Post on 03-Feb-2020
Matrična analiza konstrukcija 1
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA-Informacije o predmetu-
školska godina 2018./2019.
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA
Matrična analiza konstrukcija 2
FOND ČASOVA: 4+2
NASTAVNICI Dr Marija Nefovska‐Danilović, vanredni profesorKABINET 145
Dr Miroslav Marjanović, docent
KABINET 144
PREDAVANJA SREDA 12:15‐14h SALA 225
ČETVRTAK 10:15‐12h SALA 113
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA
Matrična analiza konstrukcija 3
ASISTENTI Miloš Jočković KABINET 333
Emilija Damnjanović KABINET 333
VEŽBE UTORAK 8:15‐10h SALA 316 (I GRUPA)*
10:15‐12h SALA 110 (II GRUPA)
12:15‐14h SALA 329 (III GRUPA)
* PODELA NA GRUPE ĆE BITI ISTAKNUTA NA TABLI ISPRED KABINETA 145
Uslov za pohađanje nastave
Matrična analiza konstrukcija 4
Studenti mogu pohađati nastavu ako su ostvarili potpisiz STATIKE KONSTRUKCIJA.
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA
Matrična analiza konstrukcija 5
Obaveze studenata Prisustvovanje predavanjima
Prisustvovanje vežbama
Overen elaborat
Uslov za potpis Prisustvo na 50/56 časova predavanja Prisustvo na 24/28 časova vežbanja Ocena veća od 6 na elaboratu i testovima
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA
Matrična analiza konstrukcija 6
Studenti rade ukupno 3 GRAFIČKA RADA i 3 TESTA.Svaki od grafičkih radova se u zakazanom terminupredaje asistentu na pregled i ocenu. Stečeno znanje seproverava na testu. Ocena na jednom grafičkom radu jejednaka prosečnoj oceni iz zadatka i testa. Ocena naelaboratu je jednaka prosečnoj oceni za sva 3 grafičkarada.
Ocena na elaboratu se dodaje broju bodova kojestudent ostvari na pismenom ispitu. Ova olakšica važijednu školsku godinu, tj. od juna 2019. do oktobra2020.
ELABORAT
Matrična analiza konstrukcija 7
Student se može osloboditi usmenog dela ispita akopoloži 2 kolokvijuma (više od 50% poena). Kolokvijumi sepolažu prema sledećem rasporedu:
I kolokvijum – 8. nedelja nastaveII kolokvijum – Kolokvijumska nedelja
Kolokvijum je u vidu testa, koji se sastoji od 25kombinovanih pitanja (izvođenje, zaokruživanje,dopunjavanje...). Radi se 2 časa. Pogrešni odgovoridonose 2 negativna poena.
Oslobađanje od usmenog dela ispita važi jednu godinu(od juna tekuće godine do oktobra naredne godine).Nakon tog roka polaže se ceo ispit.
OSLOBAĐANJE USMENOG DELA ISPITA
Matrična analiza konstrukcija 8
M. Sekulović: Teorija linijskih nosača, GK
M.Petronijević, M. Nefovska-Danilović:
Statika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007.
M. Sekulović, M. Petronijević: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF
R. Salatić, S. Živanović: Zbirka zadataka iz stabilnosti i dinamike konstrukcija, GF
Web site Fakulteta/predmeta www.grf.bg.ac.rs
LITERATURA
Matrična analiza konstrukcija 9
1. UVOD
• MAK‐ istorijat i osnove
• Rekapitulacija osnovnih jednačina klasične statikeravnih linijskih nosača
Matrična analiza konstrukcija 10
Matrična analiza konstrukcija
Statika ravnih i prostornih linijskih nosača
Stabilnost ravnih linijskih nosača
Linijski nosači
Statički određeni Statički neodređeni
Matrična analiza konstrukcija 11
prema pristupu
Metode analize linijskih nosača
Metode klasične statike konstrukcija
Matrična analiza konstrukcija
Matrična analiza konstrukcija 12
Metode analize
Metoda sila Metoda deformacije
Matrična analiza konstrukcija 13
prema izboru nepoznatih
Matrična analiza konstrukcija 14
Klasična statika konstrukcija(od Isaac Newton-a 1666.)
Analizira se nosač u celini, kao sistem povezanih štapova,
Utvrđuje se statička odnosno deformacijska neodređenost nosača,
Usvaja se metoda za rešavanje,
Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača.
Matrična analiza konstrukcija 15
Štap je osnovni element nosača, Nosač se posmatra kao skup međusobno povezanih štapova,
Za nepoznate veličine biraju se parametri (pomeranja ili sile) u čvorovima nosača,
Na osnovu teorije štapa uspostavljaju se veze između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa u matričnom obliku,
Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih(uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine isile u presecima nosača.
1.1. Matrična analiza konstrukcija
Istorijski razvoj
Matrična analiza konstrukcija 16
1930 Matrična analiza je prvi put primenjena u rešavanjuproblema aeroelastičnosti, Collar i Duncan,avio‐industrija, GB
1934 Prva knjiga Collar, Duncan i Frazer
1955 Argyris, Metoda sila i metoda deformacije
1959 Tyrner, Direct Stiffness Method
1964 Wilson, Metoda konačnih elemenata (MKE)
Matrična analiza konstrukcija 17
Od 1964 Gallagher,
Irons,
Martin,
Clough,
Zienkiewicz
• 1977 Sekulović
Matrična analiza - Metoda deformacije
Matrična analiza konstrukcija 18
Od 1960‐te godine sa ekspanzijom računara, MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi linijskih nosača.
Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti). Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapa.
Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA, mnogo opštija metoda, koja se primenjuje u statičkoj i dinamičkoj analizi složenih konstrukcija.
1.2 Osnove matrične analize
Matrična analiza konstrukcija 19
1.2 Osnove matrične analize
Konstrukcija Matematički model
Rešenje diskretnog modela
IDEALIZACIJA DISKRETIZACIJA
Diskretan model
REŠENJE
Idealizacija – krovna rešetka
Matrična analiza konstrukcija 20
DISKRETIZACIJA IDEALIZACIJA
element
oslonac
čvor
Konstrukcija
Matematički model
Slika je preuzeta i prilagođena iz on line book, Carlos Felippa: Introduction to FEM, http://bib.tiera.ru/DVD-013/Felippa_C.A._Introduction_to_finite_element_methods_(2001)(en)(489s).pdf
Primer – čelična hala
Matrična analiza konstrukcija 21
2D idealizacija
Matrična analiza konstrukcija 22
Matrična analiza konstrukcija 23
Diskretizacija
Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata – štapova koji su povezani u čvorovima nosača
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
ČVOROVI
ŠTAPOVI
Broj čvorova 10
Broj štapova 9
4 54
8 9
3 41 2 5 6 7
Y
X
Matrična analiza konstrukcija 24
Izbor nepoznatih
Nepoznate veličine su parametri u čvorovima nosača.
Metoda sila Metoda deformacije
Matrična analiza - Metoda deformacije
Matrična analiza konstrukcija 25
• Parametri: komponente pomeranja u, vi obrtanja čvorova nosača.
Analize
Matrična analiza konstrukcija 26
Postoje 2 nivoa analize: analiza štapa i analiza sistema štapova,
Analiza štapa: uspostavljaju se veze između sila i pomeranja na krajevima štapa‐osnovna relacija MAK.
Analiza strukture (sistema) štapova: formiraju sejednačine sistema za određivanje nepoznatih pomeranja(uslovne jednačine) nosača. One predstavljaju usloveravnoteže čvorova sistema.
Matrična analiza konstrukcija
1
2
3
4
5
6
i
i
i
k
k
k
R N
R T
R M
R N
R T
R M
R
k
k
k
i
i
i
v
u
v
u
q
q
q
q
q
q
6
5
4
3
2
1
q
Vektor pomeranja Vektor sila
j j j j R K q Q
Matrica krutosti štapa
Osnovna jednačina štapa j
P: Važi linearna teorija štapax,y, z –lokalni koordinatni sistem
Vektor ekvivalentnog opterećenja
4
2
6 x
p(x)
1
35
E, A, I, l
y
Analiza štapa
Matrična analiza konstrukcija 28
Ukupan broj deformacijski nepoznatihveličina nosača:
2K-zo+m
Analiza sistema štapova
Nepoznate veličine u metodi deformacije:
Komponente pomeranja čvorova: ui, vi Uglovi obrtanja čvorova u kojima postoji bar 1 krut ugao: φi
Matrična analiza konstrukcija 29
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
X
Y
X,Y, Z - globalni koordinatni sistem
Deformacijske nepoznate su pomeranja i obrtanja u slobodnim (neoslonjenim) čvorovima.
Analiza sistema štapova
poznata pomeranja
nepoznata pomeranja
Z
Jednačine iz kojih određujemo nepoznata pomeranja: uslovi ravnoteže čvorova nosača
Matrična analiza konstrukcija 30
2K0
0
0
X
Y
M
m1
jR
2jR
Pi,x
Mi Pi,y
i
k
αik
X
3jR
Y
j j j j R K q Q * * *K q S
* * *K q S
Matrična analiza konstrukcija 31
DISKRETNI SISTEM
REŠENJE
*q jR,
VEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
KRAJEVIMA ŠTAPOVA
Uslovne jednačine
Matrična analiza konstrukcija 32
Formiranje matrica krutosti pojedinih elemenata,
Formiranje matrice krutosti sistema,
Formiranje vektora slobodnih članova,
Određivanje pomeranja čvorova rešavanjem sistema uslovnih jednačina,
Sračunavanje sila u štapovima nosača.
Postupak analize:
Osnove matrične analize metodom deformacije
Matrična analiza konstrukcija 33
Primena principa superpozicije
dati nosač
Qe+
ekvivalentni nosač
Qe - ekvivalentno opterećenje
=
deformacijski određen sistem datog nosača
Matrična analiza konstrukcija 34
Direktna
Princip o min. potencijalne energije
Metode analize:
1.3 Linearna teorija štapa -rekapitulacija
Matrična analiza konstrukcija 35
NEPOZNATE:
sile u presecima:
M, N i T pomeranja i obrtanja:
u, v i φ deformacije:
ε, κ i φt
1.3 Linearna teorija štapa -rekapitulacija
Matrična analiza konstrukcija 36
JEDNAČINE:
uslovi ravnoteže elementa štapa,
veze između pomeranja i deformacije elementa štapa ,
veze između sila u presecima i
deformacije (Hooke‐ov zakon)
1.3 Linearna teorija štapa -rekapitulacija
Matrična analiza konstrukcija 37
Osnovne pretpostavke:
P1. Pretpostavka o malim pomeranjima (pretpostavka o statičkoj linearnosti)
P2. Pretpostavka o malim deformacijama
(pretpostavka o geometrijskoj linearnosti )
P3. Hookov zakon
(pretpostavka o fizičkoj linearnost )
Uslovi ravnoteže štapa
Matrična analiza konstrukcija 38
P1. Uslove ravnoteže posmatramo na nedeformisanom štapu.
Posledica: Uslovi ravnoteže štapa su linearne jednačine.
0
0
0
t
n
dN p ds
dT p ds
dM Tds
dsC'
C
pndsptds
X
Y
MN
TM+dM
N+dN
T+dT
(I)
Geometrijske veze
Matrična analiza konstrukcija 39
Veze između pomeranja i deformacije štapa se izvode geometrijskim razmatranjem.
Posledica P2 je da su te veze linearne.
u+duds
CC1
X
Y
φ
(1+ε)ds
α
φ
v v+dv
uC'
C1
'
dx+du
dy+dv
dx
α dy
t
du dx dy
dv dy dx
d
ds
(II)
Klizanje poprečnog preseka t
t ‐ klizanje poprečnog preseka
Pomeranja ekvidistantnog elementa
u(y)=u-y(φ-φt)
v(y)=v
Matrična analiza konstrukcija 40
X
Y
φ
O
O'
Tehnička teorija savijanja štapa
Timošenkov štap
φt
osa štapa
v
v(y)
u
u(y)
C'(y)
C'
φ-φt
φ
yC
C(y)
Promena krivine
Matrična analiza konstrukcija 41
( )1 td
ds
X
Y
φ
C1
ds
C1yCy
Cy
φ
(1+ε)ds
O'
O''
ρ''dφ
φt
φt+dφt
y
φ-φt
ρ'
(1+εy )ds
yy )(
Veze sila i deformacije
Posledica P3: Veze između sila u preseku, temperature i deformacijskih veličina štapa su linearne.
Matrična analiza konstrukcija 42
ot
Nt
EF
t
M t
EI h
t
Tk
GF
(III)
Raspodela temperature:
y
O x
to
tu
toh
t(y)
t
Jednačine štapa:
Matrična analiza konstrukcija 43
Jednačine: 6 diferencijalnih (I i II) i 3 algebarske (III)
0
0
0
t
n
dN p ds
dT p ds
dM Tds
(I)
t
du dx dy
dv dy dx
d
ds
(II) t
M t
EI h
ot
Nt
EF
t
Tk
GF
(III)
Nepoznate veličine štapa:
Matrična analiza konstrukcija 44
Nepoznate: sile u presecima: M, N i T pomeranja i obrtanja ose: u, v i φ deformacije: ε, κ i φt
Ukupan broj nepoznatih je 9.
Ako iz jednačina (III) ε, κ i φt iskažemou funkciji od M,N i T i zamenimo u jednačine (II) dobija se sistem od 6 dif. jednačina sa 6 nepoznatih.
Nepoznate i jednačine štapa:
Matrična analiza konstrukcija 45
6 nepoznatih veličina: M, N, T, u, v i φ 6 diferencijalnih jednačina I i II
Sistem je moguće rešiti ako znamo još i 6 integracionih konstanti – 6 graničnih uslova štapa.
Granični uslovi štapa
Matrična analiza konstrukcija 46
Ni
Mi
Ti
Mk
Tk
Nk
granični uslovi po silama granični uslovi po pomeranjima
Mogući granični uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima
i k
φi
vi vk
ui uk
φk
6 graničnih uslova po pomeranjima
Ako su svih 6 graničnih uslova štapa zadati po pomeranjima, reč je o metodi deformacije.
Matrična analiza konstrukcija 47
q3
q2 q5
q1 q4
q6
x
y