matematiksel iktisat ders notları (birden çok değişken durumunda optimizasyon)

BBİİRDEN RDEN ÇÇOK OK

DEDEĞİŞĞİŞKEN KEN

DURUMUNDA DURUMUNDA

OPTOPTİİMMİİZASYONZASYON

22Şekil 2.1’i dikkate alalım. Maksimum nokta olan A ve minimum

nokta olan B’de z=f(x) fonksiyonunun bir durgunluk değeri

vardır. Bir başka ifadeyle, z ’nin bir uçdeğerinin (minimum ya

da maksimum) olabilmesi için, x değişirken dz=0 olmalıdır.

Ancak bu koşul tek başına bir minimum ya da maksimum için

yeterli değildir. Örneğin Şekil 2.1’de C noktasında dz=0 olmakla

beraber, bir uçdeğer oluşmamaktadır.

Birinci sıra koşula göre, f′(x)=0 olmalıdır. Bunu diferansiyel

denklem yoluyla şöyle ifade edebiliriz:

( ) 0 , 0dz f x dx dx′= = ≠

33ŞŞekil 2.1 Durgunluk Noktalarekil 2.1 Durgunluk Noktalarıı

z = f ( x )

Şekil 2.1’de A noktasının soluna (dx<0) ve sağına (dx>0)

gidildiğinde her iki durumda da z’nin değeri azalmaktadır

(dz<0). Diğer bir ifadeyle, farklı x değerleri için d(dz)<0 ya da

d2z<0 ’dır diyebiliriz. d2z<0 koşulu, maksimum için ikinci sıra

koşulun (yeterlik koşulu) diferansiyelidir. Bunu şöyle

gösterebiliriz:

( ) ( ) 0 , 0

d dz dx d z f x dxdx dx

d z f x dx

′′= = < ≠

′′= <(+)(-)

d2z ifadesini açarak yazalım ve dx2(≡(dx)2) teriminin bir karesel

terim (dolayısıyla pozitif) olduğunu görelim.

[ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

d z d dz d f x dx df x dx

d z f x dx dx f x dx

′ ′= = =

′′ ′′= =

Dolayısıyla maksimizasyon için yeterli olan d2z<0 ikinci sıra

koşulu ile f′′(x)<0 eşdeğerdir.

Yukarıdaki incelemeyi şöyle genelleştirebiliriz :

( ) 0f x′′ ≤zz’’ninnin maksimumu imaksimumu iççin :in :

( ) 0f x′′ ≥zz’’ninnin minimumu iminimumu iççin :in :

2 0d z ≤zz’’ninnin maksimumu imaksimumu iççin :in :

2 0d z ≥zz’’ninnin minimumu iminimumu iççin :in :

77İki değişkenli bir fonksiyonu şöyle ifade edebiliriz :

( , )z f x y=

İkisi birden sıfır olmamak koşuluyla farklı dx ve dy değerleri

için dz=0 birinci sıra koşulu oluşturur. Fonksiyonun birinci sıra

toplam diferansiyelini yazalım:

0 , 0 , 0x ydz f dx f dy dx dy= + = ≠ ≠

Yukarıdaki koşul altında, diferansiyel denklemin sıfır olabilmesi

yani dz=0 olabilmesi için;

0yzfy∂

= =∂

0xzfx∂

= =∂

olmalıdır.ve

88ŞŞekil 2.2 ekil 2.2 İİki Seki Seççim Deim Değğiişşkenli kenli

Modelde MaksimumModelde Maksimum

Modelde MinimumModelde Minimum

Modelde Eyer NoktasModelde Eyer Noktasıı

-10-50

Yukarıdaki Şekil 2.2, 2.3 ve 2.4’ü birinci sıra koşul açısından

inceleyelim. Şekil 2.2’de A noktasında, Şekil 2.3’de B

noktasında ve Şekil 2.4’de C noktasında dz=0 birinci sıra koşulu

sağlanmaktadır. Bu noktalarda,

0z zx y∂ ∂

= =∂ ∂

0x yf f= = ya da

sağlanmaktadır. Ancak birinci sıra koşul uçdeğer için gerekli

olmakla birlikte yeterli değildir.

Şekil 2.2 ve 2.3’te sırasıyla maksimum ve minimum oluşmasına

rağmen, Şekil 2.4’te bir eyer noktaseyer noktasıı oluşmaktadır. Şekil 2.4 at

eğerine benzemesinden ötürü bu biçimde adlandırılmaktadır. z ,

x ’e göre bir maksimum vermekle birlikte, y ’e göre bir

minimumdur.

Şimdi ikinci sıra koşuluna bakalım. Öncelikle ikinci dereceden

kısmi türev kavramını inceleyelim. z=f(x,y) fonksiyonunun iki

tane birinci dereceden kısmi türevi vardır:

,x yz zf fx y∂ ∂

= =∂ ∂

y sabit kalırken, fx’in x’e göre türevi, x’in ikinci dereceden kısmi

türevidir.

z x zfx x

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂

Benzer tanımı y için de yapabiliriz. x sabit kalırken, fy’in y ’e

göre türevi, y ’nin ikinci dereceden kısmi türevidir.

z y zfy y

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂

Ayrıca fx ve fy ‘nin hem x hem de y’nin birer fonksiyonu

olduğunu da göz önünde tutarsak, şu çapraz ikinci derece kısmi

türevleri de elde ederiz.

z y zfx x y

z x zfy y x

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

Young Teoremi:

xy yxf f=

ÖÖrnek 1:rnek 1: Aşağıdaki fonksiyona ilişkin kısmi türevleri bulalım.

3 25z x xy y= + −Birinci derece kısmi türevler :

23 5 , 5 2x yz zf x y f x yx y∂ ∂

= = + = = −∂ ∂

Bunların bir kere daha x ve y’e göre kısmi türevlerini alırsak,

ikinci dereceden kısmi türevleri elde etmiş oluruz.

2 26 , 2 , 5xx yy xy yxz z zf x f f f

x y x y∂ ∂ ∂

= = = = − = = =∂ ∂ ∂ ∂

16ÖÖrnek 2rnek 2 : Aşağıdaki fonksiyona ilişkin kısmi türevleri bulalım.

2 yz x e−=Birinci derece ve ikinci derece kısmi türevler :

y yx y

y yxx yy

yxy yx

z zf xe f x ex y

z zf e f x ex y

zf f xex y

− −

∂ ∂= = = = −∂ ∂

∂ ∂= = = =∂ ∂

∂= = = −

∂ ∂

İİkinci Skinci Sııra Toplam Diferansiyelra Toplam Diferansiyel

dz ’nin diferansiyelini alarak, d2z ikinci sıra toplam diferansiye-

lini elde ederiz.

( ) ( )( )

( ) ( )

x y x y

xx xy yx yy

xx xy yy

dz dzd z d dz dx dyx y

f dx f dy f dx f dydx dy

f dx f dy dx f dx f dy dy

f dx f dydx f dxdy f dy

d z f dx f dxdy f dy

∂ ∂= = +

∂ ∂

∂ + ∂ += +

∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + +

ÖÖrnek 3: rnek 3: fonksiyonunun birinci sıra ve ikinci

sıra toplam diferansiyellerini bulalım.

3 25z x xy y= + −1818

( ) ( )

3 5 , 5 2

3 5 5 2

6 10 2

xx xy yy

dz f dx f dy

f x y f x y

dz x y dx x y dy

d z f dx f dxdy f dy

d z xdx dxdy dy

= + = −

= + + −

= + −

1919ŞŞekil 2.5 ekil 2.5 İİki Seki Seççim Deim Değğiişşkenli Modelde kenli Modelde

MaksimumMaksimum

Şekil 2.5’de kırmızı noktayla işaretlenen yerde birinci sıra

koşulların sağlanmış olduğunu varsayalım .

Eğer dx ve dy rasgele farklı değerler alırken, dz sürekli

azalıyorsa (yani d2z<0), bu noktada bir maksimum vardır

diyebiliriz. Tersi durumda bir minimum vardır. Ancak bazı

durumlarda d2z=0 olabileceğini de göz önünde bulundurarak,

genel kuralı şöyle yazabiliriz :

( 0)x ydz f f= = =

z z ’’ninnin maksimum demaksimum değğeri ieri iççin :in :2 0d z ≤

2 0d z ≥z z ’’ninnin minimum deminimum değğeri ieri iççin :in :

Uç değeri belirlemek için kullanacağımız yukarıdaki kuralı

şimdilik ispat vermeksizin ikinci derece kısmi türevler cinsinden

açık olarak yazalım.

0 , 0 , 0

xx yy xx yy xy

f f f f f d z

< < > ⇒ <

> > > ⇒ >

Şekil 2.5’de şeklin durgunluk noktasında çizilen doğu-batı ve

kuzey-güney yönlü oklardaki hareketler bu koşullarda fxx ve fyy

ikinci derece kısmi türevleriyle gösterilmektedir. Ancak dx ve dy

rasgele değişirken bir uç değerin garanti altına alınabilmesi

için, diğer olası yönlerde de dz’nin ya sürekli azalıyor

(maksimum için) ya da sürekli artıyor (minimum için) olması

gerekir. Bu, fxy çapraz türevi ile simgelenmiştir.

Şimdi bir uç değeri belirlemek için kullanacağımız birinci sıra

ve ikinci sıra koşulları topluca aşağıdaki tabloda verelim.

Koşul Maksimum Minimum

Birinci Sıra Koşul

İkinci Sıra Koşul

0x yf f= = 0x yf f= =

0 , 0xx yy

xx yy xy

0 , 0xx yy

xx yy xy

ÖÖrnek 4rnek 4 : fonksiyonunun uçdeğer-

lerini bulalım. Bunun için öncelikle fonksiyonun birinci derece

ve ikinci derece tüm kısmi türevlerini buluruz ve yukarıda

verdiğimiz tablodaki koşulları kullanarak uçdeğerin var olup

olmadığını sınayabiliriz.

3 2 28 2 3 1z x xy x y= + − + +

224 2 6 , 2 2

48 6 , 2 , 2

xx yy xy yx

f x y x f x y

f x f f f

= + − = +

= − = = =

Birinci sıra koşul gereği fx ve fy denklemlerini sıfıra eşitleyelim,

x ve y için çözelim.

* * *1 1 1

* * *2 2 2

0 , 0 , 0

1 1 23, ,3 3 27

= = − =

224 2 6 0

f x y x

= + − =

Şekil 2.6’da bu fonksiyonun çizimi yer almaktadır. Yukarıda

bulduğumuz durgunluk değerlerini Şekil 6’da iki ayrı nokta ile

gösterdik. Bu noktalarda dz=0 olmaktadır. Şimdi de bu

noktalardaki durgunlukların birer uçdeğer oluşturup

oluşturmadıklarına bakalım. Bunun için, birinci sıra koşulları

sıfıra eşitleyerek bulduğumuz x* ve y* değerlerini, ikinci derece

türevlerini değerlendirmede kullanırız ve ikinci sıra koşulların

işaret incelemesini yaparız.

6 02 0

= − <

Bu nokta, bir

eyereyer noktasıdır.

10 02 0

20 , 4

xx yy xy

* *1 10 , 0x y= =

* *2 2

1 1,3 3

x y= = −Bu nokta, bir minimumminimumnoktasıdır.

2828ŞŞekil 2.6 Uekil 2.6 Uççdedeğğerin Belirlenmesi (erin Belirlenmesi (ÖÖrnek 4)rnek 4)

3 2 28 2 3 1z x xy x y= + − + +

* * *2 2 2

1 1 23, ,3 3 27

x y z= = − =

* * *1 1 10 , 0 , 0x y z= = =

ÖÖrnek 5rnek 5 : fonksiyonunun uçdeğerlerini

bulalım. Örnek 4’de uyguladığımız yöntemi burada da

kullanalım.

22 x yz x ey e e= + − −

= − =

= − =* * *10 , , 1

2x y z= = = −

xx yy xy

f f e f

= − = − <

* * 10 ,2

x y= =Bu nokta, bir maksimummaksimumnoktasıdır.

3030ŞŞekil 2.7 Uekil 2.7 Uççdedeğğerin Belirlenmesi (erin Belirlenmesi (ÖÖrnek 5)rnek 5)

-1-0.5

0 0.5 1

22 x yz x ey e e= + − −* * *10 , , 1

2x y z= = = −

ÖÖrnek 6a:rnek 6a: fonksiyonunun uçdeğerlerini

bulalım.

3 213( )x x yz e − + −=

x x yx

x x yy

− + −

= − =

1 , 0 , 1.95

1 , 0 , 0.51

= − = =

( ) 3 213

2 ( )21 2 x x yxxf x x e − + −⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

= −→ =

=→ = −

= −→ = −

=→ = −

3 213( )24 2 x x y

yyf y e − + −⎡ ⎤= −⎣ ⎦

= −→ =

=→ =

( ) ( )3 21

32 ( )21 2 x x y

xy yxf f x y e − + −= = − −

( ) ( )

2 23 3

( , , ) ( 1,0,0.51)

( , , ) (1,0,1.95)

xx yy xy

f f f e e

> → − <

= − <

> → − − >

Bu nokta bir eyer noktasıdır.

Bu nokta bir maksimum noktasıdır.

3535ŞŞekil 2.8 Uekil 2.8 Uççdedeğğerin Belirlenmesi (erin Belirlenmesi (ÖÖrnek 6a)rnek 6a)

3 213( )x x yz e − + −=

ÖÖrnek 6b:rnek 6b: fonksiyonunun uçdeğerlerini

bulalım.

( ) ( )4 42 3z x y= − + −3636

34( 2) 0xf x= − =* * *2 , 3 , 0x y z= = =34( 3) 0yf y= − =

212( 2) 0xxf x= − =

0xyf =

212( 3) 0yyf y= − = 2 0d z =* *2 , 3x y= =

Bu durum, uçdeğer sınaması için şu ana kadar kullandığımız

koşulları sağlamamakla birlikte, noktasında

bir minimuma sahiptir.

* * *2 , 3 , 0x y z= = =

3737ŞŞekil 2.9 Uekil 2.9 Uççdedeğğerin Belirlenmesi (erin Belirlenmesi (ÖÖrnek 6b)rnek 6b)

5001000

5×1011

1×1012

1.5×1012

2×1012

5×1011

1×1012

1.5×1012

2×1012

( ) ( )4 42 3z x y= − + −

* * *2 , 3 , 0x y z= = =

d2z teriminin işaretinin pozitif mi, negatif mi olduğunu

belirlemek için, karesel biçim kavramını kullanarak, iki ya da

daha çok seçim değişkeninin yer aldığı modellerde uçdeğer

sınamasını daha kolaylıkla yapabileceğimiz kurallara

ulaşacağız.

Önce biçim ve karesel biçim kavramlarını tanıyalım.

Her bir terimin aynı derecen olduğu polinoma, biçim diyoruz.

Örneğin 4x-9y+z polinomu, üç değişkenli doğrusal bir biçimdir.

4x2-xy+3y2 polinomu da, ikinci dereceden (karesel) bir biçimdir.

Şimdi ifadesini karesel biçim

çerçevesinde inceleyelim. Şu kısaltmaları kullanalım:

2 2 22xx xy yyd z f dx f dxdy f dy= + +3939

2 , , ,,

yy xy yx

q d z u dx v dy a fb f h f f≡ ≡ ≡ ≡

≡ ≡ =

Anımsarsak, ikinci sıra uç değer koşula göre, dx ve dy ’nin

kendisinin ve değişimlerinin hangi değer aldıklarından

bağımsız olarak, bir minimum için d2z>0, bir maksimum için

d2z<0 olmalıdır. Bu durumda, q>0 ya da q<0 elde edebilmek için,

u ve v herhangi değerler alabilirken, a, b ve h katsayılarına

hangi kısıtlamaları koymalıyız.

4040q karesel biçimindeki değişkenlerin değeri ne olursa olsun

(tümü aynı anda sıfır olmamak koşuluyla);

qq>0>0 ise pozitif belirliise pozitif belirli

qq≥≥00 ise pozitif yarise pozitif yarıı belirlibelirli

qq<0<0 ise negatif belirliise negatif belirli

qq≤≤00 ise negatif yarise negatif yarıı belirlibelirli

Değişkenler farklı değerler alırken q işaret değiştiriyorsa, qq

belirsizdirbelirsizdir deriz. q=d2z belirsiz ise, bir eyer noktası vardır.

İki seçim değişkenli durum için determinant sınamasını elde

edebilmek için, q karesel biçimini kullanacağız :

2 22q au huv bv= + +

u2 ve v2 pozitif olduklarından, a ve b katsayılarının işaretlerine

konulacak kısıtlamalardan işaretin rahatça ne olabileceğini

söyleyebiliriz. Ancak bu haliyle 2huv teriminin işaretiyle ilgili

kesin bir şey söyleyemeyiz. Bu nedenle de q ’nun kesin negatif

belirli mi ya da pozitif belirli mi olduğunu söyleyemeyiz. Bu

belirsizlikten kurtulmak için bazı matematik işlemler yapalım.

q karesel biçimine h2v2/a terimini ekleyip çıkaralım.

42422 2 2 2

2 22 h v h vq au huv bva a

= + + + −

Eşitliğin sağındaki ilk üç terimi a ortak parantezine, son iki

terimi de v2 ortak parantezine alıp düzenleyelim.

2 22 2 2

2h h hq a u uv v b va a a

h ab hq a u v va a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎡ ⎤= + + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a ve değişkenleri birer kare ifade olduklarından, q ’nun işareti

tümüyle a, b ve h katsayılarının işaretine bağlıdır.

a > 0 ve ab-h2 > 0 ise q > 0 (pozitif belirli)

a < 0 ve ab-h2 > 0 ise q < 0 (negatif belirli).

Bu genel koşulu determinant yoluyla ifade edelim. Bunun için q

karesel biçimini aşağıdaki gibi yeniden yazalım.

2 2 2 2

( ) ( )( ) ( )

q au huv bv q au huv huv bv

q a u h uv a h uq u v

h b vh uv b v

= + + → = + + +

⎫= + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ =⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭

D diyelim.

a > 0 ve ab-h2 > 0 ise q > 0 (pozitif belirli)

a < 0 ve ab-h2 > 0 ise q < 0 (negatif belirli).

Matris biçimini kullanarak, işaret belirliliği kuralını yeniden

yazalım.

2 0a h

D ab hh b

= = − > 0q >0a > ve ise

2 0a h

D ab hh b

= = − > 0q <0a < ve ise

a terimini de D determinantının bir alt determinantı (birinci ana

minör determinantı) olarak düşünebiliriz ve |D1| şeklinde

yazabiliriz. İşaret belirliliği koşullarını buna göre yazalım.

1 0D > 0q >0D >ve ise

0q <1 0D < 0D >ve ise

4646Matris biçimiyle verdiğimiz q karesel biçiminin kısaltmalarını

yerlerine yazarak yeniden düzenleyelim.

[ ]2 xx xy

f f dxd z dx dy

f f dy⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Hessian Matris

Hessian matris, bir denklem sisteminin ikinci derece kısmi

türevlerinden oluşan matristir. Hessian matrisi kullanarak,

d2z’nin işaret belirliliği için bir şeyler söyleyebiliriz.

2 0xx xyxx yy xy

f ff f f

f f⎡ ⎤

= − >⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0xxf > ve

2 0xx xyxx yy xy

f fH f f

f f= = − f > ise0xxf > 2 0d z >ve

2 0xx xyxx yy xy

f fH f f

f f= = − f > ise0xxf < 2 0d z <ve

Burada fxx terimini, bir alt Hessian determinant olarak

düşünebiliriz ve | q1| biçiminde gösterebiliriz.

Yukarıda iki seçim değişkenli model için verdiğimiz karesel

biçimlerden hareketle işaret belirliliği ve uç değerin

bulunmasını şimdi de üç değişkenli bir durum için uygulayalım

ve bir basamak daha yukarıdaki genel işaret belirliliği ve

uçdeğer sınama koşullarını elde edelim. Daha sonra bunu n

değişkenli duruma genelleştirelim. u1, u2 ve u3 gibi üç

değişkenli bir karesel biçimi şöyle yazabiliriz :

21 2 3 11 1 12 1 2 13 1 3

221 2 1 22 2 23 2 3

231 3 1 32 3 2 33 3

( , , ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

q u u u d u d u u d u u

d u u d u d u u

d u u d u u d u

= = + +

Bu üç değişkenli karesel biçimi şimdi de matris biçimde ifade

edelim :

11 12 13 1

1 2 3 1 2 3 21 22 23 2

31 32 33 3

( , , )d d d u

q u u u u u u d d d u u Dud d d u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′= = =⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u′D u

D matrisinden kendisi de olmak üzere üç tane ana minör

determinant elde edilir.

11 12 1311 12

1 11 2 3 21 22 2321 22

31 32 33

, ,d d d

d dD d D D D d d d

d dd d d

= = = =

Üç seçim değişkenli bir modelde q’nun işaret belirliliği için

koşulları D determinantlarını kullanarak yazalım:

1 0D >

2 0D >

3 0D D= >

ise, q pozitifpozitif belirlidir.

1 0D <

2 0D >

3 0D D= <

ise, q negatifnegatif belirlidir.

ÖÖrnek 7:rnek 7: karesel biçiminin pozi-

tif belirli mi, negatif belirli mi olduğunu inceleyelim.

Bu karesel biçimi matris görüntü olarak ifade etmeye çalışalım.

2 2 21 2 3 1 2 2 36 3 2 4q u u u u u u u= + + − −

21 2 3 1 1 2 1 3

22 1 2 2 3

23 1 3 2 3

1 2 3 1 2 3 2

( , , ) 1( ) 1( ) 0( )

1( ) 6( ) 2( )

0( ) 2( ) 3( )

1 1 0( , , ) 1 6 2

q u u u u u u u u

u u u u u

uq u u u u u u u

= = − +

− + −

+ − +

− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 01 6 2 11 0

0 2 3D D

−= = − − = >

1 1 0D = >

1 15 0

−= = >− olduğundan, q pozitifpozitif

belirlidir.

n değişkenli karesel biçimi, doğrudan D matrisinin ana

minörlerini yazarak gösterelim ve işaret belirliliği için genel

koşulu oluşturalım.

11 121 11 2

11 12 1

21 22 2

, , ......,

...... ... ... ...

n n nn

d dD d D

d d dd d d

Pozitif belirlilikPozitif belirlilik için tüm ana minörlerin determinantları pozitif

olmalıdır.

1 20 , 0 , ......, 0nD D D D> > = >

Negatif belirlilikNegatif belirlilik için tüm ana minörlerin determinantlarının

işaretleri aşağıdaki gibi olmalıdır.

1 20 , 0 , ......, 0nD D D D< > = >

n. ana minör , eğer n çift sayı ise pozitifpozitif, tek sayı ise

negatifnegatif olmalıdır. .

5555u'Du karesel biçiminin işaret belirliliği için karakteristik kök

yöntemi denilen bir yöntemi de kullanabiliriz. D bir kare matris

olmak üzere;

Dx rx=

Matris denklemini sağlayacak bir u'Du vektörü ve r skaleri

bulmak mümkünse, r skalerine matrisinin karakteristik kökü

(eigenvalue), x vektörüne de karakteristik vektör

(eigenvector) denilmektedir. Bu denklemi aşağıdaki gibi

yeniden yazarak düzenleyelim.

( )0 0Dx rIx Dx rIx D rI x= → − = → − =

x vektörü, sıfır olmayan bir vektör olacağından, |D-rI|=0

olmalıdır.

11 12 1

21 22 2

... ... ... ......

n n nn

d r d dd d r d

d d d r

−−

− = =

| D-rI |=0 denklemine, D matrisinin karakteristik denklemi denir.

Bu denklem, n. Dereceden bir polinomdur ve n tane köke (r1 , r2

,..., rn) sahiptir. Ancak ri köküne karşılık sonsuz karakteristik

vektör oluşur (|D-rI|=0 olması nedeniyle). Bu nedenle

normalleştirme işlemi yapılarak, ri ’ye bir tane vektörün

karşılık gelmesi sağlanabilir.

ÖÖrnek 8:rnek 8: matrisinin karakteristik köklerini ve

vektörlerini bulalım.

2 22 1

D⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

11 12 2

2 26 0

2 1d r d r

D rI r rd d r r− −

− = = = − − =− − −

2 6 0r r− − = 1 23 , 2r r= = − Karakteristik KKarakteristik Kööklerkler

r1=3 kökünü kullanarak ( D-rI ) x = 0 denklemini oluşturalım.

2 3 2 0 1 2 02 1 3 0 2 4 0

x xx x

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= → =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2 02 4 0

− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

D rI−

(D-rI)=0 olması nedeniyle, x1 ve x2 için sonsuz olası çözüm

vardır. Çözüm sayısını bire indirmek için

normalleştirmesini kullanalım. Bu durumda x1 ve

x2 için şu iki denklem oluşur.

2 21 2 1x x+ =

1 21 22 2

2 0 2 1,1 5 5

x xx x

− + = ⎫⎪ = =⎬+ = ⎪⎭

6060Bu sonuca göre, birinci karakteristik vektör şöyle oluştu:

x⎡ ⎤⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Birinci Karakteristik VektBirinci Karakteristik Vektöörr

r2=-2 kökünü kullanarak ikinci karakteristik vektörü bulalım.

1 21 22 2

2 ( 2) 2 0 4 2 02 1 ( 2) 0 2 1 0

2 0 1 2,1 5 5

x xx x

− − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= → =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ = ⎫⎪ = − =⎬+ = ⎪⎭

⎡ ⎤−⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

İİkinci Karakteristik Vektkinci Karakteristik Vektöörr

Karakteristik vektörlerin iki özelliği vardır:

1. skaler çarpımı bire eşittir. Bu özellik, normalleş-

tirmeden kaynaklanmaktadır.

i iv v′

1 21 1 1

..... 1n

i i ii

v v x x x x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥′ = = =⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2. skaler çarpımı sıfıra eşittir (iπj).i jv v′

İkinci özellikteki duruma orthogonalorthogonal (dik) vektörler diyoruz.

Her iki özellik birlikte dikkate alınırsa, vektörler

orthonormalorthonormaldir.

Şimdi D matrisinin karakteristik köklerinin ve vektörlerinin,

u'Du karesel biçiminin işaretini belirlemede nasıl

kullanılabileceğine bakalım. Bu yaklaşımın da amacı, yukarıda

gördüğümüz kareyi tamamlama yöntemiyle aynıdır.

v1, v2, ....., vn karakteristik vektörlerini bir T matrisinin sütunları

olarak düşünelim.

1 2 ... nT v v v= ⎡ ⎤⎣ ⎦

6363Şimdi T matrisini kullanarak, ana köşegeni (diyagonal)

karakteristik köklerden oluşan bir matris elde edeceğimiz

dönüştürmeyi yapalım.

( ) ( )

u Du Ty D Ty y T DTy

R T DT

R D v v v

′ ′ ′ ′== =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Burada y herhangi bir vektör.

diyelim.

6464Ayrıca şunu da biliyoruz:

1 2 1 2 1 1 2 2

21 1 2 2

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2 2 2 2

1 1 2 2

... ... ...

...... ... ... ...

n n n n

n n n n n

D v v v Dv Dv Dv r v r v r v

R r v r v r v

r v v r v v r v vr v v r v v r v v

r v v r v v r v v

= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

′ ′ ′⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′ ′⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥′ ′ ′⎣ ⎦

2 2 21 1 2 2

0 ... 00 ... 0... ... ... ...0 0 ...

0 ... 00 ... 0

...... ... ... ...

u Du y Ry y y y

yr r r

u Du r y r y r y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥′ ′= = ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

′ = + + +

R=T'DT dönüşümü, D matrisini R köşegen matrisine

çevirmemizi sağlıyor. Yani köşegenleştirme işlemini yapmış

olduk. Son denklemde tüm y terimleri kare olduklarından, u'Du

karesel biçiminin işareti, karakteristik köklerin işaretlerine

bağlıdır.

ÖÖrnek 9:rnek 9: matrisini köşegenleştirelim. Bu matrisi

daha önce örnek 8’de çözerek karakteristik vektörlerini

bulmuştuk.

2 22 1

D⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

2 5 1 5

1 5 2 5T v v

⎡ ⎤−= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

Bu karakteristik vektörler matrisinden hareketle köşegenleş-

tirme şöyle yapılır:

2 1 2 12 25 5 5 5

1 2 2 1 1 25 5 5 5

3 00 2

R T DT

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥′= = ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

69692 2 2

1 1 2 2 ..... n nu Du r y r y r y′ = + + +

Buna göre şu sonuçları çıkartabiliriz. u'Du karesel biçimini

işareti;

1. Ancak ve ancak D’nin tüm karakteristik kökleri pozitif ise,

pozitif belirlidir.

2. Ancak ve ancak D’nin tüm karakteristik kökleri negatif ise,

negatif belirlidir.

3. Ancak ve ancak D’nin tüm karakteristik kökleri negatif

olmayan ise ve en azından bir kök sıfır ise pozitif yarı

belirlidir.

4. Ancak ve ancak D’nin tüm karakteristik kökleri pozitif

olmayan ise ve en azından bir kök sıfır ise negatif yarı

belirlidir.

5. Ancak ve ancak D’nin tüm karakteristik köklerinin bazıları

negatif, bazıları pozitif ise, belirli değildir.

ÖÖrnek 10:rnek 10: matrisinin karakteristik köklerini ve

vektörlerini bulalım.

4 22 3

D⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

4 22 3

7 17 7 17,2 2

d r d rD rI

d d r r

− −− = =

− −

= − + =

+ −= =

4 2 02 3 0

7 174 2 0207 172 3

1 17 2 0201 172

r xr x

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎣ ⎦

−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )

1 21 2

2 21 2

1 17 2 0 1 17 1 17,24 4

1 17 4

x xx x

⎫−+ = − +⎪ = =⎬

⎪+ = ⎭

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦

11 21 2 2

22 21 2

4 2 02 3 0

7 174 2 0207 172 3

1 17 12 01 , 12

r xr x

xx xx x v

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦

−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎫+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = ⎪ = = = =⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎪+ = ⎭

7575Birinci SBirinci Sııra Kora Koşşullarullar

gibi üç seçim değişkenli bir fonksiyonu ele

alalım. Bu fonksiyonun birinci sıra koşulunu belirlemek için,

öncelikle toplam diferansiyelini alır, sıfıra eşitleriz.

1 2 3( , , )z f x x x=

1 2 3 1 1 2 2 3 31 2 3

0 , 0 , 0

z z zdz dx dx dx f dx f dx f dxx x x

dx dx dx

∂ ∂ ∂= + + = + + =∂ ∂ ∂

≠ ≠ ≠

Buna birinci sıra koşul diyoruz.

İİkinci Skinci Sııra Kora Koşşullarullar

Birinci sıra koşulu sağlayan x1, x2, x3 değerlerinin bulunması,

ilgili noktada (ya da noktalarda) durgunluğun oluştuğunu

gösterir. Ancak birinci sıra koşul, bu durgunluğun bir uçdeğer

ya da eyer noktası olduğunu söylemek için yeterli değildir.

Bunu açığa çıkartmak için ikinci sıra koşula gerek duyarız.

İkinci sıra koşul, dz diferansiyelinin bir kere daha diferansiyeli

alınarak, işaretinin incelenmesini gerektirir.

1 2 31 2 3

1 2 32 1 2 3

1 2 31 2 3

( ) ( ) ( )( )

dz dz dzd dz dx dx dxx x x

z z zdx dx dxx x x

d z dxx

z z zdx dx dxx x x

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + +∂ ∂ ∂

2 2 22

1 2 3 121 1 2 1 3

1 2 3 222 1 2 2 3

1 2 3 323 1 3 2 3

z z zd z dx dx dx dxx x x x x

z z zdx dx dx dxx x x x x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂ ∂

+ + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂ ∂

+ + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

211 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

2 211 1 12 1 2 13 1 3

221 2 1 22 2 23 2 3

231 3 1 32 3 2 33 3

d z f dx f dx f dx dx

f dx f dx f dx dx

d z f dx f dx dx f dx dx

f dx dx f dx f dx dx

f dx dx f dx dx f dx

= + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ + +⎡ ⎤⎣ ⎦

d2z ifadesi bir karesel biçim olduğundan, yukarıda verdiğimiz

genel işaret belirleme koşullarını burada da kullanarak d2z ’nin

işaretinin belirleyebilir ve uçdeğer oluşumu konusunda bir

şeyler söyleyebiliriz. Bunun için, yukarıda en son yazdığımız

karesel biçimdeki denklemden Hessian matrisi oluşturalım.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

f f fH f f f

f f f=

8181Hessian determinantın ana minörleri de şöyledir :

11 121 11 2 3

, ,f f

H f H H Hf f

Buna göre, işaret belirliliği için ikinci sıra koşullar şöyle

olacaktır :

2 0d z < Yani z* bir maksimumise maksimum

Yani z* bir minimum2 0d z >ise minimum

Yukarıdaki ana minörlerin sayısal değerini belirlerken,

durgunluk noktasındaki x değerlerini (x*) dikkate alarak işlem

yapıyoruz.

Bu sınamayı karakteristik kökleri kullanarak da yapmamız

mümkündür.

ÖÖrnek 11: rnek 11: fonksiyonunun

uçdeğerlerini araştıralım.

2 2 21 1 2 2 1 3 32 4 2z x x x x x x x= + + + + +

1 1 2 31

2 1 22

3 1 33

z f x x xx

z f x xx

∂= = + + =

∂= = + =

* * *1 2 3

Bu sonuç, noktasında bir durgun-

luk olduğunu söylüyor. Bu durgunluk noktasının bir uçdeğer

mi, eyer noktası mı olduğunu belirlemek için ikinci sıra

koşullara bakalım.

* * * *1 2 3 0 , 2x x x z= = = =

İkinci sıra koşul için Hessian determinantı oluşturalım.

11 22 332 2 21 2 3

4 , 8 , 2z z zf f fx x x∂ ∂ ∂

= = = = = =∂ ∂ ∂

12 211 2 2 1

23 322 3 3 2

13 311 3 3 1

z zf fx x x x

∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂

Young TeoremiYoung Teoremigereği

11 12 13

21 22 23

31 32 33

4 1 11 8 01 0 2

f f fH f f f

f f f= =

Ana minörler :

11 122

4 131 0

= = = >

Bu sonuca göre, tüm ana minörler pozitif

olduğundan, d2z>0 yani

pozitifpozitif belirlibelirlidir. Bu nedenle, bulduğumuz durgunluk noktasında bir minimumminimum vardır.

ÖÖrnek 12: rnek 12: fonksiyonunun uçde-

ğerlerini araştıralım.

3 2 21 1 3 2 2 33 2 3z x x x x x x= − + + − −

21 1 3

3 1 33

z f x xx

z f xx

z f x xx

∂= = − + =

∂= = − =

* * * *1 2 3

0 , 1 , 0 1

1 1 17, 1 ,2 4 16

x x x z

= = = → =

Bu sonuç, yukarıda bulduğumuz iki noktada durgunluk

olduğunu söylüyor. Bu durgunluk noktalarının bir uçdeğer mi,

eyer noktası mı olduğunu belirlemek için ikinci sıra koşullara

bakalım. İkinci sıra koşul için Hessian determinantı oluşturalım.

*21 11

11 12 *1 1 11

x için fz f xx x için f

⎫ = =∂= = − ⎬∂ = = −⎭

∂= = −

89892 2

12 211 2 2 1

23 322 3 3 2

13 311 3 3 1

z zf fx x x x

∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂

3 0 30 2 03 0 6

= −−

0 0 30 2 03 0 6

H = −−

Birinci Hessian için ana minörler :

1 11 2 3

0 00 , 0 , 18 0

0 2H f H H H= = = = = = >

Bu sonuca göre, |H1|=0 olduğundan, d2z ’nin işareti belirsizdir.

Bu nedenle, aşağıdaki durgunluk noktasında bir eyereyer (dönüm)

vardır.

* * * *1 2 30 , 1 , 0 , 1x x x z= = = =

9191İkinci Hessian için ana minörler :

3 03 0 , 6 0 , 18 0

0 2H H H H

−= − < = = > = = − <

Bu sonuca göre, |H1|=0 olduğundan, d2z ’nin işareti negatiftir. Bu

nedenle, aşağıdaki durgunluk noktasında bir maksimummaksimum vardır.

* * * *1 2 3

1 1 17, 1 , ,2 4 16

x x x z= = = =

Şimdi örnek 12’deki soruyu karakteristik kök yöntemiyle

çözelim.

0 0 30 2 0 8 3 18 03 0 6

3 0 30 2 0 11 27 18 03 0 6

rH rI r r r r

−− = − − = + + − =

− −

− −− = − − = − − − =

− −

723 02723 02

= − <

= − + >

= − − <

8 3 18 0

6 9 2 0

+ + − =

⎡ ⎤+ − + =⎣ ⎦

2 03 3 5 023 3 5 02

= − <

⎡ ⎤= − − + <⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − − <⎣ ⎦[ ]

11 27 18 0

9 9 2 0

− − − =

⎡ ⎤+ + − − =⎣ ⎦

Birinci çözümde karakteristik kökler aynı işarete sahip

olmadıklarından, noktasında eyer

(dönüm) noktasının var olduğunu;

ikinci çözümde ise tüm karakteristik köklerin negatif olması

nedeniyle noktasında bir maksi-

mumun oluştuğunu söyleyebiliriz.

* * * *1 2 30 , 1 , 0 , 1x x x z= = = =

* * * *1 2 3

1 1 17, 1 , ,2 4 16

x x x z= = = =

9595Amaç fonksiyonumuz n tane seçim değişkenine sahip olsun.

1 2( , , ....., )nz f x x x=

n seçim değişkenine sahip fonksiyonunun uçdeğerlerine ilişkin

genel sınama koşulları şöyledir:

Koşul Maksimum Minimum

Birinci Sıra Koşul

İkinci Sıra Koşul

1 2 ... 0nf f f= = = = 1 2 ... 0nf f f= = = =

0, ..., ( 1) 0nn

< − >1 2

0, ..., 0n

ÖÖrnek 13: rnek 13: fonksiyonunun

uçdeğerlerini araştıralım.

( )22 2 2x y w wz e e e x e y−= + + − + −

22 2 0

f we e

= − =

= − + =

= − =

0 , 0 , 1

Bu sonuç, yukarıda bulduğumuz bir noktada durgunluk

olduğunu söylüyor. Bu durgunluk noktasının bir uçdeğer mi,

eyer noktası mı olduğunu belirlemek için ikinci sıra koşullara

bakalım. İkinci sıra koşul için Hessian determinantı

oluşturalım.

4 4 , 1

2 4 2 40

x yxx yy

w w www

xy yx xw wx yw wy

f e f e

f e w e e ef f f f f f

−= = = =

= + − =

= = = = = =

4 0 00 1 00 0 4

Ana minörler :

4 04 0 , 4 0 , 16 0

0 1H H H H e= > = = > = = >

Bu sonuca göre, tüm ana minörler pozitif olduğundan, d2z ’nin

işareti pozitif belirlidir. Bu nedenle,

noktasında bir minimumminimum vardır.

* * * *0 , 0 , 1 , 2x y w z e= = = = −

Tam Rekabet PiyasasTam Rekabet Piyasasıında Firma Dengesinda Firma Dengesi

Tam rekabet piyasasında çalışan ve iki mal üreten bir firma

varsayalım. Firmanın toplam gelir ve toplam maliyet

fonksiyonları sırasıyla şöyledir:

1 1 2 2

2 21 1 2 22 2

TR P q P q

TC q q q q

100100

Toplam maliyet fonksiyonundan hareketle her bir mala ilişkin

marjinal maliyet fonksiyonlarını elde edersek, bu iki malın

üretiminin teknik olarak birbiriyle bağlantılı olduğunu

görebiliriz.

Firmanın amacı toplam kârını maksimize etmektir. Bunun için

kâr fonksiyonunu oluşturalım.

( ) ( )2 21 1 2 2 1 1 2 22 2TR TC P q P q q q q q= − = + − + +π

101101

Amacımız, π ’yi maksimize edecek olan q1 ve q2 düzeylerini

belirlemektir. Bunun için ilk olarak birinci sıra koşulları

inceleriz.

1 1 1 21

2 2 1 22

* *1 2 1 21 2

TR TC P q qq

P P P Pq q

∂ππ ≡ = − = − − =

− −= =

102102

Bulduğumuz bu üretim düzeylerinin, firma kârını maksimize

edip etmediğini kesinleştirebilmemiz için, ikinci sıra koşullara

bakmalıyız.

11 22 12 212 21 2 1 2

11 121 11 2

4 , 4 , 1

4 14 0 , 15 0

q q q q

∂ π ∂ π ∂ ππ ≡ = − π ≡ = − π = π ≡ = −

∂ ∂ ∂

π π − −= π = − < = = = = >

π π − −

Bu sonuç, ve üretim düzeylerinin firma kârını maksimize

ettiğini göstermektedir.

103103

Tekel PiyasasTekel Piyasasıında Firma Dengesinda Firma Dengesi

Tam rekabet piyasası incelediğimiz yukarıdaki örneği şimdi de

tekel konumundaki bir firma için inceleyelim. Firmanın üretip

sattığı iki ürünün talep fonksiyonları ve maliyet fonksiyonu

şöyledir:

2 21 1 2 2

TC Q Q Q Q

= − +

= + −

104104

Tam rekabet piyasası uygulamasında yaptığımız gibi, amacımız

tekelci firmanın kârını maksimize eden üretim düzeylerini

belirlemek ve bu üretim düzeylerinin kârı maksimize ettiğinden

emin olacağımız sınamaları uygulamaktır. Kâr fonksiyonunu

oluşturmadan önce, yukarıda verilmiş olan talep fonksiyon-

larından, ters talep fonksiyonlarına ulaşalım.

105105

1 1 240 2Q P P= − +

2 1 215Q P P= + −

2 1 140 2P Q P= − +

( )2 1 1 1

15 40 2

Q P Q P

= + − − +

= − − 1 1 255P Q Q= − −

( )2 1 1 240 2 55P Q Q Q= − + − −

2 1 270 2P Q Q= − − Ters Talep Ters Talep FonksiyonlarFonksiyonlarıı

106106

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 21 1 2 2 1 1 2 2

2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 21 2 1 2 1 2

55 70 2

55 70 3 2 3

TR TC P Q P Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

π = − = + − + +

⎡ ⎤= − − + − − − + +⎣ ⎦

= + − − −

Birinci sıra koşullar:

1 2 11

2 1 22

55 3 4 0

70 3 6 0

∂π= π = − − =

107107İkinci sıra koşullar:

11 22 12 21

11 122

4 , 6 , 3

4 315 0

π = − π = − π = π = −

= π = − <

π π − −= = = = >

π π − −

108108ŞŞekil 2.10 Tekelci Piyasada Kekil 2.10 Tekelci Piyasada Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu

2 21 2 1 2 1 255 70 3 2 3Q Q Q Q Q Qπ = + − − −

Tekelci Piyasada Fiyat FarklTekelci Piyasada Fiyat Farklıılalaşşttıırmasrmasıı

Tekel konumundaki bir firmanın, üretip sattığı malı, fiyat

farklılaştırması uygulamasıyla üç ayrı piyasada, üç farklı fiyatla

satmak istemektedir. Buna göre, aşağıda verilen her alt

piyasanın talep fonksiyonlarını ve firmanın toplam maliyet

fonksiyonunu kullanarak, firmanın kârını maksimize edecek

olan alt piyasa satış miktarlarını ve fiyatlarını belirleyelim.

109109

= −1 2 3

20 15TC Q

Q Q Q Q

110110

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3 1 2 3

2 2 21 2 3 1 2 3

63 4 105 5 75 6 20 15

48 90 60 4 5 6 20

TR TC P Q P Q P Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

⎡ ⎤π = − = + + − + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤π = − + − + − − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

π = + + − − − −

Birinci sBirinci sııra kora koşşullar:ullar:

48 8 0

90 10 0

60 12 0

π = − =

111111İİkinci skinci sııra kora koşşullar:ullar:

11 22 33

12 21 13 31 23 32

11 122

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

8 , 10 , 12

0 , 0 , 0

8 080 0

8 0 00 10 0 960 00 0 12

π = − π = − π = −

π = π = π = π = π = π =

= π = − <

π π −= = = >π π −

π π π −= = π π π = − = − <

π π π −

112112* *

* *2 2

* *3 3

63 4 63 4(6) 39

105 5 105 5(9) 60

75 6 75 6(5) 45

= − = − =

Bu sonuç, firmanın her alt piyasaya, yukarıda bulduğumuz

satış fiyatlarını uyguladığında, kârını maksimize edebileceğini

göstermektedir.

Fiyat farklılaştırmasındaki temel özellik, esnekliğin düşük

olduğu alt piyasaya yüksek fiyat, yüksek olduğu alt piyasaya

da düşük fiyat uygulanmasıdır.

113113

Tam RekabetTam Rekabetççi Firmani Firmanıın Optimal Girdi Kararn Optimal Girdi Kararıı

Tam rekabet piyasasında çalışan, Dt (t1-t0) zaman biriminde tek

ürün üreten ve girdi olarak sermaye (K) ve işgücü (L) kullanan

bir firmayı dikkate alalım. Firmanın üretim fonksiyonu ve

toplam maliyeti şöyledir:

( , )Q Q K L

TC rK wL

114114

Bu firmanın amacı, t0 anında üretimine başladığı ve t1 anında

üretimini tamamlayarak sattığı (yani firma toplam gelirini t1

anında elde ediyor) malın üretim sürecinde kullandığı optimal

sermaye ve işgücü bileşimini belirlemesidir. Bu nedenle firma t0

anındaki marjinal girdi maliyeti ile t1 anında elde edeceği

marjinal ürün gelirinin t0 anına indirgenmiş değerini

karşılaştıracaktır.

115115

( , )TR PQ K L=

Bu, t1 anında firmanın elde edeceği toplam gelirdir. Bunu t0

anına indirgeyerek yazalım.

( , ) rtTR PQ K L e−=

Şimdi de firmanın maksimize etmeye çalışacağı kâr

fonksiyonunu yazalım.

( , ) rtTR TC PQ K L e rK wL−π = − = − −

116116Birinci SBirinci Sııra Kora Koşşullar:ullar:

rt rtK K

rt rtL L

QP e r PQ e rK K

QP e w PQ e wL L

− −

∂π ∂≡ π = − = − =

∂ ∂

∂π ∂≡ π = − = − =

∂ ∂

PQ e r

PQ e w

rtKPQ e−

: Sermayenin İndirgenmiş Marjinal Ürün Değeri

rtLPQ e−

: İşgücünün İndirgenmiş Marjinal Ürün Değeri

r : Sermayenin Marjinal ürün Maliyeti

w : İşgücünün Marjinal ürün Maliyeti

117117

Diğer yandan eşürün eğrisine ilişkin şu koşulun da yerine

gelmesi gerekir. Bunun için üretim fonksiyonunun toplam

diferansiyelini alalım ve üretim miktarı değişmezken, girdi

bileşimindeki değişmeyi inceleyelim. Aşağıdaki sonuç, eşürün

eğrisinin negatif eğime sahip olası gerektiğini söylemektedir.

, 0 , 0

LKL L K

Q Q K L

dQ Q dK Q dL

QdK MRTS Q QdL Q

= − = > >

118118

ŞŞekil 2.11 Tam Rekabetekil 2.11 Tam Rekabetççi Firmani Firmanıın Optimal n Optimal Girdi KullanGirdi Kullanıımmıı

119119İİkinci Skinci Sııra Kora Koşşullar:ullar:

rt rtKK KK

rt rtLL LL

rt rtKL LK KL

QP e PQ eK K

QP e PQ eL L

QP e PQ eK L L K K L

− −

∂ π ∂≡ π = =

∂ ∂

∂ π ∂≡ π = =

∂ ∂

∂ π ∂ π ∂≡ π = ≡ π = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

İkinci derece türevleri kullanarak, Hessian determinantı

oluşturalım ve ikinci sıra koşul sınamaları yapalım.

120120

rt rtKK KL KK KL

rt rtLK LL LK LL

KK KK KK

KK LL KL KK LL KL

PQ e PQ eH H

PQ e PQ e

H H Q Q Q

− −

= π <

π π= = = >

= π < → < ⇒ π <

= > → > ⇒ π π > π

121121

Yukarıda elde ettiğimiz ikinci sıra koşullar, sermayenin ve

işgücünün marjinal verimliliklerinin azalması ve eşürün

eğrilerinin kesin dışbükey olması gerektiğini söylemektedir.

Bunu görebilmek için, marjinal teknik ikame oranının L’ye göre

türevini yeniden inceleriz.

L L KK L

Q Q Qd Q QQd K L LdL dL Q

⎛ ⎞ ∂ ∂⎡ ⎤− −⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦= = −

122122

Q Q K L

QK ve QL ‘nin her ikisinin de K ve L’nin

fonksiyonu olacağına dikkat ediniz.

123123

L L LKL LL

K K KKK LK

L L KK L

L LKL LL K KK LK L

Q Q QdK dL dKQ QL K dL L dL dL

Q Q Qd Q QQd K L LdL dL Q

Q QQ Q Q Q Q QQ Qd K

∂ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ∂ ∂⎡ ⎤− −⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦= = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −

124124

LL K KL L LK L KK LK K

LL K KL L K KK LK

d K Q Q Q Q Q Q Q QdL Q Q

d K Q Q Q Q Q Q QdL Q

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦

Köşeli parantezde yer alan terim QK ve QL değişkenlerinin bir

karesel biçimi olduğundan, ikinci sıra koşul sağlanıyorsa;

125125

0LLQ < 2KK LL KLQ Q Q>ve ise,

2 22LL K KL L K KK LQ Q Q Q Q Q Q⎡ ⎤− +⎣ ⎦

negatif belirli olacak, dolayısıyla;

2 0d KdL

olacaktır. Bu sonuç, negatif eğimli eşürün eğrisinin kesin

dışbükey olmasını garanti altına almaktadır.

ÖÖrnek 14:rnek 14:

Firma girdi kararıyla ilgili, açık fonksiyon bir örnek verelim.

Firmanın üretim fonksiyonu, mal fiyatı ve girdi fiyatları aşağıda

yer almaktadır. Bu bilgilere göre, firmanın optimal sermaye ve

işgücü istihdam düzeyleri ne olacaktır?

126126

0.25 0.5

( , ) , 40 , 5 , 60

60 40 5

Q Q K L K L r w P

TC rK wL

TR TC PQ K L rK WL

K L K L

= = = = =

π = − = − −

= − −

127127

Birinci SBirinci Sııra Kora Koşşullar:ullar:

0.75 0.5

0.25 0.5

60(0.25) 40 0

60(0.5) 5 0

5.1 , 81

∂π≡ π = − =

128128İİkinci Skinci Sııra Kora Koşşullar:ullar:

21.75 0.5

20.25 1.5

2 20.75 0.5

15(0.75) 5.92

30(0.5) 0.031

15(0.5) 0.247

5.92 0

5.92 0.2470.123 0

0.247 0.031

K LK L L K

− −

∂ π≡ π = − = −

∂ π ∂ π≡ π = ≡ π = = −

∂ ∂ ∂ ∂

= π = − <

π π − −= = = = >

π π − −

129129ŞŞekil 2.12 Tam Rekabetekil 2.12 Tam Rekabetççi Firmani Firmanıın Optimal n Optimal

Girdi KullanGirdi Kullanıımmıı ((ÖÖrnek 14)rnek 14)

0.25 0.560 40 5K L K Lπ = − −

matematiksel iktisat ders notları (birden çok değişken durumunda optimizasyon)

Documents

Transcript of matematiksel iktisat ders notları (birden çok değişken durumunda optimizasyon)

DERS PLANI - WordPress.com · Web viewHipotezi Bağımlı Değişken Bağımsız Değişken Kontrol Edilen Değişken Araç ve Gereci Pilli el feneri(veya küçük lazer kaynağı),

Değişken Bildirimleri

Matematiksel İktisat II Ders Notları - idari.cu.edu.tr · Kısıtsız optimizasyon konusunda, seçim değişkenlerinden hiç birinin, diğer seçim değişkenleri üzerinde bir

Matematiksel kavramlara giriş

GENETİK ALGORİTMA İLE OPTİMİZASYON

New UYGULAMALI OPTİMİZASYON TEKNİKLERİauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/endustrimuhlt_ue/... · 2020. 4. 17. · Matematiksel Optimizasyon Uygulamaları 1.2. Optimizasyon Problemlerinin

Matematiksel İktisat II Ders Notları · İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize

FİNANSAL OPTİMİZASYON MODELLERİNİN ELEKTRİK …

LANDSAT UYDU GÖRÜNTÜLERİNİN MDPSO OPTİMİZASYON …

MapReduce ile METASEZGİSEL OPTİMİZASYON Muhammed

Değişken Tanımlamaları

Marx Matematiksel ElYazmalari

Optimizasyon Ders Notları

MATEMATİKSEL KRİPTOANALİZ

Matematiksel İfadelerin Yazılması

Değişken Maliyet Sistemi

10. OPTİMİZASYON

DEĞİŞKEN NEDİR? · 2017-05-26 · DEĞİŞKEN NEDİR? Bir durumdan diğerine, gözlemden gözleme farklılık gösteren özelliklere “değişken” adı verilir. Değişkenin

matematiksel iktisat ders notları (kısıtlamalı optimizasyon)

BİYOİSTATİSTİK - helitam.files.wordpress.com · 9.DS1:Bebeklerin cinsiyetinin belirlenmesi ölçümünün değişken tipi nedir ? A) Sürekli değişken B) Ara değişken C) Kantitatif