1

2

Mathematica

Mathematica Nedir?

Mathematica, her türlü sembolik ve nümerik hesaplamalar yapabilen, 2 ve 3 boyutlu grafikler

çizebilen etkin bir programlama dilidir. İşlevsel ve kural temelli bir programlama dili olan

Mathematica’da ilk başta biraz güçlük çıkabilmekte ancak kısa bir süre sonra global yapısının

yöntemsel programlamadan çok daha kolay anlaşılır olduğu görülecektir.

Basit bir işlemden büyük ölçekteki programlamaya, bilimsel araştırmalardan, mühendislik

analizi ve modellemelerine, lise’den üniversiteye kadar teknik eğitimde, kısaca sayısal

yöntemlerin kullanıldığı her alanda Mathematica temel bir araçtır.

3

Mathematica Programının Kullanımı ve Menüler Bu bölümde sizlere Mathematica menülerinin ve program yazma penceresinin nasıl

kullanıldığı anlatılacaktır. Öncelikle programımızı Şekil 1’deki gibi çalıştıralım.

Şekil 1

Şekil 2’deki beyaz zeminli Untitled­1 adlı pencere programlarımızı yazıp sonuçları

göreceğimiz yerdir. Hemen yanındaki sembolik yardımcılar ise File/Palettes/Basic Input’dan

açılabilir. Benzer şekilde File/Palettes altındaki diğer yardımcı menüleri de inceleyebilirsiniz.

4

Şekil 2

Eğer yazı tipi ile ilgili özellikleri değiştirmek istiyorsanız Edit/Preferences menüsünden

Formatting Options/Font Options’tan istediğiniz değişikliği yapabilirsiniz

Komutlarımızı yazdığımız satırlar Mathematica tarafından In (Input) ismi ile adlandırılacak

ve yanında işlem numarası yazılacaktır. Çıktı satırları ise Out (Output) ile adlandırılacaktır.

5

Örneğin, In[12]:= ve Out[12]= gibi. Komutunuzun çalışmasını sağlamak için imleciniz satırın

herhangi bir yerinde iken Shift+Enter tuşlarına birlikte basmalısınız.

Eğer komutun birden fazla satırdan oluşuyorsa her satırın (ya da alt komutun) sonunda Enter

tuşuna basıp en sonda Shift+Enter tuşlarına basmanız gerekir. In ve Out satırlarının her biri

için sağ tarafta birer mavi köşeli parantez oluşur. Böylece In ve Out satırlarını biri birinden

kolayca ayırabilirsiniz.

Dosyalarınızı kaydetmek için File/Save veya File/Save As menülerini kullanabilirsiniz. Şimdi

aritmetik bir dört işlem örneği verelim ve yukarıdaki açıklamalarımızı Şekil 3’te görelim.

6

Şekil 3

İki farklı işlemi tek bir satırda nasıl yapacağımıza ait bir örneği de Şekil 4’te görebilirsiniz.

Burada ikinci dereceden bir denklemin kökleri bulunup bu denklemin grafiği çiziliyor.

7

Şekil 4

8

Mathematica Yardım Menüsü Mathematica, tüm komutların kullanım şekli ve örneklerin bulunduğu oldukça gelişmiş bir

yardım menüsüne sahiptir. Buna Help/Master Index yolu ile ulaşabilir ve aradığınız kelimeyi

yazarak Go ile arama yaptırabilirsiniz.

Temel Bilgiler

Dört İşlem ve Parantezler + toplama, ­ çıkarma, * çarpma ve / bölme için kullanılır. Ayrıca ^ üs almak için kullanılır.

Mathematica’da ( ), [ ] ve şeklinde üç değişik parantez farklı amaçlar için

kullanılmaktadır.

9

• ( ) normal parantez, aritmetik işlemlerde ve fonksiyon yazımlarında gruplandırma

amacıyla kullanılır.

Örnek

In[1]:=

1+(2­4)*3+2/7 Out[1]=

− 337

• [ ] köşeli parantez, fonksiyon argümanları ve tüm komutlar için kullanılır.

10

Örnek

In[2]:=

Sin[Pi/2] Out[2]=

1

Örnek

In[3]:=

Solve[2*x­67­3*x,x]

Out[3]=

11

::x→ 13 5

>>

• süslü parantez, aralık tanımlamaları, listeler ve sayaçlar için kullanılır.

Örnek

In[4]:=

A=a,b,c,d

Out[4]=

a,b,c,d

12

Örnek

In[5]:=

M=1,2,3,5//MatrixForm

Out[5]=

J 1 2 3 5 N

Örnek

In[6]:=

Plot[x^3,x,­4,4];

13

­4 ­2 2 4

­1.5

­1

­0.5

0.5

1

1.5

Açıklama Satırları, Nümerik Çözüm Bulma ve Önceki Sonuçlara Başvurma Mathematica’da açıklama satırları için (* …. *) kullanabiliriz. Eğer işlem sonucunu sayısal

istersek satır sonuna //N ifadesini koymamız yeterlidir. Eğer virgülden sonra belirli bir

14

basamağa kadar ondalık sayıyı göstermesini istersek N[ifade,basamak sayısı] şeklinde komutu

kullanabiliriz. Eğer N[ ] veya //N kullanılmazsa Matematica tüm sonuçları default olarak

kesirli gösterir.

Eğer In[ ] satırının sonucunun görünmesi istenmiyorsa satır sonuna ; (noktalı virgül)

konulabilir. Eğer birden fazla atama aynı anda yapılacaksa araya birer boşluk konularak aynı

satırda yazılabilir. Örneğin x=14; y=15; z=­4; gibi. Grafik çiziminde kullanılırsa grafik çizilir

ama Out[ ]: Graphics satırı görünmez.

Mathematica’da bir oturum boyunca % sembolü ile son elde edilen değer bellekten

çağrılabilir. Her yeni işlem ile bu % değeri de güncellenmiş olur. %% ile de iki işlem önceki

sonuç kullanılabilir.

15

Örnek

In[7]:=

Solve[2*x^3­5*x^2+100,x]//N

Out[7]=

x→­1.1676,x→1.8338 +0.958888 ä,x→1.8338 ­0.958888 ä

Örnek

In[8]:=

N[Pi,20]

Out[8]=

3.1415926535897932385

16

Eşit İşaretleri Mathematica’da =, = =, = = = ve := şeklinde dört değişik eşit işareti farklı amaçlar için

kullanılmaktadır.

• = işareti, atama yapmak için kullanılır. Bu atama sonrası Mathematica programı

kapanana kadar bu atama geçerli olur. Bunu kaldırmak için Clear[ ] komutu

kullanılmalıdır. Eğer anlık atama yapılmak isteniyorsa “/.” şeklindeki ikili sembol

kullanılabilir. Ancak bu atama sadece o an içindir, bir sonraki satırdan itibaren bu

atama Mathematica tarafından dikkate alınmaz.

Örnek

In[9]:=

a=5;

17

Örnek

In[10]:=

2*x^2+5*y/.x­>2

Out[10]=

8+5 y

Örnek

In[11]:=

Clear[a]

18

• = = işareti, bir eşitliği (denklemi) göstermek amacıyla kullanılır. Ayrıca If kontrol

komutunda da kullanılır.

Örnek

In[12]:=

Solve[x^3­5*x^2+x0,x]

Out[12]=

:8x→ 0<, :x→ 1 2

I5 − è!!! !!! 21 M>, :x→ 1 2

I5 + è!!!!!! 21M>>

19

• = = = işareti, If kontrol komutunda kullanılır.

Örnek

In[13]:=

y[x_]:=x^4­3*x^2+5

If[y[x]= = =y[­x],Print["simetrik"],Print["simetrik değil"]]

Out[13]=

Simetrik

• := işareti, fonksiyon tanımlamalarında kullanılır.

20

Örnek 1.14

In[14]:=

f[x_]:=Sin[2*x]­Cos[x]

f[Pi]

Out[14]=

1

21

Sabitler ve Sayı Türleri Mathematica’da π için Pi, e (doğal logaritmik taban) için E ve i (kompleks sayılar) için I

sabitleri kullanılmaktadır. Ayrıca C, D, N ve O harfleri de başka anlamları ve komut oldukları

için değişken ismi olarak kullanılmamalıdır.

Ondalıklı sayılar . (nokta) ile yazılmalıdır. Örneğin; ­2.34.

Bazı Matematiksel İşlemler ve Rastgele Sayı Üretimi Mathematica’da faktöriyel işlemi için ! sembolü kullanılabilir. Mutlak değer için Abs [ ]

komutu, modüler aritmetik için Mod [n,m] komutu kullanılır. Burada n’nin m ile bölümünden

kalan bulunacaktır. En büyük ve en küçük elemanlar için ise Max [ ] ve Min [ ] kullanılabilir.

22

Logaritmik işlemler için Log[b,n] komutu kullanılır. Burada b tabanı göstermektedir. Eğer

doğal logaritma (ln) söz konusu ise Log[n] kullanılabilir.

Örnek

In[15]:=

Mod[11,2]+Log[E^3]

Out[15]=

4

Random [ ] komutu ile 0 ve 1 arasında rastgele ondalıklı bir sayı üretilir.

23

Örnek

In[16]:=

Table[Random[Integer,1,10],15](*1 ile 10 arasında 15 tane rastgele tamsayı seçmek için*)

Out[16]=

5,7,7,3,9,3,10,10,4,2,2,5,6,3,2

1

2

Liste İşlemleri Mathematica’da nesnelerin bir kümesini Liste yöntemiyle oluşturabiliriz. Bunun için

parantezlerini içindeki her elemandan sonra , (virgül) koyarak kullanabiliriz. Bu listeler

üzerinde her türlü aritmetik işlem yapılabilir. Eğer listenin bir elemanını öğrenmek istiyorsak

[[n]] yardımcı komutunu kullanmalıyız. Örneğin; L adlı bir listenin 5­inci elemanı L[[5]] ile

bulunabilir. Bu L listesinin 3­üncü elamanını v ile değiştirmek istiyorsak L[[3]]=v şeklinde

tanımlama yapmalıyız.

Örnek

In[17]:=

A=3,a,0,­3,b,c;

3

Örnek

In[18]:=

B=0,4,1,9,7,­4;

B+4

3*B

Out[18]=

4,8,5,13,11,0

0,12,3,27,21,­12

4

Matematiksel İfadeleri Açma, Çarpanlarına Ayırma ve Sadeleştirme Mathematica’da bir ifadenin en açık hali Expand[ ] (yerli olmazsa ExpandAll[ ] kullanılmalı),

çarpanlarına ayrılmış hali ise Factor [ ] ile bulunur.Sadeleştirme için Simplify[ ] komutunu

kullanabiliriz. Eğer logaritmik, üstel veya trigonometrik ifadeler var ise FullSimplify[ ]

komutunu kullanmamız gerekir. İstediğimiz değişkene göre ifadeyi gruplandırmak için

Collect[ifade,değişken] komutunu kullanabiliriz. Bunların dışında trigonometrik ifadeler için

TrigExpand[ ], TrigFactor[ ], TrigReduce[ ], kompleks ifadeler için ComplexExpand[ ] ve

üslü ifadeler için de PowerExpand[ ] komutları kullanılabilir. Bir çok terimli ifadede istenilen

değişkenin katsayısını Coefficient[ifade,değişken] komutu ile bulabiliriz. Eğer istenilen

değişkene ait en büyük kuvveti bulmak istersek Exponent[ifade,değişken] komutunu

kullanmamız gerekir. Part[ifade,n] ile verilen ifadenin n­inci terimi, Denominator[kesirli

ifade] ile kesrin paydası bulunabilir.

5

Simplify[ ] komutu bazı durumlarda sadeleştirme yapamaz. Böyle ifadelerde değişkenin değer

aralığını vermemiz gerekir.

Örnek

In[19]:=

FullSimplify[Sqrt[x^2],x>0]

Out[19]=

X

6

Örnek

In[20]:=

Simplify[Sqrt[x^2],Element[x,Reals]]

Out[20]=

Abs[x]

Örnek

In[21]:=

Factor[x^2+2*x+1]

7

Out[21]=

H1+ xL 2

Mantıksal ve İlişkisel Operatörler Mathematica’da && bağlacı VE anlamında, || bağlacı ise VEYA anlamında kullanılır. Tablo

1’de operatörleri görebilirsiniz.

8

Tablo 1

x==y Eşit

x!=y Farklı

x>y Büyük

x>=y Büyük eşit

x<y Küçük

x<=y Küçük eşit

x==y==z Tümü eşit

9

x!=y!=z Tümü farklı

x>y>z Sıralı artan

Örnek

In[22]:=

7>4&&2!=3

Out[22]=

True

10

Mathematica’da Analiz

Denklem Çözümü Mathematica’da denklem çözümü için Solve[ ] komutu kullanılır.

Örnek

In[23]:=

Solve[x^2+5*x+60,x]

Out[23]=

x→­3,x→­2

11

Bu örnekte 0 6 5 2 = + + x x denkleminin çözümü bulunmuştur. Çok bilinmeyenli denklem

sistemlerinin çözümlerini de Mathematica’da bulmak mümkündür.

Örnek

In[24]:=

Solve[x+5*y­3,2*x­4*y5,x,y]

Out[24]=

::x→ 13 14

, y→ − 11 14

>>

Bu örnekte ise x+5y=­3 ve 2x­4y=5 şeklindeki iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülmüştür.

Trigonometrik denklemleri de Solve[ ] komutu ile çözmek mümkündür.

12

Örnek

In[25]:=

Solve[Cos[x]0,x]

Out[25]=

::x→ − π

2 >, :x→

π

2 >>

Verilen ifadelerde çözümü bulurken istenilen değişken yok edilerek sonuç isteniyorsa

Eliminate[ ] komutu kullanılabilir. Reduce[ ] komutu da kullanılabilecek bir diğer komut

olarak verilebilir.

Trigonometrik denklemlerin kökünü bulmak için FindRoot[denklem,değişken,civar

noktası] komutunu kullanmak gerekmektedir. Örneğin; 3sin(2x)=ln(x) denkleminin x=1

13

civarındaki çözümü için FindRoot[3*Sin[2*x]=Log[x],x,1] şeklinde bir Mathematica

komutu yazmamız gerekir.

Örnek

In[26]:=

Eliminate[a*x+y0,2*x+(1+a)*y1,y]

Out[26]=

H−2+ a+a 2 L x −1

Örnek

In[27]:=

Reduce[a*x­b0,x]

14

Out[27]=

Hb 0&&a 0L »» Ja ≠ 0&&x b a

N

Eşitsizlik Çözümü Mathematica’da eşitsizleri çözmek için öncelikle kütüphane çağırmak gerekmektedir.

Kütüphane çağrımı <<konu_adı`komut` şeklinde olmaktadır. Burada kullanılan tek tırnak

işaretleri klavyeden Alt Gr+Virgül tuş kombinasyonu ile yazılmaktadır. Kütüphane komut

kullanılmadan önceki ilk In[ ] satırında tek başına yazılıp çalıştırılmalıdır. Eğer yazım doğru

ise herhangi bir Out[ ] satırı oluşmaz. Kütüphane Mathematica programı açık kaldığı sürece

hafızada hazır bekler. Her komut kullanımında tekrar kütüphane çağırılmasına gerek yoktur.

Bir Mathematica oturumunda bir kez ilgili kütüphaneyi çağırmak yeterlidir.

15

Örnek

In[28.1]:=

<<Algebra`InequalitySolve`

In[28.2]:=

InequalitySolve[(x­3)*(2*x+5)<=6,x]

Out[28]=

−3 ≤ x ≤ 7 2

Bu örnekte (x­3)(2x+5)≤ 6 eşitsizliği çözülmüştür.

16

Örnek

In[29]:=

InequalitySolve[Abs[x­1]*(x^2­3)>3,x]//N

Out[29]=

x<­2.||x>2.30278

Mathematica’da Programlama

Ekrana yazı yazma ve bilgi girişi Mathematica’da ekrana bilgi yazma işlemini Print[ ] ile yapabiliriz. Ancak yazının içeriğinde

değişken kısımlar var ise o zaman StringForm[ ] komutunu da birlikte kullanmamız gerekir.

17

Kulanıcan değer alma işlemini Input[ ] komutu ile yapabiliriz. Örneğin; kullanıcıdan bir sayı

isteyip bunu “b” adı ile kullanmak istersek b=Input[“b sayısını giriniz:”]; komutu yeterli

olacaktır.

Örnek

In[57]:=

a=4;

Print[StringForm["`` sayısının karesi `` dır.",a,a^2]]

Out[57]=

4 sayısının karesi 16 dır.

18

Do döngüsü Mathematica’da bir işlemi tekrar tekrar yazmak yerine Do[ ] döngüsi yardımıyla bir defada

tanımlayıp işlemleri arka arkaya yaptırabiliriz.

Örnek

In[58]:=

Do[Print[a!],a,2,4]

Out[58]=

2

6

24

19

While ve For komutları Mathematica’da program yazmak isteyenlerin mutlaka ihtiyaç duyacağı komutlardan ikisi

olan While[ ] ve For[ ] komutları ile ilgili örnekler aşağıda verilmiştir.

Örnek

In[59]:=

For[i=1,i<4,i++,Print[i]]

Out[59]=

1

2

3

20

Örnek

In[60]:=

n=17;

While[(n=Floor[n/2])!=0,Print[n]] (*Floor ondalıklı sayıların kesir kısmını atıp tam kısmını alır*)

Out[60]=

8

4

2

1

21

İndis kullanımı Mathematica’da Do[ ] komutu yarımıyla indisleri çok daha verimli kullanmak mümkündür.

Bu konu ile ilgili bir kısmi türev uygulaması Örnek 1.60’da verilmiştir.

Örnek

In[61]:=

X@u1, u2D:= 8a∗Cos@u1D ∗Sin@u2D, a∗Sin@u1D∗Sin@u2D, a∗Cos@u2D< Do@Xut = D@X@u1, u2D, utD, 8t, 2<D Do@g@i, kD = Simplify@Xui .Xuk D, 8i,2<, 8k, 2<D Do@Print@StringForm@"g `` =` ", i,k, g@i, kDDD, 8i, 2<, 8k, 2<D

Out[61]=

22

g11=a 2 Sin@u2D 2

g12=0

g21=0

g22=a 2

1

2

Bazı Yardımcı Mathematica Komutları Örnek

In[69]:=

Series[Sin[x],x,0,10](*fonksiyonların seri açılımı için kullanılır*)

Out[69]=

x− x 3

6 +

x 5

120 −

x 7

5040 +

x 9

362880 + O@xD 11

3

Örnek

In[70.1]:=

<<Graphics`Graphics`

In[70.2]:=

PieChart[35,"A",25,"B",40,"C"];

BarChart[35,"A",25,"B",40,"C"];

A

B

C

4

A B C

10

20

30

40

Örnek

In[71]:=

Sin[30*Degree]+Cos[Pi/4]

Out[71]=

1 2

+ 1

è!!!! 2

5

Örnek

In[72.1]:=

<<Graphics`Animation`

In[72.2]:=

MoviePlot3D[Sin[x*y],x,0,t/2,y,0,t,t,1,6,3/4]

0 0.1

0.2 0.3

0.4 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0 0.1

0.2 0.3

0.4

0 0.2

0.4

0.6

0.8 0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5

0.75 1

0 0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.25

0.5 0.75

1 1.25

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.25 0.5

0.75

1

0 0.25

0.5 0.75

1

0

0.5

1

1.5 0

1

2

3

­1 ­0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

6

0

0.5

1

1.5

2 0

1

2

3

4

­1 ­0.5

0

0.5 1

0

0.5

1

1.5

0 0.5

1 1.5

2 0

1

2

3

4

­1 ­0.5

0

0.5 1

0 0.5

1 1.5

2

0

1

2 0

2

4 ­1

­0.5 0

0.5 1

0

1

2

Örnek

In[73]:=

pascal[n_]:=Table[Binomial[n,i],i,0,n]

ColumnForm[Table[pascal[m],m,0,5],Center]

Out[73]=

7

81< 81, 1<

81, 2, 1< 81, 3, 3, 1<

81, 4, 6, 4, 1< 81, 5, 10, 10, 5, 1<

Örnek

In[74]:=

TreeForm[3+a+Sin[2*Pi*x^y]]

Out[74]=

8

PlusB3, a, » SinB »

TimesB2, π, » Power@x, yD

F F

F

Örnek

In[75]:=

ContourPlot[Sin[x*y],x,0,3,y,0,4];

9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

1

2

3

4

Örnek

In[76]:=

Solve[x^2+y^216,x^2­4y,x,y]//TableForm

10

Out[76]=

y→ −4 x→ 0 y→ −4 x→ 0

y→ 3 x→ − è!!!! 7 y→ 3 x→ è!!!! 7

Örnek

In[77.1]:=

<<Graphics`Graphics`

In[77.2]:=

PolarPlot[t,t,0,2*Pi];

11

­2 2 4 6

­4

­3

­2

­1

1

Örnek

K=­4,7,a,b,0,5,x,11,y şeklinde bir küme (liste) olsun. Bu K kümesi üzerinde bazı komut

uygulamaları yapalım.

12

In[78]:=

K=­4,7,a,b,0,­5,x,11,y;

Length[K]

K[[3]]

K[[­2]]

Sort[K]

Append[K,70]

Prepend[K,Z]

Insert[K,325,2]

First[K]

Last[K]

13

K[[Range[3,5]]]

Select[K,Positive]

Select[K,Negative]

Out[78]=

9

a

11

­5,­4,0,3,7,11,a,x,y

­4,7,a,3,0,­5,x,11,y,70

Z,­4,7,a,3,0,­5,x,11,y

­4,325,7,a,3,0,­5,x,11,y

14

­4

y

a,3,0

7,3,11

­4,­5

Örnek

In[79]:=

Together[a/b+c/d]

Collect[a*x+b*x+c*y+d*y,x,y]

Numerator[(x+2)/(x­1)]

15

Denominator[(x+2)/(x­1)]

Out[79]=

bc + ad bd

(a+b) x+(c+d) y

2+x

­1+x

Karışık Örnekler Örnek

A=­2,­1,0,1,2, B=0,2,4 ve F=­1,1,3,5 ise ) ( ) B \ ( F B A ∩ ∪ kümesi nedir?

16

In[91]:=

A=­2,­1,0,1,2; B=0,2,4; F=­1,1,3,5; Union[Complement[A,B],Intersection[B,F]] Out[91]=

­2,­1,1

Örnek

4 1 ,

5 1,

8 1

− − ve 3 1

sayılarını sıralayınız ve en büyüğünü bulunuz?

17

In[92]:=

A=Sort[­1/8,1/5,­1/4,1/3] Max[A] Out[92.1]=

:− 1 4 , −

1 8 , 1 5 , 1 3 >

Out[92.2]=

1 3

Örnek

2 4 3 ) 2 ( ) 3 ( 2 − − − − + − işleminin sonucunu bulunuz.

In[93]:=

­2^3+(­3)^4­(­2)^(­2)

18

Out[93]=

291 4

Örnek

3 4 2 ≥ − x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

In[94.1]:=

<<Algebra`InequalitySolve` In[94.2]:= InequalitySolve[Abs[2*x­4]>=3,x]

Out[94.2]=

19

x≤ 1 2 »»x ≥

7 2

Örnek

2 4 = − x denkleminin çözümü nedir?

In[95]:=

Solve[Abs[Abs[x]­4]2,x]

Out[95]=

x→­6,x→­2,x→2,x→6

20

Örnek

20 3 3

24 1

− işleminin sonucunu bulunuz.

In[96]:=

Sqrt[1/24]­3*Sqrt[2/40]//N

Out[96]=

­0.466696

Örnek

x­y=3 ve xy=10 ise 2 2 y x + değeri nedir?

21

In[97.1]:=

cozum=Solve[x­y3,x*y10,x,y]

Out[97.1]=

x→­2,y→­5,x→5,y→2

In[97.2]:=

x=x/.cozum[[1,1]];

y=y/.cozum[[1,2]];

x^2+y^2

Out[97.2]=

29

22

Örnek

3 27 a − ifadesinin özdeşini bulunuz.

In[98]:=

Factor[27­a^3]

Out[98]=

−H−3+ aL H9+ 3a+ a 2 L

Örnek

(x­1)+2x=3x+8 denklemini çözünüz.

In[99]:=

Solve[x­1+2*x3*x+8,x] Out[99]=

23

(*çözüm boş kümedir*)

Örnek

1 22

1 2

1 4

2 − =

− +

+ x x x denklemini çözünüz.

In[100]:=

Solve[4/(x+1)+2/(x­1)22/(x^2­1),x] Out[100]=

x→4

1

2

Karışık Örnekler Örnek

= + = + 9 4 12 2 3

y x y x

denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

In[101]:=

Solve[3*x+2*y12,x+4*y9,x,y] Out[101]=

::x→ 3, y→ 3 2

>>

3

Örnek

0 6 4 2 3 = − + x x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

In[102]:=

NSolve[x^3+4*x^2­6*x0,x] Out[102]=

x→­5.16228,x→0.,x→1.16228

Örnek

0 ) 9 )( 4 ( 2 2 < − − x x x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

In[103.1]:=

4

<<Algebra`InequalitySolve` In[103.2]:=

InequalitySolve[x*(x^2­4)*(x^2­9)<0,x] Out[103.2]=

x<­3||­2<x<0||2<x<3

Örnek

f:R→R ve f:x→y, 2

3 2 +

= x

y fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

In[104]:=

y[x_]:=3/(x^2+2) Plot[y[x],x,­3,3];

5

­3 ­2 ­1 1 2 3

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

Örnek 1.105

f:R→R, 4 2 2 ) ( x x x f + = fonksiyonu tek mi yoksa çift midir? Araştırınız.

In[105]:=

f[x_]:=2*x^2+x^4

6

If[f[x]===f[­x],Print["fonksiyon çift"],

If[f[­x]===­f[x],Print["fonksiyon tek"],

Print["fonksiyon ne tek ne de çift"]]]

Out[105]=

fonksiyon çift

Örnek

f:R→R, 2 ) ( 2 − = x x f ile f:R→R, 3 ) ( x x g = fonksiyonlarının gof(2) bileşke fonksiyonunun

değerini bulunuz.

In[106]:=

7

f[x_]:=x^2­2 g[x_]:=x^3

g[f[2]]

Out[106]=

8

Örnek

f:R\4→ R\2, 4 5 2 ) (

− +

= x x x f şeklinde tanımlanıyor. f’nin tersi olan fonksiyonu bulunuz.

In[107]:=

f[x_]:=(2*x+5)/(x­4) bul=Solve[f[x]y,x];

8

g[x_]:=x/.bul[[1]]

g[x_]=g[x]/.y­>x

Out[107]=

5 + 4x

−2 + x

Örnek

1 2 ) ( − = x x f fonksiyonunun tersini bulup her iki fonksiyonun grafiğini çiziniz.

In[108]:=

f[x_]:=2*x­1 bul=Solve[f[x]y,x];

9

g[x_]:=x/.bul[[1]]

g[x_]=g[x]/.y→x

Plot[f[x],g[x],x,­2,3];

Out[108]=

1 + x 2

­2 ­1 1 2 3

­4

­2

2

4

10

Örnek

− < < ≤ − −

≥ − =

1 , 3 2 1 , 2

2 , 4 ) (

2

x x x

x x x f parçalı fonksiyonun grafiğini çiziniz.

In[109]:=

f[x_/;x>=2]:=4­x^2 f[x_/;­1<=x<2]:=x­2

f[x_/;x<­1]:=3

Plot[f[x],x,­5,5];

11

­4 ­2 2 4

­12

­10

­8

­6

­4

­2

2

Örnek

3 2 2 log ifadesinin sonucunu elde ediniz.

In[110]:=

Log[2,2^(1/3)] Out[110]=

1 3

12

Örnek

5 32 log = x eşitliğinde x’in değerini elde ediniz.

In[111]:=

Solve[Log[x,32]5,x] Out[111]=

x→2

Örnek

1 ) 4 ( 2 3 = − − x x denkleminin çözümünü elde ediniz.

In[112]:=

13

Solve[(4^(3­x))^(2­x)1,x] Out[112]=

x→2,x→3

ALIŞTIRMALAR (Mathematica’da çözünüz)

1. Tüm alt kümelerinin sayısı 64 olan küme kaç elemanlıdır?

( n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2 n dir)

2. A =­1, 2, 4, 6, 8, B = ­2, 0, 1, 2, 3 ve C = ­3, 1, 5, 7, 11, 15 ise A ∩ B,

B ∩ C, A ∪ B, B ∪ C, A \ B ve B \ A kümelerini bulunuz.

3. X = a, b, c, d ve Y = a, c, e kümeleri veriliyor. (X t \ Y) t kümesinin

elemanları nedir?

14

ALIŞTIRMALAR ( Mathematica kullanmadan çözünüz)

1. x = 1,213 sayısının rasyonel sayı olan eşitini bulunuz.

2. A = 11 1, 2 2, 23 0, 3 4,

− − ise A kaçtır?

ALIŞTIRMALAR ( Mathematica’da çözünüz)

1. 1; 3 ; –2/3; 3; 5/2; π; –4; 4,50 ve 18/4 gerçel sayılarını sayı ekseni üzerinde

gösteriniz.

2. –11/3, 7, –π, 8/3, –2 sayılarını sıralayınız.

15

ALIŞTIRMALAR ( Mathematica’da çözünüz)

1. 2 –4 , 5 2 / 125, (4.2 5 ) 3 ve (3/81) –3 işlemlerinin sonuçları nedir?

2. 7 –5 .7 –4 .7 5 .7 –8 = ?

3. –2 6 – (–4) 5 –(–1) 8 + (–6) 2 = ?

4. 324 , 64 , 64 3 9 − ve 3 208 ifadelerinin sonuçlar ını bulunuz.

5. |x + 3| ≤ 2 ile belir lenen kapalı aralığı bulunuz.

6. |x + 5| = 6 denkleminde x’in değer leri nedir?

16

ALIŞTIRMALAR ( Mathematica kullanmadan çözünüz)

1. | |2x| + 5| = 7 denkleminin çözümü nedir?

2. x ∈ Z olmak üzere, 3 x 8− <6 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

3. 3 2a = m olduğuna göre 9 3a­2 ifadesinin sonucu nedir?

4. Bir sınıfın tüm öğrencileri futbol (F), voleybol (V) ve basketbol (B) sporundan

en az birisini yapmaktadır. Her üç sporu yapanlar 3 kişi, futbol ve voleybol

oynayanlar 4 kişi, voleybol ve basketbol oynayanlar 8 kişi, futbol ve basketbol

oynayanlar 6 kişidirler. Voleybol oynayanlar 14 kişi, basketbol oynayanlar 22

kişi, futbol oynayanlar 17 kişi olduğuna göre sınıfın mevcudu nedir?

17

ALIŞTIRMALAR ( Mathematica’da çözünüz)

1. (x + y) 2m+3 . (x + y) –2m–3 = ?

2. (27 –4 .81 0 .9 –2 ) / (3 –6 .27 4 ) = ?

3. ? = − 24 1 2

72 1

4. | 5x ­ 1| – 11 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

1

2

Mathematica’da Çizim

İki boyutlu grafik çizimi Mathematica’da iki boyutlu grafikleri çizmek için Plot[ ] komutu kullanılır. Eğer grafiğin bir

çerçeve içinde olmasını isterseniz Frame­>True, eksenlere isim vermek için AxesLabel­>“x­

ekseni ismi”,”y­ekseni ismi”, grafiğin çizildiği zemini küçük karelere (ızgara) bölmek için

GridLines­>Automatic, grafiğin eni ve boyunun oranını eşitlemek için AspectRatio­>1

komutlarını kullanabiliriz.

Ayrıca çizgi rengi ve çizgi kalınlığı için de PlotStyle­>RGBColor[0,0,1],

Thickness[0.015] benzeri bir komutta Plot[ ] komutunun içinde yer alabilir. Burada RGB ile

Red, Gren ve Blue (Kırmızı, Yeşil ve Mavi) temsil edilmekte ve [0,0,1] değerleri ile her bir

3

renkten ne kadar kullanılacağı belirtilmektedir. Değerler 0.00­1.00 arasında olabilir.

Thickness[ ] komutunun içinde yazan değer ise çizgi kalınlığıdır. Çizgi yerine kesikli çizgi

çizmek için Dashing[ ] komutuda yine PlotStyle­> içine yazılabilir.

Aynı anda birden fazla fonksiyonun grafiğini de çizmek mümkündür.

Örnek

In[38]:=

Plot[Sin[x],x,0,2*Pi,PlotStyle−>RGBColor[1,0,0]];

4

1 2 3 4 5 6

­1

­0.5

0.5

1

Örnek

In[39]:=

Plot[Abs[x^2­6],Sign[x^2­5],0.5*Round[x],x,0,2*Pi,

PlotStyle−>RGBColor[0,0,1],Thickness[0.015],Dashing[0.03]];

5

(*Bu örnekte bir mutlak değer, bir işaret fonksiyonu ve bir de basamak değer (tam değer) fonksiyonu kullanılmıştır*)

1 2 3 4 5 6

2

4

6

6

Düzlemde nokta çizimi Mathematica’da x­y koordinatlarında nokta çizmek için ListPlot[ ] komutu kullanılır. Eğer

nokta büyüklüklerini değiştirmek isterseniz PlotStyle­>PointSize[ebat] komutunu, noktaların

rengi için de PlotStyle­>RGBColor[ ] komutunu kullanabilirsiniz.

Örnek 1.40

In[40]:=

ListPlot[­2,5,3,7,PlotStyle−>PointSize[0.025]];

7

­2 ­1 1 2 3

5.5

6

6.5

7

Bu örnekte (­2,5) ve (3,7) noktaları çizilmiştir. Nokta sayısı istenildiği kadar arttırılabilir.

Eğer noktaları birleştirip üzerlerinden geçen bir eğri ya da doğru çizmek istenirse

PlotJoined­>True komutu ListPlot[ ]’un içine yazılmalıdır.

8

Parametrik Çizim Elle çizimi oldukça zor olan bu grafikler için ParametricPlot[ ] komutu komutu kullanılabilir.

Örnek

In[41]:=

ParametricPlot[Sin[t],Sin[2*t],t,0,2*Pi];

9

­1 ­0.5 0.5 1

­1

­0.5

0.5

1

Kapalı Fonksiyonların Çizimi Eğer fonksiyonumuz kapalı (implicit) ise o zaman ImplicitPlot[ ] komutunu kullanmamız

gerekir. Yalnız bu komutta kendisine ait olan kütüphaneye ihtiyaç duymaktadır. Bu yüzden

öncelikle <<Graphics`ImplicitPlot` komutu ile kütüphane çağrılmalıdır.

10

Örnek

In[42.1]:=

<<Graphics`ImplicitPlot`

In[42.2]:=

ImplicitPlot[x^2+y^236,x,­10,10,y,­10,10];

11

­10 ­5 0 5 10 ­10

­5

0

5

10

12

Üç boyutlu grafik çizimleri 3 boyutlu çizimler için Mathematica’da Plot3D[ ] komutu kullanılır. Ayrıca parametrik

denklemler için de ParametricPlot3D[ ] komutu kullanılabilir. Her iki komutta da grafiğe

bakış noktamızı ViewPoint­>x,y,z ile belirlemek mümkündür.

Örnek

In[43]:=

Plot3D[Sin[x^2]+y^2,x,0,Pi,y,0,Pi/2];

13

0

1

2

3 0

0.5

1

1.5

­1 0 1 2 3

0

1

2

3

Örnek

In[44]:=

ParametricPlot3D[t,u,Sin[t*u],t,0,3,u,0,3,

14

ViewPoint−>0,4,3];

0 1 2 3

0

1

2

3

­1

­0.5

0

0.5

1

0

1

2

15

İki boyutlu çizimlerde alan boyama Mathematica’da iki eğri arasında kalan alan veya eğri ile x­ekseni arasında kalan alanlar

boyanabilir. Bunun için FilledPlot[ ] komutu, öncelikle <<Graphics`FilledPlot` kütüphanesi

çağrıldıktan sonra kullanılabilir.

Örnek

In[45.1]:=

<<Graphics`FilledPlot`

In[45.1]:=

FilledPlot[x^2,x,­4,4];

16

­4 ­2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15

­4 ­2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17

Grafiklerin birleştirilmesi Mathematica’da farklı tür grafikleri birleştirmek için Show[ ] komutu kullanılır. Burada

dikkat edilmesi gereken tüm grafikleri birer isim ataması yapmak ve bunları Show[ ] içinde

çağırmaktır.

Örnek

In[46]:=

noktalar=ListPlot[­2,0,2,0,PlotStyle−>PointSize[0.035]];

f[x_]:=x^2­4

grafik=Plot[f[x],x,­5,5,PlotStyle−>RGBColor[1,0,1]];

Show[noktalar,grafik];

18

­4 ­2 2 4

5

10

15

20

1

2

Vektör ve Matris İşlemleri

Vektörler Mathematica’da vektörler parantezleri içinde her elemandan sonra virgül konulacak

şekilde yazılır. Örneğin; ­1,2,4 gibi. Vektörlerin 3 çeşit çarpma işlemi olabilmektedir.

Bunlar; Cross[ ] (iç), . (nokta, vektörel) ve * (yıldız, skaler) çarpımlarıdır.

Vektörlerin nasıl çizileceğine dair bir uygulamayı Örnek 1.48’de görebilirsiniz.

3

Örnek

In[47]:=

u=­1,3,5;

v=0,3,2;

u.v

u*v

Cross[u,v]

Out[47]=

19

0,9,10

4

­9,2,­3

Örnek

In[48]:=

<<Graphics`Arrow`

vektör[a_,b_]:=Graphics[Hue[1],Arrow[b,a+b]]

vektör[a_]:=vektör[a,0,0]

Show[vektör[1,1,2,1],Axes−>True,PlotRange−>0,3,0,3];

Show[vektör[1,2],vektör[2,1],Axes−>True,

PlotRange−>0,3,0,3];

5

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

6

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Matrisler Matrisler parantezlerin içine her satır ayrı bir içinde olmak üzere yazılırlar. Örneğin;

2,4,5,­1 matrisi 2x2 ebatlarında bir matris tanımıdır. Eğer tanım sonuna //MatrixForm

yazmazsak matrisi tek bir satırda parantezler içinde görürürüz. Bu yardımcı komut bize

7

matrisi gerçek haliyle görmemizi sağlar. Ancak bu sırada bir atama yapmış ise bu geçersiz

kalır. Çünkü Mathematica ancak liste ahlindeki matris tanımını atamada uygun görmektedir.

Matrislerin tersi için Inverse[ ], transpozu (devriği) için Transpose[ ] ve determinantını

bulmak için Det[ ] komutlarını kullanabiliriz.

Eğer bir denklem sistemi m katsayılar matrisi, x bilinmeyenler matrisi ve b değerler matrisi

olmak üzere mx=b şeklinde verilmişse bu sistemi LinearSolve[m,b] komutu ile çözebiliriz.

Örnek

In[49]:=

M=2,5,6,0,3,­2,­5,1,­1//MatrixForm

Out[49]=

8

i

k

j j j j j 2 5 6 0 3 −2 −5 1 −1

y

z z z z z

Örnek

In[50]:=

M=2,5,6,0,3,­2,­5,1,­1;

Inverse[M]//MatrixForm

Transpose[M]

Det[M]

Out[50]=

9

i

k

j j j j j j j j j j j

− 1138

11 138

− 1469

5 69

1469

2 69

5 46

− 9 46

1 23

y

z z z z z z z z z z z

2,0,­5,5,3,1,6,­2,­1

138

Diğer Matematiksel İşlemler Mathematica’da diferansiyel denklemi çözmek için DSolve[denklem,fonksiyon,değişken]

komutu kullanılabilir. Seri toplam için Sum[genel terim,değişken,alt_sınır,üst_sınır] ve seri

çarpım için Product[genel terim,değişken,alt_sınır,üst_sınır] komutlarını da kullanabiliriz.

10

Örnek

In[37]:=

Sum[1/a^2,a,1,Infinity] (*Infinity, sonsuz demektir*)

Out[37]=

π 2

6

Bir amaç fonksiyonun verilen kısıtlamalar içinde minimum ya da maksimum değerini bulmak

için Minimize[ ] ve Maximize[ ] komutları kullanılabilir.

Örnek

In[52]:=

Minimize[x­y+z,y­z<3,x>7,x,y,z]

11

Out[52]=

4,x→7,y→3,z→0

Örnek 1.53

In[53]:=

Maximize[x^2+y,x^2+y^2≤1,x,y]

Out[53]=

: 5 4 , :x→ −

è!!!! 3 2

, y → 1 2

>>

12

Karışık Örnekler Örnek

− = − = + + = + −

11 7 5 3 2 4 3 2

z y z y x z y x

lineer denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.

In[125]:=

Solve[x­2*y+3*z4,2*x+y+z3,5*y­7*z­11,x,y,z] Out[125]=

x→­1,y→2,z→3

13

Örnek

=

4 3 5 2

A ,

−

= 1 2 3 1

B ve

=

3 1 0 2

F ise A+B­2F’nin sonucunu bulunuz.

In[126]:=

A=2,5,­3,4; B=1,3,2,­1; F=2,0,1,3; A+B­2*F//MatrixForm

Out[126]=

J −1 8 −3 −3 N

14

Örnek

−

= 1 5 4 2

A ve

=

7 4 3 0

B ise B A T × işleminin sonucunu bulunuz.

In[127]:=

A=2,4,5,­1; B=0,3,4,7; Transpose[A]*B//MatrixForm

Out[127]=

J 0 15 16 −7 N

15

Örnek

− =

5 0 0 0 3 0 0 0 1

A köşegen matrisi ve 3 I birim matrisi verildiğine göre A.B’yi bulunuz.

In[128]:=

DiagonalMatrix[1,3,5].IdentityMatrix[3]//TraditionalForm Out[128]=

i

k

j j j j j j

1 0 0 0 3 0 0 0 5

y

z z z z z z

16

Örnek

− − −

= 9 8 1 3 4 4 6 4 3

A matrisinin determinant değerini elde ediniz.

In[129]:=

Det[3,4,­6,4,4,­3,1,8,­9] Out[129]=

­72

17

Örnek

= + + = + + = + +

18 4 2 22 3 2 3 25 2 3 3

z y x z y x z y x

lineer denklem sistemini matrisler yardımıyla ifade ederek çözünüz.

In[130]:=

m=3,3,2,3,2,3,2,1,4; a=x,y,z; b=25,22,18;

Solve[m.ab,x,y,z]

Out[130]=

::x→ 1, y→ 28 5 , z →

13 5

>>

18

Örnek

= + + − = + + + = + − + = + − +

4 7 6 3 5 2 3 2 2 4 3 1 4 5

t z y t z y x t z y x t z y x

denklem sistemini arttırılmış matris yarımıyla çözünüz.

In[131.1]:=

<<LinearAlgebra`MatrixManipulation` In[131.2]:=

m=1,5,­4,1,3,4,­1,2,3,2,1,5,0,­6,7,1;

b=1,2,3,4;

AppendRows[m,b]//MatrixForm

19

Out[131.2]=

i

k

j j j j j j j j j

1 5 −4 1 1 3 4 −1 2 2 3 2 1 5 3 0 −6 7 1 4

y

z z z z z z z z z

In[131.3]:=

RowReduce[%]//MatrixForm

Out[131.3]=

i

k

j j j j j j j j j j j j j j j j j j

1 0 0 0 − 127 35

0 1 0 0 141 35

0 0 1 0 139 35

0 0 0 1 1335

y

z z z z z z z z z z z z z z z z z z

20

Örnek

− 1 2 1 2 3 2 1 1 1

matrisinin tersini bulunuz.

In[132]:=

Inverse[1,1,1,2,3,­2,1,2,1]//MatrixForm Out[132]=

i

k

j j j j j j j j j

7 4

1 4

− 5 4

−1 0 1 1 4

− 1 4

1 4

y

z z z z z z z z z

21

Örnek

= + − − = + + −

= +

8 3 2 30 6 4 3

6 2

z y x z y x

z x lineer denklem sisteminin çözümünü ters matris yardımıyla elde ediniz.

In[133]:=

m=1,0,2,­3,4,6,­1,­2,3; b=6,30,8;

Inverse[m].b

Out[133]=

::− 10 11

>, : 18 11

>, : 38 11

>>

1

2

Örnek

In[83]:=

A=2,3,4,6,3,9;

Dimensions[A](*satır ve sütun sayısını bulur*)

Out[83]=

2,3

Örnek

Det[ ] komutunu kullanamadan B matrisinin determinantını dizi indeksleri kullanarak bulalım.

Burada örneğin B[[1,2]] ile ifade edilen B matrisinin 1. satır 2. sütunundaki değerdir.

In[84]:=

B=2,3,6,3;

3

B[[1,1]]*B[[2,2]]­B[[1,2]]*B[[2,1]]

Out[84]=

­12

Örnek

M matrisinin Inverse[ ] komutu ile bulunan tersinin doğruluğunu kontrol edelim. Buradaki

IdentityMatrix[3] ile 3x3’lük birim matris ifade edilmiştir.

In[85]:=

M=2,3,4,6,3,9,0,­1,1;

M.Inverse[M]IdentityMatrix[3]

4

Out[85]=

True

Trigonometri Örnek

(12,­57,10) vekörünün boyunu bulalım.

5

In[67]:=

v=12,­57,10;

boy[v_List]:=Sqrt[v.v]

boy[v]//N

Out[67]=

59.1016

Örnek

Bir önceki örnekteki boy[ ] tanımı yarımıyla (2,4) ve (9,­13) vektörleri arasındaki açıyı derece

cinsinden bulalım.

6

In[68]:=

boy[v_List]:=Sqrt[v.v]

u=2,4;

v=9,­13;

N[ArcCos[u.v/(boy[u]*boy[v])]]/Degree

Out[68]=

118.74

Örnek

In[80]:=

Tan[3*Pi/2­t]

7

Simplify[E^(2*Pi*I)]

TrigExpand[Cos[a­b]]

TrigToExp[Tan[x]]

ExpToTrig[(E^x­E^(­x))/2]

TrigReduce[Tan[x+Pi/2]]

TrigFactor[Cos[a]+Cos[b]]

Out[80]=

Cot[t]

1

8

Cos[a] Cos[b]+Sin[a] Sin[b]

ä Iã −äx − ã äx M

ã −äx + ã äx

Sinh[x]

­Cot[x]

2CosB a 2

− b 2

F CosB a 2

+ b 2

F

Örnek

In[81]:=

Do[Print[n,Switch[n,_,"derece"]," = ",n*Pi/180],n,0,360,60]

9

Out[81]=

0 derece = 0

60derece = π

3

120derece = 2 π

3

180 derece = π

240derece = 4 π

3

300derece = 5 π

3

360 derece = 2 π

10

Örnek

Ekrandan girilecek bir açı hakkında bilgi veren bir uygulama yapalım.

In[82]:=

a=Input["Aciyi derece olarak giriniz:"]

kat=Floor[a/360]; gercek=a­kat*360;

Print["Gercek aci:",gercek]

If[0<gercek<90,Print["Girilen aci I. bolgededir ve esas olcusu:",gercek],

If[90<gercek<180,Print["Girilen aci II. bolgededir ve esas olcusu:",180­gercek],

If[180<gercek<270,Print["Girilen aci III. bolgededir ve esas olcusu:",gercek­180],

11

If[270<gercek<360,Print["Girilen aci IV. bolgededir ve esas olcusu:",360­gercek],

Print["Aci eksenler uzerindedir",gercek]]]]]

Out[82]=

207

Gercek aci: 207

Girilen aci III. bolgededir ve esas olcusu: 27

Karışık Örnekler

Örnek

12

150 derecelik yayı radyan cinsinden hesaplayınız.

In[113]:=

a=150; Solve[a/180R/Pi,R]

Out[113]=

::R→ 5 π

6 >>

Örnek

α α

α sin 1 sin 1

cos 2

+ = −

olduğunu gösteriniz.

13

In[114]:=

FullSimplify[(Cos[α])^2/(1­Sin[α])] Out[114]=

1+Sin[α]

Örnek

) 2 ( α Sin değerini elde ediniz.

In[115]:=

TrigExpand[Sin[2*α]] Out[115]=

2 Cos[α] Sin[α]

14

Örnek

) 135 sin( ° ’yi hesaplayınız.

In[116]:=

Sin[135 Degree] Out[116]=

1 è!!!! 2

Örnek

α α π cos ) 2

sin( = − olduğunu gösteriniz.

15

In[117]:=

TrigReduce[Sin[Pi/2­α]] Out[117]=

Cos[α]

Örnek

2 sin x x = denkleminin x=1.5 civarındaki çözümünü elde ediniz.

In[118]:=

FindRoot[Sin[x]x/2,x,1.5] Out[118]=

16

x→1.89549

Örnek

1 2 cos 2 cos 2 2 = + x x denkleminin çözümünü elde ediniz.

In[119]:=

Solve[2*Cos[x]^2+2*Cos[2*x]1,x] Out[119]=

::x→ − 3 π

4 >, :x→ −

π

4 >, :x→

π

4 >, :x →

3 π

4 >>

Örnek

17

Kenarları 12, 15 ve 18 birim olan bir üçgenin alanını hesaplayınız.

In[120]:=

a=12; b=15; c=18; s=(a+b+c)/2;

Sqrt[s*(s­a)*(s­b)*(s­c)]//N

Out[120]=

89.2941

Örnek

0 ile π 2 arasındaki 6 π artarak elde edilen açıların Sinüs, Kosinüs, Tanjant ve Kotanjantını

bulup tablo halinde gösteren bir Mathematica uygulaması yapalım.

18

In[55]:=

TableForm[Table[açı,Sin[açı],Cos[açı],Tan[açı],Cot[açı],

açı,0,2*Pi,Pi/6],TableHeadings→None,"Açı","Sin","Cos",

"Tan","Cot"]

Out[55]=

19

Açi Sin Cos Tan Cot 0 0 1 0 ComplexInfinity

π 6

1 2

"#### 32

1 "#### 3

è!!!! 3

π 3

"#### 32

1 2

è!!!! 3 1 "#### 3

π 2

1 0 ComplexInfinity 0

2π3

"#### 32

− 1 2

− è!!!! 3 − 1 "#### 3

5π6

1 2

− "#### 32

− 1 "#### 3

− è!!!! 3

20

π 0 −1 0 ComplexInfinity

7π6

− 1 2

− "#### 32

1 "#### 3

è!!!! 3

4π3

− "#### 32

− 1 2

è!!!! 3 1 "#### 3

3π2

−1 0 ComplexInfinity 0

5π3

− "#### 32

1 2

− è!!!! 3 − 1 "#### 3

11π 6

− 1 2

"#### 32

− 1 "#### 3

− è!!!! 3

2 π 0 1 0 ComplexInfinity