Post on 07-Aug-2015
description
MODEL MATEMATIKA UNTUK
DINAMIKA PENYAKIT TUBERKULOSIS
YANG BERGANTUNG PADA KEPADATAN
PENDUDUK
Oleh : YUNINGSIH
Dosen Pembimbing : Dr. Salmah,M.S.
Universitas Gadjah Mada
LATAR BELAKANG
Penyakit Tuberkulosis Penyakit menular langsung yang disebabkan oleh bakteri TB (Mycobacterium Tuberculosis) yang menular dari orang ke orang lainnya melalui udara bukan melalui serangga, transfusi darah atau air minum.
Indonesia adalah negara dengan jumlah pasien TB ketiga terbanyak di dunia setelah Cina dan India dengan jumlah pasien sekitar 10% dari total jumlah pasien di dunia.
PERMASALAHAN
Bagaimana membentuk model matematika untuk penyakit Tuberkulosis yang bergantung pada kepadatan penduduk ?
Bagaimana menentukan nilai bilangan reproduksi dasar dengan menggunakan
metode next generation matrix ?
Apakah ada pengaruh yang signifikan antara kepadatan penduduk dengan nilai bilangan reproduksi dasar ?
Pembentukan Model
matematika untuk TB yang
bergantung pada
kepadatan penduduk
Eksistensi Titik Ekuilibrium
Bebas Penyakit
Menentukan nilai Bilangan Reproduksi
Dasar dengan menggunakan Metode Next Generation
Matrix
Menentukan kestabilan Titik
Ekuilibrium Bebas Penyakit
Melihat pengaruh antara Kepadatan Penduduk dengan nilai Bilangan
Reproduksi Dasar
TUJUAN PENELITIAN
DASAR TEORI
Titik Ekuilibrium
Definisi 1 Diberikan sistem ๐ = ๐(๐). Titik ๐ โ โ๐ disebut titik ekuilibrium (titik
kesetimbangan) sistem ๐ = ๐(๐) jika f(๐ ) = 0.
Linearisasi Definisi 2 Sistem linear ๐ = ๐ฝ(๐ ๐ )(๐ โ ๐ ) disebut linearisasi sistem nonlinear
๐ = ๐(๐) di sekitar titik ๐ dengan ๐ฝ(๐ ๐ ) merupakan matriks Jacobian dari f di
titik ๐ .
Dengan
๐ฝ ๐ ๐ =
๐๐1
๐๐ฅ1
๐ฅ ๐๐1
๐๐ฅ2
๐ฅ โฏ๐๐1
๐๐ฅ๐
๐ฅ
๐๐2
๐๐ฅ1
๐ฅ ๐๐1
๐๐ฅ2
๐ฅ โฏ๐๐2
๐๐ฅ๐
๐ฅ
โฎ๐๐๐๐๐ฅ1
๐ฅ
โฎ๐๐๐๐๐ฅ2
๐ฅ โฏ
โฎ๐๐๐๐๐ฅ๐
๐ฅ
Sifat kestabilan yang dilihat dari tanda determinan dan trace matriks Jacobian
Teorema 3 Diberikan ๐ฟ = det ๐ด , ๐ = ๐ก๐๐๐๐ ๐ด ๐๐๐ ๐ฅ = 0
i. Jika ๐ฟ < 0 maka sistem ๐ = ๐(๐) sadel pada titik asal.
ii. Jika ๐ฟ > 0 dan ๐2 โ 4๐ฟ โฅ 0 maka sistem ๐ = ๐(๐) node/titik pada titik
asal. Stabil jika ๐ < 0 dan tidak stabil jika ๐ > 0.
iii. Jika ๐ฟ > 0, ๐2 โ 4๐ฟ < 0 dan ๐ โ 0 maka sistem ๐ = ๐(๐) fokus pada
titik asal. Stabil jika ๐ < 0 dan tidak stabil jika ๐ > 0.
iv. Jika ๐ฟ > 0 dan ๐ = 0 maka sistem ๐ = ๐(๐) center pada titik asal.
Spektral Radius
Teorema 4 Diberikan T sebuah matriks positif, ฮฃ matriks yang semua entrinya
non negatif kecuali yang terletak di diagonal dan D adalah sebuah matriks
diagonal positif. Diasumsikan batas spektral s(ฮฃ โ D) negatif. Diberikan r
menyatakan batas spektral s(T + ฮฃ โ D) dan ๐ 0 menyatakan nilai eigen dominan
dari matriks positif K = โ๐ ฮฃ โ ๐ท โ1. Maka :
๐ < 0 โบ ๐ 0 < 1.
Asumsi-asumsi
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model matematika
Untuk dinamika penyakit Tuberkulosis yang bergantung
pada kepadatan penduduk adalah sebagai berikut :
โข Dalam populasi terjadi proses kelahiran dan migrasi.
โข Terjadi proses kematian alami.
โข Kematian alami dapat terjadi pada kelas S, L, I , dan T.
โข Penyakit dapat disembuhkan.
โข Individu yang telah sembuh dapat kembali ke kelas laten.
โข Penyakit menular melalui kontak langsung antara individu yang terinfeksi TB laten dengan individu yang terinfeksi TB aktif.
โข Terdapat pencampuran penduduk yang homogen dimana setiap orang mempunyai peluang yang sama untuk terinfeksi karena adanya kontak dengan individu yang terinfeksi.
โข Populasi didistribusikan ke seluruh wilayah dengan luas wilayah yang sangat kecil.
โข Semua imigran dan kelahiran tidak terinfeksi sehingga masuk ke dalam kelas susceptible.
Model Matematika untuk Dinamika Penyakit Tuberkulosis yang bergantung pada kepadatan penduduk
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas disusun bagan alir model sebagai berikut
A
IcTTIrLr
dt
dT
IrdkLdt
dI
A
IcTLrk
A
IcS
dt
dL
A
IcSS
dt
dS
221
2
211
1
)(
)(
Dari bagan alir di atas, didapat model epidemi sebagai berikut :
Eksistensi Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
0
0)(
0)(
0
221
2
211
1
A
IcTTIrLr
IrdkL
A
IcTLrk
A
IcS
A
IcSS
Dengan menyelesaikan persamaan di atas, diperoleh titik ekuilibrium
bebas penyakit yaitu :
Berdasarkan Definisi 1 di atas, kondisi setimbang dipenuhi ketika :
.0,0,0,0
E
Metode next generation matrix
โข Populasi dibagi menjadi tiga kelas, yaitu :
X = (S, T), Y = L dan Z = I.
Dengan dan
menyatakan titik kesetimbangan bebas penyakit. Dengan
โข Model epidemiologi dinyatakan ke dalam bentuk
๐๐
๐๐ก= ๐(๐ฟ,๐, ๐)
๐ ๐
๐ ๐= ๐ ๐ฟ, ๐, ๐
๐ ๐
๐ ๐= ๐ ๐, ๐, ๐
๐ โ โ๐ , ๐ โ โ๐ , ๐ โ โ๐ , ๐, ๐ , ๐ โฅ 0
๐0 = ฮ
๐, 0, 0,0 โ โ๐+๐ +๐
๐โ, 0, 0 = ๐ ๐โ, 0, 0 = โ ๐โ, 0, 0 = 0.
โข Dengan titik ekuilibrium bebas penyakit , ditentukan persamaan
โข Fungsi Y disubstitusikan ke dalam persamaan h (X, Y, Z) sehingga didapat persamaan
โข Selanjutnya, ditentukan derivatif parsial untuk Z terhadap
sehingga diperoleh
โข H dapat dinyatakan ke dalam bentuk H = M โ D, matriks non negatif dan D > 0 merupakan matriks diagonal.
โข Didefinisikan Bilangan Reproduksi Dasar sebagai spektral radius (nilai eigen dominan) dari matriks , sehingga nilai
๐0 = ๐โ, 0, 0
๐ ๐โ, ๐, ๐ = 0 sehingga diperoleh fungsi ๐ = ๐ ๐โ, ๐ .
โ(๐โ, ๐ ๐โ, ๐ , ๐).
๐ป = ๐ท๐งโ(๐โ, ๐ ๐โ, 0 , 0). dengan ๐ โฅ 0 (๐๐๐ โฅ 0)
)( 0R1MD
โ ๐โ, ๐ ๐โ, 0 , 0 .
1
0
MDR
Kestabilan di titik ekuilibrium bebas penyakit
Untuk menyelidiki kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit, dilakukan linearisasi terhadap sistem sehingga diperoleh matriks Jacobian di titik (0,0,0,0)
dengan persamaan karakteristik
21
2
11
1
0
0
0)(0
0)(0
00
rr
rdk
Acrk
Ac
J
.0
)(0
0)(0
0)(0
00)(
21
2
11
1
rr
rdk
Acrk
Ac
Sehingga diperoleh diperoleh nilai eigen matriks Jacobian
Dengan ekspansi kofaktor diperoleh matriks Jacobian
.
Titik ekuilibrium bebas penyakit akan stabil jika nilai trace (A) < 0 dan nilai determinan (A) > 0. Karena semua parameter bernilai positif jelas trace (A) < 0, sehingga agar titik ekuilibrium bebas penyakit stabil determinan (A) > 0. Sehingga didefinisikan :
.
)(
)(
2
11
rdk
Acrk
A
2
1
1 rd
c
rk
kA
Simulasi Numerik Dengan menggunakan parameter-parameter dan nilai awal
tertentu yaitu :
Diperoleh :
Simulasi I
Simulasi numerik yang melihat pengaruh ukuran luas wilayah yang ditempati oleh satu populasi.
Untuk melihat pengaruh ukuran luas wilayah yang ditempati , ukuran luas wilayah yang disimulasikan bervariasi dari luas wilayah (A) = 20 km2, 200 km2 dan 2000 km2.
๐ = 0.022, ฮ = 1500, r1 = r2 = 1.5, ฮฒ1 = ฮฒ2 = 2.0, c = 2.0,
d = 0.365, k = 0.00396 ๐โ = 5000, ๐ฟโ = 1000, ๐ผโ = 90 ๐๐๐ ๐โ = 3000.
Gambar 1 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu yang rentan
Gambar 2 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu yang laten
Gambar 3 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu yang terinfeksi
Gambar 4 Pengaruh variasi dari ukuran luas wilayah yang ditempati pada populasi individu yang sembuh
Simulasi II
Simulasi numerik yang melihat pengaruh tingkat rekrutmen
โข Untuk melihat pengaruh tingkat rekrutmen pada kelas epidemiologi yang berbeda-beda, tingkat rekrutmen yang disimulasikan bervariasi dari tingkat rekrutmen 0, 1500 dan 5000.
Gambar 5 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen pada populasi individu yang rentan
Gambar 6 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen pada populasi individu yang laten
Gambar 7 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen pada populasi individu yang terinfeksi
Gambar 8 Pengaruh variasi dari laju rekrutmen pada populasi individu yang sembuh
Kesimpulan
โข Titik ekuilibrium bebas penyakit stabil jika,
Untuk mendapatkan populasi bebas TB, daerah karakteristik per satuan individu harus selalu lebih besar dari hasil kali peluang kelangsungan hidup dari tingkat laten ke tingkat infeksi dengan jumlah infeksi laten yang dihasilkan oleh individu yang terinfeksi selama masa infeksinya.
โข Didefinisikan
๐ด
๐ฌ๐ >
๐
๐ + ๐ + ๐1
๐ฝ1๐
๐ + ๐ + ๐2 .
12
210
rk
k
rd
c
AR
โข Jika didapat
โข Jika didapat
Kepadatan dari individu yang rentan menekankan pada
pengaruh ukuran luas wilayah.
โข Jika luas wilayah cukup besar, kepadatan akan berkurang sehingga memperkecil nilai bilangan reproduksi dasar.
โข Jika ukuran luas wilayah kecil, kepadatannya akan meningkat sehingga berakibat nilai bilangan reproduksi dasar menjadi besar.
12
21
rk
k
rd
cA
10 R
10 R
k
rk
c
rd
A
1
21
2