Post on 15-Jan-2016
description
27.4.2004 MAKİNA TEORİSİ
2. Yıliçi Sınavı
SORU 2 Şekilde bir jet motoru ve ona ait rotor gösterilmiştir. Berkil cisim kabul edilebilen rotorun kompresör düzlemlerinin üçünde ve türbin düzlemlerinin birinde mi, ri dengesizlikleri mevcuttur.
m1=30 g, m2=25 g, m3=20 g, m4=15 g, r1=44 cm, r2=40 cm, r3=34.3 cm, r4=45 cm verildiğine göre;
a) Bu rotoru dengelemek üzere şekilde gösterilen R ve L dengeleme düzlemlerine yerleştirilmesi gereken dengeleme büyüklüklerini ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız.
b) Dengelemenin R ve L düzlemlerinde rL=37 cm ve rR=44 cm yarıçaplı çemberler üzerine β=5o lik eşit açısal aralıklarla dizili civataların gramajı farklı civatalarla değiştirilmesi yoluyla yapılması düşünüldüğüne göre hangi civatalarda ne kadar değişiklik yapılmalıdır?
Difüzör Kompresör Türbin Nozul
1 2 3 4 R L
30 20 35 150 cm 25
Yanma Odası
m1
m2
m3m4
r2
r1
r3 r4
60°
45°
y
x
z
y
r
y
x β
k
m1 m2
ℓ
β.ℓ
O
SORU 3 Şekilde statik denge konumunda gösterilen sistemde, bir ucundan mafsallı ince, düzgün kesitli, homojen ve berkil m1,ℓ çubuğu öbür ucunda m2 noktasal kütlesini taşımaktadır. Sistemin küçük genlikli titreşimlerinin doğal frekansını;
a) Sistem parametreleri cinsinden elde ediniz, b) m1=2400 g, m2=1200 g, k=7200 N/m, β=1/3
verileri ile sayısal olarak hesaplayınız.
q s er m2
m1 Mç
SORU 1 Şekilde e merkez kaçıklığına sahip bir eksantermekanizması yardımıyla çalıştırılan bir giyotin tezgahı gösterilmiştir. Makina, m1 kütleli, r yarıçaplı homojen bir dairesel levhadan ibaret olan eksantere etkiyen Mç çalıştırma momentinin, giyotin bıçağını taşıyan m2 kütleli bloğun sabit uzva göre hareketine karşı koyan c katsayısına sahip viskoz sürtünme kuvvetinin ve uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin etkisi altında bulunduğuna göre giyotinin kesme işlemi yapmadığı boşta çalışma hareketine ait Eksergian hareket denklemini elde ediniz.
29/04/2005 MAKİNA TEORİSİ
2.Yıliçi Sınavı
SORU 2 Şekilde, üzerinde dört dengesizlik taşıyan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden r=18 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız.
ϕ[°] θ3[°] θ4[°] 3g′ 80 350.761 92.794 -0.634
m1=0,03 kg, m2=0,02 kg, m3=0,015 kg, m4=0,025 kg r1=25 cm, r2=10 cm, r3=35 cm, r4=15 cm
1
32
L R
z
20 20 20 40 cm
4
30
SORU 3 Şekildeki sistemde, O noktasına yataklanmış kılavuzun kütlesi m1 ve m2 kütleleri yanında ihmal edilmektedir. Sistemin doğal frekansını; a) Sistem parametreleri cinsinden elde ediniz, b) m1=7 kg, m2=8 kg, k1=10 kN/m, k2=400 N/m, a=20 cm, b=30 cm verileri ile sayısal olarak hesaplayınız.
SORU 1 Şekilde r1=4 m, r2=7 m, r3=2.5 m, r4=6.5 m, l =2.5 mboyutlarına sahip bir üç çubuk mekanizması gösterilmiştir.
a) Mekanizma ϕ=80o ile tanımlanan konumundayken C noktasından asılı P=5000 N luk yükü dengede tutabilmek için 2 numaralı uzva uygulanması gereken Md denge momentini uzuv ağırlıklarını göz ardı ederek hesaplayınız.
b) (a) şıkkındaki koşullar altında A ve B mafsallarıyla Boyatağına etkiyecek mafsal ve yatak kuvvetlerinin hesaplanması problemini formüle ediniz.
Bazı kinematik çözümleme sonuçları:
y
300
400
700
x
3
1
4
2
500 r1 r4
r3
r2
ϕ r1
r2
r3
r4
l
θ4
θ3
x
y
A0 B0
A B (=S3)
C
P
Md
S4
B0S4= BS4
x2
b
x1
k1
k2
m2
m1
aKılavuz
O
k2 k2
19.4.2006 MAKİNA TEORİSİ
2. Yıliçi Sınavı SORU 1
SORU 2 SORU 3
Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 4 silindirli bir sıra motor ve ona ait krank yıldızı gösterilmiştir. a) Bu motoru sarsma kuvvet ve momentlerinin
dengesi bakımından inceleyiniz. Varsa, krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz.
b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu krank yıldızı tasarımının, güç dağılımının düzgünlüğü bakımından, kaç zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olduğunu belirleyiniz.
y
x
ω
4 3
2
1
Uzuv kütleleri m2, m3 ve m4 olarak bilinen ve 2 no.lu uzvu r boyunda ince, düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibaret olan şekildeki makina F3=F ve F4=4F sabit kuvvetleriyle M2(q) momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek; a) Q(q) genelleştirilmiş kuvvetini ve ℑ(q) genelleştirilmiş
eylemsizliğini elde ediniz, b) M2(q) ≡ 0 özel halinde makinanın denge konumunu
belirleyiniz, c) Makinanın hareket denklemini elde ediniz, d) 2 no.lu uzvu sabit ωq =& açısal hızıyla çevirebilmek için
uygulanması gereken M2(q) momentini belirleyiniz.
s4 2
1 3 4
F3=F
F4=4F
M2(q)
s3
q
Şekilde bir iş makinasının kepçesi ve ona ait mekanizma gösterilmiştir. Kepçeyi taşıyan 1 no.lu uzuv sabit olduğuna göre, kepçenin θ2=800 ile verilen konumunda C noktasına etkiyen F kuvvetini dengeleyebilmek için DA hidrolik silindirinin uygulaması gereken kuvveti hesaplayınız. A0A=50 cm AB=46 cm B0B=32 cm A0B0=36 cm A0E=200 cm DE=20 cm B0C=100 cm γ=1200 F=12500 N Kinematik Analiz Sonucu ( 2θ& =10 rad/s için) θ 2=80o θ 3= - θ 4=64.25o
2θ& =10 rad/s 3θ& = - 4θ& =15 rad/s
A
B2B
0 A
01
3
4
γ θ4
θ2
x
y
C
D
E
F
z
y
x a
a
a
0
1 2
3 4
18.04.2007 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40 p)
Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız; a) İdeal kısıt ve ideal sistem neye denir? (6p) b) Holonomik sistemlerde hareketin Lagrange denklemleri nasıl ifade edilir? Terimlerin anlamlarını
açıklayarak yazınız. (8p) c) Tipik bir asenkron elektrik motoru karakteristiği çizip önemli noktalarını ad belirterek işaretleyiniz.
Böyle bir motorun sıfır hızda vereceği moment niçin önemlidir ve hangi makinalarda özellikle yüksek olması istenir, belirtiniz. (10p)
d) Makina millerinde hız dalgalanmalarını gidermek üzere baş vurulabilecek yöntemler nelerdir? Makina hareket denklemi ışığında tartışarak belirtiniz. (10p)
e) Bir rijid rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır? Kavramsal olarak belirtiniz. (6p) SORU 2 (30 p) SORU 3 (30 p)
Üç uzvunun kütleleri mA, mB ve mC olarak verilmiş olan ve P yüküyle F kuvvetinin etkisinde bulunan, şekildeki “X” tipi kaldırma platformunda, X şeklinde bağlı 4 özdeş taşıyıcı çubuğun kütlelerini ve bütün ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek;
a) Makinanın )(ϕℑ genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(ϕ) genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz, (16p)
b) Makina hareket denklemini elde ediniz, (8p) c) P yükünü dengede tutmak için uygulanması gereken F
kuvvetinin ϕ’ye bağlı ifadesini veriniz. (6p)
Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 4 silindirli bir sıra motor ve ona ait krank yıldızı gösterilmiştir. a) Bu motoru sarsma kuvvet ve momentlerinin
dengesi bakımından inceleyiniz. Varsa, krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz. (22p)
b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu krank yıldızı tasarımının, güç dağılımının düzgünlüğü bakımından, kaç zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olduğunu belirleyiniz. (8p)
z
y
x a
a
a
0
1 2
3
4
y
x
ω
3 1
2
4
F
C
O ϕ
P y
x
a/2
a/2
A
a/2
a/2
mA
mC
B
mB
137
YANIT 2 a)
2
2C
2
2B
2B
2
2A y
Cyx
Bx
A mmm)(ϕϕ
+
ϕ++=ϕℑ
&
&
&
&&
&
&
ve
ϕϕ
−−=ϕ&
&
&
& CA yxPF)(Q
yazılıp burada ϕϕ−== &&& sinaxx BA , ϕϕ== &&& cosa2yy CB hesaplanıp yerlerine konulursa
22C
22B
2A a]cosm4)cos4(sinmsinm[)( ⋅ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕℑ (1)
ve a)cosP2sinF()(Q ⋅ϕ−ϕ=ϕ (2) elde edilir. b)
)(Q)( 2d
)(d21 ϕ=ϕ⋅+ϕ⋅ϕℑ
ϕϕℑ
&&&
şeklindeki Eksergian hareket denklemi anımsanıp, burada (1) ve (2) denklemlerindeki ifadeler yerine konulur ve gereken hesaplar yapılırsa
ϕ⋅⋅ϕ+ϕ+ϕ+ϕ &&22C
22B
2A a]cosm4)cos4(sinmsinm[
a)cosP2sinF(cossina)m4m3m( 22CBA ⋅ϕ−ϕ=ϕ⋅ϕϕ−−+ &
ya da sadeleştirip düzenleyerek,
[ ]ϕϕ−−−++ &&)2cos)m4m3m()m4m5m( CBACBA
0sincos2sin)m4m3m( aF2
aP42
CBA =ϕ−ϕ+ϕ⋅ϕ−−+ &
elde edilir. c) (2) ifadesi sıfıra eşit yazılarak
ϕ=ϕ
tanP2)(F
hesaplanır.
138
YANIT 3 a) Tablo düzenleyerek hesap yapılırsa:
No ψi [o] ψi [rad] cosψi sinψi cos2ψi sin2ψi ai aicosψi aisinψi aicos2ψi aisin2ψi1 0 0,00 1,000 0,000 1,000 0,000 0 0,000 0,000 0,000 0,0002 90 1,57 0,000 1,000 -1,000 0,000 1 0,000 1,000 -1,000 0,0003 180 3,14 -1,000 0,000 1,000 0,000 2 -2,000 0,000 2,000 0,0004 270 4,71 0,000 -1,000 -1,000 0,000 3 0,000 -3,000 -3,000 0,000
0 0 0 0 -2 -2 -2 0
Bu sütunlardaki değerler a ile çarpılacak!
SIRA MOTOR DENGESİ
1. Mertebeden 2. MertebedenMoment Moment
Toplam1. Mertebeden
Kuvvet2. Mertebeden
Kuvvet 1 ve 2. mertebeden sarsma kuvvetleri dengelenmiş; buna karşılık hem 1 hem 2. mertebeden sarsma momentleri dengelenmemiştir. Dengelenmemiş sarsma momentinin ifadesi,
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕ⋅λ+
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕω= ∑ ∑∑∑
= ===
n
1i
n
1iiiiii
n
1ii
n
1iii
2öte
Sy 2sina2sin2cosa2cossinasincosacosrmM
ifadesinde tablodan alınan değerler ve λ=r/l yerlerine konularak { }ϕ⋅−ϕ−ϕω= 2coscossinarm2M r2
öteSy l
şeklinde belirlenir. Burada möte piston kütlesiyle biyel kütle indirgemesinde piston bağlantı noktasına isabet eden kütlenin toplamı; r, krank yarıçapı; l, biyel boyu; ω, krank açısal hızı; ϕ ise 1. silindir krank açısıdır. b) Strok diyagramları aşağıdaki gibi çizilirse, 2 zamanlı motor halinde düzgün bir güç dağılımına, buna karşılık 4 zamanlı motor halinde düzgün olmayan bir güç dağılımına yol açacağı anlaşılır.
1 3 2 4 E B G S S E
B GG S
E B B G
S E E B
1 4 3 2 G S E B
B G S E
E B G S
S E B G
0o
180o
360o
540o
720o
0o
90o
180o
270o
360o
2 Zamanlı Motor Hali 4 Zamanlı Motor Hali
17.04.2008 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40 p)
a) Holonomik sistemler için hareketin Lagrange denklemlerinin ifadesini yazınız. Bu ifadeyi, bir basit kütle-yay sisteminin hareket denklemini elde etmekte kullanarak örnekleyiniz.
b) Tipik bir asenkron elektrik motoru karakteristiği çizip önemli noktalarını ad belirterek işaretleyiniz. Böyle bir motorun sıfır hızda vereceği moment niçin önemlidir ve hangi makinalarda özellikle yüksek olması istenir, belirtiniz.
c) Bir rijid rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır? Kavramsal olarak belirtiniz. d)
SORU 2 (30 p) SORU 3 (30 p) Şekilde 4 zamanlı bir içten yanmalı motorun n=3000 d/dak hızıyla çalışması haline ilişkin döndürme ve iş momenti diyagramlarının bir peryodluk kısmı gösterilmiştir. a) Mile indirgenmiş eylemsizlik momentinin sabit kısmı 0.129I = kg.m2 olarak bilinen bu motorun çalışması sırasında hız dalgalanma katsayısının δ=0.01 değerinde kalabilmesi için krank miline bağlanması gereken eylemsizlik çarkını hesaplayınız. b) Bu durumda milin en yüksek ve en düşük hızları ne olur ve diyagramın hangi noktalarında ortaya çıkar? Belirtiniz.
Şekilde, F kuvvetiyle P yükünün etkisinde bulunan bir el presi gösterilmiştir. 2 ve 3 no.lu uzuvlar 3a ve a boyunda, ince, düzgün kesitli birer homojen çubuk kabul edildiğine, uzuv kütleleri m2, m3 ve m4 olarak verildiğine ve ağırlık kuvvetlerinin hesaba katılmaması istendiğine göre;
a) Presin )(ϕℑ genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(ϕ) genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,
b) (Bu makina için anlamlı olmasa da) Eksergian hareket denklemini elde ediniz,
c) Mekanik kazancın a ve ϕ’ye bağlı ifadesini veriniz.
a a
3a
O
A B
C
F
Pϕ
OA=AB=a
2
4
3 x
y
Şekilde gösterilen presin ϕ=0.3π rad konumu için gerçekleştirilen bir hız çözümlemesinden aşağıdaki tabloda verilen sonuçlar elde edildiğine göre, pres bu konumdayken 6 no.lu uzva etkiyen P kuvvetini karşılamak için 2 no.lu uzva uygulanması gereken M momentini hesaplayınız. ϕ[rad] ϕ& [rad/s] 3s& [rad/s] 4s& [rad/s] 5s& [rad/s] 6s& [m/s]
0.3π 2π -0.046 -0.505 2.607 -0.185
x
y
1
2
3
4
5
6MP
s6
s3
s5 s4
ϕ
17.04.2008 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI YANITLAR
SORU 1 (40 p)
a) 10p b) 12p c) (8p)
Statik Denge: Rotorun kütle merkezinin dönme ekseni üzerinde bulunması. Dinamik Denge: Dönme ekseninin rotorun bir asal eylemsizlik ekseni olması.
d) 10p
SORU 2 (30 p) a) Şekle göre, 2 no.lu uzvun sabit O noktası çevresinde daimi dönme, 4 no.lu uzvun doğrusal öteleme, 3 no.lu uzvun ise genel düzlemsel hareket yaptığına (König Teoremi uygulanacak); ayrıca geometriden, AOB açısının ABO açısına, dolayısıyla 2 no.lu uzvun açısal hızının 3 no.lununkine hep eşit kalacağına dikkat edilerek;
2
2
2
2
32
23
2
2
2 42
332
2)(ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ&&
&
&&
& Bs Vs
v
O mimmim +++=ℑ
2
2
32
23
23
2 42
332
2ϕϕ &
&
&
&&Bss x
s
xx
O mimmim +++=+
(i)
2 no. lu uzva dik etkiyen F kuvvetinin, -3aF momenti şeklinde hesaba katılabileceğini değerlendirerek de
ϕϕ
ϕϕ&&
& BVPaFQ ⋅−⋅−= 3)( (ii)
a a
3a
O
AB
C
F
Pϕ
OA=AB=a
2
4
3x
y
ϕ[rad] ϕ& [rad/s] 3s& [rad/s] 4s& [rad/s] 5s& [rad/s] 6s& [m/s]
0.3π 2π -0.046 -0.505 2.607 -0.185
0sPM 6 =⋅+ϕ⋅ && , 0185.0P2M =⋅−π⋅ → M=0.0294P x
y
1
2
3
4
5
6MP
s6
s3
s5 s4
ϕ
yazılır. Burada, ince, düzgün kesitli, homojen çubuklar için 2121
lmIs = olduğuna göre
22s a
121i
3= (iii)
ayrıca Huygens-Steiner Teoremi de kullanılarak
22
22
2O a3
2a3)a3(
121i =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= (iv)
hesaplanır. Gereken hızlar da
ϕcos2
33
axs = → ϕϕ && sin2
33
axs −= , (v)
ϕsin23ays = → ϕϕ && cos
23ays = , (vi)
ϕcos2axB = → ϕϕ && sin2axB −= (vii) şeklinde belirlendikten sonra (iii-vii) → (i) ile
ϕϕϕϕ 224
23
2223
22 sin4
121)sin9(cos
413)( amamamam ++++=ℑ
ϕϕ 224
23
223
22 sin4
121)sin81(
413 amamamam ++++=
ϕ224332
2 sin)2(2)9(31 ammmma +++= (viii)
ve (vii) → (ii) ile
ϕ+−=ϕ
⋅−ϕϕ
⋅−=ϕ sinPa2Fa3V
Pa3F)(Q B&&
& (ix)
bulunur. b)
)t,,(Q)(C)( 2 ϕϕ=ϕ⋅ϕ+ϕ⋅ϕℑ &&&& den
ϕ+==ϕ ϕϕℑ 2sina)m2m()(C 2
43d)(d
21
ile Eksergian hareket denklemi
ϕ+−=ϕϕ++ϕ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ϕ+++ sinPa2Fa32sina)m2m(sina)m2m(2)mm9(a31 22
4322
43322 &&&
şeklinde elde edilir. c) (ix) denkleminden,
→=ϕ 0)(Qϕ
=sin2
F3P → ϕ
==ϕηsin23
FP)(
hesaplanır.
SORU 3 (30 p) YANIT 3
a) Verilenlerden, birikimli iş fazlalıklarının alan karşılıkları:
A12= 0.67 cm2 A16= 1.77 cm2 (A1M) A13= 0.02 cm2 A17= 0.02 cm2 A14= 1.77 cm2 (A1M) A18= 0.67 cm2
A15= 1.56 cm2 A19= 0.0 cm2 (A1m) Buradan enerji/alan ölçeğinin kea=128 J/cm2 olduğuna dikkat edilerek
( )
( ) IIII 230
n
m1M1ea2
m1M12
AAkWWWv −=−=−=
⋅π⋅δ
−
ϖ⋅δ
−
ϖ⋅δ∆
1.0129.0I 2
30300001.0
]0.077.1[128v ≅−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅π⋅
−⋅ kg.m2
bulunur. b)
n2
nn minmaks =+
→ n2nn minmaks =+ (1)
δ=−n
nn minmaks → nnn minmaks δ=− (2)
(1)+(2) → 3015)2
1(nn maks =δ
+= d/dak (4 ve 6 noktalarında),
2985)2
1(nn min =δ
−= d/dak (1=9 noktasında).
04.12.2008 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40p) SORU 2 (30p) Şekilde 4 zamanlı bir içten yanmalı motorun n=3000 d/dak hızıyla çalışması haline ilişkin döndürme ve iş momenti diyagramlarının bir peryodluk kısmı gösterilmiştir. Mile indirgenmiş eylemsizlik momentinin sabit kısmı
0.75I = kg.m2 olarak bilinen bu motorun çalışması sırasında hız dalgalanma katsayısının δ=0.004 değerinde kalmasını sağlamak üzere krank miline r=20 cm yarıçaplı homojen bir dairesel levhadan ibaret bir eylemsizlik çarkı bağlanacaktır. a) Çarkın m kütlesi ne olmalıdır? b) Bu durumda milin en yüksek ve en düşük hızları ne olur ve diyagramın hangi noktalarında ortaya çıkar? SORU 3 (30p)
y
x
ω
1,2 3,4
z
y
x a
a
a
1
2
3
4
0
Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 4 silindirli bir sıra motor ve ona ait krank yıldızı gösterilmiştir. a) Bu motoru sarsma kuvvet ve momentlerinin dengesi bakımından inceleyiniz. Varsa, ω sabit hızıyla dönmesi
halinde krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz. b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu krank yıldızı tasarımının, güç dağılımının düzgünlüğü
bakımından, kaç zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olduğunu belirleyiniz.
ϕ [rad]
M [N.m]
2.42 cm2
2.47 cm2
2.27 cm2
2.22 cm2
Md Mw
1 2 3 4 5
π 2π 3π 4π 0 300 200 100
0 100 200 300 400
1 cm2=200 N.m
r m
Şekilde AoA=AB=AC=r olacak şekilde çok özel boyutlara sahip bir mekanizma gösterilmiştir. Mekanizmada 2 ve 3 no.lu uzuvlar ince, düzgün kesitli ve homojen birer çubuktan ibarettir. m2=m, m3=2m, m4=m5=3mverildiğine göre;
a) Mekanizma kütlesini dinamik eşdeğer olarak S2, A, B ve C noktalarına yerleştirilecek maddesel noktalara indirgeyiniz,
b) ℑ(ϕ) genelleştirilmiş eylemsizliğini belirleyiniz, c) 2 no.lu uzuv M(t) momentinin, 4 no.lu uzuv F(t) kuvvetinin etkisi
altında bulunduğuna ve bunlar dışındaki tüm kuvvetler göz ardı edildiğine göre mekanizmanın hareket denklemini elde ediniz.
C
B
A
x
y
2
S2
3
ϕ 4
5
M(t) F(t)
Ao
137
MAKİNA TEORİSİ 2. YILİÇİ SINAVI (2008-2009)
YANITLAR YANIT 1 a) 15p 2 No.lu uzuv için (Hareketsiz Ao noktasına gelen kütle bir yana bırakılarak) :
6m
r
r)2(A )m(m
2r
2121
=⋅=⋅
3m2r)2(
S )m(1m2r
2r
2121
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⋅
3 No.lu uzuv için:
( )( ) 3
mr2rr2)3(
C)3(
B )m2(mm2
121
=⋅==⋅
( )
3m4
r.rr2)3(
A )m2(1m2
121
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Sonuç olarak tüm mekanizma için:
2m3
3m4
6m)3(
A)2(
AA mmm =+=+=
3m10
3m
5)3(
BB m3mmm =+=+=
3m10
3m
4)3(
CC m3mmm =+=+=
3m2)2(
SS mm2
==
bulunur. b) 16p
2
2C
2
2B
2
2A
2
22S
2
xC
yB
vA
vS mmmm)(
ϕϕϕϕ+++=ϕℑ
&
&
&
&
&&
yazılıp burada (a)’da hesaplanan kütleler ile ϕ= &2
r2Sv , ϕ= &rvA ,
ϕ= sinr2yB → ϕϕ= && cosr2yB , ϕ= cosr2xC → ϕϕ−= && sinr2xC dikkate alınırsa
2223m1022
3m102
2m3
4r
3m2 mr15sinr4cosr4r)(
2=ϕ+ϕ++=ϕℑ (Sabit)
bulunur.
138
c) 9p
)t(Fsinr2)t(M)t(F)t(M)(Q Cx⋅ϕ−=+=ϕ
ϕ&&
hesaplandıktan sonra (b)’de bulunan )(ϕℑ ile
)(Q)( 2d
)(d21 ϕ=ϕ⋅+ϕ⋅ϕℑ
ϕϕℑ
&&&
şeklindeki Eksergian hareket denklemi yazılırsa
)t(Fsinr2)t(Mmr15 2 ⋅ϕ−=ϕ⋅ &&
ya da
)t(Msin)t(rF2mr15 2 =ϕ+ϕ⋅ && elde edilir. YANIT 2 a) 22p İş fazlalıklarının alan karşılıkları şekilden alınıp birikimli iş fazlalıkları hesaplansın:
42.2A12 += cm2 42.2A12 += cm2 → M1A −
47.2A23 −= cm2 05.0AAA 231213 −=+= cm2 → m1A −
27.2A34 += cm2 22.2AAA 341314 +=+= cm2
22.2A45 −= cm2 0AAA 451415 =+= Buna göre
( ) ( )
5.075.0III 23030002
30n
m1M1a/e2
004.0
)05.042.2(200)AA(kWv ≅−=−=−=
⋅π⋅π
−−
⋅
+
⋅δ
−
ϖ⋅δ∆ kg.m2
hesaplanır. Buradan da
221
v mrI = → 25m 22v
2.05.02
r
I2=== ⋅ kg
bulunur. b) 8p
En yüksek hız 30063000)1(n)1(n 2004.0
2maks =+=+= δ d/dak olup 2 noktasında
En düşük hız 29943000)1(n)1(n 2004.0
2min =−=−= δ d/dak olup 3 noktasında ortaya çıkar.
139
YANIT 3 a) 22p Tablo düzenleyerek hesap yapılırsa:
1. mertebeden sarsma kuvvetleri dengelenmiş; buna karşılık 2. mertebeden sarsma kuvvetleri ile hem 1 hem 2. mertebeden sarsma momentleri dengelenmemiştir. Dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadesi, tablodan alınan değerler yardımıyla ve λ=r/l ilgili formülde yerine konularak ϕ⋅ω= 2cosm4F 2r
öteSx
2
l
{ }ϕ⋅+ϕ−ω= 2cos6cos4armM r2
öteSy l
şeklinde belirlenir. Burada möte piston kütlesiyle biyel kütle indirgemesinde piston bağlantı noktasına isabet eden kütlenin toplamı; r, krank yarıçapı; ℓ, biyel boyu; ω, krank açısal hızı; ϕ ise 1. silindir krank açısıdır. b) 8p Strok diyagramları aşağıdaki gibi çizilirse, bu krank yıldızı tasarımının 4 zamanlı motor halinde düzgün bir güç dağılımına, buna karşılık 2 zamanlı motor halinde düzgün olmayan bir güç dağılımına yol açacağı anlaşılır.
1 3 2 4 G S E B
B G S E
E B G S
S E B G
1 2 3 4 G G E E
B B S S
E E G G
S S B B
0o
180o
360o
540o
720o
4 Zamanlı Motor Hali
Ateşleme sırası →
0o
90o
180o
270o
360o
Ateşleme sırası →
2 Zamanlı Motor Hali
17.04.2009 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (30 p)
a) Bir içten yanmalı motorda krank yıldızı neye denir ve tasarımı hangi hususlar dikkate alınarak yapılır? b) Tipik bir asenkron elektrik motoru karakteristiği çizip önemli noktalarını ad belirterek işaretleyiniz.
Böyle bir motorun sıfır hızda vereceği moment niçin önemlidir ve hangi makinalarda özellikle yüksek olması istenir, belirtiniz.
c) SORU 3 (25 p) Şekilde, üzerinde dört dengesizlik taşıyan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden r=24 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. SORU 4 (20 p) Şekildeki sistemin sönümsüz serbest titreşimlerinin doğal frekansını
a) Sistem parametreleri cinsinden elde ediniz, b) k=3900 N/m, m=4 kg verileri ile sayısal olarak hesaplayınız.
Şekilde bir kaldırma makinasının taşıyıcı eline ait mekanizma, boyutlarıyla birlikte gösterilmiştir. Mekanizma x eksenine göre tam bakışımlı (simetrik) olduğuna ve q=0.44 m konumu için gerçekleştirilen bir konum ve hız çözümlemesinden aşağıdaki tabloda verilen sonuçlar elde edildiğine göre, 1 uzvu sabit tutulup, askısından P kuvveti uygulandığında, mekanizmanın bu konumdayken, tuttuğu cisme uygulayacağı F sıkma kuvvetini P cinsinden hesaplayınız.
q[m] q& [m/s] 3s [rad] 4s [rad] 3s& [rad/s] 4s& [rad/s]
0.44 10 0.545 2.619 16.487 8.876
y
A
B
C
D
P
O
α
s3
s4
q
AB=60 cm BC=110 cm OC=86 cm CD=66 cm α=60o
2
4
3 1
F F
m1=3 kg, m2=5 kg, m3=2 kg, r1=0.25 cm, r2=0.10 cm, r3=0.35 cm
21
L R
z
20 20 40 cm
3
30y
300700
x
2
3
1
r3
r2 r1
SORU 2 (25 p) Uzuv kütleleri m2=2m, m3=4m ve m4=8m olarak bilinen ve 2 no.lu uzvu e=2r/3 eksantrikliğine sahip r yarıçaplı bir dairesel diskten ibaret olan şekildeki makina, F3=2F ve F4=5Fkuvvetleriyle M2(q) momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek; a) Makinanın Eksergian hareket denklemini elde ediniz, b) 2 no.lu uzvu sabit ωq =& açısal hızıyla çevirebilmek için
uygulanması gereken M2(q) momentini belirleyiniz. c) M2(q) ≡ 0 özel halinde makinanın denge konumunu belirleyiniz,
m
4m
k
3k
a
3a
x1
x2
1
2
3
4
s3
s4
M2
F3=2F
F4=5Fe
O
A q
17.04.2009 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (30 p)
a) Bir içten yanmalı motorda krank yıldızı neye denir ve tasarımı hangi hususlar dikkate alınarak yapılır? b) Tipik bir asenkron elektrik motoru karakteristiği çizip önemli noktalarını ad belirterek işaretleyiniz.
Böyle bir motorun sıfır hızda vereceği moment niçin önemlidir ve hangi makinalarda özellikle yüksek olması istenir, belirtiniz.
c) YANIT 1-c Elin uygulayacağı kuvvet yerine ele etkiyen ve onun ters işaretlisi olan şekildeki F kuvveti dikkate alınarak ve simetriden, bir F ile hesap yapılıp 2 ile çarpılarak statik denge koşulu yazılırsa
0F2P qy
qx DA =+
&&
&&
→ PFD
Ay2
x&
&−= (i)
elde edilir. Şekilden ve verilerden, qx A && = , (ii)
)ssin(CDOCy 4D α++= →
( ) 070.5876.8619.2cos66.0s)scos(CDy 344D −=⋅+=⋅α+= π&& m/s (iii)
belirlenip (i)’de yerine konulursa
P986.0PF )070.5(210 ⋅=−=
−⋅
bulunur.
Şekilde bir kaldırma makinasının taşıyıcı eline ait mekanizma, boyutlarıyla birlikte gösterilmiştir. Mekanizma x eksenine göre tam bakışımlı (simetrik) olduğuna ve q=0.44 m konumu için gerçekleştirilen bir konum ve hız çözümlemesinden aşağıdaki tabloda verilen sonuçlar elde edildiğine göre, 1 uzvu sabit tutulup, askısından P kuvveti uygulandığında, mekanizmanın bu konumdayken tutacağı bir cisme uygulayacağı F sıkma kuvvetini P cinsinden hesaplayınız.
q[m] q& [m/s] 3s [rad] 4s [rad] 3s& [rad/s] 4s& [rad/s]
0.44 10 0.545 2.619 16.487 8.876
y
A
B
C
D
P
O
α
s3
s4
q
AB=60 cm BC=110 cm OC=86 cm CD=66 cm α=60o
2
4
3 1
F F
SORU 2 (25 p) Uzuv kütleleri m2=2m, m3=4m ve m4=8m olarak bilinen ve 2 no.lu uzvu e=2r/3 eksantrikliğine sahip r yarıçaplı bir dairesel diskten ibaret olan şekildeki makina, F3=2F ve F4=5Fkuvvetleriyle M2(q) momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek; a) Makinanın Eksergian hareket denklemini elde ediniz, b) M2(q) ≡ 0 özel halinde makinanın denge konumunu belirleyiniz,
1
2
3
4
s3
s4
M2
F3=2F
F4=5Fe
O
A q
YANIT 2 a) Önce makinanın gnl. eylemsizliği belirlensin:
2
24
2
24
23
q
s4q
ss3
O2 mmI)q(
&
&
&
&&++=ℑ
+ (i)
( ) ( ) 2183422
32
212
22
221O
2 mrrm2emrmI =⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +== (ii)
qsines3 = → qqcoses3 && =
qcoses4 = → qqsines4 && −= (iii)
(ii),(iii)→(i):
( ) ( )( ) qsinm8)m4(mr)q( 223r22
3r22
1834 ++=ℑ
ya da
qsinmrmr)q( 229
3223
11 +=ℑ . (iv)
Şimdi de gnl. kuvvet belirlensin:
qs
4qs
3243 FF)q(M)q(Q&
&
&
&−−= (v)
(ii)→(v):
( ) ( ) qsin)F5(qcos)F2()q(M)q(Q 3r2
3r2
2 +−=
ya da
qsinFrqcosFr)q(M)q(Q 310
34
2 +−= . (vi)
buna gore
)q(Qqq)q( 2dq
)q(d21 =⋅+⋅ℑ ℑ
&&&
şeklindeki Eksergian hareket denklemi anımsanıp, burada (iv) ve (vi) denklemlerindeki ifadeler yerine konulur ve gereken hesaplar yapılırsa
( ) )q(MqsinqcosFrqqcosqsinqmr)qsin( 2310
342
93222
932
311 =−+⋅+⋅+ &&& (vii)
elde edilir. b) (vi)’dan M2(q)=0 ile kolayca
o1041 8.21tanq == −
hesaplanır.
SORU 3 (25 p) Şekilde, üzerinde dört dengesizlik taşıyan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden r=24 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. YANIT 3 Aşağıda, problemin, bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.
Buradan okunan sonuçlara göre; 232.0
xL =∆ kg.cm
058.2yL −=∆ kg.cm
071.2L =∆ kg.cm → g3.86kg0863.0m 24071.2
rLL ====
∆
oL 558.83−=α
409.0xR −=∆ kg.cm
804.1yR =∆ kg.cm
849.1R =∆ kg.cm → g0.77kg0770.0m 24849.1
rLL ====
∆
oL 774.102=α
belirlenir.
m1=3 kg, m2=5 kg, m3=2 kg, r1=0.25 cm, r2=0.10 cm, r3=0.35 cm
21
L R
z
20 20 40 cm
3
30y
300700
x
2
3
1
r3
r2r1
10.12.2009 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40p)
a) İdeal sistem nedir? İdeal sistem-ideal olmayan sistem ayrımı niçin önemlidir? Kısaca belirtiniz.
b) Şekilde görülen m kütleli axa kare levhayı dinamik eşdeğer olarak A, B ve S noktalarına yerleştirilecek noktasal kütlelere indirgeyiniz. c) Bir makinada eylemsizlik çarkı hangi amaçlarla kullanılabilir?
Kısaca belirtiniz. d) Bir rijid rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır? Kavramsal olarak belirtiniz. e) Bir makinada kuvvet çözümlemesi problemi denildiğinde ne anlaşılır? Zorunlu hareketli düzlemsel
makinalar için bu problemin denklem sayısı-bilinmeyen sayısı muhasebesini gerçekleştiriniz. SORU 2 (30p) SORU 3 (30p)
Şekildeki makinada her bir uzvun mi kütlesi, 2 no.lu uzvun O noktasına göre iO2 eylemsizlik yarıçapı ve diğer uzuvların Si kütle merkezlerine göre iSi eylemsizlik yarıçapları bilinmektedir (m2, m3, m4, m5, m6; iO2, iS3, iS5). Makinanın 2 no.lu uzvu M momentinin, 4 ve 6 no.lu uzuvları ise, sırasıyla, F4 ve F6 kuvvetlerinin etkisi altında bulunduğuna, bir ucu A diğer ucu B mafsalına bağlı olan kyayı ϕ=0 iken gerilmesiz olduğuna ve bütün ağırlık kuvvetleri göz ardı edildiğine göre, bu makinanın;
a) ℑ(ϕ) genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(ϕ)genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,
b) Hareket denklemini elde ediniz. c) M=0 ve F4=F6=F olması halinde makinayı ϕ=45o
konumunda dengede tutmak için F ne olmalıdır? F=F(k,a,b) şeklinde hesaplayınız.
b
a
ϕ x
y
A=S3
B=S5
O
M 1
23
4
5
6
F4
k
F6
Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 3silindirli bir sıra motor ve ona ait 3x120o lik krank yıldızı tasarımı gösterilmiştir. a) Bu tasarımı, sarsma kuvvet ve momentlerinin dengesi
bakımından inceleyiniz. Varsa, ω sabit hızıyla dönmesi halinde krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz.
b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu tasarımın, güç dağılımının düzgünlüğü bakımından, 2 ya da 4 zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olup olmadığınıirdeleyiniz.
c) Sorudaki “dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş” ifadesi ne anlama gelmektedir ve burada niçin kullanılmıştır? Belirtiniz.
z
y
x a
a
1
2 3
0
ω
1
3
23x120o
A B S
m
a
a
10.12.2009 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40p)
a) İdeal sistem nedir? İdeal sistem-ideal olmayan sistem ayrımı niçin önemlidir? Kısaca belirtiniz.
b) Şekilde görülen m kütleli axa kare levhayı dinamik eşdeğer olarak A, B ve S noktalarına yerleştirilecek noktasal kütlelere indirgeyiniz. c) Bir makinada eylemsizlik çarkı hangi amaçlarla kullanılabilir?
Kısaca belirtiniz. d) Bir rijid rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır? Kavramsal olarak belirtiniz. e) Bir makinada kuvvet çözümlemesi problemi denildiğinde ne anlaşılır? Zorunlu hareketli
düzlemsel makinalar için bu problemin denklem sayısı-bilinmeyen sayısı muhasebesini gerçekleştiriniz.
YANIT 1
b) Tablo 2.1, Dikdörtgenler Prizması satırından,
2S
26122
121S mima)aa(mI z ==+= → 6
a2S
2i = , (i)
Geometriden,
a2AB == l , 2
aBABSAS ==== ll , (ii)
bulunduktan sonra ilgili formüllerden,
6m
a2
iA mmm
2a
62a
A
2S ===ll
, (iii)
6m
a2
iB mmm
2a
62a
B
2S ===ll
, (iv)
3m2
6m
BAS 2m)mm(mm =−=+−= (v)
hesaplanır.
SORU 2 (30p)
Şekildeki makinada her bir uzvun mi kütlesi, 2 no.lu uzvun O noktasına göre iO2 eylemsizlik yarıçapı ve diğer uzuvların Si kütle merkezlerine göre iSi eylemsizlik yarıçapları bilinmektedir (m2, m3, m4, m5, m6; iO2, iS3, iS5). Makinanın 2 no.lu uzvu M momentinin, 4 ve 6 no.lu uzuvları ise, sırasıyla, F4 ve F6 kuvvetlerinin etkisi altında bulunduğuna, bir ucu A diğer ucu B mafsalına bağlı olan kyayı ϕ=0 iken gerilmesiz olduğuna ve bütün ağırlık kuvvetleri göz ardı edildiğine göre, bu makinanın;
a) ℑ(ϕ) genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(ϕ)genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,
b) Hareket denklemini elde ediniz. c) M=0 ve F4=F6=F olması halinde makinayı ϕ=45o
konumunda dengede tutmak için F ne olmalıdır? F=F(k,a,b) şeklinde hesaplayınız.
A BS
m
a
a
b
a
ϕ x
y
A=S3
B=S5
O
M 1
23
4
5
6
F4
k
F6
YANIT 2 a) Genelleştirilmiş eylemsizlik: 2 no.lu uzvun ϕ dönmesi, 4 ve 6 no.lu uzuvların, yA ve yB ötelemesi, 3 ve 5 no.lu uzuvların ise hem ϕ dönmesi hem yA ve yB ötelemesi yaptığına dikkat edilerek;
2
2B
2
2A
2
2
532
y65
y43
2S5
2S3
2O2 )mm()mm()imimim()(
ϕϕϕ
ϕ ++++++=ϕℑ&
&
&
&
&
& (i)
yazılır. Burada ϕ⋅= tanayA → ϕ=
ϕ&& 2cos
aAy ,
ϕ⋅= tanbyB → ϕ=ϕ&& 2cos
bBy (ii)
yerine konularak da
ϕ
++++++=ϕℑ 4
265
243
532 cos
b)mm(a)mm(2S5
2S3
2O2 imimim)( (iii)
elde edilir. Genelleştirilmiş Kuvvet: Yay kuvveti PE aracılığıyla dikkate alınarak
ϕϕ
ϕϕϕϕ −−+=ϕ d
)(dVy6
y4
BA FFM)(Q&
&
&
&
&
&
yazılır. Burada (ii) denklemleri ve
( )2
cos1
21 1abk)(V ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=ϕ
ϕ→ ( )
ϕ
ϕϕϕ
ϕ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−= 2cos
sincos
12d
)(dV 1abk (iv)
dikkate alınarak
( )ϕ
ϕϕϕ
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−+=ϕ 22
64
cos
sincos
12cos
bFaF 1abkM)(Q
ya da
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ϕ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+−+=ϕ
ϕϕsin1abkbFaFM)(Q cos
1264cos
12 (v)
elde edilir.
b) )(Q)( 2d
)(d21 ϕ=ϕ⋅+ϕ⋅ϕℑ
ϕϕℑ
&&& (vi)
şeklindeki Eksergian hareket denklemi yazılmak istensin. Denk. (iii)’den
[ ]ϕ
ϕϕϕℑ +++==ϕ 5cos
sin265
243d
)(d21 b)mm(a)mm(2)(C (vii)
hesaplandıktan sonra (iii), (v), (vii) → (vi) ile
ϕ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
ϕ
+++&&
4
265
243
532 cos
b)mm(a)mm(2S5
2S3
2O2 imimim
[ ] 2cossin2
652
43 5b)mm(a)mm(2 ϕ⋅++++ϕ
ϕ&
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ϕ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+−+=
ϕϕsin1abkbFaFM cos
1264cos
12
elde edilir.
c) Denk. (v)’ten M=0 ve F4=F6=F, ϕ=45o yerlerine konularak denge için
( ) 01abk)ba(F2)45(Q2
12o =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+−=
yazılır. Buradan da
( ) ( ) ( )kba2929.0kab2929.0kab1)b,a,k(FF2
1 −=−−=−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −==
bulunur. (Bu sonuca göre, denge için, F4 ve F6 kuvvetlerinin yönleri değiştirilmelidir.) SORU 3 (30p) YANIT 3 a) Tablo doldurularak hesap yapılırsa
elde edilir. 1. ve 2. mertebeden sarsma kuvvetleri dengelenmiş, 1. ve 2. mertebeden sarsma momentleri ise dengelenmemiştir. Dengelenmemiş momentin ifadesi
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕ⋅λ+
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕω= ∑ ∑∑∑
= ===
n
1i
n
1iiiiii
n
1ii
n
1iii
2öte
Sy 2sina2sin2cosa2cossinasincosacosrmM
ifadesinde tablodan alınan değerler ve λ=r/l yerlerine konularak { })2sin866.02cos5.1(sin866.0cos5.1armM r2
öteSy ϕ−ϕ−⋅+ϕ+ϕ−ω=
l
ya da
{ })2sin2cos3(sincos3armM r2öte2
3Sy ϕ+ϕ⋅−ϕ+ϕ−ω=
l
Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 3silindirli bir sıra motor ve ona ait 3x120o lik krank yıldızı tasarımı gösterilmiştir. a) Bu tasarımı, sarsma kuvvet ve momentlerinin dengesi
bakımından inceleyiniz. Varsa, ω sabit hızıyla dönmesi halinde krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz.
b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu tasarımın, güç dağılımının düzgünlüğü bakımından, 2 ya da 4 zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olup olmadığınıirdeleyiniz.
c) Sorudaki “dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş” ifadesi ne anlama gelmektedir ve burada niçin kullanılmıştır? Belirtiniz.
z
y
x a
a
1
2 3
0
ω
1
3
23x120o
şeklinde belirlenir. Burada möte, piston kütlesiyle biyel kütle indirgemesinde piston bağlantı noktasına isabet eden kütlenin toplamı; r, krank yarıçapı; l, biyel boyu; ω, krank açısal hızı; ϕ ise 1. silindir krank açısıdır. b) Strok diyagramları aşağıdaki gibi çizilirse, bu tasarımın hem 4 zamanlı hem 2 zamanlı motorlarda düzgün olmayan bir güç dağılımına yol açacağı anlaşılır.
c) Kranka, mdön, biyel kütle indirgemesinde krank bağlantı noktasına isabet eden kütle ile bu noktaya taşınmış krank kütlesinin toplamı olmak üzere rmrm döndd = olacak biçimde dengeleme kütleleri yerleştirilmiş olduğunu gösterir. Bu bilgi, (a)’daki hesap bu dengelemenin yapılıp sarsma kuvvetlerinin y bileşeninin tamamen yok edilmiş olduğu varsayımına dayalı olduğu için verilmiştir.
1 3 2 E B G S
E B
G S
E B
G S E B
1 2 3 E B G S
E B G
S E
B G
S E B
1 3 2 E B G S
E
G S
B
G S E B
4 Zamanlı
180o
360o
540o
720o
0o 0o
90o
180o
270o
360o
120o
240o
240o
480o
2 Zamanlı
Atş. Sr. Atş. Sr.
28.04.2010
MAKİNA TEORİSİ 2. YILİÇİ SINAVI
SORU 1
SORU 2
SORU 3
Şekildeki makinanın 2 no.lu uzvu r boyunda, ince,
düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibarettir. Makina, 4
no.lu uzvuna etkiyen F kuvvetinin, 2 no.lu uzvuna uygulanan
M(q) momentinin ve tüm uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin
etkisi altında bulunduğuna ve uzuv kütleleri
m2=6m, m3=2m, m4=16m
şeklinde verildiğine göre;
a) Makinanın hareket denklemini elde ediniz.
b) 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek
için uygulanması gereken M(q) momentini
belirleyiniz.
c) Makinayı q=25o konumunda dengede tutabilmek
için 2 no.lu uzva uygulanması gereken momenti
m=125 g, r=35 cm, F=50 N
verileri ile hesaplayınız.
Şekilde, türbini 3, kompresörü 6 kademeli bir
gaz türbininin rotoru gösterilmiştir. Rijid kabul edilen
rotorun 1 numaralı türbin düzlemi ile 5 ve 8 numaralı
kompresör düzlemlerinde Di=miri dengesizlikleri
bulunduğu anlaşılmıştır. Bu rotoru dengelemek üzere
şekilde gösterilen L ve R dengeleme düzlemlerine,
dönme ekseninden rL=45 cm ve rR=30 cm uzaklıklara
yerleştirilmesi gereken kütleleri ve bu kütlelerin hangi
açısal konumlara yerleştirilmeleri gerektiğini bulup,
bulduğunuz konumları çizeceğiniz bir eksen takımı
üzerinde gösteriniz.
D1=0.12 kg.cm, D5=0.16 kg.cm, D8=0.22 kg.cm
m
k
ℓ
ℓ
O
A
x
y
A
OA = r
O M(q)
1
2
3 4
q
F
y
35o
75o
x
D1
D8
D5
4 5 6 7 8 9 1 2 3
rR rL
z
130 cm 7x30 cm
Tü
rbin
Kompresör
L R
Şekilde statik denge konumunda gösterilmiş olan
sistemde, kütlesi ihmal edilen “L” şekilli rijid kol, m noktasal
kütlesini taşımaktadır. Sistemin bu konum civarındaki küçük
salınımlarının;
a) Diferansiyel denklemini elde ediniz,
b) Doğal frekansını sistem parametreleri cinsinden ifade
edip
k=0.2 kN/m, m=500 g, =0.6
için hesaplayınız,
c) (b)’deki verilerle, konumundan
rad/s ilk hızıyla başlayan hareketin (t)
ifadesini elde ediniz.
28.04.2010 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 YANIT 1
a) Korunumlu kuvvetler bir V(q) PE fonksiyonu yardımıyla dikkate alınarak, makinanın,
)q(Qqq)q( dq)q(dV2
dq)q(d
21 ′=+⋅+⋅ℑ ℑ
&&& (i)
şeklindeki Eksergian hareket denklemi yazılmak istensin. Bu amaçla;
2
2A
2
2A
2
2
q
y4q
v3q
q223
1 mmrm)q(&
&
&&
&++=ℑ (ii)
den qrvA &= ,
qsinryA = → qqcosryA && = (iii) ile
)qcos41(mr4)m16()m2(r)m6()q( 22q
)qqcosr(
q
)qr(
q
q231
2
2
2
2
2
2+=++=ℑ
&
&
&
&
&
&, (iv)
buradan da
qcosqsinmr32 2dq
)q(d −=ℑ, (v)
Şekildeki makinanın 2 no.lu uzvu r boyunda, ince, düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibarettir. Makina, 4 no.lu uzvuna etkiyen F kuvvetinin, 2 no.lu uzvuna uygulananM(q) momentinin ve tüm uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin etkisi altında bulunduğuna ve uzuv kütleleri
m2=6m, m3=2m, m4=16m
şeklinde verildiğine göre;
a) Makinanın hareket denklemini elde ediniz. b) 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek için
uygulanması gereken M(q) momentini belirleyiniz. c) Makinayı q=25o konumunda dengede tutabilmek
için 2 no.lu uzva uygulanması gereken momenti
m=125 g, r=35 cm, F=50 N
verileri ile hesaplayınız.
x
y
A
OA = r
O M(q)
1
2
3 4
q
F
ayrıca,
qsinmgr21gy)mm(gm)q(V A432y
2A ⋅=++= , (vi)
qcosmgr21dq)q(dV ⋅= (vii)
ve
qcosFr)q(MF)q(M)q(Q qy
qq A −=−=′
&
&
&
& (viii)
belirlenip Denk. (iv), (v), (vii), (viii) ile Denk. (i)’ye dönülürse, hareket denklemi
)q(Mqcosr)Fmg21(qqcosqsinmr16q)qcos41(mr4 2222 =⋅+⋅+−+ &&& (ix) şeklinde elde edilir.
b) Basitçe, Denk. (ix)’dan ω=q& , 0q =&& ile
22 qcosqsinmr16qcosr)Fmg21()q(M ω−⋅+⋅= (x) bulunur.
c) Yine Denk. (ix)’dan bu kez de 0q =& , 0q =&& ile
qcosr)Fmg21()q(M ⋅+⋅= , buradan da sayısal verilerle
2425cos35,0)5081,9125,021()25(M oo ≅⋅⋅+⋅⋅= N.m bulunur. SORU 2
Şekilde, türbini 3, kompresörü 6 kademeli bir
gaz türbininin rotoru gösterilmiştir. Rijid kabul edilen rotorun 1 numaralı türbin düzlemi ile 5 ve 8 numaralı kompresör düzlemlerinde Di=miri dengesizlikleri bulunduğu anlaşılmıştır. Bu rotoru dengelemek üzere şekilde gösterilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden rL=45 cm ve rR=30 cm uzaklıklara yerleştirilmesi gereken kütleleri ve bu kütlelerin hangi açısal konumlara yerleştirilmeleri gerektiğini bulup, bulduğunuz konumları çizeceğiniz bir eksen takımı üzerinde gösteriniz.
D1=0.12 kg.cm, D5=0.16 kg.cm, D8=0.22 kg.cm
y
35o
75o
x
D1
D8
D5
4 5 6 7 8 91 2 3
rR rL
z
130 cm 7x30 cm
Türb
in
Kompresör
L R
YANIT 2 Aşağıda, problemin, bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.
Buradan okunan sonuçlara göre; 112.0
xL −=∆ kg.cm
033.0yL =∆ kg.cm
117.0L =∆ kg.cm → g6.2kg106.2m 345117.0
rLL
L =⋅=== −∆
oL 7.163≅α
141.0xR =∆ kg.cm
114.0yR −=∆ kg.cm
182.0R =∆ kg.cm → g0.6kg100.6m 330182.0
rRR =⋅=== −∆
ooR 3210.39 =−=α
belirlenir. Sonuç şekilde verildiği gibidir.
x
y
mL
mR
rL
rR
αL=163.7o
αR=321o
16.12.2010
MAKİNA TEORİSİ 2. YILİÇİ SINAVI
SORU 2
Şekilde, üzerinde statik dengesiz üç disk taşıyan rijid bir rotor ve disk kütle merkezlerinin konumları gösterilmiştir.
Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden
r=37cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları
hesaplayınız. Bulduğunuz sonucu, çizeceğiniz bir eskiz üzerinde gösteriniz.
SORU 3 Şekildeki sistemde, 2m kütleli, r yarıçaplı bir dairesel silindirden
ibaret olan makara ile üzerine sarılı gergin ip arasında kayma yoktur.
Sistemin sönümsüz serbest titreşimlerinin; a) Diferansiyel denklemini elde ediniz, b) Doğal frekansını sistem parametreleri cinsinden belirleyiniz, c) m kütleli cismin, denge konumundan ilk hızıyla
fırlatılmasıyla başlayan titreşimlerinin genliğini ve x(t) ifadesini
elde ediniz.
m1=3 kg, m2=2 kg, m3=4 kg, r1=0.25 cm, r2=0.20 cm, r3=0.15 cm
SORU 1
Uzuv kütleleri m2=4m, m3=3m, m4=2m olarak bilinen ve 2 no.lu
uzvu e=3r/4 eksantrikliğine sahip r yarıçaplı bir dairesel diskten
ibaret olan şekildeki makina, F3=3F ve F4=2F kuvvetleriyle M2(q)
momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek;
a) Makinanın hareket denklemini elde ediniz,
b) 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek için uygulanması
gereken M2(q) momentinin ifadesini elde ediniz,
c) M2(q) 0 özel halinde makinanın denge konumunu
belirleyiniz.
2 1
L R
z
50 20 50 cm
3
40 y
300 40
0
x
2
3
1
r3
r2 r1
1
2 3
4
s4
s3
M2(q) (q)
F3=3F
F4=2F
e O
S
q
r
16.12.2010 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI YANITLAR
YANIT 1 a) Önce makinanın gnl. eylemsizliği belirlensin: 2 no.lu uzvun O çevresinde dönme (q), 3 ve 4 no.lu uzuvların öteleme (s3 ve s4) hareketleri yaptığına dikkat edilerek bu yapılırsa,
2
24
2
23
q
s4q
s3
O2 mmI)q(
&
&
&
&++=ℑ (i)
( ) ( ) 24
172243
212
22
221O
2 mrrm4emrmI =⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=+= (ii)
qcosers3 += → qqsinrqqsines 43
3 &&& −=−=
qsiners4 += → qqcosrqqcoses 43
4 &&& == (iii)
(ii),(iii)→(i):
( ) ( )( )qsinmrmr)(qcosmrqsinmrmr
qcosm2qsin)m3(mr)q(
221692
1618
41722
161822
16272
417
224r322
4r32
417
++=++=
++=ℑ
ya da
qsinmrmr)q( 221692
843 +=ℑ . (iv)
Şimdi de gnl. kuvvet belirlensin:
qs
4qs
3243 FF)q(M)q(Q&
&
&
&−−= (v)
(iii)→(v):
SORU 1 Uzuv kütleleri m2=4m, m3=3m, m4=2m olarak bilinen ve 2 no.lu uzvu e=3r/4 eksantrikliğine sahip r yarıçaplı bir dairesel diskten ibaret olan şekildeki makina, F3=3F ve F4=2F kuvvetleriyle M2(q) momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek; a) Makinanın hareket denklemini elde ediniz, b) 2 no.lu uzvu sabit ω hızıyla döndürebilmek için uygulanması
gereken M2(q) momentinin ifadesini elde ediniz, c) M2(q) ≡ 0 özel halinde makinanın denge konumunu
belirleyiniz.
( ) ( ) qcos)F2(qsin)F3()q(M)q(Q 4r3
4r3
2 −+=
ya da
)qcos2qsin3()q(M)q(Q 4Fr3
2 −+= . (vi)
buna gore
)q(Qqq)q( 2dq
)q(d21 =⋅+⋅ℑ ℑ
&&&
şeklindeki Eksergian hareket denklemi anımsanıp, burada (iv) ve (vi) denklemlerindeki ifadeler yerine konulur ve gereken hesaplar yapılırsa
)qcos2qsin3()q(Mqqcosqsinmrqmr)qsin( 4Fr3
222
16922
169
843 −+=⋅+⋅+ &&& (vii)
elde edilir. b) (vii)’den ,0q =&& ,q ω=& ile,
)qcos2qsin3(qcosqsinmr)q(M 4Fr322
169
2 −−ω⋅=
hesaplanır. c) (vi)’dan Q(q)=0, M2(q)=0 ile kolayca
o321 69.33tanq == −
hesaplanır. SORU 2 Şekilde, üzerinde statik dengesiz üç disk taşıyan rijid bir rotor ve disk kütle merkezlerinin konumları gösterilmiştir. Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden r=37cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. Bulduğunuz sonucu, çizeceğiniz bir eskiz üzerinde gösteriniz.
m1=3 kg, m2=2 kg, m3=4 kg, r1=0.25 cm, r2=0.20 cm, r3=0.15 cm
21
L R
z
50 20 50 cm
3
40 y
300 400
x
2
3
1
r3
r2 r1
YANIT 2 Aşağıda, problemin bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.
Buradan okunan sonuçlara göre; 804.0
xL =∆ kg.cm
243.1yL −=∆ kg.cm
480.1L =∆ kg.cm → g40kg040.0m 37480.1
rLL ====
∆
ooL 885.302115.57 =−=α
576.0xR −=∆ kg.cm
161.1yR =∆ kg.cm
296.1R =∆ kg.cm → g35kg035.0m 37296.1
rLR ====
∆
oR 373.116=α
belirlenir. Bulunan sonuçlar şekilde gösterildiği gibidir.
No a [cm] zi [cm] mi [kg] ri [cm] α i [o] α i [rad] ∆Lx i ∆Ly i ∆Rx i ∆Ry i1 70 -40 3 0,25 140 2,443 0,903 -0,758 -0,328 0,2752 70 50 2 0,2 30 0,524 -0,099 -0,057 -0,247 -0,1433 70 120 4 0,15 270 4,712 0,000 -0,429 0,000 1,029
0,804 -1,243 -0,576 1,161∆Lx ∆Ly ∆Rx ∆Ry
∆L [kg.cm] ∆R [kg.cm]αL [o] αR [o]
ROTOR DENGELEME
1,480525-57,114740
1,296090116,373017
27.04.2011 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40 p) SORU 2 (30 p) Şekilde, üzerinde üç dengesizlik bulunan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotorun dinamik dengesini sağlamak üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden 0,04 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları belirleyiniz, belirlediğiniz konumları bir eskiz üzerinde gösteriniz.
Şekildeki, özel boyutlandırılmış makina, her biri 2r boy ve m kütlesine sahip, ince, düzgün kesitli, homojen üç adet çubuk (Is=1/12 mçubℓ2
çub) ile her biri m/3 kütlesine sahip dört adet pistondan oluşmaktadır.
a) Makina kütlesini A,B,C,D,E ve F noktalarına konulacak noktasal kütlelere indirgeyiniz,
b) 2 no.lu uzuv M(ϕ) momentinin, 6 ve 7 no.lu uzuvlar ise F6=3F ve F7=2F kuvvetlerinin etkisinde bulunduğuna göre, sürtünme kuvvetlerini ihmal edip ağırlık kuvvetlerini göz önüne alarak, makinanın Eksergian hareket denklemini elde ediniz,
c) 2 no.lu uzvu sabit ω hızıyla döndürebilmek için bu uzva uygulanması gereken M(ϕ) momentini belirleyiniz.
SORU 3 (30 p)
Şekilde statik denge konumunda gösterilen sistemde, O noktasından mafsallanmış, ince, düzgün kesitli, homojen ve rijid m,ℓ çubuğunun bu konum civarındaki küçük ϕ(t) salınımlarının;
a) Diferansiyel denklemini elde ediniz, b) Doğal frekansını hesaplayınız.
m
ℓ
ϕ(t)
F6=3F
C
O ϕ
y
x
A
1
B
OA=OB= AC=AE= BD=BF= r
D
F
E
F7=2F 2
3
4
5
6
7
8
M(ϕ)
20 kg
L R
20
50 cm
15
0,015 cm
10
400
100
30 kg
15 kg
0,020 cm 0,025 cm
27.04.2011 MAKİNA TEORİSİ
2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40 p) YANIT 1 a) Önce, 2 no.lu çubuğun kütlesi A, O ve B noktalarına indirgensin
2312
121
S mr)r2(mI == → 2312
S ri = (i)
ile
6m
r2rr)2(
B)2(
A mmm2
31
=⋅==⋅
3m2
rrr)2(
O m1m2
31
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⋅ (O hareketsiz olduğu için bu hesap gereksiz)
3 ve 4 no.lu çubuklar için benzer hesap ile;
6m)4(
F)4(
D)3(
E)3(
C mmmm ====
3m2)4(
B)3(
A mm == .
Sonuç olarak tüm mekanizma için:
6m5
3m2
6m)3(
A)2(
AA mmm =+=+=
6m5
AB mm ==
2m
3m
6m
5)3(
CC mmm =+=+= (ii)
2m
CFED mmmm ====
bulunur.
Şekildeki, özel boyutlandırılmış makina, her biri 2r boy ve m kütlesine sahip, ince, düzgün kesitli, homojen üç adet çubuk (Is=1/12 mçubℓ2
çub) ile her biri m/3 kütlesine sahip dört adet pistondan oluşmaktadır.
a) Makina kütlesini A,B,C,D,E ve F noktalarına konulacak noktasal kütlelere indirgeyiniz,
b) 2 no.lu uzuv M(ϕ) momentinin, 6 ve 7 no.lu uzuvlar ise F6=3F ve F7=2F kuvvetlerinin etkisinde bulunduğuna göre, sürtünme kuvvetlerini ihmal edip ağırlık kuvvetlerini göz önüne alarak, makinanın Eksergian hareket denklemini elde ediniz,
c) 2 no.lu uzvu sabit ω hızıyla döndürebilmek için bu uzva uygulanması gereken M(ϕ) momentini belirleyiniz.
F6=3F
C
O ϕ
y
x
A
1
B
OA=OB= AC=AE= BD=BF= r
D
F
E
F7=2F 2
3
4
5
6
7
8
M(ϕ)
b) Yukarıdaki indirgemeden yaralanılarak genelleştirilmiş eylemsizlik,
2
2F
2
2E
2
2D
2
2C
2
2B
2
2A v
Fv
Ev
Dv
Cv
Bv
A mmmmmm)(ϕϕϕϕϕϕ
+++++=ϕℑ&&&&&&
(iii)
şeklinde hesaplanabilir. Burada ϕ== &rvv BA ,
ϕ=−= cosr2xx DC → ϕϕ−=−= &&& sinr2xx DC → 2222D
2C sinr4vv ϕϕ== & (iv)
ϕ=−= sinr2yy FE → ϕϕ=−= &&& cosr2yy FE → 2222F
2E cosr4vv ϕϕ== &
ve Denk. (ii) dikkate alınırsa
23
17222235
22FE
22DC
2BA
mr)cos(sinmr4mr
cosr4)mm(sinr4)mm(r)mm()(
=ϕ+ϕ+=
ϕ++ϕ+++=ϕℑ (v)
bulunur. Makinanın gnl. eylemsizliği sabittir. Şimdi de genelleştirilmiş kuvvet hesaplanırsa, A ile B’ye etkiyecek ağırlık kuvvetleriyle E ile F’ye etkiyecek olanların birbirini götüreceğine dikkat edilip bu kuvvetler hiç hesaba katılmadan,
)cos3sin2(Fr2)(M
)cosr2(F3)sinr2(F2)(MF3F2)(M)(Q ED yx
ϕ−ϕ+ϕ=
ϕ−ϕ⋅+ϕ=−+ϕ=ϕϕϕ &
&
&
&
(vi)
bulunur. Buna göre,
)(Q)( 2d
)(d21 ϕ=ϕ⋅+ϕ⋅ϕℑ
ϕϕℑ
&&&
şeklindeki hareket denklemi yazılırsa,
)cos3sin2(Fr2)(Mmr23
17 ϕ−ϕ+ϕ=ϕ⋅ && (vii)
elde edilir. c) Dönme hızının sabit olması istendiğine göre, Denk. (vii)’de 0=ϕ&& konularak )sin2cos3(Fr2)(M ϕ−ϕ=ϕ bulunur.
SORU 2 (30 p) Şekilde, üzerinde üç dengesizlik bulunan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotorun dinamik dengesini sağlamak üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden 0,04 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları belirleyiniz, belirlediğiniz konumları bir eskiz üzerinde gösteriniz. YANIT 2 Önce sisteme, şekildeki rotora bağlı eksen takımı yerleştirilsin. Buna dayanılarak yapılan tespitlerle, aşağıda, problemin bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.
Buradan okunan sonuçlara göre; -0,0620
xL =∆ kg.cm
0,0487yL =∆ kg.cm
0,0788L =∆ kg.cm → kg970,1m 04,00,0788
rLL
L ===∆
oL 141,8=α
Ve
ROTOR DENGELEME
No a [cm]
zi [cm]
mi [kg]
ri [cm]
αi [o] ∆Lx i ∆Ly i ∆Rx i ∆Ry i
1 50 10 15 0,015 260 0,0313 0,1773 0,0078 0,0443
2 50 30 20 0,025 40 -0,1532
-0,1286
-0,2298
-0,1928
3 50 45 30 0,02 180 0,0600 0,0000 0,5400 0,0000 ∆Lx ∆Ly ∆Rx ∆Ry
-0,0620 0,0487 0,3180
-0,1485
∆L [kg.cm] ∆R [kg.cm] 0,0788 0,3510 αL [o] αR [o]
141,825 -25,035
rL [cm] rR [cm] mL [kg] mR [kg] 0,04 0,04 1,9702 8,7743
20 kg
L R
20
50 cm
15
0,015 cm
10
400
100
30 kg
15 kg
0,020 cm 0,025 cm
y
x
y
z
0,3180xR =∆ kg.cm
-0,1485yR =∆ kg.cm
0,3510R =∆ kg.cm → kg774,8m 04,00,3510
rRR ===
∆
ooR 0,335-25,0 ==α
belirlenir. Sonuç şekilde verildiği gibidir.
YANIT 3 a) ϕ(t)=0 statik denge konumu olarak seçildiğinden, bu konumda birbirini dengeleyen ağırlık ve yay kuvvetleri
devre dışı bırakılır ve küçük salınımlar kabulüyle lineerleştirme yapılırsa, hareketi yöneten dif. Denk.,
0)ba(km 22231 =ϕ++ϕ&&l (i)
ya da
0mk)ba(3
2
22=ϕ+ϕ +
l&& (ii)
şeklinde elde edilir. Burada, çubuğun O’ya göre kütlesel eylemsizlik momenti, Huygens-Steiner teoreminden
2312
22
1212
2SO m)(mm)(mII ll ll =+=+= şeklinde hesaplanıp kullanılmıştır.
b) Denk. (ii)’den doğal frekans hemen,
mk)ba(3
mk)ba(3
n22
2
22⋅==ω
++ll
rad/s (iii)
olarak bulunur.
SORU 3 (30 p)
Şekilde statik denge konumunda gösterilen sistemde, O noktasından mafsallanmış, ince, düzgün kesitli, homojen ve rijid m,ℓ çubuğunun bu konum civarındaki küçük ϕ(t) salınımlarının;
a) Diferansiyel denklemini elde ediniz, b) Doğal frekansını hesaplayınız.
m
ℓ
ϕ(t)
x
y
mL
mR
rL
rR
αL=141,8o
αR=335,0o
15.12.2011
MAKİNA TEORİSİ 2. YILİÇİ SINAVI
SORU 1 (20p) Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız:
a) İdeal Sistem neye denir, bir sistemin ideal olup olmaması niçin önemlidir?
b) Virtüel İşler İlkesi nedir? Kelimelerle ifade ediniz.
c) Bir rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır?
d) Bir sistemin doğal frekansı denildiğinde ne anlaşılır?
SORU 2 (25p)
SORU 3 (30p)
c) Makinanın hareket denklemini elde ediniz.
d) Diğer kuvvetler aynı kalmak kaydıyla, 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek için ve makinayı q=30o
konumunda sabit tutabilmek için M(q) momentinin ne olması gerekir, ayrı ayrı belirleyiniz.
SORU 4 (25p)
Şekilde statik denge konumunda gösterilen sistemde, kütlesel eylemsizlik
momenti J olarak bilinen makara ile üzerine sarılı uzamayan ipler arasında kayma
yoktur. Sistemin sönümsüz serbest titreşimlerinin; a) Diferansiyel denklemini elde ediniz, b) Doğal frekansını sistem parametreleri cinsinden belirleyiniz, c) m kütleli cismin, denge konumundan ilk hızıyla başlatılan
titreşimlerinin genliğini ve x(t) ifadesini elde ediniz.
Şekilde, peryodik çevrimli bir makinada mile
indirgenmiş momentlerin bir peryod boyunca değişimi,
milin n=600 dev/dak hızıyla dönmesi hali için
gösterilmiştir. Makinanın mile indirgenmiş eylemsizlik
momentinin sabit kısmı 21I , kg.m2 olarak bilindiğine
göre;
a) Bu haliyle makinanın maksimum ve minimum hızları
ne olur ve diyagramın hangi noktalarında ortaya çıkar,
belirleyiniz.
b) Hız dalgalanma katsayısının =0,02 değerini alması için
mile eklenmesi gereken eylemsizlik çarkını hesaplayınız.
Tüm uzuv kütlelerinin m2=m3=…=m7=m
şeklinde birbirine eşit olduğu bilinen, 7 no.lu uzvu r
yarıçaplı homojen bir disk, 2 ve 3 no.lu uzuvları ise 2r
boyunda, ince, düzgün kesitli, homojen birer çubuk kabul
edilen şekildeki makina, F kuvvetinin, M(q) momentinin
ve uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin etkisi altındadır.
a) a) 2, 3, 4, 5 ve 6 no.lu uzuvların kütlelerini, dinamik
eşdeğer olarak, O, A, B, C ve D noktalarına indirgeyiniz.
b) b) a şıkkındaki sonuçlardan yararlanarak, makinanın
genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(q) genelleştirilmiş
kuvvetini belirleyiniz.
[rad]
2,04cm2 0,54cm
2
0,76 1,82
1 2 3 4
5
1 cm2=240 N.m
M+= Mç+Me+Mk M
-=Mw+Ms
M [N.m]
C
O
q
F
y
x
A
1
D
r
x
B
r r
1
1
7
6
2 3
4
5
M(q)
k
m
x
15.12.2011
MAKİNA TEORİSİ 2. YILİÇİ SINAVI
SORU 1 (20p) Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız:
a) İdeal Sistem neye denir, bir sistemin ideal olup olmaması niçin önemlidir?
b) Virtüel İşler İlkesi nedir? Kelimelerle ifade ediniz.
c) Bir rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır?
d) Bir sistemin doğal frekansı denildiğinde ne anlaşılır?
SORU 2 (25p)
YANIT 2 (25p)
a) İş fazlalıklarının alan karşılıkları şekilden alınıp birikimli iş fazlalıklarına karşılık gelen alanlar hesaplansın:
04.2A12 cm2 04.2A12 cm
2 → 1MA (Maks.)
76.0A23 cm2 28.1AAA 231213 cm
2
54.0A34 cm2
82.1AAA 341314 cm2
82.1A45 cm2 0AAA 451415 cm
2 → 1mA (Min.)
Buna göre, şekilde verilen enerji/alan ölçeği de kullanılarak
6.489)004.2(240)AA(kW m1M1a/e Nm.
Ayrıca
2030600
30n
rad/s
Buradan ve
2
Wv II
den Iv=0 ile bu durumdaki hız dalgalanma katsayısı
1.022 )20(2.1
6.489
I
W
Şekilde, peryodik çevrimli bir makinada mile
indirgenmiş momentlerin bir peryod boyunca değişimi,
milin n=600 dev/dak hızıyla dönmesi hali için
gösterilmiştir. Makinanın mile indirgenmiş eylemsizlik
momentinin sabit kısmı 21I , kg.m2 olarak bilindiğine
göre;
a) Bu haliyle makinanın maksimum ve minimum hızları
ne olur ve diyagramın hangi noktalarında ortaya çıkar,
belirleyiniz.
b) Hız dalgalanma katsayısının =0,02 değerini alması için
mile eklenmesi gereken eylemsizlik çarkını hesaplayınız.
[rad]
2,04cm2 0,54cm
2
0,76 1,82
1 2 3 4
5
1 cm2=240 N.m
M+= Mç+Me+Mk M
-=Mw+Ms
M [N.m]
Oysa ve ’nin tanımlarından
630600)2
1.01(n)
21(nmaks
dev/dak 2 Noktasında
570600)2
1.01(n)
21(nmin
dev/dak 5(≡1) Noktasında
b) İstenen için
52.1II22 )20(02.0
6.489Wv kg.m
2
SORU 3 (30p)
c) Makinanın hareket denklemini elde ediniz.
d) Diğer kuvvetler aynı kalmak kaydıyla, 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek için ve makinayı q=30o
konumunda sabit tutabilmek için M(q) momentinin ne olması gerekir, ayrı ayrı belirleyiniz.
YANIT 3 (30p)
a) Önce, 2 no.lu çubuğun kütlesi O, A ve D noktalarına indirgensin
2
3
12
12
1S mr)r2(mI →
2
3
12S ri (i)
ile
6
m
r2r
r)2(D
)2(O
mmm
2
31
(O hareketsiz olduğu için ilgili hesap gereksiz)
3
m2
rr
r)2(A
m1m
2
31
3 no.lu çubuk için benzer hesap ile;
6
m)3(B
)3(C
mm
3
m2)3(A
m .
Sonuç olarak 7 no.lu uzuv hariç tüm mekanizma için:
3
m4
3
m2
3
m2)3(A
)2(AA mmm
Tüm uzuv kütlelerinin m2=m3=…=m7=m
şeklinde birbirine eşit olduğu bilinen, 7 no.lu uzvu r
yarıçaplı homojen bir disk, 2 ve 3 no.lu uzuvları ise 2r
boyunda, ince, düzgün kesitli, homojen birer çubuk kabul
edilen şekildeki makina, F kuvvetinin, M(q) momentinin
ve uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin etkisi altındadır.
a) a) 2, 3, 4, 5 ve 6 no.lu uzuvların kütlelerini, dinamik
eşdeğer olarak, O, A, B, C ve D noktalarına indirgeyiniz.
b) b) a şıkkındaki sonuçlardan yararlanarak, makinanın
genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(q) genelleştirilmiş
kuvvetini belirleyiniz.
C
O
q
F
y
x
A
1
D
r
x
B
r r
1
1
7
6
2 3
4
5
M(q)
6
m7
6
m6
)3(BB mmmm
6
m7
6
m5
)3(CC mmmm (ii)
6
m7
6
m4
)2(DD mmmm
bulunur.
b) Yukarıdaki indirgemeden yaralanılarak genelleştirilmiş eylemsizlik,
2
2
2
2D
2
2C
2
2B
2
2A
q
2
2
1
q
vD
q
v
Cq
vB
q
v
A )mr(mmmm)q(
(iii)
şeklinde hesaplanabilir. Burada şekil yardımıyla
qrvA ,
qr2vD ,
qcosr2xB → qqsinr2xB →2222
B qqsinr4v (iv)
qsinr2yC → qqcosr2yC →2222
C qqcosr4v
ve
qqsin2r
x B (v)
belirlenir ve Denk. (ii) de dikkate alınarak Denk. (iii)'e dönülürse,
22
3
32
222
6
2822
6
2822
6
282
3
4
mr)qsin2(
qsinmr2mrqcosmrqsinmrmr)q( (vi)
bulunur.
Şimdi de genelleştirilmiş kuvvet hesaplanırsa, ağırlık kuvvetleri V(q) potansiyel enerji fonksiyonu
yardımıyla hesaba katılarak
dq
)q(dV
q
y
q
CF)q(M)q(Q
(vii)
yazılabilir. Burada
qsinmgr6qsinr2gqsingr
gy)mm(gymgymgymgym)q(V
6
m14
3
m4
CDCAADDCCAA (viii)
dikkate alınarak hesap yapılırsa
qcosr)mg6F2(qsin)q(M2
qcosmgr6qcosFr2qsin)q(M2)q(Q (ix)
bulunur.
c) Yukarıdaki sonuçlar kullanılarak
)q(Qqq)q( 2
dq
)q(d
2
1
şeklindeki hareket denklemi yazılırsa,
qcosr)mg6F2(qsin)q(M2qqcosqsinmr2qmr)qsin2( 2222
3
32 (x)
ya da
qcosr)mg3F(qsin)q(Mqqcosqsinmrqmr)qsin( 2222
3
16 (xi)
elde edilir.
c) Dönme hızının sabit olması istendiğinde, Denk. (xi)’de q,0q konularak
qcosmr)q(Mqsin
r)mg3F(22 , (xii)
makinanın sabit tutulması istendiğinde de Denk. (xi)’de 30q,0q,0q konularak,
r)mg3F(732,1r)mg3F()30(M30tan
1 , (xiii)
bulunur. Eksi işareti M'nin yönünün şekildekinin tersi olacağını göstermektedir.
25.4.2012
MAKİNA TEORİSİ 2. Yıliçi Sınavı
SORU 1 (20 p) Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız:
a) Hız dalgalanma katsayısı ne işe yarar ve nasıl tanımlanır?
b) Zorunlu hareketli bir makinada mafsal ve yatak kuvvetlerinin hesaplanması probleminin
bilinmeyen ve denklem sayılarının bir muhasebesini yapınız.
c) Bir makinada, sarsma kuvvetlerinin yok edilmesinin makina kütle dağılımı bakımından koşulu
nedir? Kavramsal olarak belirtiniz.
SORU 2 (30 p)
SORU 3 (20 p) Şekilde, üzerinde statik dengesiz üç disk taşıyan rijid bir rotor ve disk kütle
merkezlerinin konumları gösterilmiştir. Bu rotoru dinamik olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L
ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden 35 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir.
Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. Bulduğunuz sonucu,
çizeceğiniz bir şekil üzerinde gösteriniz.
m1=3 kg, m2=2 kg, m3=4 kg, r1=0.25 cm, r2=0.20 cm, r3=0.15 cm
Üç uzvunun kütleleri mA=mB=m ve mC=2m olarak verilmiş
olan ve P yükü, F kuvveti ve kütlesi verilen uzuvlarının ağırlık
kuvvetlerinin etkisinde bulunan şekildeki “X” tipi kaldırma
platformunda, her biri a boyunda olan, X şeklinde bağlı 2 özdeş
taşıyıcı çubuğun kütlelerini göz ardı ederek;
a) Makinanın )q( genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(q)
genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,
b) Makina hareket denklemini elde ediniz,
c) Platformu belli bir q konumunda dengede tutmak için
uygulanması gereken F kuvvetinin q’ye bağlı ifadesini
veriniz.
SORU 4 (30 p) Şekilde statik denge konumunda gösterilen
sistemde, ince, düzgün kesitli, homojen ve rijid m,ℓ çubuğunun
O mafsalı çevresindeki küçük genlikli (t) salınımlarının;
a) Diferansiyel denklemini elde edip doğal frekansını şekilde
verilen parametreler cinsinden belirleyiniz,
b) m=5 kg, k=3920 N/m, =1/3, =1/2 verildiğine göre,
çubuğun (0)=0.14 rad konumundan ilk
hızıyla başlayan hareketinin (t) ifadesini elde ediniz; bu
hareketin peryod ve genliğini belirleyiniz.
k
m
ℓ
β.ℓ
O
.ℓ
(t)
y
30o 45
o
x
2
3
1
r3
r2 r
1 2
1
L R
z
50 70
3
40 15 15
F
C
O q
P y
x
a/2
A
a/2
mA
mC
B
mB
25.4.2012
MAKİNA TEORİSİ 2. Yıliçi Sınavı
SORU 1 (20 p) Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız:
a) Hız dalgalanma katsayısı ne işe yarar ve nasıl tanımlanır?
b) Zorunlu hareketli bir makinada mafsal ve yatak kuvvetlerinin hesaplanması probleminin
bilinmeyen ve denklem sayılarının bir muhasebesini yapınız.
c) Bir makinada, sarsma kuvvetlerinin yok edilmesinin makina kütle dağılımı bakımından koşulu
nedir? Kavramsal olarak belirtiniz.
SORU 2 (30 p)
YANIT 2
a) Göz ardı edilmeyen mA ve mC kütlelerine sahip uzuvların doğrusal, mB kütlesine sahip uzvun ise
dairesel öteleme hareketi yaptığı dikkate alınarak,
2
2C
2
2B
2
2A
q
y
Cq
vB
q
x
A mmm)q(
(i)
den
qcos2x2a
A → qqsinaxA
qavB (ii)
qsin2y2
aC → qqcosayC
ile
)qcos2(maqcosa)m2(maqsinma)q( 2222222, (iii)
bulunur. Genelleştirilmiş kuvvet için ise, kuvvetlerin yönlerine dikkat edilerek ve mB, mC kütleli uzuvların
ağırlıkları dikkate alınarak,
qcosa)mg3P(qsinFa]g)mm(P[F)q(Qq
yCBq
x CA
(iv)
elde edilir. (İstenirse, ağırlık kuvvetleri bir PE ifadesi üzerinden hesaplanarak da aynı sonuca gelinebilirdi.)
Üç uzvunun kütleleri mA=mB=m ve mC=2m olarak verilmiş
olan ve P yükü, F kuvveti ve kütlesi verilen uzuvlarının ağırlık
kuvvetlerinin etkisinde bulunan şekildeki “X” tipi kaldırma
platformunda, her biri a boyunda olan, X şeklinde bağlı 2 özdeş
taşıyıcı çubuğun kütlelerini göz ardı ederek;
a) Makinanın )q( genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(q)
genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,
b) Makina hareket denklemini elde ediniz,
c) Platformu belli bir q konumunda dengede tutmak için
uygulanması gereken F kuvvetinin q’ye bağlı ifadesini
veriniz.
F
C
O q
P y
x
a/2
A
a/2
mA
mC
B
mB
b) Makina hareket denklemi,
)q(Qqq)q( 2
dq
)q(d
2
1 (v)
şeklinde yazılmak istensin. Bu amaçla Denk. (iii)'den
qcosqsinma2 2
dq
)q(d, (vi)
hesaplandıktan sonra Denk. (iii-vi) ile Denk. (v)'e dönülürse,
qcosa)mg3P(qsinFaqqcosqsinmaq)qcos2(ma 2222 (vii)
ya da
0qsinFqcos)mg3P(]qqcosqsinq)qcos2[(ma 22 (vii)
elde edilir.
c) Denge koşulu için Denk. (iv)'ten Q(q)=0 yazıp (ya da Denk. (vii)’de 0q , 0q deyip) F çekilerek
qtan
mg3P
qsin
qcos)mg3P()q(F (viii)
elde edilir.
SORU 3 (20 p) Şekilde, üzerinde statik dengesiz üç disk taşıyan rijid bir rotor ve disk kütle
merkezlerinin konumları gösterilmiştir. Bu rotoru dinamik olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L
ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden 35 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir.
Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. Bulduğunuz sonucu,
çizeceğiniz bir şekil üzerinde gösteriniz.
m1=3 kg, m2=2 kg, m3=4 kg, r1=0.25 cm, r2=0.20 cm, r3=0.15 cm
y
30o 45
o
x
2
3
1
r3
r2 r
1 2
1
L R
z
50 70 cm
3
40 15 15
YANIT 3 Aşağıda, problemin, bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.
ROTOR DENGELEME
No a [cm] zi [cm] mi [kg] ri [cm]
i [o]
Lx i Ly i Rx i Ry i
1 120 -40 3 0,25 135 0,7071 -0,7071 -0,1768 0,1768
2 120 50 2 0,2 30 -0,2021 -0,1167 -0,1443 -0,0833
3 120 120 4 0,15 270 0,0000 0,0000 0,0000 0,6000
Lx Ly Rx Ry
0,5050 -0,8238 -0,3211 0,6934
L [kg.cm] R [kg.cm]
0,9663 0,7642
L [o] R [o]
-58,489 114,848
rL [cm] rR [cm]
mL [kg] mR [kg]
35 35
0,0276 0,0218
Buradan okunan sonuçlara göre;
5050.0cosrm)1(
i
iiia
zL
i
x kg.cm
8238.0sinrm)1(
i
iiia
zL
i
ykg.cm
9663.0)()( 2L
2LL yx
kg.cm → g6.27kg106.27m 3
35
9663.0
rLL
L
5.301489.58tan
xL
yL1L
**************************************************
3211.0cosrm
i
iiia
zR
i
x kg.cm
6934.0sinrm
i
iiia
zRy
ikg.cm
7642.0)()( 2R
2RR yx
kg.cm → g8.21kg108.21m 3
35
7642.0
rRR
8.114848.114tan
xR
yR1R
belirlenir. Sonuç şekilde verildiği gibidir.
x
y
mR
mL
rR
rL
R=114.8o
L=301.5o
29.04.2013
MAKİNA TEORİSİ 2. YILİÇİ SINAVI
(2012-2013 BAHAR)
SORU 1 (25p)
SORU 2 (40p)
SORU 3 (35p)
Şekildeki makinada 3 ve 5 no.lu uzuvların kütleleri ihmal edilmekte
(m3=m4=0), ince, düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibaret olan 2 no.lu uzvun
kütlesi m2=2m, 4 ve 6 no.lu uzuvlarınki ise m4=m6=m olarak bilinmektedir.
Makina, uzuv ağırlık kuvvetlerinin ve 2 no.lu uzva etkiyen M momentiyle 6 no.lu
uzva etkiyen F kuvvetinin etkisi altında bulunduğuna ve bir ucu O yatağına diğer
ucu C mafsalına bağlı olan k yayının serbest boyu 2r olduğuna göre, (d şıkkına
kadar parametreler cinsinden çalışarak) bu makinanın;
a) (q) genelleştirilmiş eylemsizliğini,
b) Q(q) genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,
c) Hareket denklemini elde ediniz.
d) m=3kg, r=15cm verildiğine ve M=0, F=0 iken makinanın statik dengesi
q=30o konumunda oluştuğuna göre k yay katsayısını hesaplayınız.
C
O q
F
y
x
A
D
B r
1
2
3 5
M
r r
2r
k
4
6
OA=AB=AC=r BD=2r
Peryod 0
2
Şekilde, bir makinada, milin 300 dev/dak ortalama hız
ile dönmesi hali için elde edilmiş moment grafikleri ve Joule
cinsinden bazı alanlar verilmiştir.
a) Mile indirgenmiş kütlesel eylemsizlik momentinin sabit
kısmı 0.9 kgm² olarak bilinen bu makinada mil hızının 297-303
dev/dak aralığında kalmasını sağlamak üzere mile eklenmesi
gereken eylemsizlik çarkını belirleyiniz.
b) Çark olarak r=0.5 m yarıçaplı homojen bir disk
kullanılacağına göre bu diskin kütlesi ne olmalıdır, hesaplayınız.
Şekildeki sistemde hiç bir sürtünme bulunmamaktadır
ve P'den yataklanmış, Ip kütlesel eylemsizlik momentine sahip
iki kademeli makaraya sarılı ipler hep gergin kalmaktadır.
Şekilde verilen parametreler cinsinden çalışarak;
a) Sistemin hareketini yöneten diferansiyel denklemi,
b) Sistemin doğal frekansını belirleyiniz.
c) m=5 kg, k=1000 N/m, r=0,2 m, Ip=50 kg.m2 verildiğine
göre (0)=0 m konumundan ilk hızıyla başlayan
hareketin (t) ifadesini elde ediniz.
d) c şıkkında verilen hareketin genlik ve peryodunu
belirleyiniz.
x
P
IP
29.04.2013
MAKİNA TEORİSİ 2. YILİÇİ SINAVI
(2012-2013 BAHAR)
SORU 1 (25p)
YANIT 1 a) Hızın ekstremum olduğu noktalardan 2 noktası referans alınarak İş fazlalıkları şekilden okunsun (Ref alınan
noktanın hesap üzerinde hiç bir etkisi yoktur):
50W23 J, 30W34 J , 35W45 J, 551045W52 J .
Buna göre birikimli iş fazlalıkları
50W23 J
20WWW 342324 J
55WWW 452425 J → 2MW (Maks.)
0W22 J → 2mW (Min.)
ve
55055)WWW m2M2 J
Ayrıca verilerden
1030
300
30
n rad/s, 02.022
297303
297303
nn
nn
minmaks
minmaks, 9.0I kgm
2
Böylece
886.19.0II22 )10(02.0
55Wv kgm
2
b) Homojen disk için
2
2
1v mrI → kg15m
22
v
5.0
886.12
r
I2
Peryod 0
2
Şekilde, bir makinada, milin 300 dev/dak ortalama hız
ile dönmesi hali için elde edilmiş moment grafikleri ve Joule
cinsinden bazı alanlar verilmiştir.
a) Mile indirgenmiş kütlesel eylemsizlik momentinin sabit
kısmı 0.9 kgm² olarak bilinen bu makinada mil hızının 297-303
dev/dak aralığında kalmasını sağlamak üzere mile eklenmesi
gereken eylemsizlik çarkını belirleyiniz.
b) Çark olarak r=0.5 m yarıçaplı homojen bir disk
kullanılacağına göre bu diskin kütlesi ne olmalıdır, hesaplayınız.
SORU 2 (40p)
YANIT 2
a) 2 no.lu uzvun o çevresinde dönme, 4 ve 6 no.lu uzuvlarin öteleme har. yaptıklarına dikkat edilerek
2
2D
2
2C
q
v6
q
v
4O2
mmI)q(
(i)
yazılıp burada, Huygens-Steiner teoremine göre
2222
2S2
O2
mr3
8r)m2()r2)(m2(
12
1AOmII (ii)
ve şekilden
qsinr2yC → qqcosr2yv CC ,
(iii)
qsinr4yD → qqcosr4yv DD
dikkate alınırsa
qcosmr20mr3
8qcosmr16qcosmr4mr
3
8)q( 22222222
(iv)
bulunur.
b) q
y
6q
y
4Cq
y
2DCA )gmF(]gm)r2y(k[gmM)q(Q
(v)
yazılıp, burada Denk. (iii)’ün yanı sıra
qsinryA → qqcosryA (vi)
dikkate alınırsa
qcosr)]1q(sinkr4mg8F4[M
qcosr4)mgF(qcosr2]mg)r2qsinr2(k[qcosmgr2M)q(Q (vii)
Şekildeki makinada 3 ve 5 no.lu uzuvların kütleleri ihmal edilmekte
(m3=m4=0), ince, düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibaret olan 2 no.lu uzvun
kütlesi m2=2m, 4 ve 6 no.lu uzuvlarınki ise m4=m6=m olarak bilinmektedir.
Makina, uzuv ağırlık kuvvetlerinin ve 2 no.lu uzva etkiyen M momentiyle 6 no.lu
uzva etkiyen F kuvvetinin etkisi altında bulunduğuna ve bir ucu O yatağına diğer
ucu C mafsalına bağlı olan k yayının serbest boyu 2r olduğuna göre, (d şıkkına
kadar parametreler cinsinden çalışarak) bu makinanın;
a) (q) genelleştirilmiş eylemsizliğini,
b) Q(q) genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,
c) Hareket denklemini elde ediniz.
d) m=3kg, r=15cm verildiğine ve M=0, F=0 iken makinanın statik dengesi
q=30o konumunda oluştuğuna göre k yay katsayısını hesaplayınız.
C
O q
F
y
x
A
D
B r
1
2
3 5
M
r r
2r
k
4
6
OA=AB=AC=r BD=2r
elde edilir. Yay kuvveti PE aracılığıyla da hesaba katılabilirdi.
c) Denk. (iv)’ten
qcosqsinmr20dq
)q(d
2
1)q(C 2
hesaplandıktan sonra (a)’da bulunan )q( ve (b)’de bulunan Q(q) ile
)q(Qqq)q( 2
dq
)q(d
2
1
şeklindeki Eksergian hareket denklemi yazılırsa
qcosr)]1q(sinkr4mg8F4[Mqqcosqsinmr20q)qcosmr20mr3
8( 22222
elde edilir.
d) Denk. (vii)’deki Q(q) ifadesi kullanılarak, F=0, M=0 özel halinde statik denge koşulu
0qcosr)]1q(sinkr4mg8[ (q≠90o için) → 0)1q(sinkrmg2
verir ve buradan
8.784)30sin1(15.0
81.932
)qsin1(r
mg2k
o N/m
bulunur.
SORU 3 (35p)
YANIT 3
a) Şekildeki x, y ve koordinatları arasında
r2
x , 2
xry
kısıtları bulunduğu saptansın ve sistemin x koordinatına indirgenmiş eşdeğeri kurulsun. Koordinat başlangıcı olarak
sistemin statik denge konumunun seçilmesi ve buna dayanarak yaylardaki ön gerilme kuvvetlerinin ve (2m)
cisminin ağırlık kuvvetinin devre dışı bırakılmasıyla eşdeğer kütle ve eşdeğer yay:
Şekildeki sistemde hiç bir sürtünme bulunmamaktadır
ve P'den yataklanmış, Ip kütlesel eylemsizlik momentine sahip
iki kademeli makaraya sarılı ipler hep gergin kalmaktadır.
Şekilde verilen parametreler cinsinden çalışarak;
a) Sistemin hareketini yöneten diferansiyel denklemi,
b) Sistemin doğal frekansını belirleyiniz.
c) m=5 kg, k=1000 N/m, r=0,2 m, Ip=50 kg.m2 verildiğine
göre (0)=0 m konumundan ilk hızıyla başlayan
hareketin (t) ifadesini elde ediniz.
d) c şıkkında verilen hareketin genlik ve peryodunu
belirleyiniz.
x
P
IP
y
2eş2
12
2
P
4
1
2
12
2
P
22
12P2
12
2
12
2
1sis xmx)
r
Im9(x]
)r2(
I
)2(
mm2[Iymx)m2(T
)r
Im9(m
2
P
4
1eş
2
eş212
2212
212
21
sis xkx)]k2()2(
k[x)k2(kyU k
4
9keş
Böylece dif. denk.
0xkxm eşeş → 0xk
4
9x)
r
Im9(
2
P
4
1 → 0xkx)r9
Im(
2
P
şeklinde bulunur.
b) Buradan doğal frekans
P2
2
Peş
eş
Imr9
k
r9
Im
k
m
k
n r3
şeklinde hesaplanır.
c) Başlangıç koşulları, xo=0, vo=vo şeklindedir. x(t)=Acos nt+Bsin nt → A=0, B=vo/ n olduğuna göre hareket
x(t)=( vo/ n )sin nt
şeklindedir. Sayısal olarak,
636.22.03r3502.059
1000
Imr9
kn 2
P2
rad/s, 138.1636.2
3v
n
0 m
ile
t636.2sin138.1)t(x [m]
bulunmuş olur.
d) Genlik
X=1.138 m,
peryod ise
38.2636.2
22T
n
s
olarak hesaplanır.