Post on 05-Apr-2018
1
MAKALAH
MODEL-MODEL LEBIH RUMIT
DISUSUN OLEH :
SRI SISKA WIRDANIYATI – 12611125
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
2014
2
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sejauh ini telah membahas secara rinci model linear ordo-pertama
dengan satu peubah peramal. Selain dari itu juga sudah membahas tentang
gagasan model yang memadai, uji ketidakpasan model, dan analisis
matematis. Analisis matematis diucapkan dalam notasi matriks sehingga
perluasan dari model-model ordo-pertama dengan satu peubah peramal ke
model umum yang linear dalam parameter dan mengandung beberapa peubah
peramal, dapat dilakukan secara efisien. Beberapa kriteria untuk pemeriksaan
persamaan regresi berganda juga telah dibahas, dan rumus untuk selang
kepercayaan bagi 𝛽 dan nilai ramalan bagi 𝑌 telah ditunjukkan.
Dalam makalah ini akan membahas berbagai ilustrasi model-model
yang rumit. Sebagian model itu mengharuskan transformasi terhadap satu
atau lebih peubahnya dan adapula yang menggunakan peubah boneka
(dummy variable).
1.2 Rumusan Masalah
1. Apakah kegunaan polinom ortogonal?
2. Bagaimanakah persamaan regresi polinom ortogonal?
1.3 Tujuan
1. Menjelaskan model polinom ortogonal untuk berbagai ordo
2. Memberikan informasi mengenai kegunaan polinom ortogonal
3. Menjelaskan pentransformasian matriks X untuk memperoleh kolom-
kolom ortogonal
4. Menjelaskan persamaan regresi polinom ortogonal
3
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Model Polinom Berbagai Ordo
Model linear yang paling umum dalam peubah-peubah 𝑋1 ,𝑋2 ,… ,𝑋𝑘
dapat dituliskan dalam bentuk:
𝑌 = 𝛽0𝑍0 + 𝛽1𝑍1 + 𝛽2𝑍2 +⋯+ 𝛽𝑃𝑍𝑃 + 𝜀 (2.1.1)
𝑍0 = 1 merupakan dummy variable yang selalu bernilai satu dan
biasanya tidak dituliskan. Model-model polinom dapat terdiri dari ordo yang
lebih dari dua. Berikut ini model polinom untuk berbagai ordo:
1. Model ordo-pertama
Jika p = k dan 𝑍𝑗 = 𝑋𝐽 , diperoleh model ordo-pertama dengan k
peubah peramal :
𝑌 = 𝛽0𝑋0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + ⋯+ 𝛽𝑘𝑋𝑘 + 𝜀 (2.1.2)
2. Model ordo-kedua
Jika diketahui p = 5, 𝑍1 = 𝑋1, 𝑍2 = 𝑋2, 𝑍3 = 𝑋12 , 𝑍4 = 𝑋2
2 , 𝑍5 =
𝑋1𝑋2 ,𝛽3 = 𝛽11 , 𝛽4 = 𝛽22 , dan 𝛽5 = 𝛽12 diperoleh model ordo kedua
dengan peubah peramal:
𝑌 = 𝛽0𝑋0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽11𝑋1 + 𝛽22𝑋2 + 𝛽12𝑋𝑘 + 𝜀 (2.1.3)
3. Model ordo-ketiga
Jika p = 9 dan identifikasi yang tepat dilakukan terhadap dan
diperoleh model ordo-ordo ketiga dengan peubah peramal:
𝑌 = 𝛽0𝑋0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽11𝑋12 + 𝛽12𝑋1𝑋2 + 𝛽22𝑋2
2 + 𝛽111𝑋3 +
𝛽112𝑋12𝑋2 + 𝛽122𝑋1𝑋2
2 + 𝛽222𝑋23 + 𝜀 (2.1.4)
Jika model ordo-kedua tidak memadai, model ordo-ketiga dicoba.
Namun sebaiknya membiasakan menambahkan suku-suku berordo lebih
tinggi.
2.2 Model yang Diperoleh Melalui Transformasi Tentang 𝑿𝒋 Saja
4
Model polinom yang terdapat pasal 2.1 melibatkan pangkat dan hasil
kali pangkat pada peubah peramal 𝑋1 ,𝑋2 ,… ,𝑋𝑘 berikut akan dikemukakan
beberapa jenis transformasi lain yang berguna di dalam pembentukan model.
1. Model yang Diperoleh Melalui Transformasi Selain Pangkat Bulat
a. Transformasi resiprokal, dengan mengambi p = 2, 𝑍1 = 1/𝑋1,𝑍2 =
1/𝑋2, maka diperoleh model:
(2.2.1)
b. Transformasi logaritma, dengan mengambil p = 2, 𝑍1 = 𝑙𝑛 𝑋1,𝑍2 =
𝑙𝑛 𝑋2, maka diperoleh model:
(2.2.2)
c. Transformasi akar
Misalnya . (2.2.3)
Tujuan transformasi semacam ini adalah agar dapat menggunakan
model regresi yang bentuknya sederhana dalam peubah yang
ditransformasikan, bukan model yang jauh lebih rumit dalam peubah
asalnya.
2. Model Nonlinear yang Secara Intrinsik Linear
Jika suatu model adalah linear intrinsik, maka model ini dapat
dinyatakan melalui transformasi yang tepat terhadap peubahnya ke dalam
model linear baku.
a. Model Eksponensial
𝑌 = 𝑒𝛽0+𝛽1𝑋1 +𝛽2𝑋2 . 𝜀 dengan melogaritmakan kedua ruas
persamaan, maka diperoleh:
(2.2.4)
b. Model Resiprokal
𝑌 =1
𝛽0 +𝛽1𝑋1+𝛽2𝑋2+𝜀 dengan membalik persamaan, maka diperoleh:
1
𝑌= 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝜀 (2.2.5)
c. Model Eksponensial yang lebih rumit
)/1()/1( 22110 XXY
22110 lnln XXY
2/1
22
2/1
110 XXY
lnln 22110 XXY
5
𝑌 =1
1+𝑒𝛽0+𝛽1𝑋1+𝛽2𝑋2+𝜀 dengan membalik dan mengurangi 1 dan
kemudian melogaritmakan (dengan basis e) kedua ruas itu, maka
diperoleh:
(2.2.6)
Tujuan transformasi teriterasi terhadap peubah tidak bebas untuk
mengubah model nonlinear yang rumit menjadi model linear. Harus
diingat bahwa analisis kuadrat terkecil diterapkan pada model yang
telah ditransformasikan, sehingga keofisien regresinya merupakan
“nilai kuadrat terkecil” hanya dalam kaitan dengan model yang telah
ditransformasi.
2.3 Famili Transformasi
1. Transformasi pada Peubah Respons
Suatu famili transformasi pada peubah respon Y (positif) diberikan
oleh transformasi kuasa (power transformation)
𝑊 = 𝑌𝜆 − 1/𝜆, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆 ≠ 0
ln𝑌, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆 = 0 (2.3.1)
Famili transformasi yang kontinu bergantung pada satu parameter,
untuk menduga parameter ini maupun vektor paramater, model yang
digunakan adalah sebagai berikut:
𝑊 = 𝑋𝛽 + 𝜀 (2.3.2)
Ada 2 cara menduga 𝜆, salah satunya dengan metode kemungkinan
maksimum dengan asumsi 𝜀~𝑁(0, 𝐼𝜎2).
2. Metode Kemungkinan Maksimum untuk Penduga 𝜆
1. Pilih dari kisaran yang ditetapkan, biasanya berkisar (-2,2) atau (-
1,1) dan kemudian memperlebar kisaran bila diperlukan.
2. Untuk 𝜆 yang terpilih, hitunglah dengan rumus sebagai berikut:
𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜆 = −1
2𝑛 ln𝜎 2 𝜆 + ln 𝐽(𝜆,𝑌) (2.3.4)
3. Untuk menggunakan 𝜆 dalam perhitungan dengan menggunakan
salah satu nilai dalam barisan yang telah ditentukan pada metode I
221101
1ln XX
Y
6
yansg paling dekat dengan kemungkinan maksimum dengan
memeriksa nilai yang ada dalam kisaran tersebut.
3. Selang Kepercayaan Hampiran bagi 𝜆
Suatu 𝜆 selang kepercayaan hampiran bagi 𝜆 terdiri atas nilai-nilai
yang memenuhi pertidaksamaan:
𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜆 − 𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜆 ≤1
2≤ 𝜒1
2(1− 𝛼) (2.3.5)
Dimana 1
2≤ 𝜒1
2(1− 𝛼) adalah titik persentase sebaran khi-kuadrat
dengan satu derajat bebas yang luas wilayah di sebelah kanan sebesar 𝛼.
4. Pentingnya Pemeriksaan Sisaan
Transformasi terhadap peubah respons mempengaruhi galat.
Asumsi bahwa setelah transformasi, galat pada respons yang telah
ditransformasi mengikuti sebaran 𝑁(0, 𝐼𝜎2), maka sangat penting
memeriksa sisaan model yang digunakan terkahir untuk melihat apakah
ada gejala asumsi-asumsi yang dilanggar.
2.4 Penggunaan Peubah “Boneka” dalam Regresi Berganda
Peubah boneka (dummy variable) adalah variabel yang digunakan
untuk mengkuantitatifkan variabel yang bersifat kualitatif yang bersifat
kategonal yang diduga mempunyai pengaruh terhadap variabel yang bersifat
kontinu.
Untuk ilustrasi khusus dengan mempunyai dua gagasan data peubah
repsons Y dan satu perubah peramal X dengan menggunakan model yang
sama 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽11𝑋2 + 𝜀. Dengan menentukan koefisien-koefisien
salah satunya dengan cara menerapkan pada kedua gugus data, seperti model
berikut:
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽11𝑋2 + 𝛼0𝑍 + 𝛼1𝑋𝑍 + 𝛼11𝑋
2𝑍 + 𝜀 (2.4.1)
Dimana Z adalah peubah boneka dengan taraf 0 untuk gugus data yang
satu dan 1 untuk gugus data yang lain.
Uji kuadrat ekstra dengan memeriksa berbagai kemungkinan dengan
cara sebagai berikut:
7
1. 𝐻0:𝛼0 = 𝛼1 = 𝛼11 = 0 lawan 𝐻1, setidaknya ada satu 𝛼 tidak sama
dengan nol. Jika 𝐻0 ditolak maka model kedua gugus data tidak sama,
jika ditolak anggap model untuk keduanya sama.
2. Jika 𝐻0 ditolak (1) dengan menguji 𝐻0:𝛼0 = 𝛼1 = 𝛼11 = 0 lawan 𝐻1,
setidaknya ada satu 𝛼 tidak sama dengan nol. Disimpulkan bahwa kedua
gugus data hanya menunjukkan perbedaan taraf respons, namun
mempunyai kemiringan yang sama.
3. Jika 𝐻0 ditolak (2) dengan menguji 𝐻0:𝛼11 = 0 lawan 𝐻1:𝛼11 ≠ 0
dengan mengindikasikan tidak ditolaknya 𝐻0 pada suku-suku ordo kenol
dan pertama.
2.5 Pemusatan dan Penyekalaan: Regresi dalam Bentuk Korelasi
Bila dalam suatu model regresi hanya ada satu atau dua peubah
peramal, perhitungan langsung 𝑏 = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑌, biasanya tidak
menimbulkan kesulitan asalkan angka-angka di belakang titik desimalnya
tidak banyak yang dipotong selama proses perhitungannya. Ada dua
penyebab kesalahan pembulatan sebagai berikut:
1. Bilangan-bilangan yang terkait dalam proses perhitungan regresi sangat
besar bedanya.
2. Bila determinan suatu matriks kecil dibandingkan dengan bilangan-
bilangan lain dalam perhitungan itu, dikatakan berkondisi buruk (iil or
badly conditioned).
Bila diantara kolom-kolom matriks X terdapat ketidakbebasan, artinya
bila satu (atau lebih) kolom dapat diucapkan sebagai kombinasi linear kolom-
kolom lainnya, maka det 𝑋′𝑋 = 0.
Bila kebergantungan atau ketidakbebasan itu tidak berlaku sepenuhnya,
pengkondisian buruk terjadi pada 𝑋′𝑋 dan kedua pilihan di atas harus tetap
diambil atau diterapkan teknik regresi gulud. Maka untuk memperbaiki
bentuk perhitungan tersebut harus dilakukan suatu langkah-langkah yang bisa
diambil. Langkah-langkah yang dimaksud adalah pemusatan data dan
penggunaan matrisk korelasi alih-alih matriks 𝑋′𝑋.
8
1. Pemusatan
Misalkan mempunyai matriks data berbentuk di bawah ini, berikut
dengan nilai tengah kolomnya:
𝑍0 𝑍1 𝑍2 … 𝑍𝑃 𝑌
1 𝑍11 𝑍21 … 𝑍𝑃1 𝑌1
1 𝑍12 𝑍22 … 𝑍𝑃1 𝑌2
… … … … … …
1 𝑍1𝑛 𝑍2𝑛 … 𝑍𝑃𝑛 𝑌𝑛
Jumlah Kolom 𝑍1𝑖 𝑍2𝑖 … 𝑍𝑃𝑖 𝑌𝑖
Nilai Tengah 𝑍 1 𝑍 2 … 𝑍 𝑃 𝑌
Sehingga model diperoleh sebagai berikut:
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑍1 + 𝛽2𝑍2 + ⋯+ 𝛽𝑃𝑍𝑃 + 𝜀 (2.5.1)
Selanjutnya model ini dituliskan dalam bentuk lain:
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑍1 + 𝛽2𝑍2 +⋯+ 𝛽𝑃𝑍𝑃 + 𝜀 + 𝛽1 𝑍1 − 𝑍 1 +
𝛽2 𝑍2 − 𝑍 2 +⋯+ 𝛽𝑃 𝑍𝑃 − 𝑍 𝑃 + 𝜀 (2.5.2)
Dimana 𝑍 1,𝑍 2,… ,𝑍 𝑃 adalah nilai tengah yang dihitung dari data.
Karena ini selalu benar dan karena 𝑍𝑗𝑖 − 𝑍 𝑗 𝑌𝑖 = 𝑍𝑗𝑖 − 𝑍 𝑗 𝑌𝑖 − 𝑌
suku ekstranya menjadi 𝑌 𝑧 𝑗 = 0, dapat menduga model:
𝑌 − 𝑌 = 𝛽1 𝑍1 − 𝑍 1 + 𝛽2 𝑍2 − 𝑍 2 + ⋯+ 𝛽𝑃 𝑍𝑃 − 𝑍 𝑃 + 𝜀′ (2.5.3)
2. Matriks Korelasi
Korelasi antara 𝑍1 dan 𝑍2 adalah 𝑟𝑗𝑦 =𝑆12
𝑆𝑗𝑗 𝑆𝑦𝑦 12
dengan
𝑠𝑗𝑦 = 𝑍𝑗𝑖 − 𝑍 𝑗 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑛𝑗=1 sebagai korelasi 𝑍𝑗 dengan 𝑌, maka
persamaan baru model ini menjadi:
1 𝑟12
𝑟21 1 𝑎1
𝑎2 =
𝑟1𝑦𝑟2𝑦 (2.5.4)
Dimana 𝑎1 = (𝑟1𝑦 -𝑟12𝑟2𝑦)/𝐷, 𝑎2 = (𝑟2𝑦 -𝑟12𝑟1𝑦)/𝐷, dan 𝐷 = 1 − 𝑟122 .
2.6 Polinom Ortogonal
9
Polinom ortogonal digunakan untuk menduga model polinom ordo
berapa pun di dalam satu peubah. Gagasan yang mendasarinya adalah sebagai
berikut. Misalkan mempunyai n amatan (𝑋𝑖 ,𝑌𝑖), 𝑖 = 1,2,… , 𝑛, dengan X
sebagai peubah peramal dan Y sebagai peubah respons. Misalkan pula kita
menduga model
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽2𝑋2 + ⋯+ 𝛽𝑝𝑋
𝑃 + 𝜀 (2.6.1)
Besar kemungkinan kolom-kolom matriks-X yang dihasilkan tidak
ortogonal. Jika kemudian menambahkan suku 𝛽𝑝+1𝑋𝑃+1 ke dalam model
semula, nilai-nilai dugaan bagi koefisien regresi lainnya juga akan berubah.
Akan tetapi jika membentuk polinom-polinom yang berbentuk
𝜓0 𝑋𝑖 = 1 polinom ordo-kenol
𝜓1 𝑋𝑖 = 𝑃1𝑋𝑖 + 𝑄1 polinom ordo-pertama
𝜓2 𝑋𝑖 = 𝑃2𝑋𝑖2 + 𝑄2𝑋𝑖 + 𝑅2 polinom ordo-kedua
.
.
.
𝜓𝑟 𝑋𝑖 = 𝑃𝑟𝑋𝑖𝑟 + 𝑄𝑟𝑋𝑖
𝑟−1 +⋯+ 𝑇𝑟 polinom ordo ke-r
Dengan sifat bahwa polinom-polinom itu ortogonal, artinya
𝜓𝑗 𝑋𝑖 𝜓𝑙 𝑋𝑖 =𝑛𝑖=1 0 𝑗 ≠ 𝑙 , (2.6.2)
Untuk semua 𝑗, 𝑙 < 𝑛 − 1, maka dapat menuliskan model semula
menjadi
𝑌 = 𝛼0𝜓0 𝑋 + 𝛼1𝜓1 𝑋 + ⋯+ 𝛼𝑝𝜓𝑝 𝑋 + 𝜀. (2.6.3)
Dengan demikian matriks-X nya adalah
𝑋 =
1 𝜓1 𝑋1 𝜓2 𝑋1 … 𝜓𝑝 𝑋1
1⋮1
𝜓1 𝑋2
𝜓1 𝑋𝑛
𝜓2 𝑋2
𝜓2 𝑋𝑛
………
𝜓𝑝 𝑋2
𝜓𝑝 𝑋𝑛
(2.6.4)
Sehingga
𝑋′𝑋 =
𝐴00 0
𝐴11
0
𝐴22
⋱𝐴𝑝𝑝
(2.6.5)
10
Dimana 𝐴𝑗𝑗 = 𝜓𝑗 𝑋𝑖 2𝑛
𝑗=1 karena semua suku di luar diagonal
menurut persamaan (2.6.2) karena matriks kebalikan (𝑋′𝑋)−1 juga diagonal
dan diperoleh dengan cara membalik setiap unsur diagonal matriks (𝑋′𝑋),
maka melalu metode kuadrat terkecil diperoleh nilai dugaan bagi 𝛼𝑗 , yaitu
𝛼𝑗 = 𝑌𝑖𝜓 𝑗 𝑋𝑖 𝑛𝑖=1
𝜓 𝑗 𝑋𝑖 2𝑛
𝑖=1
, 𝑗 = 0,1, 2,… , 𝑝
=𝐴𝑗𝑌
𝐴𝑗𝑗 (2.6.6)
Dengan notasi yang maksudnya jelas. Karena 𝑉 𝑏 = (𝑋′𝑋)−1𝜎2 untuk
model regresi secara umum maka jelaslah bahwa ragam bagi 𝑎𝑗 adalah
𝑉 𝑎𝑗 =𝜎2
𝐴𝑗𝑗 (2.6.7)
Dan seperti biasanya 𝜎2 diduga dari tabel analisis ragamnya. Jumlah
kuadrat untuk 𝑎𝑗 dihitung menurut rumus
𝐽𝐾 𝑎𝑗 =𝐴𝑗𝑟
2
𝐴𝑗𝑗 (2.6.8)
Sehingga disusun tabel analisis ragam sebagai berikut:
Tabel 2.1 Analisis Ragam
Sumber Db JK KT
𝑎0 (nilai tengah) 1 𝐽𝐾𝑎0 -
𝑎1 1 𝐽𝐾𝑎1 𝐽𝐾𝑎1
𝑎2 1 𝐽𝐾𝑎2 𝐽𝐾𝑎2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑝 1 𝐽𝐾𝑎𝑝 𝐽𝐾𝑎𝑝
Sisa n-p-1 Melalui pengurangan 𝑠2
Total N 𝑌𝑗2𝑛
𝑖=1
Sumber: Analisis Regresi Terapan Norman Draper Harry Smith
11
2.7 Pentransformasian Matriks X untuk Memperoleh Kolom-kolom
Ortogonal
Matriks X dalam masalah regresi haruslah memiliki kolom-kolom yang
tidak saling berkombinasi, begitu juga dengan barisnya. Banyaknya baris
yang tidak saling tergantung sama banyaknya dengan parameter yang harus
diduga.
Untuk mendeteksi keterkaitan pada masalah regresi sering kali sulit.
Jika terdapat ketergantungan maka matriks X’X-nya akan singular sehingga
tidak dapat balik. Bila kolom-kolom matriks X hampir saling tergantung,
matriks X’X-nya akan hampir singular sehingga kesalahan dalam pembalikan
dan pembulatannya akan menjadi sulit juga.
Salah satu prosedur yang dapat diprogramkan dan digunakan sebagai
pengecakan rutin terhadap matriks X (apakah untuk semua kasus atau kasus
yang dicurigai saja) adalah berupa pentransformasian berturut-turut kolom-
kolomnya sehingga setiap kolom yang baru ortogonal terhadap semua kolom
sebelumnya yang telah ditransformasi, sehingga dapat diketahui bahwa:
1. Kalau ada ketergantungan kolom, maka nilai kolom tersebut adalah 0.
2. Kalau kolom hampir tergantung, maka akan diperoleh kolom yang
unsurnya sangat kecil atau bahkan ada beberapa 0.
Transformasi kolom berlangsung sebagai berikut:
𝑍𝑖𝑇 = 𝑍𝑖 − 𝑍 𝑍′𝑍 −1 − 𝑍′𝑍𝑖 (2.7.1)
Dimana:
𝑍 = matriks vektor kolom yang telah ditransformasikan
𝑍𝑖 = vektor kolom yang akan ditransformasikan berikutnya
𝑍𝑖𝑇 = vektor yang telah ditransformasi yang ortogonal terhadap vektor-
vektor yang sudah ada dalam 𝑍
12
Untuk mengilustrasikan proses ini menggunakan kasus khusus yang
akan membawa memperoleh polinom ortogonal untuk 𝑛 = 5. Misalkan nilai-
nilai 𝑌 dicatat pada 𝑋 =1,2,3, dan 5 dan model yang dipostulatkan adalah
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽3𝑋
3 + 𝜀 (2.7.2)
Matriks 𝑋 asalnya adalah
𝑋 =
1 1 1 11 2 4 8111
345
91625
2764
125
(2.7.3)
Kemudian pada tahap pertama ambil satu vektor kolom untuk
memprosesnya, sehingga
1. 𝑍1𝑇 =
11111
= 𝑍 (2.7.4)
2. 𝑍2 =
12345
(2.7.5)
3. Maka menurut persamaan (2.7.1), maka 𝑍2𝑇 =
12345
−
11111
(5)−1−(15)
=
12345
−
33333
=
−2−1012
(2.7.6)
Sehingga diperoleh 𝑍 = 𝑍1𝑇 , 𝑍2𝑇 =
1 − 21 − 11 01 11 2
(2.7.7)
13
Cara perhitungan untuk kolom ke-3 dan 4 juga sama, hingga
diperoleh hasil akhir
1 −2 2 −1.21 −1 −1 2.4111
012
−2−12
0
−2.41.2
(2.7.8)
Dari proses tersebut dapat diketahui bahwa:
1. Tiga kolom pertama adalah 𝜓0,𝜓1 ,𝜓2yakni polinom ortogonal ordo
kenol, pertama, dan kedua untuk 𝑛 = 5. Kolom keempat adalah 1.2
kali 𝜓3, polinom ortogonal ordo ketiga untuk 𝑛 = 5.
2. Proses ini berlaku umum. Ketergantungan kolom juga dapat
dideteksi dengan memperhatikan determinasi matriks 𝑋′𝑋-nya
(matriks korelasinya) adalah 0.
3. Kelebihan prosedur ini adalah bisa menunjukkan pada kolom-kolom
yang bersifat tergantung.
2.8 Analisis Regresi untuk Data Ringkasan
Misalkan mempunyai 𝑘 gugus amatan berulang
𝑌𝑖𝑢 , 𝑢 = 1,2,… , 𝑛𝑗 , 𝑖 = 1,2,… , 𝑘, namun karena datanya telah diringkaskan,
amatan aslinya tidak lagi diketahui melainkan 𝑘 rata-rata 𝑌 𝑖 dan 𝑘 ragam
contoh (yang merupakan dugaan bagi 𝜎2 adalah
𝑠𝑖2 = 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖
2/(𝑛𝑖 − 1)𝑛𝑖𝑢 (2.8.1)
Untuk tujuan memperoleh koefisien regresi, maka lanjutkan seolah-olah
𝑌𝑖𝑢 = 𝑌 𝑖 . Misalkan jika 𝑌 𝑖 adalah rataan antara seluruhnya, maka sumbangan
pada jumlah kuadrat terkoreksi (yang salah) menjadi 𝑌𝑖𝑢 −𝑛𝑖𝑢=1
𝑌 𝑖 2 =𝑛𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌
2, padahal sesungguhnya adalah 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖 2𝑛𝑖
𝑢=1 .
Akan tetapi dapat ditunjukkan menjadi 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖 2 =𝑛𝑖
𝑢=1
{ 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖 𝑛𝑖𝑢=1 + 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖 } = 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖
2 =𝑛𝑖𝑢=1 𝑛𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌
2.
Karena suku hasil kali saling menghilangkan dalam proses penjumlahan
itu. Untuk memperoleh sumbangan yang benar maka harus menambahkan
𝑛𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌 2 besaran 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖
2 =𝑛𝑖𝑢=1 (𝑛𝑖 − 1)/ 𝑠𝑖
2.
14
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Soal Studi Kasus
Diketahui data tahunan suatu perusahaan sebagai berikut:
Tabel 3.1 Data Tahunan
x (tahun) 1980 1981 1982 1983 1984 1985
y (hasil) 10,0 11,2 13,5 15,4 16,3 16,8
Sumber: Analisis Regresi RK Sembiring
Dengan menggunakan polinom ortogonal, tentukan persamaan polinom
ordo-ketiga dan tariklah kesimpulan yang memadai atau tidaknya model
tersebut?
3.2 Penyelesaian Studi Kasus
Tabel 3.2 Koefisien Polinom Ortogonal
n=5 n=6 n=7
𝑋𝑗 𝜓1 𝜓2 𝜓3 𝜓4 𝜓1 𝜓2 𝜓3 𝜓4 𝜓5 𝜓1 𝜓2 𝜓3 𝜓4 𝜓5 𝜓6
{𝜓1 (𝑋𝑗 )2
𝑛
𝑗=1
1 -2 2 -1 1 -5 5 -5 1 -1 -3 5 -1 3 -1 1
2 -1 -1 2 -4 -3 -1 7 -3 5 -2 0 1 -7 4 -6
3 0 -2 0 6 -1 -4 4 2 -10 -1 -3 1 1 -5 15
4 1 -1 -2 -4 1 -4 -4 2 10 0 -4 0 6 0 -20
5 2 2 1 1 3 -1 -7 -3 -5 1 -3 -1 1 5 15
6 5 5 5 1 1 2 0 -1 -7 -4 -6
7 3 5 1 3 1 1
10 14 10 70 70 84 180 28 252 28 84 6 154 84 924
𝜆 1 1 5
6
36
12 2
3
2
5
3
7
12
21
10 1 1
1
6
7
12
7
20
77
60
Sumber: Analisis regresi terapan Norman Draper Harry Smith
Pada tabel 3.2 untuk 𝑛 = 6, dapat dibaca nilai polinom 𝜓1 ,𝜓2 ,𝜓3 ,𝜓4 ,
dan 𝜓5 pada masing-masing 𝑥1,… ,𝑥6 (setelah peubah bebas 𝑥
ditransformasikan), nilai 𝜓𝑖2(𝑥𝑗 )
𝑛𝑗=1 , dan nilai koefisien 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, 𝜆4, dan
𝜆5.
Berikut diberikan kelima polinom ortogonal bila 𝑥 menyatakan rata-
rata 𝑥 yang semula dan 𝑑 jarak antara pengamatan 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2,… ,𝑛.
15
𝜓0 𝑥𝑖 = 1
𝜓1 𝑥𝑖 = 𝜆1 𝑥𝑖−𝑥
𝑑
𝜓2 𝑥𝑖 = 𝜆2 𝑥𝑖−𝑥
𝑑
2
− 𝑛2−1
12
𝜓3 𝑥𝑖 = 𝜆3 𝑥𝑖−𝑥
𝑑
3
− 𝑥𝑖−𝑥
𝑑
3𝑛2−7
20
𝜓4 𝑥𝑖 = 𝜆4 𝑥𝑖−𝑥
𝑑
4
− 𝑥𝑖−𝑥
𝑑
2
3𝑛2−13
14 +
3(𝑛2−1)(𝑛2−9)
560
Misalkan dicobakan model:
𝑦 𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1𝜓1 𝑥𝑖 + 𝑏2𝜓2 𝑥𝑖 + 𝑏3𝜓2 𝑥𝑖
Dari tabel 3.1 untuk untuk 𝑛 = 6, dapat dibaca 𝜓𝑗2(𝑥𝑖)
𝑛𝑗=1 dan 𝜆𝑗
untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5. Jadi (lihat persamaan (2.6.5))
𝑋′𝑋 =
6 00 70
0 00 0
0 00 0
84 00 180
𝑋′𝑌 =
𝜓0(𝑥𝑖)𝑦𝑖 𝜓1(𝑥𝑖)𝑦𝑖 𝜓2(𝑥𝑖)𝑦𝑖 𝜓3(𝑥𝑖)𝑦𝑖
=
83,251,2−9,1−9,3
Sehingga diperoleh
𝑏 = 𝑋′𝑋 −1𝑋′𝑌 =
1
6 0 0 0
01
700 0
0 01
840
0 0 01
180
83,251,2−9,1−9,3
=
13,870,73−0,11−0,05
Jadi diperoleh persamaan
𝑦 𝑖 = 13,87 + 0,73𝜓1 𝑥𝑖 − 0,11𝜓2 𝑥𝑖 − 0,05𝜓2 𝑥𝑖
Tabel 3.3 Tabel Analisis Variansi
Sumber JK dk KT F 𝜓
Regresi 38,915 3 12,972 164,35 0,06
Sisa 0,158 2 0,079
Total 39,073 5
16
Tabel analisis variansi diberikan di tabel 3.3 kecocokan model polinom
derajat 3 terlihat sangat baik dengan data, tetapi dari segi kesederhanaan
model barangkali lebih baik menggunakan model polinom berderajat 2, atau
mungkin sebaiknya derajat satu saja. Hal ini mengingat ukurannya hanya
𝑛 = 6. Mengambil model derajat 3 berarti memberi kepercayaan yang nisbi
tinggi pada data yang dipinggir.
17
BAB IV
KESIMPULAN
Polinom ortogonal digunakan dalam menghampiri suatu kurva, artinya suatu
kurva selalu dapat dihampiri oleh suatu deret polinom. Melalui polinom ordo-
kedua dapat dibuat suatu garis lurus, melalui polinom ordo-ketiga dapat dibuat
suatu parabol, dan seterusnya atau melalui n titik dapat dibuat suatu polinom
derajat n-1.
Persamaan regresi polinom ortogonal menginginkan derajat serendah
mungkin tapi dengan kecocokan yang cukup tinggi. Kesederhanaan model akan
selalu merupakan pegangan umum dalam pembentukan suatu model, maka makin
sederhana suatu model makin baik model tersebut. Model polinom ortogonal
dituliskan 𝑌 = 𝛼0𝜓0 𝑋 + 𝛼1𝜓1 𝑋 + ⋯+ 𝛼𝑝𝜓𝑝 𝑋 + 𝜀.
18
DAFTAR PUSTAKA
Drapher, Norman and Smith, Harry. 1992. Analisis Regresi Terapan Edisi Kedua.
PT Gramedia Pustaka Utama: Jakarta
Sembiring, R. K. 1995. Analisis Regresi Edisi Kedua. Penerbit ITB: Bandung