Post on 28-Feb-2019
MATEMATYKA zadania domowe dla studentów Ekonomii, rok 2016/17
Zestaw opracowała dr inż. Alina Jóźwikowska
PRACA DOMOWA 1 2015/16EK CIĄGI LICZBOWE
Zad.1
Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym
a) 1
12
n
nan b)
2)!(
)!2(
n
nan c)
na
n
n
)1( .
zad.2 Wykazać ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym
a) n
an
n
)1( b) nnnan 22
Zad.3 Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym.
1) 342 nnan 2) nnan 2 3)nn
nan
4
22
3
4) 12
)1)(31(2
nn
nnan 5)
4
3
12
n
nan 6) nnan 22
7) nnnan 22 8) 133 nnan 9) 322 nnan
10) nnnn
an
2
1
22
11)
13
)4(
n
n
na 12) n
nn
na2
31)(
13) nn
n
na223
5
14)
2
1
425
4234
nn
nn
na 15) 1
n
na
n
n 16) n nn
n na 41 23 .
Zad.4 Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
1)
n
nn
na
2
23
1
2)
n
nn
na
2
23
14
3)
26
23
11
n
nn
a
4) 2
3
41
n
nn
a
5)
3
2
n
nn
na 6)
n
nn
na
2
32
12
7)
52
2
22
1
3
n
nn
na 8)
3
32
31
n
nn
a
odp:
zad.1 a) malejący, b) rosnący c) niemonotoniczny
zad.2 na przykład a) 1)1(
1
n
n
; b) 220 2 nnn
zad.3 1) , 2) ; 3) ; 4) –3; 5) 16; 6) ; 7) 1; 8) 0; 9) ; 10) 3
2;11) nie istnieje; 12) ; 13) ;
14) 1/8; 15) 0; 16) 6.
zad.4 1) 0; 2) ; 3) 2e ; 4)
3 23
2
ee ; 5) 2e ; 6)
4e ; 7) 4e ; 8) e .
PRACA DOMOWA 2 2015/16EK CIĄGI LICZBOWE
Zad.1 Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
1) , 2) n
nn
na
12
4
1
3
2
, 3) n
n
nn
na)1(
2
,
4) n
n nna sin2 , 5) n
n
n
na )1( 6) 3)1(
321
n
nan
,
7)
n
n
na
3
1
9
1
3
12
1
4
1
2
11
, 8)
)!3(
)!1()!2(
n
nnan , 9) ,
10) √ (√ √ ) .
Zad.2 ( z kalkulatorem)
Bank oferuje lokaty A, B, C.
Na lokacie A oprocentowanie roczne wynosi 2% a kapitalizacja co rok.
Na lokacie B oprocentowanie roczne wynosi 1,92% a kapitalizacja raz na pół roku.
Na lokacie C oprocentowanie roczne wynosi 1,84% a kapitalizacja co miesiąc.
Obliczyć roczne czynniki oprocentowujące dla poszczególnych lokat.
Która z lokat oferuje najkorzystniejsze warunki oszczędzanie w okresie 4-lat?
Odp:
Zad.1 Wsk. 1-5 zastosować tw. o trzech ciągach
przypomnieć wzory na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
1) 7; 2)
; 3) 1; 4) 1; 5)1 6) 0; 7) 4; 8) 0; 9) √ ; 10) 2.
Zad.2
A 1,02, B 1,01929, C 1,01856. Lokata A.
n nn
na 7432
2
2
2 1n
nn
na 2n
PRACA DOMOWA 3 2015/16EK
zad.1 zadanie powtórzeniowe ze szkoły średniej
Sporządzić wykresy funkcji, określić ich dziedziny i zbiory wartości.
a) 13)( 2 xxf , b) x
xxf
4
3)( , c) xxf 10log)( , d) )(log)(
4
1 xxf , e) 21)( xxxf .
Na podstawie wykresu funkcji umieć określić jej własności (różnowartościowość, ograniczoność, monotoniczność,
parzystość, nieparzystość).
zad.2 Podać wzór i dziedzinę funkcji złożonych hg oraz gh , jeżeli
a) xxh 10log)( , x
xxg 1)( ,
b) xxh )( , xxg sin)( ,
c) 2
1)(x
xh , xxg 3)( .
zad.3 Wyznaczyć wzór, dziedzinę i zbiór wartości funkcji odwrotnych do funkcji
a) 162)( xxf , b)
x
xf
3
21)( , c) )3(log1)( 2 xxf .
Naszkicować wykresy funkcji 1, ff w jednym układzie współrzędnych.
Zad.4 Obliczyć podane granice. Wyniki zilustrować graficznie. Wyciągnąć wnioski o asymptotach funkcji
xexf1
)(
a) x
xe
1
0lim
, b) x
xe
1
0lim
, c) x
xe
1
lim
, d) x
xe
1
lim
.
Zad.5 Wyznaczyć asymptoty funkcji
1
1log)( 10
x
xxf . Podać interpretację geometryczną obliczonych granic.
Zad.6 Obliczyć granice. Wyniki zilustrować graficznie.
a)x
x
x lnlim
0 b)
x
x
x
lnlim
0.
odpowiedzi
zad.2
a) x
xxhgxf
10
10
log
1log)]([)(
; ),1()1,0( fD ;
xxxghxt 1
10log)]([)( ),0()1,( tD
b) xxhgxf sin)]([)( ; RD f ; xxghxt sin)]([)( RDt
c) 2
1
3)]([)( xxhgxf ; }0{\RD f ; xx
xghxt9
1
3
1)]([)(
2 , RDt
zad.3 a) )16()( 2
211 xxf ),01 f
D , ),81 fW ;
b) )1(log)( 321 xxf
, )1,(1 fD RW f 1 ;
c) 32)( 11 xxf RDf
1 , ),3(1 fW
Zad.4 a)0, b) 0, c)1, d) 1 asymptota pozioma 1y , asymptota pionowa prawostronna 0x .
Zad.5 asymptota pozioma 0y , asymptota pionowa lewostronna 1x . asymptota pionowa prawostronna 1x
Zad.6 a) 0, b) .
PRACA DOMOWA4 2015/16EK CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Zad.1 Dla podanych funkcji złożonych wyznaczyć dziedzinę oraz wzory funkcji elementarnych, z których złożona jest
dana funkcja
a) 2
3
12)( x
x
xf b) xxf 4log2)( 32 c)
1
2arcsin)(
2
x
xxf
Zad.2 Dobrać wartości parametru a, tak aby funkcja była ciągła w swojej dziedzinie. Wykonać jej wykres.
3
2
1
34
)(xdlaax
xdlax
xf
Zad.3 Wyznaczyć, o ile jest to możliwe, wartość stałej a tak, aby funkcja była ciągła
1
11
1
)(
xdlaa
xdlax
arctgxf .
Zad.4 Dobrać wartości parametrów b, c, aby otrzymać funkcję ciągłą w R
11
111)(
2
3
xdlaxbxc
xxdlaxxf . Dla dobranych parametrów naszkicować wykres tej funkcji.
ZASTOSOWANIE WŁASNOŚCI DARBOUX
Zad.5 xx
xxf
2
1log)(
2. Korzystając z własności Darboux rozstrzygnąć, czy równanie 0)( xf ma
rozwiązanie należące do przedziału 5,3 .
Zad.6
Uzasadnić, że funkcja 2
21arccos)(
x
xxf w przedziale
2
1,0 przyjmuje wartość 2w .
Zad.7 a) Czy istnieje )1,0(x takie, że xx 42 ?
b) Czy istnieje
2
1,
4
1x takie, że xx 42 ?
Zad.8
Wykazać, że wielomian 133)( 23 xxxxw ma pierwiastek w przedziale )0,1( .
Wyznaczyć przedział o długości 41 , w którym znajduje się ten pierwiastek.
Zad.9
Wyznaczyć przedziały o długości co najwyżej ½ , w których znajdują się pierwiastki równań
a) 015 35 xx b) 034 234 xxx .
odpowiedzi
zad.1
a) 2
3
1)(
x
xxt
, xxg )( , xxh 2)( , tghf )1,0)1,( fD
b) xxt 4)( , xxg 2log)( , 32)( xxh tghf )16,0fD
c) 1
)(2
x
xxg , xxh arcsin)( , ghf RD f
Funkcję nazywamy wymierną, jeżeli można ją przedstawić w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Funkcje t z
przykładu a) oraz g z przykładu c) to funkcje wymierne.
Zad.2 2
5a
Zad.3 )(lim1
xfx
nie istnieje,(różne są granice jednostronne w punkcie 1), zatem nie da się wyznaczyć takiego a, by
funkcja była ciągła .
Zad.4 2,1 cb .
Zad.5 istnieje 5,30 x , takie, że 0)( 0 xf .
Zad.6 Dziedzina przedział 3,3
1,
3)0(
f ,
2)
2
1(
f ,
2,
32
.
Zad.7 a) tak, b) tak.
Zad.8
4
1,
2
1.
Zad.9 a)
2
1,1 b)
2
1,1 ;
4,
2
13 .
PRACA DOMOWA 5 OBLICZANIE POCHODNYCH 2015/16
Zad.1
Obliczyć iloraz różnicowy funkcji 2
1)(
xxf w punkcie 20 x , dla przyrostu argumentu
2
1x .
Podać interpretację geometryczną.
Obliczyć z definicji pochodną funkcji 2
1)(
xxf w punkcie 20 x . Podać interpretację geometryczną.
Zad.2 Obliczyć z definicji pochodną funkcji
a) 14 xxf w punkcie 20 x , b) 4xxf w punkcie Rx 0 ,
c) x
xf1
)( w punkcie 00 x , d) x
xf
1
1w punkcie 30 x .
Zad.3 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji
a) xxf cos)( w punkcie o odciętej 2
0
x ,
b) xxf ln)( w punkcie o odciętej 10 x ,
c) 3)( xxf w punkcie o odciętej 00 x ,
d) xxf arcsin)( w punkcie o odciętej 00 x .
Naszkicować wykres funkcji i tę styczną.
Zad.4 Obliczyć pierwszą pochodną funkcji stosując reguły różniczkowania
1) 28423)( 235 xxxxxf , 2)5 2)( xxxxf , 3)
3 2
1)(
xxxf ,
4) xxxf log)( , 5) xxxf cos)( 3 , 6) xxf x sin2)( ,
7) 32
1)(
3
x
xxf , 8)
x
xxf
ln , 9)
xxxfln
1ln)( .
Zad.5 Obliczyć pierwszą pochodną funkcji (funkcje złożone)
1. uuuf arcsin)( , 2.
w
wwf2
log)( 3 , 3.ttg
tf2
1)( ,
4. xxxf 3sin103)( , 5. 2
2
)(u
euf
u
, 6.x
xarctgxf
1
1)( ,
7. 22 sincos)( tttf , 8. xxxf ln3ln)(3 , 9. xexxf
1
2)( ,
10. xexxf 43)( , 11. 24)( xxxxf , 12.
xarctgxf
1)( .
Zad.6 Obliczyć przybliżoną wartość wyrażeń zastępując przyrost odpowiednio dobranej funkcji jej różniczką
zupełną
a) 99,0ln b) 03,0e c) 51,0arcsin .
ODPOWIEDZI
Zad.1 18
7
2
1
)2(2
3
ff
x
f,
4
1)2( f .
Zad.2 a) 3
2, b) 3
00 4)( xxf , c)
00
02
1)(
xxxf , d)
4
1)( xf .
Zad.3 a) xy 2
b) 1 xy , c) 0y , d) xy .
Zad.4
2) 5 35
2
2
3
xxxf , 3)
3 223
5
xxxf ,
4)x
xxf
10ln2
2log10ln)(
, 5) )sincos3(2 xxxxxf ,
6) xxxf x cossin2ln2 , 7) 2
23
32
294
x
xxxf ,
8) 2)(ln2
2ln
xx
xxf
, 9)
2
2
ln
1ln)(
xx
xxf
.
Zad.5
1. u
uuuf
12arcsin)( , 2.
ww
wwf
)2(
2
3ln
1)(
2
2
3.
t
ttf
3sin
cos2)(
,
4. )3cos10ln31(103)( 3sin xxxf x 5. 3
2 12)(
2
u
ueuf u
, 6.
212
1)(
xxf
,
7. )sinsincoscos(cos2)( 22 tttttttf , 8. x
xxf
1ln3)(
2 , 9. )12()(
1
xexf x , 10.
)43()( 24 xxexf x , 11. 24
)3(2)(
xx
xxxf
, 12.
21
1)(
xxf
.
Zad.6
a) 100
1 b)
100
103 c)
350
1
6
.
PRACA DOMOWA 6 EK 2015/16
Zad. 1 Wyznaczyć dziedzinę, przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji
1. 2)(ln)( xxxf 2. xxxf 3ln)( 3. xxxf ln3ln)( 3
4.x
xxf
ln)( 5. 1)( x
x
exf 6. 24)( xxxxf
7. )1(
12
)( xxexf 8. xex
xf
11
)( 9.2)1(2)( xexf
Zad.2 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanym przedziale
a) 2)(ln)( xxxf w przedziale ee ,2
b) xxxf ln3ln)( 3 w przedziale 21 ,ee
c) xexfx
11)( w przedziale
41,2 .
Uwaga. Pochodne funkcji obliczone w zadaniu 1.
Zad.3
Koszt wykonania prac w firmie jest funkcją liczby x zatrudnionych osób .100ln204,0)( 2 xxxk
Przy jakiej liczbie pracowników koszt wykonania prac jest najmniejszy i ile on wynosi ?
Zad.4
Miesięczna sprzedaż S ( w tys. sztuk) pewnego towaru wyraża się wzorem 25
100)(
2
t
ttS , gdzie t oznacza liczbę
miesięcy, która upłynęła od rozpoczęcia sprzedaży. Po ilu miesiącach sprzedaż osiągnie największą wartość? Ile
tys. sztuk wyniesie największa wartość sprzedaży?
Zad.5
Zysk z zależy od wielkości nakładów na reklamę według wzoru 3260)(
x
exxz
, gdzie x nakłady w tys. zł., z –
zysk w tys. zł. Ile należy przeznaczyć na reklamę by osiągnąć jak największy zysk?
Zad.1
1. x
xxxf
2
)4(lnln)(
, 01min f ,
2
4max
16
eef ,
Funkcja rosnąca w przedziałach, ),0( 4e , ),1( , funkcja malejąca w przedziale )1,( 4e .
2 )ln3(lnlnln3)( 232 xxxxxf
Funkcja malejąca w przedziale ),0( 3e , funkcja rosnąca w ),( 3 e , 33min
271
eef
.
3. x
xxf
)ln1(3)(
2 , 2)(max ef , 2)
1(min e
f
Funkcja rosnąca w przedziale ),( 1 ee , funkcja malejąca w przedziałach ),0( 1e , ),( e .
4xx
xxf
lnln2
1ln2)(
, ),1( fD , eef 2min ,
funkcja malejąca w przedziale ),1( e , rosnąca w przedziale ),( e .
5. 2
1
)1(
1)(
xexf x
x
),1()1,( fD
funkcja malejąca w przedziałach )1,( oraz ),1( brak ekstremów
6. 24
)3(2)(
xx
xxxf
4,0fD , )4,0(fD
Funkcja rosnąca w przedziale )3,0( , funkcja malejąca w przedziale 4,3 , 333max f .
7. 23
)1(
1
)1(
23)(
2
xx
xexf xx , 4
27
min )3
2( ef ,
Funkcja malejąca w przedziałach )1,( ,
3
2,1 , ),0( , funkcja rosnąca w przedziale
0,
3
2.
8. x
xe
xxf x
11)(
1
2
, ),0()0,( fD ,
ef
11min
Funkcja malejąca w przedziałach )1,( , ),0( ,funkcja rosnąca w przedziale )0,1( .
9. )1(4)(2)1(2 xexf x
Funkcja rosnąca w przedziale )1,( , funkcja malejąca w przedziale ),1( .
11max f .
Zad.2
a) 0)1()(min,2
fxfee
, eefxfee
)()(max,2
,
b) 2)()()(min 21
, 21
effxf
ee
e
, 2)()(max21 ,
efxfe
e
.
c) e
fxf 1
,2)1()(min
4
1
,
4
4
1
441
,2)()(max
efxf
.
Zad.3
Najniższe koszty przy zatrudnieniu 5 pracowników wynoszą 8,775ln20110
Zad.4
Po 5 miesiącach sprzedaż osiągnie największą wartość 10 tys.sztuk.
Zad.5
Największe zyski przy nakładach 6 tys. zł wyniosą 3,2922160
2
e
PRACA DOMOWA 7 BADANIE FUNKCJI 2015/16
Zad.1 Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wklęsłości oraz przedziały wypukłości funkcji
a) xexxf
1
)1()( , b) x
arctgxf1
)( .
Zad.2 Wyznaczyć tempo zmian wartości funkcji x
xxf
2ln)( .
Zad.3 Dla funkcji xexxf 34)( wyznaczyć
a) przedziały , w których funkcja rośnie i jest wypukła ( "" ),
b) przedziały, w których funkcja maleje i jest wklęsła ( "" ).
Zad.4 Zbadać przebieg zmienności funkcji, naszkicować jej wykres.
1. xxxf ln)( 2. x
xfln
1)( 3. xexxf 2)( 4.
2)1(2)( xexf .
odpowiedzi
Zad.1 a) 4
11
)(x
xexf x
; punkt przegięcia
e
2,1 ; funkcja wypukła w przedziale 1, ; wklęsła w
przedziałach 0,1 oraz ),0( .
b) 22 )1(
2)(
x
xxf
; brak punktów przegięcia, funkcja wklęsła w przedziale 0, ; wypukła w przedziale
),0( .
Zad.2 x
xxf
3ln
2ln)(
,
xx
xxf
4ln
ln26)(
;
w przedziale )1,0( funkcja rośnie coraz szybciej ; w przedziale ),1( 2e funkcja maleje coraz wolniej; w przedziale
),( 32 ee funkcja rośnie coraz szybciej; w przedziale ),( 3 e funkcja rośnie coraz wolniej.
Zad.3 33 )34()( xxexf x
, 23223 )2)(23(3)483(3)( xxxexxxexf xx
.
Funkcja maleje i jest wypukła w przedziałach )0,( oraz ),2( .
Funkcja rośnie i jest wklęsła w przedziale ),(34
32 .
Zad.4
1) xxxf ln)( ; ),0( fD , 0)1( f , 0)(lim0
xfx
,
)(lim xfx
,
x
xxf
2
2ln)(
,
xx
xxf
4
ln)(
eef
212min
, punkt przegięcia )0,1( ,
2) x
xfln
1)( , ),1()1,0( fD
0)(lim0
xfx
,
)(lim1
xfx
,
)(lim1
xfx
, 0)(lim
xfx
xxxf
2ln
1)(
,
xx
xxf
32 ln
ln2)(
, brak ekstremów; punkt przegięcia )
2
1,( 2 e ,
0.5 1 1.5 2
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
3) xexxf 2)( ; ),( fD
)(lim xfx
, 0)(lim
xfx
)2()( 2xxexf x , )24()( 2 xxexf x
00min f , 2max 42 ef
Punkty przegięcia dla argumentów 221 x , 222 x
4) 2)1(2)( xexf ; RD f
0)(lim
xfx
, 0)(lim
xfx
)1(4)(2)1(2 xexf x 11max f
)384(4)( 2)1(2 2
xxexf x
Punkty przegięcia
e
1,
2
1,
e
1,
2
3
1 2 3 4 5
-40
-20
20
40
-5 -4 -3 -2 -1
200
400
600
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
PRACA DOMOWA 8 2015/16
Zad.1 Wykorzystać wzór Taylora z drugą pochodną i obliczyć przybliżone wartości
a) 2
3cos b) 4 e c)
2
1sin .
Oszacować dokładność tych przybliżeń. Podać interpretację geometryczną.
Zad.2 Zbadać przebieg zmienności funkcji, naszkicować jej wykres.
1. xex
xf
11
)( 2. xxxf ln2ln)(2 3.
xarctgxf
1)( 4. x
x
exf 4)( .
ODP:
zad.1
a) 22
3
2
2)cos(
!2
1
22sin
2coscos
xcxx gdzie c jest punktem leżącym w przedziale o końcach x,
2
.
2
22
3)cos(
!2
1
22
3
2sin
2cos
2
3cos
c gdzie c jest punktem leżącym w przedziale
2,
2
3 c
4
3
22
3
22
3
2sin
2cos
2
3cos
0025205,08
142,0
4
)3(1
2
1
22
3)cos(
!2
1 222
cR
4
3
2
3cos0025205,0
4
3
b) 4
1
4 ee
200 )0(!2
1)0( xexeee cx
gdzie c jest punktem leżącym w przedziale o końcach x, 0 .
2
004 04
1
!2
1)0
4
1(
ceeee gdzie c jest punktem leżącym w przedziale
4
1,0c
4
5)0
4
1(004 eee
32
3
3216
1
2
10
4
1
!2
1 42
ccc e
eeR
32
3
4
5
4
5 44 e
c) 2
1sin
2
6)sin(
!2
1
66cos
6sinsin
xcxx gdzie c jest punktem leżącym w przedziale o końcach x,
6
.
2
62
1)sin(
!2
1
62
1
6cos
6sin
2
1sin
c gdzie c jest punktem leżącym w przedziale
6,
2
1 c
62
1
2
3
2
1
62
1
6cos
6sin
2
1sin
000281,036
)3(1
2
1
62
1)sin(
!2
1 22
cR