Post on 02-Jan-2016
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Matemática I
Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.
Polinômios Monômios Fatoração Operações com Polinômios
Módulo Equações e Raízes
1º e 2º grau, Irracionais e Modulares Sistemas de Equações Lineares Inequações e Inequações Modulares
Conteúdo da Seção
2
Termo Algébrico é o produto de um número (chamado coeficiente) por potências racionais de variáveis.
Definições
3
14xy e x y
Monômio é um termo algébrico em que o coeficiente é real e os expoentes são naturais.
O grau de um monômio é a soma dos expoentes de suas variáveis.
Definições
4
2
4 ,3
xxy
Polinômio é uma soma de monômios.
O grau de um polinômio é o mais alto grau dentre os seus monômios.
Se um polinômio possui apenas uma variável x, ele é, em geral, representado por P(x).
Se um polinômio possui duas variáveis x e y, ele é, em geral, representado por P(x,y).
Definições
5
2 3 24 2 2 7xy x e x x
O valor numérico de um polinômio é o número obtido quando atribuímos valores às variáveis.
Definições
6
3 2 3 2
2 2
( ) 2 7 (10) (10) 2(10) 7 807
( , ) 4 2 (1,2) 4 1 2 2(1) 10
P x x x P
P x y xy x P
Fatorar um polinômio significa transformá-lo num produto de polinômios de graus menores que o do original.
Fatoração
7
4 3 2 2 2 2 2 2 22 6 10 2 6 10 2 6 10x x x x x x x x x x x
As operações de adição e subtração são efetuadas entre os termos semelhantes, somando-se ou subtraindo-se as constantes destes termos.
Adição e Subtração de Polinômios
8
2 2
2 2
( , ) 2 ( , ) 2
( , ) ( , ) 3 2
P x y xy x y e Q x y xy y
P x y Q x y xy y x y
Na operação de multiplicação, usamos a propriedade distributiva e depois agrupamos os termos semelhantes.
Multiplicação de Polinômios
9
2 2
2 2
2 2 3 2 3 2 2 3
2 2 3 2 3 3
( , ) 2 ( , ) 2
( , ) ( , ) 2 2
2 2 2 3
3 2 2 3
P x y xy x y e Q x y xy y
P x y Q x y xy x y xy y
x y x y xy xy x y y
x y x y xy xy y
Somente se efetua a divisão entre dois polinômios quando o grau do dividendo for maior ou igual ao grau do divisor.
Exemplo: Dividir
Divisão de Polinômios
10
3 2 210 3 3 10 por 2 3 5x x x x x
Divisão entre Polinômios
11
Quociente: 5 6
Resto: 4 20
x
x
3 2 10 3 3 10x x x 22 3 5x x
5x 63 210 15 25 x x x 212 22x x 102 12 18 30x x
4 20x
Então, a seguinte igualdade pode ser escrita:
Divisão entre Polinômios
12
3 2
2 2
10 3 3 10 4 205 6
2 3 5 2 3 5
x x x xx
x x x x
Já que:
Divisão entre Polinômios
13
2
2 2
3 2 2
2
3 2
2
5 6 2 3 5 4 204 205 6
2 3 5 2 3 5
10 15 25 12 18 30 4 20
2 3 5
10 3 3 10
2 3 5
x x x xxx
x x x x
x x x x x x
x x
x x x
x x
Dividir
Divisão entre Polinômios Exercício
14
23 2 4 por 3x x x
Quociente: 3 7
Resto: 25
x
23 2 4x x 3x 3x 7
23 9 x x 7x 4
7 21x 25
Uma identidade é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às variáveis.
Uma equação é uma igualdade que se verifica para alguns valores atribuídos às variáveis.
Identidades e Equações
15
2 22 4 4x x x
2 4
2.
x
só é válida para x
Um número é a raiz de uma equação, se torna a igualdade verdadeira.
Exemplo:
Raiz de uma Equação
16
2
2
2
1 2 são raízes de 2
já que
1 1 1 1 2
2 2 4 2 2
e x x
O grau de uma equação é dado pelo termo de maior grau da mesma.
Grau de uma Equação
17
2
5 6
4 4 0 2º
44 0 6º
x x grau
x x graux
1) Numa equação, podemos transpor um termo (isto é, mudá-lo de lado da equação), desde que o multipliquemos por -1.
2) Uma equação não se altera quando multiplicamos ambos os membros (todos os termos da equação de ambos os lados) por uma constante diferente de zero.
Princípios Gerais para Resolução de Equações
18
Toda equação que pode ser escrita na forma , em que a, b R, a0 e x é uma variável, é denominada uma equação do primeiro grau.
O valor é chamado de raiz da equação
do primeiro grau.
Equação do Primeiro Grau
19
0ax b
bx
a
Ache as raízes das seguintes equações:
1)
2)
3)
Equação do Primeiro GrauExercícios
20
38 4
2x
2 17
3 2
x x
5 3 72
3 12 4
x x x
1)
Equação do Primeiro GrauSoluções
21
3Equação 8 4
23
Transpondo 4 823
Simplificando 122
2 2Multiplicando por 12
3 3Resposta 8
x
x
x
x
x
2)
Equações do Primeiro GrauSoluções
22
2 17
3 22 1
6 6 7 63 2
2 2 1 42 3
4 2 42 3
4 3 40
40
x x
x x
x x
x x
x x
x
3)
Equações do Primeiro GrauSoluções
23
5 3 72
3 12 45 3 7
12 12 2 12 123 12 4
4 24 5 9 21
9 9 21 24
0 45 impossível. A equação não tem solução.
x x x
x x x
x x x
x x
Toda equação que pode ser escrita na forma
onde a, b e c . Suas raízes x1 e x2 são dadas pelas expressões:
Equação do Segundo Grau
24
2
12
2
2
4
24
24
2
b b acx
ab b ac
xa
b b acx
a
2 0ax bx c
Fórmula de Bháskara
O número de raízes para cada equação do segundo grau varia de acordo com delta ():
Equação do Segundo Grau
25
2
0, a equação possui 2 raízes reais e distintas
Se 4 0, a equação possui 2 raízes reais iguais
0, a equação não possui raízes reais
b ac
Encontre as raízes das equações abaixo:a)
b)
c)
d)
Equação do Segundo Grau Exercícios
26
2 2 1 0x x
2 4 60 0x x
22 2 3 0x x
2 2 1 0x x
Encontre as raízes das equações abaixo:a)
b)
c)
d)
Equação do Segundo Grau Soluções
27
21 22 1 0 1 1x x x e x
21 24 60 0 10 ; 6x x x x
22 2 3 0 sem raízes reaisx x
21 22 1 0 1 1x x x e x
Seja a equação
onde a, b e c , com a 0.
A fatoração dessa equação é dada por:
onde x1 e x2 são as raízes da equação.
Equação do Segundo Grau Fatoração
28
21 2( )( )ax bx c a x x x x
2 0ax bx c
Fatore a equação:
As raízes dessa equação são x1 = 3 e x2 = –2, assim a forma fatorada é:
29
( 3)( 2) 0x x
2 6 0x x
Equação do Segundo Grau Fatoração - Exercício
Um sistema de equações é um conjunto de equações relacionadas em que o conjunto solução deve satisfazer a todas as equações isoladamente.
Existem dois métodos básicos para se resolver um sistema de equações: Substituição Eliminação
Sistema de Duas Equações Lineares
30
Este método consiste em obter o valor de uma variável em uma das equações e substituir este valor na outra.
Sistema de Duas Equações LinearesMétodo de Substituição
31
8 3 14
5 2 8
55 2 8 4
25 15
8 3 4 14 8 12 142 2
12 4 6
2
x y
x y
x y y x
x x x x
x x y
Este método consiste em planejar a eliminação de uma variável por meio da soma de duas ou mais equações.
Sistema de Duas Equações LinearesMétodo de Eliminação
32
8 3 14 16 6 28 (2)
5 2 8 15 6 24 ( 3)
somando ambas equações
4 6
x y x y
x y x y
x y
Uma equação é dita irracional quando a incógnita aparece embaixo de uma raiz.
Para se resolver esse tipo de equação, devemos elevar ambos os termos a uma potência conveniente.
Sempre que elevamos uma equação a um expoente devemos verificar os resultados, porque raízes estranhas ao resultado original podem aparecer.
Equações Irracionais
33
Resolva a equaçãoSolução:
Equações IrracionaisExemplo
34
5 1 7x x
2 2
2
2
2 1
2
5 1 7
5 1 14 49
19 48 0
19 1316
4 19 361 192 219 132 2
32
16 5 1 7 5 9 1 16 7 9 9
3 5 1 7 5 3 1 3 7 4 4 raiz estranha
x x
x x x
x x
xb b ac
xa
x
se x x x ok
se x x x
Uma inequação é uma desigualdade que se verifica para alguns valores atribuídos às variáveis.
Intuitivamente uma inequação é uma equação em que o sinal de igualdade é substituído por um dos seguintes operadores matemáticos:> - Maior que< - Menor que≥ - Maior ou igual que≤ - Menor ou igual que
Inequações
35
2 4 2.x só é válida para x
2 4 2.x só é válida para x
2 4 2.x só é válida para x
2 4 2.x só é válida para x
Toda inequação que pode ser escrita numa das seguintes formas
em que a, b , a0 e x é uma variável, é denominada uma inequação do primeiro grau.
Inequação do Primeiro Grau
36
0
0
0
0
ax b
ax b
ax b
ax b
1) Passando elemento de um lado para o outro... O termo que troca de lado muda de sinal. O sentido da desigualdade é mantido.
2) Multiplicando por um número positivo ambos os lados... O sentido da desigualdade é mantido.
3) Multiplicando por um número negativo ambos os lados... O sentido da desigualdade é invertido.
4) Invertendo... Se os dois lados da desigualdade são positivos, inverter
os dois lados também inverte o sentido da desigualdade.
Princípios Gerais para Resolução de Inequações
37
Ache as raízes das seguintes equações:
1)
2)
3)
Inequação do Primeiro GrauExercícios
38
38 4
2x
2 17
3 2
x x
5 3 72
3 12 4
x x x
1)
Inequação do Primeiro GrauSoluções
39
3Inequação 8 4
23
Transpondo 4 823
Simplificando 122
2 2Multiplicando por 12
3 3Resposta 8
x
x
x
x
x
2)
Inequações do Primeiro GrauSoluções
40
2 17
3 22 1
6 6 7 63 2
2 2 1 42 3
4 2 42 3
4 3 40
40
x x
x x
x x
x x
x x
x
3)
Inequações do Primeiro GrauSoluções
41
5 3 72
3 12 45 3 7
12 12 2 12 123 12 4
4 24 5 9 21
9 9 21 24
0 45 A inequação é válida para .
x x x
x x x
x x x
x x
x
O Valor Absoluto ou módulo de um número real, denotado por é definido por .
é sempre nulo ou positivo, isto é, não negativo.
a
NúmerosValor Absoluto ou Módulo
42
se 0
se 0
a aa
a a
a
Números Módulo Teoremas
43
se e somente se , onde 0
Ex.: 6 se e somente se 6 6
x a a x a a
x x
se e somente se , onde 0
Ex.: 4 se e somente se 4 4
x a a x a a
x x
NúmerosMódulo Teoremas
44
se e somente se ou , onde 0
Ex.: 2 se e somente se 2 ou 2
x a x a x a a
x x x
se e somente se ou , onde 0
Ex.: 1 se e somente se 1 ou 1
x a x a x a a
x x x
NúmerosMódulo Teoremas
45
Ex.: 3 5 15 15
3 5 3 5 15
a b a b
, 0
22 2 2Ex.:
5 5 5 5
aacom b
b b
e
NúmerosMódulo Teoremas
46
Ex.: 4 1 3 3
4 1 4 1 5
Daí, 3 5
a b a b
ResolvaSolução
Equações Modulares
47
2 10 2x x
2 10 2
) hipótese 2 0 2 2 2
2 10 2 3 12 4
) hipótese 2 0 2 2 2
2 10 2 8 em desacordo com a hipótese,
logo não é uma resposta
x x
a x x x x
x x x x ok
b x x x x
x x x
para a equação
Resolva
Pelo Teorema
Inequações Modulares
48
5 9 4x
135
5 9 4 ou 5 9 4
5 9 4 5 5 1
135 9 4 5 13
5
Solução: 1
x x
x x x
x x x
, ,
A LCL Freios Automotivos Ltda., importante fornecedora de freios automotivos nacionais, tem, como matéria-prima de um de seu produtos, pequenos discos de aço. O departamento de produção informou ao departamento de compras que o diâmetro dos discos necessários à produção é de 30mm, com uma variação de 5mm para cima ou para baixo desse valor. Descreva a desigualdade modular que expressa o pedido feito pelo departamento de produção.
LCL Freios Automotivos Ltda.
49
Uma variação de 5mm é aceitável em torno do valor correto de 30mm.
Logo o módulo da diferença entre o diâmetro (d) do disco recebido e o desejado (30mm) deve ser no máximo 5mm.
LCL Freios Automotivos Ltda. Solução
50
30 0 30 5 30 5
30 0 5 30
d dd
d d
A comissão de vendas mensal de cada vendedor das lojas da LCL Discos é de 4% sobre as vendas do mês. Existe um piso salarial mínimo, garantido por acordo sindical, de R$400,00. Um levantamento feito na contabilidade da empresa mostrou que nunca foi pago, em único mês, mais de R$1.200,00 para um vendedor. Sabendo-se que um vendedor que não tiver um salário mensal acima do piso é sumariamente despedido, descreva matematicamente quanto deve ser o volume de vendas de cada vendedor que trabalha na empresa.
Caso LCL Discos Ltda.
51
O salário do vendedor é de 3% sobre as vendas se este valor for superior a R$400,00.
Logo
Caso LCL Discos Ltda. Solução
52
400 4%.Vendas Mínimas
400 0,04.Vendas Mínimas
400Vendas Mínimas 10000
0,04
O maior salário já pago a um vendedor foi de R$1.200,00.
Logo
Caso LCL Discos Ltda. Solução
53
1200 4%.Vendas Máximas
1200 0,04.Vendas Máximas
1200Vendas Máximas 30000
0,04
Logo, as vendas mensais de um empregado da empresa podem ser matematicamente expressas por:
Caso LCL Discos Ltda. Solução
54
10000 Vendas Mensais 30000
CD-ROM do Livro-texto 1 – Matemática I Capítulo 3 – Polinômios, Equações, Inequações
Exercícios Exercícios Conceituais
Exercícios Propostos
55