MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

26 September 2019

Kuliah Sebelumnya

3.1 Maksimum dan Minimum

3.2 Kemonotonan dan Kecekungan

Menentukan selang kemonotonan (dan titikekstrim), serta selang kecekungan dan titik belok, dari suatu fungsi yang diberikan.

3.3 Maksimum dan Minimum Lokal

Menentukan nilai maksimum dan minimum lokaldari suatu fungsi yang diberikan.

3.4 Masalah Maksimum dan Minimum

Memecahkan masalah maksimum dan minimum.10/02/2013 2(c) Hendra Gunawan

Latihan

Menggunakan Uji Turunan Pertama, tentukannilai ekstrim lokal fungsi berikut:

1. f(x) = x4 – 2x2 + 3.

2. h(x) = x/2 – sin x, 0 < x < 2π.

Menggunakan Uji Turunan Kedua, tentukan nilaiekstrim lokal fungsi berikut:

3. g(x) = x + 1/x, x ≠ 0.

4. F(x) = 64/(sin x) + 27/(cos x), 0 < x < π/2.

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 3

SUDAH DIKERJAKAN KAH?

Kuliah Hari Ini

3.1 Maksimum dan Minimum

3.2 Kemonotonan dan Kecekungan

Menentukan selang kemonotonan (dan titikekstrim), serta selang kecekungan dan titik belok, dari suatu fungsi yang diberikan.

3.3 Maksimum dan Minimum Lokal

Menentukan nilai maksimum dan minimum lokaldari suatu fungsi yang diberikan.

3.4 Masalah Maksimum dan Minimum

Memecahkan masalah maksimum dan minimum.10/02/2013 4(c) Hendra Gunawan

3.4 MASALAH MAKSIMUM & MINIMUMMA1101 MATEMATIKA 1A

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 5

Memecahkan masalah maksimum danminimum.

Contoh 1. Tentukan titik pada lingkaranx2 + y2 = 1 yang terdekat ke titik P(1,2).

Jawab: Misalkan s menyatakan jarak titik(x,y) pada lingkaran x2 + y2 = 1 ke titikP(1,2), yakni

𝑠 = 𝑥 – 1 2 + 𝑦 − 2 2.

Karena meminimumkan s sama denganmeminimumkan s2, kita tinjau D = s2,

D = (x – 1)2 + (y – 2)2

= x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4

= 6 – 2x – 4 1 − 𝑥2.10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 6

P

Turunkan D terhadap x, kita peroleh

𝑑𝐷

𝑑𝑥= −2 +

4𝑥

1−𝑥2.

Perhatikan bahwa dD/dx = 0 bila 4𝑥 = 2 1 − 𝑥2, yaitu apabila x = 1/√5. [Kita pilih x > 0.]

Kita periksa tanda dD/dx di sekitar 1/√5:

Berdasarkan Uji Turunan Pertama, kita simpulkanbahwa D mencapai minimum di x = 1/√5.

Jadi titik terdekat ke P(1,2) adalah (1/√5,2/√5).

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 7

1/√5

– – – + + +

Contoh 2. Pak Umar akan memagari kebunnyadengan menggunakan 120 m pagar dan ia ingin

menjadikan sebagian atau seluruh sisi gudangyang panjangnya 25 m sebagai bagian dari salahsatu sisi kebun (lihat gambar). Tentukan luaskebun maksimum yang dapat dipagari.

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 8

25

x

25

x

Contoh 3. Tentukan panjang tangga terpendekyg menghubungkan lantai ke dinding.

10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 9

Jawab: Panjang tangga P = L1 + L2

dengan L1 = 1/sin t dan L2 = 2/cos t.

Jadi, P = 1/sin t + 2/cos t.

Turunannya adalah

dP/dt = -cos t/sin2 t + 2sin t/cos2 t,

sehingga

dP/dt = 0 j.h.j. cos t/sin2 t = 2sin t/cos2 t

atau tan3 t = ½.

1

2

P

t

t

Jawab (lanjutan):

Jadi titik stasionernya adalah

t = arc tan 132

≈ 0,67 rad.

Turunan di sebelah kirinya negatif, dan di sebelah kanannya positif. Jadi, titik tersebut adalah titikminimum.

Dengan demikian panjang tanggaterpendek adalah P ≈ 1/sin(0,67) + 2/cos(0,67) ≈ 4,16 meter.

10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 10

1

2

P

t

t

Latihan1. Tentukan titik pada hiperbola x2 – 4y2 = 4

yang terdekat ke titik Q(5,0).

2. Sebuah pulau kecil berjarak 2 km dari titikterdekat P pada garis pantai sebuah pulaubesar. Jika seseorang di pulau tersebut dapatmendayung perahunya dengan laju 3 km/jam dan berjalan kaki di pantai 4 km/jam, di mana ia harus berlabuh agar sampai di Q yang berjarak 5 km dari P dalamwaktu yang paling singkat?

10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 11

1. Tentukan titik pada hiperbola x2 – 4y2 = 4yang terdekat ke titik Q(5,0).

Jawab: Misal d := jarak dari titik (x,y) pada hiperbolatsb ke titik Q(5,0); maka

d2 = (x – 5)2 + y2 = (x – 5)2 + ¼∙x2 – 1, x ≥ 2.Meminimumkan d sama saja dgn meminimumkans := d2. Cari titik stasionernya:

s’(x) = 2(x – 5) + ½∙x = 0 ↔ x = 4.Selain itu ada titik ujung selang, yaitu x = 2. Tetapis’(x) < 0 untuk 2 ≤ x < 4 dan s’(x) > 0 untuk x > 4.Jadi menurut Uji Turunan Pertama, s mencapaiminimum di x = 4. Cari ordinatnya: y2 = 3, y = ±√3. Jadi titik terdekat yg dicari adalah (4,√3) dan (4,-√3).

10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 12

2. Sebuah pulau kecil berjarak 2 km dari titikterdekat P pada garis pantai. Seseorang akanmendayung perahu dari pulau tsb dengan laju3 km/jam dan berjalan kaki di pantai 4 km/jam, menuju Q yang berjarak 5 km dari P.

Jawab: Misal ia berlabuh di X (antara P dan Q). Maka total waktu yang dibutuhkan adalah

T = Tdayung + Tberjalan = …

10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 13