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Matemática Superior - UVB
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Aula 11Pontos Críticos e Aplicações da Derivada
Objetivos da Aula
Fazer o estudo da variação de uma função por meio das derivadas,
determinando os intervalos nos quais ela é crescente ou
decrescente, os seus extremos, os pontos de inflexão e também
mostrar algumas aplicações do cálculo de máximos e mínimos
na resolução de problemas de otimização relacionados à área
econômica e administrativa.
Funções Crescentes e Decrescentes
Uma função é crescente em um intervalo (a , b) se para quaisquer
dois números e em (a , b), ( ) < que ( ), sempre que
< (figura 1 abaixo).
Uma função é decrescente em um intervalo (a , b), se para quaisquer
dois números e em (a , b), ( ) > f ( ), sempre que
< (figura 2 abaixo).
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Dizemos que f é crescente em um ponto c se existe um intervalo (a
, b) contendo c tal que f é crescente em (a , b). semelhantemente,
dizemos que f é decrescente em um ponto c se existe um intervalo (a
, b) contendo c tal que f é decrescente em (a , b).
Como a taxa de variação de uma função em um ponto x = c é dada pela
derivada da função naquele ponto, a derivada presta-se naturalmente
para ser uma ferramenta na determinação dos intervalos, onde uma
função diferenciável é crescente ou decrescente. De fato, a derivada
de uma função em um ponto mede não só a declividade da reta
tangente ao gráfico da função naquele ponto, como também a taxa
de variação da função no mesmo ponto. Na verdade, em um ponto
onde a derivada é positiva, a declividade da reta tangente ao gráfico
é positiva e a função é crescente. Em um ponto onde a derivada é
negativa, a declividade da reta tangente ao gráfico é negativa e a
função é decrescente (figura abaixo).
Essas observações conduzem-nos ao seguinte teorema importante:
a) Se f ‘(x) > 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f
é crescente em (a , b).
b) Se f ‘(x) < 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f
é decrescente em (a , b).
c) Se f ‘(x) = 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f
é constante em (a , b).
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Exemplo 1:
Determine o intervalo onde a função f (x) = é crescente e o intervalo
onde é decrescente.
Determinando os Intervalos onde uma Função é Crescente ou Decrescente
1) Determine todos os valores de x para os quais f ‘(x) = 0 ou f ‘ é
descontínua e identifique os intervalos abertos determinados por
estes pontos.
2) Escolha um ponto teste c em cada intervalo encontrado no passo
1 e determine o sinal de f ‘(c) naquele intervalo.
a) Se f ‘(c) > 0, f é crescente naquele intervalo.
b) Se f ‘(c) < 0 f é decrescente naquele intervalo.
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Exemplo 2:
Determine os intervalos onde a função
é crescente e onde é decrescente.
Solução:
1. A derivada de f é
e é contínua em todos os pontos. os zeros de f ‘(x) são x = -2 e x = 4,
e estes pontos dividem a reta nos intervalos
2. Para determinar o sinal de f ‘(x) nos intervalos
, calcule f (x) em um ponto teste conveniente em cada intervalo. Os
resultados estão mostrados na seguinte tabela:
Usando esses resultados, obtemos o diagrama de sinais mostrado na
figura 1 abaixo. Concluímos que f é crescente nos intervalos
e é decrescente no intervalo (-2 , 4). A figura 2 mostra o gráfico de f.
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Máximos e Mínimos
Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são
os problemas de otimização, em que devemos encontrar a maneira
ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa.
Veremos agora a definição de máximo e mínimo absoluto.
Definição
Uma função f tem máximo absoluto em c se f (c) f (x) para todo x
em D, onde D é o domínio de f. O número f (c) é chamado de valor
máximo de f em D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em c
se f (c) f (x) para todo x em D, e o número f (c) é chamado de valor
mínimo de f em D. Os valores máximo e mínimo de f são chamados
de valores extremos de f.
Valor mínimo f (a)
Valor máximo f (d)
Na figura acima, se considerarmos somente os valores de x próximos
de b [por exemplo, se restringirmos nossa atenção ao intervalo (a ,
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c)], então f (b) é o maior desses valores de f (x) e é chamado de valor
máximo local de f. Da mesma forma, f (c) é chamado de valor mínimo
local de f, pois f (c) que f (x) para x nas proximidades de c [no intervalo
(b , d), por exemplo]. A função f tem também um mínimo local em e.
Portanto, teremos a seguinte definição.
Definição
Uma função f tem um máximo local em c se f (c) f (x) quando x
estiver nas proximidades de c. Isso significa que f (c) f (x) para todo
x em algum intervalo aberto contendo c. Analogamente, f tem um
mínimo local em c se f (c) f (x) quando x estiver nas proximidades
de c.
Exemplo 1:
Se f (x) = x 2, então f (x) f (0), pois x 2 0 para todo x. Portanto, f (0)
= 0 é o valor mínimo absoluto de f . Isso corresponde ao fato de que a
origem é o ponto mais baixo sobre a parábola y= x 2 (veja a figura ao
lado). Porém a, não há um ponto mais alto sobre a parábola e dessa
forma a função não tem um valor máximo.
Exemplo 2:
O gráfico da função
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está mostrado na figura ao lado. você pode ver que f (1) = 5 é um
máximo local, enquanto o máximo absoluto é f (-1) = 37. Esse máximo
absoluto não é um máximo local pois ocorre no extremo de intervalo.
Também f (0) = 0 é um mínimo local, e f (3) = -27 é tanto um mínimo
local como um mínimo absoluto. Note que em x = 4, f não tem um
máximo local nem um máximo absoluto.
Vimos que algumas funções têm valores extremos, ao contrário de
outras. O teorema a seguir dá condições para garantir que uma função
tenha valores extremos.
Teorema do Valor Extremo
Se f for contínua em um intervalo fechado [a , b], então f assume
um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em
algum número c e d em [a , b].
O Teorema do Valor Extremo está ilustrado na figura abaixo. Note que
um valor extremo pode ser assumido mais de uma vez.
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O Teorema do Valor Extremo afirma que uma função contínua em um
intervalo fechado tem um valor máximo e um mínimo, mas não diz
como encontrar estes valores extremos. Vamos começar por examinar
valores extremos locais.
A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f com o máximo local
em c e o mínimo local em d. Parece que nos pontos de máximo e
de mínimo as retas tangentes são horizontais e portanto cada uma
tem inclinação zero. Sabemos que a derivada é a inclinação da reta
tangente; assim, parece que o f ‘(c) = 0 e f ‘(d) = 0.
Ponto Crítico de f
Um ponto crítico de uma função f é qualquer ponto x no domínio
de f tal que f ‘(x) = 0 ou f ‘(x) não exista.
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A figura abaixo apresenta o gráfico de uma função que possui pontos
críticos em x = a, b, c, d e e. Observe que f ‘(x) = 0 em x = a, b e c.
Depois, uma vez que existe um canto em x = d, f ‘(x) não existe neste
ponto. Finalmente, f ‘ (x) não existe em x = e porque neste ponto a
reta tangente é vertical. Além disso observe que os pontos críticos x
= a, b e d dão origem a extremos relativos de f, enquanto os pontos
críticos x = c e x = e não.
A figura abaixo mostra os pontos críticos e f.
Tendo definido o que é um ponto crítico, podemos agora apresentar
um procedimento formal para encontrar os extremos relativos de
uma função contínua diferenciável em todos os pontos exceto em
alguns valores isolados de x. Incorporado a este procedimento está
o chamado teste da primeira derivada, que nos ajuda a determinar se
um ponto da origem a um máximo ou mínimo relativo da função f.
Procedimento para encontrar Extremos Relativos (O Teste da Primeira Derivada)
1º) Determine os pontos críticos de f.
2º) Determine o sinal de f ‘(x) à esquerda e à direita de cada
ponto crítico.
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a) Se f ‘(x) muda o sinal de positivo para negativo quando nos
movemos através do ponto crítico x = c, então f ‘(c) é um máximo
relativo.
b) Se f ‘(x) muda o sinal de negativo para positivo quando nos
movemos através do ponto crítico x = c, então f ‘(c) é um mínimo
relativo.
c) Se f ‘(x) não muda de sinal quando nos movemos através do ponto
crítico x =c, então f ‘(c) não é um extremo relativo.
Exemplo 1:
Encontre os máximos e mínimos relativos da função
Solução:
A derivada de é dada por f ‘(x) = 2x. Fazendo f ‘(x) = 0, temos
x = 0 como o único ponto crítico de f. Uma vez que
Verificamos que f ‘(x) muda de sinal de negativo para positivo quando
nos movemos através do ponto crítico x = 0. Logo, concluímos que f
(0) = 0 é um mínimo relativo de f.
Veja a figura abaixo.
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Exemplo 2:
Encontre os máximos e mínimos relativos da função
Solução:
A derivada de f é
e é contínua em toda parte. Os zeros de f ‘(x), x = -2 e x = 4 são os únicos
pontos críticos da função f. O diagrama de sinais de f ‘ é mostrada na
figura abaixo. Examine os dois pontos críticos x = -2 e x = 4 para um
extremo relativo usando o teste da primeira derivada e o diagrama de
sinais para f ‘ :
Diagrama de sinais para f ‘
1º) O ponto crítico x = -2: Uma vez que a função f ‘(x) muda o sinal
de positivo para negativo quando passamos por x = -2 da esquerda
para direita, concluímos que um máximo relativo de f ocorre em x =
-2. O valor de f (x) quando x = -2 é
2º) O ponto crítico x = 4: f ‘(x) muda de sinal de negativo para
positivo quando passamos por x = 4 da esquerda para direita; logo, f
(4) = -48 é um mínimo relativo de f.
O gráfico de f aparece na figura abaixo.
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f tem máximo relativo em x = -2 e um mínimo relativo em x = 4.
Aplicação
A função lucro da Companhia Acrosonic é dada por
dólares, onde x é o número de sistemas de som Acrosonic modelo
F produzidos. Encontre onde a função P é crescente e onde é
decrescente.
Solução:
A derivada P’ da função P é
P’(x) = -0,04x + 300 = -0,04.(x - 7500)
Logo, P’(x) = 0 quando x = 7500. Além disso, P’(x) > 0 para x no intervalo
(0 , 7500), e P’(x) < 0 para x no intervalo (7500 , ). Isto significa que a
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a função P é crescente em (0 , 7500) e decrescente em (7500 , �), como
mostra a figura ao lado.
Concavidade de uma Função f
Seja uma função f diferenciável no intervalo (a , b). Então:
1) f é côncava para cima em (a , b) se f ‘ é crescente em (a , b).
2) f é côncava para baixo em (a , b) se f ‘ é decrescente em (a , b).
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Geometricamente, uma curva é côncava para cima se está acima
de suas retas tangentes (figura 1 acima). De maneira similar, uma
curva é côncava para baixo se está abaixo de suas retas tangentes
(figura 2 acima).
Também dizemos que f côncava para cima em um ponto x = c se
existe um intervalo (a , b) contendo c no qual f é côncava pra cima.
De maneira semelhante dizemos que f côncava para baixo em um
ponto x = c se existe um intervalo (a , b) contendo c no qual f é
côncava para baixo.
Se uma função f tem segunda derivada f ‘’, podemos usar f ‘’ para
determinar os intervalos de concavidade da função. Lembre-se de
que f ‘’(x) mede a taxa de variação da inclinação f ‘(x) da reta tangente
ao gráfico de f no ponto (x , f (x)). Logo, se f ‘’(x) > 0 em um intervalo
(a , b), então as inclinações das retas tangentes ao gráfico de f são
crescentes em (a , b), e então f é côncava para cima em (a , b). De
modo semelhante, se f ‘’(x) < 0 em (a , b), então f é côncava para baixo
em (a , b). Essas observações sugerem o seguinte teorema:
a) Se f ‘’(x) > 0 para cada valor de x em (a , b), então f é côncava para
cima em (a , b).
b) Se f ‘’(x) < 0 para cada valor de x em (a , b), então f é côncava para
baixo em (a , b).
Exemplo 1:
Determine onde a função é côncava para
cima e onde é côncava para baixo.
Solução:
Neste caso,
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e f ‘’ é definida em toda parte. Fazendo f ‘’(x) = 0 temos x = 1. O
diagrama de sinais de f ‘’ aparece na figura ao lado. Concluímos que
f é côncava para baixo no intervalo (- , 1) e é côncava para cima no
intervalo (1 , ). A figura abaixo mostra o gráfico de f .
Ponto de Inflexão
Um ponto no gráfico de uma função diferenciável f no qual a
concavidade muda é chamado um ponto de inflexão.
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O procedimento a seguir pode ser usado para encontrar pontos
de inflexão.
1) Calcule f ‘’(x).
2) Determine os pontos no domínio de f para os quais f ‘’(x) = 0 ou
f ‘’(x) não existe
3) Determine o sinal de f ‘’(x) à esquerda e à direita de cada ponto x
= c encontrado no passo 2. Se houver uma mudança no sinal de f
‘’(x) quando passamos pelo ponto x = c, então (c , f(c)) é um ponto
de inflexão de f.
Exemplo 1:
Encontre os pontos de inflexão da função
Solução:
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Observe que f ‘’ é contínua em toda a parte e é zero se x = 0. No
diagrama de sinais de f ‘’ vemos que f ‘’(x) muda de sinal quando
passamos por x = 0. Logo, (0 , 0) é um ponto de inflexão da função f
como é mostrado no gráfico abaixo.
Aplicação
O total de vendas S (em milhares de dólares) da Artic Air Corporation,
um fabricante de ar condicionado para automóveis, relaciona-se com
a quantidade de dinheiro x (em milhares de dólares) que a companhia
gasta anunciando seus produtos pela fórmula
Encontre o ponto de inflexão de S.
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Solução:
As duas primeiras derivadas de S são dadas por
As duas primeiras derivadas de S são dadas por
Fazendo S’’ = 0 temos x = 50 como único candidato para ponto de
inflexão de S. Além disso, uma vez que
S’’ > 0 para x < 50
S’’ < 0 para x > 50
o ponto (50 , 2700) é um ponto de inflexão da função S. O gráfico de
S aparece na figura abaixo.
O teste da segunda derivada
Agora, mostraremos como a Segunda derivada f” de uma função f
pode ser usada para nos ajudar a determinar se o ponto crítico de f
é um extremo de f. A figura (1) mostra o gráfico de uma função que
tem o máximo relativo em x = c. Observe que f é côncava para baixo
neste ponto. De maneira análoga, a figura (2) mostra que num mínimo
relativo de f o gráfico é côncavo para cima. Mas da nossa análise
anterior sabemos que f é côncava para baixo em x = c de f”< 0 e f é
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côncava para cima em x = c se f” > 0. Essas observações sugerem o
seguinte processo alternativo para determinar se um ponto crítico de
f leva a um extremo relativo de f. Esse resultado é chamado de teste
da Segunda derivada e é aplicável quando f”existe. Veja o resumo no
quando abaixo.
O Teste da Segunda Derivada
1.Calcule f’(x) e f”(x);
2.Encontre todos os pontos críticos de f nos quais f’(x) = 0;
3.Calcule f”( c ) para cada um dos pontos críticos c:
a)se f”( c) < 0, então f tem um máximo relativo em c;
b)se f”( c ) > 0, então f tem um mínimo relativo em c;
c)se f”( c ) = 0, o teste falha; isto é, é inconclusivo.
Comparação dos Testes da Primeira e Segunda Derivada
Os testes da Primeira e Segunda derivada são usados para classificar
os pontos críticos de f. O teste da Segunda derivada é aplicável
somente quando f”existe, portanto menos versátil que o teste da
primeira derivada. Além disso, o teste da Segunda é inconclusivo
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quando f”é igual a zero em um ponto crítico de f, enquanto o teste
da primeira derivada sempre leva a conclusões positivas. O teste da
Segunda derivada é também de uso inconveniente quando f” é difícil
de calcular .
O resumo abaixo representa os diferentes papéis desempenhadas
pela primeira derivada f’ e Segunda derivada f” de uma função f na
determinação das propriedades do gráfico de f.
Exemplo :
Determine os extremos relativos da função
f(x) = x³ - 3x² - 24x + 32
Usando o teste da Segunda derivada.
Solução:
f(x) = x³ - 3x² - 24x + 32
f’(x) = 3x² - 6x - 24
f”(x) = 6x – 6
fazendo f’(x) = 0.
3x² - 6x – 24 = 0
( use a fórmula de Bhaskara para resolução desta equação)
resulta em x = -2 e x = 4, os pontos críticos de f. Determinaremos se
existe ou não extremos relativos entre esses pontos encontrando o
sinal da Segunda derivada neles:
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f”(x) = 6x – 6
f”(-2) = 6(-2) – 6 = -18, logo f tem um valor máximo relativo.
f”(4) = 6(4)– 6 = 18, logo f tem um valor mínimo relativo.
Aplicação de Extremos Absolutos para Resolução de Problemas de Otimização
Os extremos absolutos ( máximo absoluto ou mínimo absoluto) de
uma função é aplicado para resolver problemas relacionados com
maximização e minimização, vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1:
Um homem deseja ter um jardim de forma retangular no seu quintal.
Ele tem 50 metros de material para cercar seu jardim. Encontre as
dimensões do maior jardim que ele pode ter se usar todo o material.
Solução:
Sejam x e y as dimensões ( em metros ) dos lados do jardim, conforme
a figura abaixo:
A área do jardim ( A ) dada por A = xy, que é a quantidade
a ser maximizada.
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O perímetro (soma de todos os lados) do jardim de forma retangular
é 2x + 2y, que deve ser igual a 50 m. DesSa forma, temos:
2x + 2y = 50 ( I )
resolvendo essa equação para y para Y em função de x temos
2y = 50 – 2x
y = 25 – x ( II )
substituindo ( II ) em ( I ), resulta:
A = xy
A = x(25 – x)
A = - x² +25x
Não esqueça que a função a ser otimizada dever envolver apenas
uma variável.
Como os lados do retângulo devem ser não-negativo, devemos ter
x e y = 25 – x 0; isto é, devemos ter 0 x 25. Logo, o problema
é reduzido a encontrar o máximo absoluto de A = f(x) = - x² +25x no
intervalo fechado [0, 25].
Observe que f é contínua em [0, 25] e portanto o valor máximo
absoluto de f deve ocorrer nos extremos ou nos pontos críticos de f. A
derivada da função f(x) é dada por
f(x) = - x² +25x
f’(x) = - 2x +25
fazendo f’(x) = 0, obtemos
-2x + 25 = 0
25 = 2x
x = 12,5 , como ponto crítico de A. Em seguida, calcularemos A = f(x)
em x = 12,5 e nos extremos x = 0 e x = 25 do intervalo [0, 25], obtendo
os seguintes valores:
f(x) = - x² +25x
f(0) = - (0)² +25(0) = 0
f(12,5) = - (12,5)² +25(12,5) = 156,25
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f(25) = - (25)² +25(25) = 0
vemos que o valor máximo absoluto da função f é 156,25.Da equação
(II) vemos que quando x = 12,5 , o valor de y é dado por y = 12,5. Logo
, o jardim teria área máxima (156, 25 m²) se tivesse a forma de um
quadrado com lados de 12,5 m de comprimento.
Exemplo 2:
Cortando quadrados idênticos de cada canto de um pedaço retangular
de papelão e dobrando as abas resultantes, o papelão pode ser
transformado numa caixa aberta. Se o papelão tem 16 polegadas de
comprimento e 10 polegadas de largura, encontre as dimensões da
caixa com o máximo de volume.
Solução:
Seja x o comprimento (em polegadas) de um lado de cada um dos
quadrados idênticos a serem cortados do papelão( conforme figura
abaixo) e seja V o lume da caixa resultante.
As dimensões da caixa são ( 16 – 2x) polegadas de comprimentos, (10
– 2x) polegadas de largura e x polegada de altura..
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Logo, seu volume (em polegadas cúbicas) é dado por:
V = (16 – 2x)(10 – 2x)x
V = 4(x³ - 13x² + 40x), que a quantidade a ser maximizada.
Uma vez que cada lado da caixa deve ser não-negativo, x deve
satisfazer as desigualdades x 0, 16 – 2x 0 e 10 – 2x 0. Este
conjunto de desigualdades é satisfeito se 0 x 5. Logo o problema
é reduzido à encontrar o máximo absoluto de
V = f(x) = 4(x³ - 13x² + 40x)
No intervalo fechado [0, 5].
Observe que f é contínua em [0, 5] e, portanto, o valor máximo
absoluto de f deve ocorrer nos extremos ou nos pontos críticos de f.
Calculando a derivada de f(x), obtemos:
f(x) = 4(x³ - 13x² + 40x)
f’(x) = 4(3x² - 26x + 40)
f’(x) = 4(3x – 20)(x – 2)
fazendo f”(x) = 0 e resolvendo a equação resultante de x, obtemos x =
20/3 ou x = 2, como 20/3 está fora do intervalo [0, 5] é desconsiderado,
estamos apenas interessado no ponto crítico x = 2 de f. em seguida,
calculando f(x) em x = 0, x = 5 ( os extremos do intervalo[0, 5] ), e x
= 2, obtemos:
f(x) = 4(x³ - 13x² + 40x)
f(0) = 4[0³ - 13(0)² + 40(0)] = 0
f(5) = 4[5³ - 13(5)² + 40(5)] = 0
f(2) = 4[2³ - 13(2)² + 40(2)] = 144
Logo, o volume da caixa é maximizada tomando x = 2. As dimensões
da caixa são 12x6x2 polegadas, e o volume é 144 pés cúbicos.
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Exemplo 3:
A taxa de operação (expressa em porcentagem) de fábricas, minas e
empresas de serviços em uma certa região do país no t-ésimo dia do
ano de 2000 é dada pela função
Em que dia dos primeiros 250 dias de 2000 a taxa de operação da
capacidade de produção foi máxima.
Solução:
O problema é resolvido encontrando o máximo absoluto da função f
em [ 0 , 250]. Diferenciando f (x), obtemos
Fazendo f ‘(t) = 0 e resolvendo a equação resultante, obtemos t = -200
ou 200. Uma vez que –200 está fora do intervalo [0 , 250], estamos
apenas interessados no ponto crítico t = 200 de f.
Calculando f (t) em t = 0, t = 200 e t = 250, encontramos: f(0) = 80,
f(200) = 83, f(250) = 82,93
Concluímos que a taxa de operação da capacidade de produção era
máxima no ducentésimo dia ( t = 200) de 200 – isto é , um pouco
depois da metade de julho de 2000.
Exemplo 4:
A Companhia Dixie de Importação e Exportação é o único revendedor
da motocicleta Excalibur 250 cc. A direção estima que a demanda
dessas motocicletas é de 10.000 por ano e que elas serão vendidas a
uma taxa uniforme ao longo do ano. O custo de encomenda de cada
carregamento de motocicletas é de $ 10.000 e o custo anual de cada
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motocicleta é de $ 200.
A direção da Dixie enfrenta o seguinte problema: Encomendar muitas
motocicletas de uma só vez ocupa valioso espaço de armazenagem
e aumenta o custo de estoque. Por outro lado, fazer encomendas
com muita freqüência aumenta o custo de encomendas. Qual a
quantidade que deve ser encomendada e com que com freqüência,
para minimizar os custos de encomenda e estoque?
Solução:
Seja x o número de motocicletas em cada encomenda (tamanho do
lote). Então, assumindo que cada carregamento chega quando o lote
anterior foi totalmente vendido, o número médio de motocicletas
estocadas é de x/2. Logo, o custo de armazenagem da Dixie por ano é
dado por 200(x/2), ou 100x dólares.
Em seguida, uma vez que a companhia requer 10.000 motocicletas por
ano e cada encomenda é de x motocicletas, o número de encomendas
requerido é.
Isto resulta num custo de encomenda de
dólares por ano. Logo, o custo total anual incorrido pela Dixie, que
inclui o custo de encomenda e estoque atribuídos à venda dessas
motocicletas, é dado por
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O problema reduz-se a encontrar o mínimo absoluto da função C no
intervalo (0 , 10.000). Para isso, calculamos
Fazendo C’(x) = 0 e resolvendo a equação resultante, obtemos
x = 1000. Como o número –1000 está fora do domínio da função C,
ele é rejeitado, deixando x = 1000 como único ponto crítico de C. Em
seguida, determinamos
Uma vez que C’’(1000) > 0, o teste da segunda derivada indica que o
ponto crítico x = 1000 é um mínimo relativo da função C. Além disso,
C’’(x) > 0 para todo x em (0 , 10.000), a função é côncava para cima
em toda a parte e, portanto, o ponto x = 1000 também é o mínimo
absoluto de C. Assim, para minimizar os custos de encomenda e
estoque, a Dixie deve fazer 10.000/1000, ou 10, encomendas por ano,
cada uma de 1000 motocicletas.
Referências Bilbliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:
Thomson, 2001.
LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São
Paulo: Harbra, 1988.
STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2003.