que produce frutos amarillos y hojas con borde dentado, ¿cuáles serán las proporciones genotípicas y cuáles las proporciones fenotípicas que se espera obtener en la F2? Deje constancia de sus cuadros.
10) Un hombre AB- y una mujer O+ tienen un hijo B+. Tenga en cuenta que el grupo
sanguíneo en los humanos está determinado por tres alelos de un gen: A y B son codominantes y O es recesivo respecto a ellos. El factor rh está determinado por dos alelos de otro gen: rh+ es dominante sobre el rh-. a) Determine los genotipos posibles de cada uno de los individuos. b) Explique si alguno de los padres podría donarle sangre al hijo.
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
11) Dos poblaciones se inician con las Población I Población II
Si existe apareamiento aleatoriosiguiente generación? 12) Utilizando la siguiente imagen de las curvas de supervivencia ideales, responda:
a. ¿Qué tipo de curva de supervivencia caracteriza a la población humana y a muchos otros mamíferos grandes
b. ¿Qué tipo de curva de supervivencia caracteriza a las poblaciones de tortmarinas, que ponen un elevado número de huevos que serán abandonados por la madre?
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Dos poblaciones se inician con las siguientes frecuencias genotípicas:0,24 AA 0,32 Aa 0,44 aa
0,33 AA 0,14 Aa 0,53 aaSi existe apareamiento aleatorio, ¿cuáles serán las frecuencias genotípicas de la
imagen de las curvas de supervivencia ideales, responda:
Qué tipo de curva de supervivencia caracteriza a la población humana y a muchos otros mamíferos grandes? ¿Por qué?
Qué tipo de curva de supervivencia caracteriza a las poblaciones de tortmarinas, que ponen un elevado número de huevos que serán abandonados por la
127 y Tecnología
siguientes frecuencias genotípicas: 0,44 aa 0,53 aa
uáles serán las frecuencias genotípicas de la
imagen de las curvas de supervivencia ideales, responda:
Qué tipo de curva de supervivencia caracteriza a la población humana y a
Qué tipo de curva de supervivencia caracteriza a las poblaciones de tortugas marinas, que ponen un elevado número de huevos que serán abandonados por la
128 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Quinta serie: (10 puntos)
DESARROLLO DE UN TEMA: Desarrolle el siguiente tema (extensión 1 página) cuide su ortografía y redacción
• Causas y efectos del cambio climático sobre el ambiente y la sociedad.
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
4.5 TECNOLOGÍA
OCTAVA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DEL ÁREA TECNOLOGÍA
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie de problemas, cada problema tiene una valoración en puntos, debe tratar de realizar programas cada problema, puede resolver los problemas en cualquier orden deseado, al finalizar de resolver cada problema debe solicitar que sea validado con el archivo de prueba que le será entregado por los jueces, deberá generar su salverificación, si la verificación es correcta habrá obtenido los puntos en que se ha valorado el problema. Recuerde que el tiempo utilizado para resolver los problemas también es parte de la competencia. A menos que se indique otrproblemas deberán solicitar el nombre del archivo de entrada y generar la salida a un archivo nombrado salidaN.txt, donde N corresponde al número de problema.
Problema No. 1 (25 puntos)
Un laberinto, consiste en un recinto con una entrada y éste está constituido por calles muy parecidas que se entrecruzan y se disponen de tal manera que resulta difícil orientarse para alcanzar la salida. El objetivo de este problema es desarrollar un algoritmo capaz de solucipunto de entrada (E) y el punto de salida (S), éstos puntos de entrada salida pueden encontrarse en cualquier punto dentro del laberinto. El laberinto será expresado por una matriz de tamaño N (10 <= N <= 100) donde una pa“*” (asterisco) y el camino será un “ “ (espacio en blanco).
Entrada
Recibirá un archivo de texto, en la primera línea encontrará la siguiente información: M
N Nombre
**********
E *******
** S
****** ***
…
M representa un número entero positivo <= 100 que indica la cantidad de laberintos que el archivo trae.
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIAEXAMEN DEL ÁREA TECNOLOGÍA
A continuación se le presenta una serie de problemas, cada problema tiene una valoración en puntos, debe tratar de realizar programas de computadora que resuelvan cada problema, puede resolver los problemas en cualquier orden deseado, al finalizar de resolver cada problema debe solicitar que sea validado con el archivo de prueba que le será entregado por los jueces, deberá generar su salida y entregarla para su verificación, si la verificación es correcta habrá obtenido los puntos en que se ha valorado el problema. Recuerde que el tiempo utilizado para resolver los problemas también es parte de la competencia. A menos que se indique otrproblemas deberán solicitar el nombre del archivo de entrada y generar la salida a un archivo nombrado salidaN.txt, donde N corresponde al número de problema.
Problema No. 1 (25 puntos)
Un laberinto, consiste en un recinto con una entrada y una salida en distintos lugares, éste está constituido por calles muy parecidas que se entrecruzan y se disponen de tal manera que resulta difícil orientarse para alcanzar la salida. El objetivo de este problema es desarrollar un algoritmo capaz de solucionar un laberinto conociendo el punto de entrada (E) y el punto de salida (S), éstos puntos de entrada salida pueden encontrarse en cualquier punto dentro del laberinto. El laberinto será expresado por una matriz de tamaño N (10 <= N <= 100) donde una pared estará representada por un “*” (asterisco) y el camino será un “ “ (espacio en blanco).
Recibirá un archivo de texto, en la primera línea encontrará la siguiente información:
M representa un número entero positivo <= 100 que indica la cantidad de laberintos
129 y Tecnología
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
A continuación se le presenta una serie de problemas, cada problema tiene una de computadora que resuelvan
cada problema, puede resolver los problemas en cualquier orden deseado, al finalizar de resolver cada problema debe solicitar que sea validado con el archivo de prueba que
ida y entregarla para su verificación, si la verificación es correcta habrá obtenido los puntos en que se ha valorado el problema. Recuerde que el tiempo utilizado para resolver los problemas también es parte de la competencia. A menos que se indique otro método, los problemas deberán solicitar el nombre del archivo de entrada y generar la salida a un archivo nombrado salidaN.txt, donde N corresponde al número de problema.
una salida en distintos lugares, éste está constituido por calles muy parecidas que se entrecruzan y se disponen de tal manera que resulta difícil orientarse para alcanzar la salida. El objetivo de este
onar un laberinto conociendo el punto de entrada (E) y el punto de salida (S), éstos puntos de entrada salida pueden encontrarse en cualquier punto dentro del laberinto. El laberinto será expresado por
red estará representada por un
Recibirá un archivo de texto, en la primera línea encontrará la siguiente información:
M representa un número entero positivo <= 100 que indica la cantidad de laberintos
130 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
N representa el tamaño de la matriz que representa al laberinto (10 <= N <= 100). Nombre representa un identificador con el nombre del laberinto. Luego se muestran “N” líneas con “N” caracteres cada una que representan el laberinto, donde E es el punto de partida y S es el punto de salida. Un identificador válido inicia con una letra y luego vienen letras, números o el símbolo “_” (guión bajo).
Salida
Se deberá devolver el laberinto resuelto mostrando el recorrido más corto denotado con el símbolo “-” (menos) o -1 si este no tiene solución. Ejemplo de archivo de entrada 2
10 Laberinto_1 *E********
* ********
* ***
* ** *****
* *
* ***** **
* **
* ********
* S
**********
15 Laberinto_2 ***************
* **** *
* ********
E ** *** *
* ******
* ***** *******
* *******
* *************
* S* *
* *********** *
* * *
* *********** *
* ** ** ** ** *
* *
***************
Ejemplo de archivo de salida Laberinto_1 *E********
*-********
*- ***
*-** *****
*- *
*-***** **
*- **
*-********
*--------S
**********
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
Laberinto_2 ***************
* **** *
* ********
E-** *** *
*- ******
*-***** *******
*- *******
*-*************
*--------S* *
* *********** *
* * *
* *********** *
* ** ** ** ** *
* *
***************
Problema No. 2 (15 puntos)
En matemática, el triángulo de binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su “Traité du triangle arithmétique”. Si bien las propiedades con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada Regla de Pascal). Si
Entonces,
Para todo entero n y todo entero positivo k entre 0 y n. Construcción del triángulo de pascalEl triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifraescribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera
general, esto se cumple así dpara todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la figura 1, en la
Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema No. 2 (15 puntos)
En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su “Traité du triangle arithmétique”. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.
n del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada Regla de Pascal). Si
Para todo entero n y todo entero positivo k entre 0 y n.
Construcción del triángulo de pascal onstruye de la siguiente manera: se comienza en el número
«1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera
general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la figura 1, en la
131 y Tecnología
Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su “Traité du triangle
y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la
n del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la
onstruye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo:
s situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera
ebido a la regla de Pascal, que indica que para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la figura 1, en la
132 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias
última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3,
se cumple que , para la cifra
; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas. Por lo tanto, todas los cifras escritas en cada fila del triángulo, corresponden a los coeficientes del desarrollo binomial de la potencia de una suma
… Nivel 0 1
Nivel 1 1 1
Nivel 2 1 2 1 (a + b)
Nivel 3 1 3 3 1
Nivel 4 1 4 6 4 1
Figura 1 Desarrolle un algoritmo, que dado una suma de un binomio muestre el polinomio correspondiente a su solución. Entrada Un archivo de texto donde la primera línea contiene un número N entero positivo que representa la cantidad de binomios que contiene el archivo (N<=1000) y luego N líneacon sumatorias de binomios elevados a la potencia “n” donde “n” es un entero positivo mayor o igual a 1 (uno) y menor o igual a 100. El símobolo ** representa la operación de potenciación.
Ejemplo de entrada
3
(a + b) ** 1
(m + n) ** 3
(x + y) ** 2
Ejemplo de salida
1a + 1b
1m**3 + 3m**2n + 3mn**2 + 1n**3
1x**2 + 2xy + 1y**2
Ojo: En la solución cada monomio NO contiene espacios y se separa del siguiente monomio utilizando un espacio en blanco, luego el símbolo de suma (+) y luego otro espacio en blanco.
Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3,
, para la cifra 6 se cumple y para la cifra 4
; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.
Por lo tanto, todas los cifras escritas en cada fila del triángulo, corresponden a los coeficientes del desarrollo binomial de la potencia de una suma
1 2 1 (a + b)2 = 1a
2 + 2ab + 1b
2
(a + b)3 = 1a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + 1b
Nivel 4 1 4 6 4 1 …
Figura 1 – Triángulo de Pascal
Desarrolle un algoritmo, que dado una suma de un binomio elevado a la potencia “n”, muestre el polinomio correspondiente a su solución.
Un archivo de texto donde la primera línea contiene un número N entero positivo que representa la cantidad de binomios que contiene el archivo (N<=1000) y luego N líneacon sumatorias de binomios elevados a la potencia “n” donde “n” es un entero positivo mayor o igual a 1 (uno) y menor o igual a 100. El símobolo ** representa la operación
1m**3 + 3m**2n + 3mn**2 + 1n**3
Ojo: En la solución cada monomio NO contiene espacios y se separa del siguiente monomio utilizando un espacio en blanco, luego el símbolo de suma (+) y luego otro
última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3,
y para la cifra 4
; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.
Por lo tanto, todas los cifras escritas en cada fila del triángulo, corresponden a los
+ 1b3
elevado a la potencia “n”,
Un archivo de texto donde la primera línea contiene un número N entero positivo que representa la cantidad de binomios que contiene el archivo (N<=1000) y luego N líneas con sumatorias de binomios elevados a la potencia “n” donde “n” es un entero positivo mayor o igual a 1 (uno) y menor o igual a 100. El símobolo ** representa la operación
Ojo: En la solución cada monomio NO contiene espacios y se separa del siguiente monomio utilizando un espacio en blanco, luego el símbolo de suma (+) y luego otro
133 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema No. 3 (5 puntos)
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente
sucesión infinita de números naturales:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…
La sucesión comienza con los números 1 y 1,1 y a partir de estos, cada término es la suma de los dos
anteriores, es la relación de recurrencia que la define.
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en
Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.
Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.
También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la
disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa, las inflorescencias del brécol
romanescu y en el arreglo de un cono.
Desarrolle un algoritmo que calcule el enésimo término de la sucesión de Fibonacci.
Entrada
Un archivo de texto donde la primera línea contiene un número N entero positivo (N<=100) que representa la cantidad de posiciones de la secuencia de fibonacci que contiene el archivo y luego N líneas con las posiciones de la serie de fibonnacci que se solicitan (la máxima posición a solicitar será la 100). La salida corresponderá a los valores correspondientes a la enésima posición de la serie de fibonacci solicitada en el archivo de entrada.
Salida
Deberá imprimir cada uno de los números solicitados en la secuencia fibonacci. Recuerde NO dejar el caracter \n al final del archivo. Ejemplo de entrada 7
3
1
4
2
6
9
1
134 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Ejemplo de salida 2
1
3
1
8
34
1
Problema No. 4 (15 puntos)
Uno de los eventos más cotidianos de nuestra niñez fue elegir equipos para jugar fútbol cerca de nuestra casa. La mayor parte del tiempo eran los mejores dos jugadores los capitanes de cada equipo, quienes automáticamente tomaban la tarea de elegir uno a uno a los integrantes de cada bando. Dicho proceso de selección muchas veces no era el idóneo porque un equipo tendría mayor oportunidad de ganar, dado a que los chicos más talentosos quedaban la mayor parte del tiempo en un mismo bando. Supongamos que podemos mejorar este proceso de selección para crear equipos más balanceados, colocando un número al nivel de habilidades de cada uno de los jugadores, para luego distribuir a cada jugador en uno de los dos equipos, con el objetivo de que la sumatoria de habilidades de cada equipo sea lo más cercana posible una de otra y que no haya más de un jugador de diferencia entre ambos equipos. Entrada Sea T la primer línea del archivo de entrada que representará la cantidad de casos de prueba donde 1<=T<=100. Seguido por los 'T' casos de prueba a resolver. Cada caso inicia con una línea en blanco, seguido por N (1<=N<=100), que representa la cantidad total de jugadores (líneas). N líneas seguirán después de dicho número, donde cada una de estas representa el nivel de habilidad en el juego de cada participante a ser electo. El puntaje del nivel de habilidad de cada jugador puede estar entre 1 y 450. Salida Deberán desplegarse exactamente T líneas. Cada línea deberá contener dos números (separados por un solo espacio en blanco), que representan el total de puntos de habilidad de cada equipo, el cual está calculado en base a la sumatoria de los puntos de sus integrantes. Imprima de primero el número del equipo más débil. Ejemplo de entrada 4
3
90
200
100
135 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
10
2
3
10
5
8
9
7
3
5
2
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
8
87
100
28
67
68
41
67
1
Ejemplo de salida 190 200
27 27
5 13
229 230
136 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema No. 5 (5 puntos)
En los últimos días se ha estado trabajando en un algoritmo de cifrado que se basa en números primos, se define como número primo, todo aquel número natural mayor que 1 y divisible por 1 y por si mismo únicamente. Para poder terminar con este algoritmo de cifrado se necesita calcular todos los números primos posibles que se encuentran entre los dos números ingresados.
Entrada
Sea T el número de casos de prueba, donde 1 < T < 100.
Seguido de N líneas que contienen los números A y B separados por un espacio en blanco, donde 1 <= A <= B <= 1000000000, A- B<=100000.
Salida
Por cada caso de prueba debe imprimir todos los números primos (p) comprendidos en el rango de A <= p <= B, un número por línea. Cada caso de prueba deberá ser terminado con una línea en blanco, exceptuando el último caso.
Ejemplo de Entrada
2
1 10
3 5
Ejemplo de Salida
2
3
5
7
3
5
137 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema No. 6 (25 puntos)
Un día John tuvo que cuidar de su pequeño sobrino Jim. Él estaba muy ocupado, por lo que le dio a Jim una gran bolsa llena de bloques de construcción (legos). Los bloques son de diferentes tamaños: a lo mucho 15 tamaños diferentes. Por cada tamaño, la bolsa contiene infinitamente muchos bloques.
Ahora, la tarea de Jim es construir todas las posibles torres de tamaño N con sus bloques. Los bloques solamente están apilados verticalmente y en posición hacia arriba. Dos torres son diferentes si el tamaño de sus bloques en secuencia son diferentes.
Jim es bueno construyendo torres y puede construir una torre en exactamente 2 minutos, sin importar el tamaño. John quiere saber cuánto tiempo le toma a Jim construir todas las posibles torres.
Entrada
Al inicio del archivo de entrada se encontrará el número T, el cual representa el número de casos de prueba, donde 1 < T <= 100.
Para cada caso de prueba existen 3 líneas de entrada. La primera línea contiene un entero, N (1≤N≤1018), el tamaño de la torre a construir. La segunda línea contiene otro entero, K (1 < K <= 15), que representa los tamaños diferentes de los bloques disponibles en la bolsa. La tercera línea contiene K enteros distintos que representan los tamaños disponibles.
Salida
En una línea se imprime el número de minutos que Jim requiere para construir todas las torres posibles.
Restricciones
1≤N≤1018
1≤K≤15
Todos los tamaños serán únicos. El tamaño de cada bloque está en el rango [1, 15].
Ejemplo de Entrada
3
10
1
138 Octava Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
1
5
2
2 3
19
2
4 5
Ejemplo de salida
2
4
8
Explicación de salida
En el primer conjunto se tiene que se desea una torre de valor 10 pero solo se tiene un solo tipo de bloque de valor 1, entonces solo se puede crear una torre [1] lo cual le toma a Jim 2 minutos.
El segundo conjunto se desea una torre de valor 5, con los bloques de valor 2 y 3, de tal manera que solo se pueden crear las torres [2, 3] y [3, 2], donde la sumatoria del valor de los bloques nos da el valor deseado de la torre y están en diferente orden. Dado que son 2 torres a Jim le toma 4 minutos construirlas.
El tercer conjunto se desea una torre de valor 19, con 2 tipos de bloques con valor 4 y 5, lo cual nos permite generar 4 torres [5,5,5,4], [5,5,4,5], [5,4,5,5] y [4,5,5,5], esto le tomará a Jim 8 minutos.