Post on 13-Jan-2020
Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE
Matemáticas Discretas
Cursos Propedéuticos 2011Ciencias Computacionales
INAOE
Dr. Enrique Muñoz de Cotejemc@inaoep.mx
http://ccc.inaoep.mx/~jemcOficina 8210
Diapositivas basadas en previas iteraciones de:
Dr. Enrique SucarDr. Luis Villaseñor
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Grafos
Definiciones básicas Caminos y ciclos Grafos eulerianos y hamiltonianos Isomorfismo Árboles
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Generalidades Los grafos son estructuras discretas compuestas por
vértices y aristas que conectan pares de esos puntos Son una abstracción útil para modelar situaciones
tales como: Redes de computadoras Estructuras de datos Redes eléctricas y telefónicas Circuitos eléctricos Sistemas carreteros Sistemas de toma de decisiones
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¿Qué son? Un grafo es una representación gráfica de objetos y
relaciones binarias entre éstos. Un grafo se representa gráficamente por medio de puntos o
pequeños círculos, que designan vértices, y líneas que los unen, que representan las aristas
1
54
3
2
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Grafos dirigidos Un grafo dirigido/dígrafo G = (V, E) consiste de un
conjunto de vértices V (o nodos) y un conjunto de aristas (o arcos) dirigidas E ⊆ V×V Note que las aristas (a, b) tiene una dirección; un vértice
fuente/origen a y un vértice terminal b
V={1,2,3,4,5} E = {(1,3), (2,3), (3,4),
(4,3), (5,3), (5,4), (5,5)}1
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3
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Grafos simples Un grafo no dirigido G = (V,E) sin auto lazos se
denomina grafo simple E se determina por una relación simétrica, antireflexiva, tal
que {a,b} ∈E si y solo si (a,b)∈R
V={1,2,3,4,5}E = {{1,2}, {1,3}, {2,3},
{3,4}, {3,5}, {4,5}, {2,5}} 1
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3
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Definiciones Si e={u, v} es una arista entonces se dice que los
vértices u y v son los extremos de e Un vértice y una arista son incidentes si el vértice es
uno de los extremos de la arista Dos vértices u y v son adyacentes si {u, v} es una
arista
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Ejemplo: vértices ¿Cuáles vértices son adyacentes a 1?
1 es adyacente a 2 y 3 2 es adyacente a 1 y 3 3 es adyacente a 1 y 2 4 no es adyacente a vértice alguno
1 2
3 4
e3
e1
e2e4
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Ejemplo: vértices ¿Cuáles aristas son incidentes a 1?
e1, e2, e4 son incidentes a 2 2 es incidente con e1, e2, e4 3 es incidente con e2, e3 4 no es incidente con ninguna arista
1 2
3 4
e3
e1
e2e4
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Definiciones Dos aristas asociadas al mismo par de vértices son
aristas paralelas Una arista incidente en un sólo vértice es un ciclo Un vértice que no es incidente en ninguna arista es un
vértice aislado
Tipos de grafos Un grafo no dirigido sin auto lazos (un ciclo sobre un
mismo vértice) se denomina grafo simple Un grafo con aristas paralelas (dos aristas pueden
conectar un mismo par de vértices) es llamado multigrafo
Un grafo completo es un grafo con arcos entre cada par de vértices
Un grafo pesado es aquel que tiene pesos asociados a nodos y/o arcos
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Grafos completos Se llama grafo completo en n vértices a un grafo con
n vértices v1, v2, …, vn donde para todo a y b que pertenecen a V existe una arista {a, b}. Este grafo se denota Kn, y el número de aristas de Kn es n(n-1)/2
Cada par de vértices distintos comparte un arista
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Grados El grado de un vértice v de un grafo es el número
g(v) de aristas incidentes con él. Si g(v) = 0 se dice que v es un vértice aislado En grafos dirigidos existen grado de entrada y grado de
salida
La sucesión de grados de un grafo se obtiene ordenando en forma creciente los grados de todos los vértices
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Ejemplo: grado de un vértice ¿Cuál es grado del vértice 2?
g(2)=1+1+1+2+2=7
1 2
3
e1
e3e2
e4e5
e6
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Ejemplo: grado de un vértice ¿Cuáles son los grado de entrada y salida de los
vértices del grafo mostrado en la figura? g-(1) = 0 g-(2) = 3 g-(3) = 4 g+(1) = 2 g+(2) = 3 g+(3) = 2
1
2
3
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Teorema de Euler En todo grafo G=(V, E) se cumple
Las aristas se pueden contar considerando cuantas son incidentes en cada vértice y sumando todos los números obtenidos. Pero asi cada arista resulta contada dos veces, una para cada uno de sus extremos
€
g(v) = 2 EvεV
∑
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Ejemplos Si un grafo tiene una sucesión de grados 0, 0, 1, 2,
3, 4, ¿Cuántas aristas tiene? (0+0+1+2+3+4)/2=5
¿Existe algún grafo cuya sucesión de grados sea 1, 1, 2, 3, 4? No, dado que 1+1+2+3+4=11 es impar
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Subgrafos Si G = (V, E) y H = (W, F) son grafos tales que W
⊂ V y F ⊂ E, entonces se dice que H es un subgrafo de G y que G es un supergrafo de H. Cada arista de F es incidente con vértices en W
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Caminos y ciclos Un camino de longitud n+1 es un grafo G = (V, E)
con V = {v0, v1, v2, . . . , vn} y E = {v0v1, v1v2, . . . , vn−1vn}. Un camino se representa dando la sucesión v0v1 . . . vn de sus vértices, entendiendo que las aristas son v0v1, v1v2,. . . , vn−1vn. A v0 y vn se les llama extremos del camino. Camino: Secuencia ordenada de vértices y arcos. Camino cerrado: Cuyo inicio es igual que el final Camino simple: Sin aristas repetidas. Camino elemental: Sin vértices repetidos.
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Caminos y ciclos Un ciclo de longitud n es un grafo G = (V,E) de orden
n≥3, con vértices v0, v1, . . . , vn−1 y aristas v0v1, v1v2,. . . , vn−2vn−1 y vn−1v0.
Ciclo: Camino elemental cerrado. Circuito: Camino simple cerrado.
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Ejemplo Camino de a-b
{a, b},{b, d}, {d, c}, {c, e}, {e, d}, {d, b}
Camino de b a f b – c – d – e – c – f
Camino de f a a {f, c}, {c, e}, {e, d}, {d, a}
Camino de c a c c – e – d – c
a
b
dc
fe
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Distancia y diámetro La distancia d(u, v) entre dos vértices u y v de un
grafo es la longitud del camino más corto de u a v. Si no existe ningún camino de u a v entonces d(u, v) = ∞.
El diámetro de G es la máxima distancia entre dos vértices distintos de G y se denota diam(G).
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Grafo conexo Un grafo G = (V, E) es conexo si para cualquier par
de vértices u, y v existe un camino en G que los une, es decir un camino con extremos u y v. Equivalentemente, G es conexo si diam(G) < ∞
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Ejemplo Sea G=(V, E) un grafo no dirigido en V={a, b, c, d, e,
f, g} El grafo no es conexo Los dos sub-grafos son conexos
a
b
df
c
e g
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Problemas de Caminos y Circuitos Encontrar si existe un camino entre un par de vértices Encontrar el camino más corto entre un par de
vértices Encontrar camino que pase por cada arista una sola
vez (Euler) Encontrar circuito que pase por cada vértice una sola
vez (Hamilton)
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Camino simple de Euler Un camino simple de Euler es un camino que pasa
por todas las aristas exactamente una sola vez. Los puentes de Königsberg
Camino simple de EulerTeorema: (a) Si un grafo conexo tiene más de dos nodos con
grado impar, no existe un camino simple de Euler. (b) Si existen exactamente dos vértices de grado
impar, el grafo se puede recorrer, pero el camino ha de empezar en uno de los dos vértices de grado impar y terminar en el otro.
(c) Si no existen vértices de grado impar, el grafo se puede recorrer. El camino siempre será cerrado.
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Ciclo de Hamilton Sean G=(V, E) un grafo, se dice que G tiene un ciclo
de Hamilton si existe un ciclo en G que incluye todos y cada uno de los vértices en V.
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Ejemplo En el grafo de la figura, las aristas {a, b}, {b, c}, {c,
f}, {f, e}, {e, d}, {d, g}, {g, h} y {h, i} producen una camino de Hamilton
a b
ed
c
f
hg i
¿Existe solución? Dado un grafo cualquiera, ¿es posible determinar si
posee un camino Hamiltoniano?
Es una pregunta muy parecida a la de Euler, así que se esperaría una respuesta del mismo tipo… Sin embargo, se trata de un problema NP-completo
(Teorema de Garey-Johnson)
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Grafos bipartitos Un grafo G=(V, E) se dice que es bipartito si el
conjunto de vértices V puede particionarse en dos subconjuntos V1 y V2 tales que todas las aristas tengan un extremo en V1 y el otro en V2 Grafos bi-cromáticos: los vértices pueden ser coloreados
usando dos colores de tal forma que dos vértices adyacentes no tienen el mismo color
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Clique Grafo completo: cada par de nodos distintos son
adyacentes Conjunto completo: subconjunto W de G que induce
un subgrafo completo de G Clique: subconjunto de nodos que es conjunto
completo y máximo (no hay un conjunto completo que lo contenga)
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Isomorfismo Dos grafos G={V, E} y G’={V’, E’} son isomorfos si
existe una biyección f: V → V’ que preserva la relación de adyacencia, es decir tal que {u, v} ∈ E si y solo si {f(u), f(v)} ∈ E’
Dos grafos isomorfos deben tener el mismo número de vértices. Todas las propiedades que se deriven de la relación de adyacencia deben ser idénticas: mismo número de aristas y sucesiones de grado
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Tipos de isomorfismos Isomorfismo de grafos
correspondencia 1:1 entre dos grafos G1 - G2 Isomorfismo de subgrafos
correspondencia entre un grafo G1 y los subgrafos de G2 Doble isomorfismo de subgrafos
correspondencia entre los subgrafos de G1 y los subgrafos de G2
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Árboles Un árbol es un grafo conexo y
acíclico Sea G=(V, E) un arbol. Las
afirmaciones siguientes son equivalentes: G es un árbol Dos vértices cualesquiera de G están
unidos por un único camino G es conexo pero si se le quita
cualquier arista deja de serlo G es acíclico pero si se le agrega una
arista cualquiera deja de serlo
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Árbol Propiedades:
Hay un camino simple entre cada par de nodos El número de nodos = número de aristas + 1 Un árbol con 2 o más nodos tiene al menos dos nodos hoja
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Árboles dirigidos Árbol (enraizado): un nodo con grado de entrada 0
(raíz) y los demás con 1 Poliárbol (árbol dirigido): se vuelve un árbol al
quitar las direcciones
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Árbol dirigido Terminología:
Raíz: vértice con grado de entrada 0 Hoja: vértice con grado de salida 0 Interno: vértice con grado de salida > 0 Hijo / Padre: arista de A a B, A es padre de B y B es
hijo de A Hermanos: tienen el mismo padre Descendientes / Ascendientes: camino de A a B, A es
ascendiente de B y B es descendiente de A
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Árbol dirigido Terminología:
Subárbol con raíz A: A y todos sus descendientes Subárbol de A: subárbol con hijo de A como raíz Árbol ordenado: aristas salientes de cada nodo
etiquetados con enteros Árbol de aridad “m”: cada nodo rama (raíz o interno)
tiene máximo m hijos. Es regular si c/u tiene exactamente m hijos (binario m =2)
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Recorridos en árboles Sea T un árbol con raíz r. Si t no tiene otros vértices, entonces
las raíz constituye los recorrido pre-order y post-order. Si |V| > 1, sean T1, T2, …, Tk los subárboles de T de izquierda a derecha: El recorrido en pre-order de T primero visita r y después recorre los
vértices de T1 en pre-order, luego los vértices de T2 en pre-order y así sucesivamente hasta que los vértices de Tk son recorridos en pre-orden
El recorrido post-order de T recorre en post-order los subárboles T1, T2, .., Tk y después visita la raíz
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Ejemplos1
2 3
5
4
6 7 8 9 10
11 12 13 14 171615
Recorrido en pre-order: 1, 2, 5, 11, 12, 13, 14, 3, 6, 7, 4, 8, 9, 10, 15, 16, 17
Recorrido en post-order: 11, 12, 13, 14, 5, 2, 6, 7, 3, 8, 9,15, 16, 17, 10, 4, 1
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Recorrido in-order Sea T=(V, E) un árbol binario con raíz en el vértice
r: Si |V| = 1, entonces el vértice r constituye el recorrido
in-order de T Si |V| > 1, sea TL y TR los subárboles izquierdo y
derecho de T. El recorrido in-order de T visita primero los vértices de TL in-order y después visita la raíz y finalmente recorre in-order los vértices de TR
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Búsqueda con backtracking Se construye un árbol en el que las trayectorias
corresponden a isomorfismos: se toma un nodo de G1 y todas sus posibles
correspondencias en G2 (primer nivel) se buscan los nodos conectados a los nodos
correspondientes del primer nivel (segundo nivel) se continua hasta que no existan correspondencias las trayectorias en el árbol corresponden a isomorfismos
de subgrafos entre G1 y G2