Post on 09-Aug-2020
O modelo de LorenzE a transicao para o caos via intermitencia
Caike Crepaldi1 Taymara R. Dias1
1Instituto de Fısica,Universidade de Sao Paulo
PRGF5202 - Caos em Sistemas Dissipativos,07 de maio de 2018
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 1 / 36
Sumario
1 O Modelo de Lorenz
2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet
3 Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental: A Turbulencia emPlasmas
4 Referencias
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 2 / 36
O Modelo de Lorenz
Sumario
1 O Modelo de Lorenz
2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet
3 Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental: A Turbulencia emPlasmas
4 Referencias
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 3 / 36
O Modelo de Lorenz
Um pouco de historia
Dentro os modelos fenomenologicos que apresentam caracterısticascaoticas (ou seja, imprevisıveis) nao podemos esquecer do sistemaextremamente complicado que esta por tras do clima e do tempo.
Com o intuito de simplificar o conjunto complicado deequacoes que modelam a atmosfera da Terra, com base nasequacoes de Navier-Stokes, Edward Norton Lorenz (1963)acabou dando sua enorme contribuicao no campo doestudo de sistemas caoticos.
A situacao especıfica que ele considerou foi o problema deRayleigh-Bernard, que consiste em um fluido em um recipiente cujassuperfıcies superior e inferior estao a temperaturas diferentes.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 4 / 36
O Modelo de Lorenz
Um pouco de historia
Num sistema como esse vemos que conforme a diferenca de temperaturaentre as duas superfıcies aumenta, o fluido vai de um estado estacionario,a um estado de fluxo constante (conveccao), ate por fim atingir um fluxocaotico.
Considerando o poder computacional restrito acessıvel na epoca, Lorenzresolveu simplificar as equacoes de Navier-Stokes do problema deRayleigh-Bernard.
Ele simplificou tanto o problema que o reduziu a apenas 3 equacoes (1).Essas equacoes ficaram entao conhecidas como as equacoes de Lorenz (ouo modelo de Lorenz).
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 5 / 36
O Modelo de Lorenz
Introducao ao Modelo
O modelo tem 3 parametros de controle (σ, r , e b) e 3 variaveis (x , y , ez). Para estudar intermitencia, utilizaremos σ = 10 e b = 8/3, o que euma escolha bem comum na qual alguns autores atribuem a um sistemacom agua fria. O valor de r representa a diferenca de temperatura entre asduas superfıcies.
x = σ(y − x) (1a)
y = −xz + rx − y (1b)
z = xy − bz (1c)
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 6 / 36
O Modelo de Lorenz
Intermitencia
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
t
0
20
40
60
80
100
120
z
Lorenz Model: σ=10, b=8/3
r=35
r=20
r=10
Figura 1: Transicao para o caos.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 7 / 36
O Modelo de Lorenz
Intermitencia
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
t
20
40
60
80
100
120
140
x
Lorenz Model: σ=10, b=8/3
Figura 2: Transicao para o caos.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 8 / 36
O Modelo de Lorenz
Intermitencia
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
t
0
20
40
60
80
100
120
140
y
Lorenz Model: σ=10, b=8/3
Figura 3: Transicao para o caos.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 9 / 36
O Modelo de Lorenz
Intermitencia
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
x
-20
0
20
y
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
x
0
20
40
z
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
y
0
20
40
z
Lorenz Model: r=20
Figura 4: Caminhando para um ponto fixo.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 10 / 36
O Modelo de Lorenz
Intermitencia
Figura 5: Caminhando para um atrator.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 11 / 36
O Modelo de Lorenz
Intermitencia
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
t
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
z
Lorenz Model: σ=10, b=8/3
r=166
r=166.2
r=170
r=185
Figura 6: Surgimento da intermitencia.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 12 / 36
O Modelo de Lorenz
Intermitencia
Figura 7: Caminhando para atratores com orbitas periodicas e caoticos.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 13 / 36
O Modelo de Lorenz
Intermitencia
x
-50 0 50
y
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80r = 166
Figura 8: Atrator de orbita periodica.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 14 / 36
O Modelo de Lorenz
Intermitencia
x
-50 0 50
y
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100r = 166.2
Figura 9: Atrator de orbita caotica.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 15 / 36
O Modelo de Lorenz
Bifurcacao
Figura 10: Diagrama de Bifurcacao. Modelo de Lorenz com σ = 10 e b = 8/3.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 16 / 36
O Modelo de Lorenz
Bifurcacao
Figura 11: Janela periodica ao redor de r = 155.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 17 / 36
Encontrando as Estruturas Intermitentes
Sumario
1 O Modelo de Lorenz
2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet
3 Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental: A Turbulencia emPlasmas
4 Referencias
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 18 / 36
Encontrando as Estruturas Intermitentes
Transformada Wavelet
A transformada wavelet (ondaleta, em pt-br) e um metodo de analise deseries temporais que permite a localizacao de estruturas intermitentes.
Podemos considerar a Transformada de Wavelet como uma Transformadade Fourier Janelada com o tamanho da janela variavel. Como eventos debaixa frequencia precisam de uma maior janela no domınio do tempo paraserem observados e eventos de alta frequencia precisam de uma janelamenor para uma maior resolucao temporal, uma janela de tamanhovariavel permite decompor o sinal tanto no domınio da frequencia quantono domınio do tempo.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 19 / 36
Encontrando as Estruturas Intermitentes
Transformada Wavelet
A Transformada de Wavelet contınua Wn(s) de uma serie temporal xn edefinida como uma convolucao de xn com uma versao escalonada etransladada da funcao wavelet Ψ0(η),
Wn(s) =N−1∑n′=0
xn′Ψ∗[
(n′ − n)δts
](2)
onde,
Ψ∗ e o complexo conjugado da funcao wavelet normalizada;
δt e o passo da serie temporal xn;
s e a escala, um fator proporcional ao perıodo T e que depende dafuncao wavelet escolhida.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 20 / 36
Encontrando as Estruturas Intermitentes
A Funcao Morlet
Uma das funcoes wavelets utilidas e a Morlet. Essa funcao pode consisteem uma onda plana modulada por uma gaussiana
Ψ0(η) = π−1/4e iω0ηe−η2/2 (3)
onde,
ω0 e a frequencia adimensional;
η e um parametro adimensional de tempo.
Para essa wavelet, a relacao entre a a escala s e o perıodo T e
T =
4π
ω0 +√
2 + ω20
s (4)
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 21 / 36
Encontrando as Estruturas Intermitentes
A Funcao Morlet
η
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ψ(η
)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Morlet Wavelet
Figura 12: Wavelet Morlet.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 22 / 36
Encontrando as Estruturas Intermitentes
A Funcao Morlet
t
-4 0 4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1s=1
t
-4 0 4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1s=0.5
t
-4 0 4
Ψ(t
/s)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1s=2
Figura 13: A funcao Morlet para diferentes escalas.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 23 / 36
Encontrando as Estruturas Intermitentes
Metodo de Wavelet
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-2
0
2
4
z
Wavelet analysis (σ=10, b=8/3, r=185)
-2
0
2
4
6
8
10z
Σj |W
n(s
j)|
2
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
t
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
log
2[T
]
1.5
1.0
0.5
s
Figura 14: O metodo de Wavelet.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 24 / 36
Encontrando as Estruturas Intermitentes
Metodo de Wavelet
5 10 15 20 25 30 35 40 45
-2
0
2
4
z
Wavelet analysis for Lorenz model with σ=10, b=8/3, r=166
-2
0
2
4
6z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
t
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
log
2[T
]
Figura 15: O metodo de Wavelet.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 25 / 36
Encontrando as Estruturas Intermitentes
Metodo de Wavelet
10 15 20 25 30 35 40 45
-2
0
2
4
z
Wavelet analysis for Lorenz model with σ=10, b=8/3, r=166.2
-2
0
2
4
6
8
10
z
26 28 30 32 34 36 38
t
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
log
2[T
]
Figura 16: O metodo de Wavelet.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 26 / 36
Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental
Sumario
1 O Modelo de Lorenz
2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet
3 Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental: A Turbulencia emPlasmas
4 Referencias
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 27 / 36
Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental
O plasma no Tokamak
A fusao termonuclear controlada tem sido idealizada por meio do estudode plasmas quentes em reatores de confinamento magnetico, e.g.tokamaks, que tem por caracterıstica sua geometria toroidal.
Ja o plasma e formado por ıons e eletrons dissociados em um estado dequasineutralidade, onde as interacoes eletrostaticas de longo alcancegeram movimentos coletivos das partıculas carregadas, como ondas. Essasondas, associadas com gradientes presentes no plasma, acabamtransportando partıculas para fora deste atraves de processos turbulentos.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 28 / 36
Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental
O plasma no Tokamak
Figura 17: Joint European Torus.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 29 / 36
Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental
O plasma no Tokamak
Figura 18: Esquema de um Tokamak.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 30 / 36
Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental
O plasma no Tokamak
Figura 19: TCABR.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 31 / 36
Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental
Bursts
Figura 20: Corrente de Saturacao de ıons na borda do TCABR .
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 32 / 36
Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental
Bursts
Figura 21: Histograma da corrente de saturacao.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 33 / 36
Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental
Bursts
-5
0
5
I sat
Tokamak TCABR shot - Wavelet transform analysis
50 50.2 50.4 50.6 50.8 51 51.2 51.4 51.6 51.8 52
t (ms)
0.014
0.018
0.022
0.026
0.03
Figura 22: Deteccao dos bursts por wavelet.
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 34 / 36
Referencias
Sumario
1 O Modelo de Lorenz
2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet
3 Estruturas Intermitentes em Fısica Experimental: A Turbulencia emPlasmas
4 Referencias
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 35 / 36
Referencias
Referencias
Gustavo Lima, Analise espectral por Wavelet da turbulencia noTokamak TCABR, 2005
C. Torrence & G. P. Compo, A practical guide to wavelet analysis,Bull. Am. Meteor. Soc., 79(1), 61–78, 1998
P. Manneville & Y. Pomeau, Different ways to turbulence indissipative dynamical systems, Physica D: Nonlinear Phenomena,Volume 1, Issue 2, June 1980, Pages 219-226
Radu Balescu, Aspects of Anomalous Transport in Plasmas, 2005
Nicholas J. Giordano, Computational Physics, 2ed., Pearson, 2005
Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos 2018 36 / 36