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Ano 2016
MATRIZES Aulas 01 a 06
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário MATRIZES ................................................................................................................................................................ 2
NOÇÃO DE MATRIZ ................................................................................................................................................. 2
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ E SEUS ELEMENTOS ........................................................................................ 2
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2
MATRIZES ESPECIAIS ............................................................................................................................................... 2
IGUALDADE ENTRE MATRIZES ................................................................................................................................ 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
MATRIZ OPOSTA ..................................................................................................................................................... 3
MATRIZ TRANSPOSTA ............................................................................................................................................. 3
MATRIZ SIMÉTRICA ................................................................................................................................................. 3
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA ....................................................................................................................................... 3
0 2 5 0 2 5
2 0 4 2 0 4
5 4 0 5 4 0
tA A A
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ................................................. 3
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES ................................................................................................................................ 4
ADIÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................................................................. 4
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ...................................................................................................................................... 4
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................................. 4
MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL .................................................................................. 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES ......................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................... 5
MATRIZ INVERSA ..................................................................................................................................................... 6
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 6
CAIU NO SIGMA .................................................................................................................................................. 6
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 7
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 01
MATRIZES NOÇÃO DE MATRIZ Dados dois números naturais m e n, denomina-se
matriz m por n (denotado por m x n), uma tabela
formada por números reais distribuídos em m linhas e
n colunas.
Exemplo 1.1: A seguir temos a representação de uma
matriz, A, de três linhas ( 3m ) e cinco colunas 5n
.
3 5
2 2 3 0 5
7 5 2 7
1 0 1 1x
A
e
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ E
SEUS ELEMENTOS Os elementos de uma matriz A, m x n, são
representados por ija , em que 1, 2, 3, ,i m indica
a linha e 1, 2, 3, ,j n indica a coluna na qual esse
elemento se encontra na matriz. Assim podemos
representar uma matriz A, m x n, dos seguintes modos:
i.
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn m x n
a a a a
a a a aA
a a a a
ii.
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn m x n
a a a a
a a a aA
a a a a
iii.
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn m x n
a a a a
a a a aA
a a a a
Obs.1: Pode-se representar uma matriz A, m x n, por
ij m x nA a .
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 1.1. Escreva a matriz determinada em cada item a
seguir.
a) 3 2ij x
A a , em que 2ija i j .
b) 2 3ij x
B b , em que 3 2ijb i j
c) 4 4ij x
C c , em que 1, se
0, se ij
i jc
i j
MATRIZES ESPECIAIS 1. Matriz linha: uma matriz A, 1 x n, é
denominada matriz linha.
2. Matriz coluna: uma matriz A, m x 1, é
denominada matriz coluna.
3. Matriz nula: uma matriz A é denominada
matriz nula se todos seus elementos são iguais
a zero.
4. Matriz quadrada de ordem n: uma matriz A,
n x n, é denominada matriz quadrada de ordem
n.
5. Matriz triangular: uma matriz quadrada de
ordem n, na qual todos os elementos que estão
acima, ou abaixo, da diagonal principal são
iguais a zero.
6. Matriz identidade de ordem n: Matriz
quadrada de ordem n na qual todos os
elementos da diagonal principal são iguais a 1
e todos os outros elementos dessa matriz são
iguais a zero.
Exemplo 1.1: A seguir temos a representação de uma
matriz identidade de ordem 3
𝐼3 = (1 0 00 1 00 0 1
).
Obs.1: Em uma matriz quadrada de ordem n os
elementos cujos índices de linha e coluna são iguais
constituem a diagonal principal dessa matriz.
[
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
]
Obs.2: Em uma matriz quadrada de ordem n os
elementos cuja soma dos índices é igual a n+1
constituem a diagonal secundária dessa matriz.
[
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
]
Diagonal
Principal
Diagonal
Secundária
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
AULA 02
IGUALDADE ENTRE MATRIZES Duas matrizes, A e B, são iguais se todos os
elementos correspondentes, isto é, que ocupam a
mesma linha e mesma coluna, forem iguais.
Exemplo 2.1: As matrizes A e B a seguir são matrizes
iguais.
2 3
3 5 7 11
1 0 2 5
e
A
,
2 3
3 5 7 11
1 0 2 5
e
B
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Determine os valores reais de x e y nos itens a
seguir.
a)
2 2 5
3 1 3 1
2 7 14 7
x
y
b) 2 5 2
5 2 1 2 4 1
x y
x y x y
c) 22 2 3 1
2 3 1 5 3 1
x y
x y y y
2.2 Considere as matrizes 4
3log 1
5y
xxA
e
16 1
25B
, em que 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Sendo 𝐴 = 𝐵,
determine o valor de 𝑥 + 𝑦.
MATRIZ OPOSTA
A matriz oposta de ij m x nA a é a matriz
ij m x nA a .
Exemplo 2.2: Se
2 5
1 0
3 2
A
, então
2 5
1 0
3 2
A
.
MATRIZ TRANSPOSTA
Dada a matriz ij m x nA a , denomina-se transposta de
A a matriz 'tji n x m
A a , em que ' ji ija a para todo
1,2, ,i m e 1,2, ,j n .
MATRIZ SIMÉTRICA Uma matriz quadrada de ordem n, A, é denominada
matriz simétrica se tA A .
Exemplo 2.3:
1 2 5 1 2 5
2 7 4 2 7 4
5 4 0 5 4 0
tA A A
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA Uma matriz quadrada de ordem n, A, é denominada
matriz antissimétrica se tA A .
Exemplo 2.4:
0 2 5 0 2 5
2 0 4 2 0 4
5 4 0 5 4 0
tA A A
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
2.3 Sabendo que a matriz
3 2
2 5
3 1
y
x
z
é simétrica,
qual o valor de 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧?
Transposição de matriz
Fazer a transposição de uma matriz , é
simples, basta trocar ordenadamente as linhas por
colunas, ou seja, a primeira linha da matriz A será a
primeira coluna , a segunda linha de A será a
segunda coluna de , e assim sucessivamente, por
exemplo:
TAREFA 1 – Ler páginas 8 e 9 do capítulo "Matrizes 1" e
fazer os PROPOSTOS 1, 2, 3.
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AULA 03
OPERAÇÕES ENTRE
MATRIZES ADIÇÃO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes, ij m x nA a e ij mx n
B b , a
matriz soma A B C , em que ij mx nC c , é tal que
ij ij ijc a b para todo 1,2, ,i m e 1,2, ,j n .
Em outras palavras, para somar duas matrizes basta
somar seus elementos correspondentes.
Obs.3: Só é possível somar duas matrizes se elas
tiverem a mesma quantidade de linhas e colunas.
Exemplo 3.1: Sejam 2 5 0
3 1 2A
e
4 1 2
1 1 2B
, a matriz soma C A B é
6 4 2
4 2 0C
.
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes, ij m x nA a e ij mx n
B b , a
matriz diferença A B é, por definição, a soma da
matriz A, com a oposta de B B , ou seja,
A B A B .
Em outras palavras, para subtrair duas matrizes basta
subtrair seus elementos correspondentes.
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE
MATRIZES Seja A, B, C e O matrizes com m linhas e n colunas. Em
que O é a matriz nula, m x n. É possível provar que
valem as seguintes propriedades para a adição de
matrizes.
I. Comutativa: A B B A
II. Associativa: A B C A B C
III. Elemento neutro: A O A
IV. Oposto: A A O
MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ
POR UM NÚMERO REAL Multiplicar uma matriz A por um número real k é, por
definição, multiplicar todos os elemento de A por k.
Exemplo 3.2: Seja 2 5 0
3 1 2A
, temos que
4 10 0
26 2 4
A
6 15 0
39 3 6
A
2 5 0, para todo
1 23
k k kk A k
k k k
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
3.1 Dadas as matrizes
1 2 2 3
6 4 0 1
5 3 2 2
A
e
3 1 0 0
3 5 10 1
2 7 12 2
B
, determine:
a) A B
b) B A
c) 2A
d) 2 3A B
3.2 Resolva a equação 2𝑋 + 𝐵 = 𝐴, em que
3 1
0 2A
e 4 5
0 7B
.
3.3 Sendo as matrizes 3 2ij x
A a , com
cos2
ija i
e 3 2ij x
B b , com jijb i . Determine
2𝐴 + 𝐵.
TAREFA 2 – No capítulo "Matrizes 1" fazer os
PROPOSTOS de 4 a 9.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5
3.4 Resolva o sistema
16 12 2 6
18 14 8 4
0 2 2 2
4 6 4 6
X Y
X Y
.
AULA 04
MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES
Dadas duas matrizes ij m x pA a e ij p x n
B b ,
denomina-se o produto A B a matriz ij mx nC c , tal
que 1 1 2 2 3 3ij i j i j i j ip pjc a b a b a b a b .
Obs.4: Só é possível multiplicar duas matrizes se o
número de colunas da primeira matriz for igual ao
número de linhas da segunda.
𝐴𝑚×𝑝 ∙ 𝐵𝑝×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛
Obs.5: A matriz produto, caso exista, terá o número de
linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
𝐴𝑚×𝑝 ∙ 𝐵𝑝×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
4.1 Considere as matrizes 1 2 1
3 2 2A
,
1 1 2
2 1 3
0 2 1
B
e
1 2
1 2
3 4
C
. Determine se existir
os produtos a seguir.
a) A B
b) A C
c) C A
d) B A
e) 2A
f) 2B
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
DE MATRIZES Seja A, B, C e I matrizes para as quais é possível realizar
as operações a seguir. Em que I é uma matriz
identidade. É possível provar que valem as seguintes
propriedades para a multiplicação de matrizes.
I. Associativa: A B C A B C
II. Distributiva a direita em relação a adição:
A B C A C B C .
III. Distributiva a esquerda em relação a adição:
C A B C A C B .
IV. Elemento neutro: A I I A A .
Para determinar o termo da matriz produto basta
"pegar" a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B.
Em seguida realizar os produtos dos primeiros termos,
dos segundos termos, dos terceiros termos, e assim
sucessivamente, e somar os resultados. Por exemplo,
considere as matrizes e
, assim para descobrir ,
devemos "pegar" a primeira linha da matriz A
e a terceira coluna da matriz B .
Em seguida façamos a soma dos produtos realizados
entre os primeiros termos, entre os segundos termos
e assim sucessivamente, obtendo o termo .
Fazendo esse processo é possível descobrir totalmente
a matriz .
TAREFA 3 – No capítulo "Matrizes 2" fazer os
PROPOSTOS de 1 e 3 e COMPLEMENTAR 1
Multiplicação de matrizes
Tablet: Em "Matrizes 2" Ler a situação 3 na página
4.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6
AULA 05
MATRIZ INVERSA Considere uma matriz quadrada, A, de ordem n. Essa
matriz é dita inversível se existe uma matriz B tal que
nA B B A I
em que nI é a matriz identidade de ordem n. Nesse
caso a matriz B é dita a inversa de A e é indicada por 1A .
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
5.1 Verifique se 2 5
1 3
é a inversa de 3 5
1 2
.
5.2 Determine, se existir, as matrizes inversas das
matrizes dadas nos itens a seguir.
a) 2 5
1 3A
b) 1 2
1 4B
c) 1 2
3 6C
EXTRA
QUESTÕES EXTRAS
CAIU NO SIGMA
1) Determine a matriz 2 3ij x
B b , em que
sen cos2
ijb i j
, com 1 2i e 1 3j
.
2) Determine o valor de x para que
2
1 2 1 4
2 3 4 2
x x
x x x
.
3) Sendo 1 1
0 1A
, calcule 2A ,
3A e 4A .
4) As matrizes 2 1
1 0A
e 2 3
x yB
são tais que
A B B A . Calcule x y .
5) Sendo 1 2
2 5A
e
1 2
3 1
2 4
B
, resolva a
equação T TA X B .
6) Se a matriz A é igual a 1 2
2 3
, determine a
matriz 2TA .
7) A soma de todos os elementos da diagonal
principal com todos os elementos da diagonal
secundária da matriz transposta da matriz 𝐴 =
(𝑎𝑖𝑗)2𝑥2
, em que 𝑎𝑖𝑗 = {𝑖2 + 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗2𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
é igual a
a) 17. b) 15 c) 16 d) 12 e) 18
8) A inversa da matriz 𝐴 = [3 52 4
] é igual a
(A) [1 00 1
] .
(B) [−35
2
−1 −4] .
(C) [
1
3
1
51
2
1
4
] .
(D) [2 −
5
2
−13
2
].
(E) [4 −5
−2 3].
9) Considere as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥2
= [2 1
−1 30 −2
],
𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3𝑥2
= [−3 11 −31 2
] e 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)3𝑥2
=
𝑥𝐴 − 𝑦𝐵, com 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Para que os elementos 𝑐12
e 𝑐22 sejam iguais a 1, os valores de 𝑥 e 𝑦 devem
ser, respectivamente, iguais a
(A) 2
3 e
1
3 .
(B) 2
3 e −
1
3 .
(C) 1
3 e
2
3 .
(D) 1
3 e
2
3 .
TAREFA 4: No capítulo "Matrizes 2" fazer os
PROPOSTOS de 4 a 6.
TAREFA 5: No capítulo "Matrizes 2" fazer os
PROPOSTOS de 7 a 12.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7
(E) −1
3 e
2
3.
10) Sejam as matrizes 𝐴 = (2 1 01 2 1
)2𝑥3
, 𝐵 =
(0 0 26 4 2
)2𝑥3
, 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗)2𝑥3
e 𝑌 = (𝑦𝑖𝑗)2𝑥3
.
Sabendo que {2𝑋 − 𝑌 = 𝐴𝑋 + 3𝑌 = 𝐵
, determine as matrizes
𝑋 e 𝑌.
CAIU NO VEST
1. (AFA) Dadas as matrizes: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)8𝑥3
e 𝐵 =
(𝑏𝑖𝑗)3𝑥7
, onde 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 − 𝑗 e 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖 ⋅ 𝑗, o
elemento 𝑐56 da matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) = 𝐴 ⋅ 𝐵 é:
a) 74 b) 162 c) 228 d) 276
2. (ESPECEX – 2008) Considere as matrizes 𝑀1 =
[1 𝑡𝑔 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥] e 𝑀2 = [
1𝑡𝑔 𝑥
] para 𝑥 ≠𝑘𝜋
2,
𝑘 ∈ ℤ. A matriz resultante do produto matricial
𝑀1 ⋅ 𝑀2 é
a) [sec2 𝑥cos2 𝑥
] b) [𝑡𝑔2𝑥
− cos2 𝑥] c) [sec2 𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥] d) [𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥
−𝑠𝑒𝑛2𝑥] e)
[cos2 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
]
3. (UERJ) Denominamos traço de uma matriz
quadrada à soma dos elementos da sua diagonal
principal. Assinale a opção que contém o traço da
matriz 𝐶, onde 𝐶 = 𝐴 − 2𝐵, em que 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥2
, com 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗, e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)2𝑥2
, com 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖2 −
𝑗.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
4. (AFA) As matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são do tipo 𝑚 × 3, 𝑛 ×
𝑝 e 4 × 𝑟, respectivamente. Se a matriz transposta
de 𝐴𝐵𝐶 é do tipo 5 × 4, então
a) 𝑚 = 𝑝 b) 𝑚𝑝 = 𝑛𝑟 c) 𝑛 + 𝑝 = 𝑚 + 𝑟 d) 𝑟 = 𝑛
5. (ITA) Considere as matrizes 𝐴 = (1 0 −10 −1 2
),
𝐼 = (1 00 1
), 𝑋 = (𝑥𝑦) e 𝐵 = (
12
). Se 𝑥 e 𝑦 são
soluções do sistema (𝐴 ⋅ 𝐴𝑡 − 3 ⋅ 𝐼) ⋅ 𝑋 = 𝐵, então
𝑥 + 𝑦 é igual a
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. a)
3 4
5 6
7 8
b) 1 1 3
4 2 0
c)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2.1. a) 5, 7x y b) 2, 3x y c) 3, 1x y
2.2. 4
2.3. 3
3.1. a)
4 1 2 3
3 9 10 0
7 4 14 0
b)
2 3 2 3
9 1 10 2
3 10 10 4
c)
2 4 4 6
12 8 0 2
10 3 4 4
d)
7 7 4 6
21 7 30 5
4 24 32 10
3.2.
13
2
50
2
3.3.
1 1
0 2
3 9
3.4. 6 3 8 3
e 5 11 5 1
X Y
4.1. a) 3 5 5
7 3 14
b) 0 6
7 18
c)
5 6 5
7 2 3
9 14 11
d) Não existe
e) Não existe
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8
f)
1 2 1
4 7 10
4 4 7
5.1. Sim
5.2. a) 3 5
1 2
b) 2 1
1 1
2 2
c) Não existe
QUESTÕES EXTRAS
1. 0 2 0
1 1 1B
2. 2x
3. 2 1 2
0 1A
, 3 1 3
0 1A
e 4 1 4
0 1A
4. 7x e 2y
5. 9 17 2
4 7 0X
6. 3 4
4 5
7. C
8. D
9. B
10.
6 3 2
7 7 7
9 10 5
7 7 7
X
e
2 1 4
7 7 7
11 6 3
7 7 7
Y
CAIU NO VEST
1. D
2. C
3. C
4. A
5. D