1

T.Q.MƏLİKOV

MÜŞAHİDƏ NƏTİCƏLƏRİNİN RİYAZİ ARAŞDIRILMASI

BAKI - ELM - 2006

2

Elmi redaktor: ADNA-nın «KT və proqramlaşdırma» kafedrasının dosenti, t.e.n., G.S.Həsənov

Rəyçi: AMEA-nın müxbir üzvü., g.m.e.d. Xeyirov M.B. AMEA-nın müxbir üzvü., g.m.e.d. Kərimov K.M. Kaspian Geofizical MMMM, t.e.n.,dos. Butayev E.N. İSBN 5-8066-3940-6 T.Q.Məlikov. Müşahidə nəticələrinin riyazi araşdırılması. -Bakı, «Elm», 2006. 308 səh. Texniki universitet tələbələri, magistr və aspirantları, həmçinin elmi-

tədqiqat institutları əməkdaşları üçün nəzərdə tutulmuşdur

M06)07(655

162010000−

qrifli nəşr

© Elm, 2006 © T.Q.Məlikov 2006

3

MÜNDƏRİCAT MÜƏLLİFDƏN.........................................................................10 REDAKTORDAN.....................................................................12 GİRİŞ.........................................................................................14 1.1 .Təqribi ədədlər xətasının qiymətləndirilməsi.....................16 1.1.1.Təqribi ədədlər. Mütləq və nisbi xətalar...........................17 L1.2. Cəmin xətası.....................................................................23 1.1.3. Fərqin xətası.....................................................................24 1.1.4.Hasilin xətası.....................................................................26 l.l.S.Qismətin xətası...................................................................28 1.1.6.Qüvvətin nisbi xətası........................................................29 1.1.7.Kökün nisbi xətası............................................................29 l.l.S.Xətanı dəqiq nəzərə almayan hesablamalar.......................30 L2.Ölçmə xətalarının növləri.....................................................32 1.2.1.Sistematik xətalar..............................................................32 1.2.2.Təsadüfi xətalar.................................................................33 1.2.3.Subyektiv xətalar..............................................................34 1.2.4.Kobud xətalar...................................................................35 1.2.5.Xətaların qiymətləndirmə üsulları….........…...................36 2. FUNKSİYALARIN QİYMƏTLƏRİNİN HESABLAMA ÜSULLARI......................................................40 2.1.Çoxhədlilərin qiymətlərinin hesablanması. Horner üsulu..............................................................................40 2.2. Ümumiləşmiş Horner sxemi...............................................45

4

2.3.Analitik funksiyaların qiymətlərinin hesablanması.............48 2.4.Loqarifmik funksiyarın qiymətlərinin hesablanması...........50 2.5.Triqonometrik funksiyaların qiymətlərinin hesablanması..............................................................................53 2.6.Hiperbolik funksiyaların qiymətlərinin hesablanması.........57 2.2. Cəbri və qeyri cəbri (Transendent) tənliklərin təqribi həlli…………………………………………………….59 2.2.1. Tənliklərin köklərinin ayrılışı…………………………59 2.2.2. Tənliklərin qrafiki həlli………………………………..62 2.2.3. Yarıya bölmə üsulu……………………………………63 2.2.4. Mütənasib hissələr üsulu (vətərlər üsulu)………….….65 2.2.5. Nyüton üsulu (toxunanlar üsulu)…………………..…..69 2.2.6. İtepesiya üsulu (ardıcıl yaxınlaşma üsulu)…………….72 2.2.7. Xətti tənliklər sisteminin İterasiya üsulu. Zeydel üsulu ilə həlli..................................................................76 2.2.8. Xətti tənliklər sisteminin tərs matrisa vasitəsilə həlli …………………………………………………76 2.2.9. İterasiya üsulu……………………………………..……79 2.2.10. Zeydel üsulu……………………………………..….....83 3.FUNKSİYANIN YAXINLAŞMASI MƏSƏLƏSİ…………………………………………………...86 3.1. Funksiyanın interpolyasiyası …………………………87 3.2. Triqonometritk polinomlar vasitəsilə periodik funksiyaların interpolyasiyası………………….……92

5

3.3. Funksiyanın nöqtəvi kvadratik aproksimasimasiyası…98 3.4. Parçada funksiyanın inteqral kvadratik aproksimasiyası…...………………………………………….102 3.5. Parçada ortoqonal funksiyalar sistemi……………….104 3.6. Harmonik analiz haqqında anlayış…………………...105 4. EMPİRİK DÜSTURLAR………………..…………...113 4.1. Xətti asılılıq...................................................................116 4.2. Eyniləşdirmə üsulu…………………………………...117 4.3. Kvadratik (parabolik) asılılıq………………………...121 4.4. Empirik düsturların parametrlərinin təyini…………..123 4.5. Seçmə nöqtələr üsulu ………………………………..124 4.6. Orta qiymət üsulu…………………………………….126 4.7. Ən kiçik kvadratlar üsulu…………………………….129 4.8. İki parametrdən asılı olan empirik düsturların seçilməsi üçün bəzi mülahizələr…………………133 4.9. Üç parametrli empirik düsturlar……………………...140 5. FUNKSİYANIN TƏQRİBİ DİFFERENSİALLANMASI VƏ İNTEQRALLANMASI ………………………………..147 5.1. Funksiyanın təqribi differensillanması……………….147 5.1.1. Nyütonun interpolyasiya düsturuna əsaslanan təqribi differensillama……………………………………….149 5.1.2. Stirlinq düsturu əsasında təqribi differensillama düsturları…………………………………………………….151 5.1.3. Funksiyanın bərabər tərəflərdəki qiymətlərində, ədədi differensiallama düsturları…………………………….154 5.2. Funksiyanın təqribi inteqrallanması…………………159

6

5.2.1. Düzbucaqlılar düsturu………………………………..163 5.2.2. Trapeslər düsturu……………………………………..165 5.2.3. Parabolalar üsulu (Simpson düsturu) ………………...166 5.2.4. Çebışevin kvadratur düsturu haqqında anlayış…….170 6. ADİ DİFFERENSİAL TƏNLİKLƏRİN TƏQRİBİ HƏLLİ……………………………………………175 6.1. Koşi məsələləri……………………………………….177 6.1.1 Sıralar vasitəsilə differensial tənliklərin inteqrallanması……………………………………………….177 6.1.2. Ardıcıl yaxınlaşma üsulu…………………………….181 6.1.3. Ədədi inteqrallama üsulu…………………………….184 6.1.4. Eyler üsulu ilə birtərtibli differensial tənliklərin təqribi həlli………………………………………………….188 6.1.5. Runqe-Kuttüsulu……………………………………..191 6.1.6 Teylor düsturuna əsaslanaraq fərqlər üsulu ilə differensial tənliklərin təqribi hesablanması ………………..194 6.1.7. Miln üsulu……………………………………………201 6.1.8. Eyler üsulu ilə (qrafık üsulla) differensial tənliklərin həlli……………………………………………….207 6.2. Adi differensial tənliklər üçün sərhəd məsələləri……211 6.2.1. Sərhəd məsələsinin ümumi qoyuluşu ………………...211 6.2.2. Xətti sərhəd məsələləri……………………………….213 6.2.3. İkitərtibli xətti differensial tənliklər üçün iki nöqtəli Koşi məsələsinə reduksiya…………………………...214 6.2.4. Sonlu fərqlər üsulu…………………………………217 6.2.5. Kollokasiya üsulu…………………………………….223 6.2.6. Ən kiçik kvadratlar üsulu…………………………….226

7

6.2.7. Qalerkin üsulu..............................................................228 7. EHTİMAL NƏZƏRİYYƏSİ VƏ RİYAZİ STATİSTİKA ………………………………………………..231 7.1. Ehtimal nəzəriyyəsi…………………………………..231 7.1.1. Təsadüfi hadisələr……………………………………231 7.1.2. Ehtimalın klassik tərifi……………………………….233 7.1.3. Ehtimalların toplanması teoremi……………………..235 7.1.4. Ehtimalların vurulması teoremi……………………...237 7.1.5. Tam ehtimal və Bayes düsturları.................................238 7.1.6. Sınaqların təkrar olunması...........................................239 7.1.7 Bernulli düsturu ………………………………………..240 7.1.8. Laplasın lokal teoremi………………………………..241 7.1.9. Laplasın inteqral teoremi…………………………….243 7.2. Diskret və kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlər……………245 7.2.1. Diskret və kəsilməz kəmiyyətlər…………………….245 7.2.2. Binomial payianma…………………………………..247 7.2.3 Puasson paylanması………………………………….249 7.2.4 Diskret təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləməsi…….251 7.2.5. Riyazi gözləmənin ehtimal mənası……………………252 7.2.6 Riyazi gözləmənin xassələri………………………….253 7.2.7. Diskret təsadüfi kəmiyyətlərin dispersiyası………….254 7.2.8. Təsadüfi kəmiyyətin onun riyazi gözləməsindən meyli………………………………….255 7.2.9. Diskret təsadüfi kəmiyyətlərin dispersiyası və onun hesablama düsturu…………………………….……256 7.2.10. Dispersiyanın xassələri………………………………259 7.2.1 l.Orta kvadratik meyl………………………………….261

8

7.3. İnteqral funksiyası…………………………………. ..261 7.3.1. Paylanmanın inteqral funksiyası..................................261 7.3.2. İnteqral funksiyanın xassələri………………………..262 7.3.3. İnteqral funksiyasının qrafiki ………………………..264 7.4. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyət ehtimalının paylanmasının differensial funksiyası……………………….265 7.4.1. Differensial funksiyanın xassələri……………………265 7.4.2. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin verilmiş intervala düşmə ehtimalı……………………………………………….267 7.4.3. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlərin ədədi xarakteristikası………………………………………………268 7.4.4. Normal paylanma…………………………………….270 7.4.5. Normal əyri…………………………………………..272 7.4.6. Parametrlərin normal paylanma əyrisinin formasına təsiri………………………………………………274 8.1. RİYAZİ STATİSTİKANIN ELEMENTLƏRİ………275 8.1.1. Baş və seçmə yığım…………………………………..276 8.1.2. Seçmənin statistik paylanması……………………….278 8.1.3. Paylanmanın empirik funksiyası……………………..279 8.1.4. Poliqon və histoqramına……………………………...281 8.15. Paylanma parametrlərinin statistik qymətiəndirilməsi……………………………………………284 8.1.6. Baş orta……………………………………………....285 8.1.7. Baş və seçmə dispersiya……………………………..287 8.1.8. Dispersiyanın hesablama düsturu…………………….288 8.2. Korrelyasiya nəzəriyyəsinin elementləri. . Funksional, statistik və korrelyasiya asılılığı ………………..289 8.2.1. Şərti orta. Korrelyasiya asılılığı……………………….290 8.2.3. Reqressiya düz xətt tənliyinin parametrlərinin tapılması……………………………………………………...292 8.2.4. Qruplaşmış məlumatlara görə, reqressiyanın

9

seçilmiş tənliyinin parametrlərinin axtarılması........................296 8.2.5. Əyrixətli korrelyasiyanın sadə halları………………..298 ƏLAVƏLƏR...........................................................................301 İstifadə olunan ədəbiyyat…………………………………….305

10

MÜƏLLİFDƏN Müəllif 40 ilə yaxın müddət ərzində indiki Azərbaycan

Dövlət Neft Akademiyasında «Ali riyaziyyat» kafedrasının dosenti kimi «Ali riyaziyyat» kursundan müxtəlif ixtisaslar üçün mühazirələr oxumuş, məşğələlər aparmışdır. Mədən geoflzikası ixtisasınan həmin akademiyanın «Faydalı qazıntı yataqlarının geofiziki üsullarla axtarışı və kəşfiyyatı» kafedrasında və Əlcəzair Xalq Demokratik Respublikasının Bumerdes şəhərində yerləşən Neft-kimya İnstitutunda «Geofizika» kafedrasında «Mədən geofizikasının nəzəri əsasları» kursundan mühazirələr oxumuş, məşqələ və laboratoriya işləri aparmış, həmçinin kurs və diplom layihələrinə rəhbərlik etmişdir.

Tədris zamanı, xüsusilə əcnəbi dilləri lazımı səviyyədə bilməyən tələbə və bu sahədə ana dilində lazimi ədəbiyyatın olmaması üzündən verilən mövzuların mənimsnilməsində xeyli çətinliklər törədirdi. Ona görə də bu çatışmamazlıqları aradan qaldırmaq məqsədilə Azərbaycan dilində belə bir kitabı yazmaq qərarına gəlmişdim, lakin bir sıra obyektiv və subyektiv səbəblər üzündən bu arzunu əvvələr həyata keçirmək mümkün olmadı, nəhayət, bir qədər gec də olsa, bu işi başa çatdırdım. Qoyulan məqsədə nə dərəcədə nail olmağımı kitabdan istifadə edən hörmətli oxucular dəyərləndirəcəklər.

Kitabın yazılması üçün müvafiq imkan və şərait yaratdıqlarına görə əməkdaşı olduğum Dövlət Neft Şirkətinin

11

Geofizika və Mühəndis Geoloqiyası İstehsal Birliyinin rəhbərliyinə, şəxsən baş direktor, AMEA-nın müxbir üzvü, geologiya-mineralogiya elmləri doktoru, prof. K.M.Kərimova öz minnətdarlığımı bildirirəm.

Kitabın əlyazmasını oxuyub, onun tələbələr tərəfindən daha asan qavrayıb istifadə olunması üçün dəyərli məsləhətlər vermiş, sonra onun redaktoru kimi ağır bir işi yerinə yetirmiş Azərbaycan Dövlət Neft Akademiyasının "Kompüter texnikası və proqralaşdırma" kafedrasının dosenti, t.e.n. G.S.Həsənova təşəkkürümü bildirirəm.

Kitabın ərsəyə çatmasında zəhmətləri olan, fəaliyyət göstərdiyim Dövlət Neft Şirkətinin Geofizika və Geologiya İdarəsinin «İstehsal proseslərinin kompyüterləşdirmə və riyazi təminatı» şöbəsinin əməkdaşları: g.-m.e.n. E.S.Novruzova, R.İ.Şərifova Ə.M.Həmidova öz razılığımı bildirirəm.

12

REDAKTORDAN Təbiət və cəmiyyətdə gedən prosseslərin tədqiqində

riyazi metodların tətbiqinin müstəsna əhəmiyyəti vardır. Riyazi metodlar bu prosseslərdəki ümumi qanuna-

uyğunluqları aşkara çıxarmağa, bu qanunauyğunluqları riyazi düsturlar şəklində ifadə etməyə imkan verir. Sonralar bu ifadələr araşdırılaraq öyrənilən prosses haqqında müəyyən nəticələr çıxarılır.

Belə riyazi məsələlərin həllində hesablama texnikası vasitələrindən istifadə etmədən keçinmək mümkün deyildir. Bu da ədədi metodlara marağı artırır. Azərbaycan dilndə riyaziyyatın əksər bölmələrini əhatə edən ədədi üsullara aid vahid ədəbiyyat yox dərəcəsindədir.

Ölkəmizin müxtəlif ali, orta ixtisas təhsili müəsissələrində uzun müddətli pedaqoji və istehsalat təcrübəsinə, o cümlədən xarici ölkə təhsil sistemində böyük təcrübəsi olan t.e n., dosent Teyfur Məlikovun bu kitabı ədədi üsüllar sahəsində mövcud olan boşluğu qismən doldurmalıdır. T.Məlikovun kitabı tələbələrə, xüsusilə texniki universitetlərin tətbiqi riyaziyyat və kompüter yönümlü fakultələrində oxuyan tələbələrə ünvanlanmışdır.

Kitabda nəzəri materiallar, çox saylı misallarla müşayət olunur. Bu da nəzəri materialları daha tez mənimsəməyə köməklik göstərməlidir. Kitabda həmçinin çoxlu nəticələr və faktlar da vardır. Onlarda riyaziyyatın tətbiqi məsələləri ilə məşqul olan elmi ictimayyətin gündəlik işi

13

üçün gərəkli və xeyrli olacaqdır. T.Məlikov bu kitabında ədədi üsülları tam əhatə etmək

iddiasında olmamış və əslində də böyük həcmli belə bir material bir kitabda tam əhatə etmək münıkün deyildir. Məhz buna görə kitab nöqsansız da deyildir. Məlum olduğu kimi son zamanlar elmi ictimayyətin böyük marağına səbəb olmuş L.Zadənin fazzi riyaziyyata ədədi üsulların tətbiqi imkanları araşdırılmamış və kitabda öz əksini tapmamışdır. Halbuki, bu günki gündə buna böyük ehtiyac vardır.

Lakin bununla yanaşı qeyd etməliyik ki, kitab ədədi üsülların müasir vəziyyətini və əsas bölmələrini əhatə edir. Bu praktik yönumlu elmi ictimayyətin və tələbələrin təlabatını qismən də olsa ödəyəcəkdir. Bu ümidlə də kitab oxuculara təqdim olunur.

Azarbaycan Dövlət Neft Akademiyası " KT və proqramlaşdırma " kafedrasının

dosenti, t.e.n. G.S.Həsənov

14

GİRİŞ Bütün təbiətşünaslığın əsasını, müşahidə və təcrübə təşkil

edir. Nəticələri rəqəmlərlə ifadə olunmuş müşahidə və təcrübələr xüsusi əhəmiyyət daşıyır.

Müasir texnikanın sürətü inkişafı və mühəndis tədqiqatlarında müasir riyaziyyatın daha da geniş tətbiq edilməsi zərurəti tətbiqi məsələlərlə məşğul olan mütəxəssislərin və elmi işçilərin riyazi hazırlığına daha yüksək tələblər qoyur.

İndiki zamanda mühəndis-tədqiqatçının riyazi biliyinin əsas istiqamətləri, keçən əsrin əvvəllərində formalaşmış klassik analizlə kifayətlənə bilməz.

Elmi-tədqiqat institutlarında çalışan mühəndisdən indi müasir riyaziyyatın bir çox sahələri haqda, ilk növbədə hesablama riyaziyyatının metod və üsullarının əsaslı işlənməsi tələb olunur, çünki bütün mühəndis məsələlərinin həlli ədədi nəticə ilə başa çatdırılmalıdır.

Digər tərəfdən hal-hazırda hesablama texnikası hesablama işlərində faktiki yerinə yetirən yeni güclü vasitə ilə təmsil olunur. Elə buna görə də tətbiqi məsələlərin dəqiq qoyulmuş həllinə keçmək mümkün olmuşdur. Bu isə öz növbəsində riyaziyyatın daha dərin bölmələrindən istifadə olunmasını tələb edir.

Müasir hesablama texnikasından düşünülmüş surətdə istifadə olunması, tətbiqi və ədədi analiz metodlarından ətraflı tətbiq olunmadan mümkün deyildir.

15

Elə buna görə də həm ölkəmizdə, həm də xaricdə hesablama texnikası metodlarının görünməmiş dərəcədə inkişafı baş vermişdir.

Ölkəmizdə ali texniki təhsil müəssisələrinin tələbələri və elmi tədqiqat institutlarının əməkdaşları üçün bu səpkidə Azərbaycan dilində dərsliklərin və ədəbiyyatın olmaması gələcəkdə yüksək səviyyəli mühəndis kadrların hazırlanmasında çətinlik yaradır.

Bu kitabın yazılmasında əsas məqsəd ali riyaziyyatın ümumi ali texniki universtetlərin «Ali riyaziyyat» kursu əsasında metod və üsulların imkan daxilində sistematik və müasir səviyyədə izahını verməkdən ibarətdir.

Məsələnin təqribi yanaşma üsulu ilə həlli zamanı alınmış nəticələrin xətasının qiymətləndirilməsi tələb olunur. Çox saylı rəqəmlərlə hesablama apararkən biz çox vacib bir məsələ ilə, hesablama sxeminin dayanaqlığı məsələsi ilə qarşılaşırıq.

Ölçmələr zamanı təcrübədə alınmış ədədlərin yuvarlaqlaşdırılarkən qaçılmaz olan xətaların cəmi nəzərə çarpacaq dərəcədə böyük ola bilər. Belə hesablama sxemi dayanıqlı deyildir və işdə istifadə olunması yararsızdır. Məlum olan üsullar arasında seçilən ədədi metodlardan istifadə edərkən və ya yenisinin hazırlanması zamanı biz təbii olaraq məsələnin həlli üçün nəzərdə tutulmuş kompüterlərin xüsusiyyətini də nəzərə almalıyıq.

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

3. Təqribi ədədləri kvadrat və kuba yüksəldərkən nəticədə dərəcənin əsasında olan rəqəm sayında əhəmiyyətli rəqəm saxlamaq lazımdır. 4. Təqribi ədədlərin kvadrat, kuba yüksəltmək və kökalma zamanı nəticədə kök altında olan rəqəmin malik olduğu rəqəm miqdarında əhəmiyyətli rəqəm saxlamaq lazımdır. 5. Bütün aralıq nəticələrdə əvvəlki qaydalarda tövsiyə olunan rəqəmlərdən bir artığını saxlamaq lazımdır. Yekun nəticədə bu «ehtiyat rəqəm» atılır. 6. Loqarifmlə hesablamalar apararkən ən aşağı saylı həqiqi əhəmiyyətli rəqəmləri hesablamaq və loqarifm cədvəlindən onluq dərəcəli işarələrdən bir vahid artıq olanda istifadə olunması məqsədə uyğundur. Yekun nəticədə axırıncı əhəmiyyətli rəqəmlər atılır. 7. Əgər məlumatları istənilən dəqiqliklə götürmək olarsa, onda k həqiqi rəqəmli ilkin məlumatlar 0 saylı rəqəm götürmək lazımdır ki, nəticədə əvvəlki qaydaya əsasən k+1 həqiqi rəqəmini təmin etmiş olsun.

Əgər bəzi məlumatlar lazmı olandan artıq onluq dərəcəli (toplama və çıxmada) və ya başqalarından (vurma, bölmə, qüvvətə yüksəltmə, kök almada) daha əhəmiyyətli rəqəmlərdən böyük olarsa, əvvəlcə onları bir ehtiyat rəqəm saxlamaqla yuvarlaqlaşdırmaq lazımdır.

32

1.2. Ölçmə xətalarının növləri Ölçmənin istənilən nəticəsi özündə müxtəlif səbəbdən

yaranan xətaları da göstərir. Bu xətaları sistematik, təsadüfi, şəxsi və kobud qruplara ayirırlar.

1.2.1. Sistematik xətalar

Sistematik xətalara ilk növbədə çox vaxt alət xətaları

adlandırılan xətalar daxildir. Cihazlarla ölçü aparılarkən ideal dəqiq ölçü götürmək mümkün deyil. Uzununa ölçmə kimi sadə halda şkalanın bölgüləri arasında məsafə nominaldan fərqlidir (məs: xətkeşin bir yerində 0.999, digər yerində 1.002 mm və s) fərqlidir.

Şkalanın xətalarını göstəricilər arasındakı məsafələri yüksək dəqiqliklə cihazla (alətlə) ölçməklə müəyyən etmək olar. Bundan sonra dəqiqliyi yoxianılmış cihaz (alət) qiymətlərin (bucaq, uzunluq və s) ölçməsindən asılı olan xətaları göstərilən pasportla təmin olunur.

Bəzən xətaların ölçülməsi əvəzinə ölçmələri elə aparmaq olar ki, bu xətaları aradan qaldırmaq mümkün olsun, buna misal olaraq busaq ölçmə alətininin-eksentrisitetin xətasını göstərmək olar. Çox nadir hallarda cihazı (alət) dərəcələrə bölünmüş dairənin həndəsi mərkəzi ilə dairənin furlanma oxu kifayət qədər üst-üstə düşür. Ona görə dairə üzrə hesablanmış qövs lazımı bucağı ölçmür (eksentrisitetin xətası). Eksentrisiteti ölçməklə onun xətasını

33

nəzərə almaq çox çətindir. Lakin bu zaman dairəni 1800 çevirərək qövsü təkrar ölçü aparmaqla həmin xətanı aradan qaldırmaq olar.

Alət xətaları bütün ölçmə nəticələrinə daxildir, qeyd etmək lazımdır ki, bu xəta ya sübut, ya da, o cümlədən ölçmə qiymətinin özündən asılı olan başqa amillərdən asılıdır. Elə bu da həmin xətaların sistematik adlandırılmasına səbəb olmuşdur.

1.2.2. Təsadüfi xətalar

Təcrübə göstərir ki, bu və ya digər müəyyən qiymətin

bütün mümkün dəqiqliklə yerinə yetirilmiş çoxsaylı ölçüləri bütün sistematik xətaları nəzərə aldıqdan sonra da müxtəlif ədədi qiymət alınır. Bu hal onu göstərir ki, ölçmə nəticələrinə, nəzərə alına bilinməyən hər hansı fiziki səbəblər də təsir edir.

Məsələn, tutaq ki, kifayət qədər etibarlı və həssas olan tərəzidə çəki aparılır. Əgər ölçmə zamanı elə həmin otağın qapısı bərk örtülərsə, onda ədəd göstəricisi (əqrəb) dəqiq ədəddən fərqli olan hər hansı bir təsadüfi ədəd göstərəcəkdir. Əgər başqa bir ölçmə anında yaxın küçədən hər hansı bir ağır avtomobil keçərsə, onun titrətməsi əvvəlki ədəddən fərqli bir ədədin alınmasına səbəb olacaqdır ki, nəticədə ölçmə nəticə qiyməti yenə dəyişəcəkdir. Əgər ölçmələr tamamilə mexanikləşdirilməyibsə yəni, onda insan iştirak edirsə, həmin insanın ölçmədə iştirak edən

34

orqanlarının vəziyyəti ölçmə nəticələrinə təsir edə bilir. Dəqiq qiymətdən fərqli olan belə də nəticələrin alınmasına

səbəb olan təsadüfi hallar digər səbəblərdən ola bilər. Hər bir belə səbəb azacıq nəzərə çarpan xəta verir ki, bunları da qeyd edib tədqiq etmək lazımdır. Bu səbəblər üzündən baş verən təsirin cəmi nəzərə çarpacaq xətalara (kənara çıxmalar) gətirib çıxara bilər. Xətalar nəzəriyyəsinə görə, xəta dedikdə adətən təsadüfi xətalar nəzəriyyəsi başa düşülür.

Təsadüfi xətaların özünün xüsusiyyətlərinə görə nəzəriyyə yaratmaq üçün ehtimal nəzəriyyəsinin prinsiplərindən istifadə edilir.

1.2.3. Subyektiv xətalar

Eksperimental müşahidələrin nəticələrinin

ümumiləşdirilməsinin təcrübəsi göstərir ki, ölçmələrin nəticələri müəyyən fızikı xüsusiyyətlərdən asılıdır. Məsələn, hadisənin qeydiyyatı zamanı bir müşahidəçi bu və ya digər hadisəni sistematik olaraq, müxtəlif müşahidəçilərin şəxsi xətaların dəfələrlə öyrənilməsi göstərimişdir ki, bu xətaları həm sistemktik, həm də təsädüfi xətalara aid etmək olar. Məlumdur ki, hər bir müşahidəçiyə şəxsi xətanın müəyyən orta qiyməti xasdır ki, bunu da sistematik xətaları aid edib, müşahidələrin işlənməsi zamanı nəzərə almaq lazımdır. Ayrı-ayrı müşahidələrdəki şəxsi xətalar müxtəlif səbəblər (ətraf şərait, müşahidəçinin fıziki vəziyyəti və s) üzündən

35

dəyişən təsadüfi qiymət olur. Şəxsi xətaları müəyyənləşdirmək üçün müşahidələr aparıb, onun nəticələrini ümumiləşdirərək (öyrənmək) demək olar ki, təsadüfi xətaların müşahidələrinin nəticələrində olduğu kimi şəxsi xətaların da orta qiymətini tapmaq olar.

1.2.4. Kobud xətalar

Müşahidələrin aparılması zamanı düzgün olmayan

nəticələrə gətirib çıxarılma kənar təsirlərin və buraxılmış yanılmaların mümkünlüyü ilə rast gəlinir. Çox sadə bir yanılma kimi ölçmə qiyməti, məsələn, 20 olursa, onu 30 yazmaq olar. Müşahidəçi tərəfindən nəzərə çarpmayan xarici səbəb üzündən baş verən belə xəta nəticəni təhrif etməyə səbəb olur. Belə kobud xəta özünü nisbətən yaxın nəticələr sırasında bir və ya bir neçə nəticənin digərlərindən kəskin fərqlənməsi şəklində göstərir ki, bu da «sıçrayışlı müşahidə» adlandırılır.

Əgər bu fərq kifayət qədər böyük olarsa, onda bunu əminliklə kobud səhv kimi qəbul edib atırlar. Belə hallar çox nadir hallarda baş verir.

Təsadüfi xəta çoxlu sayda kiçik təsadüfi xətalardan toplandığından, onda moduluna görə böyük təsadüfi xəta verən kiçik xətalardan ibarət olan əlverişsiz kombinasiyanı təsvir etmək çətin deyil. Düzdür, belə kombinasiyanın baş verməsi ehtimalı çox azdır (sıfir deyü), lakin bu prinsipcə mümkündür. Ona görə də müşahidələr təkcə «sıçrayışlı»

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305

ƏDƏBİYYAT 1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппраксимации, М: Наука, 1965. 2. Бахвалов Н.С., Численные методы, М: Наука 1975. 3. Безикович Я.С Приближенные вычисления, Гостехиздат 1949. 4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений.М: Наука, т. 1, 1966. 5. Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений,М.: Физматгиз, 1960. 6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 7. Вентцель Д.А., Вентцель Е.С. Элементы теории приближенных вычислкений. М.: ВВИА им. Жуковского, 1949. 8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Гостехиздать, 1953. 9. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Гостехиздат, 1952. 10. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1972. 11.Гнеденко В.В. Курс теории вероятностей. М.: Гостехиздат, изд. 2-е, 1954. 12. Годинов С.К., Рябенький В. С, Введение в теорию

306

разностных схем. М.: Физматгиз, 1977. 13. Гончаров В.Л. Теория приближения и интерполирования функции. М.: Гостехиздат, 1954. 14. Демидович Б.П, Марон И. А., Щувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1967. 15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра М.: Наука, 1974. 16. Каликин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 17. Канторович Л.В. О методе Ньютона. Труды Матем. Института им. Стеклова, XXVIII, М-Л 1949. 18. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953. 19. Крыжановская М. П. Эмпирические формулы и основы номографии. М.: 1949. 20. Крылов А.Н., Лекции о приближенных вычислениях. М.: Гостехиздат, изд. 6,1954. 21.Курош А.Г.. Курс высшей алгебры. М-Л.: Гостехиздат, 1946. 22. Ленник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений, М.: Физматгиз, 1958. 23. Мальцев А.. Основы линейной альгебры. М.: Гостехиздат, изд.2. 1956. 24. Марчук Г.И., Методы вычислительной математики, М.: Наука, 1977. 25. Милн В.Э. Численные решения дифференциальных уравнений. ИЛ, 1955. 26. Милн В.Э.. Численный анализ. ИЛ, 1951.

307

27. Михлин С.Г., Смолицкий X. Л., Приближенные методы решения дифферециальных и интегральных уравнений, серия «Справочная математическая библиотека», М.: 1965. 28. Румшиский Л.З.. Элементи теории вероятеностей. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. 29. Сальвадори М.Дж. Численные методы в технике, ИЛ, М.,1955. 30. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 31. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т 1, изд. 17, М.: Гостехиздат, 1957. 32. Современная математика для инженеров. Под. ред. Э. Ф.Беккенбаха, ИЛ, М, 1958. 33. Степанов В.В. Курс дифференсиальных уравнений, изд.8, М.: Физматгиз, 1959. 34. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 35. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Физико-математической литература, 1967. 36. Уиттекер Э. И, Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений, ОНТИ, 1935. 37. Успенский А. К. Выбор вида и нахождение параметров эмпирической формулы. М.: 1960. 38. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, ОГИЗ, М-Л, 1958. 39. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложения к дифференсиальным уравнениям и динамике. ИЛ, 1950. 40. Хемминг Р. Численные методы для научных, работников и инженеров. М.: Наука, 1972.

308

41. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М.: Гостехиздат, 1956. 42. Худсов Д., Статистика для физиков, М.: Мир, 1970. 43. Яковлев К.И, Математическая обработка результатов измерений, Гостехиздат, 1953. 44. Янке Е. и Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. М.: Физматгиз, 1959.

309

MƏLİKOV TEYFUR QİYAS OĞLU

MÜŞAHİDƏ NƏTİCƏLƏRİNİN RİYAZİ ARAŞDIRILMASI

__________________________________________________ Yığılmağa verilib: 03.04.06. Çapa imzalanıb: 05.05.06.

Format 60x84 1/16. F.ç.v. 18,88 Sifariş № 55.

Kağız əla növ. Tiraj 500 nüsxə. Qiyməti müqavilə ilə ___________________________________________________

"Tİ-MEDİA " şirkətinin mətbəəsi

310

311