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7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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A p p u n t i d e l c o r s o d i L o g i c a M a t e m a t i c a
d e l p r o f . S i m o n e M a r t i n i
A . A . 1 9 9 3 / 9 4
F a u s t o S p o t o
D i p a r t i m e n t o d i I n f o r m a t i c a
U n i v e r s i t a d i P i s a
e { m a i l : s p o t o @ d i . u n i p i . i t
w w w { a d d r e s s : w w w . d i . u n i p i . i t / s p o t o / i n t r o . h t m l
G i a c o m o P i c c i n e l l i
D i p a r t i m e n t o d i I n f o r m a t i c a
U n i v e r s i t a d i P i s a
e { m a i l : p i c c i n e l @ c l i . d i . u n i p i . i t
w w w { a d d r e s s : w w w . c l i . d i . u n i p i . i t / p i c c i n e l / i n t r o . h t m l
F e b b r a i o 1 9 9 6
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N e s s u n o p o t r a m a i r a p i r c i d a l p a r a d i s o c h e C a n t o r
h a c r e a t o p e r n o i .
p r o f . D a v i d H i l b e r t
D a v i d H i l b e r t l a v o r a v a a l l ' U n i v e r s i t a d i G u t t i n -
g a , a l l ' e p o c a u n a d e l l e p i u r i n o m a t e q u a n t o a s t u d i
m a t e m a t i c i , p o i s f a s c i a t a d a i n a z i s t i
p r o f . S i m o n e M a r t i n i
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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Q u e s t i a p p u n t i n o n p r e t e n d o n o a s s o l u t a m e n t e d i s o s t i t u i r e u n c o r s o d i l o g i c a
m a t e m a t i c a p o i c h e e s s i s o n o i n c o m p l e t i e p r i v i d e l n e c e s s a r i o t o n o i n t r o d u t t i v o n e -
c e s s a r i o a c h i s i a v v i c i n a p e r l a p r i m a v o l t a a d u n a m a t e r i a s c i e n t i c a c o s a r t i c o l a t a .
E s s i p o s s o n o i n v e c e e s s e r e d i o t t i m o s u s s i d i o d u r a n t e l a f r e q u e n z a d i u n c o r s o s u i
f o n d a m e n t i d e l l a l o g i c a m a t e m a t i c a .
U n r i n g r a z i a m e n t o p a r t i c o l a r e v a a l p r o f e s s o r e S i m o n e M a r t i n i , c h e m o l t o p a -
z i e n t e m e n t e e c o n g r a n d e p r o f e s s i o n a l i t a h a e s p o s t o g l i a r g o m e n t i q u i b r e v e m e n t e
r a c c o l t i , e c h e m i h a f o r n i t o l ' a i u t o d i c u i a v e v o b i s o g n o p e r i m p a g i n a r e q u e s t o d o c u -
m e n t o c o n L
A
T
E
X . G r a z i e i n o l t r e a G i a c o m o P i c c i n e l l i , c h e s i e i m p e g n a t o a f o r n i r m i
g l i a p p u n t i d e l c o r s o q u a n d o , s e g u e n d o l e z i o n i b e n m e n o u t i l i , n o n h o p o t u t o e s s e r e
p r e s e n t e a q u e l l e d i l o g i c a m a t e m a t i c a .
P i s a , e s t a t e 1 9 9 4
F . S .
L a r e v i s i o n e d i q u e s t i a p p u n t i h a c o m p o r t a t o l a c o r r e z i o n e d i u n g r a n n u m e r o d i
e r r o r i p r e s e n t i n e l l a p r i m a s t e s u r a ; s o n o s t a t i i n o l t r e a g g i u n t i d u e c a p i t o l i r e l a t i v i a l
{ c a l c o l o e a l l e R e t i d i P e t r i , i n t e g r a l m e n t e d o v u t i a G i a c o m o P i c c i n e l l i .
P i s a , f e b b r a i o 1 9 9 6
G . P . e F . S .
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I n d i c e
1 L a l o g i c a m a t e m a t i c a 3
1 . 1 P a t o l o g i e d e l p r o c e s s o d e d u t t i v o c l a s s i c o : : : : : : : : : : : : : : : : 3
1 . 2 A p p l i c a z i o n i d e l l a l o g i c a m a t e m a t i c a a l l ' i n f o r m a t i c a : : : : : : : : : : 3
2 I S i s t e m i f o r m a l i 5
2 . 1 I s i s t e m i f o r m a l i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
2 2 C L : u n e s e m p i o d i s i s t e m a f o r m a l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
3 I l c a l c o l o p r o p o s i z i o n a l e 9
3 . 1 I l s i s t e m a f o r m a l e P
0
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
3 . 2 I l t e o r e m a d i d e d u z i o n e e l e s u e c o n s e g u e n z e : : : : : : : : : : : : : : 1 0
3 . 3 S e m a n t i c a d i P
0
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4
3 . 4 C o r r e t t e z z a e c o m p l e t e z z a d i P
0
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5
3 . 5 I t a b l e a u x p r o p o s i z i o n a l i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
4 I l c a l c o l o d e i p r e d i c a t i 2 9
4 . 1 I l l i n g u a g g i o d e i p r e d i c a t i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9
4 . 2 S o s t i t u z i o n i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2
4 . 3 I l s i s t e m a f o r m a l e P L : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 6
4 . 4 C o r r e t t e z z a e c o m p l e t e z z a d i P L : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2
4 . 5 I t a b l e a u x p e r p r e d i c a t i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6
5 E l e m e n t i d i t e o r i a d e i m o d e l l i 5 1
5 . 1 I t e o r e m i d i S k o l e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1
5 . 2 I m m e r s i o n i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2
6 I n t r o d u z i o n e a l { c a l c o l o n o n t i p a t o 5 7
6 . 1 M o t i v a z i o n i s t o r i c h e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7
6 . 2 D e n i z i o n e d e l { c a l c o l o : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7
6 . 3 F o r m a l i z z a z i o n e d e l { C a l c o l o : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1
6 . 4 C o m b i n a t o r i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 4
6 . 5 T u r i n g { e q u i v a l e n z a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5
6 . 6 C o n c l u s i o n i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9
7 I n t r o d u z i o n e a l l e R e t i d i P e t r i 7 1
7 . 1 T e o r i a e l e m e n t a r e d e l l e R e t i d i P e t r i : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1
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2 I N D I C E
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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C a p i t o l o 1
L a l o g i c a m a t e m a t i c a
I l p r o c e d i m e n t o t r a m i t e i l q u a l e s i p a s s a d a c o s e v e r e a c o s e v e r e e d e t t o i n f e r e n z a
N o i s i a m o i n t e r e s s a t i a d e d u r r e d e l l e a r g o m e n t a z i o n i c o r r e t t e , c i o e d e r i v a b i l i s e c o n d o
d e i p u r i m e c c a n i s m i d i t r a s f o r m a z i o n e s i n t a t t i c a ; i n n e a q u e s t o g i o c o d i s i m b o l i
v o g l i a m o a s s o c i a r e u n s i g n i c a t o l a s e m a n t i c a , f a t t a d i s t r u t t u r e m a t e m a t i c h e . D a t a
u n a s i n t a s s i v o g l i o c h e l e s u e t r a s f o r m a z i o n i a b b i a m o u n v a l o r e s e m a n t i c o c o r r e t t o
( c o r r e t t e z z a o v a l i d i t a ) ; i n v e r s a m e n t e p o t r e i r i c h i e d e r e c h e i l c a l c o l o s i n t a t t i c o s i a
s u c i e n t e m e n t e p o t e n t e d a p o t e r d e s c r i v e r e q u a l s i a s i p r o b l e m a p e r c u i e s t a t o s c r i t t o
( c o m p l e t e z z a )
O g g e t t o d e l c o r s o : l a d e d u z i o n e n a t u r a l e .
M e t o d o : u n a p a r t e r i s t r e t t a d e l l a m a t e m a t i c a .
N o n c i p r e o c c u p e r e m o c e r t o d e g l i a s p e t t i f o n d a z i o n a l i d e l l a l o g i c a m a t e m a t i c a .
1 . 1 P a t o l o g i e d e l p r o c e s s o d e d u t t i v o c l a s s i c o
N e l c o r s o d e i s e c o l i , m a p a r t i c o l a r m e n t e n e l n o s t r o , s i s o n o p r e s e n t a t e d e l l e i n -
c o n g r u e n z e n e l p r o c e s s o d e d u t t i v o c l a s s i c o c h e h a n n o s p i n t o g l i s t u d i o s i a c e r c a r e
u n a f o r m a l i z z a z i o n e d e l l o s t e s s o , n e l l a c o n v i n z i o n e c h e e s s a a v r e b b e e s c l u s o d e n i -
t i v a m e n t e t a l i f e n o m e n i p a t o l o g i c i . I l t e n t a t i v o s a r a d e s t i n a t o a f a l l i r e m a n o n p e r
q u e s t o l o s t u d i o d e l l a l o g i c a m a t e m a t i c a v a c o n s i d e r a t o i n u t i l e , c o m e a v r e m o m o d o
d i o s s e r v a r e i n s e g u i t o . F r a i p a r a d o s s i p i u n o t i c i t i a m o :
i l p a r a d o s s o d i R u s s e l : d i c i a m o c h e u n i n s i e m e X e n o r m a l e s e e s o l o s e X 6 X
S i a N = f X X e n o r m a l e g . C i c h i e d i a m o : N N ? D i s t i n g u i a m o d u e c a s i :
{ N N : a l l o r a N e n o r m a l e e q u i n d i N 6 N , a s s u r d o ;
{ N 6 N : a l l o r a N n o n e n o r m a l e e q u i n d i N N , a s s u r d o ;
i l p a r a d o s s o d e l m e n t i t o r e ( o d e l b a r b i e r e ) : Q u e s t a f r a s e e f a l s a : h o d e t t o i l
v e r o o i l f a l s o ?
1 . 2 A p p l i c a z i o n i d e l l a l o g i c a m a t e m a t i c a a l l ' i n f o r m a t i c a
L ' i n f o r m a t i c o g u a r d a a l l a l o g i c a m a t e m a t i c a c o m e a d u n o s t r u m e n t o : p u r d i r a g -
g i u n g e r e i n i p e r c u i l a h a s t u d i a t a n o n s i p r e o c c u p a d i c a m b i a r e p u n t o d i v i s t a o
s c u o l a d i p e n s i e r o .
L e a p p l i c a z i o n i t i p i c h e d e l l a l o g i c a m a t e m a t i c a a l l ' i n f o r m a t i c a s o n o :
p r o g r a m m a z i o n i l o g i c a ;
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4 C A P I T O L O 1 . L A L O G I C A M A T E M A T I C A
i n t e l l i g e n z a a r t i c i a l e ( l o n e s i m b o l i c o ) ;
d i m o s t r a z i o n e d i c o r r e t t e z z a d e i p r o g r a m m i : w e a k e s t p r e c o n d i t i o n s . . .
c a r a t t e r i z z a z i o n e d e l l e c l a s s i c o m p u t a z i o n a l i ;
t e o r e m i l i m i t a t i v i d i C h u r c h e G o d e l ;
t e o r i a d e l l a d i m o s t r a z i o n e .
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C a p i t o l o 2
I S i s t e m i f o r m a l i
2 . 1 I s i s t e m i f o r m a l i
D e n i z i o n e 2 . 1 U n s i s t e m a f o r m a l e D e d a t o d a :
u n i n s i e m e n u m e r a b i l e S ( a l f a b e t o o r i s e r v a d i s i m b o l i ) ;
u n i n s i e m e d e c i d i b i l e W S
( i n s i e m e d e l l e f o r m u l e b e n f o r m a t e ( f b f ) ) ;
u n i n s i e m e A x W ( i n s i e m e d e g l i a s s i o m i ) ; s e A x e d e c i d i b i l e , i l s i s t e m a
f o r m a l e e d e t t o r i c o r s i v a m e n t e a s s i o m a t i z z a t o ;
u n i n s i e m e R = f R
i
g
i 2 I
, c o n R
i
W
n
i
i
c o n I e d n
i
2 n i t i ( i n s i e m e n i t o
d i r e g o l e n i t a r i e ) .
L a c o p p i a < S ; W > e d e t t a l i n g u a g g i o f o r m a l e .
D e n i z i o n e 2 . 2 D i c e s i d e n i z i o n e e s p l i c i t a l a d e n i z i o n e d i u n t e r m i n e c h e v i e n e
a g g i u n t o a l l ' a l f a b e t o d e l l i n g u a g g i o p e r s i g n i c a r n e u n ' e s p r e s s i o n e .
N o t a z i o n e : s e R W
3
a l l o r a s c r i v e r o R ( ; ; ) n e l l a f o r m a
D e n i z i o n e 2 . 3 D a t o u n i n s i e m e M d i f b f n e l s i s t e m a f o r m a l e D , u n a D - d e r i v a z i o n e
( p r o v a , d i m o s t r a z i o n e ) a p a r t i r e d a M e u n a s u c c e s s i o n e n i t a d i f b f
1
; : : : ;
n
d i
D t a l e c h e , p e r o g n i i = 1 ; : : : ; n s i a b b i a :
i
2 A x o p p u r e
i
2 M o p p u r e
(
h
1
; : : : ;
h
n
j
) 2 R
j
p e r q u a l c h e j 2 I
i
=
h
n
j
e h
1
; : : : ; h
n
j
1
< i
D e n i z i o n e 2 . 4 U n a f o r m u l a e d e r i v a b i l e n e l s i s t e m a f o r m a l e D a p a r t i r e d a
u n i n s i e m e d i i p o t e s i M s e e s o l o s e e s i s t e u n a D - d e r i v a z i o n e a p a r t i r e d a M l a
c u i u l t i m a f b f e . S c r i v e r e m o a l l o r a M
D
e l e g g e r e m o : M d e r i v a ( p r o v a ) n e l
s i s t e m a f o r m a l e D
S e M e v u o t o s c r i v e r e m o
D
e l e g g e r e m o : e u n t e o r e m a i n D ( o d i D )
M 6
D
s e e s o l o s e n o n v a l e M
D
D e n i z i o n e 2 . 5 S i a R l ' i n s i e m e d e l l e r e g o l e d i u n s i s t e m a f o r m a l e D ; u n a r e g o l a
R
1
; : : : ;
k
k + 1
R 62 R , e d e t t a d e r i v a b i l e i n D s e e s o l o s e p e r t u t t e l e f b f
1
; : : : ;
k
c h e s o d d i s f a n o R s i h a :
1
; : : : ;
k
D
k + 1
R e d e t t a a m m i s s i b i l e ( o e l i m i n a b i l e ) i n D s e e s o l o s e d a
D f R g
s e g u e
D
, d o v e D f R g d e n o t a i l s i s t e m a f o r m a l e o t t e n u t o d a D c o n l ' a g g i u n t a d e l l a
r e g o l a R
5
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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6 C A P I T O L O 2 . I S I S T E M I F O R M A L I
P r o p o s i z i o n e 2 . 1 O g n i r e g o l a d e r i v a b i l e e a m m i s s i b i l e .
D i m o s t r a z i o n e : D a t a u n a d e r i v a z i o n e :
D f R g
, p o s s o s o s t i t u i r e o g n i a p p l i c a -
z i o n e d e l l a r e g o l a R c o n l a c o r r i s p o n d e n t e d e r i v a z i o n e c h e e s i s t e i n D p o i c h e R e
d e r i v a b i l e .
O s s e r v a z i o n e : l ' i n v e r s o n o n e v e r o e n e v e d r e m o u n e s e m p i o i n s e g u i t o ( t e o r e m a
3 . 8 )
O s s e r v a z i o n e : u n a t e c n i c a c h e s i u t i l i z z a p e r d i m o s t r a r e l a r e c i p r o c a n o n d e r i v a b i -
l i t a d i u n i n s i e m e d i a s s i o m i e l a s e g u e n t e : p r e n d e n d o c o m e e s e m p i o P
0
, p o t r e m m o
c e r c a r e u n a p r o p r i e t a I c h e v a l g a p e r d u e e s o l o d u e d e i s u o i t r e a s s i o m i , n o n c h e
i n v a r i a n t e r i s p e t t o a l l ' a p p l i c a z i o n e d e l m o d u s p o n e n s ; i l t e r z o a s s i o m a , p e r c u i n o n
v a l e I , n o n p o t r a c h e e s s e r e i n d i p e n d e n t e d a i p r i m i d u e : i n c a s o c o n t r a r i o , i n f a t -
t i , s a r e b b e d e r i v a t o d a e s s i p e r ( r i p e t u t a ) a p p l i c a z i o n e d e l m o d u s p o n e n s , e p e r l e
p r o p r i e t a d i I I d o v r e b b e v a l e r e a n c h e p e r e s s o , i l c h e e p e r i p o t e s i f a l s o .
P r o p o s i z i o n e 2 . 2 S e M
D
a l l o r a e s i s t e N M N n i t o , p e r i l q u a l e s i h a :
N
D
. Q u i n d i l e d i m o s t r a z i o n i s o n o e s p o n i b i l i i n t e m p o n i t o .
D i m o s t r a z i o n e : M
D
s e e s o l o s e e s i s t e u n a s e q u e n z a
1
; : : : ;
n
c h e e u n a
d e r i v a z i o n e ; s o l o u n n u m e r o m i n o r e o u g u a l e a d n , e q u i n d i n i t o , d e l l e
i
a p p a r t i e n e
a d M , p e r c u i b a s t a p r e n d e r e N = M \ f
1
; : : : ;
n
g p e r o t t e n e r e l a t e s i .
P r o p o s i z i o n e 2 . 3 S e M
D
1
; : : : ; M
D
n
e f
1
; : : : ;
n
g
D
, a l l o r a s i a v r a M
D
D i m o s t r a z i o n e : p e r i p o t e s i s o c h e e s i s t e u n a D - d e r i v a z i o n e
1
; : : : ;
k
d i a
p a r t i r e d a f
1
; : : : ;
n
g ; s e p e r q u a l c h e i e j s i h a
i
=
j
, s o s t i t u i s c o
i
c o n l a
D - d e r i v a z i o n e M
D
j
. C o s f a c e n d o o t t e n g o u n a D - d e r i v a z i o n e c o n i p o t e s i s o l o i n
M
O s s e r v a z i o n e : q u i n d i i l e m m i , t e o r i c a m e n t e , n o n s o n o n e c e s s a r i .
D e n i z i o n e 2 . 6 U n s i s t e m a f o r m a l e D e d e t t o c o n s i s t e n t e s e e s o l o s e e s i s t e u n a
f b f d i D t a l e c h e 6
D
; s e D n o n e c o n s i s t e n t e e d e t t o i n c o n s i s t e n t e .
D e n i z i o n e 2 . 7 ( I n s i e m e d e l l e c o n s e g u e n z e ) S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i
u n s i s t e m a f o r m a l e D ; C o n
D
( ) = f 2 W g
D e n i z i o n e 2 . 8 S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i u n s i s t e m a f o r m a l e D
e d e t t o c o n s i s t e n t e ( r i s p e t t o a D ) s e e s o l o s e e s i s t e 2 W t a l e c h e 6
D
( o v v e r o s e e s o l o s e C o n
D
( ) 6= W ) ;
e d e t t o i n c o n s i s t e n t e ( r i s p e t t o a D ) o c o n t r a d d i t t o r i o ( r i s p e t t o a D ) s e e
s o l o s e n o n e c o n s i s t e n t e .
O s s e r v a n d o c h e C o n
D
( ) , s i h a :
D e n i z i o n e 2 . 9 ( T e o r i a ) U n i n s i e m e d i f b f d i u n s i s t e m a f o r m a l e D e d e t t o
t e o r i a i n D s e e s o l o s e e c h i u s o r i s p e t t o a l l a r e l a z i o n e
D
( o v v e r o s e e s o l o s e
C o n
D
( ) = , o v v e r o a n c o r a s e e s o l o s e d a
D
s e g u e 2 )
D e n i z i o n e 2 . 1 0 ( T e o r i a p u r a ) L a t e o r i a p u r a d i u n s i s t e m a f o r m a l e D e l ' i n s i e m e
C o n
D
( ; ) = C o n
D
( A x )
O s s e r v a z i o n e : u n a t e o r i a p u r a e u n a t e o r i a .
O s s e r v a z i o n e : p u o c a p i t a r e c h e s i a b b i a 6= e c i o n o n o s t a n t e c h e C o n
D
( ) = C o n
D
( )
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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2 . 2 . C L : U N E S E M P I O D I S I S T E M A F O R M A L E 7
2 2 C L : u n e s e m p i o d i s i s t e m a f o r m a l e
D e n i z i o n e 2 . 1 1 ( I l s i s t e m a f o r m a l e C L ) C h i a m i a m o s i s t e m a f o r m a l e C L i l s i -
s t e m a f o r m a l e c o s d e n i t o :
S = f k ; s ; ( ) = g ( a l f a b e t o ) ;
W = f P = Q P Q 2 g d o v e e l ' i n s i e m e d e i t e r m i n i c o s d e n i t o :
1 k 2 d 2 ;
2 . s e P Q 2 a l l o r a ( P Q ) 2 ;
3 . n i e n t ' a l t r o e u n t e r m i n e ;
A x : p e r o g n i P ; Q ; R 2 i s e g u e n t i s o n o s c h e m i d i a s s i o m a :
{ ( ( k P ) Q ) = P ( A x k ) ;
{ P = P ( a s s i o m a d i r i e s s i v i t a ) ;
{ ( ( ( s P ) Q ) R ) = ( ( P R ) ( Q R ) ) ( A x s ) ;
{ n i e n t ' a l t r o e u n a s s i o m a . ( S i n o t i c h e u n o s c h e m a d i a s s i o m a e u n m o d o
p e r d e s c r i v e r e u n n u m e r o e v e n t u a l m e n t e i n n i t o d i a s s i o m i c o n u n ' u n i c a
e s p r e s s i o n e ) .
R = f R
1
R
2
R
3
R
4
g d o v e :
{ R
1
= f ( P = Q Q = P ) P Q 2 g W
2
o v v e r o :
P = Q
Q = P
;
{ R
2
= f ( P = Q Q = R P = R ) P ; Q ; R 2 g W
3
o v v e r o :
P = Q Q = P
P = R
( T R A N S ) ;
{ R
3
= f ( R = R ( P R ) = ( Q R ) ( P R ) = ( Q R ) ) P ; Q ; R ; R 2 g
o v v e r o :
R = R ( P R ) = ( Q R )
( P R ) = ( Q R )
( C O N G R 1 ) ;
{ R
4
= f ( R = R ( R P ) = ( R Q ) ( R P ) = ( R Q ) ) P ; Q ; R ; R 2 g
o v v e r o :
R = R ( R P ) = ( R Q )
( R P ) = ( R Q )
( C O N G R 2 )
E s e m p i o : u n a d e d u z i o n e i n C L : d i m o s t r i a m o c h e
C L
( ( ( s k ) k ) k ) = k
1 . ( ( ( s k ) k ) k ) = ( ( k k ) ( k k ) ) A x s
2 . ( ( k k ) ( k k ) ) = k A x k c o n P k e Q ( k k )
3 k T R A N S ( 1 2 )
O s s e r v a z i o n e : s i s a r e b b e p o t u t o m o s t r a r e , p i u g e n e r i c a m e n t e , c h e p e r o g n i M 2
s i h a :
C L
( ( ( s k ) k ) M ) = M
I n t r o d u c i a m o l a s e g u e n t e d e n i z i o n e e s p l i c i t a : I = ( ( s k ) k )
O s s e r v a z i o n e : q u i n d i h o a p p e n a m o s t r a t o c h e
C L
( I M ) = M
E s e m p i o : d i m o s t r i a m o c h e
C L
( ( ( s I ) I ) M ) = ( M M ) p e r o g n i M 2
1 . ( ( ( s I ) I ) M ) = ( ( I M ) ( I M ) ) A x s
2 ( I M ) = M e s e m p i o p r e c e d e n t e
3 . ( ( I M ) ( I M ) ) = ( ( I M ) ( I M ) ) a s s i o m a d i r i e s s i v i t a
4 . ( ( I M ) ( I M ) ) = ( M ( I M ) ) C O N G R 1 ( 2 3 )
5 . ( ( I M ) ( I M ) ) = ( M M ) C O N G R 2 ( 2 4 )
6 . ( ( ( s I ) I ) M ) = ( M M ) T R A N S ( 1 5 )
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8 C A P I T O L O 2 . I S I S T E M I F O R M A L I
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C a p i t o l o 3
I l c a l c o l o p r o p o s i z i o n a l e
3 . 1 I l s i s t e m a f o r m a l e P
0
C h i a m i a m o p r o p o s i z i o n i d e l l e e s p r e s s i o n i e l e m e n t a r i s u s c e t t i b i l i d i p o s s e d e r e u n
v a l o r e d i v e r i t a ; c h i a m i a m o i n v e c e v a r i a b i l i p r o p o s i z i o n a l i d e l l e v a r i a b i l i c h e s t a n n o
p e r p r o p o s i z i o n i : d i s o l i t o l e i n d i c h e r e m o c o n p ; q ; r ; : : : . U n a s s e g n a m e n t o p r o p o s i -
z i o n a l e e u n a f u n z i o n e c h e a s s o c i a a d o g n i v a r i a b i l e p r o p o s i z i o n a l e u n v a l o r e d i v e r i t a
( 0 1 ) ; c h i a m e r e m o t a u t o l o g i a u n a f b f i l c u i v a l o r e d i v e r i t a , c a l c o l a t o s e c o n d o l e
o p p o r t u n e r e g o l e p e r i c o n n e t t i v i i n e s s a p r e s e n t i , e s e m p r e 1 , i n d i p e n d e n t e m e n t e
d a l l ' a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e s c e l t o .
I l c a l c o l o p r o p o s i z i o n a l e e u n s i s t e m a f o r m a l e i c u i t e o r e m i s o n o t u t t e e s o l e l e
t a u t o l o g i e .
D e n i z i o n e 3 . 1 I l s i s t e m a f o r m a l e P
0
( c a l c o l o p r o p o s i z i o n a l e ) e i l s e g u e n t e s i s t e -
m a f o r m a l e :
S : e f o r m a t o d a l l ' u n i o n e f r a u n i n s i e m e n u m e r a b i l e d i v a r i a b i l i p r o p o s i z i o n a l i :
p ; q ; r ; s ; : : : , l ' i n s i e m e d e i c o n n e t t i v i ! e : ( i m p l i c a e n o t ) e l ' i n s i e m e d e i d u e
s i m b o l i a u s i l i a r i ( e ) ;
W : l ' i n s i e m e d e l l e f b f e c o s d e n i t o :
1 . o g n i v a r i a b i l e p r o p o s i z i o n a l e e u n a f b f ;
2 . s e e s o n o f b f a l l o r a l o s o n o a n c h e ( ! ) e ( : ) ;
3 . n i e n t ' a l t r o e u n a f b f .
I n t r o d u c i a m o l e s e g u e n t i d e n i z i o n i e s p l i c i t e : _ ( ( : ) ! )
: ( ( : ) _ ( : ) ) e $ ( ! ) ( ! )
E s i s t e u n a c o n v e n z i o n e d i p r e c e d e n z a f r a i c o n n e t t i v i : : ( _ ) ! . Q u i n d i
! : ( ( ) ! ( : ) )
A x :
{ ! ( ! ) ( A k )
{ ( ! ( ! ) ) ! ( ( ! ) ! ( ! ) ) ( A S )
{ ( : ! : ) ! ( ( : ! ) ! ) ( A : )
R = f M P g d o v e M P ( m o d u s p o n e n s ) e l a r e g o l a :
!
I l n o s t r o s c o p o s a r a a d e s s o q u e l l o d i s t u d i a r e C o n
P
0
( ; ) c i o e l ' i n s i e m e d e i t e o r e m i
d e l c a l c o l o p r o p o s i z i o n a l e ( a v o l t e d e t t o a n c h ' e s s o P
0
)
9
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1 0 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
P r o p o s i z i o n e 3 . 1
P
0
!
D i m o s t r a z i o n e :
1 ( ! ( ( ! ) ! ) ! ( ( ! ( ! ) ) ! ( ! ) ) A S
2 ! ( ( ! ) ! ) A k c o n !
3 ( ! ( ! ) ) ! ( ! ) M P ( 1 2 )
4 ! ( ! ) A k c o n
5 ! M P ( 3 4 )
3 . 2 I l t e o r e m a d i d e d u z i o n e e l e s u e c o n s e g u e n z e
T e o r e m a 3 . 1 ( d i d e d u z i o n e , H e r b r a n d a n n i ' 3 0 ) D a t o u n i n s i e m e d i f b f i n
P
0
s i h a :
P
0
! s e e s o l o s e
P
0
D i m o s t r a z i o n e :
( ) )
1 i p o t e s i
k ! e s p a n s i o n e d i
P
0
!
k + 1 M P ( 1 k )
Q u i n d i
P
0
( ( ) C o s t r u i a m o i n d u t t i v a m e n t e u n a d e r i v a z i o n e d i
P
0
! a p a r t i r e d a u n a
d e r i v a z i o n e d i
P
0
. S i a d u n q u e
1
; : : : ;
n
l a d e r i v a z i o n e
P
0
b a s e : n = 1 : l a d e r i v a z i o n e s i r i d u c e a : ; q u i n d i :
{ e u n a s s i o m a o u n ' i p o t e s i i n :
1 ! ( ! ) A k
2 i p o t e s i o a s s i o m a
3 ! M P ( 1 2 )
{ : s a p p i a m o d a l l a p r o p o s i z i o n e 3 . 1 c h e
P
0
! , i l c h e i m p l i c a l a
t e s i .
i n d . : S u p p o n i a m o d i s a p e r s c r i v e r e u n a d e r i v a z i o n e d e l l a f o r m a
P
0
! a
p a r t i r e d a u n a d e r i v a z i o n e
P
0
d i l u n g h e z z a m i n o r e o u g u a l e a d n 1
e s i a
P
0
d i l u n g h e z z a n ; n > 1 ; s e
n
e u n a s s i o m a , u n a i p o t e s i i n
o p p u r e l a t e s i s e g u e c o m e n e l c a s o b a s e . S e i n v e c e
n
e o t t e n u t o p e r m o d u s
p o n e n s d a
i
e
j
i ; j < n , s i n o t i c h e p e r i p o t e s i i n d u t t i v a s o c o s t r u i r e l e
d e r i v a z i o n i
P
0
!
i
e
P
0
!
j
; p o i c h e
n
e o t t e n u t a p e r m o d u s
p o n e n s d a
i
e
j
i
a v r a l a f o r m a :
i
j
!
n
. C o s t r u i s c o a l l o r a u n a
d e r i v a z i o n e
P
0
! !
n
1 ( ! (
j
!
n
) ) ! ( ( !
j
) ! ( !
n
) ) A S
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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3 . 2 . I L T E O R E M A D I D E D U Z I O N E E L E S U E C O N S E G U E N Z E 1 1
k ! (
j
!
n
) e s p a n s i o n e d i
P
0
!
i
k + 1 ( !
j
) ! ( !
n
) M P ( 1 k )
h !
j
e s p a n s i o n e d i
P
0
!
j
h + 1 !
n
! M P ( k + 1 h )
P r o p o s i z i o n e 3 . 2
P
0
! ( : ! )
D i m o s t r a z i o n e : p e r i l t e o r e m a d i d e d u z i o n e b a s t a r i u s c i r e a m o s t r a r e c h e :
P
0
1 ! ( : ! ) A k
2 i p o t e s i
3 : ! M P ( 1 2 )
4 : ! ( : ! : ) A k
5 : i p o t e s i
6 : ! : M P ( 4 5 )
7 ( : ! : ) ! ( ( : ! ) ! ) A :
8 ( : ! ) ! M P ( 6 7 )
9 M P ( 3 8 )
P r o p o s i z i o n e 3 . 3 ( t r a n s i t i v i t a d i ! ) ! !
P
0
!
D i m o s t r a z i o n e : p e r i l t e o r e m a d i d e d u z i o n e b a s t a r i u s c i r e a m o s t r a r e c h e !
!
P
0
1 ! i p o t e s i
2 i p o t e s i
3 M P ( 1 2 )
4 ! i p o t e s i
5 M P ( 3 4 )
E s e r c i z i o 3 . 1 D i m o s t r a r e l a p r e c e d e n t e p r o p o s i z i o n e s e n z a u s a r e i l t e o r e m a d i d e -
d u z i o n e ( b a s t a r i e s e g u i r e i p a s s i d i t a l e t e o r e m a ) .
P r o p o s i z i o n e 3 . 4 : !
P
0
D i m o s t r a z i o n e :
1 ( : ! : ) ! ( ( : ! ) ! ) A :
2 : ! : p r o p o s i z i o n e 3 . 1
3 ( : ! ) ! M P ( 1 2 )
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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1 2 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
4 : ! i p o t e s i
5 M P ( 3 4 )
P r o p o s i z i o n e 3 . 5 ! ( ! )
P
0
!
D i m o s t r a z i o n e : p e r i l t e o r e m a d i d e d u z i o n e b a s t a r i u s c i r e a m o s t r a r e c h e !
( ! ) ; ;
P
0
1 ! ( ! ) i p o t e s i
2 i p o t e s i
3 ! M P ( 1 2 )
4 i p o t e s i
5 M P ( 3 4 )
P r o p o s i z i o n e 3 . 6 : :
P
0
D i m o s t r a z i o n e :
1 : : ! ( : ! : : ) A k
2 : : i p o t e s i
3 : ! : : M P ( 1 2 )
4 ( : ! : : ) ! ( ( : ! : ) ! ) A :
5 ( : ! : ) ! M P ( 3 4 )
6 : ! : p r o p o s i z i o n e 3 . 1
7 M P ( 5 6 )
P r o p o s i z i o n e 3 . 7 :
P
0
!
D i m o s t r a z i o n e : p e r i l t e o r e m a d i d e d u z i o n e b a s t a r i u s c i r e a m o s t r a r e c h e :
P
0
, e q u e s t o e g i a s t a t o m o s t r a t o ( p r o p o s i z i o n e 3 . 2 ) .
P r o p o s i z i o n e 3 . 8
P
0
! : :
D i m o s t r a z i o n e : p e r i l t e o r e m a d i d e d u z i o n e b a s t a r i u s c i r e a m o s t r a r e c h e
P
0
: :
1 ! ( : : : ! ) A k
2 ( : : : ! : ) ! ( ( : : : ! ) ! : : ) A :
3 : : ( : ) ! : p r o p o s i z i o n e 3 . 6
4 ( : : : ! ) ! : : M P ( 2 3 )
5 i p o t e s i
6 : : : ! M P ( 1 5 )
7 : : M P ( 4 6 )
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3 . 2 . I L T E O R E M A D I D E D U Z I O N E E L E S U E C O N S E G U E N Z E 1 3
P r o p o s i z i o n e 3 . 9
P
0
( : : ! : : ) ! ( : ! : )
D i m o s t r a z i o n e : p e r i l t e o r e m a d i d e d u z i o n e b a s t a m o s t r a r e c h e : : ! : : :
P
0
:
1 ( : : ! : : : ) ! ( ( : : ! : : ) ! : ) A :
2 : ! : : : p r o p o s i z i o n e 3 . 8
3 : i p o t e s i
4 : : : M P ( 2 3 )
5 : : : ! ( : : ! : : : ) A k
6 : : ! : : : M P ( 4 5 )
7 ( : : ! : : ) ! : M P ( 1 6 )
8 : : ! : : i p o t e s i
9 : M P ( 7 8 )
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 0 !
P
0
: ! :
D i m o s t r a z i o n e :
1 : : ! p r o p o s i z i o n e 3 . 6
2 ! i p o t e s i
3 : : ! ( p r o p o s i z i o n e 3 . 3 ) T R A N S ( 1 2 )
4 ! : : p r o p o s i z i o n e 3 . 8
5 : : ! : : T R A N S ( 3 4 )
6 ( : : ! : : ) ! ( : ! : ) p r o p o s i z i o n e 3 . 9
7 : ! : M P ( 5 6 )
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 1 : ( ! )
P
0
D i m o s t r a z i o n e :
1 ( : ! ( ! ) ) ! ( : ( ! ) ! : : ) p r o p o s i z i o n e 3 . 1 0
2 : ! ( ! ) p r o p o s i z i o n e 3 . 7
3 : ( ! ) ! : : M P ( 1 2 )
4 : ( ! ) i p o t e s i
5 : : M P ( 3 4 )
6 : : ! p r o p o s i z i o n e 3 . 6
7 M P ( 5 6 )
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
18/77
1 4 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 2 : ( ! )
P
0
:
D i m o s t r a z i o n e :
1 ( ! ( ! ) ) ! ( : ( ! ) ! : ) p r o p o s i z i o n e 3 . 1 0
2 ! ( ! ) A k
3 : ( ! ) ! : M P ( 1 2 )
4 : ( ! ) i p o t e s i
5 : M P ( 3 4 )
T e o r e m a 3 . 2 U n i n s i e m e d i f b f d i P
0
e c o n t r a d d i t t o r i o ( c i o e , e q u i v a l e n t e m e n t e ,
C o n
P
0
( ) = W ) s e e s o l o s e e s i s t e u n a f b f t a l e c h e
P
0
e
P
0
:
D i m o s t r a z i o n e :
( ) ) O v v i o :
P
0
p e r o g n i 2 W
( ( ) P e r l a p r o p o s i z i o n e 3 . 2 s a p p i a m o c h e :
P
0
p e r o g n i . D a
P
0
e
P
0
: e d a l l a p r o p o s i z i o n e 2 . 3 c o n c l u d i a m o q u i n d i c h e
P
0
p e r o g n i
C o r o l l a r i o 3 . 1 P
0
e i n c o n s i s t e n t e s e e s o l o s e e s i s t e u n a f b f d i P
0
t a l e c h e
P
0
e
P
0
:
D i m o s t r a z i o n e : p o r r e = ; n e l p r e c e d e n t e t e o r e m a .
T e o r e m a 3 . 3 S i a u n i n s i e m e c o n s i s t e n t e d i f b f d i P
0
e s i a q u i n d i t a l e c h e
6
P
0
f : g e c o n s i s t e n t e .
D i m o s t r a z i o n e : s e p e r a s s u r d o f : g f o s s e i n c o n s i s t e n t e , s i a v r e b b e :
P
0
; p e r i l t e o r e m a d i d e d u z i o n e s i a v r e b b e q u i n d i
P
0
: ! . S a p p i a m o p e r o
c h e : !
P
0
( p r o p o s i z i o n e 3 . 4 ) e p e r l a t r a n s i t i v i t a d i
P
0
( p r o p o s i z i o n e 2 . 3 )
a v r e i a l l o r a
P
0
, i l c h e e a s s u r d o .
C o r o l l a r i o 3 . 2 S e f g e c o n t r a d d i t t o r i o a l l o r a
P
0
:
D i m o s t r a z i o n e : s e e i n c o n s i s t e n t e e o v v i o ; s i a a l l o r a c o n s i s t e n t e ; s e p e r a s -
s u r d o f o s s e 6
P
0
: , p e r i l t e o r e m a p r e c e d e n t e f : : g s a r e b b e c o n s i s t e n t e ; m a
p e r l a p r o p o s i z i o n e 3 . 8 o g n i d e r i v a z i o n e f g
P
0
p u o e s s e r e t r a s f o r m a t a i n u n a
d e r i v a z i o n e f : : g
P
0
; q u i n d i a n c h e f : : g s a r e b b e c o n t r a d d i t t o r i o , i l
c h e e a s s u r d o .
3 . 3 S e m a n t i c a d i P
0
D e n i z i o n e 3 . 2 U n a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B e u n a f u n z i o n e B v a r i a b i l i
p r o p o s i z i o n a l i ! f 0 1 g
D e n i z i o n e 3 . 3 U n a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B e e s t e s o p e r i n d u z i o n e a d u n a
v a l u t a z i o n e B d e l l i n g u a g g i o d i P
0
n e l m o d o s e g u e n t e :
B ( p ) = B ( p ) p e r o g n i v a r i a b i l e p r o p o s i z i o n a l e p ;
B ( ! ) =
0 s e e s o l o s e B ( ) = 1 e B ( ) = 0 ;
1 a l t r i m e n t i ;
B ( : ) = 1 B ( )
D e n i z i o n e 3 . 4 U n a f b f d i P
0
e d e t t a e s s e r e :
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
19/77
3 . 4 . C O R R E T T E Z Z A E C O M P L E T E Z Z A D I P
0
1 5
u n a t a u t o l o g i a s e e s o l o s e p e r o g n i a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B s i h a
B ( ) = 1 ;
( p r o p o s i z i o n a l m e n t e ) s o d d i s f a c i b i l e s e e s o l o s e e s i s t e u n a s s e g n a m e n t o p r o p o -
s i z i o n a l e B t a l e c h e B ( ) = 1 ;
c o n t r a d d i t t o r i a s e e s o l o s e n o n e s o d d i s f a c i b i l e .
U n i n s i e m e d i f b f d i P
0
e d e t t o s o d d i s f a c i b i l e s e e s o l o s e e s i s t e u n a s s e g n a -
m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B t a l e c h e B ( ) = 1 p e r o g n i 2
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 3 U n a f b f d i P
0
e u n t a u t o l o g i a s e e s o l o s e : e c o n t r a d d i t -
t o r i a .
D i m o s t r a z i o n e : d i r e t t a m e n t e d a l l a d e n i z i o n e d i B p e r i l c o n n e t t i v o :
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 4 S e e ! s o n o t a u t o l o g i e , a n c h e e u n a t a u t o l o g i a .
D i m o s t r a z i o n e : o v v i o d a l l a d e n i z i o n e d i B
L e m m a 3 . 1 D a t a u n a f b f d i P
0
B ( ) d i p e n d e s o l o d a l v a l o r e a s s e g n a t o d a B
a l l e v a r i a b i l i p r o p o s i z i o n a l i p r e s e n t i i n
D i m o s t r a z i o n e : o v v i o d a l l a d e n i z i o n e d i B
T e o r e m a 3 . 4 D a t a u n a f b f d i P
0
, e d e c i d i b i l e s e e u n a t a u t o l o g i a .
D i m o s t r a z i o n e : b a s t a c o s t r u i r e l a t a b e l l a d i v e r i t a p e r , c h e a v r a u n n u m e r o d i
c o l o n n e n i t o g r a z i e a l l e m m a p r e c e d e n t e , e q u i n d i c o n t r o l l a r e s e p e r o g n i r i g a s i h a
B ( ) = 1 .
D e n i z i o n e 3 . 5 ( c o n s e g u e n z a t a u t o l o g i c a ) D a t a u n a f b f d i P
0
e u n i n s i e m e
d i f b f d i P
0
, s i d i c e c h e e c o n s e g u e n z a t a u t o l o g i c a d i s e e s o l o s e p e r o g n i
a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B s i h a c h e : s e p e r o g n i f b f 2 v a l e B ( ) = 1 a l l o r a
B ( ) = 1 . S c r i v e r e m o a l l o r a : =
3 . 4 C o r r e t t e z z a e c o m p l e t e z z a d i P
0
T e o r e m a 3 . 5 ( d i c o r r e t t e z z a o d i v a l i d i t a o d i s o u n d n e s s ) S i a n o u n i n s i e -
m e d i f b f d i P
0
e u n a f b f i n P
0
; s i h a c h e :
s e
P
0
a l l o r a =
D i m o s t r a z i o n e : p e r i n d u z i o n e s u l l a l u n g h e z z a d e l l a d e r i v a z i o n e
1
; : : : ;
n
c o n
n
b a s e : n = 1 p u o e s s e r e :
{ u n a s s i o m a : t u t t i g l i a s s i o m i d i P
0
s o n o t a u t o l o g i e , e q u i n d i = ; p r o -
v i a m o a d i m o s t r a r l o p e r l ' a s s i o m a A S , c i o e p e r l a f b f : ( ! ( ! ) ) !
( ( ! ) ! ( ! ) )
! ! ( ! ) ( ! ) ! ( ! ) A S
0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
20/77
1 6 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
{ u n ' i p o t e s i i n : s i a v r a o v v i a m e n t e =
i n d . : n > 1 ; s e e u n a s s i o m a o u n ' i p o t e s i i n l a t e s i s e g u e c o m e n e l c a s o b a s e ;
s e i n v e c e e o t t e n u t o p e r m o d u s p o n e n s d a
i
e
j
, c o n i ; j < n
j
a v r a l a
f o r m a :
j
i
!
n
e i n o l t r e , p e r i p o t e s i i n d u t t i v a : =
i
e =
j
; s e p e r
a s s u r d o n o n f o s s e = , e s i s t e r e b b e u n a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B c h e
s o d d i s f a m a n o n ; m a p e r l ' i p o t e s i i n d u t t i v a B s o d d i s f a
i
e
j
e q u i n d i ,
p e r l a d e n i z i o n e d i B s u l c o n n e t t i v o ! , s i a v r a B ( ) = 1 , a s s u r d o . Q u i n d i
=
C o r o l l a r i o 3 . 3 P
0
e c o n s i s t e n t e .
D i m o s t r a z i o n e : s e f o s s e i n c o n s i s t e n t e , p e r i l c o r o l l a r i o 3 . 1 e s i s t e r e b b e t a l e c h e
P
0
e
P
0
: ; p e r i l t e o r e m a d i c o r r e t t e z z a e : s a r e b b e r o t a u t o l o g i e , a s s u r d o
p e r l a d e n i z i o n e d i a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e s u l c o n n e t t i v o :
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 5 S i a u n i n s i e m e d i f b f d i P
0
; s e e s o d d i s f a c i b i l e a l l o r a e
c o n s i s t e n t e .
D i m o s t r a z i o n e : s a p p i a m o c h e e s i s t e u n a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B c h e s o d -
d i s f a ; s e p e r a s s u r d o f o s s e i n c o n s i s t e n t e , e s i s t e r e b b e u n a f b f t a l e c h e
P
0
e
P
0
: ; p e r i l t e o r e m a d i c o r r e t t e z z a s i d o v r e b b e q u i n d i a v e r e : B ( ) = 1 e
B ( : ) = 1 , i l c h e e a s s u r d o p e r l a d e n i z i o n e d i B s u l c o n n e t t i v o :
D e n i z i o n e 3 . 6 U n i n s i e m e d i f b f d i P
0
e c o n s i s t e n t e m a s s i m a l e s e e s o l o s e :
e c o n s i s t e n t e ;
s e e e c o n s i s t e n t e a l l o r a = ( o v v e r o : 62 i m p l i c a c h e f g
e i n c o n s i s t e n t e ) .
E s e m p i o : s i a d a t o u n a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B ; d e n i a m o l ' i n s i e m e :
B
=
f B ( ) = 1 g
B
e c o n s i s t e n t e m a s s i m a l e p o i c h e :
e c o n s i s t e n t e g r a z i e a l l a p r o p o s i z i o n e 3 . 1 5 ;
e m a s s i m a l e : s e 62
B
a l l o r a B ( ) = 0 , p e r c u i B ( : ) = 1 e q u i n d i : 2
B
q u i n d i
B
P
0
e
B
P
0
: , o v v e r o
B
f g e i n c o n s i s t e n t e .
L e m m a 3 . 2 ( d e l c o m p l e t a m e n t o d i L i n d e n b a u m ) S i a d a t o u n i n s i e m e c o n s i -
s t e n t e d i f b f d i P
0
; e s i s t e u n i n s i e m e c o n s i s t e n t e m a s s i m a l e
t a l e c h e
e e e t t i v a m e n t e c a l c o l a b i l e a p a r t i r e d a
D i m o s t r a z i o n e : s s i a m o u n ' e n u m e r a z i o n e
1
; : : :
n
; : : : d i t u t t e l e f b f d i P
0
( s i
p u o p e n s a r e d i a s s o c i a r e a d o g n i f b f l a s e q u e n z a d e i c o d i c i A S C I I d e i s u o i c a r a t t e r i
e p o i d i n o r m a l i z z a r e l a n u m e r a z i o n e e l i m i n a n d o i b u c h i ; i l p r o c e s s o e c h i a r a m e n t e
e e t t i v o ) .
P o n i a m o :
0
=
n + 1
=
n
f
n
g s e
n
f
n
g e c o n s i s t e n t e ;
n
a l t r i m e n t i ;
=
S
n 0
n
S i n o t i c h e l a d e n i z i o n e d i
n
e e e t t i v a p o i c h e e d e c i d i b i l e i l p r o b l e m a d i d i r e
s e u n i n s i e m e d i f b f d i P
0
e c o n s i s t e n t e
1
S i o s s e r v i a d e s s o c h e :
1
Q u e s t o s a r a o v v i o d o p o l a d i m o s t r a z i o n e d e l l e m m a d i s o d d i s f a c i b i l i t a , p e r l a q u a l e n o n s e r v e
l ' e e t t i v i t a d e l c a l c o l o d i
( n o n c ' e q u i n d i u n c i r c o l o v i z i o s o ) .
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
21/77
3 . 4 . C O R R E T T E Z Z A E C O M P L E T E Z Z A D I P
0
1 7
1
n
n + 1
p e r o g n i n ( o v v i o ) ;
2
n
e c o n s i s t e n t e p e r o g n i n ( o v v i o p e r i n d u z i o n e s u n )
3
e c o n s i s t e n t e : s e n o n l o f o s s e , e s i s t e r e b b e t a l e c h e
P
0
e
P
0
:
t a l i d e r i v a z i o n i s a r a n n o f o r m a t e d a u n n u m e r o n i t o d i f b f d i
( p r o p o s i z i o n e
2 . 2 ) e q u i n d i , p e r i l p u n t o 1 , e s i s t e u n i n t e r o m t a l e c h e
m
P
0
e
m
P
0
:
o v v e r o
m
e i n c o n s i s t e n t e , a s s u r d o p e r i l p u n t o 2 ;
4
e m a s s i m a l e : s i a 62
e s i s t e c e r t a m e n t e p o i c h e
e c o n s i s t e n t e ; s a r a
k
p e r u n c e r t o k ; i n o l t r e s i s a r a o p e r a t o a l p a s s o k i n m o d o t a l e c h e
k + 1
=
k
a l t r i m e n t i , s e
k + 1
=
k
f
k
g , s i a v r e b b e
k
2
, i l c h e e c o n t r o
l a n o s t r a i p o t e s i i n i z i a l e ; q u i n d i
k
f
k
g e i n c o n s i s t e n t e e , p e r i l p u n t o 1 ,
a n c h e
f g l o e . Q u e s t o p r o v a c h e
e m a s s i m a l e .
O s s e r v a z i o n e : I l p r e c e d e n t e l e m m a , p u r d i m o d i c a r e l a d i m o s t r a z i o n e d e l p u n t o
3 , e v a l i d o a n c h e p e r g e n e r i c i s i s t e m i f o r m a l i e , c a m b i a n d o t o t a l m e n t e l a d i m o s t r a -
z i o n e , a n c h e p e r l i n g u a g g i t r a n s n i t i ( c i o e c o n W d i c a r d i n a l i t a n o n n u m e r a b i l e ) .
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 6 U n i n s i e m e c o n s i s t e n t e m a s s i m a l e d i f b f d i P
0
g o d e d e l l e
s e g u e n t i p r o p r i e t a :
i e u n a t e o r i a ;
i i . p e r o g n i f b f d i P
0
2 s e e s o l o s e : 62 ;
i i i . p e r o g n i c o p p i a d i f b f d i P
0
e ! 2 s e e s o l o s e d a 2 s e g u e
2
D i m o s t r a z i o n e :
i . B a s t a m o s t r a r e c h e 2 s e e s o l o s e
P
0
( ) ) O v v i o .
( ( ) S e p e r a s s u r d o 62 f g s a r e b b e i n c o n s i s t e n t e p o i c h e e m a s s i m a l e ;
p e r i l c o r o l l a r i o 3 . 2 a v r e i
P
0
: , a s s u r d o p o i c h e p e r i p o t e s i
P
0
e p e r
l a c o n s i s t e n z a d i .
i i . ( ) ) S e f o s s e 2 e : 2 a l l o r a s a r e b b e i n c o n s i s t e n t e , i l c h e e a s s u r d o .
( ( ) S e p e r a s s u r d o : 62 e 62 , p e r l a m a s s i m a l i t a d i g l i i n s i e m i f g
e f : g s a r e b b e r o i n c o n s i s t e n t i ; q u i n d i :
P
0
e
P
0
: ; p e r
l a p r o p o s i z i o n e 3 . 4 e p e r m o d u s p o n e n s a v r e i
P
0
e
P
0
: , a s s u r d o
p o i c h e e c o n s i s t e n t e .
i i i . ( ) ) D a ! 2 e 2 s e g u e c h e
P
0
! e
P
0
; p e r m o d u s
p o n e n s , q u i n d i ,
P
0
e q u i n d i , p e r i l p u n t o i , 2
( ( ) S e p e r a s s u r d o s i a v e s s e c h e d a 2 s e g u e 2 p e r e t a l i c h e
! 62 , p e r i l p u n t o i i s i a v r e b b e c h e : ( ! ) 2 ; p e r l e p r o p o s i z i o n i
3 . 1 1 e 3 . 1 2 e p e r m o d u s p o n e n s s i a v r e b b e
P
0
e
P
0
: e , p e r i l p u n t o
i 2 e : 2 ; m a p e r i p o t e s i d a 2 s e g u e 2 e q u i n d i , p e r i l p u n t o
i i : 62 , a s s u r d o .
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
22/77
1 8 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
L e m m a 3 . 3 ( d i s o d d i s f a c i b i l i t a ) D a t o u n i n s i e m e d i f b f i n P
0
s e e c o n s i -
s t e n t e a l l o r a e s o d d i s f a c i b i l e .
D i m o s t r a z i o n e : d a t o e s i s t e , p e r i l l e m m a d i L i n d e n b a u m , u n i n s i e m e
d i f b f
d i P
0
c o n s i s t e n t e e m a s s i m a l e t a l e c h e
; d e n i a m o B ( p ) = 1 p e r t u t t i e s o l i i
s i m b o l i p r o p o s i z i o n a l i p 2
; d i m o s t r i a m o c h e B ( ) = 1 s e e s o l o s e 2
; q u e s t o
i m p l i c h e r a l a t e s i :
p c o n p s i m b o l o p r o p o s i z i o n a l e : p e r d e n i z i o n e s i a v r a B ( p ) = B ( p ) = 1 ;
: 2
s e e s o l o s e : 2
s e e s o l o s e ( p u n t o i i d e l l a p r e c e d e n t e
p r o p o s i z i o n e ) 62
s e e s o l o s e ( i p o t e s i i n d u t t i v a , p o i c h e e p i u s e m p l i c e d i
) B ( ) = 0 ; q u i n d i B ( ) = 1 B ( ) = 1 ;
! 2
s e e s o l o s e ! 2
s e e s o l o s e ( p e r i l p u n t o i i i
d e l l a p r e c e d e n t e p r o p o s i z i o n e ) d a 2
s e g u e 2
, s e e s o l o s e ( i p o t e s i
i n d u t t i v a , p o i c h e e s o n o p i u s e m p l i c i d i ) d a B ( ) = 1 s e g u e B ( ) = 1 ,
s e e s o l o s e B ( ! ) = 1 .
T e o r e m a 3 . 6 ( d i c o m p l e t e z z a ) S i a u n i n s i e m e d i f b f d i P
0
e u n a f b f d i P
0
;
s i h a c h e :
d a = s e g u e
P
0
D i m o s t r a z i o n e : p e r c o n t r a p p o s i z i o n e , d i m o s t r i a m o c h e 6
P
0
i m p l i c a 6 =
S e i n f a t t i 6
P
0
f : g e c o n s i s t e n t e ( t e o r e m a 3 . 3 ) ; p e r i l l e m m a d i s o d d i s f a c i -
b i l i t a , q u i n d i , e s i s t e u n a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B p e r i l q u a l e B ( f : g ) = 1 ,
o v v e r o B ( ) = 1 e B ( ) = 0 ; n e s e g u e c h e 6 =
C o r o l l a r i o 3 . 4 S i a u n i n s i e m e d i f b f d i P
0
e u n a f b f d i P
0
; s i h a c h e :
= s e e s o l o s e
P
0
D i m o s t r a z i o n e : d a i t e o r e m i d i c o r r e t t e z z a e c o m p l e t e z z a .
C o r o l l a r i o 3 . 5 D a t a u n a f b f d i P
0
, e d e c i d i b i l e i l p r o b l e m a d i d i r e s e e u n
t e o r e m a d i P
0
( p r o b l e m a d e l l a d e c i s i o n e o E n t s c h e i d u n g s p r o b l e m ) .
D i m o s t r a z i o n e : g r a z i e a l p r e c e d e n t e c o r o l l a r i o , i n f a t t i , e r i c o n d u c i b i l e a l p r o b l e m a
d i d i r e s e e u n a t a u t o l o g i a , c h e e a s u a v o l t a d e c i d i b i l e ( t e o r e m a 3 . 4 ) .
3 . 5 I t a b l e a u x p r o p o s i z i o n a l i
S t u d i a m o a d e s s o u n s i s t e m a f o r m a l e c h e p e r m e t t e d i s e m p l i c a r e l e d e r i v a z i o n i d i
P
0
; c o m e s i s a r a n o t a t o , i n f a t t i , t a l i d e r i v a z i o n i s o n o i n g e n e r e l o n t a n e d a l n a t u r a l e
m e c c a n i s m o m e n t a l e d e g l i e s s e r i u m a n i , i n q u a n t o v a n n o c o s t r u i t e a p a r t i r e d a u n
i n s i e m e m i n i m o d i a s s i o m i e p r o s e g u e n d o i n m a n i e r a p o c o p r e v e d i b i l e d a u n o c c h i o
i n e s p e r t o . C o n i t a b l e a u x p r o p o s i z i o n a l i a v r e m o i n v e c e u n s i s t e m a f o r m a l e l e c u i
d e r i v a z i o n i s e g u o n o l o s c h e m a m e n t a l e d e g l i e s s e r i u m a n i , e l a c u i e s p r e s s i v i t a e
d i m o s t r a b i l m e n t e e q u i v a l e n t e a q u e l l a d e l c a l c o l o p r o p o s i z i o n a l e , s e c i l i m i t i a m o a d
i n s i e m i n i t i d i f b f d i P
0
N o n d e n i r e m o i t a b l e a u x p r o p o s i z i o n a l i c o m e u n v e r o e p r o p r i o s i s t e m a f o r m a l e ,
i n q u a n t o l e s u e d e r i v a z i o n i p o s s o n o e s s e r e m e g l i o c o m p r e s e s e e s p r e s s e c o n u n
f o r m a l i s m o b i d i m e n s i o n a l e p i u t t o s t o c h e l i n e a r e ; d e v e e s s e r c h i a r o , p e r o , c h e l a
d e n i z i o n e p o t e v a e s s e r e d a t a i n m a n i e r a p i u a d e r e n t e a q u e l l a d i s i s t e m a f o r m a l e ,
e c o n p o c h e m o d i c h e r i s p e t t o a q u e l l a c h e d a r e m o s o t t o .
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
23/77
3 . 5 . I T A B L E A U X P R O P O S I Z I O N A L I 1 9
D e n i z i o n e 3 . 7 U n t a b l e a u e u n a l b e r o o r i e n t a t o , n i t o e c o n n o d i e t i c h e t t a t i ; l e
e t i c h e t t e s o n o i n s i e m i n i t i d i f b f d i P
0
; l e f o g l i e s o n o d e t t e n o d i t e r m i n a l i ; u n r a m o
e u n c a m m i n o r a d i c e { f o g l i a .
D e n i z i o n e 3 . 8 U n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e e u n t a b l e a u c o s t r u i t o t r a m i t e l e s e g u e n -
t i r e g o l e :
b a s e : s e e u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
a l l o r a u n n o d o e t i c h e t t a t o c o n e
u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e ;
! : d a t o u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e e u n s u o n o d o t e r m i n a l e n , s e n e l r a m o c u i
a p p a r t i e n e t a l e n o d o c o m p a r e u n a f b f d e l t i p o ! , a l l o r a e u n t a b l e a u p r o -
p o s i z i o n a l e a n c h e i l t a b l e a u o t t e n u t o a g g i u n g e n d o a l n o d o n d u e g l i e t i c h e t t a t i
c o n : e :
!
n
)
P
P
PPq
:
: ! : d a t o u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e e u n s u o n o d o t e r m i n a l e n , s e n e l r a m o
c u i a p p a r t i e n e t a l e n o d o c o m p a r e u n a f b f d e l t i p o : ( ! ) , a l l o r a e u n
t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e a n c h e i l t a b l e a u o t t e n u t o a g g i u n g e n d o a l n o d o n u n
g l i o e t i c h e t t a t o c o n : :
: ( ! )
n
?
:
: : : d a t o u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e e u n s u o n o d o t e r m i n a l e n , s e n e l r a m o c u i
a p p a r t i e n e t a l e n o d o c o m p a r e u n a f b f d e l t i p o : : , a l l o r a e u n t a b l e a u p r o p o -
s i z i o n a l e a n c h e i l t a b l e a u o t t e n u t o a g g i u n g e n d o a l n o d o n u n g l i o e t i c h e t t a t o
c o n :
: :
n
?
U n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e e d e t t o e s s e r e u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e p e r s e e s o l o
s e e l ' e t i c h e t t a d e l l a s u a r a d i c e .
O s s e r v a z i o n e : g i a d a l l a d e n i z i o n e e e v i d e n t e c o m e i t a b l e a u x p r o p o s i z i o n a l i p e r -
m e t t a n o d e r i v a z i o n i g o a l d i r e c t e d , a d i e r e n z a d i P
0
; i n o l t r e , s e u t i l i z z o u n a s o l o
v o l t a o g n i f b f , h o u n n u m e r o n i t o d i r e g o l e a p p l i c a b i l i a d o g n i p a s s o .
E s e m p i o : u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e p e r p ! p
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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2 0 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
p ! p
)
P
P
PPq
: p p
@@R @@R
: p p : p p
d a q u i p o t r e i p r o s e g u i r e a d l i b i t u m .
D e n i z i o n e 3 . 9 I n u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e u n r a m o e d e t t o c h i u s o s e e s o l o s e
f r a l e s u e e t i c h e t t e c o m p a i o n o p e : p p e r q u a l c h e v a r i a b i l e p r o p o s i z i o n a l e p ; d i r e m o
a l l o r a c h e p e : p s o n o u s a t e p e r c h i u d e r e t a l e r a m o ; i n d i c h e r e m o u n r a m o c h i u s o
c o n i l s i m b o l o
J
p o s t o s o t t o l a s u a f o g l i a . U n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e e d e t t o c h i u s o ,
o v v e r o e d e t t o e s s e r e u n a c o n f u t a z i o n e , s e e s o l o s e t u t t i i s u o i r a m i s o n o c h i u s i .
D e n i z i o n e 3 . 1 0 U n i n s i e m e d i f b f d i P
0
e d e t t o c o n f u t a b i l e s e e s o l o s e e s i s t e
u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e c h i u s o l a c u i r a d i c e e m a r c a t a c o n
N o t a z i o n e : q u a n d o u s i a m o u n a f b f i n u n r a m o d i u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e ( c i o e
l a u s i a m o s e c o n d o l e r e g o l e p r e c e d e n t e m e n t e e l e n c a t e p e r g i u s t i c a r e l a c o s t r u z i o n e
i n d u t t i v a d e l l ' a l b e r o ) , m a r c h e r e m o t a l e f b f c o n i l s i m b o l o
p
O s s e r v a z i o n e : q u a n d o s i u s a u n a f b f e b e n e u s a r l a o v u n q u e s e r v a e n o n u s a r l a
p i u ( e u n c r i t e r i o p e r m a n t e n e r e o r d i n a t e l e d e r i v a z i o n i f a t t e t r a m i t e i t a b l e a u x
p r o p o s i z i o n a l i ) .
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 7 : A k , i s t a n z i a t o c o n v a r i a b i l i p r o p o s i z i o n a l i , e c o n f u t a b i l e .
D i m o s t r a z i o n e :
: ( p ! ( q ! p ) )
p
p : ( q ! p )
p
q : p
J
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 8 : A S , i s t a n z i a t o c o n v a r i a b i l i p r o p o s i z i o n a l i , e c o n f u t a b i l e .
D i m o s t r a z i o n e :
: ( ( p ! ( q ! r ) ) ! ( ( p ! q ) ! ( p ! r ) ) )
p
p ! ( q ! r )
p
: ( ( p ! q ) ! ( p ! r ) )
p
p ! q
p
: ( p ! r )
p
p : r
)
P
P
PPq
: p q ! r
J
)
P
P
PPq
: q r
)
P
P
PPq
J
: p q
J J
P r o p o s i z i o n e 3 . 1 9 : A : , i s t a n z i a t o c o n v a r i a b i l i p r o p o s i z i o n a l i , e c o n f u t a b i l e .
D i m o s t r a z i o n e :
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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3 . 5 . I T A B L E A U X P R O P O S I Z I O N A L I 2 1
: ( ( : p ! q ) ! ( ( : p ! : q ) ! p ) )
p
: p ! q
p
: ( ( : p ! : q ) ! p )
p
: p ! : q : p
)
P
P
PPq
: : p q
p
H
HHj
J
: : p : q
J J
L e m m a 3 . 4 S e u n a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B s o d d i s f a t u t t e l e f b f d i u n r a m o
d i u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e a l l o r a B s o d d i s f a t u t t e l e f b f :
1 . d e l n u o v o r a m o o t t e n u t o d a l p r e c e d e n t e c o n l ' a p p l i c a z i o n e d i u n a d e l l e r e g o l e
: : e : ! ;
2 . d i a l m e n o u n o d e i d u e r a m i o t t e n u t i d a l p r e c e d e n t e c o n l ' a p p l i c a z i o n e d e l l a
r e g o l a !
D i m o s t r a z i o n e :
1 . P e r l a r e g o l a : :
: :
s o c h e 1 = B ( : : ) = 1 B ( : ) = 1 1 + B ( ) , q u i n d i d e v e e s s e r e B ( ) = 1 .
P e r l a r e g o l a : !
: ( ! )
:
s o c h e 1 = B ( : ( ! ) ) = 1 B ( ! ) =
8
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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2 2 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
L e m m a 3 . 5 S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
; s e e c o n f u t a b i l e a l l o r a n o n e
s o d d i s f a c i b i l e .
D i m o s t r a z i o n e : s i a d a t o u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e d i c o n f u t a z i o n e p e r ; s e p e r
a s s u r d o f o s s e s o d d i s f a c i b i l e , p e r i l l e m m a p r e c e d e n t e e s i s t e r e b b e u n a s s e g n a m e n t o
p r o p o s i z i o n a l e B c h e r e n d e v e r e t u t t e l e f b f d i u n r a m o d i t a l e t a b l e a u ; m a p o i c h e i l
t a b l e a u e d i c o n f u t a z i o n e , i n o g n i r a m o e p r e s e n t e p e : p p e r u n ' o p p o r t u n a v a r i a b i l e
p r o p o s i z i o n a l e p ; q u i n d i s i d o v r e b b e a v e r e : 1 = B ( p ) = B ( : p ) , i l c h e e a s s u r d o .
T e o r e m a 3 . 7 S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
e u n a f b f d i P
0
; s e f : g e
c o n f u t a b i l e a l l o r a =
D i m o s t r a z i o n e : p e r c o n t r a p p o s i z i o n e b a s t a m o s t r a r e c h e s e 6 = a l l o r a f : g
n o n e c o n f u t a b i l e ; a t a l n e , g r a z i e a l l e m m a p r e c e d e n t e , p e r c o n t r a p p o s i z i o n e , b a s t a
m o s t r a r e c h e s e 6 = a l l o r a f : g e s o d d i s f a c i b i l e . Q u e s t ' u l t i m a i m p l i c a z i o n e e
c h i a r a m e n t e v e r a : s e 6 = a l l o r a e s i s t e u n a s s e g n a m e n t o p r o p o s i z i o n a l e B t a l e c h e
B ( ) = 1 m a B ( ) = 0 , o v v e r o B ( : ) = 1 ; q u i n d i B ( f : g ) = 1 , o v v e r o f : g
e s o d d i s f a c i b i l e .
D e n i z i o n e 3 . 1 1 P o s s i a m o i n t r o d u r r e l e s e g u e n t i r e g o l e d e r i v a t e :
_ :
_
)
P
P
PPq
p o i c h e :
_ : !
)
P
P
PPq
: :
: _ :
: ( _ ) : ( : ! ) )
: :
:
p o i c h e :
: ( : _ : )
: : : :
: :
: ( )
)
P
P
PPq
: :
p o i c h e :
: ( ) : : ( : _ : )
: _ :
)
P
P
PPq
: :
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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3 . 5 . I T A B L E A U X P R O P O S I Z I O N A L I 2 3
E s e m p i o : u n a d e r i v a z i o n e t r a m i t e q u e s t e r e g o l e d e r i v a t e :
: ( ( ! ( _ ) ) ! ( ! ) _ ( ! ) )
p
! ( _ )
p
: ( ( ! ) _ ( ! ) )
p
: ( ! )
p
: ( ! )
:
:
)
P
P
PPq
: _
J
H
HHj
J J
D e n i z i o n e 3 . 1 2 U n r a m o d i u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e c h e t e r m i n a c o n u n a f o g l i a
e t i c h e t t a t a c o n u n i n s i e m e d i f b f c o n f u t a b i l e , e d e t t o e s s e r e c o m e s e f o s s e c h i u s o ( a s
g o o d a s c l o s e d ) .
P r o p o s i z i o n e 3 . 2 0 S e u n r a m o d i u n t a b l e a u p r o p o s i z i o n a l e c o n t i e n e , f r a l e e t i c h e t -
t e d e i s u o i n o d i , e : p e r u n a o p p o r t u n a f b f d i P
0
, q u e l r a m o e c o m e s e f o s s e
c h i u s o .
D i m o s t r a z i o n e : p e r i n d u z i o n e s u l l a s t r u t t u r a d i
p , c o n p v a r i a b i l e p r o p o s i z i o n a l e : i l r a m o e c h i u s o e , q u i n d i , a n c h e c o m e
s e f o s s e c h i u s o ;
: : i l r a m o c o n t i e n e c i o e : e : : ; q u i n d i p o s s o e s p a n d e r l o , t r a m i t e l a
r e g o l a : : , i n m o d o d a o t t e n e r e ; e s s o c o n t i e n e e : e q u i n d i , p e r i p o t e s i
i n d u t t i v a , e c o m e s e f o s s e c h i u s o ;
! : p o s s o e s t e n d e r e f a c i l m e n t e i l r a m o :
!
: ( ! ) :
( i l r a m o n i v a q u i )
:
)
P
P
PPq
:
J J
P o s s o c o n s i d e r a r e i l r a m o c h i u s o p o i c h e , p e r i p o t e s i i n d u t t i v a , e p e r m e t t o n o
d i c h i u d e r e u n r a m o i n c u i s o n o p r e s e n t i s i a p o s i t i v a m e n t e c h e n e g a t i v a m e n t e .
D e n i z i o n e 3 . 1 3 I n t r o d u c i a m o l a r e g o l a d e l t e r z o e s c l u s o ( T E o E M ) p e r i t a b l e a u x
p r o p o s i z i o n a l i :
)
P
P
PPq
:
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
28/77
2 4 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
L e m m a 3 . 6 S i a n o e d u e i n s i e m i n i t i d i f b f d i P
0
; s e e c o n f u t a b i l e a n c h e
e c o n f u t a b i l e .
D i m o s t r a z i o n e : p o s s o u s a r e l a s t e s s a c o n f u t a z i o n e c h e h o p e r , s e n z a s f r u t t a r e
l e i p o t e s i a g g i u n t i v e i n .
L e m m a 3 . 7 S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
e u n a f b f d i P
0
; s e : : e
c o n f u t a b i l e a n c h e e c o n f u t a b i l e .
D i m o s t r a z i o n e : S e n e l l a r e f u t a z i o n e d i : : n o n h o u t i l i z z a t o : : i l r i s u l t a t o
e o v v i o ; a l t r i m e n t i l ' u n i c o m o d o i n c u i p o s s o a v e r e u t i l i z z a t o t a l e f b f e t r a m i t e l a
r e g o l a : : ; o t t e n g o u n a r e f u t a z i o n e d i t r a s f o r m a n d o l a r e f u t a z i o n e d i : : n e l
m o d o s e g u e n t e :
n
( q u i h o a p p l i c a t o l a r e g o l a : : a : : )
B
B
BB
d i v e n t a :
n
B
B
BB
L e m m a 3 . 8 S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
e d u e f b f d i P
0
; s e !
e c o n f u t a b i l e a n c h e : e s o n o c o n f u t a b i l i .
D i m o s t r a z i o n e : S e n e l l a c o n f u t a z i o n e d i ! n o n h o m a i u t i l i z z a t o ! i l
r i s u l t a t o e o v v i o ; a l t r i m e n t i l ' u n i c a r e g o l a c h e p o s s o a v e r a p p l i c a t o a d ! e q u e l l a
d e l l ' ! ; o t t e n g o u n a r e f u t a z i o n e d i : a p a r t i r e d a q u e l l a d i ! s o s t i t u e n d o
l ' e t i c h e t t a d i t a l e a l b e r o c o n : e d e s e g u e n d o l a s e g u e n t e t r a s f o r m a z i o n e :
( q u i h o a p p l i c a t o l a r e g o l a d e l l ' ! a d ! )
)
P
P
PPq
:
B
B
BB
B
B
BB
d i v e n t a :
B
B
BB
O t t e n g o u n a r e f u t a z i o n e d i a p a r t i r e d a q u e l l a d i ! s o s t i t u e n d o
l ' e t i c h e t t a d i t a l e a l b e r o c o n e d e s e g u e n d o l a s e g u e n t e t r a s f o r m a z i o n e :
( q u i h o a p p l i c a t o l a r e g o l a d e l l ' ! a d ! )
)
P
P
PPq
:
B
B
BB
B
B
BB
d i v e n t a :
B
B
BB
L e m m a 3 . 9 S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
e f b f d i P
0
; s e : ( ! )
e c o n f u t a b i l e a n c h e : e c o n f u t a b i l e .
D i m o s t r a z i o n e : s e n e l l a c o n f u t a z i o n e d i : ( ! ) n o n h o m a i u t i l i z z a t o : ( !
) i l r i s u l t a t o e o v v i o ; a l t r i m e n t i l ' u n i c a r e g o l a c h e p o s s o a v e r a p p l i c a t o a l l a f b f
: ( ! ) e q u e l l a d e l : ! ; o t t e n g o u n a r e f u t a z i o n e d i : d a q u e l l a d i
: ( ! ) s o s t i t u e n d o l a r a d i c e d i t a l e a l b e r o c o n : e d e e t t u a n d o l a
s e g u e n t e t r a s f o r m a z i o n e :
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
29/77
3 . 5 . I T A B L E A U X P R O P O S I Z I O N A L I 2 5
( q u i h o a p p l i c a t o l a r e g o l a d e l : ! a : ( ! ) )
:
B
B
BB
d i v e n t a :
B
B
BB
L e m m a 3 . 1 0 S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
e p u n a v a r i a b i l e p r o p o s i z i o n a l e ;
s e s i a p c h e : p s o n o c o n f u t a b i l i a n c h e e c o n f u t a b i l e .
D i m o s t r a z i o n e : s e n o n u s i a m o p n e l l a c o n f u t a z i o n e d i p o n o n u s i a m o : p n e l l a
c o n f u t a z i o n e d i : p i l r i s u l t a t o e o v v i o ; s u p p o n i a m o q u i n d i d i u s a r l i e n t r a m b i ;
l ' u n i c a p o s s i b i l i t a e q u e l l a d i a v e r l i u s a t i p e r c h i u d e r e a l c u n i r a m i ; q u i n d i n e l l a
r e f u t a z i o n e d i p h o a l m e n o u n a i s t a n z a d i : p e n e l l a r e f u t a z i o n e d i : p h o a l m e n o
u n a i s t a n z a d i p . S e d a l l e r a d i c i d i t a l i r e f u t a z i o n i e l i m i n o p o , r i s p e t t i v a m e n t e ,
: p , o t t e n g o d e i t a b l e a u x p r o p o s i z i o n a l i n o n p i u c h i u s i , m a i c u i u n i c i r a m i a p e r t i
t e r m i n a n o c o n : p o , r i s p e t t i v a m e n t e , c o n p
B
B
BB
: p : : : : p
e
B
B
BB
p : : : p
O t t e n g o q u i n d i u n a c o n f u t a z i o n e d i a p p l i c a n d o i l s e c o n d o t a b l e a u a l l e f o g l i e
c h e t e r m i n a n o c o n : p d e l p r i m o .
L e m m a 3 . 1 1 ( d i e l i m i n a z i o n e ) S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
e u n a f b f
d i P
0
; s e s i a c h e : s o n o c o n f u t a b i l i a n c h e e c o n f u t a b i l e .
D i m o s t r a z i o n e : p e r i n d u z i o n e s u l l a s t r u t t u r a d i
p c o n p v a r i a b i l e p r o p o s i z i o n a l e : d i r e t t a m e n t e d a l l e m m a p r e c e d e n t e ;
: : s o c h e : e : : s o n o c o n f u t a b i l i ; p e r i l l e m m a 3 . 7 a n c h e
e c o n f u t a b i l e e p e r i p o t e s i i n d u t t i v a e c o n f u t a b i l e ;
! : s o c h e ! e : ( ! ) s o n o c o n f u t a b i l i ; q u i n d i :
! c o n f u t a b i l e
+ : ( ! )
( l e m m a 3 . 8 ) c o n f u t a b i l e
c o n f u t a b i l e +
+ ( l e m m a 3 . 9 )
( l e m m a 3 . 6 ) :
; ; c o n f u t a b i l e c o n f u t a b i l e
| { z }
+
( i p o t e s i i n d u t t i v a )
c o n f u t a b i l e
!
c o n f u t a b i l e
+
( l e m m a 3 . 8 )
:
c o n f u t a b i l e
| { z }
+
( i p o t e s i i n d u t t i v a )
c o n f u t a b i l e .
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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2 6 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
T e o r e m a 3 . 8 E M e u n a r e g o l a a m m i s s i b i l e : d a t o u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
s e e s i s t e u n a r e f u t a z i o n e d i c h e u t i l i z z a l a r e g o l a E M a l l o r a e s i s t e u n a r e f u t a z i o n e
d i c h e n o n u t i l i z z a l a r e g o l a E M
D i m o s t r a z i o n e : s i a d a t a u n a r e f u t a z i o n e d i c h e u t i l i z z a l a r e g o l a E M ; s i a k i l
l i v e l l o m a s s i m a l e d i a p p l i c a z i o n e d i t a l e r e g o l a :
( l i v e l l o k )
)
P
P
PPq
:
B
B
BB
B
B
BB
S i a l ' i n s i e m e d e l l e f b f p r e s e n t i s u l r a m o c h e d a l l a r a d i c e a r r i v a a q u e s t a a p p l i -
c a z i o n e d e l l a r e g o l a E M ; p e r d e n i z i o n e d i k , p o s s o c o s t r u i r e u n a c o n f u t a z i o n e d i
e : s e n z a u s a r e l a r e g o l a E M : b a s t a e t i c h e t t a r e i s o t t o a l b e r i s o p r a r a p p r e -
s e n t a t i r i s p e t t i v a m e n t e c o n e : . P e r i l l e m m a d i e l i m i n a z i o n e , q u i n d i , e s i s t e
u n a l b e r o d i r e f u t a z i o n e d i c h e n o n u t i l i z z a l a r e g o l a E M ; a p p l i c a n d o t a l e a l b e r o
n e l n o d o i n c u i s i e e t t u a v a l a p r e c e d e n t e a p p l i c a z i o n e d e l l a r e g o l a E M , o t t e n g o
u n a n u o v a r e f u t a z i o n e d i c h e u t i l i z z a u n n u m e r o d i v o l t e s t r e t t a m e n t e i n f e r i o r e l a
r e g o l a E M r i s p e t t o a l l a r e f u t a z i o n e c h e a v e v a m o p e r i p o t e s i ; r i a p p l i c o i l p r o c e d i -
m e n t o i t e r a t i v a m e n t e n c h e , p o i c h e l ' a l b e r o d i r e f u t a z i o n e o r i g i n a r i o d i e n i t o e
c o n t i e n e q u i n d i u n n u m e r o n i t o d i a p p l i c a z i o n i d e l l a r e g o l a E M , n o n o t t e r r o u n a
r e f u t a z i o n e d i c h e n o n u t i l i z z a l a r e g o l a E M
O s s e r v a z i o n e : E M n o n e c h i a r a m e n t e u n a r e g o l a d e r i v a t a .
T e o r e m a 3 . 9 S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
e u n a f b f d i P
0
S e
P
0
a l l o r a : e c o n f u t a b i l e .
D i m o s t r a z i o n e : p e r i n d u z i o n e s u l l a l u n g h e z z a d e l l a d e r i v a z i o n e
1
; : : : ;
n
c o n
n
n = 1 : s i d a n n o d u e c a s i :
1 e u n a s s i o m a : p e r l e p r o p o s i z i o n i 3 . 1 7 , 3 . 1 8 e 3 . 1 9 , t u t t i g l i a s s i o -
m i i s t a n z i a t i c o n v a r i a b i l i p r o p o s i z i o n a l i s o n o r e f u t a b i l i ; g r a z i e a l l a p r o -
p o s i z i o n e 3 . 2 0 o t t e n i a m o i l r i s u l t a t o a n c h e s e e s s i n o n s o n o i s t a n z i a t i
s o l a m e n t e c o n v a r i a b i l i p r o p o s i z i o n a l i .
2 2 : q u i n d i : c o n t i e n e e : e d e f a c i l m e n t e c o n f u t a b i l e t r a m i t e
l a r e g o l a E M
:
( u t i l i z z o l a r e g o l a E M )
)
P
P
PPq
:
J J
P e r i l t e o r e m a 3 . 8 , : e c o n f u t a b i l e a n c h e s e n z a u t i l i z z a r e l a r e g o l a
E M
n > 1 : s e
n
e u n a s s i o m a o u n ' i p o t e s i i n l a d i m o s t r a z i o n e p r o s e g u e c o m e
n e l c a s o b a s e ; a l t r i m e n t i
n
e o t t e n u t a p e r m o d u s p o n e n s d a
i
e
j
i ; j < n
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3 . 5 . I T A B L E A U X P R O P O S I Z I O N A L I 2 7
i
!
n
j
i
n
. P e r i p o t e s i i n d u t t i v a :
i
e :
j
s o n o c o n f u t a b i l i ; i n d i c o
t a l i a l b e r i d i r e f u t a z i o n e r i s p e t t i v a m e n t e c o n
B
B
BB e
B
B
BB . C o s t r u i s c o q u i n d i
u n a r e f u t a z i o n e d i :
n
c h e u t i l i z z a l a r e g o l a E M
:
n
( u t i l i z z o l a r e g o l a E M )
)
P
P
PPq
i
!
n
: (
i
!
n
) :
j
H
HHj
:
i
n
B
B
BB
J
B
B
BB
P e r i l t e o r e m a 3 . 8 s o c h e e s i s t e u n a c o n f u t a z i o n e d i :
n
c h e n o n u s a l a
r e g o l a E M , e q u i n d i i l t e o r e m a e d i m o s t r a t o .
C o r o l l a r i o 3 . 6 S i a u n i n s i e m e n i t o d i f b f d i P
0
e u n a f b f d i P
0
; s i h a c h e :
P
0
s e e s o l o s e = s e e s o l o s e : e c o n f u t a b i l e
D i m o s t r a z i o n e : d i r e t t a m e n t e d a l l a c o r r e t t e z z a e c o m p l e t e z z a d i P
0
e d a i t e o r e m i
3 . 7 e 3 . 9 .
P r o p o s i z i o n e 3 . 2 1 S i a n o e d u e f b f d i P
0
; s i h a : :
P
0
: ( ! )
D i m o s t r a z i o n e : G r a z i e a l c o r o l l a r i o p r e c e d e n t e , b a s t a m o s t r a r e c h e : : : ( !
) e c o n f u t a b i l e :
: : : ( ! )
!
)
P
P
PPq
:
J J
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2 8 C A P I T O L O 3 . I L C A L C O L O P R O P O S I Z I O N A L E
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C a p i t o l o 4
I l c a l c o l o d e i p r e d i c a t i
N e l c a l c o l o p r o p o s i z i o n a l e n o n s i a m o c a p a c i d i e s p r i m e r e u n a r e l a z i o n e f r a p i u p r o -
p o s i z i o n i : s e v o g l i o d i r e c h e i l s u c c e s s o r e d i u n n u m e r o p a r i e u n n u m e r o d i s p a r i
p o s s o a l p i u s c r i v e r e : p a r i x ! d i s p a r i x + 1 , m a s i a m o b e n l o n t a n i d a q u e l c h e
v o r r e m m o e s p r i m e r e ; i n o l t r e n o n p o s s o i n d i c a r e e s i s t e n z a o u n i v e r s a l i t a ; e b e n g i u -
s t i c a t a , q u i n d i , l a r i c h i e s t a d i s t u d i a r e u n n u o v o s i s t e m a f o r m a l e , c h e s i a u n c a l c o l o
p i u p o t e n t e d i P
0
; q u e s t o c a l c o l o s a r a i l c a l c o l o d e i p r e d i c a t i .
4 . 1 I l l i n g u a g g i o d e i p r e d i c a t i
D e n i z i o n e 4 . 1 U n a s e g n a t u r a e u n a c o p p i a f o r m a t a d a u n i n s i e m e d i s i m b o l i d i
f u n z i o n e e u n i n s i e m e d i s i m b o l i d i p r e d i c a t o .
N o t a z i o n e : a g g i u n g i a m o u n e s p o n e n t e i n t e r o a d o g n i s i m b o l o d i f u n z i o n e o d i p r e -
d i c a t o q u a n d o v o g l i a m o s p e c i c a r n e l ' a r i t a ; q u a l o r a e s s a r i s u l t i c h i a r a d a l c o n t e s t o
e v i t e r e m o t a l e a p p e s a n t i m e n t o s i n t a t t i c o .
E s e m p i o :
P O
= f ; f
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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3 0 C A P I T O L O 4 . I L C A L C O L O D E I P R E D I C A T I
{ i c o n n e t t i v i p r o p o s i z i o n a l i : e ! ;
{ u n s i m b o l o d i q u a n t i c a z i o n e u n i v e r s a l e : 8 ;
{ d u e s i m b o l i a u s i l i a r i : ( e ) ;
{ e v e n t u a l m e n t e , u n s i m b o l o d i u g u a g l i a n z a : = ; s e e s s o e p r e s e n t e , i l
l i n g u a g g i o e d e t t o e s s e r e c o n u g u a g l i a n z a .
S i n o t i c h e t u t t i i p r e c e d e n t i i n s i e m i d e v o n o e s s e r e d e c i d i b i l i e d i s t i n t i .
i n s i e m e d e l l e f b f : W F b f
d o v e F b f
e c o s d e n i t o :
{ s e t
1
; : : : ; t
n
2 T e r m
e P
n
e u n s i m b o l o d i p r e d i c a t o n - a r i o d i , a l l o r a
P ( t
1
; : : : ; t
n
) 2 F b f
( f b f a t o m i c h e ) ;
{ s e 2 F b f
a l l o r a ! 2 F b f
e : 2 F b f
;
{ s e 2 F b f
e x e u n a v a r i a b i l e i n d i v i d u a l e , a l l o r a ( 8 x ) 2 F b f
;
{ s e i l l i n g u a g g i o e u n l i n g u a g g i o c o n u g u a g l i a n z a e t
1
t
2
2 T e r m
a l l o r a
t
1
= t
2
2 F b f
( e q u a z i o n i : a n c h ' e s s e f a n n o p a r t e d e l l e f b f a t o m i c h e ) ;
{ n i e n t ' a l t r o e i n F b f
L a p o r t a t a d i u n q u a n t i c a t o r e d e l t i p o : 8 x e l a f b f
E s e m p i o : F b f
P O
c o n t i e n e l e s e g u e n t i f b f :
: (
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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4 . 1 . I L L I N G U A G G I O D E I P R E D I C A T I 3 1
N o t a z i o n e : d ' o r a i n p o i e v i t e r e m o d i s p e c i c a r e l a s t r u t t u r a e i l l i n g u a g g i o d e i
p r e d i c a t i a c u i c i r i f e r i a m o , q u a n d o e s s i r i s u l t e r a n n o c h i a r i d a l c o n t e s t o .
D e n i z i o n e 4 . 7 U n ' i n t e r p r e t a z i o n e p e r t e r m i n i s u u n a s t r u t t u r a A
e u n a f u n z i o -
n e :
] ]
A
T e r m
E N V
A
! j A
t a l e c h e :
1 x = ( x ) p e r o g n i x 2 v a r i a b i l i i n d i v i d u a l i
L
;
2 f
n
( t
1
; : : : ; t
n
) =
~
f
n
( t
1
; : : : ; t
n
) p e r o g n i t
1
; : : : ; t
n
2 T e r m
D e n i z i o n e 4 . 8 U n ' i n t e r p r e t a z i o n e p e r f b f s u u n a s t r u t t u r a A
e u n a f u n z i o n e :
] ]
A
F b f
E N V
A
! f 0 1 g
t a l e c h e :
1 P
n
( t
1
; : : : ; t
n
) =
~
P
n
( t
1
; : : : ; t
n
) ;
2 ! = 1 s e e s o l o s e d a = 1 s e g u e = 1 ;
3 : = 1 s e e s o l o s e = 0 ;
4 8 x = 1 s e e s o l o s e p e r o g n i a 2 A
s i h a
a
x
= 1 ; d o v e
a
x
2 E N V
A
e c o s d e n i t o :
a
x
( y ) =
( y ) s e x 6 y
a a l t r i m e n t i ;
5 . ( s e i l l i n g u a g g i o e c o n u g u a g l i a n z a ) t = t = 1 s e e s o l o s e t e t
s o n o l o s t e s s o e l e m e n t o d i A
D e n i z i o n e 4 . 9 S i a 2 F b f
e A
u n a s t r u t t u r a ; d i r e m o c h e :
i e s o d d i s f a c i b i l e i n A
s e e s o l o s e e s i s t e 2 E N V
A
p e r c u i s i a b b i a
= 1 ;
i i e v e r a i n A
( o v v e r o e v a l i d a i n A
) s e e s o l o s e p e r o g n i 2 E N V
A
s i h a = 1 ; s c r i v e r e m o a l l o r a A
= ; c h i a m e r e m o t e o r i a d i A
S
i g m a
l ' i n s i e m e : T h ( A
) = f A
= g ;
i i i . e s o d d i s f a c i b i l e s e e s o l o s e e s i s t e u n a s t r u t t u r a A
c h e s o d d i s f a ;
i v e v a l i d a ( o v e r a ) s e e s o l o s e p e r o g n i s t r u t t u r a A
s i h a A
= ;
v e c o n t r a d d i t t o r i a s e e s o l o s e n o n e s o d d i s f a c i b i l e .
O s s e r v a z i o n e : s i a 2 F b f
s e n o n e s o d d i s f a c i b i l e e c o n t r a d d i t t o r i a e v i c e v e r -
s a ; s e e v a l i d a a l l o r a e s o d d i s f a c i b i l e .
D e n i z i o n e 4 . 1 0 S i a F b f
e A
u n a s t r u t t u r a ; A
e d e t t a e s s e r e u n m o d e l l o
d i s e e s o l o s e o g n i 2 e v e r a i n A
, o v v e r o s e e s o l o s e p e r o g n i 2 s i h a
A
= . S c r i v e r e m o a l l o r a : A
=
D e n i z i o n e 4 . 1 1 I n t r o d u c i a m o l a s e g u e n t e d e n i z i o n e e s p l i c i t a :
( 9 x ) : ( 8 x : )
7/27/2019 Matematica Logica Appunti Del Corso Di Logica Matematica Martini
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3 2 C A P I T O L O 4 . I L C A L C O L O D E I P R E D I C A T I
P r o p o s i z i o n e 4 . 1 S i a A
u n a s t r u t t u r a ; A
= 9 x s e e s o l o s e p e r o g n i 2
E N V
A
e s i s t e a 2 A
t a l e c h e
a
x
= 1 ; a e d e t t o t e s t i m o n e d e l l ' e s i s t e n z i a l e .
D i m o s t r a z i o n e : A
= 9 x s e e s o l o s e A
= : ( 8 x : ) , s e e s o l o s e p e r o g n i
2 E N V
A
s i h a : ( 8 x : ) = 1 , s e e s o l o s e p e r o g n i 2 E N V
A
s i h a
8 x : ] ] = 0 , s e e s o l o s e p e r o g n i 2 E N V
A
e s i s t e a 2 A
t a l e c h e :
a
x
= 0
s e e s o l o s e p e r o g n i 2 E N V
A
e s i s t e a 2 A
t a l e c h e
a
x
= 1
D e n i z i o n e 4 . 1 2 S i a F b f
e s i a 2 F b f
; d i r e m o c h e :
e c o n s e g u e n z a l o g i c a d i s e e s o l o s e p e r o g n i s t r u t t u r a A
e p e r o g n i
2 E N V
A
d a ] ] = 1 s e g u e