Post on 08-Jul-2020
Método del disparoMétodo del disparo
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Departament de Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)
http://www-lacan.upc.es
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Departament de Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)
http://www-lacan.upc.es
Tiro parabólico con rozamientoTiro parabólico con rozamiento
EDOs· 2
EDOs· 3
Solución con MatlabSolución con Matlab� Resolvemos el problema con
R = 0.00132 , v0 = 100 m/s, θ = π/4, tf = 20s
theta=pi/4;tspan=[0,20];
y0=[0,0,100*cos(theta),100*sin(theta)];
[T,Y] = ode45(@f,tspan, y0);
plot(T,Y,'-*')
600
800Solución con ode45
x
y
vx
EDOs· 40 5 10 15 20
-600
-400
-200
0
200
400
t
vx
vy
� Trayectoria
plot(Y(:,1), Y(:,2),'-*')
hold on
plot(500,0,'k+','LineWidth',2,'MarkerSize',12)
0
100
200Trayectoria
EDOs· 5
0 100 200 300 400 500 600 700 800-600
-500
-400
-300
-200
-100
x
y
options = odeset('Events',@criterio_parada);
[t2,Y2]=ode45(@f, tspan,y0, options);
figure(2); hold on; plot(Y2(:,1), Y2(:,2),'r')
function [value,isterminal,direction]=criterio_parada(t,y)
value = y(2); % detecta cuando este valor es 0
isterminal = 1; % la integración se detiene cuando value=0
direction = -1; % detecta el 0 sólo si la función decrece
100
200Trayectoria
EDOs· 60 100 200 300 400 500 600 700 800
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
y
� Resolvemos para diferentes ángulos de lanzamiento
150
200
250
300Trayectoria
θ =45.0º
θ =67.5º
θ =56.3º
EDOs· 7
0 100 200 300 400 500 600-50
0
50
100
150
x
y
Método del disparoMétodo del disparotheta_sol = fzero(@distancia, pi/4);
tspan = [0,20];
y0 = [0,0,100*cos(theta_sol),100*sin(theta_sol)];
options = odeset('Events',@criterio_parada);
[t_sol,Y_sol]=ode45(@f,tspan,y0,options);
200
250Trayectoria
EDOs· 8
0 100 200 300 400 500 600-50
0
50
100
150
x
y
� El problema de contorno (PC) se escribe como
• EDO de orden n
• na condiciones de contorno en x=a
PROBLEMAS DE CONTORNO: MÉTODO DEL DISPARO
PROBLEMAS DE CONTORNO: MÉTODO DEL DISPARO
EDOs· 9
• nb condiciones de contorno en x=b
La generalización del método del disparo para otras
condiciones de contorno no añade dificultad alguna.
� Por ejemplo, se puede imponer en x=b la condición
� Hasta ahora hemos visto métodos para resolver problemas de valor inicial.
EDOs· 10
de valor inicial.
IDEA del método del disparo: se plantea el problema de contorno como un problema de valor inicial.
� Se sustituyen las nb condiciones de contorno por condiciones iniciales ficticias en x=a, planteando el problema de valor
inicial
EDOs· 11
Los nb parámetros βi NO son datos del problema
� Transformando la EDO de orden n en un sistema de n
EDOs de orden 1, el PVI se escribe como
con vector de incógnitas
EDOs· 12
y condiciones iniciales
• conocidas/datos del PC
• no conocidas/a determinar
� Evidentemente, la solución y(x) del PVI depende de ββββ
� El método del disparo consiste en determinar las condiciones iniciales ββββ para que se verifiquen las condiciones de contorno:
• Para un valor dado de ββββ la resolución numérica con m pasos del PVI proporciona una aproximación de la
solución . Se define la función de ββββ
EDOs· 13
• Buscamos ββββ que cumpla
verificación de las CC
sistema no lineal con nbecuaciones y nb incógnitas
Implementación del método del disparoImplementación del método del disparo
1. Definición de una función F que dado ββββ calcule la solución
numérica y evalúe la verificación de las condiciones de contorno en x=b
resolución numérica del PVI
¿verificación CC?ββββ
EDOs· 14
2. Implementación de un método para resolver sistemas no lineales de ecuaciones, que no necesite el valor analítico de las derivadas de F (difíciles/imposibles de calcular). Se
utiliza para resolver � ββββ*
3. Se resuelve el PVI con ββββ* (la solución cumple las CC)
numérica del PVI
Resolución del sistema no linealResolución del sistema no lineal
� Si β es escalar (una sola condición de contorno en x=b)
se trata de un problema de ceros de funciones
• método de la bisección,
• método de la secante …
EDOs· 15
• método de la secante …
� Si se trata de un sistema no lineal
• Newton-Raphson aproximando las derivadas,
• métodos quasi-Newton …
Ménsula con grandes flechasMénsula con grandes flechas
EDOs· 16
� EDO de segundo orden:
� Condiciones de contorno:� Condiciones de contorno:
� Deformada:
EDOs· 17
Forma adimensionalForma adimensional
� Definimos:
EDOs· 18
EDOs· 19
EjemploEjemplo
L = 2.5; a = 0.5; b = 0.03;
E = 5e10; rho = 3.0e3;
I = a*b^3/12;
V = a*b*L;
m = V*rho;
g = 10; g = 10;
w = m/L*g;
P = 150*g;
alpha1 = L^3*w/(E*I);
alpha2 = L^2*P/(E*I);
EDOs· 20
Resolución con MatlabResolución con Matlab� α1 = 0.125, α2 = 0.17
� Solución para diferentes valores de β
0.15
0.2Geometría deformada
β =0.0
β =0.1
β =0.2
EDOs· 21
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05
0
0.05
0.1
0.15
x
y
β =0.2