RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB X

GESERAN (TRANSLASI)

disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd

Oleh

Niamatus Saadah 1201125122

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

2015

BAB X

GESERAN (TRANSLASI)

A. Ketentuan dan Sifat-sifat

Dalam bab setengah putaran, dijelaskan bahwa setengah putaran dapat

ditulis sebagai hasil kali dua pencerminan, yaitu kalau A sebuah titik yang

diketahui dan g dan h dua garis yang tegak lurus di A maka hgA MMS . Dalam

bab ini akan dibahas hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.

Teorema 10.1

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A danB

maka "" BBAA dengan )(" AMMA gh dan )(" BMMB gh

Pembuktian:

Diketahui : g // h, titik A dan titik B dengan A=MhMg(A) dan B"=MℎM𝑔(B).

Buktikan : AA"̅̅ ̅̅ ̅ = BB"̅̅ ̅̅ ̅.

Kita tentukan sebuah sistem koordinat dengan g sebagai sumbu-y dan sebuah

garis tegak lurus dengan g sebagai sumbu-x.

B

X

A A’’ A’

g

B’’ B’

N

h

Y

Ambil titik A dan B sebarang dengan A≠B dan A, B ∉ 𝑔 A, B ∉ ℎ

Andaikan A=(a1, a2) dan B=(b1, b2)

Akan dibuktikan SN(A)=B” dengan N adalah titik tengah BA"̅̅ ̅̅ ̅

Jelas g : x=0.

Andaikan persamaan garis h adalah x=n, n≠0.

Maka, Mg(A)=A' = (−a1, a2) dan

MhMg(A)=A" ⟺ Mℎ(A′)=A"

⟺ Mℎ(−a1, a2)=A"

⟺ ((−a1) + 2(𝑛 + a1), a2) = A"

⟺ (2𝑛 + a1, a2) = A"

Mg(B)=B' = (−b1, b2) dan

MhMg(B)=B" ⟺ Mℎ(B′)=B"

⟺ Mℎ(−b1, b2)=B"

⟺ ((−b1) + 2(𝑛 + b1), b2) = B"

⟺ (2𝑛 + b1, b2) = B"

Karena N titik tengah BA",̅̅ ̅̅ ̅̅

Maka

2,

2

2 2211 babanN

Diperoleh

2,

2

2 2211 babanN dan A=(a1, a2)

sehingga

2

221

11

22,

2

22)( a

baa

banASN

"

21 ,2

B

bbn

Dengan demikian maka AA"̅̅ ̅̅ ̅ = BB"̅̅ ̅̅ ̅

Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya

oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil

transformasi MhMg adalah seakan-akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang

sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).

Definisi :

Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah

𝐀𝐁̅̅ ̅̅ sehinga setiap titik P pada bidang menjadi P’ dengan G(P) = P’ dan

𝐏𝐏′̅̅ ̅̅ ̅ =̇ 𝐀𝐁.̅̅ ̅̅ ̅

Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau AB̅̅ ̅̅ suatu garis

berarah maka dengan lambang GAB dimaksudkan sebagai sebuah geseran yang

sesuai dengan AB̅̅ ̅̅ .

Teorema 10.2

Apabila 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ =̇ 𝐂𝐃̅̅ ̅̅ maka 𝐆𝐀𝐁 = 𝐆𝐂𝐃

Bukti:

Dipunyai CDAB

Ambil x sebarang

Misalkan 1)( xxGAB dan 2)( xxGCD

Maka ABxx 1 dan CDxx 2

Karena CDAB maka 21 xxxx

Ini berarti bahwa x1 = x 2

Jadi CDAB GG

Teorema 10.3

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan 𝐂𝐃̅̅ ̅̅ sebuah garis berarah

tegak lurus pada g dengan 𝐂 ∈ 𝒈 dan D ∈ 𝒉. Apabila 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ =̇ 𝟐𝐂𝐃̅̅ ̅̅ maka

GAB=MhMg

Bukti:

Ambil titik P sebarang.

Misal P’=GAB(P) dan P”=MhMg(P)

Akan dibuktikan P’=P”

Menurut definisi geseran PP′̅̅ ̅̅ =̇ AB̅̅ ̅̅

Karena AB̅̅ ̅̅ =̇ 2CD̅̅ ̅̅ , maka PP′̅̅ ̅̅ =̇ 2CD̅̅ ̅̅

Karena C ∈ 𝑔 maka MℎM𝑔(C) = Mℎ[M𝑔(C)] = Mℎ(C) = C"

Ini berarti D titik tengah CC"̅̅ ̅̅ ̅ , sehingga CC"̅̅ ̅̅ ̅ =̇ 2CD̅̅ ̅̅

Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh CC"̅̅ ̅̅ ̅ =̇ PP"̅̅ ̅̅ ̅

Jadi CC"̅̅ ̅̅ ̅ =̇ 2CD̅̅ ̅̅ =̇ PP′̅̅ ̅̅ =̇ PP"̅̅ ̅̅ ̅ akibatnya P’=P”

Jadi GAB(P)=MhMg(P)

Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg

Catatan

1. Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat ditulis

sebagai hasilkali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB ⃡ dan

berjarak 1

2AB.

2. Jika AB ⃡ sebuah garis dan M titik tengah AB̅̅ ̅̅ sedangkan g, h dan n tiga garis

masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada AB ⃡ maka

GAB=MhMg=MnMh.

3. Karena setiap geseran sebagai hasilkali dua reflexi sedangkan reflexi adalah

suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang

merupakan isometri. Jadi suatu reflexi adalah suatu isometri. Suatu geseran

adalah suatu isometri langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri

lawan.

A M

n h g

B

Teorema 10.4

Jika GAB sebuah geseran maka (GAB )-1 = GBA

Bukti:

Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3)

Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1)

Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1)

Maka setiap geseran memiliki balikan

Perhatikan gambar berikut:

Dari uraian diatas

Diperoleh GAB(A)=MhMg(A)

=Mh[Mg(A)]

=Mh(A)

=B

GAB(A)=MnMh(A)

=Mn[Mh(A)]

=Mn(B)

=B

Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh

Sedangkan GBA(B)=MhMn(B)

=Mh[Mn(B)]

=Mh(B)

=A

GBA(B)=MgMh(B)

=Mg[Mh(B)]

=Mg(A)

=A

Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh

Sehingga (GAB)-1= (MnMh)-1

= Mh-1

Mn-1

= MhMn

=GBA

Jadi (GAB)-1=GBA

n h g

A B C |

|

Teorema 10.5

Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga

𝐀𝐁̅̅ ̅̅ =̇ 𝟐𝐂𝐃̅̅ ̅̅ maka

GAB = SCSD

Bukti :

Andaikan 𝑔 = CD ⃡ , k g di C, m g di D (gambar 10.5)

Maka CD̅̅ ̅̅ ruas garis berarah dari k ke m. Karena AB̅̅ ̅̅ =̇ 2CD̅̅ ̅̅ maka GAB = MmMk

( Berdasarkan Teorema 10.3) ……………….(*)

sedangkan SD = MmMg

(Menurut Teorema 7.1 “andaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak

lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg )

dan SC = MgMk

(Menurut Teorema 7.1 “andaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak

lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk )

A

B

C

D

g

k

m

Gambar 10.5

D

g

m

Jadi :

SCSD = (MmMg)(MgMk)

= Mm (MgMg) Mk (Sifat asosiatif hasil kali transformasi)

= Mm I Mk

= MmMk …………………………………(**)

Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh :

GAB = SCSD

CONTOH:

Jika A = (3,-1), dan B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik-titik yang diketahui

tentukan sebuah titik D sehingga GAB = SCSD.

JAWAB:

sebuah titik sehingga, CE̅̅̅̅ =Pilih E

C

g

k

(Transformasi identitas)

6

2

0

1

3

4

5

Y

X -1 6 5 4 3 2 1

-4

-3

-2

-1

7

A

B

C

9

8

10

AB̅̅ ̅̅ maka E = (4 + [1 − 3], 2 + [7 − (−1)]) atau E = (2,10). Apabila D titik

tengah CE̅̅̅̅ maka D = (3,6) sehingga CE̅̅̅̅ = 2CD̅̅ ̅̅ .

Atau AB̅̅ ̅̅ = 2CD̅̅ ̅̅ .

Menurut Teorema 10.5 diperoleh GAB = SCSD jadi titik D yang dicari adalah

(3,6).

Teorema 10.6

Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu

setengah putaran.

Bukti:

Andaikan GAB suatu geseran.

Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga CE̅̅̅̅ =̇ AB̅̅ ̅̅

Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah CE̅̅̅̅ , berarti CE̅̅̅̅ =̇ 2CD̅̅ ̅̅

Menurut teorema 10. 5,

GAB = SDSC

⇔ GABSC = SDSCSC

⇔ GABSC = SD[SCSC]

⇔ GABSC = SDI

⇔ GABSC = SD

Jadi, komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah

putaran.

Akibat :

Andaikan 𝐒𝐀, 𝐒𝐁 dan 𝐒𝐂 masing-masing setengah putaran, maka

𝐒𝐂𝐒𝐁𝐒𝐀 = 𝐒𝐃 dengan D sebuah titik sehingga 𝐀𝐃 =̇ 𝐁𝐂.

Bukti :

Diperoleh berturut-turut 𝐒𝐂𝐒𝐁 = 𝐆𝐁𝐂

⇔ 𝐒𝐂𝐒𝐁𝐒𝐀 = 𝐆𝐁𝐂𝐒𝐀

Ambil titik X sebarang

Misal 𝐆𝐁𝐂𝐒𝐀 = 𝐒𝐗

Sehingga diperoleh 2BC̅̅̅̅ =̇ 2AX̅̅̅̅ atau BC̅̅̅̅ =̇ AX̅̅̅̅

Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan

titik D maka diperoleh

𝐆𝐁𝐂𝐒𝐀 = 𝐒𝐗

⇔ 𝐒𝐂𝐒𝐁𝐒𝐀 = 𝐒𝐃 dengan AD = BC.

Jadi, jika SA, SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka 𝐒𝐂𝐒𝐁𝐒𝐀 = 𝐒𝐃

dengan D sebuah titik sehingga AD̅̅ ̅̅ =̇ BC̅̅̅̅ .

Teorema 10.7

Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi

Bukti :

Andaikan dua buah geseran yaitu GAB dan GBC

Diperoleh GAB(A) = B dan GBC(B) = C

Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui A

maka didapat GBCGAB(A) = GBC[GAB(A)]

= GBC(B)

= C

Andaikan titik E sebarang

Diperoleh GAB(E) = E′

Berarti EE′̅̅ ̅̅ =̇ AB̅̅ ̅̅

GBC(E′) = E′′

Berarti E′E′′̅̅ ̅̅ ̅̅ = BC̅̅̅̅

Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui titik E, maka diperoleh

GBCGAB(E) = GBC[GAB(E)]

= GBC(E′)

A

B

C E

E’

E’’

= E"

Berarti EE′′̅̅ ̅̅ ̅ =̇ AC̅̅̅̅ sehingga diperoleh

GEE"(E) = E" = GAC

Jadi GBCGAB = GAC

Atau

Pembuktian menggunakan teorema 10.5

Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2PQ̅̅ ̅̅ =̇ AB̅̅ ̅̅ dan titik R sehingga 2QR̅̅ ̅̅ =̇ BC̅̅̅̅

Diperoleh GAB = SQSP dan GBC = SRSQ

Jika GBC dikomposisikan dengan GAB maka diperoleh

GBCGAB = (SRSQ)(SQSP)

= SR(SQSQ)SP (assosiatif)

= SRISP (Identitas transformasi)

= SRSP (Identitas transformasi)

Karena 2PR̅̅̅̅ = AC̅̅̅̅ maka diperoleh SRSP = GAC

Jadi GBCGAB = GAC

Teorema 10. 8

Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan

A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y)

sebagai T(P) = (x + a, y + b) maka 𝐓 = 𝐆𝐎𝐀.

Bukti :

Ambil titik P(x, y) dengan T(P) = (x + a, y + b)

Missal GOA(P) = P′, berarti PP′̅̅ ̅̅ = OA̅̅ ̅̅

P′ = (x + a − 0, y + b − 0) = (x + a, y + b)

Jadi, T(P) = P′ = GOA(P), ∀ P ∈ V

Artinya

Ini berarti 𝐓 = 𝐆𝐎𝐀.

Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7

Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH

Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan OA̅̅ ̅̅ = EF̅̅̅̅ dan OB̅̅ ̅̅ = KH̅̅ ̅̅

Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh

GOA(P) = P’= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P’ = (x+c,y+d)

Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)

Karena maka GOB(P) = P’ = GKH = (x+c,y+d)

Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh

GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)]

= GKH(x+a,y+b)

= ((x+a)+c,(y+b)+d)

= (x+(a+c),y+(b+d))

Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik

(a+c,b+d).

SOAL TUGAS 1

1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris.

a. Lukislah

b. Lukislah

c. Lukislah garis – garis g dan h dengan A g dan

d. Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga

2. Diketahui titik – titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah :

a. Garis h sehingga

b. Garis k sehingga

c. Garis m sehingga m’

d. Titik C sehingga

3. Diketahui garis – garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis – garis

trersebut.

a. Lukislah titik B sehingga

b. Lukislah titik C sehingga

4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar

A

B D

P

g

C

Lukislah :

a.

b. Garis h sehingga g

c.

d.

5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :

a. R

b. R

c. R

6. Apakah ungkapan – ungkapan di bawah ini benar atau salah :

a. Jika maka

b. Setiap translasi adalah suatu involusi

c. dengan

d. Apabila M titik tengah , maka

e. Apabila g’ (g), maka g’ // g

7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga

8. Diketahui titik – titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4)

a. Tentukan C’

b. Tentukan persamaan garis – garis g dan h sehingga C g dan sehingga

9. Diketahui titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke

B.

a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C)

b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P)

10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah :

a. jika P = (x,y)

b. Titik D sehingga

c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h (g)

SOAL TUGAS 2

1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P

a. Tentukan GABSC(P)

b. Tentukan SCGAB (P)

c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X

2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris

a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB

b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE

c. Tentukan F sehingga GABSC = SF

3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah :

a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE

b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X

4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b).

Tentukan S-1 (P)

b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1

5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang

bersangkutan?

a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan

b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan

c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi)

d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)

e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan

6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3)

Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G

7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan

koordinat- koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.

8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat- koordinat,

buktikan :

a. SBSA adalah suatu translasi

b. Jika P sebuah titik dan P’ = SBSA(P), maka = 2

9. Buktikan sifat-sifat berikut :

a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap

b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi

c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa

10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5)

a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P)

b. L = . Tentukan persamaan himpunan L’ = SASB(L)

JAWABAN TUGAS 1

1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris

a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B)

b. Lukislah GAB(C)

c. Lukislah garis-garis g dan h dengan gA dan GAB=MhMg

d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga gC dan sehingga GAB=MhMg

A B

C

A B=GAB(A) A’=GAB(B)

A B

C C’=GAB(C)

h g

A B

C

GAB(A) =B

MhMg(A)=B } GAB=MhMg

A B

g h

A

g k

B

m

A

m’

B

2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga gAB.

a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB

b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB

c. Garis m sehingga m’ = GAB(m)

GAB (m) = B

m’ = B

h g

A B

GAB(A)= B

MhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B } MhMg=GAB

GAB(A)= B

MgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B } MgMk=GAB

m’ = GAB(m)

d. Titik C sehingga GBA(C) = B

GAB(C) = B

3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut.

a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB

Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A’)=B

b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC

Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A’)=C

g h

A Mg(A)=A’ B= Mh(A’)

g h

C= Mg(A’ ) A Mh(A)=A’

A B C

A B

P

C

D

P

P’

P”

P’

P”

P

4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g

Lukislah !

a) GCD GAB (P)

GAB (P) = P’ dimana PP’ = AB

GCD (P) = P” dimana P’P” = CD

b) GCD GBA (P)

GBA (P) = P’ dimana PP’ = BA

GCD (PP) = P” dimana P’P” = CD

h’ = GDC (h)

h

g = GABGDC (h)

P

P’

P”

P”’ = G3AB (P)

c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g

d) G3AB (P)

5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana:

a. GABGCD(P)=R

b. SAGBC(P)=R

c. (GAB)-1 Mg(P)=R

Penyelesaian:

6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah:

a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah)

Bukti:

Dipunyai GAB=MgMh.

Jelas MgMh ≠ MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif).

Jadi GAB ≠ MhMg.

Jadi jika GAB=MgMh maka GAB ≠ MhMg

b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah)

Bukti:

Misal: GAB=MhMg.

Maka diperoleh (GAB)-1= (MhMg)-1

= Mg-1Mh

-1

= MgMh

≠ GAB.

Jadi GAB bukan suatu involusi.

c. GABGAB= GCD dengan (Benar)

Bukti:

Ambil sembarang titik P.

Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5.

Karena GAB(P)=P2 maka

GAB(P2)=P4 maka dan

GABGAB(P)=P4 maka

Sehingga , akibatnya .54 PP

Jadi GABGAB(P)= GCD(P).

Karena P sembarang maka GABGAB= GCD.

d. Apabila M titik tengah , maka (Benar)

e. Apabila g’ = (g), maka g’//g ( Benar)

7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga

Jawab :

Jelas g dan h dan jarak antara g dan h

Persamaan garis

Jadi

Misal A ∈ g maka persamaan garis g

Jarak antara g dan h , A ∈ g maka h melalui c sehingga C midpoint

AB

)

)

Jadi C(-1,5)

Persamaan garis h AB dan melalui C(-1,5)

Jadi g : y =

h : y =

8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4).

a. Tentukan ).(' CGC AB

Penyelesaian:

Karena )(' CGC AB maka

Jelas

Sehingga 242 22 xx dan .044 22 yy

Jadi ).0,2()(' CGC AB

b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga gC dan sehingga

MhMg= GAB.

Penyelesaian:

Jelas

.14

4

15

31

12

12

xx

yymAB

Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan ., ABhABg

222

2

2

2

222

2

2

2

2

12

2

12

2

12

2

12

22

)4()4()4()2(

)31()15()4()2(

)()()()(

'

'

yx

yx

yyxxyyxx

ABCC

ABCC

Sehingga diperoleh

Karena g//h maka 1 hg mm .

Misal garis h melalui titik D maka

Sehingga diperoleh

Jadi 042 221

2 xx dan .244 221

2 yy

Jadi titik D(0,2).

Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan 1gm adalah

6

24

)2(14

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan 1hm adalah

.2

2

)0(12

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

9. Diket A(2,1), B(5,-3)

Ditanyakan

a.

misal maka

sehinggga

dan

.1

11

1

g

g

gAB

m

m

mm

2

212

212

2

2

2

2

412

412

2

2

2

2

12

2

12412

12

2

12

2

412

21

)4()4()4()2(

)31()15()4()2(

])()[()()(

yx

yx

yyxxyyxx

ABCD

ABCD

Jadi C’(7,-2)

b. dengan

misal

maka sehingga

dan

Jadi

10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)\y+2x=4}.

a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y).

Jawab:

Jelas BAGAB )(

).4,3()1,2(

)4,3()1,2(

ba

GAB

Sehingga 132 aa dan .541 bb

Jadi ).5,1(),()( yxyxGPG ABAB

b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3).

Jawab:

Misal titik ),( 11 yxD maka

).3,1()5,1(

)3,1(),(

)3,1()(

11

11

yx

yxG

DG

AB

AB

Sehingga 011 11 xx dan .235 11 yy

Jadi titk D(0,-2).

c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga ).(gGh AB

Jawab:

.32

4225

4)1(25

)42()(

yx

xy

xy

xyGgGh ABAB

JAWABAN TUGAS 2

1. Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P

a) Tentukan GABSC(P)

Penyelesaian :

GABSC(P)=GAB[SC(P)]

=GAB(P’) dengan C adalah titik tengah

=P” dengan

b) Tentukan SCGAB(P)

Penyelesaian :

SCGAB(P)=SC[GAB(P)]

=SC(P’) dengan

=P” dengan C titik tengah

c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X

Penyelesaian :

Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD

Ambil titik X sebarang

GABSC(X)=SD(X)

Diperoleh SD(X)=X, berartti X=

Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti

Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D)

= GAB[SC(X)]

=GAB(D’) dengan C titik tengah D’,

berarti

=D dengan

=X

Jadi titik X adalah titik tengah dimana

2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris

a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB

Penyelesaian :

Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis

dimana,

2

b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE

Penyelesaian :

Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik

C dimana,

c) Tentukan F sehingga GABSC=SF

Penyelesaian :

Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti

dimana,

3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah :

a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE

b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X

4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b).

Tentukan S-1(P).

Penyelesaian :

Menurut teorema 7. 3 S-1(P)=S(P)

=(x+a,y+b)

b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1.

Penyelesaian :

Ambil titik P sebarang

Misal G1=GAB dan G2=GCD

G1G2(P)=G1[G2(P)]

=G1(P’) dengan

=P” dengan

Jadi, ………(1)

G2G1(P)=G2[G1(P)]

=G2(P’) dengan

=P” dengan

Jadi, ………(2)

Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB

G1G2=G2G1

5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang

bersangkutan?

a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan.

Penyelesaian :

b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan

Penyelesaian :

c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi)

Penyelesaian :

d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)

Penyelesaian :

e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan.

Penyelesaian :

6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7).

Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G

Penyelesaian :

SDSC(P)=G(P)

SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3)

Misalkan D(a,b)

[2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)

2a-(2-x)=x+2

2a=x+2+2-x

2a=4

a=2

2b-(-14-y)=y+3

2b=y+3-14-y

2b=-11

b=-5,5

Jadi titik D(2,-5,5)

7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan

koordinat-koordinat titik D sehingga GCD=SBSA.

Penyelesaian :

Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8])

=(4+x,y-8)

Apabila B titik tengah maka,

x=-1

y=18

Jadi koordinat D=(-1,18)

8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-

koordinat. Buktikan :

a) SBSA adalah suatu translasi

Penyelesaian :

Ambil titik P(x,y) sebarang

SBSA(P)=SB[SA(P)]

=SB(2a1-x,2a2-y)

=(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y)

=[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]

b) Jika P sebuah titik dan P’=SASB(P), maka =

Penyeleesaian :

Ambil titik P(x,y) sebarang

Dari hasil a) diperoleh P’=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]

=( b1–a1,b2-a2)

=[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y]

=[ 2(b1-a1),2(b2-a2)]

=2( b1–a1,b2-a2)

=2

Jadi terbukti =

9. Buktikan sifat-sifat berikut :

a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap

Penyelesaian :

b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi

Penyelesaian :

c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA

Penyelesaian :

10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5)

a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P)

Penyelesaian :

SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y)

=SA(-6-x,10-y)

=2.2-(-6-x),2.1-(10-y)

=(10+x,-8+y)

Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y)

b) L={(x,y)| x2+y2=4}. Tentukan persamaan himpunan L’=SASB(L).

Penyelesaian :

L= x2+y2=4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2

SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0]

=SA(-6,10)

=[2.2-(-6),2.1-10]

=(10,-8)

Jadi L’={(x,y)|(x-10)2+(y+8)2=4}