Mühendislik Mekaniği Statik

Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Bölüm 10

Eylemsizlik Momentleri

Kaynak: ‘Mühendislik Mekaniği: Statik’, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

10. Eylemsizlik Momentleri

Bu bölümde, bir alanın ve belli bir kütleye sahip bir cismin eylemsizlik momentini belirlemek için kullanılan yöntemi inceleyeceğiz. Alan eylemsizlik momenti, analiz ve tasarımlar yapılırken gerekli olduğundan, mühendislikte önemli konulardandır. Kütle eylemsizlik momenti de cismin hareketi incelenirken gerekli olmaktadır. 9. Bölümde bir alanın geometrik merkezini alanın bir eksene göre birinci momentini ele alarak belirledik. Hesaplamada 𝑥𝑑𝐴 şeklideki

bir integralle karşılaştık. Bir alanın 𝑥2𝑑𝐴 gibi ikinci momentinin

integralleri, alanın eylemsizlik momenti olarak adlandırılır.

10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı

Bir alanın eylemsizlik momenti, moment ekseninden itibaren lineer olarak değişen bir yayılı yükün momentini hesaplamak gerektiğinde ortaya çıkar.

y2dA integrali, x eksenine göre alanın eylemsizlik momentidir.

10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı

Eylemsizlik Momenti.

dA diferansiyel elemanın x ve y eksenlerine göre eylemsizlik momentleri, sırasıyla dIx=y2dA ve dIy=x2dA ile tanımlanır. Tüm alan için eylemsizlik momentleri integralle belirlenir:

10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı

Eylemsizlik Momenti.

dA diferansiyel alanının O kutbuna veya z eksenine göre ikinci momenti: dJO=r2dA olarak verilir. Buna kutupsal eylemsizlik momenti adı verilir. Buradaki r, dA elemanının kutba (z eksenine) uzaklığını gösterir. Tüm alanın kutupsal eylemsizlik momenti:

10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı

Eylemsizlik Momenti.

Eylemsizlik momenti birimleri, uzunluğun dördüncü kuvvetini içermektedir.

r2=x2+y2 olduğundan, JO ile Ix ve Iy arasında bir bağıntı olduğu açıktır.

Formüllerden JO ile Ix ve Iy’nin daima pozitif olduğu görülmektedir.

10.2 Alan için Paralel Eksen Teoremi

Bir alanın geometrik merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti biliniyorsa, paralel eksen teoremi kullanılarak bu eksene paralel başka bir eksene göre eylemsizlik momentini belirlemek mümkündür.

Birinci integral, alanın geometrik merkez eksenine göre eylemsizlik momentidir. İkinci integral sıfırdır. Üçüncü integral toplam alanı verir.

10.2 Alan için Paralel Eksen Teoremi

Benzer ifadeler Iy ve JO için de yazılabilir.

Bu denklemlerin her biri, bir alanın bir eksene göre eylemsizlik momentinin, alanın geometrik merkezinden geçen paralel bir eksene göre eylemsizlik momenti ile alanın eksenler arasındaki uzaklığın karesiyle çarpımının toplamına eşit olduğunu ifade eder.

10.2 Alan için Paralel Eksen Teoremi

Bu kirişin mukavemet ve yer değiştirmesinin belirlenebilmesi için, kirişin kesit alanının eylemsizlik momentinin hesaplanması gerekir.

10.3 Alanın Eylemsizlik Yarıçapı

Bir düzlemsel alanın eylemsizlik yarıçapı uzunluk birimindedir. Kolonların tasarımında sıkça kullanılan bir büyüklüktür. Alanlar ve eylemsizlik momentleri biliniyorsa, yandaki formüller yazılabilir. Bu denklemler kolayca hatırlanabilir. Çünkü, bir diferansiyel alanın bir eksene göre eylemsizlik momentini bulurken kullanılan denkleme benzemektedir. Örneğin, Ix=kx

2A iken, bir diferansiyel eleman için dIx=y2dA’dır.

10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması

Bir düzlemsel alanın sınırları matematiksel fonksiyonlarla ifade edilebiliyorsa, alanın eylemsizlik momentlerini belirlemek için aşağıdaki denklem kullanılabilir.

İntegrasyon için seçilen alan elemanı, şekildeki gibi iki doğrultuda diferansiyel boyuta sahipse, eylemsizlik momenti iki katlı integralle hesaplanır. Ancak, çoğu kez sadece bir doğrultuda diferansiyel boyuta veya kalınlığa sahip eleman seçilerek integral hesaplamak çok daha kolaydır.

Analizde İzlenecek Yol. Bir alanın bir eksene göre eylemsizlik momenti tek bir integral işlemi ile belirlenecekse, önce dA elemanını belirlemek gerekir. Bu eleman, çoğu kez bir sonlu uzunluk ve diferansiyel genişlik içeren bir dikdörtgen olur. Eleman, alanın sınırını keyfi (x, y) noktasında kesecek şekilde olmalıdır. Elemanın konumunu eylemsizlik momenti belirlenecek eksene göre seçmek için kullanılabilecek iki yol vardır.

10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması

1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel seçilebilir. Bu hal, alanın Iy eylemsizlik momentini belirlemek için şekildeki dikdörtgen eleman kullanılırsa söz konusu olur.

10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması

Bu durumda, Iy= x2dA doğrudan

uygulanabilir. Çünkü, eleman sonsuz küçük dx kalınlığına sahiptir ve dolayısıyla elemanın bütün parçaları y ekseninden x moment kolu mesafesinde bulunur.

1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel seçilebilir. Bu hal, alanın Ix eylemsizlik momentini belirlemek için şekildeki dikdörtgen eleman kullanılırsa söz konusu olur.

10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması

Bu durumda, Ix= y2dA doğrudan

uygulanabilir. Çünkü, eleman sonsuz küçük dy kalınlığına sahiptir ve dolayısıyla elemanın bütün parçaları x ekseninden y moment kolu mesafesinde bulunur.

2. Hal. Elemanın uzunluğu eksene dik seçilebilir. Burada önceki denklemler kullanılamaz, çünkü elemanın bütün parçaları ilgili eksenlerden aynı moment kolu mesafesinde değildir.

10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması

Örneğin, alanın Iy’sini belirlemek için şekildeki eleman kullanılırsa, önce elemanın kendi geometrik merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti hesaplanmalı, daha sonra paralel eksenler teoremi kullanılarak elemanın y eksenine göre eylemsizlik momenti belirlenmelidir.

Örnek 10-1

Şekilde gösterilen dikdörtgensel alanın: (a) x’ geometrik merkez eksenine göre, (b) Dikdörtgenin tabanından geçen xb eksenine

göre ve (c) x’ – y’ düzlemine dik olan ve C alan

merkezinden geçen kutba veya z’ eksenine göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.

Örnek 10-1

1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel seçilir.

(a).

(c).

(b).

Örnek 10-2

Şekilde gösterilen taralı alanın x eksenine göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.

Örnek 10-2

1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel.

Örnek 10-2

2. Hal. Elemanın uzunluğu eksene dik.

Örnek 10-3

Şekilde gösterilen dairenin x eksenine göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.

Örnek 10-3

1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel.

Örnek 10-3

2. Hal. Elemanın uzunluğu eksene dik.

10.5 Bileşik Alanların Eylemsizlik Momentleri

Bileşik alanlar, yarım daire, dikdörtgen ve üçgen gibi bir dizi bitişik «basit» parça veya şekilden oluşur. Bileşik alanın eylemsizlik momenti, tüm parçaların eylemsizlik momentlerinin cebirsel toplamına eşit olur.

Örnek 10-5

Şekilde gösterilen bileşik alanın x eksenine göre eylemsizlik momentini hesaplayınız.

Örnek 10-5

Daire

Dikdörtgen

Toplam

Örnek 10-6

Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının x ve y geometrik merkez eksenlerine göre eylemsizlik momentini hesaplayınız.

Örnek 10-6

A ve D Dikdörtgenleri

B Dikdörtgeni

Toplam

*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti

Bir alanın eylemsizlik momenti genellikle hesaplanan her eksen için farklı olur. Yapı veya mekanik tasarım uygulamalarında, alan için maksimum ve minimum eylemsizlik momentlerini veren eksenlerin yöneliminin bilinmesi gerekir.

Bu eksenlerin yöneliminin belirlenebilmesi için öncelikle çarpım eylemsizlik momentlerinin belirlenmesi gerekir.

*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti

Seçilen alan elemanı, şekildeki gibi, iki doğrultuda diferansiyel boyuta sahipse, Ixy’nin bulunması için iki katlı integral alınması gerekir. Ancak, sadece bir doğrultuda diferansiyel boyuta sahip bir eleman seçilirse, tek bir integral işlemi yeterli olur.

*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti

x veya y ekseni alanın simetri ekseni ise Ixy sıfır olur. Şekildeki (x,y) konumlu her dA elemanına, (x,-y) konumlu bir dA elemanı karşı gelir. Bu elemanların çarpım eylemsizlik momentleri sırasıyla xydA ve –xydA olduğundan, bu şekilde seçilen bütün elemanların cebirsel toplamı veya integrali birbirini götürür.

*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti

Ixy’nin büyüklüğünün «işareti», alanın koordinat sisteminde yer aldığı çeyrek bölgeye bağlıdır.

dA’nın x ve y eksenlerine göre çarpım eylemsizlik momenti ise, tüm alan için olur.

*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti

Paralel Eksen Teoremi.

Örnek 10-7

Şekilde gösterilen üçgenin Ixy çarpım eylemsizlik momentini hesaplayınız.

Örnek 10-7 Çözüm I

Örnek 10-7 Çözüm II

Örnek 10-8

Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının x ve y geometrik merkez eksenlerine göre çarpım eylemsizlik momentini hesapla-yınız.

Örnek 10-8 A Dikdörtgeni

B Dikdörtgeni

D Dikdörtgeni

Toplam

*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri

Tasarımlarda bazen θ, Ix, Iy ve Ixy biliniyorken, bir u, v eğik eksen takımına göre Iu, Iv ve Iuv eylemsizlik momentlerini hesaplamak gerekir. Bunun için, x ve y’yi u ve v koordinatlarına bağlayan dönüşüm denklemlerini kullanırız.

dA’nın u, v eksenlerine göre eylemsizlik momentleri

*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri

*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri

Birinci ve ikinci denklemler taraf tarafa toplanırsa, O noktasından geçen z eksenine göre kutupsal eylemsizlik momentinin, u ve v eksenlerinin yöneliminden bağımsız olduğu görülür.

*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri

Şimdi, alanın Iu ve Iv eylemsizlik momentlerinin maksimum olduğu u, v eksenlerinin yönelimini belirleyeceğiz. Bu özel eksen takımına alanın asal eksenleri ve bu eksenlere göre eylemsizlik momentlerine de asal eylemsizlik momentleri denir.

Asal Eylemsizlik Momentleri.

*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri

Bu denklemin, birbirinden 90˚ farklı, asal eksenlerin eğimini belirten iki kökü vardır.

Asal Eylemsizlik Momentleri.

Asal eksenler için Iuv=0’dır. Yani, herhangi bir simetri ekseni alanın bir asal eylemsizlik eksenini gösterir.

Örnek 10-9

Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının geometrik merkezden geçen bir eksene göre asal eylemsizlik momentlerini hesaplayınız.

Örnek 10-9

*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi

Yukarıdaki denklemler, kullanımı ve hatırda tutulması kolay olan grafiksel bir çözüme sahiptir. Soldaki denklemlerin birinci ve üçüncüsünün kareleri alınır ve sonuçlar topmanırsa, aşağıdaki ifade elde edilir.

*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi

Verilen bir problemde, Iu ve Iuv değişkendir ve Ix, Iy ve Ixy bilinen sabitlerdir. Buna göre, aşağıdaki ifade yazılabilir.

Bu denklemin koordinat eksenleri sırasıyla eylemsizlik momenti ve çarpım eylemsizlik moment eksenleri alınarak grafiği çizilirse, a=(Ix+Iy)/2 olmak üzere, (a,0) merkezli ve R yarıçaplı bir çember elde edilir.

Bu çembere, Mohr çemberi denir.

*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi

Bu çembere, Mohr çemberi denir.

Küçük asal eylemsizlik momenti ekseni, Imin

Büyük asal eylemsizlik momenti ekseni, Imaks

Küçük asal eylemsizlik momenti ekseni, Imin

Büyük asal eylemsizlik momenti ekseni, Imaks

Analizde İzlenecek Yol. Mohr çemberinin kullanılmasındaki temel amaç, Ix, Iy ve Ixy’nin asal eylesizlik momentlerine dönüşümü için uygun bir araç oluşturmaktır.

*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi

Ix, Iy ve Ixy. Alan için, P noktası orijinli x, y eksenleri oluşturulur ve Ix, Iy ve Ixy belirlenir.

Çember. Apsisi I ve ordinatı Ixy olan bir dik koordinat sistemi oluşturulur. Çemberin, orijinden (Ix+Iy)/2 uzaklıkta bulunan O merkezi belirlenir ve (Ix, Ixy) koordinatlı A referans noktası işaretlenir.

*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi

Tanım gereği, Ix daima pozitiftir, Ixy pozitif veya negatif olabilir. A noktası çemberin merkeziyle birleştirilir ve trigonometri yardımıyla OA uzaklığı belirlenir. Bu uzaklık, çemberin yarıçapını gösterir. Asal Eylemsizlik Momentleri. Çemberin apsisi kestiği noktalar Imin ve Imaks değerlerini verir. Bu noktalarda Ixy sıfırdır.

*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi

Asal Eksenler. Büyük asal eksenin doğrultusunu belirlemek için, trigonometri yardımıyla OA yarıçapından pozitif I eksenine doğru ölçülen 2θp1 açısı belirlenir. Bu açı, söz konusu alanın x ekseninden Imaks eksenine doğru ölçülen açının iki katını gösterir. Çemberdeki 2θp1 açısı ile alanda x ekseniyle yapılan θp1 açısı aynı yönde ölçülmelidir. Imin ekseni Imaks eksenine diktir.

Örnek 10-10

Mohr çemberini kullanarak şekilde gösterilen kirişin kesit alanının geometrik merkezden geçen bir eksene göre asal eylemsizlik momentlerini hesaplayınız.

Örnek 10-10 Ix, Iy ve Ixy.

Çember.

Asal Eylemsizlik Momentleri.

Örnek 10-10

Asal Eksenler.

10.9 Kütle Eylemsizlik Momenti

Bir cismin kütle eylemsizlik momenti, cismin açısal ivmesine direncini ölçen bir özelliktir. Dinamikte, dönme hareketinin incelenmesinde kullanılır. Birimi kg·m2’dir.

Kütle eylemsizlik momenti, cismi oluşturan bütün dm kütle elemanlarının bir eksene göre ikinci momentlerinin integrali olarak tanımlanır.

G kütle merkezinden geçen eksene göre hesaplanan eylemsizlik momenti IG ile gösterilir.

Örnek 10-11

Şekilde gösterilen silindirin z eksenine göre eylemsizlik momentini hesaplayınız. Malzemenin ρ yoğunluğu sabittir.

Örnek 10-11

10.9 Kütle Eylemsizlik Momenti

Cismin, kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti bilinirse, paralel bir eksene göre eylemsizlik momenti paralel eksen teoremi kullanılarak belirlenebilir.

Paralel Eksen Teoremi.

10.9 Kütle Eylemsizlik Momenti

Bazen bir cismin özel bir eksene göre eylemsizlik momenti, kitaplarda eylemsizlik yarıçapı, k, kullanılarak verilir. Bu, uzunluk birimindedir ve bu değer ve cismin m kütlesi bilindiği zaman, eylemsizlik momenti belirlenebilir.

Eylemsizlik Yarıçapı.

Örnek 10-13

Gösterilen plağın yoğunluğu 8000 kg/m3 ve kalınlığı 0.01 m olduğuna göre, O noktasından geçen ve sayfa düzlemine dik eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayınız. Kalınlık 0.01 m

Örnek 10-13

Kalınlık 0.01 m

Disk.

Delik.

Örnek 10-14

Sarkaç, şekilde gösterildiği gibi, O noktasından asılı her biri 10 lb ağırlığındaki iki ince çubuktan oluşmuştur. Sarkacın, (a) O’daki pimden, (b) G kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.

Örnek 10-14 (a). OA Çubuğu

Aynı değer paralel eksen teoremi ile de hesaplanabilirdi.

BC Çubuğu

Örnek 10-14 (b).