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2011
Monografía del Curso
METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
PROFESORA JACQUELINE DE
CHING
PROYECTO N.3
MONOGRAFIA
GRUPO 1-IL-122
6 DE DICIEMBRE DE 2011
1
Índice de Contenido
METODO DE EULER
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 4
LEONHARD EULER ................................................................................................................ 5
EL MÉTODO DE EULER ........................................................................................................ 6
PROCEDIMIENTO ................................................................................................................... 8
USO EL MÉTODO DE EULER ........................................................................................... 10
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE EULER ....................................... 12
EL FALLO EN EL MÉTODO DE EULER ......................................................................... 14
EJEMPLOS DEL MÉTODO DE EULER ........................................................................... 15
CONCLUSIÓN ......................................................................................................................... 18
METODO DE EULER MEJORADO
MÉTODO DE EULER MEJORADO: CORRECTOR-PREDICTOR ............................ 20
PASOS DEL METODO DE EULER MODIFICADO ....................................................... 21
PREDICTOR Y CORRECTOR ............................................................................................ 23
PROBLEMAS PRÁCTICOS ................................................................................................ 24
CONCLUSIÓN ......................................................................................................................... 28
METODO DE RUNGE-KUTTA
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA ............................................................................................ 31
PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE EULERMOD Y EULERMODGRAF .... 33
PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE MEJOREULER Y MEJOREULERGRAF ............................................................................................................ 34
UTILIZACIÓN DE LOS MÉTODOS MODIFICADO DE EULER Y MEJORADO DE
EULER....................................................................................................................................... 35
PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE3 Y RUNGE3GRAF ................... 37
PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE4 Y RUNGE4GRAF ................... 39
EJEMPLOS DE RUNGE-KUTTA ....................................................................................... 41
CONCLUSIONES ................................................................................................................... 44
CONCLUSIÓN FINAL ....................................................................................................... 45
BIBLIOGRAFIA .................................................................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
2
Introducción de la Monografía
En el curso de Métodos Numéricos para Ingenieros hemos aprendido diversos
métodos para resolver sistemas de ecuaciones, integrales, graficas, en fin
diversos problemas matemáticos para así aplicarlos al mundo de la programación.
Con el fin de adentrarnos más y más en la materia de Métodos Numéricos
debemos definir el concepto principal de este proyecto, las ecuaciones
diferenciales.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una
o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables
independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se
dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas
respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas
respecto a dos o más variables.
A continuación estudiaremos tres métodos que nos ayudaran a resolver este tipo
de ecuaciones con más facilidad para sí poder aplicarlas a nuestra vida diaria
como programadores, las cuales son:
El método de Euler
El método de Euler Mejorado
El método de Runge-Kutta
3
Tema desarrollado por
AGRAZAL, CELSO
ARAUZ, ANGEL
BERNAL, JOY
BONILLA, NASHLA
MARCIAGA, FERNANDO
MIRANDA, ESTEPHANIE
MITCHELL, NICOLE
RODRIGUEZ, RODRIGO
ROSALES, FERNANDO
VIVAR, LUIS
Método de Euler
4
Introducción
En el curso de Métodos Numéricos para Ingenieros hemos aprendido diversos
métodos para resolver sistemas de ecuaciones, integrales, graficas, en fin
diversos problemas matemáticos para así aplicarlos al mundo de la programación.
Pero entre tantos métodos no nos podíamos olvidar de las ecuaciones
diferenciales. En este trabajo conoceremos el método de Euler para resolución de
este tipo de ecuaciones, en donde presentaremos la vida de su desarrollador,
ejemplos explicativos, los procedimientos a realizar en este método, entre otros
puntos importantes.
5
Leonhard Euler
Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado
matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18
de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal
matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.
Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del
mundo real a través del análisis matemático, en lo que
se conoce como matemática aplicada, y en la
descripción de numerosas aplicaciones de los números
de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de
Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las
fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo
diferencial de Leibniz con el Método de Fluxión de
Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil
la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler
ya empleaba las series de Fourier antes de que el
mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de
Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para
resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de
Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este
método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y
hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de
ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante
de Euler-Mascheroni.
6
El Método de Euler
Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, cuyo procedimiento
consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando
la siguiente imagen con la derivada, este es el más simple de los métodos
numéricos resolver un problema del siguiente tipo:
Podemos dar una descripción informal del método de la siguiente manera:
Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que
comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se
puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite
calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la
curva, siempre que el punto se conozca.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de
comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación
diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo
tanto la recta tangente a la curva.
7
Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo
punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el
mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de
la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos
formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos
al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre
ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar
sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos
es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables,
como se discute más abajo).
8
Procedimiento
A continuación los pasos para el desarrollo del método de Euler:
Se multiplican los intervalos que van de “X0” a “Xf” en “n” cantidad de sub-
intervalos con ancho “h”; es decir:
Con esto se obtiene un conjunto discreto de “n+1” puntos: X0, X1, X2… Xn del
intervalo que nos interesa [X0, Xf]. Para cualquiera de estos puntos se
cumple que:
Ya con la condición inicial , que representa el punto
y por donde pasa la curva obtenemos la solución de la ecuación del
planteamiento inicial, la cual se denotará como:
Con el punto “P0” se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese
punto; por lo tanto:
9
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por “P0” y de
pendiente “F(x0,y0)”. Esta recta aproxima “F(x)” en una vecinidad de “x0”.
Se toma la recta como reemplazo de F(x) y se localiza en ella el valor de y
correspondiente a x1.
Entonces, se puede deducir según esta información para la gráfica A que:
10
Uso el Método de Euler
Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable
independiente:
El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para
extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:
Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso
O bien,
yi+1=yi + φ h (ecuación 1)
De esta manera, la formula (1), se aplica
paso a paso para encontrar un valor en el
futuro y así trazar la trayectoria de la
solución. La figura 1, muestra el
procedimiento aplicado con la ecuación
(1).
.
El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una
aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera
derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi.
φ = (x, y)
11
(xi , yi), es la ecuación diferencial evaluada en x i y yi. Sustituyendo esta
estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene:
yi+1 = yi + (xi , yi)h (ecuación 2)
La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta fórmula se
predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera
derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma
lineal sobre el tamaño de paso h.
12
Ventajas y desventajas del Método de Euler
Ventajas
Uno de los aspecto resaltante del método es que a medida que
dividimos el tamaño del paso h, los errores también se
disminuyen en aproximadamente la mitad. Es un método sencillo
de implementar pero de orden bajo por lo que dependiendo del
grado de precisión que se desees, el h puede ser muy pequeño.
Una forma de mejorar el método de Euler (Euler mejorado) es
utilizar una mejor aproximación a la integral- podríamos
considerar por ejemplo una aproximación por trapecio de modo
que:
Noten que el último término hace referencia al valor que
queremos aproximar en esta iteración ( ), sin embargo
podemos usar un paso del método de Euler para aproximar la
solución, obteniendo finalmente:
13
Desventajas
El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente
instantánea, es decir, la función f(x,y) x.
Ese método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del
x es la misma para todo el intervalo.
Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto
inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta
aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar
el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el
método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo
de ese valor mediante el método original de Euler para evaluar la f(x,y) del
lado derecho del inter x, para después calcular el promedio de ambas
y que actualizaría y.
14
El fallo en el Método de Euler
El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente
instantánea, es decir, la función f(x,y) cambia rápidamente dentro de la x. Ese
método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del intervalo x es la misma para todo el intervalo.
Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo de ese valor mediante el método original
de Euler para evaluar la f(x,y) del lado derecho del intervalo x, para después
calcular el promedio de ambas pendientes y utilizarlo para calcular el valor de y que actualizaría y.
En la solución numérica de ecuaciones EDO, utilizando el método de Euler se obtuvieron los siguientes errores
1. Errores de Truncamiento, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
2. Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora.
15
Ejemplos del método de Euler
Ejemplo #1: Dada la ecuación diferencial y’ = y, el punto inicial y(0) =1, utilice el
Método de Euler para aproximar y3 con tamaño de paso h = 1.
El método de Euler es: Yn+1= yn + h (f(tn,yn)) así que primero tenemos que calcular
f(t0,y0), esta ecuación diferencial depende solo de y, por lo que solo introduciremos
valores de y.
f(y0) = 1
Al hacer el paso anterior, encontramos la pendiente de la recta que es tangente a
la curva solución en el punto (0,1). Recuerde que la pendiente se define como el
cambio de y dividido por el cambio de t o
El siguiente paso consisten en multiplicar el valor anterior por el tamaño del paso
h.
h * f(y0) = 1*1 = 1
Dado que el tamaño del paso es el cambio en t, cuando se multiplica el tamaño del
paso y la pendiente de la tangente, se obtiene un cambio en el valor y. Este valor
se añade al valor inicial, y para obtener el siguiente valor a ser utilizado para los
cálculos.
Y0+ h * f(y0) = y1 = 1 +1*1 = 2
Entonces debemos repetir los pasos anteriores para encontrar y2 y y3
Y1+ h * f(y1) = y2 = 2 +1*2 = 4
Y2+ h * f(y2) = y3 = 4 +1*4 = 8
16
Debido a la naturaleza de este algoritmo, puede ser útil para organizar los cálculos
en forma de grafico para evitar errores
yn tn y'(t) h dy yn + 1
1 0 1 1 1 2
2 1 2 1 2 4
4 2 4 1 4 8
17
Ejemplo #2: Calcular una iteración con el método de Euler para el sistema,
y’ = (1+z)z + y, x0=0, y0=1
z’ = (1+x)y +z, z0=1
Solución: La iteración general se escribe,
Xn+1 = xn + h
yn+1 = yn + h(( xn + 1)zn + yn)
zn+1 = zn + h((1+xn)yn + zn)
para n=0 se tiene que x0 = 0, y0=z0=1
x1 = 0 + h = h
y1 = y0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h
z1 = z0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h
Ejemplo #3: Use el método de Euler 0.1 construya una tabla con valores
aproximados al problema de valor inicial
y’=x+y y(0) = 1
Solución:
Tenemos que h = 0.1 , x0 = 0, y0 = 1 y F(x,y) = x+y luego
Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1+0.1(0+1) = 1.1
Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.1 + 0.1(0.1+1.1) = 1.22
Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.22+0.1(0.2+1.22) = 1.362
Esto significa que si y(x) es la solución exacta entonces y(0.3) = 1.362
18
Conclusión
Hemos encontrado diversos puntos en este trabajo, hemos aprendido otro método,
ingresando cada vez más en el mundo de la programación y en nuestro camino
como Ingenieros en Sistemas.
El método de Euler, entonces, es el método desarrollado por Leonhard Euler, con
el propósito de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) incrementando
cada la variable independiente h.
Aunque encontramos diversos errores en este método (por ejemplo errores de
precisión), que llevaron a la creación de una modificación de este método, pero
aun así para nosotros los Ingenieros en Sistemas resulta de gran utilidad a la hora
de resolver sistemas matemáticos como este.
19
Tema desarrollado por
Christian A García
Roberto Candel
Juan Chen
Johannes Zapata
Nelysvette Patterson
Alexis Espinosa
Yi Fung
Joshua Zafrani
Método de Euler
Mejorado
20
Método de Euler Mejorado: Corrector-Predictor
En el método de Euler se tomó como válida para todo el intervalo la derivada
encontrada en un extremo de éste Fig. Para obtener una exactitud razonable se
utiliza un intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor (ya que
se realizarán más cálculos).
El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor
promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo. en lugar de la
derivada tomada en un solo extremo.
21
PASOS DEL METODO DE EULER MODIFICADO
1. Se parte de (xo,Yo) Y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor
de Y correspondiente a Xl' Este valor de Y se denotará aquí como YI' ya que
sólo es un valor transitorio para Yl' Esta parte del proceso se conoce como paso
predictor.
2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el
nuevo punto obtenido (XI, Yl) se evalúa la derivada [(xI' YI) usando la ecuación
diferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media
aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo' Yo)
1/2 [F(xo ,Yo) + F(Xl,YI)] = derivada promedio
Se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y1, con la ecuación
y1=y0+hf(x0,y0), que deberá ser más exacto que y1
y se tomara como valor definitivo de y1. Este procedimiento se repite hasta llegar a
yn.
El esquema iterativo para este método quedara en general así:
Primero, usando el paso de predicción resulta:
.
Una vez obtenida yi+1 se calcula f(xi+1,yi+1), la derivada en el punto (xi+1,yi+1), y se
promedia con la derivada previa (xi,yi) para encontrar la derivada promedio
22
Se sustituye f(xi,yi) con este valor promedio en la ecuación de iteración de euler y
se obtiene:
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con
base en la siguiente gráfica:
En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de
la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y
la “recta tangente” a la curva en el punto , donde es la aproximación
obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se
traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el
valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.
23
Predictor y Corrector
Dado un problema con una condición inicial
, con
El método de Euler mejorado con tamaño de paso h consiste en la aplicación de
las siguientes fórmulas iterativas:
para calcular las aproximaciones sucesivas a los valores a los valores
[verdaderos] de la solución [exacta] en los
puntos respectivamente.
El método de Euler mejorado pertenece a una categoría de técnicas numéricas
conocidas como métodos predictor-corrector. Primero se calcula un
predictor del siguiente valor de ; después, se usa éste para corregirse a sí
mismo. Así el método de Euler mejorado con tamaño de paso h consiste en utilizar
el predictor
y el corrector
Iterativamente para calcular las aproximaciones sucesivas del problema.
24
Problemas Prácticos
Ejemplo 1
Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar si:
Solución
Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos
y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A
diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en
vez de uno solo: el de primero y posteriormente el de .
Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero
que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:
En nuestra primera iteración tenemos:
25
Nótese que el valor de coincide con el (Euler 1), y es el único valor que va
a coincidir, pues para calcular se usará y no .
Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:
Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de . El proceso
debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente
tabla:
n
0 0 1
1 0.1 1.01
2 0.2 1.040704
3 0.3 1.093988
4 0.4 1.173192
5 0.5 1.28336
Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler
mejorado es:
Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero:
26
Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este
método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En
nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente
a un 0%!
Veamos un segundo ejemplo.
Ejemplo 2
Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar y(1.3) si tenemos :
Solución
Tenemos los siguientes datos:
En una primera iteración, tenemos lo siguiente:
27
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
n
0 1 2
1 1.1 2.385
2 1.2 2.742925
3 1.3 3.07635
Concluímos entonces que la aproximación buscada es:
28
Conclusión Luego de trabajar, ver, observar y experimentar con ambos métodos se puede decir que el método de Euler está diseñado tanto para ecuaciones diferenciales como para la integración, pero el método de Euler modificado es un método exclusivo para las ecuaciones diferenciales. El método de Euler modificado también muestra más flexibilidad en el proceso de obtener repuestas debido a que esta puede tomar como base un valor más preciso si se acerca la integral del valor a escoger.
29
Tema desarrollado por
CRUZ, RIGOBERTO
ESCOBAR, FABIAN
HENRÍQUEZ, MARUQUEL
JARAMILLO, SERGIO
RIVAS, MELISA
SÁNCHEZ, JOEL
TRUJILLO, NÉSTOR
TRUJILLO, ROLANDO
VIETO, MARCOS
Método de
Runge-Kutta
30
INTRODUCCIÓN
El método de Runge-Kutta, es un método genérico de resolución numérica
de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente
desarrollado alrededor del año 1900por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos
(implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
El método de Runge-Kutta es un refinamiento del método de Euler. La solución de
un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por
métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Yi+1 tan pronto se
conozcan los valores Yi, Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple
de estos métodos, debido a Euler, es aplicable a ecuaciones de primer orden y no
requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.
31
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Los métodos de Runge-Kutta mejoran la aproximación del método de Euler para
resolver de modo aproximado el P.V.I. y' = f Ht, yL, yHt0L = y0, sin necesidad de
calcular derivadas de orden superior.
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son conjuntos de métodos iterativos (implícitos
y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales
ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
Sea:
Una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un
conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea
Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más
general:
Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento Δtn entre los
sucesivos puntos tn y tn + 1. Los coeficientes ki son términos de aproximación
intermedios, evaluados en ƒ de manera local
Con aij,bi,ci coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de
la regla de cuadratura utilizada.
32
Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las
constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los
elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i,...,s, los
esquemas son explícitos.
Para fijar ideas, un método clásico de Runge-Kutta de 2-etapas de orden 2 viene
dado por el diagrama de Butcher:
Donde los coeficientes que aparecen verifican el sistema de ecuaciones:
Así pues, existe una familia infinita de métodos de Runge-Kutta de orden 2. Los
más utilizados son:
Método modificado de Euler: que se corresponde con
y cuya expresión es:
33
PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE EULERMOD Y EULERMODGRAF
Ejemplo de programación de procedimientos de Eulermod y EulerModGraf que
permiten calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica
de la solución aproximada obtenida mediante el método de Euler modificado.
Donde f es la función asociada a la ecuación diferencial, h es la longitud de paso,
ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde
vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo.
34
b) Método mejorado de Euler, que se corresponde con
cuya expresión es
PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE MEJOREULER Y MEJOREULERGRAF
Ejemplo de programación de procedimientos de mejoreuler y mejoreulergraf,
que permiten calcular la tabla de valores correspondiente y la representación
gráfica de la solución aproximada obtenida mediante el método de Euler
modificado.
Donde f es la función asociada a la ecuación diferencial, h es la longitud de paso,
ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde
vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo
35
UTILIZACIÓN DE LOS MÉTODOS MODIFICADO DE EULER Y MEJORADO DE EULER
Para en el intervalo [0,1] con longitud de paso 0,1.
36
Como se puede observar la solución exacta de este P.V.I. en t = 1 vale 1.70187 .
En este caso, por tanto, la aproximación alcanzada por el primer método de
Runge-Kutta es mejor que la obtenida por el segundo.
Un método clásico de Runge-Kutta de 3-etapas de orden 3 viene dado por el
diagrama de Butcher:
Donde los coeficientes que
aparecen verifican el
sistema de ecuaciones:
Así pues, existe una familia infinita de métodos de Runge-Kutta de orden 3. Uno
de los más utilizados es el correspondiente a:
y cuya expresión es:
37
PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE3 Y RUNGE3GRAF
Ejemplos de procedimientos programados de Runge3 y Runge3graf, que permiten
calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica de la
solución aproximada obtenida mediante el método de Runge-Kutta de orden 3
seleccionado:
Donde f es la función asociada a la ecuación diferencial, h es la longitud de paso,
ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde
vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo.
38
Aplicamos:
Probamos el método anterior con el P.V.I. en el
intervalo [0,1], con longitud de paso 0.1
El método de Runge-Kutta de orden 4 más utilizado viene dado por el esquema
Butcher siguiente:
Cuya expresión
es:
39
PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE4 Y RUNGE4GRAF
Ejemplos de procedimientos programados de Runge4 y Runge4graf, que permiten
calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica de la
solución aproximada obtenida mediante el método de Runge-Kutta de orden 4
seleccionado:
Donde f es la función asociada a la ecuación diferencial, h es la longitud de paso,
ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde
vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo.
40
Aplicamos:
Probamos el método anterior con el P.V.I. en el
intervalo [0,1], con longitud de paso 0.1
41
EJEMPLOS DE RUNGE-KUTTA
Ejemplo 1:
Resolución mediante el método de Runge-Kutta de orden 4 programado
anteriormente, en el intervalo [1,2] con h=0.1
Solución
Borramos posibles asignaciones de las variables, definimos la función asociada al
P.V.I. y aplicamos el método numérico.
42
Ejemplo 2:
Dado el P.V.I. obtener el valor
aproximado de la solución en t=3, usando el procedimiento Runge4 y tomando
como longitud de paso h=0.01. Analizar el comportamiento de la gráfica
comparándola con la de la solución del P.V.I.
Solución:
No se puede resolver este P.V.I:
Borramos posibles asignaciones de las variables, definimos la función asociada al
P.V.I. y aplicamos el método numérico:
43
Resolvemos ahora, mediante el mismo procedimiento el segundo P.V.I
Como vemos, las dos gráficas se separan poco antes de t = 2. El brusco descenso
que se produce en la gráfica de la solución del primer P.V.I. se debe a la presencia
del impulso que se resta a y hace variar el crecimiento de
la solución. El impulso citado se representa a continuación:
44
CONCLUSIONES
El método de Runge-Kutta, es uno de los métodos genérico que nos sirve para la
resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Los sucesivos métodos a
estudiar tienen su base en el Método de Euler, también llamado el método RK4.
Se concluye que esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto
lo cual significa que el error por paso es del orden: 0(h5) mientras que el error total
acumulado tiene el orden: 0(h4).
Cada método que se presentó en este proyecto como ejercicios resuelto que
fueron puestos en este trabajo, fue colocado con el único objetivo de que fuera
más fácil su compresión de cada método que fue investigado en este proyecto,
también podemos decir que estos métodos para poder resolver un problema es
necesario tener una calculadora programable por la razón de que si hace sin una
de ellas resulta demasiado largo la resolución de cada problema.
Tener en cuenta que para resolver cada problema de los métodos numéricos es
necesario tener orden porque la cantidad de datos son demasiados, también se
necesita tener los programas para resolver cada método.
45
Conclusión Final
Luego de haber analizado los tres métodos podemos concluir que:
El método de Euler, entonces, es el método desarrollado por Leonhard
Euler, con el propósito de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDO) incrementando cada la variable independiente h.
El método de Euler modificado es un método exclusivo para las ecuaciones
diferenciales. El método de Euler modificado también muestra más
flexibilidad en el proceso de obtener repuestas debido a que esta puede
tomar como base un valor más preciso si se acerca la integral del valor a
escoger.
El método de Runge-Kutta, es uno de los métodos genérico que nos sirve
para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Los sucesivos
métodos a estudiar tienen su base en el Método de Euler, también llamado
el método RK4.
Dando así finalizado el trabajo de la monografía, teniendo en cuenta estos
métodos podemos expandir nuestros conocimientos en la programación para
resolver casi cualquier problema matemático aplicando la lógica y los conceptos y
métodos aprendidos durante el curso.
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Bibliografía
1. http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler
2. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-
Geo/edo-cap1-geo/node14.html
3. http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler.pdf
4. http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/Euler.htm
5. http://euler.us.es/~renato/clases/edo/files/tra-euler.pdf
6. Libro Métodos Numéricos para Ingenieros, Steven C. Chapra, Quinta
Edición
7. Libro de Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis
Gill, Sexta Edicion
8. http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta
9. http://www.unizar.es/acz/02AcademicosNumerarios/Discursos/Calvo.pdf
10. http://portalevlm.usal.es/Portal/e_books/guiaalumno/Chapter10SG_Spanish.
11. http://metodoaugma.blogspot.com/2010/04/metodo.html