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Departamento de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Sólidos IParte 5 – Tensões de Flexão
Prof. Arthur M. B. Braga
2008.1
Mecânica dos Sólidos I
Mecânica dos Sólidos
ProblemaCorpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar• Esforços internos (tensões)• Deformações• Deslocamentos
Mecânica dos Sólidos I
Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas
F7
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F8
P (x,y,z) ),,( zyxσ
x
z
y
σxyσxx
σxz
σzyσzx
σzz
σyy
σyx
σyz
Mecânica dos Sólidos I
F
Barras Carregadas Axialmente
Fσxx
z
y
x
σxx
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000xx
σσ
AF
xx =σ
Mecânica dos Sólidos I
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
JTrr =)(τ
1φ
xT
T2φ
GJTL
=∆φ
Mecânica dos Sólidos I
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção
A
xT
T
y
zA
x
y
z)0(>= xzστ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000
00
xz
xz
σσ
σ
JTDDxz 2
)2( ==τσ
Mecânica dos Sólidos I
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)
p
tPD2
=θθσ
tPD
xx 4=σ
xxσ
θθσ
Vasos cilíndricos
Mecânica dos Sólidos I
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)
p
tPD4
=θθσ
tPD4
=ϕϕσϕϕσ
θθσ
Vasos esféricos
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Momento fletor e esforço cortante atuando na seção transversal de uma viga carregada no plano xy
x
y
zM
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Seção tranversal simétrica em relação ao plano xy
x
y
z
y
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Flexão Pura
x
yM M
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Flexão Pura (viga de seção transversal simétrica)
A B C
D E F
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
A′ B′ C′
D′ E′ F ′
OFlexão Pura
M M
φ∆φ∆
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Curvatura
O
O′
φ∆
φ∆φ
s∆
ρ
B
C
A curvatura no ponto B édefinida como:
ρφφ 11limlim
00=
′=
∆∆
==→∆→∆ BOsds
dkssy
x
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
A′ B′ C′
D′ E′ F ′
OFlexão Pura
M M
φ∆φ∆
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
M NI J y x
y
Deformação do segmento IJ
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Eixo Neutro(deformação nula)
Compresão
M ′ N ′
I ′ J ′
Tração
ρ
y−ρ
y
NMNMJI
IJIJJI
xx ′′′′−′′
=−′′
=ε
Deformação do segmento IJ
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
φρ ∆=′′NMDeformação do segmento IJ
φρ ∆−=′′ )( yJI
Eixo Neutro(deformação nula)
Compresão
M ′ N ′
I ′ J ′
Tração
ρ
y−ρ
y
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Deformação longitudinal
NMNMJI
IJIJJI
xx ′′′′−′′
=−′′
=ε
φρ ∆=′′NM
φρ ∆−=′′ )( yJI
ydydy
xxφ
ρε −=−=
Deformação cisalhante
021
== xyxy γε
Simetria (flexão pura)
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Relação tensão vs. deformação
( )[ ]ρ
σσνσε yE zzyyxxxx −=+−=1
022
1===
Gxy
xyxy
σγε
022
1===
Gxz
xzxzσγε
Tensões cisalhantes são nulas no caso de flexão pura
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Equilíbrio
x
y
M
Axx ∆σ
z
y
z
MdAyM
dAzM
dAF
A xxz
A xxy
A xxx
=−=
==
==
∫∑∫∑∫∑
σ
σ
σ
0
0
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
• Hipótese:
• Balanço de forças na direção longitudinal
0=== yzzzyy σσσ
ydsdEyExxφ
ρσ −=−=
0=−=−== ∫∫∫∑ dAyEdAyEdAFAAA xxx ρρ
σ
Eixo neutro está localizado sobre o centróide da área da seção transversal
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
• Balanço de momentos na direção y
0=−=−== ∫∫∫∑ dAyzEdAzyEdAzMAAA xxy ρρ
σ
Simetria da seção transversal em relação ao plano xy 0=⇒ ∫ dAyz
A
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
• Balanço de momentos na direção z
MdAyEdAyEdAyMAAA xxz ===−= ∫∫∫∑ 2
2
ρρσ
dAyIA∫=
2 Momento de inércia da área da seção transversal
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
⇒==
IMy
EIMy
EIM
dsd
xx
xx
σ
ε
ρφ 1
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
xxσ
x
y
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000)(
),,(y
zyxxxσ
σ
IMyyxx −=)(σ
Tensões Normais de Flexão
MM
Mecânica dos Sólidos I
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
F
x
y
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000),(
),,(yx
zyxxxσ
σ
IxMyyxxx)(),( −=σ
Tensões Normais de Flexão
xxσ
Mecânica dos Sólidos I
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Mecânica dos Sólidos I
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
P
Lâminas “Coladas”
Mecânica dos Sólidos I
P
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Lâminas Independentes
Mecânica dos Sólidos I
P
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Mecânica dos Sólidos I
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Lâminas “Coladas” Lâminas Independentes
Tensões de cisalhamento horizontais impedem o deslizamento entre as lâminas
Lâminas deslizam umas sobre as outras
Mecânica dos Sólidos I
xyσ
Flexão de Vigas
Tensões de Cisalhamento devido à flexão
Forças de cisalhamento
horizontal
Tensões Cisalhantes
xyσ
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
)(xq
)( xxM ∆+
)( xxV ∆+)(xM
)(xV
x
y
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Equilíbrio horizontal (direção x)
y
x
),( yxxxx ∆+σ),( yxxxσ
y
xz
y
xz
y
xz
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Equilíbrio horizontal (direção x)
21
2
0),(),()( 22
cyccy
dAxxdAxyVc
y xx
c
y xxH
<<−<<
=∆++−− ∫∫ξ
ξσξσ
y
),( yxxxx ∆+σ
),( yxxxσ2c
1cx
ξ)(yVH
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Equilíbrio horizontal (direção x)
IxxMxx
IxMx
xybyyV
dAxxdAxyV
xx
xx
xyH
c
y xx
c
y xxH
)(),(
)(),(
)()()(
0),(),()( 22
∆+−=∆+
−=
∆=
=∆++−− ∫∫
ξξσ
ξξσ
σ
ξσξσ
),( yxxxx ∆+σ
),( yxxxσ
)(yVH
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Equilíbrio horizontal (direção x)
0)()()()( 22 =∆+
−+∆− ∫∫c
y
c
yxy dAI
xxMdAI
xMxyby ξξσ
definindo ∫=2)(
c
ydAyQ ξ
xM
ybIyQ
xxMxxM
ybIyQyxy ∆
∆−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∆−∆+
−=)()()()(
)()()(σ
fazendo e recordando que dxdMxV −=)(0→∆x
IybyQxVyxy )()()()( =σ
),( yxxxx ∆+σ
),( yxxxσ
)(yVH
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Exemplo: Viga de seção retangular
y
zh
b
ξdbdAbhIhyhbyb ==<<−= ,12,22,)( 3
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−== ∫
22 2
418
)(hybhdbyQ
h
yξξ
IybyQxVyxy )()()()( =σ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
4123)(
hy
bhVyxyσ
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Viga de seção retangular:
y
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
4123)(
hy
bhVyxyσ
bhVy xyxy 2
3)0(})(max{ ==σσ
Mecânica dos Sólidos I
Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão
Viga de seção Circular:
y
AVy xyxy 3
4)0(})(max{ ==σσ
IybyQVyxy )()()( =σ