logoonly

Matematikens huvudgrenar ochAktuell och modern matematik

Niels Chr. Overgaard

2017-11-06

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 1 / 15

logoonly

Dagens föreläsning—Innehåll

I Matematikens huvudgrenarI Geometri (3000 F.V.T. → idag)I Algebra (700 E.V.T. → idag)I Analys (1600 E.V.T. → idag)I Sannolikhetsteori (1927 E.V.T. → 2000 idag)

I Årets Nobelpris i FysikI Einsteins lineariserade teoriI Finns g-vågor i den fullständiga teorin?I Numerisk relativitetsteori

I Lite mer om matematisk publikationI arXivI HAL

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 2 / 15

logoonly

Dagens föreläsning—Innehåll

I Matematikens huvudgrenarI Geometri (3000 F.V.T. → idag)I Algebra (700 E.V.T. → idag)I Analys (1600 E.V.T. → idag)I Sannolikhetsteori (1927 E.V.T. → 2000 idag)

I Årets Nobelpris i FysikI Einsteins lineariserade teoriI Finns g-vågor i den fullständiga teorin?I Numerisk relativitetsteori

I Lite mer om matematisk publikationI arXivI HAL

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 2 / 15

logoonly

Dagens föreläsning—Innehåll

I Matematikens huvudgrenarI Geometri (3000 F.V.T. → idag)I Algebra (700 E.V.T. → idag)I Analys (1600 E.V.T. → idag)I Sannolikhetsteori (1927 E.V.T. → 2000 idag)

I Årets Nobelpris i FysikI Einsteins lineariserade teoriI Finns g-vågor i den fullständiga teorin?I Numerisk relativitetsteori

I Lite mer om matematisk publikationI arXivI HAL

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 2 / 15

logoonly

Dagens föreläsning—Innehåll

I Matematikens huvudgrenarI Geometri (3000 F.V.T. → idag)I Algebra (700 E.V.T. → idag)I Analys (1600 E.V.T. → idag)I Sannolikhetsteori (1927 E.V.T. → 2000 idag)

I Årets Nobelpris i FysikI Einsteins lineariserade teoriI Finns g-vågor i den fullständiga teorin?I Numerisk relativitetsteori

I Lite mer om matematisk publikationI arXivI HAL

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 2 / 15

logoonly

Dagens föreläsning—Innehåll

I Matematikens huvudgrenarI Geometri (3000 F.V.T. → idag)I Algebra (700 E.V.T. → idag)I Analys (1600 E.V.T. → idag)I Sannolikhetsteori (1927 E.V.T. → 2000 idag)

I Årets Nobelpris i FysikI Einsteins lineariserade teoriI Finns g-vågor i den fullständiga teorin?I Numerisk relativitetsteori

I Lite mer om matematisk publikationI arXivI HAL

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 2 / 15

logoonly

Dagens föreläsning—Innehåll

I Matematikens huvudgrenarI Geometri (3000 F.V.T. → idag)I Algebra (700 E.V.T. → idag)I Analys (1600 E.V.T. → idag)I Sannolikhetsteori (1927 E.V.T. → 2000 idag)

I Årets Nobelpris i FysikI Einsteins lineariserade teoriI Finns g-vågor i den fullständiga teorin?I Numerisk relativitetsteori

I Lite mer om matematisk publikationI arXivI HAL

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 2 / 15

logoonly

Dagens föreläsning—Innehåll

I Matematikens huvudgrenarI Geometri (3000 F.V.T. → idag)I Algebra (700 E.V.T. → idag)I Analys (1600 E.V.T. → idag)I Sannolikhetsteori (1927 E.V.T. → 2000 idag)

I Årets Nobelpris i FysikI Einsteins lineariserade teoriI Finns g-vågor i den fullständiga teorin?I Numerisk relativitetsteori

I Lite mer om matematisk publikationI arXivI HAL

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 2 / 15

logoonly

Dagens föreläsning—Innehåll

I Matematikens huvudgrenarI Geometri (3000 F.V.T. → idag)I Algebra (700 E.V.T. → idag)I Analys (1600 E.V.T. → idag)I Sannolikhetsteori (1927 E.V.T. → 2000 idag)

I Årets Nobelpris i FysikI Einsteins lineariserade teoriI Finns g-vågor i den fullständiga teorin?I Numerisk relativitetsteori

I Lite mer om matematisk publikationI arXivI HAL

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 2 / 15

logoonly

Dagens föreläsning—Innehåll

I Matematikens huvudgrenarI Geometri (3000 F.V.T. → idag)I Algebra (700 E.V.T. → idag)I Analys (1600 E.V.T. → idag)I Sannolikhetsteori (1927 E.V.T. → 2000 idag)

I Årets Nobelpris i FysikI Einsteins lineariserade teoriI Finns g-vågor i den fullständiga teorin?I Numerisk relativitetsteori

I Lite mer om matematisk publikationI arXivI HAL

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 2 / 15

logoonly

Varför nu det?—Vad säger kursplanen?

Mål—Kunskap och förståelse:För godkänd kurs skall studenten

...vara bekant med och kunna använda grundläggande begrepp inom matematiskteoribyggnad.

...kunna översiktligt beskriva de matematiska vetenskaperna (geometri, algebra,analys och sannolikhetsteori) och ge exempel på forskning i såväl klassisk sommodern matematik.

...vara bekant med hur man publicerar ett matematiskt arbete, samt känna tillnågra viktiga matematiska tidskrifter.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 3 / 15

logoonly

Geometri

Beskrivning:“Studiet av de egenskaper hos figurer iplanet och det vanliga tredimensionellarummet, som bevaras underkongruensavbildningar”

I Den älsta grenen av matematikenI ytterligare förgreningar:

I Euklidisk geometriI Projektiv geometriI Icke-euklidisk geometriI Topologi (Analysis situus)

I Upptäckten av den icke-euklidiskageometrin (ca 1820) ledde till bättreförståelse av axiomatiska system.

I Syntetisk geom. och analytisk geom.N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 4 / 15

logoonly

Algebra

Wikipedia:“Algebra is one of the broad parts ofmathematics. In its most general form, algebrais the study of mathematical symbols and therules for manipulating these symbols.”

Studerar aritmetikens operationer (+, ·) ochgeneraliseringar av dessa: Grupper, ringar ochkroppar. Exempel: (R2×2,+, ·)Algebra med utgångspunkt i axiom = abstraktalgebra. (Sent 1800-tal och 1900-tal)Symboliska abstraktionen (1600-talet):“Produkten av ett givet tal med summan avtvå andra tal är lika med summan av produktenav det givna talet med var och en av de tvåsummanderna”

eller enklare:

a(b + c) = ab + ac ,

alltså distributiva lagen.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 5 / 15

logoonly

Algebra

Wikipedia:“Algebra is one of the broad parts ofmathematics. In its most general form, algebrais the study of mathematical symbols and therules for manipulating these symbols.”

Studerar aritmetikens operationer (+, ·) ochgeneraliseringar av dessa: Grupper, ringar ochkroppar. Exempel: (R2×2,+, ·)Algebra med utgångspunkt i axiom = abstraktalgebra. (Sent 1800-tal och 1900-tal)Symboliska abstraktionen (1600-talet):“Produkten av ett givet tal med summan avtvå andra tal är lika med summan av produktenav det givna talet med var och en av de tvåsummanderna”

eller enklare:

a(b + c) = ab + ac ,

alltså distributiva lagen.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 5 / 15

logoonly

Algebra

Wikipedia:“Algebra is one of the broad parts ofmathematics. In its most general form, algebrais the study of mathematical symbols and therules for manipulating these symbols.”

Studerar aritmetikens operationer (+, ·) ochgeneraliseringar av dessa: Grupper, ringar ochkroppar. Exempel: (R2×2,+, ·)Algebra med utgångspunkt i axiom = abstraktalgebra. (Sent 1800-tal och 1900-tal)Symboliska abstraktionen (1600-talet):“Produkten av ett givet tal med summan avtvå andra tal är lika med summan av produktenav det givna talet med var och en av de tvåsummanderna”

eller enklare:

a(b + c) = ab + ac ,

alltså distributiva lagen.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 5 / 15

logoonly

Algebra

Wikipedia:“Algebra is one of the broad parts ofmathematics. In its most general form, algebrais the study of mathematical symbols and therules for manipulating these symbols.”

Studerar aritmetikens operationer (+, ·) ochgeneraliseringar av dessa: Grupper, ringar ochkroppar. Exempel: (R2×2,+, ·)Algebra med utgångspunkt i axiom = abstraktalgebra. (Sent 1800-tal och 1900-tal)Symboliska abstraktionen (1600-talet):“Produkten av ett givet tal med summan avtvå andra tal är lika med summan av produktenav det givna talet med var och en av de tvåsummanderna”

eller enklare:

a(b + c) = ab + ac ,

alltså distributiva lagen.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 5 / 15

logoonly

Algebra

Wikipedia:“Algebra is one of the broad parts ofmathematics. In its most general form, algebrais the study of mathematical symbols and therules for manipulating these symbols.”

Studerar aritmetikens operationer (+, ·) ochgeneraliseringar av dessa: Grupper, ringar ochkroppar. Exempel: (R2×2,+, ·)Algebra med utgångspunkt i axiom = abstraktalgebra. (Sent 1800-tal och 1900-tal)Symboliska abstraktionen (1600-talet):“Produkten av ett givet tal med summan avtvå andra tal är lika med summan av produktenav det givna talet med var och en av de tvåsummanderna”

eller enklare:

a(b + c) = ab + ac ,

alltså distributiva lagen.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 5 / 15

logoonly

Algebra

Wikipedia:“Algebra is one of the broad parts ofmathematics. In its most general form, algebrais the study of mathematical symbols and therules for manipulating these symbols.”

Studerar aritmetikens operationer (+, ·) ochgeneraliseringar av dessa: Grupper, ringar ochkroppar. Exempel: (R2×2,+, ·)Algebra med utgångspunkt i axiom = abstraktalgebra. (Sent 1800-tal och 1900-tal)Symboliska abstraktionen (1600-talet):“Produkten av ett givet tal med summan avtvå andra tal är lika med summan av produktenav det givna talet med var och en av de tvåsummanderna”

eller enklare:

a(b + c) = ab + ac ,

alltså distributiva lagen.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 5 / 15

logoonly

Analys

Wikipedia:Mathematical analysis is the branch ofmathematics dealing with limits and relatedtheories, such as differentiation, integration,measure, infinite series, and analytic functions.

Analysen innehåller alltså Leibniz och Newtonsinfinitesimalkalkyl samt vidareutveckling avdenna.(Inledningsvis mha geometrisk åskådning.)Euler inledde analysens aritmetisering på1700-taler. Denna process fullbordades i.o.m.Cauchy, Weierstrass, Dedekind m.fl. 1872 (!)

I Reell analys (mått- och integrationsteori)I Komplex analys (funktionsteori)I FunktionalanalysI Differentialekvationer (ODE, PDE)

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 6 / 15

logoonly

Analys

Wikipedia:Mathematical analysis is the branch ofmathematics dealing with limits and relatedtheories, such as differentiation, integration,measure, infinite series, and analytic functions.

Analysen innehåller alltså Leibniz och Newtonsinfinitesimalkalkyl samt vidareutveckling avdenna.(Inledningsvis mha geometrisk åskådning.)Euler inledde analysens aritmetisering på1700-taler. Denna process fullbordades i.o.m.Cauchy, Weierstrass, Dedekind m.fl. 1872 (!)

I Reell analys (mått- och integrationsteori)I Komplex analys (funktionsteori)I FunktionalanalysI Differentialekvationer (ODE, PDE)

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 6 / 15

logoonly

Analys

Wikipedia:Mathematical analysis is the branch ofmathematics dealing with limits and relatedtheories, such as differentiation, integration,measure, infinite series, and analytic functions.

Analysen innehåller alltså Leibniz och Newtonsinfinitesimalkalkyl samt vidareutveckling avdenna.(Inledningsvis mha geometrisk åskådning.)Euler inledde analysens aritmetisering på1700-taler. Denna process fullbordades i.o.m.Cauchy, Weierstrass, Dedekind m.fl. 1872 (!)

I Reell analys (mått- och integrationsteori)I Komplex analys (funktionsteori)I FunktionalanalysI Differentialekvationer (ODE, PDE)

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 6 / 15

logoonly

Analys

Wikipedia:Mathematical analysis is the branch ofmathematics dealing with limits and relatedtheories, such as differentiation, integration,measure, infinite series, and analytic functions.

Analysen innehåller alltså Leibniz och Newtonsinfinitesimalkalkyl samt vidareutveckling avdenna.(Inledningsvis mha geometrisk åskådning.)Euler inledde analysens aritmetisering på1700-taler. Denna process fullbordades i.o.m.Cauchy, Weierstrass, Dedekind m.fl. 1872 (!)

I Reell analys (mått- och integrationsteori)I Komplex analys (funktionsteori)I FunktionalanalysI Differentialekvationer (ODE, PDE)

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 6 / 15

logoonly

Analys

Wikipedia:Mathematical analysis is the branch ofmathematics dealing with limits and relatedtheories, such as differentiation, integration,measure, infinite series, and analytic functions.

Analysen innehåller alltså Leibniz och Newtonsinfinitesimalkalkyl samt vidareutveckling avdenna.(Inledningsvis mha geometrisk åskådning.)Euler inledde analysens aritmetisering på1700-taler. Denna process fullbordades i.o.m.Cauchy, Weierstrass, Dedekind m.fl. 1872 (!)

I Reell analys (mått- och integrationsteori)I Komplex analys (funktionsteori)I FunktionalanalysI Differentialekvationer (ODE, PDE)

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 6 / 15

logoonly

Analys

Wikipedia:Mathematical analysis is the branch ofmathematics dealing with limits and relatedtheories, such as differentiation, integration,measure, infinite series, and analytic functions.

Analysen innehåller alltså Leibniz och Newtonsinfinitesimalkalkyl samt vidareutveckling avdenna.(Inledningsvis mha geometrisk åskådning.)Euler inledde analysens aritmetisering på1700-taler. Denna process fullbordades i.o.m.Cauchy, Weierstrass, Dedekind m.fl. 1872 (!)

I Reell analys (mått- och integrationsteori)I Komplex analys (funktionsteori)I FunktionalanalysI Differentialekvationer (ODE, PDE)

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 6 / 15

logoonly

Analys

Wikipedia:Mathematical analysis is the branch ofmathematics dealing with limits and relatedtheories, such as differentiation, integration,measure, infinite series, and analytic functions.

Analysen innehåller alltså Leibniz och Newtonsinfinitesimalkalkyl samt vidareutveckling avdenna.(Inledningsvis mha geometrisk åskådning.)Euler inledde analysens aritmetisering på1700-taler. Denna process fullbordades i.o.m.Cauchy, Weierstrass, Dedekind m.fl. 1872 (!)

I Reell analys (mått- och integrationsteori)I Komplex analys (funktionsteori)I FunktionalanalysI Differentialekvationer (ODE, PDE)

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 6 / 15

logoonly

Analys

Wikipedia:Mathematical analysis is the branch ofmathematics dealing with limits and relatedtheories, such as differentiation, integration,measure, infinite series, and analytic functions.

Analysen innehåller alltså Leibniz och Newtonsinfinitesimalkalkyl samt vidareutveckling avdenna.(Inledningsvis mha geometrisk åskådning.)Euler inledde analysens aritmetisering på1700-taler. Denna process fullbordades i.o.m.Cauchy, Weierstrass, Dedekind m.fl. 1872 (!)

I Reell analys (mått- och integrationsteori)I Komplex analys (funktionsteori)I FunktionalanalysI Differentialekvationer (ODE, PDE)

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 6 / 15

logoonly

Sannolikhetsteori

Sannolikhetsteorin är en matematisk lära sominnehåller olika metoder att beskriva ochräkna slumpmässiga händelser.Tidiga Pionjärar: G. Cardano, P. Fermat,Ja. Bernoulli och P-S. Laplace.

Kolmogorovs axiom (1933):Ω—Utfallsrum, A—Familj av händelser,P—Ett sannolikhetsmått. Ifall A,B ∈ A:

(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1,

(ii) P(Ω) = 1.

(iii) A ∩ B = ∅ =⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

och därtill (ej axiom utan definition)

A,B oberoende =⇒ P(A ∩ B) = P(A)P(B).

A. Kolmogorov (1903–87).I och med hans axiom blirsannolikhetsteorin en egengren inom matematiken.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 7 / 15

logoonly

Årets Nobelpris i fysik

Rainer Weiss, Barry C. Barish och Kip S. Thorne

“För avgörande bidrag till LIGO-detektorn och observationen av gravitationsvågor”

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 8 / 15

logoonly

Upptäckt och annonsering av g-vågor

I LIGO = Laser InferometryGaravitational-wave Observatory

I aLIGO tas i drift augusti 2015I Första signalen detekteras 14

september 2015I Upptäckten publiseras 11 januari

2016I Analys visar på kollision mellan

två svarta hål någonstans påsödra hemisfären

I 36 M + 29 M = 62 M +‘g-radiation’

I Ytterligar två observationer:GW151226 och GW170104

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 9 / 15

logoonly

Massivt samarbetsprojekt

1019 författare (alfabetiskt ordnade, tre avlidna innan publisering),133 institutioner och universitet. Tar upp fem av 15 sidor i artikeln.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 10 / 15

logoonly

Einsteins allmänna relativitetsteori

Fältekvationerna (1915):

Rumtids-metriken gµν uppfyller Einsteins ekvationer

Rµν −12Rgµν = κTµν .

Rµν är Ricci-krökningen, R dess spår och κTµν ären källterm (‘massa’). Om Tµν = 0 fåsMinkowski-metriken ηµν som lösning.

Linearisering (1916):

Ansats: gµν = ηµν + hµν , där hµν en liten störning:

2hµν = 0 (2 := ηµν∂µ∂ν ; vågekvationen)

Lineariserat teori förutspår alltså gravitationsvågor!

A. Einstein, 1905

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 11 / 15

logoonly

Problem: Rött ljus för g-vågor

A. Einstein och N. Rosen (1937) försöker bestämma lösningar till fältekvationerna(ingen linearisering!) motsvarande plana vågor.

Alla lösningar de hitta innehåller singulariteter som tolkas som ‘ofysikaliska’.

Einstein och Rosen drar slutsatsen att g-vågor inte existerar i den korrekta teorin.Det dröjer länge innan andra tar upp tråden igen.

Så stor är Einsteins auktoritet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 12 / 15

logoonly

Problem: Rött ljus för g-vågor

A. Einstein och N. Rosen (1937) försöker bestämma lösningar till fältekvationerna(ingen linearisering!) motsvarande plana vågor.

Alla lösningar de hitta innehåller singulariteter som tolkas som ‘ofysikaliska’.

Einstein och Rosen drar slutsatsen att g-vågor inte existerar i den korrekta teorin.Det dröjer länge innan andra tar upp tråden igen.

Så stor är Einsteins auktoritet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 12 / 15

logoonly

Problem: Rött ljus för g-vågor

A. Einstein och N. Rosen (1937) försöker bestämma lösningar till fältekvationerna(ingen linearisering!) motsvarande plana vågor.

Alla lösningar de hitta innehåller singulariteter som tolkas som ‘ofysikaliska’.

Einstein och Rosen drar slutsatsen att g-vågor inte existerar i den korrekta teorin.Det dröjer länge innan andra tar upp tråden igen.

Så stor är Einsteins auktoritet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 12 / 15

logoonly

Problem: Rött ljus för g-vågor

A. Einstein och N. Rosen (1937) försöker bestämma lösningar till fältekvationerna(ingen linearisering!) motsvarande plana vågor.

Alla lösningar de hitta innehåller singulariteter som tolkas som ‘ofysikaliska’.

Einstein och Rosen drar slutsatsen att g-vågor inte existerar i den korrekta teorin.Det dröjer länge innan andra tar upp tråden igen.

Så stor är Einsteins auktoritet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 12 / 15

logoonly

Från rött till grönt ljus—vad krävs?

Följande frågor måste besvaras:

1. Hur definieras plana g-vågor i de icke-linjära fältekvationerna?2. Finns det sådana plana g-vågor (konkreta exempel)?3. Om de finns, kan sådan g-vågor transportera energi?4. Hur definieras icke-plana g-vågor?5. Hur mycket energi kan sådana vågor transportera?6. Finns det lösningar till de icke-linjära fältekvationerna som motsvara

icke-plana vågor?7. Finns de bland lösningarna sådana som motsvarar g-vågor utsänd från en

begränsad källa?

Alla sju frågor måste besvaras med ett “ja” för att g-vågor ska vara en realitet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 13 / 15

logoonly

Från rött till grönt ljus—vad krävs?

Följande frågor måste besvaras:

1. Hur definieras plana g-vågor i de icke-linjära fältekvationerna?2. Finns det sådana plana g-vågor (konkreta exempel)?3. Om de finns, kan sådan g-vågor transportera energi?4. Hur definieras icke-plana g-vågor?5. Hur mycket energi kan sådana vågor transportera?6. Finns det lösningar till de icke-linjära fältekvationerna som motsvara

icke-plana vågor?7. Finns de bland lösningarna sådana som motsvarar g-vågor utsänd från en

begränsad källa?

Alla sju frågor måste besvaras med ett “ja” för att g-vågor ska vara en realitet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 13 / 15

logoonly

Från rött till grönt ljus—vad krävs?

Följande frågor måste besvaras:

1. Hur definieras plana g-vågor i de icke-linjära fältekvationerna?2. Finns det sådana plana g-vågor (konkreta exempel)?3. Om de finns, kan sådan g-vågor transportera energi?4. Hur definieras icke-plana g-vågor?5. Hur mycket energi kan sådana vågor transportera?6. Finns det lösningar till de icke-linjära fältekvationerna som motsvara

icke-plana vågor?7. Finns de bland lösningarna sådana som motsvarar g-vågor utsänd från en

begränsad källa?

Alla sju frågor måste besvaras med ett “ja” för att g-vågor ska vara en realitet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 13 / 15

logoonly

Från rött till grönt ljus—vad krävs?

Följande frågor måste besvaras:

1. Hur definieras plana g-vågor i de icke-linjära fältekvationerna?2. Finns det sådana plana g-vågor (konkreta exempel)?3. Om de finns, kan sådan g-vågor transportera energi?4. Hur definieras icke-plana g-vågor?5. Hur mycket energi kan sådana vågor transportera?6. Finns det lösningar till de icke-linjära fältekvationerna som motsvara

icke-plana vågor?7. Finns de bland lösningarna sådana som motsvarar g-vågor utsänd från en

begränsad källa?

Alla sju frågor måste besvaras med ett “ja” för att g-vågor ska vara en realitet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 13 / 15

logoonly

Från rött till grönt ljus—vad krävs?

Följande frågor måste besvaras:

1. Hur definieras plana g-vågor i de icke-linjära fältekvationerna?2. Finns det sådana plana g-vågor (konkreta exempel)?3. Om de finns, kan sådan g-vågor transportera energi?4. Hur definieras icke-plana g-vågor?5. Hur mycket energi kan sådana vågor transportera?6. Finns det lösningar till de icke-linjära fältekvationerna som motsvara

icke-plana vågor?7. Finns de bland lösningarna sådana som motsvarar g-vågor utsänd från en

begränsad källa?

Alla sju frågor måste besvaras med ett “ja” för att g-vågor ska vara en realitet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 13 / 15

logoonly

Från rött till grönt ljus—vad krävs?

Följande frågor måste besvaras:

1. Hur definieras plana g-vågor i de icke-linjära fältekvationerna?2. Finns det sådana plana g-vågor (konkreta exempel)?3. Om de finns, kan sådan g-vågor transportera energi?4. Hur definieras icke-plana g-vågor?5. Hur mycket energi kan sådana vågor transportera?6. Finns det lösningar till de icke-linjära fältekvationerna som motsvara

icke-plana vågor?7. Finns de bland lösningarna sådana som motsvarar g-vågor utsänd från en

begränsad källa?

Alla sju frågor måste besvaras med ett “ja” för att g-vågor ska vara en realitet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 13 / 15

logoonly

Från rött till grönt ljus—vad krävs?

Följande frågor måste besvaras:

1. Hur definieras plana g-vågor i de icke-linjära fältekvationerna?2. Finns det sådana plana g-vågor (konkreta exempel)?3. Om de finns, kan sådan g-vågor transportera energi?4. Hur definieras icke-plana g-vågor?5. Hur mycket energi kan sådana vågor transportera?6. Finns det lösningar till de icke-linjära fältekvationerna som motsvara

icke-plana vågor?7. Finns de bland lösningarna sådana som motsvarar g-vågor utsänd från en

begränsad källa?

Alla sju frågor måste besvaras med ett “ja” för att g-vågor ska vara en realitet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 13 / 15

logoonly

Från rött till grönt ljus—vad krävs?

Följande frågor måste besvaras:

1. Hur definieras plana g-vågor i de icke-linjära fältekvationerna?2. Finns det sådana plana g-vågor (konkreta exempel)?3. Om de finns, kan sådan g-vågor transportera energi?4. Hur definieras icke-plana g-vågor?5. Hur mycket energi kan sådana vågor transportera?6. Finns det lösningar till de icke-linjära fältekvationerna som motsvara

icke-plana vågor?7. Finns de bland lösningarna sådana som motsvarar g-vågor utsänd från en

begränsad källa?

Alla sju frågor måste besvaras med ett “ja” för att g-vågor ska vara en realitet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 13 / 15

logoonly

Från rött till grönt ljus—vad krävs?

Följande frågor måste besvaras:

1. Hur definieras plana g-vågor i de icke-linjära fältekvationerna?2. Finns det sådana plana g-vågor (konkreta exempel)?3. Om de finns, kan sådan g-vågor transportera energi?4. Hur definieras icke-plana g-vågor?5. Hur mycket energi kan sådana vågor transportera?6. Finns det lösningar till de icke-linjära fältekvationerna som motsvara

icke-plana vågor?7. Finns de bland lösningarna sådana som motsvarar g-vågor utsänd från en

begränsad källa?

Alla sju frågor måste besvaras med ett “ja” för att g-vågor ska vara en realitet.

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 13 / 15

logoonly

Frågorna besvaras

1957: F. Pirani, H. Bondi och I. Robinsonbesvarar (1)–(3) med ett “ja”.

1958: Andrzej Trautman besvarar(4)–(6) med “ja”

1962: Robinson och Trautmanbesvarar den sista frågan (7) medett “ja”

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 14 / 15

logoonly

Preprintarkiver: ett modernt publiceringssätt?

Två viktiga elektroniska arkiv för preprints (= manuskript som ännu ej publiceratsi review-granskat tidsskrift):

I arXiv (https://arXiv.org)I HAL (https://hal.archives-ouvertes.fr/)

N. Chr. Overgaard Intro. LATEX 2017-11-06 15 / 15