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JAERI-Research
95-050
JAERI-Research—95-050
JP9509140
Multi-Grid Method£&&mWMt
1995^7^
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VOL 2 7 Ms 0 f B^M^^JSf^Sf l / f Japan Atomic Energy Research Institute
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JAERI-Research 95・050
JAERI-Research--9S-0S0
Multi-Grid Methodによる固有値問題と特異方程式の数値解法
一常微分方程式への適用一
争l'吉隆司九徳回世11二・宇山忠男骨
VOL 27融o1 日本原 子力研究所Japan Atomic Energy Research Institute
* v # - M i , uA-w-\--m\YmKiM^\m-&PJ L -t aAT U S K ^ K I - .
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This report is issued irregularly.
Inquiries about availability of the reports should be addressed to Information Division,
Department of Technical Information, Japan Atomic Energy Research Institute, Tokai-
mura, Naka-gun, Ibaraki-ken 319-H, Japan.
©Japan Atomic Energy Research Institute, 1995
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-1,:レポートは‘I::l-1':IJ;t子1;研究所が不定JUIに公fIJしている研究報告書てす。
入手の間合わせは,日本原子力研究所技術情報部情報資料課(千319-11茨城県邪河郡東
海付)あて,お申し越しください。なお,このほかに財団法人原子力弘前会資料センター
(〒319-11 茨城県郎珂都東海村日本原子力研究所内)で被写による ~'lun布をおこなって
おります。
This report is issued irregularly.
Inquiries about availability of the reports should be addressed to Information Division,
Department of Technical Information, Japan Atomic Energy Research Institute, Tokai・
mura, Naka-gun, Ibaraki-ken 319・11,Japan.
。JapanAtomic Energy Research Institute, 1995 編集兼発行 日本原子力研究所
印 刷い';fらさ印刷(附
JAERI-Research 95-050
Multi-Grid Method\z
JAERI-Research 95-050
Numerical Method for the Eigenvalue Problem and the Singular Equation
by Using the Multi-Grid Method
and Application to Ordinary Differential Equation
Takashi KANKI*. Shinji TOKUDA and Tadao UYAMA*
Department of Fusion Plasma Research
Naka Fusion Research Establishment
Japan Atomic Energy Research Institute
Naka-machi, Naka-gun, Ibaraki-ken
(Received June 12, 1995)
In the numerical method to compute the matching data which are necessary for resistive
MHD stability analyses, it is required to solve the eigenvalue problem and the
associated singular equation. An iterative method is developed to solve the eigenvalue
problem and the singular equation. In this method, the eigenvalue problem'is replaced
with an equivalent nonlinear equation and a singular equation is derived from Newton's
method for the nonlinear equation. The multi-grid method (MGM), a high speed iterative
method, can be applied to this method. The convergence of the eigenvalue and the
eigenvector, and the CPU time in this method are investigated for a model equation. It
is confirmed from the numerical results that this method is effective for solving the
eigenvalue problem and the singular equation with numerical stability and high
accuracy. It is shown by improving the MGM that the CPU time for this method is 50 times
shorter than that of the direct method.
Keywords: Eigenvalue Problem, Singular Equation, Matching Data, Resistive MHD Stability
Analyses, Nonlinear Equation, Newton' s Method, Multi-Grid Method
* Himeji Institute of Technology
JAERI-Research 95‘050
Numerical Method for the Eigenvalue Problem and the Singular Bquation
by Using the Multi-Grid Metbod
and Application to Ordinary Differential Equation
Takashi KANKI*, Shinji TOKUDA and Tadao町刷r
Department of Fusion Plasma Research
Naka Fusion Research Establishment
Japan Atomic Energy Research lnstitute
Naka-machi, Naka-gun, lbaraki-ken
(Received June 12, 1995)
In the numerical method to compute the matching data which are necessary for resistive
MHD stability analyses, it is requircd to solve the eigenvalue problem and the
associated singular equation. An iterative method is developed to solve the eigenvalue
problem and the singular equation. 1n this method, the eigenvalue problem' is replaced
with an equivalent nonlinear equation and a singular equation is derived from Newton' s
method for the nonlinear equation. The multi-grid method (MGM) , a high speed iterative
method, can be applied to this method. The convergence of the eigenvalue and the
eigenvector, and the CPU time in this method are investigated for a model equation. 1t
is confirmed from the numerical results that this method is effective for solving the
eigenvalue problem and the singular equation with numerical stability and high
accuracy. 1t is shown by improving the MGM that the CPU time for this method is 50 times
shorter than that of the direct method.
Keywords: Eigenvalue Proble~ Singular Equation, Matching Data, Resistive附IDStability
Analyses, Nonlinear Equation, Newton' s Method, Multi-'Grid Method
本lIimeji Institute of Technology
11
JAERl-Research 95-050
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3. 1 ®ffl®fe 5
3. 2 ¥-M
JAERI-Research 95-050
Contents
1. Introduction 1
2. Formulation of the Eigenvalue Problem as a Nonlinear Equation 1
3. Multi-Grid Method 4
3. 1 Formulation of the Problem 5
3. 2 Smoothing Step 6
3. 3 Coarse-grid Correction 6
3. 4 MGM 7
3. 5 Simple Example of the MGM 8
4. Application of the MGM to the Singular Equation 9
5. Model Equation and Numerical Method 11
6. Numerical Results 14
7. Conclusions 15
Acknowledgements 15
References 16
Appendix Solution Method of the Singular Equation Associated with
the Eigenvalue Problem 29
IV
JAERI-Research 95-
JAERl-Research 95-050
1 J*Bfi
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(21)
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JAERl-Research 95-050
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3.1 F^iUlx^
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uf,,--i — 2m,,- + u/,,-+i . ,ORx j5 = / ' , ' (26)
£ # 5 o i£ (26) f± JV,xJV;0 3 l ^ W r ^ U ; . JV,©^£fl©-
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3.2 ^-:Mit^^^Zf MGM (oM'mo^y- v 7'ft, &M sc (26) * w J.„(")
u («+») - „ W -L , , f < i - l + U U l + f e l / M „(n) ' ,« ' u)/+u> —•• u , / (28)
To t O S i l i S f i damped Jacobi&fcPfWl/trv* 5 . ^ (28) ^ f f l ^ " C ^ ^ O ^ J ^ Bfc&JSS-tt^ &Bfe;ft»*l [4K a ^ s f f l b T S C i i S - C t So damped Jacobi j£ * (3D
Il4n ) l l -C'-^*.ib*LSo c u t s K f i 0 < K < l © M t ^ £ S - C ' ^ 5 o
3 .3 C o a r s e - g r i d c o r r e c t i o n
R C ^ T ' ; 7 ' ( i , Bl^O'lSil&ifclfiS-^flX !3 K< < coarse-grid correction
JAGRI-Rcxearch 95-050
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c c " ^ ^(-2f/-2 = dt_2(Dffttt, f? tf w^iW-2,/-3^'©TGM£ffl^Se£K:.J:^-rjfiiW£ftSo co®g4*6D
lo^o = d0 (40)
- 7 -
JAERI-Rc5Cllrch 95-050
で表される。とのとき、方程式(34)で Vl_lがVlの近似解を与えるように、めから d1-1を作るととが必要であるo そとで、 resirictionと呼ばれる線形写像 Tによって d1_1
を
d1_1 == rd1 (35)
で作る。次に、方程式 (34)の厳密解 Vl-l= Lごldl-lからレベノレ lにおける Vlの近似解を作るため、 Vl-lに線形補間 pを操作するo すなわち
Vl == PVl-l・ (36)
との補間を prolongationと呼ぶ。平滑化された反復解官l及びVl= PVl-lを用いて方程式 (27)の近似解は
new _."..,. ."':: Ui--= ul - 'Vl (37)
によって更新される。官}→ uiewのステッァ・を coarse-grid correctionと呼ぶ。上で
述べた方法は、 2つのレベル lと1-1の間で計算が行をわれているため、 TGM(Two-
Grid Method)と呼ばれている。
第 4節で用h るLl_lとL/の関係、を導出しておく o 方程式 (33)の両辺の左からrestriction rを作用させて 1'1= pVI_lを用いると、方程式 (33)は
rLIPVI_l = d1-1 (38)
となる。 ζζで、組いグリッドにおける方程式は式 (34)で表せるので
Ll_l = 7・LIP (39)
という関係が成り立つ。
3.4 恥1Gl¥在
次に TGMから MGMに拡強するととを考える。 TGMは方程式 (34)の厳密解を必要とするため、実用的主反復解法でない。 V/は VI= Li1dlの近似でしかないた
め、厳密解υ1-1を必要とせず、方程式(34)の近似解VI_1を計算するととで十分であるロ方程式 (34)は方程式 (33)のlを1-1で置き換えるだけで、同じ形式の方程式と
なる。したがって、レベル 1-1,1-2の問でTGMは、方程式(34)を解くのに使うととができる。その結果、方程式(33)はレベノレ 1,1ーし 1-2のThree-GridMethod を用いるととによって解くととになる。さらにレベノレ 1-1,1-2の問で TGMは、
LI-2'V1-2 = dl-2を厳密に解くととが必要であるロととで、 LI-2VI-2= dl-2の解は、再
びレベル 1-2, 1-3での TGMを用いるととによって近似される。との過程を繰り返してレベルが Oになったとき、すなわち、最も粗いグリッドにおける方程式:
Lovo = do ( 40)
一7-
http://Li.it
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So Jl&fc MGM
3 .5 M G M fgifi##J
±-ej2E^fe TGM &tf MGM © 7" P -fe x £ ' M # : £ ? I 3 : (22) ©ig^f iSIM&W KL-CfflfctS^So S fe . MGM O J R ^ O t e f f i ^ P ^ 3ffi'£©SMift££ L T S 0 R & * 3 t t> W "C MGM t © CPU P#P3fc**i- 5 J t & f c f r * 5 o
5fc-i\ TGM KJ:5®^o^t*0 3 K -̂fo &T©Sfitff#^Eeg$fl©#P© fcJWHfitt-^-COfc-^So tTcs ' < ? > * - f ± / / , = = 7 , £ * i ^ ' H R Z m M = 2,w = 0.5, K = 0.9 fcffl^ pre - smoothing® frffk 5o nl = l , 2 t t l | l i © TGM X' > n = 1 tt^O damped Jacobi S © t ; - C O coarse-grid correction *7FLX^Z0 ITO K n2 = l , 2 t t 2 P @ © TGM t'CQE ^ C D ^ g ^ r ^ ^ L - r ^ S o damped Jacobi & £ 1 @;$> 2 @ff & 5 ftVrX'B^cDMm®. $LlSL9t1&BL D Bfea»*u S 2 S * s i « t A / ^ ^ t U 4 < * : - 3 - C ^ 5 o ^ o M f c ^ f " ^ ©&> coarse-grid correction £ 1 Hfrfc 5 C t fC £ oTTgSI£#;MsiK:i&4>U f e ^ » 5 J : 5 l c , ^mit^-r-y 7"C&M® 1%J%&LWLtiL&&TiL U l&^*U coarse - $rid correction - C l £ H M j £ £ - ^ I & 0 fife^ft -C. Effi»?ttSK^fi?K:JR^-j-5o
#CK1̂ MGM © K ^ l e l t l C ^ t S V-cycle fc W-cycle j£
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t post-smoothing ^ - i L T , MGM(V-cycle)t*tt iV, = 511, /m0I = 8,w = 0.5,« = 0.5 £ffl X/2/; = /̂fC>[>J"-f 2> restriction t prolongation ^^tlZftlr, ptiT^CtKii-oX
' r 0 "
. 0 1 . , P = ' P 0 " .0 1 .
- 9 -
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とpost-smoothingのJレーチンを呼んでる回数がV-cycleよりも多いロとのため、 ¥v-cyc1eは平滑化ステップでの全反復回数がV-cyc1eよりも多くなり、必ずしも V-cyc1e
よりも計算時間が早いとは限らない。
MGMのCPU時聞に対する効率を見るため、古典的な反復解法である SOR法を取り挙げるロ MGM(V-cycle)とSOR法の CPU時間の比較を図5に示す白パラメターとして、 MGM(V・cyc1e)では N,= 511,lma:r: = 8,ω=0ムκ=0.5を用いる。SOR法では、との問題に対して最適に近い加速緩和係数ωs= 1.7を用いるロ但し、グリッド数は MGMと同じであるロ MGMもSOR法も精度を良くしていくと、 CPU時聞は一定の増加率で増大している。また、精度が 10-8では MGMはSOR法よりもCPU時間が約 100分の l短い。乙れから分かるように MGMは非常に収束が速い反復解法である。
4 特異方程式に対する h任GMの適用
第 2節で述べた方法で固有値問題を解くととは、 1次方程式UJ)を解くととにの着する。との方程式 (9)に対して MGMを適用する。前節で述べた方選弐 (27)の解
は、全てグPッドの関数である。しかし左がらラ方程式 (9)の解 (x(n+l),d入)は、グ
リッドの関数でないスカラー6入を含んでいる。とのため、式 (21)における拡大行列
を方程式 (27)における LIと考えて、方程式 (9)に対して前節で述べた MG1¥1を直接
適用するととはできない。そとで、次の形式の 1次方程式:『
ESE-EEEBB-4・
司白山
η
r'''BEBEE--助一一
Fμ
『
BEBEE---EEEd
司山内
FaEEBEBEE--h
一一4
叫
『
Bail---J
品角
一ム何
rill--L
一一L 7h
一一司
UL
(41)
に対して MGMの考え方を適用するととを試みるo ととで、未知量はベクト Jレy,とスカラーPIである。また、 st, ηは既知のスカラーであり、グリッドのレベノレに対して不変であるとする白すなわち、
PI 一一 PI-1 一 一一 Po, s, sI-l 一 一 so, 71 一 71-1 一 一一 70・
(42)
グ~:Jf'tt:関するレベ Jレが前もって存在するのはLIだけであり、 b/ , 併には任意性が
あるo 方程式 (41)における
手;め+s,Pl =η もレベノレに対して不変であるようにするため、 "YI-lに対する prolongαtionpを
手;-1=伊j戸 1 = 1,2,・・・ (44) と設定する。したがって、方程式 (41)に対する restriction7'とprolongαtionpは、
LI"YI = 91に対する restrictionとp1・olongationをそれぞれヂ,戸とするととによって
(43)
、,llE』
nHU
唱
i
pO
FEEE'aEeEE』一一
一pa
『
E'aBEBEE--d
nHM
噌EA
T
O
F'EEEEEEEEL
一一一T
(45)
- 9ー
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Pl-l = , prolongation p Zfflv^XSyt = p~6yt_i, 6p, = fy>/_i X 5 Kj}r$li~Z>o M
^£|C coarse — grid correction:
vi = 3// - *y/7 Pi = Pi - opt (53)
- 1 0 -
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で定義できるロまた、 Lz-1(l= 1,2,・・・)は式 (39)から
LZ_l = rLIP
= [司戸前l何p sz
とまる。式 (46)で L1-1が定義できるように
bl_1 = Fb1
(46)
(47)
とする。
先ず、 MGMの最初のステァプである平滑化ステップについて考える。スカラーPIはグリッドK依存し左い量であるため、全てのレベルに対して平滑化ステップの
過程がない。とのため、平滑化ステップで変化しないスカラーPlの初期推測値をPI
として、方程式 (41)におけるLI訴+bzPI=訴を
LI日=昂-LP: (48)
に変形する。方程式 (48)のあに対して平泊化を行とい、平滑化された反復解(釘,pi)
を~}る。次に coarse-grid correctiunについて考える。平滑化ステップで得られた反復
解 (yj,ρnを用いて方程式 (41)に対する defectι品は↓引
η一一
'
s
I
a向
ア
叫
L川町
βμ++
釘
好一Ldυ
一一一一
司
J
叫ぬ
(49a)
(49b)
で与えられる。また、レベル lでの厳密解(払PI)の補正を (15訴,opz)とすると、方程
式 (41)に対する補正された方程式は
Lzo品+bzopz = fIt, 伊;6前十 sz8pz = 81
(50)
で表せる。式 (42)、式 (44)-(45)及び式 (47)を用いると、レベル l-lでの各量は
4-1=FC5, 6l-1=6l , G-1=FEi , d-1= 伊~p, sZ-l = sz (51)
で与えられるo したがって、粗いグリッドにおける方程式は
L1-1OYl-l + b1-1OPl-l = dl-ll ¢;-16日-1+ sZ-IOPl-l = Ol_l
(52a)
(52b)
とたる。と ζで、方程式 (52)の厳密解 (dYI-hdPI-l)からレベノレ lにおける近似解を
作るため、 prolongαtionpを用いてOYl=戸OYI_l,OPI = OPI_lのように近似する D 最後に coarse-grid correction:
i7iew = YI -o日, p?eu=pf-6pt (53)
-10 -
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^-o 5£ (49b) J: D
^ 7 - ^ ) + AW-W = *>i + T{ - $6yi - faSpi
£*#5o CCtf, 3] (42). 5£(44)-(45)&tf:S;(52b)£fflv*3i
=
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ifcaj-r sfistffw&ramttAj = 4/fc?[sin(jx/i,/2)]2.
e,- = y/2ht
sin(jirhi) s\n[2JTT hi)
(56)
sin(AT;jV/i/)
a?(°) =
£ =
£
vte&w' to
(57)
(58)
^ R C - * * h/u4(S5E^-So : £ l i 5 £ ( 6 ) o P A ^ M f I A ( 0 ) £ L T ; g ^ & f [ I £ ^ * _ S t . ^ d r c f i ^ i g ^ m f l A j f t J K ^ - r S o # 1 * - ^ ^JJWfiAW i L-C 8.0 fc-5*. 5 i , 8.0 l e g * j £ i ^ S / h o @ ^ l ® 9.869 KJK^^-So C «9 £ 5 K L t \ 'frMA^ -ft mm (6) ©fi¥©30HHfiI (f(0), A) SLtfgEfcl-**' h ^ u J i t g ^ - r 5 £ tKX^X^ JK
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JAERI-Research 95-050
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JAERl-Researeh 95-050
E ^ g * 1 H l f c t f f r & o / c ^ ^ { R l j O ^ - r r c A S ^ & U Iteration MGM) t 'E t t f i ?
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1 Iteration MGM. 1 Iteration 5GM &1>* 5GM KBiL-CEfgfl? (x
JAERI-Research 95-050
[1] B. Coppi, J.M. Greene and J.L. Jhonson, "Resistive Instabilities in a Diffuse
Linear Pinch", Nuclear Fusion, 6 (1966), 101-117.
[2] &mw—> \mft&feK%:\r*®&
JAERI-Research 95-050
s \ R /p \s /
\ R / p \s /
V /p \s /
\ R / P
1.1 Y=1,|=4C^-r-5 1 ElOMGMCIcfcSJx^l
S : smoothing step, R : restriction of the defect E : exact solving at level 0, P : correction
1.2 7=2,1=4^^1"^ 1 UKAMGMCcfcSJ^
- 1 7 -
JAERI-Research 95-050
S
E
図 1.11=1,1=4に対する 1回のMGMによる反復
S : smoothing step, R : restriction of the defect E : exact solving at level 0, P : correction
図 1.2"1=2, 1=4に対する 1回のMGMによる反復
-17-
4
3
2
。
4
3
2
o
Start:
k
JAERl-Research 95-050
0.07
0.06
0.05
§ 0.04 "en
£ 0.03
0.02
0.01
0.00
- • — n1«1 (smoothing iteration]
-m— nl«2(smoothfng iteration]
- • — n«1 (coarse-grid correction)
O n2«1 (smoothing iteration)
- B — n2=2(smoothing iteration)
- e — n«2(coarse-grid correction)
3 4 5 Grid-Point N
8
TGMCC «fc %mn
JAERl-Research 95-050
Iteration Number
@4 MGMO)Eifc®&lZtt?& V-cycle£W-cycle
JAERl-Rcscarch 95-050
(Np511, lmax=8, (0=0.5, K = 0 . 5 , (os=1.7)
1.0 亙
50.8 2 ‘圃ε0.6 w E ←0.4 コ仏
JAERI-Rcscarch 95-050
- Solution vector ] j ^ s T ) ijjijjjjninjfijjjiiiitiiiijjinijiHliuijimigi!!!]
flilinlij^iil^iiiisliiiiiiiiiisHnliiiliHiispiisr !.!!i!|!!i!!j!!!!!)n!!!l^ (ijl||litjiili|i{ilij||iljl!i6j{ir
£ Iff3 o
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10 s
Iff6
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10°
1 0 '
5 7 8 Iteration number
10 12 10"
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1 0 ° !^nuitii!iii!tiimiti!ii|i;|||;|g;||||g|ps|;|i;r,j|!lifii:a
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- Solution vector -SX.
10°
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10°
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3 5 6 Iteration number
10 10-'
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10- '
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Solution vector | |—e— SK |
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fi^iiiipififiiiiiiiiiiitLiiiiiiiiiliiinitiiniriiir •UHiHll̂ K^̂ î iniSIIEMUî MIUinilltl'lU t̂tiitHr
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M$n+»,SX)W%%: (Nr=511, X(0)=8.0, e=10-10, eMGM=10
5, K=0.5, (D=0.5)
£ m O 1 0 @ # 6 2 0 g $ ? 1 i l i L & 7 / e > a r > U 3 0 1 & ? £ 3 I I i & / h < * < & o T ^ 5 c .
- 2 2 -
JAERI-Rcscarch 95-050
10。郡明日明l!!!!!!!8!!!!2!!!lp'mpJ!IIーm~mー11ー0!11!捌100 1cP
10・2 1σ2 CFH ' ~
10・4 1(~'
106
(a) 1回目のNewton法の反復 (b) 2回目のNewton法の反復
|→-5..l 10・1
事iitijiEElmif似 i5552Zi:hstt::51mmi110・~~i・・・l・m・.-leh-1-1-1-t-1-1-1-1.h.t.1.1.1.1.m.-.a・t・t・H・・I ・iii~i;;;i;li~iiiiii;~ 100
255 103!!1jj!jjjfjjiijj!i!111iiiiiE21liiiliaiijjjjjjigsilii1102タ
a ち
co 104
~iiiiiiiiì,iiiiiiiiiiiiiiiiii五iiiiiijai-iiiiiK13首長~;iiiii~ 10.' 10・5
(c) 3回目のNewton法の反復 (d) 4回目のNewton法の反復
図6MGM (1=8→I=P, V-cycle)の反復回数に対する反復解(i(n+1) , OA.)の残差
(NF511,入(0)=8.0,ε=10・10εMGM=10・5,lC=0.5, 00=0.5)
正(nは}の残差はほとんど一定の縮小率で減少している。一方、 δλの残差はNewton法の
反復の 1回目から 2固固まで振動しながら減少し、 3回目以後振動は小さくなっている。
-22ー
JAERI-Research 95-050
*— Solution vector
•*— Solution vector
Iteration number
®7 5GM (1=8-1=4, V-cycle)
JAERI-Research 95-050
a— Direct method I
CO
O in • a c
CO
O
CD
E
250
200
Grid number N,: 511 3000
5 100 -D. O
150 -
• ^ 1000 10"° 10_D 10"* 10"'
Accuracy
(N P 511, k(0,=8.0, eMGM=10* e5GM=10'
5, K = 0 . 5 , CO=0.5)
MGM&B&fe£ik'=0.5)
MGMは直接法と比べるとCPU時聞が約 10分の 1短く、 5GMは直接法と比べるとCPU時聞が約30分の 1短い。
-24-
JAERI-Research 95-050
•*— MGM
-•—4GM - B — Direct method j
-10
250 w
O "O c CO
O
CD
E
Q. O
TTTTTTT^ Accuracy : 10"
TTTTT"TTTTTTTTTTTTTTTT1 2500
2000
1500
1000
500
O "0 c: •—* 3 CD
cT Q . T CD r—1-
3 CD i—••
=r o Q. 77T
100 200 300 400 500 600 Grid number
MGM. 4GM (l=8-*I=5, V-cycle) S t f j t & i S t f ) ? x ) v Vmz&t3CPUf#f?fj=0.5)
So #(=Nf-511c7)fc*lCtiMGMti|S^JBfeJ:»;t)CPUB#^*^1 0 # t f > 1 & < s 4GM(i
- 2 5 -
JAERI-Research 95-050
|→ー Directmethod I |工yzi2500
(') 可
2000C
ヨ。1500 57
0. ., CD
1000 n ョ。::r O 0.
cn
500
250
200
150
50
100
す}20寸万戸』伺
202』O』
O
E一日コ仏
O
603 500 200 300 400 Grid number
100 O o
図9MGM、4GM(1=8→(=5, V-cyc[e)友ぴ直接法のグリッド数に対するCPU時間の依存性 (λ(0)=8.0,E=1 0・10εMGM=106,ε:4GM=10て1
JAERI-Research 95-050
Grid number N(: 511 S!U!i!U!!!!H!!!!!!!!l!!!!!UI!!!!!!:!l!!!!UU!
10°
io-2
-4 •a 1 0 CO
1 10" rr
10'8
1 0 - io
io-12
JJi I . . 1 I ittLJ
*—eigenvector of 11teration MGM •—eigenvalue of 11teration MGM
•eigenvector of 11teration 5GM •eigenvalue of 11teration 5GM
-s— eigenvector of 5GM -a— eigenvalue of 5GM
î»!S"!»*ii,'!!,l!'yM,!l!,,,!,Mr«!i,;llM'!!'"l!!l!l!i:,!,!i'!!'ii
liimiiwiiiiiiitiiwiiiiuiniiiiiiiijiiiiiiiiiniiiiiriiir]
jiiiiiiiiiimtmimmimnimimimiBmn tt:iiiiittii;itms:>iiitimuiiitiit;miisiiii!
PlPPPP!!S!!l vp :̂.::-.::.:!::::::-::::::-:::::-::::̂ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Iteration number
010 1 Iterarion MGM. 1 IterarionSGMS^a^OSGMONewtonawS^lslff iclC*!-1" 3Kffl&GcM,A)
JAERI-Rcscarch 95-050
- * -5GM -s— 1 Iteration MGM -»— 11teration 5GM Grid number N,: 511
ico,
E =5 Q. O
10 :T3r:.«TTjiTT7iirnHrrni^iiian ̂ Hl1l«r7Ta,
10 •11 10- 10"7 10'5
Accuracy 10 ,-3 10 -1
HI11 11teration MGM. 11teration 5GM&Xf&%
JAERl-Research 95-050
80
70
60
S 5 0 CD
•I 40 § 3 0
20
10
0
—^-4GM • 0 1 Iteration MGM —•— 1 Iteration 4GM
! i I ! I T
1
Accuracy :10"10
I ) ! j { I
. . . . . . 1 . ^ . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . j . . . . . . . . . . . ^ . . . . . . . . . W T « . . . . . .^.. . _ . „
i I i I i i 0 100 200 300 400
Grid number 500 600
H12 11teration MGM, 11teration 4 G M S t l r j i ^ 0 4 G M O ^ U -y Kgac f t - r 3CPUB#H (Dft#14 a(0)=8.0, E=1 0'10, e4GM=10-
5, x=0.5, co=0.5)
i|$lCNf=51ia)fc*lCl±1 Iteration 4GM14 x 11teration MGM «fc »J fcft 1 3 & \ 4GMlCj:b
- 2 8 -
JAERI-Research 95-050
nununu
au『
rau
-e-4GM ーモトー1Iteration MGM ー+ー1Iteration 4GM
~50 0
~ 40 コち30
20
10
o 0 !~OO 200 300 400 500 600 Grid number
図121lteration MGM, 11teration 4GM友び通常の4GMのグリッド数に対するCPU時間の依存性 (λ(0)=8.0,E=1 0刊,ε'4GM=10.5,1¥:=0.5, (炉0.5)
特にNF511のときには11teration4GMは、 11terationMGMよりも約, 3秒、 4GMに比
べて約 30秒CPU時聞が短く、最も収束が速い。
-28ー
JAERI-Research 95-050
AXQ = \$O (A-l)
Kwsmm-xmx:
\ (A-M)x =6,
(x, £0) = 0 (A-2)
?{x, v) = - [x, (A - XI)x) - (x, b) + i/(x, x0) (A-3)
t ? ^ * 5 B C C U , i/f± Lagrange ©?f5^^|5["C«> So 5£ (A - 3) O&frfabz, i/»C
fchf-sifl^fis;: J ( A - AJ)x + i/x0 = 6, I {x,x0) = 0
£ n s o ^gst (A - 4) * f?»a:-es tm-rt
(A-4)
A - A W / x, Xo 0
X
1/ (A-5)
-c. ^gs; (A - 4) o» 4^ga; (A - 2) ©fi¥tt-8tf- 5o #gs; (A - 5) ©&*ff ^Jtts -ftm^:(9) ojŝ ffyy11̂ 1 cms,*u-c^sfc«^ i£*ff?iJ«ft?yt t-c
- 2 9 -
JAERI-Research 95-050
付録 固有値問題に伴う特異方程式の解法
拡大行列を疎行列として扱える反復解法のアルゴPズムは、固有値問題に伴う特異方程式を解くととに適用できるととを示す。第2節で述べた行列 Aがエルミート
行列である固有値問題
に伴う特異方程式:
Axo=λE。
(山I)i=正(X',Xo) = 0
を導く変分問題を考える。方程式 (A-2)に対する汎関数 :F(X',ν)は
F川=い(A一入I)X')一川)+ν同)
(A-l)
(A-2)
(A-3)
で表せる。ととで、 νはLagrangeの未定定数である。式 (A-3)の変分からX,1/に対する 1次方程式:
(山糾1/Xo = b, (x,xo) = 0
(A・4)
を得る。方程式 (A-4)を行列形式で書き直すと
[ A -~(n) 1 ~O] [ ~ 1 = [日 (A・5)と在る。 5は可解条件を満たすため、方程式 (A-4)はν=0を解にもつ。したがって、方程式 (A-4)の解と方程式 (A-2)の解は一致する。方程式 (A-5)の拡大行
列は、方程式 (9)の拡大行列と同じ形式をしているため、拡大行列を疎行列として
扱える反復解法のアルゴリズムは、方程式(A-2)に適用する ζ とができるo
-29-
§&¥&!& (si) tm
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R rad r em
1 A=0.1nm=10-'°m
1 b=100fm2=10-'"m!
lbar^0.1MPa=10 sPa
1 Gal=lcm/s ' = 10 " m / s !
lCi=3.7xlO'°Bq
1 R=2.58x10"C/kg
1 rad = lcGy=10 'Gy
1 rem=lcSv=10 2Sv
(iUt
1 0 " 10'" 10" 10"
10'
10' 10' 10'
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(dlilSlW 1985«r-W?rlCj;S0 fcfc'L. 1 eV
W t f 1 u Otfil± CODATA ffl 1986J|-:«L1S
2. ii 4 ICIi/Sn'V. / v K T - / K - N ? ?
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Ĉ rifnli:«'IM4j mm\\g%}J N(=10 s dyn)
1
9.80665
4 44822
kgr
0.101972
1
0 453592
Ibf
0.224809
2.20462
1
fA lft tPa-s (N. s /m ' )=10P(*TXKg/(cm.s) )
MfAffi I m !/s= 10'St( x I- - ? x ) (cmVs)
111
; j
MPa( = 10bnr)
1
0 0980665
0101325
1.33322 x 10-*
6 8 9 4 7 6 x 1 0 "
kgf/cm2
10.1972
1
1 03323
1.35951 x 1T 3
7.03070 x 10"!
a t m
9.86923
0.967841
1
1 31579 x 1 0 "
6 80460x10" '
mmHg(Tor r )
7.50062 x 10J
735.559
760
1
51.7149
lbf/in'Cpsi)
145 038
14 2233
14 6959
I 93368 x 10"
1
X
-K 1
IL •h
k III
J ( = 1 0 ' e r g )
1
9 80665
3.6 x 10"
418605
105506
1.35582
1 60218x10-"
kgf-m
0.101972
1
3.67098 x 1 0 s
0.426858
107.586
0.138255
1.63377 x 10-"
k \ V - h
277778x10- '
2.72407 x 10"6
1
1.16279X10"6
2.93072 x 10"'
3 76616x10" '
4.45050 x lO" ' 6
caiatia/j.) 0.238889
2.34270
8.59999 x 10s
1
252.042
0323890
3.827
Btu
9.47813x10"*
9.29487 x 10"'
3412.13
3 9 6 7 5 9 x 1 0 "
1
1 28506 x 1 0 "
M 8 5 7 x l 0 " !
ft • lbf
0 737562
7.23301
2.65522 x 10"
3 08747
778.172
1
1.18171 x l O " "
eV
6.24150 x 10'"
6.12082x10"
2 24694x10"
2.61272x 1(1"
6.58515 x 10"
8 46233 x 10"
1
leal = 4.18605 J (dUiM;)
= 4.184 J miff-')
= 4.1855 J (15 "C)
= 4.1868J(I1I»5U
1 A= 0.1 nm=IO-,om 1 b=100fm'=1O・28m2
1 bar"'O.1恥lPa=¥O'Pa
1 Ga¥=¥ cm/s'=IO-'m/s'
¥ Cl=3.7x¥0IOBq
1 R=2.58x ¥o"C/kg
1 rad ~ 1 cGy= 10 'Gy
1 rem= 1 cSv= 10 'Sv
f負 rI }<
エ J(",¥O' erg) kgfom kW・h ca¥(;l十rall‘) Btu Ct • ¥bf eV 平一一一Jt- 0.101972 277778 x 10-' 0.238889 9.47813 x 10-' 0737562 6.24150 x 10'" .1'
980665 l 2.72407 x ¥0-' 2.34270 9.29487x 10→ 7.23301 6.12082x 10" . fl 3.6 x 10' 3.67098 x 10' 8.59999 x tO' 3412.13 2.65522 x 10' 224694 x 10"
. 418605 0.426858 1.16279 X 10-6 396759 x 10-' 308747 2.61272x 1tI" 然'.¥ ¥05506 ¥07.586 2.93072 x ¥0-' 252.042 1 778.172 6.58515 x 11I"
1.35582 0.138255 376616 X ¥0-7 0323890 128506 x ¥0・3 846233x 10'・160218 x 10・H 1.63377)( 10・20 4.45050 X 10-26 3.82743 x 11' ミ1857X 10-22 1.18171 x 10-"
hえ
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KM白河
Ln"
Cl
2.70270 x ¥0-"
吸収納相川
¥00
1 cn¥ = 4.18日05J W r.hl,) = 4.184 J (?11ft'下)
= 4.1855 J (¥5・C)= 4.1868 J (国際!p.気炎)
11.・IH¥ 1 PS (仏.\'~}J)
= 75 kgf.m/s
= 735.499W
R
3876 ¥00
線tvIH川
rem
(86年 12j] 26日現在)
http://vA.fi
m
gc一伸一'Q「一旦
ZmgJoaによる固有値問題と特異方程式の数値解法
ー常微分方程式への適用!