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7/25/2019 Mtodos de Euler y Runge-Kutta
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Mtodos de Eul
Runge-KuttaCarlos Andres Medina Linares
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Mtodo de Euler
Este mtodo se aplica para encontrar la solucin a ecudiferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la funcin insolo una variable independiente:
nterpretando la e!d!o! como un campo de direcciones en e" la condicin inicial como un punto de dic#o plano, papro$imar la funcin solucin por medio de la recta tan%emisma &ue pasa por ese punto:
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Mtodo de Euler
Consiste en dividir los intervalos &ue va de a en subintervaanc#o o sea:
De manera &ue se obtiene un conunto discreto de punt
intervalo inters ara cual&uier de estos puntos se cumple
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Mtodo de Euler
La condicin inicial , representa el punto por donde pasa lsolucin de la ecuacin del planteamiento inicial, la cdenotar* como
+a teniendo el punto se puede evaluar la primara derivadaese punto por lo tanto:
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Mtodo de Euler
Con esta informacin setra-a una recta, a&uella &uepasa por " de pendienteEsta recta apro$ima en unavecindad de ! .mese larecta como reempla-o de "local/cese en ella (la recta)el valor de correspondientea Entonces, podemosdeducir se%0n la %r*1ca:
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Mtodo de Euler
2e resuelve para
Es evidente &ue la ordenada calculada de esta manera no a pues e$iste un pe&ue3o error! 2in embar%o, el valor sir
&ue se apro$ime en el punto " repetir el procedimiento an
1n de %enerar la sucesin de apro$imaciones si%uientes:
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Mtodo de Euler
!
!
!
!
!
!
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Eemplo
Calculamos el valor de tomando en cuenta &ue el vdivisiones es de por lo tanto &uedar/a as/:
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Eemplo
Antes de aplicar el mtodo, veamos un es&uema detrabaar/a el mtodo en este caso concreto:
Los valores iniciales de " vienes dados por:
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Eemplo
.eniendo dic#os valores podemos comen-ar con el mto#ar*n apro$imaciones de #asta trece decimales! La funcise evaluara en %rados!
or lo &ue el resultado obtenido es:
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Eemplo
osteriormente procederemos a encontrar el valor relativo valor e$acto de la ecuacin &ue es
4inalmente se calcula el error relativo:
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Mtodo de Euler Meorado
Meoremos el mtodo de Euler
5ecordemos &ue nuestra anti%ua ecuacin era:
La idea del mtodo de Euler consist/a en reempla-ar el inte%
por (apro$imar la inte%ral por medio de un *rea de un rect*
A#ora proponemos reempla-ar el inte%rando por
As/ tenemos
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Mtodo de Euler Meorado
El problema con la ecuacin propuesta consiste en &ue sedesconoce, debido a &ue desconocemos la solucin e$acta!
Lo &ue podemos #acer es reempla-ar por su valor apro$imadeterminado por el mtodo de Euler
5epresentemos este nuevo valor por medio de
As/ la ecuacin se convierte
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Mtodo de Euler Meorado
En %eneral nuestro es&uema de recurrencia es
En el cual
Este mtodo &ue recibe el nombre de mtodo meorado de mtodo de 6eun, primero predice " lue%o corri%apro$imacin de
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Mtodo de Euler Meorado
4iado es posible obtener apro$imaciones de la solucproblema de valores iniciales
En los puntos donde
Mediante el mtodo recurrente
Donde
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Eemplo
Apli&uemos el mtodo de Euler meorado a la EDO
7tili-ando un incremento de lon%itud " midamos la mee$actitud con respecto al mtodo ordinario de Euler
Exacto
8!8 9!88888 9!88888 8
8! 9!;888 9!;?@ 8
8!@ !8=9?8 !8;;; 8
8!< !@=8@? !@>98< 8
9!8 =!;8>; =!;=@>@ 8
Exacto
8!8 9!88888 9!88888 8
8! 9!;888 9!;?@ 8
8!@ !8=9?8 !8;;; 8
8!< !@=8@? !@>98< 8
9!8 =!;8>; =!;=@>@ 8
El error %lobaldetruncamientodel mtodo esdel orden de
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Eemplo
El valor apro$imado obtenido para "(9) es =!;8>;! El error es del 9B, mientras &ue con el mtodo de Euler es del 9=B
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Mtodo de 5un%eutta
Meoremos el mtodo de Euler meorado
5ecordemos &ue nuestra anti%ua ecuacin era
La idea del mtodo de 5un%eutta consiste en apro$
inte%ral sustitu"endo el inte%rado por una par*bola
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Mtodo de 5un%eutta de cuarto orden
4iado es posible obtener apro$imaciones de la solucproblema de valores iniciales
En los puntos donde
Mediante el mtodo recurrente
Donde
El error %lobal del truncamiento del mtodo es del orden de
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Eemplo
Apli&uemos el mtodo de 5un%eutta a la EDO
7tili-ando un incremento de lon%itud
Exacto
8!8 9!88888 9!88888 8!888888! 9!;
8!< !@>98; !@>98< 8!889>
9!8 =!;=@>8 =!;=@>@ 8!889?
Exacto
8!8 9!88888 9!88888 8!888888! 9!;
8!< !@>98; !@>98< 8!889>
9!8 =!;=@>8 =!;=@>@ 8!889?
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Conclusin
El Mtodo de 5un%eutta es meor &ue el mtodo de Eulea0n as/ es posible aumentar la precisin ac#icando losentre los puntos o implementando el mtodo de orden sup
El mtodo m*s utili-ado para resolver numricamente prode ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones
es el mtodo de 5un%eutta, el cual proporciona un pmar%en de error con respecto a la solucin real del problef*cilmente pro%ramable en un softare para reali-ar iternecesarias!