Post on 19-Mar-2017
Matemáticas Básicas: Introducción alas Matemáticas Financieras
M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017
ESDAI, Universidad Panamericana
1
2
1 Logaritmos
Leyes de los exponentes
Funciones exponenciales
Logaritmos
Logaritmo natural
2 Sucesiones
Sucesiones aritméticas
Sucesiones geométricas
Ejemplos
3
Logaritmos
4
Logaritmos
Leyes de los exponentes
5
En esta sección supondremos que las bases son númerospositivos, mientras que los coeficientes son números reales.
6
bm × bn = bm+n. (1.1)
Ejemplo 1.1.
b23 b
45 = b
23 + 4
5 = b2215 .
7
bm
bn= bm−n. (1.2)
Ejemplo 1.2.
b23
b45
= b23 − 4
5 = b− 215 .
8
(bm)n = amn. (1.3)
Ejemplo 1.3. (b
23) 4
5 = b(
23 × 4
5
)= b
815 .
9
(a
b
)n
= an
bn. (1.4)
Ejemplo 1.4. (a
b
) 23
= a23
b23
.
10
b−n = 1bn
. (1.5)
Ejemplo 1.5.
b− 23 = 1
b23
11
bnm = m
√bn. (1.6)
Ejemplo 1.6.
b23 = 3
√b2
12
Ejemplo 1.7.Simplifique
1 ax4 × a3x5.
2 a3x4 × a2y3 × x2y6
3y2
y
4(x2y3) × (xy5)
y4 × y3
5 (i3)3 × (i2)3
6
(5x
x2
)3
7
(x3
y5
)2
8
(2Z5
x3y5
)3
9(1.80)5 × (1.80)3 × (1.80)2
(1.80)
Puede consultar las respuesta en SageMathCloud.
13
Ejemplo 1.8.
1 10
2 b15 b
14
3
(b3/4b6/8
b1/4
)1/4
4 (y−2)3
5(a−1/4
)−2
6(y−4/7)(y−4/7)7
y−1/5
7 (1 + 0.075)−5 × (1 + 0.075)8
√x2y3
9a3 ×
√a4
5√
a10
Puede consultar las respuesta en SageMathCloud.
14
Logaritmos
Funciones exponenciales
15
Leyes de los exponentes y funciones exponenciales
Leyes de los exponentes Funciones exponencialesb0 = 1 expb (0) = 1b1 = b expb (1) = b
bx+y = bxby expb (x + y) = expb (x) × expb (y)
bx−y = bx
byexpb (x − y) = expb (x)
expb (y)bnx = [bx]n expb (nx) = [expb (x)]n
16
Logaritmos
Logaritmos
17
Definición 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (1.7)
18
Definición 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (1.7)
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Definición 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (1.7)
18
Definición 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (1.7)
18
Figura 1.1: expb(x) vs logb(x)
19
Propiedades de logaritmos
Las funciones logarítmicas revierten las operaciones realizadascon las exponenciales: Si x, y > 0, entonces
Las funciones logarítmicas... convierten... en...logb (1) = 0 1 0.
logb (b) = 1 b 1.
logb (xy) = logb (x) + logb (y) la multiplicación suma.
logb
(x
y
)= logb (x) − logb (y) la división resta.
logb (xn) = n logb (x) exponentes coeficientes.
20
Ejemplo 1.9.Simplificar log10 (1000) .
Solución.
log10 (1000) = log10
(103
)= 3 (log10 (10))= 3(1) = 1.
21
Ejemplo 1.9.Simplificar log10 (1000) .
Solución.
log10 (1000) = log10
(103
)= 3 (log10 (10))= 3(1) = 1.
21
Ejemplo 1.10.Simplificar log2 (32) .
Solución.
log2 (32) = log2
(25)
= 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.
22
Ejemplo 1.10.Simplificar log2 (32) .
Solución.
log2 (32) = log2
(25)
= 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.
22
Ejemplo 1.11.
Simplificar log5
(1
125
).
Solución.
log5
( 1125
)= log5
( 153
)= log5 (1) − log5
(53)
= 0 − 3 (log5 (5))= −3(1) = −3.
23
Ejemplo 1.11.
Simplificar log5
(1
125
).
Solución.
log5
( 1125
)= log5
( 153
)= log5 (1) − log5
(53)
= 0 − 3 (log5 (5))= −3(1) = −3.
23
Ejemplo 1.12.Solucionar log4 (x) = 1
2 .
Solución.
log4 (x) = 12 → x = exp4
(12
)→ x = 4 1
2
→ x =√
4 = 2.
24
Ejemplo 1.12.Solucionar log4 (x) = 1
2 .
Solución.
log4 (x) = 12 → x = exp4
(12
)→ x = 4 1
2
→ x =√
4 = 2.
24
Ejemplo 1.13.Solucionar log64 (16) = x.
Solución.
log64 (16) = x → 16 = exp64 (x)→ 24 = 64x
→ 24 =(26)x
→ 24 = 26x
→ 4 = 6x
→ x = 23 .
25
Ejemplo 1.13.Solucionar log64 (16) = x.
Solución.
log64 (16) = x → 16 = exp64 (x)→ 24 = 64x
→ 24 =(26)x
→ 24 = 26x
→ 4 = 6x
→ x = 23 .
25
Ejemplo 1.14.Solucionar logx (27) = 3.
Solución.
logx (27) = 3 → 27 = expx (3)→ 27 = x3
→ x = 3√
27 = 3.
26
Ejemplo 1.14.Solucionar logx (27) = 3.
Solución.
logx (27) = 3 → 27 = expx (3)→ 27 = x3
→ x = 3√
27 = 3.
26
Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :
1 log5
(53
);
2 log5 (8) ;3 log5 (36) .
27
Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :
1 log5
(53
);
2 log5 (8) ;3 log5 (36) .
27
Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :
1 log5
(53
);
2 log5 (8) ;3 log5 (36) .
27
Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :
1 log5
(53
);
2 log5 (8) ;3 log5 (36) .
27
Solución.
1
log5
(53
)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .
2
log5 (8) = log5
(23)
= 3 log5 (5) = 3.
3
log5 (36) = log5
(2232
)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .
28
Solución.
1
log5
(53
)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .
2
log5 (8) = log5
(23)
= 3 log5 (5) = 3.
3
log5 (36) = log5
(2232
)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .
28
Solución.
1
log5
(53
)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .
2
log5 (8) = log5
(23)
= 3 log5 (5) = 3.
3
log5 (36) = log5
(2232
)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .
28
Solución.
1
log5
(53
)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .
2
log5 (8) = log5
(23)
= 3 log5 (5) = 3.
3
log5 (36) = log5
(2232
)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .
28
Logaritmos
Logaritmo natural
29
Consideremos una inversión inicial de $1, a una tasa de interésanual de r = 1, a un plazo de T = 1, es decir, de un año. Sivariamos el número de periodos M, en el que se compone lainversión al año, obtenemos los siguientes resultados:
M (1 + 1/M)M
1 2.010 2.5937424601100 2.704813829421000 2.7169239322410000 2.71814592683
30
Como se puede observar,(
1 + 1M
)M
→ 2.71828182846
si M → ∞.
Observación 1.1.e ≈ 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).
31
Como se puede observar,(
1 + 1M
)M
→ 2.71828182846
si M → ∞.
Observación 1.1.e ≈ 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).
31
En general, realizando el cambio de variable M = N
r, tenemos
que
A(1 + r
N)NT = A(1 + 1
M)rMT
= A
((1 + 1
M
)M)rT
→ AerT
cuando N, M → ∞.
Observación 1.2.Esta es la motivacación de la fórmula de interés compuestocontinuamente.
32
Ejemplo 1.16.Resuelva 3 = e20x.
Solución.
3 = e20x → ln(3) = ln(e20x)→ ln(3) = 20x
→ x = ln(3)20 ≈ 0.0549
33
Ejemplo 1.16.Resuelva 3 = e20x.
Solución.
3 = e20x → ln(3) = ln(e20x)→ ln(3) = 20x
→ x = ln(3)20 ≈ 0.0549
33
Ejemplo 1.17.Resuelva 2 ln(x) = 1
Solución.
2 ln(x) = 1 → ln(x) = 12
→ x = exp(12)
→ x = e12 =
√e ≈ 1.648
34
Ejemplo 1.17.Resuelva 2 ln(x) = 1
Solución.
2 ln(x) = 1 → ln(x) = 12
→ x = exp(12)
→ x = e12 =
√e ≈ 1.648
34
Ejemplo 1.18.Considere una inversión inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, ¿a que plazo de T añosdebe hacerse la inversión, para que esta se duplique?
Solución.Planteamos la ecuación 1000e0.08T = 2000. Despejamos T dela siguiente manera:
1000e0.08T = 2000 → e0.08T = 2→ 0.08T = ln(2)
→ T = ln(2)0.08 ≈ 8.66.
El plazo debe ser aprox. 8.66 años.
35
Ejemplo 1.18.Considere una inversión inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, ¿a que plazo de T añosdebe hacerse la inversión, para que esta se duplique?
Solución.Planteamos la ecuación 1000e0.08T = 2000. Despejamos T dela siguiente manera:
1000e0.08T = 2000 → e0.08T = 2→ 0.08T = ln(2)
→ T = ln(2)0.08 ≈ 8.66.
El plazo debe ser aprox. 8.66 años.
35
Observación 1.3.Observe que el tiempo que se tarda en duplicar el monto, esindependiente de la cantidad inicial C0. Trate de verificar estehecho, con diferentes montón y de justificarlo algebraicamente.
36
Ejemplo 1.19.En los siguientes ejericios, evalué la expresión dada utilizandolas propiedades de los logaritmos:
1 ln e3
2 ln√
e
3 eln 5
4 e2 ln 3
5 e3 ln 2−2 ln 5
6 ln e3√e
e13
37
Ejemplo 1.20.Resuelva las siguientes ecuaciones:
1 4x = 532 log3 (2x − 1) = 23 2 = e0.06x
4 3 = 2 + 5e−4x
5 ln(x) = 13 (ln 16 + 2 ln 2)
6 3x = e2
38
Ejemplo 1.21.
1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?
2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?
3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?
39
Ejemplo 1.21.
1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?
2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?
3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?
39
Ejemplo 1.21.
1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?
2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?
3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?
39
Ejemplo 1.21.
1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?
2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?
3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?
39
Ejemplo 1.22.Determine el valor de las incógnitas en las siguientesecuaciones.
1 5x+1 = 32x
2 1002/x = (1 + 0.1)x
3 250 = 5(1 + 0.01)y − 10.01
Puede comprobar las respuestas en SageMathCloud.
40
Sucesiones
41
Definición 2.1.Una sucesión de número es una regla que asigna a cadanúmero entero positivo n ∈ N, un número real quedenotaremos por an.
42
Ejemplo 2.1.La sucesión 1, 0, 1, 0... se puede escribir con la regla
an =
1 si n es impar0 si n es par
o de manera explicita
a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 0...
43
Sucesiones
Sucesiones aritméticas
44
Definición 2.2.Una sucesión es aritmética si para n ∈ N, la diferencia entredos términos sucesivos es siempre la misma, es decir,
an+1 − an ≡ d,
donde d es una constante.
45
Si (an)n∈N es una sucesión aritmética, tal que an+1 − an ≡ d,
entoncesan = a1 + (n − 1) d (2.1)
es una fórmula para el n− ésimo término.
46
La fórmula para encontrar la suma hasta el n−ésimo términode una sucesión aritmética an está dada por
Sn = n
2 (a1 + an) . (2.2)
47
Ejemplo 2.2.
1 Encuentre el término 100 de la sucesión aritmética3, 7, 11, ...
2 Encuentre la suma hasta este término.
48
Como 7 − 3 = 11 − 7 = ... = 4, entonces d = 4, mientras queel primer término es a1 = 3. Entonces la fórmula para estasucesión es
an = 3 + (n − 1)4.
Entonces el término 100 es
a100 = 3 + (100 − 1)4 = 399.
49
La suma hasta el termino número 100 es
S100 = 1002 (a1 + a100) = 50 (3 + 399) = 20100.
50
Evaluación Continua 2.1.Determine cuales de las siguientes sucesiones son aritméticas.En caso de que sea aritmética, determine una fórmula paradicha sucesión.
1 1, 6, 11, 16, ...
2 13 , 1, 5
3 , 73 , ...
3 4, −1, −6, −11, ...
4 9, 12, 16, ...
5 12 , 1
3 , 14 , ...
51
Evaluación Continua 2.2.Si una sucesión en el ejercicio anterior es aritmética, cálcule lasuma hasta el sexto término usando la fórmula (2.2).
52
Sucesiones
Sucesiones geométricas
53
Definición 2.3.Una sucesión es geométrica si para n ∈ N, el cociente entredos términos sucesivos es siempre el mismo, es decir,
an+1
an
≡ r,
donde r es una constante.
54
Si (an)n∈N es una sucesión aritmética, tal que an+1an
≡ r,
entoncesan = a1r
n−1 (2.3)
es una fórmula para el n− ésimo término.
55
La fórmula para encontrar la suma hasta el n−ésimo términode una sucesión aritmética an está dada por
Sn = a1 (rn − 1)r − 1 . (2.4)
56
Ejemplo 2.3.
1 Encuentre el término 6 de la sucesión geométrica5, 10, 20, ...
2 Encuentre la suma hasta este término.
57
Como 105 = 20
10 = ... = 2, entonces r = 2 y como el primertérmino es a1 = 5, entonces una fórmula para el n−ésimotérmino es
an = 5(2n−1
).
De manera que el término 6 es
a6 = 5(26−1) = 5 · 25 = 160.
58
Sustituyendo n = 6, r = 2, a1 = 5 en la fórmula (2.4)obtenemos
S6 = 5 (26 − 1)2 − 1 = 315.
59
Evaluación Continua 2.3.Determine una fórmula para cada una de las siguientesucesiones geométricas:
1 3, 6, 12, ...
2 −1, 3, −9, ...
3 12 , 1
3 , 29 , ...
60
Evaluación Continua 2.4.En el ejercicio anterior, calcule la suma de cada sucesión hastael sexto término, usando la fórmula (2.4).
61
Sucesiones
Ejemplos
62
Ejemplo 2.4.Calcular a3 y S20, sabiendo que an es una sucesión aritméticacon a10 = −2 y a20 = 8.
63
Ejemplo 2.5.Calcular a15, sabiendo que an es una sucesión aritmética cona25 = 110 y d = 5.
64
Ejemplo 2.6.Calcular a1 y S5, sabiendo que an es una sucesión geométricacon a6 = 1
16 y r = 12 .
65
Ejemplo 2.7.Calcular a12 y S7, sabiendo que an es una sucesión geométricacon a3 = 1
16 y r = 19 .
66
3 Interés simple
Monto
Valor actual o presente
Interés
Tasa y tipo de interés
Plazo o tiempo
Tiempo real y tiempo aproximado
Descuento
Ecuaciones de valores equivalentes
Series
Aplicaciones
67
Interés simple
68
El monto M de una inversión se calcula sumando el capitalinicial C0 y el interés I :
M = C0 + I. (3.1)
Si el interés es simple, a una tasa de interés anual r, en unplazo de T años, el interés se calcula proporcinal al capitalinicial:
I = C0rT (3.2)
De esta manera, el monto final de la inversión está dado por
M = C0 + C0rT, (3.3)
o de manera más concreta
M = C0 (1 + rT ) . (3.4)
69
El monto M de una inversión se calcula sumando el capitalinicial C0 y el interés I :
M = C0 + I. (3.1)
Si el interés es simple, a una tasa de interés anual r, en unplazo de T años, el interés se calcula proporcinal al capitalinicial:
I = C0rT (3.2)
De esta manera, el monto final de la inversión está dado por
M = C0 + C0rT, (3.3)
o de manera más concreta
M = C0 (1 + rT ) . (3.4)
69
El monto M de una inversión se calcula sumando el capitalinicial C0 y el interés I :
M = C0 + I. (3.1)
Si el interés es simple, a una tasa de interés anual r, en unplazo de T años, el interés se calcula proporcinal al capitalinicial:
I = C0rT (3.2)
De esta manera, el monto final de la inversión está dado por
M = C0 + C0rT, (3.3)
o de manera más concreta
M = C0 (1 + rT ) . (3.4)
69
Interés simple
Monto
70
Ejemplo 3.1.Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $3500 que acuerda liquidar mediante un pago de inmediato de$1500 y un pago final 4 meses después. Acepta pagar 10 %deinterés anual simple sobre el saldo. ¿Cuánto deberá pagardentro de 4 meses?
71
Ejemplo 3.2.Una persona deposita $150 000 en un fondo de inversionesbursátiles que garantiza un rendimiento de 0.8 % mensual. Siretira su depósito 24 días después, ¿cuánto recibe?
72
Interés simple
Valor actual o presente
73
El valor actual, que equivale al capital, se puede encontrardespejando C en la fórmula del monto (3.4), como sigue:
C0 = M
1 + rT(3.5)
74
Ejemplo 3.3.Una persona participa en una “tanda” y le toca cobrar en eldecimoctavo mes. Si dentro de 18 meses recibirá $30 000,¿cuál es el valor actual de su tanda, con un interés simple de20 % anual?
75
Ejemplo 3.4.Un individuo compró un automóvil nuevo por el cual pagó$195 000 el primero de enero, y lo vende el primero de juniodel año siguiente en $256 000. Aparte del uso que ya le dio,del seguro que pagó, otros gastos que hizo, considerando sólolos valores de compra y venta, ¿fue una inversión convenientela operación que realizó si la tasa de interés de mercado era de11 %?
76
Interés simple
Interés
77
Ejemplo 3.5.Una persona obtiene un préstamo de $50 000 y aceptaliquidarlo año y medio después. Acuerda que mientras exista eladeudo pagará un interés simple mensual de 1.5 %. ¿Cuántodeberá pagar de interés cada mes?
78
Ejemplo 3.6.Si alguien deposita $75 000 en una cuenta bancaria que ofrecepagar 1.35 % mensual simple, ¿cuánto recibirá mensualmentede intereses?
79
Interés simple
Tasa y tipo de interés
80
Observación 3.1.La tasa de interés se expresa decimales; si la misma cantidadse expresa en porcentajes, nos referiremos a ésta como tipo deinterés. Por ejemplo, si el tipo de interés es r = 12 %,entonces la tasa de interés es r = 0.12.
81
Observación 3.1.La tasa de interés se expresa decimales; si la misma cantidadse expresa en porcentajes, nos referiremos a ésta como tipo deinterés. Por ejemplo, si el tipo de interés es r = 12 %,entonces la tasa de interés es r = 0.12.
81
Observación 3.1.La tasa de interés se expresa decimales; si la misma cantidadse expresa en porcentajes, nos referiremos a ésta como tipo deinterés. Por ejemplo, si el tipo de interés es r = 12 %,entonces la tasa de interés es r = 0.12.
81
Ejemplo 3.7.Una persona compra un reproductor de discos compactos quecuesta $1500. Paga un enganche de $800 y acuerda pagarotros $750 tres meses después. ¿Qué tipo de interés simplepagó?
82
Ejemplo 3.8.Una persona compró un automóvil el 1 de enero en $195 000 ylo vendió 17 meses después en $256 000. ¿Qué tasa de interéssimple anual le rindió su inversión?
83
Interés simple
Plazo o tiempo
84
Ejemplo 3.9.¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido a una tasade 19 % de interés anual simple?
85
Ejemplo 3.10.¿En cuánto tiempo se acumularían $5000 si se depositaran hoy$3 000 en un fondo que paga 1.2 % simple mensual?
86
Interés simple
Tiempo real y tiempo aproximado
87
Ejemplo 3.11.¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de $10000 depositado el 15 de mayo del mismo año en una cuenta deahorros que paga 19 % anual simple?
88
Ejemplo 3.12.El 11 de julio se firmó un pagaré por $1 700 con 18 % deinterés. ¿En qué fecha los intereses llegarán a $150?
89
Interés simple
Descuento
90
Descuento
El descuento es una operación de crédito que se lleva a caboprincipalmente en instituciones bancarias, que consta en queéstas adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valornominal descuentan una suma equivalente a los intereses quedevengaría el documento entre la fecha en que se recibe y lafecha del vencimiento. Con esta operación se anticipa el valoractual del documento.
91
Descuento Simple a una Tasa de Interés
El valor presente C0 de una cantidad M con vencimiento auna fecha posterior puede ser interpretado como el valordescontado de M. A la diferencia Dr = M − C0 se le conocecomo descuento simple de M a una tasa de interés odescuento racional sobre M .
92
Ejemplo 3.13.
Determinar el valor presente, al 6 % de interés simple, de$1500 con vencimineto en 9 meses, ¿cuál es su descuentoracional?
93
En este caso, M = $1500, r = 0.06 y T = 9/12 = 3/4 años.
Sabemos que M = C0(1 + rT ), de manera que el valorpresente es
C0 = M
1 + rT= 1500
1 + (0.06)(3/4) ≈ $1435.41;
y por tanto el descuento racional esDr = S − C = 1500 − 1435.41 = $64.95.
94
Descuento simple a una tasa de descuento
La tasa de descuento se define como la razón del descuentodado en la unidad de tiempo (en este caso un año) al capitalsobre el cual está dado el descuento.
95
EL descuento simple D (conocido también como descuentocomercial o bancario) sobre unan cantidad S por t años a latasa de descuento d está dado porcentajes
D = MdT (3.6)
y el valor presente de M está dado por
C0 = M − D = M − MdT = M (1 − dT ) . (3.7)
96
Ejemplo 3.14.
Hallar el descuento simple sobre una deuda de $1500 convencimiento en 9 meses a una tasa de descuento de 6 %.¿Cual es el valor presente de la deuda?
97
Tenemos S = 1500, d = 0.06 y T = 3/4; de manera que eldescuento simple es D = SdT = 1500(0.06)(3/4); mientrasque el valor presente esC = S − D = 1500 − 67.50 = 1432.50.
98
Comparando los ejemplos 3.13 y 3.14, es claro que el uso de latasa de descuento es más sencilla que la de interés; por estarazón en la práctica, es más utilizada la de descuento.
En ocasiones, al descuento comercial se le comonoce comointerés por adelantado.
99
Descuento de Pagarés
Un pagaré puede ser vendido una o más veces antes de lafecha de vencimiento. Cada comprador descuenta el valor deldocumento al vencimiento desde la fecha de la venta hasta lafecha de vencimiento a una tasa de descuento fijada.
100
Ejemplo 3.15.
Observe el pagaré que aparece en la siguiente página. Si elbanco realiza operaciones de descuento a 20 % anual, y si elseñor Díaz desea descontar el documento el 15 de junio, los$185 000 (el valor nominal del pagaré) devengarán lossiguientes intereses (descuento) durante los 2 meses en que seadelanta el valor actual del documento:
D = 185000(0.20)(2/12) ≈ 6166.67;
donde D está dado por la fórmula (3.6), con M = 185000,
r = 0.20 y T = 2/12años.
101
102
En consecuencia, se aplica el descuento de manera queC0 = 185000 − 6166.67 = 178833.33; por lo que el señor Díazrecibe $178833.33, que es el valor (actual) comercial deldocumento el 15 de junio, ya que se aplicó un descuentocomercial.
103
Ejemplo 3.16.
Una empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió $166666.67. Si el tipo de descuento es de 30 % y el pagaré vencía 4meses después de su descuento, ¿cuál era el valor nominal deldocumento en la fecha de su vencimiento?
104
Sabemos que
M = C0 + D (3.8)D = MdT. (3.9)
Si sustuimos (3.9) en (3.8) y despejamos M obtenemos:
M = Co + MdT (3.10)→ M (1 − dT ) = C0 (3.11)
→ M = C0
1 − dT; (3.12)
de manera que el valor nomimal del documento en la fecha desu vencimiento es
M = $166, 666.671 − (0.30)(4/12) ≈ $18518.52.
105
Ejemplo 3.17.
Una empresa descuenta un documento por el cual recibe$945.05. Si el tipo de descuento es de 25 % y el valor nominaldel documento era de $1 000, ¿cuánto tiempo faltaba para elvencimiento?
106
Sabemos que M = 1000, C0 = 945.05, de manera que
D = 1000 − 945.05 = 54.95,
y d = 0.25. Al despejar T de (3.6) obtenemos
T = D
Md= 54.95
(1000)(0.25) ≈ 0.2198años,
es decir, aproximadamente 2.64 meses.
107
Interés simple
Ecuaciones de valores equivalentes
108
Ejemplo 3.18.
Una empresa firma un pagaré por $120 000 a 90 días, a 25 %.Treinta días después, contrae una deuda por $100 000 parapagarla 2 meses después, sin intereses. Dos meses después dela primera fecha, acuerda con un acreedor pagar $150 000 enese momento y, para saldar el resto de su deuda, hacer unpago final 3 meses después de la última fecha, con interés de30 %. Determine el pago final convenido.
109
110
Figura 3.1: Diagrama de tiempo y valor
111
I + II = A + B
I = 120, 000 × (1 + (0.25)(3/12)) × (1 + (0.30)(2/12)) ≈ 133875II = 100, 000 × (1 + (0.30)(2/12)) ≈ 105, 000A = 150, 000 × (1 + (0.30)(3/12)) ≈ 161, 250
B = X
133875 + 105000 = 161250 + B → B = 77, 625
112
Ejemplo 3.19.Resuelva el ejemplo 3.18 utilizando como fecha focal el cuartomes, en vez del quinto.
113
I + II = A + B
I = 120, 000 × (1 + (0.25)(3/12)) × (1 + (0.30)(1/12)) ≈ 130, 687.50II = 100, 000 × (1 + (0.30)(1/12)) ≈ 102, 500A = 150, 000 × (1 + (0.30)(2/12)) ≈ 157, 500
B = X
1 + (0.30)(1/12)
130, 687.50+102, 500 = 157, 500+ X
1.0250 → X = 77, 579.69.
114
Ejemplo 3.20.Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000con 40 % de interés simple, que vence dentro de 4 meses.Además debe pagar otra deuda de $150 000 contraída hace 2meses, con 35 % de interés simple y que vence dentro de dosmeses. Considerando un interés de 42 %, ¿qué pago deberáhacer hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar$100 000 dentro de 6 meses?
115
116
I + II = A + B
I = 200, 000 × (1 + (0.40)(12/12))(1 + (0.42)(4/12)) ≈ 245, 614.04
II = 150, 000 × (1 + (0.35)(4/12))(1 + (0.42)(2/12)) ≈ 156, 542.05
A = 100, 0001 + (0.42)(6/12) = 82, 644.63
B = X
X = 319, 511.47.
117
Interés simple
Series
118
Series
Una serie o suma infinita S∞ es un número tal que
S∞ ≈ Sn = a1 + ... + an
para n suficientemente grande. En ocasiones, escribiremos
S∞ = a1 + a2 + ...
119
Series
Una serie o suma infinita S∞ es un número tal que
S∞ ≈ Sn = a1 + ... + an
para n suficientemente grande. En ocasiones, escribiremos
S∞ = a1 + a2 + ...
119
Proposición 3.1.
Si −1 < r < 1, entonces la suma infinita de la sucesióngeométrica an = a1r
n−1 está dada por la fórmula
S∞ = a1
1 − r. (3.13)
120
Ejemplo 3.21.Encontrar la suma infinita de la sucesión geométrica
1 − 12 + 1
4 − 18 + ...
121
Como−1/2
1 = 1/4−1/2 = −1/8
1/4 = ... = −12 ,
entonces r = −12 . De manera que la sucesión geométrica está
dada por
an =(
−12
)n−1.
122
Sustituyendo a1 = 1, r = −12 en (3.13), obtenemos
S∞ = 23 .
¿Qué representa este número?
123
Sustituyendo a1 = 1, r = −12 en (3.13), obtenemos
S∞ = 23 .
¿Qué representa este número?
123
Si consideramos la n−ésima suma parcial Sn = a1 + ... + an
de nuestra progresión y la comparamos con S∞ obtenemos lassiguientes observaciones:
Suma Parcial Sn |S∞ − Sn|S1 = 1.0 0.333S2 = 0.5 0.163S3 = 0.75 0.083S4 = 0.625 0.041S5 = 0.6875 0.020S6 = 0.65625 0.010
124
Como podemos observar, entre más términos sumemos, másnos acercamos a S∞ ≈ 0.666. De hecho, para cada margen deerror ε, podemos escoger un entero N suficientemente grandede manera que si n > N, entonces∣∣∣∣Sn − 2
3
∣∣∣∣ ≤ ε.
Para ver realizar un experimento númerico para calcular seriesgeométricas, puede usar este script en SageMathCloud.
125
Interés simple
Aplicaciones
126
El interés compuesto representa la acumulación de interesesque se han generado en un período determinado por un capitalinicial o principal a una tasa de interés durante ciertos periodosde imposición, de modo que los intereses que se obtienen alfinal de cada período de inversión no se retiran sino que sereinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.1
1Interés compuesto. (2016, 21 de abril). Wikipedia, La enciclopedialibre. Fecha de consulta: 20:36, mayo 2, 2016 desdehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Inter %C3 %A9s_compues-to&oldid=90612579.
127
Para un capital inicial C0, compuesto durante T años, N
periodos al año, a una tasa de interés anual r, el capital finalC(T ) está dado por
C(T ) = C0
(1 + r
N
)NT
. (3.14)
128
Ejemplo 3.22.Si se invierten C0 = $400, a una tasa de interés de r = 6 % aun plazo de T = 5 años, calcule el monto al final del plazo sila inversión se compone:
1 Anualmente2 Semestralmente3 Mensualmente4 Diariamente
129
1 N = 1
C(5) =(
1 + 0.061
)1×5= 535.2902310
2 N = 2
C(5) =(
1 + 0.062
)2×5= 537.5665517
3 N = 12
C(5) =(
1 + 0.0612
)12×5= 539.5400610
4 N = 360
C(5) =(
1 + 0.06360
)360×5= 539.9300261
130
Como puede observar a partir del ejercicio anterior, cuando N
se incrementa, C(T ) se aproxima más a una cantidad fija≈ 539.94.
Para el límite N → ∞, diremos que el interés se componecontinuamente y esta dado por la fórmua
C(T ) = C0erT . (3.15)
En el ejemplo anterior, C(5) = 400e0.06×5 = 539.9435230.
131
Evaluación Continua 3.1.Si se invierten C0, a una tasa de interés de r a un plazo deT = años, calcule el monto al final del plazo si la inversión secompone:
1 Anualmente2 Semestralmente3 Mensualmente4 Diariamente5 Continuamente
en los siguientes casos:
(a) C0 = 1000, r = 5 %, T = 10;(b) C0 = 8750, r = 1 %, T = 2;(c) C0 = 340, r = 12 %, T = 15.
Puede verificar sus resultados, usando este script enSageMathCloud.
132